Kapitel 10. Wellen Einleitung Beispiel: Seilwellen

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1 Kapitel 10 Wellen 10.1 Einleitung Wir haben im Fall der beiden gekoppelten Pendel gesehen, dass abwechselnd jedes Pendel auf das andere Pendel vollständig seine Energie übertragen kann. Was geschieht dann, wenn nicht nur Pendel miteinander gekoppelt sind, sondern eine grosse Zahl an Pendeln, die regelmässig hintereinander angeordnet sind? Materie stellt in der Tat eine solche Anordnung dar, wobei die Atome selbst die Oszillatoren sind, die durchaus auch für sich alleine schwingen können, wenn man sie mit Energie anregt. Bei Festkörpern und Flüssigkeiten sind diese Atome in einen Kristall- oder Molekularstruktur eingebunden, die durch elektrische, nicht voll kompensierte Kräfte zustande kommen, beim Gas geschieht die Kopplung durch Stösse, sobald ein frei fliegendes Atom oder Molekül auf ein anderes trifft. Der Stoss selbst ist wieder elektrisch und beruht auf der sogenannten van der Waals-Wechselwirkung. Die Übertragung von Energie in einer derartigen Kette findet tatsächlich statt, ohne dass Masse übertragen wird. Man nennt diese Energieübertragung durch Schwingungen eine Welle Beispiel: Seilwellen Wir betrachten ein Seil, dessen beide Enden an den Wänden festgebunden sind. Das Seil verläuft horizontal (wir vernachlässigen die Gravitationskraft) und ist gespannt. Wenn wir das Seil mit einem kurzen seitlichen Schlag auslenken, beobachten wir, dass die anfängliche Auslenkung als Wellenberg mit konstanter Geschwindigkeit dem Seil entlang wandert (siehe Abb. 10.1). Wir sagen, dass sich die transversale Auslenkung als eine Welle ausbreitet. Wir bemerken: 147

2 148 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 0081 ξ(x, t 0 ) x ξ(x, t 1 ) v (t 1 t 0 ) x Abbildung 6.1: Ausbreitung einer Seilwelle. Abbildung 10.1: Ausbreitung einer Seilwelle. 1. Jeder Punkt des Seils schwingt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle.. Ein Punkt des Seils bleibt so lange in Ruhe, bis der Wellenberg ihn erreicht. 3. Er wird dann aus seiner Ruhelage ausgelenkt. 4. Er kehrt schliesslich in den Ruhezustand zurück. Es folgt daraus: die einzelnen Punkte des Seils werden durch die Wellenbewegung nicht transportiert. Sie bewegen sich nur vorübergehend um ihre Gleichgewichtslage Beispiel: Wellenausbreitung im Masse-Feder- System Wir können die in der Einleitung besprochene Wellenausbreitung in einem Festkörper anschaulich demonstrieren, indem wir die Atome durch kleine, massive Kugeln und die Wechselwirkung zwischen den Atomen durch zwischen den Kugeln gespannte Federn ersetzen (siehe Abb. 10.). Im Ruhezustand ist der Abstand zwischen den Massen so gewählt, dass keine Kräfte zwischen Paaren von Massen wirken (d.h., wir nehmen an, dass die normale Länge der Feder gleich dem Abstand zwischen zwei Massen ist.). Wenn die 1. Masse kurz longitudinal oder transversal ausgelenkt wird, erhöht sich der Abstand zwischen der 1. und der. Masse. Die Federkraft wirkt dann als eine Rückstellkraft, die versucht, die Massen zusammenzubringen. Als Folge davon bewegt sich die 1. Masse in Richtung ihrer Ruhelage, und die. Masse

3 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS ξ x Abbildung 10.: 6.1: Ein Feder-Masse-System. Die erste Masse wurde transversal ausgelenkt. wird aus ihrer Ruhelage weggezogen. Die. Masse bewegt sich jetzt, und der gleiche Physik Vorgang II, Prof. findet W. Fetscher, zwischen FS der 008 zweiten und dritten Masse statt. 1 Diese Bewegung ist in Abb für longitudinale Wellen und in Abb für transversale Wellen gezeigt. Wir bemerken wie im Fall des Seils: 1. Jede Masse schwingt um ihre Ruhelage;. Jede Masse bleibt ungefähr so lange in Ruhe, bis der Wellenberg sie erreicht; 3. Sie führt dann ihre Bewegung um ihre Ruhelage aus; 4. Sie kehrt schliesslich in den Ruhezustand zurück. Diese Anordnung wird nützlich sein, wenn wir die Ausbreitung von Wellen in einem Seil quantitativ betrachten. Wir werden das Seil als ein kontinuierliches Masse-Feder-System mit infinitesimalen Massenelementen betrachten. ξ x Abbildung 10.3: 6.1: Longitudinale Wellen im Masse-Feder-System. Die zweite und dritte Masse von rechts sind aus ihrer Ruhelage ausgelenkt.

4 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS x ξ Abbildung 6.1: Transversale Wellen im Masse-Feder-System. Abbildung 10.4: Transversale Wellen im Masse-Feder-System Beispiel: Wellenausbreitung in einem Gas Wir betrachten die elastischen Wellen, die durch Druckveränderung in einem Gas entstehen. Der Schall ist das wichtigste Beispiel für diese Art von Wellen. Man kann z.b. eine solche Welle erzeugen, indem man einen Lautsprecher vor ein Glasrohr stellt. Der Schall wird sich als eine Druckwelle der Luft mit einer bestimmten Schallgeschwindigkeit im Glasrohr ausbreiten (siehe Abb. 10.5). Weil ein Gas sehr leicht komprimierbar ist, werden sich der Druck und die Dichte des Gases ändern: In einem Gas unterliegt die Dichte des Gases der gleichen Art von Schwankungen wie der Druck. L λ Abbildung 6.1: Mit einem Lautsprecher L erzeugte Schallwelle in einem Gas Abbildung 10.5: Mit einem Lautsprecher L erzeugte Schallwelle in einem Gas. 10. Wellentypen, Wellenausbreitung Beschreibung der eindimensionalen Wellenausbreitung Wir wollen nun die Ausbreitung von eindimensionalen Wellen quantitativ beschreiben. Wir betrachten z.b. die transversalen Seilwellen. Zur Zeit t = 0 kann die Form des Seils durch eine Funktion ξ(x) beschrieben werden, wobei ξ die Auslenkung des Seils ist. Jede bestimmte Koordinate x entspricht einem Punkt entlang des Seils.

5 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Nach einiger Zeit ist der Wellenberg weitergewandert, und die Form des Seils ist nun durch eine andere Funktion gegeben. Die Auslenkung des Seils als Funktion der Zeit kann durch eine Funktion von zwei Variablen ausgedrückt werden: ξ = ξ(x, t), (10.1) wobei x die Raumkoordinate und t die Zeit ist. Diese Funktion heisst Wellenfunktion. Sie beschreibt die Ausbreitung der Wellen als Funktion der Zeit. Im allgemeinen wird die Funktion ξ(x, t) die eindimensionale Wellenausbreitung beschreiben: 1. Seilwellen: ξ(x, t) beschreibt die transversale Auslenkung des Seils.. Federwellen: ξ(x, t) beschreibt die longitudinale oder transversale Verformung der Feder. 3. Gaswellen (Schall): ξ(x, t) beschreibt den Druck des Gases. Die Funktion ξ(x, t) kann im Prinzip eine komplizierte Zeitabhängigkeit besitzen. Wir machen die folgende Vereinfachung: Vernachlässigung der Dispersion: Gewöhnlich wird sich die Form eines Wellenberges mit der Zeit verändern. Dieser Effekt heisst Dispersion. Wir werden die Dispersion vernachlässigen und eine stabile Form des Wellenberges annehmen. Obwohl ξ(x, t) wie eine beliebige Funktion der zwei unabhängigen Variablen x und t (d.h. Raum und Zeit) aussieht, schränkt die Bedingung, eine Welle zu beschreiben, die möglichen Formen ein: Wenn ξ(x, t) die zeitliche und räumliche Ausbreitung einer Welle darstellt, dann sind die zwei Variablen x und t nicht unabhängig voneinander. Die Zeitabhängigkeit muss die Ausbreitung der Welle beschreiben: Die Raumabhängigkeit der Funktion ξ(x, t) beschreibt die Form der Welle und die Zeitabhängigkeit der Funktion ξ(x, t) beschreibt die Ausbreitung der Welle. Wir nehmen die Form der Welle zur Zeit t = 0 an. Sie wird durch die Funktion f(x) dargestellt: ξ(x, t = 0) = f(x) (10.) Wenn wir x durch x a ersetzen, erhalten wir die Funktion: ξ = f(x a) (10.3)

6 15 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 0081 f(x + a) x f(x) a x a f(x a) x Abbildung 10.6: 6.1: Translation eines Wellenbergs um a nach links (oberes Bild) bzw. um a nach rechts (unteres Bild). Diese Substitution bewirkt eine Translation des Wellenbergs ohne Veränderung seiner Form! Die Welle hat sich ohne Verformung um den Betrag a nach rechts verschoben: Entsprechend beschreibt ξ = f(x + a) (10.4) eine starre Verschiebung der Welle um den Betrag a nach links (siehe Abb. 10.6). Wenn wir nun a = vt mit v > 0 (10.5) annehmen, wobei t die Zeit ist und v die Geschwindigkeit (v > 0), erhalten wir eine wandernde Welle. Die Funktion ξ = f(x vt) (10.6) stellt eine Welle dar, die sich mit einer Geschwindigkeit v nach rechts bewegt. In ähnlicher Weise entspricht die Funktion einer Welle, die sich nach links ausbreitet. ξ = f(x + vt) (10.7)

7 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Stoff Temperatur v/(m s 1 ) Gase: Luft 0 C 331 Luft 0 C 343 Helium 0 C 965 Wasserstoff 0 C 184 Flüssigkeiten: Wasser 0 C 140 Wasser 0 C 148 Seewasser 0 C 15 Festkörper: Aluminium 640 Stahl 5941 Granit 6000 Tabelle 10.1: Schallwellengeschwindigkeit v von verschiedenen Stoffen Im allgemeinen betrachten wir die Ausbreitung einer Welle nach rechts oder nach links. Die Ausbreitung der Welle kann deshalb wie folgt geschrieben werden: ξ(x, t) = ξ(x ± vt), (10.8) wobei v der Phasenschwindigkeit der Welle entspricht. Die Phasengeschwindigkeit v Ph einer Welle gibt die Geschwindigkeit an, mit der sich eine vorgegebene Phase bewegt. Gleichung (10.8) stellt eine Welle dar, die sich ohne Dispersion in die negative x-richtung (+) oder die positive x-richtung ( ) ausbreitet. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit wird von mindenstens zwei Parametern bestimmt. Im allgemeinen wirken immer zwei Eigenschaften des Mediums gegeneinander: 1. Einerseits wirkt eine Kraft, die das Medium in seinen ursprünglichen Zustand zurückzubringen versucht. Je grösser diese Kraft ist, desto schneller breitet sich die Welle aus.. Andererseits verlangsamt die Masse, die als Trägheit wirkt, die Wellenausbreitung. Je grösser die Masse, desto langsamer breitet sich die Welle aus. Einige repräsentative Ausbreitungsgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien sind in Tabelle 10.1 zusammengefasst. Die Ausbreitungsrichtung der Welle kann leicht überprüft werden, indem man eine bestimmte Phase δ 0, z.b. das Maximum oder einen Nulldurchgang, fest

8 154 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 0081 ω v v x λ Abbildung 6.1: Harmonische Welle. Abbildung 10.7: Harmonische Welle. vorgibt, und überprüft, in welche Richtung sich diese Phase bewegt: x ± vt = δ 0 (10.9) ẋ ± v = 0 ẋ = v (10.10) 10.. Harmonische Wellen Ein interessanter Fall ist derjenige, in welchem die Welle eine periodische sinusoder kosinusförmige Funktion ist. Eine solche Welle wird als harmonische Welle bezeichnet. Wir können eine harmonische Welle erzeugen, wenn wir z.b. das Ende eines Seils in Form einer sinusförmigen Schwingung auf und ab bewegen. Eine sinusförmige Welle wird sich längs des Seils ausbreiten (siehe Abb. 10.7). Die laufende harmonische Welle wird mit Hilfe der Sinusfunktion geschrieben: ξ(x, t) = ξ 0 sin {k (x ± vt)}, (10.11) wobei k die Wellenzahl (oder der Wellenvektor), und ξ 0 die Amplitude ist. Der räumliche Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Wellenkämmen wird Wellenlänge λ genannt. Die Form der harmonischen Welle wiederholt sich im räumlichen Abstand einer Wellenlänge. Die Wellenzahl hängt mit der Wellenlänge zusammen. Aus der Raumabhängigkeit des Arguments der Sinusfunktion folgt k(x + λ) = kx + π kλ = π k = π λ (10.1)

9 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Die Wellenfunktion kann als Funktion der Kreisfrequenz ω berechnet werden: ξ(x, t) = ξ 0 sin {k (x ± vt)} = ξ 0 sin {kx ± kvt} = ξ 0 sin {kx ± ωt}, (10.13) wobei für die Kreisfrequenz gilt ω = kv oder v = ω k (10.14) Der zeitliche Abstand zwischen dem Durchlaufen zweier Wellenkämme an einem festen Ort ist die Periode T der Welle. Statt einer Kosinus- oder Sinusfunktion verwendet man für Berechnungen häufig auch die komplexe Exponentialfunktion. Das Schlussergebnis ergibt sich dann aus dem Realteil der resultierenden Exponentialfunktion. ξ(x, t) = ξ 0 e i(kx±ωt) (10.15) Die Wellengleichung in einer Dimension Wir betrachten die zeitlichen und räumlichen Ableitungen der harmonischen Wellen: ξ(x, t) = ξ 0 sin {kx ωt} = ξ 0 sin {k (x vt)} (10.16) Da die Funktion ξ von zwei Variablen abhängt, müssen wir eine partielle Ableitung verwenden. Wir erhalten und ξ t = t ξ 0 sin {k (x vt)} = ξ 0 ( kv) cos {k (x vt)} (10.17) ξ t = ξ 0 (kv) sin {k (x vt)} (10.18) ξ x = ξ 0k cos {k (x vt)} (10.19) ξ x = ξ 0k sin {k (x vt)} (10.0) Wir vergleichen nun die zweite zeitliche Ableitung und die zweite räumliche Ableitung. Wir bemerken: ξ t = ξ 0 (kv) sin {k (x vt)} = ( v ) ξ x (10.1)

10 156 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 Wir finden dasselbe Ergebnis, wenn wir die andere Ausbreitungsrichtung verwenden: ξ(x, t) = ξ 0 sin {kx + ωt} = ξ 0 sin {k (x + vt)} (10.) Tatsächlich spielt das Vorzeichen vor dem vt-term keine Rolle, wenn wir die zweite Ableitung berechnen. Zusammenfassend haben wir gefunden, dass für harmonische Wellen gilt: ξ t = v ξ x ξ t v ξ x = 0 (10.3) Eine partielle Differentialgleichung der Form ξ t v ξ x = 0 (10.4) bezeichnet man als Wellengleichung, wobei v die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist. Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist von der Form: ξ(x, t) = f(x vt) + g(x + vt) (10.5) wobei f und g zwei beliebige Funktionen sind. Eine solche Lösung erfüllt immer die Differentialgleichung, unabhängig von den Funktionen f und g. Die Lösung entspricht Wellen, die sich nach rechts und nach links ausbreiten. Wir beweisen, dass die allgemeine Lösung die Differentialgleichung erfüllt. Wir beginnen mit der räumlichen Ableitung: ξ(x, t) t = f(x vt) t + g(x + vt) t (10.6) Wir definieren: α(x, t) = x vt und β(x, t) = x + vt (10.7) Es gilt damit: ξ(x, t) t = f {α(x, t)} t = f(α) α + g {β(x, t)} t = f(α) α α t + g(β) β β t (10.8) g(β) ( v) + (+v) (10.9) β und ξ(x, t) t { } = f(α) v + g(β) v = v f(α) + g(β) α β α β (10.30)

11 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS In ähnlicher Weise: ξ(x, t) x ξ(x, t) x = f {α(x, t)} g {β(x, t)} = + x x = f(α) α + g(β) β { f(α) α + g(β) β } = f(α) α α x + g(β) β β x (10.31) (10.3) (10.33) Schliesslich erhalten wir: { ξ(x, t) = v f(α) t α } + g(β) = v ξ(x, t) (10.34) β x D.h., die allgemeine Lösung erfüllt die Wellengleichung Transversale Wellen Bei den transversalen Wellen ist die Auslenkung ξ stets senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung. Beispiele sind transversale Seilwellen, transversale Schwingungen einer Kette von Massenpunkten, welche durch Federn miteineander verbunden sind (siehe Abb. 10.4), oder die elektromagnetischen Wellen. Wir betrachten als Beispiel eine Auslenkung ξ um x in x-richtung mit einer Ausbreitung in z-richtung: ξ = x ˆx (10.35) Die Wellenausbreitung hat dann die folgende Form: ξ(z, t) = {Af(z vt)} ˆx (10.36) ξ(z, t) = Af(z vt) (10.37) Eine harmonische Welle als Spezialfall davon lautet damit: ξ(z, t) = A cos (kz ωt) ˆx (10.38) Üblicherweise gibt es zwei Arten, eine Welle darzustellen: 1. Man betrachtet die Amplitude am festvorgegeben Ort in Funktion der Zeit. Abb zeigt entsprechende Zeitverteilungen für vier Orte im abgestuften Abstand von je λ/4.. Im Gegensatz dazu kann man auch die räumliche Verteilung der Welle zu einem fest vorgegeben Zeitpunkt betrachten. Abb zeigt entsprechende Ortsverteilungen für vier Zeitpunkte im abgestuften Abstand von je T/4.

12 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 kz = 0 ξ(z, t) 1 3π π π π π 3π ωt -1 kz = π/ ξ(z, t) 1 3π π π π π 3π ωt -1 kz = π ξ(z, t) 1 3π π π π π 3π ωt -1 kz = 3π/ ξ(z, t) 1 3π π π π π 3π ωt -1 ξ(z, t) = cos (kz ωt) Abbildung 10.8: 6.1: Zeitabhängigkeit der transversalen Welle für 4 verschiedene Orte im abgestuften Abstand von jeweils z = λ/ Beispiel: Transversale elastische Seilwellen Der Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen und den physikalischen Eigenschaften des Seils kann mit Hilfe der Newtonschen Gesetze hergeleitet werden. Wir unterteilen das Seil in differentielle Massenelemente dm. In diesem Fall kann das Seil als ein Masse-Feder-System (Siehe Kap ) betrachtet werden, wobei die diskrete Reihe von Massen durch eine kontinuierliche Verteilung von Massenelementen ersetzt wird. Wir nehmen an, dass die Massenelemente sich nur in der vertikalen Richtung um ihre Ruhelage bewegen können. Wir betrachten nun ein einzelnes Massenelement dm der Länge dx, dessen Anfangspunkt sich im Punkt x des Seils befindet und dessen Endpunkt sich im

13 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Physik II, Prof. W. Fetscher, FS ωt = 0 ξ(z, t) 1 6π 4π π π 4π 6π kz -1 ωt = π/ ξ(z, t) 1 6π 4π π π 4π 6π kz -1 ωt = π ξ(z, t) 1 6π 4π π π 4π 6π kz -1 ωt = 3π/ ξ(z, t) 1 6π 4π π π 4π 6π kz -1 ξ(z, t) = cos (kz ωt) Abbildung 10.9: 6.1: Ortsabhängigkeit der transversalen Welle für 4 verschiedene Zeitpunkte im abgestuften Abstand von jeweils t = T/4. Punkt x + dx befindet. Die Auslenkung ist durch die Funktion ξ(x) bestimmt. Siehe Abb Die auf das Seil mit Querschnittsfläche A wirkende Kraft F erzeugt eine Zugspannung S = F /A. Die auf das Massenelement wirkende resultierende vertikale Komponente der Zugspannung ist S y = S sin α S sin α, (10.39) α und α sind die Winkel an beiden Enden des Massenelements zur Horizontalen (Die Auswirkung Gravitationskraft wird als vernachlässigbar gegenüber der Zugspannung vorausgesetzt.). Für kleine Auslenkungen gilt die genäherte Gleichung tan α sin α

14 160 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 0081 ξ S dm α α S ξ(x) x ξ(x + dx) x + dx x Abbildung 6.1: Auf das Massenelement dm eines Seiles wirkende Kräfte Abbildung 10.10: Auf das Massenelement dm eines Seiles wirkende Kräfte Es folgt: S y S tan α S tan α, (10.40) Die Steigung des Seils im Punkt x ist gleich der Ableitung der Auslenkung ξ nach x. Da die Funktion ξ von zwei Variablen abhängt, müssen wir die partielle räumliche Ableitung verwenden: tan α = ξ(x, t) x und tan α = ξ(x + dx, t) x (10.41) D.h., die resultierende vertikale Zugspannung kann als Funktion der Ableitung der Auslenkungsfunktion geschrieben werden S y = S tan α S tan α { ξ(x + dx, t) = S x Im Grenzübergang x 0 erhalten wir schliesslich } ξ(x, t) x ds y = S ξ(x, t) x dx (10.4) Die Geschwindigkeit und die Beschleunigung der differentiellen Segmente können mit Hilfe der zeitlichen partiellen Ableitungen gewonnen werden: v y (x, t) = ξ t und Aus dem zweiten Newtonschen Gesetz folgt a y (x, t) = ξ t (10.43) ds y A = dm a y S ξ x dx A }{{} = dm ξ (10.44) t =dv

15 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Nach Division mit dv folgt S ξ x = ξ ρ (10.45) t und nach weiterer Division durch S ξ x = ρ ξ (10.46) S t Diese Gleichung ist die Differentialgleichung der Wellenausbreitung. Wir verwenden das Ergebnis ξ(x, t) t v ξ(x, t) x = 0 (10.47) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Seilwellen ergibt sich damit zu v = S ρ v = ± S ρ, (10.48) wobei S die Zugspannung des Seils oder der Saite, und ρ seine Dichte ist. Wir bemerken, dass die Einheiten der Gleichung gegeben sind durch (N/m ) (kg/m 3 ) = kg/ (m s ) m = (kg/m 3 ) s = m (10.49) s d.h., die Einheit entspricht wirklich einer Geschwindigkeit. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt nur von den Eigenschaften des Seils ab: 1. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit nimmt mit der Zugkraft zu. Je grösser die Zugkraft ist, desto schneller kehren die Massenelemente in ihre Gleichgewichtslage zurück.. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit nimmt mit der sichte ab. Je grösser diese Dichte ist, desto langsamer kehren die Massenelemente in ihre Gleichgewichtslage zurück Longitudinale Wellen Bei longitudinalen Wellen ist die Auslenkung ξ parallel zur Ausbreitungsrichtung (siehe auch Abb. 10.5). bei Ausbreitung in z-richtung ist demnach die Amplitude gegeben durch: ξ(z, t) = Af(z vt) ẑ (10.50)

16 16 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 0081 l df df da df Abbildung 6.1: Lineare Verformung eines Stabes unter Normalbelastung. Abbildung 10.11: Zur Herleitung von Zug- und Schubspannung. Ein typisches Beispiel dafür sind Schallwellen. Durch die Auslenkung der Atome oder Moleküle ergeben sich Dichteschwankungen: ρ(z, t) = ρ 0 {1 + Af(z vt)} (10.51) mit Af(z vt) 1, (10.5) da die Dichte nicht negativ werden kann Beispiel: Longitudinalwellen im Festkörper Übersicht Allgemein ändert ein Körper seine Form, wenn Kräfte an ihm ziehen oder ihn komprimieren. Wenn der Körper seine ursprüngliche Form wieder annimmt, wenn die Kräfte nicht mehr wirken, dann heisst die Deformation elastisch. Die meisten Körper sind nur bis zu einer bestimmten Grenze der Kräfte elastisch, die Elastizitätsgrenze genannt wird. Über diese Grenze ist der Körper plastisch, und seine Gestalt wird irreversibel geändert Verformungen: Elastizität und Plastizität Wir denken uns einen prismatischen Festkörper an einer beliebigen Stelle aufgeschnitten und greifen an der Schnittstelle das Flächenelement da heraus 1. Auf dieses Flächenelement wirkt dann bei Belastung eine Kraft df, die wir in eine Normalkomponente df und eine Tangentialkomponente df zerlegen (Siehe Abb ): Wir definieren nun als Normalspannung σ, bzw. als Schubspannung τ: σ def = df da τ def = df da (10.53) 1 Wir stellen das Flächenelement als Normalenvektor da dar. Dieser ist also senkrecht zur Oberfläche, sein Betrag ist da = da.

17 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS l l σ σ Abbildung 6.1: Lineare Verformung eines Stabes durch die Zugspannung σ. Abbildung 10.1: Lineare Verformung eines Stabes durch die Zugspannung σ. Die gemeinsame Einheit der Normal- und der Zugspannung ist und damit eine Druckeinheit. [σ] = [τ] = N = Pa (10.54) m Je nach Vorzeichen von σ bezeichnet man die Normalspannung auch als Zugoder Druckspannung. Unter der Wirkung dieser Spannungen treten Deformationen des festen Körpers auf, die wir im Folgenden besprechen werden. Wählen wir nun einen Stab der Länge l und üben eine Zugspannung σ aus, so finden wir in der Regel eine Verlängerung von l um die Strecke l (Siehe Abb. 10.1). Für die relative Verlängerung ε l def = l l (10.55) findet man im Experiment (Demonstration) das folgende Verhalten (Siehe Abb ): Falls σ > σ B, wobei σ B die Bruchspannung ist, bricht oder reisst das Material. Bei zähen Materialien verformt sich das Werkstück (dauernd, plastisch), falls σ > σ F, wobei σ F die Fliessspannung ist. reduziert man nach der Verformung die Zugspannung, verhält sich das Material wieder elastisch, wobei die elastische Änderung auf einer zu grösseren Länge hin verschobenen Gerade verläuft. Im elastischen Bereich finden wir meist bei nicht allzu grossen Verformungen einen linearen Zusammenhang zwischen ɛ l und σ (Hookesches Gesetz): ε l = l l = σ E (10.56)

18 164 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 ε l Sprödes Material ε l Zähes Material ε 6 ε 5 ε 4 ε 3 ε ε 1 σ ε ε 1 σ σ 1 σ σ B σ 1 σ Abbildung 10.13: 6.1: Plastische und elastische Verformung unter dem Einfluss einer Zugspannung σ. Sprödes Material bricht bei der Bruchspannung σ b. Die Proportionalitätskonstante E wird als Elastizitätsmodul bezeichnet. Im SI-System haben σ, τ, σ B, σ F, E alle die Dimension eines Druckes und damit die Einheit N/m bzw. Pa; häufig wird in der Festigkeitslehre aber auch noch mit dem technischen Masssystem gerechnet (Spannungen etc. in kp/m oder kp/cm, oder noch schlimmer, einfach in kg). Typische Werte für diese Grössen sind in der nachstehenden Tabelle angeben: Material ρ σ B, σ F E c kg/m 3 MN/m GN/m m/s Aluminium Weicheisen Stahl Messing (70/30) Fichtenholz Quarz Granit Tabelle 10.: Mechanische Eigenschaften verschiedener Stoffe (typische Werte): Dichte ρ, Bruchspannung σ B, Fliessspannung σ F, Elastizitätsmodul E und Schallgeschwindigkeit c. Als Folge der Elastizitätseigenschaft von Festkörpern breiten sich Deformationswellen aus. D.h., die Deformation des Festkörpers breitet sich aus. Falls die Deformation elastisch ist, findet der Festkörper seine Gestalt wieder. Im Festkörper existieren verschiedene Arten von Wellen: Der longitudinale Elastizitätsmodul beträgt etwa E L = GN/m, der radiale E R = 0, 4 0, 9 GN/m und der tangentiale E T = 0, 4 0, 6 GN/m.

19 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS z dz σ σ + dσ ξ ξ + dξ Abbildung 6.1: Zur Herleitung der Wellengleichung in einem Stab. Abbildung 10.14: Zur Herleitung der Wellengleichung in einem Stab. 1. Longitudinale Wellen können sich in allen Medien ausbreiten, die Volumenelastizität besitzen, wie z.b. in Festkörpern, aber auch in flüssigen und gasförmigen Stoffen. Es wirkt eine der Volumenänderung entgegen gerichtete Rückstellkraft.. Transversale Wellen sind etwas komplizierter, da bei ihnen Schubkräfte an den Massenelementen des Körpers angreifen müssen, um sie wieder in ihre Ausgangslage zurückzutreiben. Derartige Wellen breiten sich nur in festen Körpern aus. In Seilwellen hing die Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Spannung und von der inversen Längendichte des Seils ab. Die Längendichte spielte die Rolle der trägen Masse, die die Ausbreitung der Welle verlangsamt. Im Fall des Festkörpers spielt die Dichte (oder Volumendichte = Masse/Volumen) diese Rolle Longitudinale elastische Welle im Festkörper Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der longitudinalen elastischen Wellen in einem Festkörper folgt aus dem Hookeschen Gesetz (Gl ). Wir betrachten dazu einen Ausschnitt aus einem Stab am Ort z und am Ort z+ dz (siehe Abb ). Die Verformung am Ort z sei ξ. Dann ist die Verformung am Ort z + dz gleich: ξ + dξ = ξ + ξ dz (10.57) z Durch die Schwingung ändert sich die Dicke dz des Volumenelementes dv = A dz um die Differenz der beiden Auslenkungen: ( ξ + ξ ) z dz Diese Ausdehnung bewirkt die rücktreibende Kraft ξ = ξ dz (10.58) z F = σa (10.59)

20 166 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 Die dabei auftretende Zugspannung σ ist nach dem Hookeschen Gestz gleich: σ = E ξ z (10.60) Am rechten Ende des Volumenelementes bei z + dz ist die Zugspannung gleich Damit wirkt die resultierende Kraft σ + dσ = σ + σ z dz = σ + ξ dz (10.61) z df = A {(σ + dσ) σ} = A dσ (10.6) = A σ z dz = AE ξ dz (10.63) z auf das Volumenelement. Durch diese Kraft wird das Massenelement dm = ρdv beschleunigt: df = dm ξ t = ξ ρa dz (10.64) t Der Vergleich von Gl. (10.63) mit Gl. (10.64) ergibt wieder die Wellengleichung; ξ t = E ξ (10.65) ρ z Damit folgt für die Schallgeschwindigkeit im Festkörper: v = E ρ (10.66) Einige repräsentative Materialeigenschaften in verschiedenen Festkörpern sind in Tabelle 10. zusammengefasst Räumliche Verteilung von Wellen Ebene Wellen Ein wichtiger Spezialfall der räumlich ausgedehnten Wellen ist die ebene Welle. Sie entsteht zum Beispiel durch einen Erreger, dessen Länge gross im Vergleich zur Wellenlänge ist, oder durch eine punktförmige Quelle, welche sich in grossem Abstand im Vergleich zur Wellenlänge befindet. Bei einer ebenen Welle ist die Phase an jedem Ort senkrecht zur Ausbreitungsrichtung identisch: ξ(x, y, z, t) = Af(kz ωt) (10.67) Abb zeigt einen Ausschnitt aus einer ebenen Schallwelle.

21 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS λ Abbildung 6.1: Longitudinale ebene Welle Abbildung 10.15: Longitudinale ebene Welle Polarisation Die Amplitude transversaler Wellen hat Freiheitsgrade senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Wenn demnach die Welle in z-richtung läuft, ist die Amplitude ein -komponentiger Vektor in der xy-ebene: A = ( Ax A y ) ξ(t) = ( Ax A y ) e i(kz ωt) (10.68) Falls die Welle stets in einer Ebene schwingt, nennt man sie linear polarisiert (siehe PhysikAbbn. II, Prof W. und Fetscher, 10.17) FS Vertikale Polarisation Horizontale Polarisation Kombination ξ ξ ξ y ξ ξ x Abbildung 6.1: Lineare Polarisation. Abbildung 10.16: Lineare Polarisation.

22 168 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS ξ(t) x z k y Vertikal polarisierte Welle v x z k ξ(t) y Horizontal polarisierte Welle v Abbildung 6.1: Horizontal bzw. vertikal polarisierte Welle. Abbildung 10.17: Horizontal bzw. vertikal polarisierte Welle. Durch Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen mit Phasendifferenz δ erhält man elliptisch polarisierte Wellen (siehe Abb ), bei denen sich die Auslenkung auf einer Ellipse bewegt. Für eine Phasendifferenz von π/ erhält man als Sonderfall davon eine zirkular polarisierte Welle. Je nach Drehrichtung erhält man eine linkszirkulare oder eine rechtszirkulare Welle (relativ zur Ausbreitungsrichtung) Ausbreitung in beliebige Richtung Es sei k der Wellenzahlvektor einer ebenen Welle in Richtung der Wellenausbreitung: k x k = k y k z (10.69) Die zu k senkrechte Ebene ist gleich: k r = konst. (10.70)

23 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Linkszirkular Rechtszirkular Elliptisch ξ ξ ξ Abbildung 6.1: Zirkulare und elliptische Polarisation. Abbildung 10.18: Zirkulare und elliptische Polarisation. Damit lautet die Amplitude am Ort r: ξ(r, t) = Ae i(k r ωt) (10.71) Wellengleichung in drei Dimensionen Die Verallgemeinerung der Wellengleichung (10.3) auf drei Raumdimensionen erhalten wir durch Hinzufügen der zusätzlichen zweiten partiellen Ableitungen nach den beiden anderen Ortskoordinaten: 1 ξ v t ξ x ξ y ξ z = 0 (10.7) Die räumlichen Ableitung kann man mithilfe des Laplaceoperators zusammenfassen: ( ) x := = x, y, z y = x + y + (10.73) z z Damit ergibt sich für die Wellengleichung die folgende kompakte Form: 1 ξ v t ξ = 0 (10.74) Wir wollen nun beweisen, dass die ebene Welle (Gl. 10.6) eine Lösung der Wellengleichung ist.

24 170 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Räumliche Ableitung: Es ist Damit folgt x ei(k r ωt) = ik x e i(k r ωt) (10.75) { ξ(r, t) = A x e i(k r ωt) x (10.76) = A ( ik x ) e i(k r ωt) = kxae i(k r ωt) (10.77) ξ(r, t) = k ξ(r, t) (10.78). Zeitliche Ableitung Es ist Damit folgt t ei(k r ωt) = iωe i(k r ωt) (10.79) t ξ(r, t) = ω ξ(r, t) (10.80) 1 } ξ { v t ξ = ω v + k ξ := 0 (10.81) Man erhält eine Lösung der Wellengleichung unter der folgenden Bedingung: v = ω k (10.8) Kugelwellen Eine punktförmige Quelle im Raum emittiert Kugelwellen. Dies bedeutet, dass Flächen konstanter Phase Kugelflächen im Raum bilden (siehe Abb ). Zur Herleitung der Lösung der Wellengleichung verwenden wir Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ). Der Laplaceoperator in Kugelkoordinaten lautet: = r + ( r r + 1 sin ϑ ) 1 + (10.83) r sin ϑ ϑ ϑ r sin ϑ ϕ Der Wellenzahlvektor k steht für alle Richtungen r senkrecht auf der Kugeloberfläche. k r = k r = kr (10.84) Ansatz: Aus Symmetriegründen kann die Wellenfunktion nur vom Abstand r abhängen. Deshalb vereinfacht sich die Wellengleichung zu ( 1 ξ(r, t) = v t r + ) ξ(r, t) (10.85) r r

25 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS λ Abbildung Abbildung 10.19: Longitudinale 6.1: Kugelwellen. Kugelwellen. Die allgemeine Lösung ist von der Form ξ(r, t) = A 1 r f 1(kr ωt) + A r f (kr + ωt) (10.86) Der erste Term stellt eine auslaufende, der zweite eine einlaufende Kugelwelle dar. Die Vektoren A 1 und A sind konstant. Wie man am Faktor 1/r erkennen kann, nimmt die Amplitude der Kugelwelle, im Gegensatz zur ebenen Welle, mit zunehmendem Abstand von der Quelle ab. Die Bedeutung dieses Faktors wird im nächsten Abschnitt klarer Energietransport Wir betrachten als Beispiel die Energiebilanz für eine longitudinale Welle in einem Stab. Die Geschwindigkeit eines Massenstücks dm am Ort x ist gleich v = ξ(x, t) t (10.87) Die kinetische Energie dt des Massenstücks ist damit dt = 1 ( ) ξ dm (10.88) t = 1 ( ) ξ ρ dv (10.89) t

26 17 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 Die kinetische Energiedichte dt/dv ist dann Die elastische Energie ist gleich E el = l 0 = A dt dv = 1 ( ) ξ ρ (10.90) t F ( l ) d( l ) = A l 0 ) (E l l = 1 (Al)E ( l l l 0 d( l ) = 1 l AE l σ( l ) d( l ) (10.91) (10.9) ) (10.93) Die Verformung am Ort x ist nach dem Hookeschen Gesetz gleich der relativen Längenänderung l/l: ξ(x, t) = l (10.94) x l Die elastische Energiedichte ist damit de el dv = 1 E ( ) ξ (10.95) x Nun ist die allgemeine Lösung der Wellengleichung von der Form ξ(x, t) = f(u) mit u = x vt (10.96) ξ t = f(u) t ξ x = f(u) x dt dv = 1 ρv f = f }{{} u =f u t = vf (10.97) = f u u x = f (10.98) (10.99) Nach Gl. (10.66) ist v = E ρ de el dv = 1 Ef Die Gesamtenergiedichte dw/dv ist damit dt dv = 1Ef = de el dv (10.100) (10.101) dw dv = dt dv + de el dv = ρv f (10.10)

27 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Man beachte: Diese Gleichung gilt für mechanische Wellen! Bei Superposition von Wellen darf man die Energie nicht einfach aufsummieren! Entsprechend erhält man für transversale Seilwellen mit der Zugspannung S = F/A und v = S/ρ: dt dv = 1 ρv f (10.103) de el dv = 1 Sf (10.104) Intensität Wir betrachten die Ausbreitung einer harmonischen Welle im elastischen Medium: ξ(x, t) = A cos (kx ωt) (10.105) }{{} =k u mit der Phasengeschwindigkeit v = ω/k. Die Energiedichte beträgt Man beachte: dw dv = ρv A k sin (kx ωt) (10.106) = ρω A sin (kx ωt) (10.107) sin (kx ωt) ist eine Funktion vom Typ f(x vt) und damit ebenfalls eine Lösung der Wellengleichung! sin (kx ωt) 0 (x, t) Die Energie pflanzt sich demnach mit der Phasengeschwindigkeit v = ω/k fort! Die mittlere Energiedichte während einer Periode T beträgt: dw dv = 1 T T 0 dw dv (x, t) dt = 1 ρω A (10.108) Sie wächst also quadratisch mit der Frequenz und ebenfalls quadratisch mit der Amplitude! Definition: Die Energieflussdichte S einer Welle bezeichnet die durch eine Fläche da in der Zeit dt hindurchtretende Energie d W : S = d W da dt da da, [S] = J m s = W (10.109) m

28 174 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 Den Betrag der Energieflussdichte bezeichnet man als Intensität I der Welle: I := S (10.110) Die durch eine endlich grosse Fläche in der Zeit dt hindurchtretende Energie bezeichnet man als Energiestrom und damit als eine spezielle Form der Leistung. dw dt = Ẇ = A S da, [Ẇ ] = J/s = W (10.111) Bei einer elastischen Welle im Stab können wir die in Frage kommende Fläche als stets senkrecht zur Ausbreitungsrichtung annehmen, so dass der Flächenvektor parallel zur Wellengeschwindigkeit verläuft. damit ist die Intensität gegeben durch. I = d W da dt = d W dw dx = (da dx) dt dv dx dt = dw dv v (10.11) Die mittlere Intensität der harmonischen Welle ist also gleich I = 1 ρω A v = 1 ρω3 k A (10.113) Bei einer Kugelwelle hatten wir gesehen, dass die Amplitude umgekehrt proportional zur Entfernung r von der Quelle ist A = B r (10.114) Wir berechnen nun den mittleren Energiestrom der durch die gesamte Kugeloberfläche im Abstand r hindurchtretenden Welle. Ẇ = 1 ρω ( B r ) 4πr = πρω B (10.115) Die Leistung hängt also nicht vom Abstand ab! Damit ist die Erhaltung der Energie gewährleistet! 10.3 Prinzip der Superposition Einleitung Abb zeigt zwei Wellenberge, die sich in entgegensetzten Richtungen bewegen. Experimentell wird beobachtet:

29 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS a) v v b) v v c) v v d) v v Abbildung 10.0: 6.1: Zwei Zwei Wellen Wellen begegnen sich. sich. In c) Inist c) die ist die resultierende Amplitude Amplitude gleich gleich der Summe der Summe der Amplituden der Amplituden der beiden der beiden einlaufenden einlaufenden Wellen. Wellen. Wenn sich die beiden Wellenberge treffen, ist die gesamte Auslenkung des Seils gleich der Summe der Auslenkungen der einzelnen Wellenberge. Nachher trennen sich die Wellenberge wieder und laufen weiter, ohne dass sich ihre Form geändert hat. Diese fundamentale Eigenschaft von Wellen wird als Prinzip der Superposition bezeichnet. Wenn die die Wellen entgegengesetzte Amplituden haben, löschen sie einander aus. Mathematisch wird diese Eigenschaft einfach ausgedrückt. Ist ξ 1 (x vt) die Wellenfunktion der sich in positiver x-richtung bewegenden Welle und ξ (x + vt) der sich in negativer x-richtung bewegenden Welle, so ist die Gesamtwellenfunktion die Summe der Einzelwellenfunktionen: ξ(x, t) = ξ 1 (x vt) + ξ (x + vt) (10.116) Dabei können sich die Wellen verstärken oder auch auslöschen (siehe Abb. 10.1).

30 176 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 0081 a) v v b) v v c) v v d) v v Abbildung 10.1: 6.1: Prinzipder der Superposition. Die resultierende Welle ergibt sich durch Addition beider Wellen. Ganz allgemein gilt: Es seien ξ 1 (x, t) und ξ (x, t) Lösungen der Wellengleichung. Dann ist auch ξ(x, t) = ξ 1 (x, t) + ξ (x, t) (10.117) eine Lösung! Dies folgt aus der Linearität der Wellengleichung! Anwendung: Superposition harmonischer Wellen Die durch Superposition harmonischer Wellen resultierende Welle hängt von den Phasen der ursprünglichen Wellen ab. Wir betrachten z.b. zwei harmonische Wellen, die von zwei gleichen Quellen Q 1 und Q 1 mit derselben Amplitude A, derselben Kreisfrequenz ω und einem vorgegebenen Phasenunterschied δ

31 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS x 1 x 1 Q 1 v P v x x Q Abbildung 6.1: Gangunterschied. Abbildung 10.: Gangunterschied. herrühren. Die zwei Wellen treffen sich in einem Punkt P, der sich im Abstand x 1 von Q 1 und x von Q befindet (siehe Abb. 10.). Wir betrachten einen bestimmten Zeitpunkt. Wegen des Prinzips der Superposition ist die resultierende Welle im Punkt P gleich der Summe der zwei einlaufenden Wellen: ξ(x, t) = ξ 1 (x, t) + ξ (x, t) (10.118) = A sin (kx 1 ωt) + A sin (kx ωt + δ) (10.119) wobei δ der Phasenunterschied der Quellen ist. Weil die Wellen verschiedene Wege zurückgelegt haben, erreichen sie den Punkt P mit unterschiedlichen Phasen. Die Wegdifferenz wird als der Gangunterschied x bezeichnet und führt zu der zusätzlichen Phasendifferenz k x: x = x x 1 (10.10) ξ = A sin (kx 1 ωt) + A sin {k (x 1 + x) ωt + δ} (10.11) Aus der Gleichung folgt sin α + sin β = sin { 1 (α + β)} cos { 1 (α β)} (10.1) ξ = A sin { kx 1 ωt + 1 (δ + k x)} cos { 1 (δ + k x)} (10.13) Die resultierende Welle ist demnach eine harmonische Welle mit derselben Frequenz und derselben Wellenzahl wie die einlaufenden Wellen. Die Phase unterscheidet sich von beiden ursprünglichen Wellen: ξ = A cos { 1 (δ + k x)} sin { kx 1 ωt + 1 (δ + k x)} }{{}}{{} Amplitude harmonischewelle (10.14)

32 178 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 Wir bemerken, dass die Amplitude der resultierenden Welle A := A cos { 1 (δ + k x)} (10.15) nicht von der Zeit abhängt! Das bedeutet, dass man den Gangunterschied derart wählen kann, dass die resultierende Phasendifferenz ein ganzzahliges Vielfaches von π ist: 1 (δ + k x) = nπ, n = 0, 1,,... (10.16) In diesem Fall haben beide Wellen beim Aufeinandertreffen am Punkt P dieselbe Phase, man sagt dazu, sie seien in Phase und spricht von konstruktiver Interferenz. Die resultierende Welle besitzt die doppelte Amplitude der Einzelwellen.. Für 1 (δ + k x) = ( n + 1 ) π n = 0, 1,,... (10.17) sind die beiden Wellen in Gegenphase und addieren sich zu null, weil sie gleich grosse, aber entgegengesetzte Amplituden besitzen. Man spricht von destruktiver Interferenz, und die resultierende Welle verschwindet für alle Zeiten. Für die über eine Periode gemittelte Intensität der resultierenden Welle gilt I 1 (A) cos { 1 (δ + k x) } (10.18) Kohärenz Wir haben im vorhergehenden Abschnitt gesehen, dass Wellen derselben Frequenz interferieren und sich dabei vollständig auslöschen oder auch verstärken können. Eine notwendige Bedingung dafür ist die Zeitunabhängigkeit der resultierenden Phase. Eine Interferenz findet statt bei 1. Quellen mit konstantem Phasenunterschied, oder. Wellen derselben Quelle, aber mit unterschiedlich langen Laufwegen vor der Überlagerung. Abb zeigt eine Anordnung bei der mithilfe zweier halbdurchlässiger Spiegel das Licht einer Lichtquelle aufgeteilt und wieder vereint wird. Durch die unterschiedliche Laufweite der beiden Wellen tritt Interferenz ein. Falls die Phase δ nicht zeitabhängig ist, sind die Wellen kohärent! Die Kohärenz ist eine notwendige Voraussetzung für Interferenzphänomene.

33 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Sp Sp Q P HS HS Abbildung 6.1: 10.3: Aufteilung der der von von einer einer Quelle Quelle Q erzeugten Q erzeugten Welle Welle durch durch halb- halbdurchlässige Spiegel Spiegel HS HS und und anschliessende Interferenz Interferenz im Punkt im Punkt P. Sp P. sind Sp sind nichtdurchlässige Spiegel. Spiegel. Bei zeitabhängiger Phase tritt keine Interferenz auf. Klassische Lichtquellen wie z.b. Glühlampen oder Fluoreszenzröhren senden unkohärentes Licht aus, da verschiedene Atome rein zufällig und unkorreliert Licht aussenden. Man beachte: Interferenz mit Wellen derselben Quelle ist nur möglich, wenn die Kohärenzlänge grösser als die Differenz der Laufwege ist. Jede Welle ist nämlich räumlich begrenzt, da die erzeugende Schwingung stets einen Anfang t 1 und ein Ende t hat. Die Kohärenzlänge ergibt sich dann als v (t t 1 ) Zwei entgegengesetzt laufende Wellen Als nächstes untersuchen wir die Interferenz zweier entgegenlaufender kohärenter Wellen. Die entgegenlaufende Welle kann man beispielsweise durch Reflexion an einem Spiegel erzeugen. ξ 1 (t) = A cos (kx ωt) (10.19) ξ (t) = A cos ( kx ωt + δ R ) (10.130) Die Superposition ξ := ξ 1 + ξ dieser beiden Wellen ergibt ( ξ = A cos kx δ ) ( R cos ωt δ ) R (10.131) Dies ist kein laufende Welle mehr, da sie nicht vom Typ f(x vt) ist! Die mittlere Intensität beträgt I 1 ( (A) cos kx δ ) R (10.13)

34 180 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 r = 3λ λ λ 0 λ λ 3λ λ Q 1 Q Abbildung 6.1: Interferenz zweier Kugelwellen mit fester Phasenbeziehung. Abbildung 10.4: Interferenz zweier Kreiswellen mit fester Phasenbeziehung. Für δ R = 0 gibt es Maxima der Intensität bei kx = nπ, n = 0, 1,,... (10.133) und Minima bei kx = (n + 1) π, n = 0, 1,,... (10.134) Zwei in verschiedene Richtungen laufende Wellen Es seien ξ 1, ξ zwei von den Quellen Q 1 bzw. Q ausgehende harmonische Kreiswellen mit zwei fest korrelierten Phasen δ 1 und δ. Für die folgende Rechnung werden wir der Einfachheit halber δ 1 = δ = 0 annehmen (siehe Abb. 10.4). Im Gegensatz zur Kugelwelle nimmt die Amplitude einer Kreiswelle nur mit 1/ r ab. Dies garantiert wiederum die Erhaltung der Energie. Die Koordinaten der beiden Quellen seien r 1 = ( a 0 Somit gilt für die beiden Wellen: ξ 1 (r, t) = ξ (r, t) = ) und r = ( +a 0 ) (10.135) A r r1 cos (k r r 1 ωt) (10.136) A r r cos (k r r ωt) (10.137)

35 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Interferenzmaxima ergeben sich, falls r r 1 r r = nλ, n = 0, 1,,... (10.138) Exakt ist diese Beziehung nur dann richtig, falls die Amplituden konstant sind. Da sie aber mit der Entfernung abnehmen, können kleine Korrekturen auftreten, die wir hier aber nicht berücksichtigen werden. Wir wollen nun die Kurven bestimmen, auf denen die Interferenzmaxima zu finden sind. Das Einsetzen der Ortsvektoren r 1 und r in Gl ergibt (x + a) + y (x a) + y = nλ (10.139) (x + a) + y = nλ + (x a) + y (x + a) + y = n λ + nλ (x a) + y + (x a) + y nλ (x a) + y = 4ax n λ (10.140) Nach nochmaligem Quadrieren und Umformen erhält man schliesslich das folgende Ergebnis: y = (4a n λ ) x (4a n λ ) n λ 4 (10.141) Dies ist die Gleichung einer Hyperbelschar mit n als Parameter (siehe Abb. 10.4) Reflexion und Transmission Bevor wir uns näher mit stehenden Wellen befassen werden, wollen wir noch untersuchen, was beim Auftreffen einer Welle auf eine Grenzfläche geschieht, die zwei verschiedene Medien voneinander trennt. Eine Welle laufe in einem Medium 1 mit Kreisfrequenz ω und Wellenzahl k 1 nach rechts. An der Grenzfläche (x = 0) treffe sie auf ein. Medium mit anderen Materialkonstanten. Im allgemeinen wird dann ein Teil der Welle im anderen Medium weiterlaufen (Transmission) und ein anderer Teil wird reflektiert und nach links zurück laufen (Reflexion) (siehe Abb. 10.5). Die Kreisfrequenz, als Taktgeberin der Welle, wird sich dabei nicht ändern; sie ist also identisch für auftreffende, transmittierte und reflektierte Welle. Was sich aber im allgemeinen ändern wird, sind die Wellengeschwindigkeit v und damit auch die Wellenzahl k bzw. die Wellenlänge λ. Bei der Seilwelle zum Beispiel ist v = S/ρ, so dass sowohl eine andere Dichte als auch eine andere Seilspannung die Geschwindigkeit ändern. Bei der Schallwelle im Festkörper ist v = E/ρ. In diesem Fall bewirken ein anderer Elastizitätsmodul oder eine andere Dichte eine veränderte Geschwindigkeit.

36 18 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 Es gibt demnach drei verschiedene Wellenfunktionen: ξ A = Ae i(+k 1x ωt) ξ R = Re i( k 1x ωt+δ R ) ξ T = T e i(+k x ωt+δ T ) A > 0 Auftreffend (10.14) R 0 Reflektiert (10.143) T 0 Transmittiert (10.144) Die Phase der auftreffenden Welle haben wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit gleich null gesetzt. Es Physik müssen II, Prof. die folgenden W. Fetscher, beiden FS Randbedingungen 008 erfüllt sein: 1 1 Auftreffende Welle v 1 A ξ A (x, t) x/λ 1 A Reflektierte Welle v 1 A ξ R (x, t) x/λ 1 A Transmittierte Welle A ξ T (x, t) v x/λ 1 A Abbildung 10.5: Transmission und Reflexion an der Grenzfläche zweier Medien 1Abbildung und mit6.1: α = Transmission. und Reflexion an der Grenzfläche zweier Medien 1 und mit α =.

37 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Stetigkeit der Amplitude: lim (ξ A + ξ R ) = lim ξ T (10.145) x 0 x 0 +. Beispiel Seilwelle: Die vertikalen Kräfte links sind gleich den vertikalen Kräften rechts. ξ A S 1 ξ R x + S 1 ξ T x=0 x = S x=0 x (10.146) x=0 Aus Gl. (10.145) folgt: A + Re iδ R = T e iδ T (10.147) Das sind zwei Gleichungen, eine für den Real- und eine für den Imaginärteil. Die Gleichung für den Imaginärteil ergibt: da A reell ist. Aus Gl. (10.146) folgt: T sin δ T = R sin δ R, (10.148) AS 1 k 1 = T S k e iδ T + RS 1 k 1 e iδ R (10.149) 0 = T S k sin δ T + RS 1 k 1 sin δ R (10.150) 0 = T S k sin δ T + T S 1 k 1 sin δ T (10.151) Wir formen zunächst das Produkt (S j k j ), j = 1, um: Mit der Definition k j = ω v j = ω ρj S j (10.15) k j S j = ω S j ρ j (10.153) α := k S S ρ = (10.154) k 1 S 1 S 1 ρ 1 liefert Gl. (10.145) schliesslich die folgende Bedingung: Da α + 1 > 1, kann diese Gleichung nur für T sin δ T (α + 1) = 0 (10.155) sin δ T = 0 (10.156) erfüllt werden. Als mögliche Lösungen kommen zunächst δ T = 0 oder δ T = π in Frage. Die. Lösung erfüllt aber nicht die Bedingung, dass lim ξ A := ξ T (10.157) v 1 v

38 184 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 gelten muss, sondern liefert vielmehr Aus δ T = 0 folgt wiederum lim ξ A = ξ T (10.158) v 1 v sin δ R = 0 (10.159) Für die reflektierte Welle keine weitere Bedingung, so dass sowohl δ R = 0 als auch δ R = π mögliche Lösungen sind. Wir setzen diese erhaltenen Phasen in die beiden Randbedingungen ein und erhalten aus Gl. (10.147) A = T R (10.160) und aus Gl. (10.149) A = αt ± R (10.161) Mithilfe dieser beiden Gleichungen können wir die Amplitude sowohl für die Transmission als auch für die Reflexion berechnen: R = ± 1 α A A und T = 1 + α 1 + α (10.16) Spezialfälle: 1. α = 1 Da hierfür S 1 ρ 1 = S ρ erforderlich ist, kann man auch mit unterschiedlichen Materalien diese Bedingung erfüllen! R = 0 und T = A (10.163). α > 1 Da R R und R 0, gilt in diesem Fall das negative Vorzeichen und deshalb auch δ R = π R = α 1 A A und T = α + 1 α + 1 (10.164) Das feste Ende am Seil entspricht lim R(α) = A T 0 (10.165) α Bei diesem Grenzübergang wird die Welle vollständig reflektiert, und es findet ein Phasensprung um 180 statt (siehe Abb. 10.6)!

39 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Physik II, Prof. W. Fetscher, FS ξ(x, t) v t = 0 x ξ(x, t) t = t x v Abbildung 10.6: 6.1: Reflexion eines Wellenbergs am festen Ende. Physik II, Prof. W. Fetscher, FS ξ(x, t) v t = 0 x ξ(x, t) v t = t x Abbildung 10.7: 6.1: Reflexion eines Wellenbergs am losen Ende.

40 186 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS α < 1. Da R R und R 0, gilt in diesem Fall das positive Vorzeichen und deshalb auch δ R = 0 R = 1 α A Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 A und T = (10.166) α 1 + α Das lose Ende am Seil entspricht lim R(α) = A (10.167) α 0 Der Grenzfall α = 0 lääst sich nur realisieren, indem man das Medium 1 an Vakuum angrenzen lässt. Dann ist es aber nicht mehr sinnvoll, von einer Transmission (T = A) zu reden, da keine mechanische Welle ins Vakuum übertreten kann. Beim Grenzübergang wird die Welle ebenfalls vollständig reflektiert, aber es findet kein Phasensprung statt (siehe Abb. 10.7)! Die Amplituden für Transmission und Reflexion sind als Funktion des Parameters α in Abb aufgetragen. f(α) T (α) A = 1 + α 1 R(α) A = 1 α 1 + α α Abbildung 6.1: 10.8: Auf Auf die die auftreffende Amplitude Amplitude A normierte A normierte Amplituden Amplituden R(α) für R(α) Reflexion für Reflexion und T (α) undfür T (α) Transmission für Transmission als Funktion als Funktion des Parameters des Parameters α. α Stehende Wellen Amplitude der stehenden Wellen Mit der mathematischen Erfassung der Reflexion und Transmission im vorhergehenden Abschnitt sind wir jetzt in der Lage, die bereits im Abschnitt

41 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS ξ(x, t) A -1 4λ 3λ λ λ 0 x Abbildung 10.9: 6.1: Stehende Welle bei Reflexion am harten Medium (α (α 1). gefunden Lösung für die Superposition zweier entgegengesetzt laufenden Wellen zu behandeln. Wir hatten dort das folgende Ergebnis erhalten: ( ξ = A cos kx δ ) ( R cos ωt δ ) R (10.168) mit der bei der Reflexion entstehenden Phase δ R. Diese Welle ist, wie bereits erwähnt, keine laufende Welle mehr. Man bezeichnet sie vielmehr als stehende Welle. Sie ist dadurch gekennzeichnet, dass Knoten und Bäuche auftreten. Knoten entsprechen den Nullstellen der ortsabhängigen Funktion, so dass dort die Auslenkung stets null ist. Bäuche entsprechen dagegen den Extrema, also sowohl den Maxima als auch den Minima der ortsabhängigen Funktion. Die stehende Welle schwingt dort ortsfest mit der maximal möglichen Auslenkung. Wir unterscheiden nun nach der Art der Reflexion: 1. Reflexion am harten Medium (α 1 und δ R = π) Die Amplitude ist in diesem Fall ξ = A sin kx sin ωt (10.169) und garantiert einen Knoten an der Grenzfläche (x = 0) (siehe Abb. 10.9).. Reflexion am weichen Medium (α = 0 und δ R = 0) Hier ist die Amplitude gleich ξ = A cos kx cos ωt (10.170) und ergibt einen Bauch für x = 0 (siehe Abb ).

42 188 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 008 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS ξ(x, t) A -1 4λ 3λ λ λ 0 x Abbildung 10.30: 6.1: Stehende Welle bei Reflexion am weichen Medium (α (α = 0) Energieverteilung der stehenden Wellen Da die Auslenkung in einem Knoten stets verschwindet, wird keine Energie hindurch transportiert. Die Energie wird also nur während des Aufbaus der stehenden Welle transportiert, anschliessend verschwindet der Energiestrom, und die Energie oszilliert nur noch lokal zwischen kinetischer und elastischer Energiedichte: ( dt ξ dv = 1ρ t dw el dv = 1 E ( ξ x ) = ρa ω sin kx cos ωt (10.171) ) = EA k cos kx sin ωt (10.17) = ρa ω cos kx sin ωt, (10.173) da k = ω /v und v = E/ρ. Wir haben hier als Beispiel die Reflexion am harten Medium gewählt. Für ωt = nπ, n = 0, 1,,... (10.174) ist die elastische Energie null, und die gesamte Energie ist kinetisch! Umgekehrt ist für ωt = (n + 1) π, n = 0, 1,,... (10.175) die kinetische Energie null und die gesamte Energie elastisch. Dies erinnert an das Verhalten des Pendels, bei dem ebenfalls die Energie vollständig zwischen kinetischer und potentieller Form oszilliert. Die kinetische Energie ist um die Wellenbäuche konzentriert, da dort die Schwingungsamplitude am grössten ist, und die elastische Energie um die Knoten, da dort die Zugspannung maximal ist (siehe Abb ).