Kapitel 5: Elementare Geometrie der Ebene und des Raumes

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1 Kapitel 5: Elementare Geometrie der Eene und des Raumes Cluster 5.1 erechne den Winkel, um den sich eine sitzende Person samt Stuhl zurücklehnen kann, damit dieser nicht kippt. Errechne hierzu den Gesamtschwerpunkt von Person und Stuhl mit den folgenden Formeln: g i G i G i g i G i G i Mensch und Stuhl sind dann in zurückgelehntem Zustand im Gleichgewicht, wenn die Wirkungslinie der resultierenden Gewichtskraft G g durch den ufstandspunkt verläuft. Gegeen: St M St M St M St G St M St 5. ei einer kreisrunden Scheie ist im Zentrum ein Loch zu ohren. Wie kann der Mittelpunkt der Scheie mithilfe des Satzes von Thales graphisch ermittelt werden? 5. Ein uto erfährt in einem Kreisverkehr ei konstant 6 km/h eine Fliehkraft (Zentrifugalkraft) F z v r. Zur eiehaltung der Geschwindigkeit wirkt die ntrieskraft auf das Fahrzeug. Ein Reifen kann nur eine maimale Kraft von F H aufnehmen, eher dieser zu rutschen eginnt. Vereinfacht lässt sich das in Form des Kamm schen Kreises darstellen. Fahrtrichtung F H F Z Fahrtrichtung F H F Z Erkläre, warum ein llrad-fahrzeug mehr Stailität in der Kurvenfahrt als ein einachsig angetrieenes Fahrzeug mit Frontantrie hat. (Zur Vereinfachung wird angenommen, dass alle Reifen denselen nteil der Zentripedalkraft aufnehmen.) Erstelle die Kraftvektoren für alle Räder der eiden Fahrzeugtpen und errechne den etrag der Vektoren. Gegeen: Kamm scher Kreis Stailer Zustand Instailer Zustand 5.4 erechne den Schwerpunkt eines Surfsegels in Form eines rechtwinkligen Dreiecks (a,, c ist die Hpotenuse) aus folgenden Geradengleichungen: a a wenn der Wind mit einer Flächenlast von 5 N/m senkrecht auf dieses trifft? 5.6 Mit welcher Kraft rm muss der Surfer das Segel (rechtwinkliges Dreieck welches mit einer Flächenlast des Windes von 5 N/m angelasen wird? Nimm dafür an, dass die resultierende Windkraft im Schwerpunkt des Segels angreift. 1 a 1 1 anzunehmen. c h S a Österreichischer undesverlag Schuluch GmH & Co. KG, Wien 1 Mathematik

2 Kapitel 5: Elementare Geometrie der Eene und des Raumes Cluster 5.7 erechne die notwendige Länge des Geländers einer Schwimmadleiter mit den ngaen der folgenden Skizze. 1 s s r t 5.8 Ermittle die Fläche mittels des odendrucks eines mit Wasser ( ) gefüllten, F g h 5.9 Fluidstatik erechne die uftrieskraft eines vollkommen enetzten Hohlzlinders in Wasser! Wasser D Zl d Zl L Zl Zl 5.1 Dünne Linsen Stelle die rennweite einer sphärischen, dünnen Linse mit unterschiedlichen Radien in hängigkeit dieser dar. r 1 1 r 5.11 Fahrzeugtechnik uslegung von Getrieestufen Die uslegung von Getrieestufen kann folgendermaßen erfolgen: Die estimmenden Größen sind das Motormoment, das ntriesmoment, die zu erzielende Höchstgeschwindigkeit und der nzahl der Gangstufen. a. N Motor n Rad.. estimme die notwendige nfahrtüersetzung aus der edingung, dass die Räder eim nfahren nicht durchdrehen sollen: ntrie ª F Haftung c. estimme die Spreizung H i nf zwischen ntries- und Höchstgeschwindigkeitsüersetzung. d. Definiere die einzelnen Gangstufen Gang z 1 9 H, i n i n i Gang Frontgetrieenes Fahrzeug chslastverteilung l v l ma. Drehzahl für uslegung: 4 1/min M motor ma v ma i H Österreichischer undesverlag Schuluch GmH & Co. KG, Wien 1 Mathematik

3 Kapitel 5: Elementare Geometrie der Eene und des Raumes Cluster 5.1 uflagerreaktionen estimme die uflagerreaktionen der dargestellten alkenkonstruktion F À Tragwerk erechne für das skizzierte Tragwerk die uflagerreaktionen. (Lager ist ein Drehlager, kann also keine Momente aufnehmen!) s F C h l 5.14 uf einer schenahn mit zwei Geraden und zwei Kurven werden Laufrennen agehalten. Um wie viel Meter muss der Läufer auf der inneren ahn im Vergleich zum Läufer auf der äußersten ahn weiter hinten starten, damit eide diesele Strecke von m is zur Ziellinie zurückgelegt haen. Die Strecke eginnt auf der Geraden und endet genau in der Mitte der gegenüerliegenden Geraden. Länge der Geraden: 1 m Durchmesser der ußenahnkurve: 76 m Durchmesser der Innenahnkurve: 59 m Österreichischer undesverlag Schuluch GmH & Co. KG, Wien 1 Mathematik

4 Kapitel 5: Elementare Geometrie der Eene und des Raumes Lösungen Cluster 5.1 g i G i G M + St G St i + G St g i G i G i M + St G St + G St tan g g S g G g g g 5. 1) Von einem elieigen Punkt wird eine Sehne erzeugt, die den Kreis im Punkt schneidet. ) Eine weitere Sehne wird rechtwinklig zur ersten Sehne und durch den Punkt gezogen. Daei wird mit der zweiten Sehne und dem Kreis der Schnittpunkt C erzeugt. ) Die Verindung zwischen und C teilt die Scheie in gleiche Hälften und trägt das Zentrum der Scheie in der Mitte. C M 5. F z v r d. h. F Z Rad À F Rad F Z llrad-fahrzeug: Die ntrieskraft wird auf alle 4 Reifen gleichmäßig verteilt: Rad À F 5 Vorne links 1 8,8 À F 5 Hinten links 1 8,8 À F 5 Vorne rechts 1 8,8 À F Rad À F 5 Hinten rechts 18,8 Frontantrie-Fahrzeug: Die ntrieskraft wird auf die zwei vorderen Räder verteilt: vorne rechts vorne links À F 5 Vorne links 1 8,8 À F Hinten links 1 8,8 À F 5 Vorne rechts 1 8,8 À F Vorne 114,8 N À F Hinten rechts 1 8,8 À F Hinten Damit das Fahrzeug stail um die Kurve fährt, müssen alle Reifenkräfte innerhal der Haftgrenze liegen. Diese Grenzen werden eim Frontantrie-Fahrzeug an der Vorderachse früher erreicht als eim llrad-fahrzeug. Österreichischer undesverlag Schuluch GmH & Co. KG, Wien 1 Mathematik

5 Kapitel 5: Elementare Geometrie der Eene und des Raumes Lösungen Cluster 5.4 a a + a + a a a 1 a 1 a a 1 Es ergit sich der Schnittpunkt S 1 a 1 1, was zu erwarten war. 5.5 a F Wind 5 N m 5.6 a F Wind 5 N m etrachtung in um Punkt : F Wind Frm rm FWind h 5.7 s + t + 1 r 1 m +,5 5.8 F gh F 5.9 V Zl g V Zl Wasser g L Zl (D d Zl ) o o 1 o a und o * 1 * r 1 + r 1 + r r 1 a + 1 (n 1) 1 r r 1 f Österreichischer undesverlag Schuluch GmH & Co. KG, Wien 1 Mathematik

6 Kapitel 5: Elementare Geometrie der Eene und des Raumes Lösungen Cluster 5.11 n Motor n Rad i H n P ma n Rad ma 4 v 6,6 r Rad i H i nf M chse M F N μ r Rad Motor 65 Nm F N chse i nf H i nf i H Gang H i n i n 1 Gang i À À À À FÀ + FÀ À F M À À F rà F FÀ À r F F F F z F F z z F F 95 F z z F F 5.1 F À F À À À + z F z M z F z s z z 1 s M F s M M z z + F F F À F 1 S F À M F s F s Österreichischer undesverlag Schuluch GmH & Co. KG, Wien 1 Mathematik

7 Kapitel 5: Elementare Geometrie der Eene und des Raumes Lösungen Cluster 5.14 Streckenaschnitte: Zielgerade: 5 m für eide Läufer gleich d L außen L innen S innen S außen Der Läufer auf der Innenahn muss um 6,7 m weiter hinten starten als der Läufer auf der ußenahn. Österreichischer undesverlag Schuluch GmH & Co. KG, Wien 1 Mathematik

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