Zur Datenqualität primärstatistischer Erhebungen

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1 Zur Daenqualä prmärsasscer Erebungen Henrc Srecker Emer. o. Professor Dr. rer. na. Henrc Srecker, Unversä Tübngen und Honorarprofessor der Ludwg-Maxmlans-Unversä Müncen, Rosensr., D 839 Sarnberg be Müncen. Allgemene Enfürung und Begrffe De nacfolgenden Ausfürungen snd ene Forsezung und Ergänzung früerer Abandlungen (see Leraurverzecns). Angereg durc enen Sudenaufenal m US-Bureau of e Census, Wasngon, D.C., abe c mc n den lezen Jarzenen m der Meodk sasscer Erebungen und deren Daenqualä befass. Dese Fragen aben mc beres wärend mener Tägke m eemalgen Bayerscen Sasscen Landesam bescäfg. Vele neue Erkennnsse abe c späer wärend mener Beraer-Tägke n Belgen (Insu naonal de sasque) gewonnen und dese dor auc praksc angewand. Im Zealer von zunemender Compuerserung und Vernezung von Daen nmm der Anel prmärsasscer Erebungen am Gesamprogramm eer ab. Dennoc muß de Qualä rer Ergebnsse nac we vor berückscg werden. Es s ser scwerg wegen der unerscedlcen Sandards sasscer Dense, enelce Rclnen für en Qualäskrerum auf nernaonaler Ebene zu verenbaren. Desalb aben n den lezen Jaren nernaonale Insuonen we Eurosa und Inernaonaler Wärungsfond sowe naonale sassce Ämer, z.b. Sascs Canada, Sascs Sweden, Sascs UK und andere, große Ansrengungen unernommen, um enelce Kreren zur Verbesserung der Daenqualä aufzusellen und zu errecen (P. Bemer/L.Lyberg 3). Dazu geören Wcgke (relevance), Genaugke (accuracy), Verglecbarke (comparably), Koärenz (coerence), Akualä und Pünklcke (melness and puncualy). Zel war und s, de nernaonale Verglecbarke von Volkswrscafen und Wrscafsräumen zu ermöglcen. Was de Genaugke berff, so erkanne man n den 5er Jaren, dass es nc ausrec, allen auf de Effzenz der Scäzverfaren be Scproben zu acen, sondern dass auc der c-scprobenfeler sowe de Varablä der Anworen von Befragen berückscg werden müssen. In den 6er Jaren wurden desalb ensprecende Modelle m (Wederolungs-)- Zälungen von den US-Saskern, nsbesondere M. Hansen, W. Hurwz, M.

2 Bersad, L. Przker, W.G. Cocran und B. Balar, enwckel, de jedoc auf dem Gebe der Erebungssask n Deuscland noc weng beace worden snd. De Durcfürung ener Erebung bedarf ener umfassenden Vorbereung. Es wrd zunäcs von ener Zelgröße Z ausgegangen, für de Ergebnsse vom Konsumenen der Erebung gewünsc werden. Z s nc mmer endeug, sondern zwangsläufg äufg nur annäernd zu defneren. Man kann n ener Zälung auc nc für alle Merkmale der Gesame Ergebnsse ermeln. Das wäre m enem zu großen Arbesaufwand verbunden und scerlc wären enge Daen für den Konsumenen der Sask von gerngem Ineresse. Es muss ene erse Auswal der Merkmale und dam ene Smplfzerung vorgenommen werden. Weern s de Dauer der Erfassung und Aufbereung feszulegen sowe auf de Probleme be der Feldarbe enzugeen. Kosenresrkonen spelen kene unergeordnee Rolle. Von großer Bedeuung snd vor allem de m der Adäquaon von gewünscen Zelgrößen zu ener operablen Erfassung der Merkmale verbundenen Arbesgänge. Uner der sasscen Adäquaon wrd der Prozess bezecne, n dem dealypsce oder andere eoresce Defnonen n sassc operable Größen zwecks Daenerfassung umgewandel werden. Deser Prozess sowe der geplane zelce Ablauf der Erebung und de Erebungsecnk blden aufenander bezogene Elemene, de m so genannen ARBEITSSYSTEM G (Generalzed condons) fesgeleg werden müssen: a) Zelsezung der Erebung, Kosen- und Zeplan b) Defnonen von sasscen Eneen, Merkmalen und Massen (Gesameen) c) Tabellenprogramm d) Organsaon der Feldarbe e) sofern de Erebung als Scprobe durcgefür wrd: Wal des Scprobenplans, des Auswalramens, Punk- und Inervallscäzung f) Sammeln der Daen, operave und deskrpve Konrollen g) Verarbeung der Daen ) Prüfung der Zuverlässgke der Daen ) Tabellerung j) Veröffenlcung der Ergebnsse oder Weergabe an Benuzer (Aufraggeber) Das Arbessysem kann ser unerscedlc gesale sen, we m Selbsausfüllung der Fragebogen m oder one Enfluss enes Zälers, Befragung durc Inervewer, Telefonnervews usw., Durcfürung als Vollerebung oder als Scprobe. Dese Varanen füren zu verscedenen Ausformungen des Arbessysems G, G', G'' ec. be glecen Zelen der Erebung.

3 De Ergebnsse ener Erebung werden dann als ware Were defner, wenn das fesgelege Arbessysem korrek und sorgfälg realser wurde. De Qualä sasscer Ergebnsse s som abängg von der Durcfürung des Arbessysems. Be den Bemüungen, de waren Were X G der Merkmale zu ermeln, reen nfolge mensclcer Unzulänglcke roz aller Sorgfal Ungenaugkeen auf, d.. besenfalls kann der ware Wer approxmaver Wer X G nur als en X G eroben werden. Be allen Arbesgängen können dese Abwecungen vom Arbessysem aufreen, de zu verscedenen Felern füren. In der folgenden Übersc snd de möglcen Feleraren, de de Ergebnsse der Erebung (Übersc ). Y G bzw. Y ˆG be Scprobenerebungen beenflussen, aufgefür In der Übersc snd nocmals de er bem Arbessysem eröreren Begrffe und Defnonen n ener anderen Form dargesell. Bede Scemaa zusammen geben enen aufsclussrecen Überblck über de Aufgaben und Probleme, de sc be ener prmärsasscen Erebung sellen. In desem Zusammenang se noc besonders auf de nsrukve Übersc über Feler und Genaugkeskonrollen n P. von der Lppe 996, 4 und 43 ngewesen. 3

4 Übersc Scema: Inerakon zwscen Begrffsbldung, Adäquaon, Smplfzerung und Feler be prmärsasscen Erebungen. Bezogen auf ene Vollerebung würde sc das Scema verenfacen, es se denn man deue jede Vollerebung als Scprobe aus ener "Gesame öerer Ordnung". Ene gesondere Übersc erzu soll er nc ersell werden. 4

5 Übersc Scema zur Begrffsbldung, Adäquaon, Verenfacung und zu Felern be prmärsasscen Erebungen Zelgrösse Z Teoresc scarf oder eng angenäer defner Adäquaons-Durcfürung Adäquaons-Dskrepanzen X Exsen vorausgesezer, warer Wer der adäqua defneren Zelgrösse Möglce Arbessyseme G zur Erebung von X Unerscedlce G, G, G, durc Varaon d. Erebungsaren Fxerung enes operablen Arbessysems G z. Besmmung v. X Balancerung aller Smplfzerungen für das operable, relav opmale G X G Warer Wer def. Durc Arbessysem G. Operable Zelgröße Scprobenfeler Erebungsfeler cscprobenfeler Y G := Erobener, felerbeafeer Wer des X G Quelle: H.Srecker/R.Weger 6, 34 5

6 . Meoden der Qualäsanalyse Zur Unersucung und Verbesserung der Daenqualä snd vele unerscedlce Meoden enwckel worden. Se alle zu beandeln, soll nc Aufgabe deses Berags sen. En wcges Verfaren s de Scäzung der Anworvarablä m Hlfe von (Wederolungs-)Zälungen. Wrd ene Erebung m naen zelcen Absand mndesens zwemal oder mermals nac dem glecen Arbessysem durcgefür, so zeg sc, dass de Anworen der Befragen n der Regel vareren können. Dese Varabläen können zufallsbedng oder n selenen Fällen auc sysemascer aur sen. Wenn be Besandsmassen de Were des Merkmals zwscen den Scagen der Hauperebung und den Wederolungszälungen erfarungsgemäß konsan bleben, z.b. de Landwrscaflce uzfläce der Berebe, s es nc nowendg, de Angaben für den Scag der Wederolungszälung auf den Scag der Hauperebung zu adjuseren. Man kann dann one weeres de Varabläen der Anworen für das Merkmal ensprecend enem Felermodell scäzen. Wenn de Were des Merkmals sc zwscen den Scagen ändern, dann muss ene Adjuserung der Angaben aus der Wederolungszälung auf den Scag der Hauperebung erfolgen (H.Srecker/R.Weger 986, 99-3, P. von der Lppe 996, 4-44). Be Daen für enen Referenz-Zeraum von Bewegungsmassen können ebenfalls Anworvarabläen aufreen, de dann weder ensprecend enem Felermodell für denselben Zeraum zu adjuseren snd. Um für en Felermodell, das als Grundlage für de Analyse und Scäzung der Anworvarablä denen kann, de erforderlcen quanaven Größen zu eralen, bedarf es der Angaben aus mndesens zwe (Wederolungs-)Zälungen und ener Konrollerebung. De Konrollerebung s ene Wederolungszälung, de nac dem glecen Arbessysem, jedoc m allergrößer Sorgfal, möglcs von besonders gesculem Personal und m ener Überprüfung der Angaben vor Or durcgefür wrd, we z.b. n Belgen von Bedenseen des Insu naonal de sasque (Moneure). In der Konrollerebung müssen, zumndes approxmav, de "waren" Veränderungen der ndvduellen Merkmalswere zwscen dem Zepunk der Hauperebung und dem Tag der Konrollerebung, d.. de Zu- und Abgänge, erfass werden. Dann erfolg ene Rückrecnung auf de waren Were am Scag der Hauperebung. De Dfferenz zwscen den ursprünglc erobenen Weren und den zurückgerecneen Weren snd de ndvduellen approxmaven Angabefeler n der Hauperebung (H.Srecker/ R.Weger 983, 9-). Das Felermodell s auf dem quanaven ndvduellen Angabewer y der Erebungsene und den (Wederolungs-)Zälungen ( = l,, 3,, k,...) aufgebau. Ene Aggregaon deser ndvduellen Were aus ener Vollerebung über 6

7 alle Eneen ( y, wobe y = E ( y ) s) lefer de Gesamergebnsse Y für = dese Zälung, bzw. be ener Scprobe über de Eneen n ( Y ˆn ). Der ndvduelle quanave Angabewer y der Erebungseneen wrd zunäcs formal n sene Komponenen zerleg: Warer Wer x, sysemascer Feler e und Zufallsfeler ε. acfolgend s n enem Scema dese Zerlegung veranscaulc. Scema Zerlegung des ndvduellen quanaven Angabeweres y der Erebungsene n sene Komponenen: warer Wer x, sysemascer Feler e und Zufallsfeler ε. Lneares Felermodell (Wederolungs-)Zälung Indvdueller Angabewer y = x + e + ε, =,,3... Für de Besmmung und Scäzung der Felerkomponenen der waren Were und der Anworvarabläen snd de ndvduellen Daen ener Hauperebung ( = l), ener Wederolungszälung ( = ) und ener Konrollerebung ( = ) nowendg. y = x + e + ε Angabewer = = Hauper- Hebung ( = ) 7

8 y = x + e + ε Angabewer = = Wederolungs- Zälung ( = ) y = x + e + ε x Konrollwer = = = =, Konroll- Erebung ( = ) "warer" äerungswer x, lau Konrollerebung Hnwes: Be Vorlegen ndvdueller Angabewere y aus mereren (Wederolungs-)- Zälungen s das Scema ensprecend zu erweern (k>). Für qualave ndvduelle Erebungsmerkmale s n Analoge das Zerlegungs-Scema zu modfzeren. Scäzwere für de Gesame eräl man durc Aggregaon der ndvduellen Were - be ener Scprobe n y, be ener Vollerebung = y. En = Felermodell für qualave Merkmale kann man analog one Scwergkeen konzperen. In der Praxs andel es sc jedoc n der Regel um de Konrolle quanaver Merkmale. Es s zu beacen, dass de waren Were x n allen Erebungen ses deselben snd. De sysemascen Feler e snd n der Hauperebung und n den Wederolungszälungen deselben, n der Konrollerebung aber wesenlc klener. De zufällgen Feler ε aben n der Hauperebung und n den Wederolungszälungen de glece Gauß'sce Felerverelung, wärend n der Konrollerebung de Gauß'sce Verelung ene ereblc klenere Sreuung aufwes (klenere Sreuung der Zufallsfeler). De ndvduellen Anworvarabläen wrken sc auc auf de Enordnung der Erebungseneen n Größenklassen und dam auf de nac Größenklassen 8

9 geglederen Erebungsergebnsse aus. En Maß für de Anworvarabläen n nac Größenklassen geglederen Erebungsergebnssen s der sog. Inkonssenz-Index. Er mss de Unzuverlässgke oder Inkonssenz der Anworen R der Eneen. In den vorergeenden Ausfürungen und vorgelegen Scemaa wurde gezeg, we man den ndvduellen waren Wer approxmav auf Grund enes Felermodells m Konrollerebung scäzen kann. Der ndvduelle Zufallsfeler ε kann socassc besmm werden, we m Folgenden gezeg wrd m Hlfe der Varae Dfference Meode. Der sysemasce Feler kann dann als Dfferenz zwscen Angabewer enerses und warer Wer + Zufallsfeler andererses gescäz werden. Da sowol der Inkonssenz-Index we auc de Scäzung des ndvduellen Zufallsfelers ε m Hlfe der Varae Dfference-Meode n der Praxs noc weng bekann snd, sollen dese beden Verfaren n den Abscnen 3 und 4 ewas ausfürlcer erläuer werden. Besonders se noc darauf ngewesen, dass n der Survey Sask de Meoden des Operaons Researc bser kaum beace worden snd. Be der Erebung von sasscen Daen kann z.b. das Problem des regonal und zelc zu opmerenden Ensazes von Zälern oder Inervewern enseen. Es s aus Gründen der Ze- und Kosenersparns wünscenswer, de Inervewer oder Konrollbeamen ener Konrollerebung den Gemenden bzw. Bereben oder Hausalen opmal zuzuordnen. En derarges Modell wurde n Belgen für den Ensaz von Moneuren (Beame des Insu naonal de sasque m Außendens) be ener acprüfung enwckel. Der berecnee Zeaufwand für de Durcfürung der Konrollerebung reduzere sc von ac auf ewa fünf Arbesage. Das bedeuee, daß de Feldarbe nneralb ener Woce abgesclossen werden kann und de Ergebnsse scneller vorlegen können (R.Weger/ K.Kafka/ H.Srecker/ R.Seylaers 976, ). 9

10 3. Inkonssenz-Index Der Inkonssenz-Index, berecne für de nac Größenklassen (=,,3,...,L) geglederen Erebungsergebnsse, nmm Were zwscen und an oder n Zecen I R. Wenn de ndvduellen Angaben von den Erebungseneen aus zwe oder mer (Wederolungs-)Zälungen kene Varablä der Anworen bezüglc der Enordnung der Eneen n enzelne Größenklassen aufwesen, s I R =, be oaler Unzuverlässgke ("zufällge" Verscedeneen der Anworen) ergb sc der Index-Wer von. Der Gesamndex I R für alle Größenklassen s dann das Mel der I R. De Scäzung von Inkonssenz-Indces für verscedene Größenklassen und der Anworvaranzen sez de Kennns von mndesens zwe oder mer Angabeweren (Anworen) für jede Ene, gewonnen aus ener Hauperebung m Eneen und ener oder mererer Wederolungszälungen, voraus. Jede zusäzlce Erebung zur Hauperebung s n der Regel m enem oen Kosen- und Organsaonsaufwand sowe ener särkeren Belasung der Befragen verbunden. Deses Verfaren solle dennoc be wcgen Zälungen angewand werden, da es nsbesondere dazu den, de Qualä sasscer, nac Größenklassen geglederen Daen aus Erebungen zu beurelen, deren Ergebnsse de Grundlage für weere Arbeen der Wrscafs-, Mark- und Menungsforscung blden. Es s versändlc, dass n der Praxs fas ausscleßlc nur ene zusäzlce Erebung zur Hauperebung ( = ) und dese mes nur als Scprobe m dem Umfang n durcgefür werden kann. Is de Hauperebung selbs ene Scprobe, so wrd empfolen, de Wederolungszälung als Unerscprobe vorzunemen. Her wrd de Scäzformel für den Inkonssenz-Index nur für den Spezalfall m zwe Anworen y = G, y = G angegeben. De Were der Zufallsvarablen y G, y G snd de Anworen der Eneen n der Hauperebung ( = l) und n der Wederolungszälung ( = ), welce bede nac dem glecen Arbessysem, jedoc n der Regel m verscedenen Scagen, durcgefür wurden. Wenn de Merkmalswere von Besandsmassen zwscen den beden Scagen nc konsan bleben (z.b. Scwenebesände n landwrscaflcen Bereben), dann müssen m Gegensaz zu zewese konsanen Merkmalen (z.b. Landwrscaflcen uzfläcen) de ndvduellen Angaben auf enen enelcen Scag, mes den der Hauperebung, adjuser werden und seen dann enfac m y ( =,, usw.) bezecne. Wenn de Angaben aus Bewegungsmassen gewonnen wurden, müssen dese Were auf denselben Referenz-Zeraum bezogen

11 sen. De Grundlage für de Scäzung lefern de nac Größenklassen geglederen Erebungsergebnsse, de n der nacfolgenden Konngenz-Tabelle dargesell snd. Konngenz-Tabelle Erklärung zur Konngenz-Tabelle: De Zalen y, n den Größenklassen (Hauperebung) und (Wederolungszälung) ( =,,3,...,L; =,,3,...,L) snd Häufgkeen von Paaren der ndvduellen Angaben (Wederolungs-)Zälungen () und (). y aus den beden Bespel: y = =, = y s de Häufgke der Zalenpaare y =, y =, deren Angaben n der Hauperebung der Größenklasse = und n der Wederolungszälung weder = zugeordne snd. In enem anderen Bespel mögen de ndvduellen Angaben n der Hauperebung y = und n der Wederolungszälung y = zur Zuordnung n de Größenklasse (Hauperebung) bzw. =3 (Wederolungszälung) füren und dam zu dem Paar y 3.

12 De Zuordnung der Angabewere y zu den verscedenen Größenklassen erfolg nun, ndem dese Were m Hlfe der Dcoomserung z und z - Varablen als (,) - Varable nac folgender Vorscrf zugeordne werden:, wenn de gegebene Anwor y der Ene fur en Merkmal ene besmme Egenscaf A n der (Wederolungs-)Zälung aufwes, er: s de Ene der Großenklasse zuzuordnen. z =, wenn de gegebene Anwor y der Ene ene andere Merkmalsausprägung (nc A, n Zecen A) a, er: s de Ene nc der Großenklasse zuzuordnen. Im vorlegenden Fall a de Were für de Hauperebung oder für de Wederolungszälung. Da de Aufgabe s, für Proporonen (Anele von enem qualaven Merkmal m der Egenscaf A = zugeörg zur Größenklasse bzw. nc A ( A = nc zugeörg zur Größenklasse ) Inkonssenz-Indces zu scäzen, se von ener Scprobe m n Elemenen und folgendem Scema ausgegangen; nsgesam mögen L Größenklassen ausgewesen sen. Ver-Felder-Scema Wederolungszälung oder Repeon Haup- oder Orgnalerebung Größenklasse Res A A Σ Größenklasse A z = Res A z = a c z = + b a b + d c d z = Σ a + c b d + n Zuordnung der Eneen (Berebe) : "Der Größenklasse zugeörg - Egenscaf A " bzw. "nc der Größenklasse zugeörg - Egenscaf A (Res)" De Were a, b, c und d n desem Scema snd de Häufgkeen von Paaren aus beden Erebungen (Hauperebung () und Wederolungszälung () und der Scprobenumfang s n).

13 Für jede Größenklasse = l,,..., L wrd en solces Ver-Felder-Scema aufgesell. De nsgesam L Ver-Felder-Scemaa eräl man aus der vorseenden Konngenz-Tabelle durc Srecung von enzelnen Zelen und Kolonnen änlc we man den Wer ener Deermnane aus den Unerdeermnanen durc Srecen von Zelen und Kolonnen besmm. De Ver-Felder-Scemaa für de enzelnen Größenklassen aben de folgenden Were: = a = y b Man srec de erse Zele y, y 3, y 4,..., y L c Man srec de erse Kolonne y, y 3, y 4,..., y L ( + + ) d Der Wer ergb sc aus n a b c =, y Ver-Felder-Scema a... L = y b = y + y3 + y4 + + y Lne c = y + y3 + y yl d = n ( a + b + c ) Analog eräl man für de übrgen Größenklassen =, =3, =4,..., =L de weeren Ver-Felder-Scemaa. =, y a... L = y b = y + y3 + y4 + + y Kres c = y + y3 + y yl d = n ( a + b + c ) = 3, y 33 a... L 3 = y33 b3 = y3 + y3 + y y3 Dreeck c3 = y3 + y3 + y yl3 d3 = n ( a3 + b3 + c3 ) 3

14 = 4, y 44 a y b y y y... y L 4 = 44 4 = Receck c4 = y4 + y4 + y yl4 d4 = n ( a4 + b4 + c4 )... = L, y LL a L y b = y + y + y y = LL L L L L3 L, L Quadra c = y + y + y y d = n ( a + b + c ) L L L 3L L, L L L L L Für jede Ene wrd de ndvduelle Anworvaranz ( s R ) aus den ndvduellen Angabeweren ((,)-Varablen der k= (Wederolungs-)Zälungen)) geblde. Be ener Vollerebung ergeben sc Anworvaranzen ( = l,,..., ), be ener Scprobe n Anworvaranzen ( = l,,..., n). Das Mel aller ndvduellen Anworvaranzen s dann de Enface Anworvaranz ( s R ). Se wrd ns Verälns zur enfacen Bnomalvaranz ( P ( P ) ) der Bnomalvarablen (,), üblcerwese G G zer als Scprobenzufallsvaranz ener enelemengen Scprobe, gesez. Desen Quoenen s / P ( P ) nenn man dann den Inkonssenz-Index. Er s en Maß für R G G de Unzuverlässgke oder Inkonssenz der Anworen der Eneen - er der Zuordnung der Angaben zu verscedenen Größenklassen. Anand des vorseenden Ver-Felder-Scemas kann man one große Scwergkeen zuverlässge Scäzwere für de Enface Anworvaranz σ R und de Bnomalvaranz ( P ( P ) ) besmmen und n de Inkonssenz-Index-Formeln G G ensezen. Als Scäzformel eräl man nac engen Recnungen I R Iˆ = R b + c ( a + c )( b + d) + ( a + b )( c + d) n, wobe n = a + b + c + d s. Deser Scäzer I ˆR ( ) gl nur, wenn b + c a d s, was n der Praxs n der Regel erfüll s. Zufallsbedng s, dass de Zufallsvarable I ˆR auc enmal enen Wer ewas größer als (>) annemen kann, aber de Warscenlcke dafür s ser gerng. 4

15 Für jede der Größenklassen ( = l,,..., L) s en solcer I ˆR -Wer zu berecnen. Der Gesamndex s dann das gewogene armesce oder geomersce Mel aus desen Größenklassen Indces I ˆR m den Gewcen = Zal der Eneen n der Größenklasse. äeres erzu see Srecker 999, m ausfürlcen Leraurangaben. owendg für ene weere Analyse auf desem Gebe wäre ene genaue Kennns der Verelung der I ˆR bzw. auc der I ˆR und davon, we sc de Indexwere be ener Zusammenfassung oder ener weeren Unerglederung der Größenklassen ändern würden. Her bese Handlungsbedarf! Bespel acfolgend sollen de Ergebnsse ener Scäzung des Inkonssenz-Index aus der Amlcen Sask Belgens mgeel werden. In ser kurzem zelcen Absand fanden am 5. Ma 985 de Hauperebung (Landwrscafs- und Garenbauzälung - G) als Vollerebung und am 4. Ma 985 ene Wederolungszälung ex ane (Enquee Ploe - G') als Scprobe nac annäernd glecem Arbessysem (G G') sa. De Analyse bescränke sc auf de Angaben über de Landwrscaflce uzfläce der aupberuflcen Berebsnaber (Kaegore ) von nsgesam 6 Bereben n der Hauperebung und n 35 Bereben n der als Wederolungszälung durcgefüren Scprobe. äeres zu den Erebungsmeoden und Fragebogen see H.Srecker/R.Weger avec la collaboraon de J.Peeers, L.Ancaux, E.Draelans,. In Belgen war es, zu deser Vorbereungsze, ecnsc und organsaorsc nur möglc, als akuellen Ramen für de Auswal der Berebe n der Scprobe de früere Landwrscafs- und Garenbauzälung vom 5. Ma 983 eranzuzeen. Da 985 enge der 983 erfassen Berebe nc mer besanden und n der Zwscenze euzugänge erfolgen, musse ene Trennung der unersucen Berebe n zwe Sccen, Aler Besand ( AB ) und euer Besand ( B ) vorgenommen werden. Vom alen Besand wurde ene Scprobe von 873 Bereben ausgewäl, de euzugänge von 477 Bereben wurden oal erfass. De Ergebnsse deser Befragung snd n der nacfolgenden Konngenz-Tabelle aufgefür. Anand deser Übersc wurden dann für jede Größenklasse, gerenn nac Alem und euem Besand, jewels Inkonssenz-Indces berecne. De enzelnen Berecnungen erfolgen auf Grund der Ver-Felder-Scemaa. Aus deser Konngenz-Tabelle wurden, gerenn nac Alem und euem Besand, jewels ver Ver-Felder-Scemaa durc Srecen von Zelen und Kolonnen aufgesell - so exemplarsc für de Größenklasse = l:. - < a Landwrscaflcer uzfläce de Tabellen a) und b) - Tabellen und. 5

16 Tabelle : Konngenz-Tabelle Landwrscafs- und Garenbauzälung n Belgen am 5. Ma Haupberuflce Berebsnaber (Kaegore ) - Konngenzabelle für de Zuordnung der Alen und euen Berebe nac den Angabeweren der Landwrscaflcen uzfläce n der Hauperebung (5.Ma 985) und der Enquêe Ploe (4. Ma 985) zu den Größenklassen der Landwrscaflcen uzfläce (L) Aler Besand (AB) - Scprobe euer Besand (B) - Vollerenung Enquêe Ploe Größenklasse L a Hauperebung Größenklasse L a,. - < - < < - < + Σ 3 4 AB B AB B AB B AB B AB B. - < < < < Σ Tabelle : Ver-Felder-Scema für de erse Größenklasse (=l). -< a Landwrscaflce uzfläce, a, b, c, d a) Aler Besand (AB) Enquêe Ploe y = A z = Res A z = = A z = Σ Res A z = Hauperebung y a = 4 b = 36 a + b = 446 c = 3 d = 44 c + d = 47 a + c = 43 b + d = 45 nab = a + b + c + d = 873 Σ 6

17 a) euer Besand (B) Enquêe Ploe y = A z = Res A z = = A z = Res A z = Hauperebung y a = 3 b = 9 a + b = c = 9 d = 46 c + d = 55 Σ a + c = b + d = 55 n = a + b + c + d = 477 B Σ Es snd = :. - < a; Res: a - < + A = für. y < A = Res - a.. y.. < + Landwrscaflce uzfläce De Scäzung des Index für ene Größenklasse ( = ) ergb, gerenn nac alem Besand (AB) und euzugängen (B) de beden Scäzwere: 49 I ˆ = AB=.734 7, 34% = 873 Iˆ * = = ( b* + c* ) ( a* + c* )( b* + d* ) + ( a* + b* )( c* + d*) n * (für * = AB bzw. B und für n * s enmal n AB = 873 und zum anderen n B = 477 zu sezen) 8 I ˆ = B= ,58% = 477 De Scäzung der Indces für jede Größenklasse beru auf den Zalen für den Alen und den euen Besand, see Tabellen und 3. 7

18 Tabelle 3: Zal der Berebe nac der Landwrscafs- und Garenbauzälung am 5. Ma 985 der Kaegore n Belgen Größenklasse der Landwrscaflc en uzfläcen a,. - < - < < - < + AB B = + ) ( AB B Insgesam (Σ) B = = 6 3 Landwrscaflc e uzfläce Y a 5. Ma ,89 538, , ,63 Y = De für de jewelge Größenklasse und für de Gesame gescäzen Indces snd n der folgenden Tabelle mgeel. De Mel snd gewogene Melwere m den Gewcen AB und B - enmal geomersce Mel I ˆg und zum anderen armesce Mel I ˆ, gewonnen aus der Zal der Berebe m Alen Besand und den Meldungen der Gemenden an euzugängen. Dese smmen gu m den späer n der Hauperebung fesgesellen Zalen der Berebe 85 überen (see Tabelle 4). Tabelle 4: De Scäzwere des Inkonssenz-Index - n % 3 4 I ˆAB I ˆB I ˆg I ˆ ˆ g = 8.53 ˆ = 8.63 g 8

19 Erläuerung Der Index I für de Größenklasse (, - < a L) (Aler Besand + euzugänge) s das gewogene Mel m den Gewcen AB = = 97 und = =. B So ergab sc en Scäzwer für das geomersce Mel I ˆ =, 735 = 7, 35% und für das armesce Mel I ˆ =,735 7,35%. In der Tabelle 4 snd de für ver Größenklassen berecneen Indces aufgefür. Der Gesam-Index I ˆg bzw. Î wurde weder als gewogenes Mel m den Gewcen g :,, 3, 4 errecne (Formeln für de Scäzung see Srecker 997, 654 und 998, 84). Der Gesam-Index berug: I ˆ =, 863 8, 63%, I ˆ =.53%. Für alle Scäzwere s de Bedngung * * * * g b + c a d (* = AB bzw. B ) erfüll. De Ergebnsse für das Merkmal Landwrscaflce uzfläce Anworvarabläen I ˆg, I ˆ, I ˆg, Y, Y wesen also Î auf, we se n der Tabelle angegeben snd. De gescäzen Were für de Inkonssenz-Indces zegen, dass der Enfluss der Varabläen der Anworen auf nac Größenklassen aufgeglederen Ergebnssen nc vernaclässg werden darf. Wegen enes vermulc beseenden Ernnerungseffekes be den Befragen s ene posve Korrelaon zwscen den ndvduellen Anworabwecungen von Zälung zu Zälung ( y G und y G ) voranden. Daer snd de vorseenden Inkonssenz- Indces ewas nac unen verzerr; es leg möglcerwese ene Unerscäzung vor (vgl. Srecker 997, ). De Größe der Verzerrung s kaum zu besmmen, da de Korrelaon scwer zu berecnen s. De Folgerung, de sc daraus ergb: De angegebenen Index-Were snd unere Scranken für das Ausmaß des Enflusses der Anworvarabläen auf de Besezungszalen n den Größenklassen. 9

20 4. Scäzung der ndvduellen glaen Komponene und der jewelgen Zufallskomponene der ndvduellen Angabewere m Hlfe der Varae Dfference-Meode Man kann de ndvduelle glae Komponene m der Ene m Hlfe der Varae Dfference-Meode scäzen. Da deses Scäzverfaren n desem Zusammenang kaum bekann s, wrd darüber nacfolgend ewas ausfürlcer berce. Zuvor wrd en kurzer Abrss der Meode als Zereen-Analyseverfaren gegeben, um dese dann n enem Spezalfall auf de geselle Aufgabe anzuwenden. De Varae Dfference-Meode s en eraves Verfaren, um de Beobacungswere Komponene y ener sasscen Zeree n de permanene oder glae m und n de socassce oder Zufallskomponene ε zu zerlegen. (äeres erzu see Srecker u.a., vol.9, 988, m ausfürlcen Leraurangaben). De Zufallskomponene wrd m Hlfe sukzessver Dfferenzen von der glaen Komponene separer, so dass dann de glae und dam auc de Zufallskomponene gescäz werden können. Es wrd ausgegangen von ener Zeree zum Zepunk m Beobacungsweren y für =,,..., k,..., zu verscedenen Zeen. De Angabewere mögen addv aus der glaen Komponene m und der socasscen Komponene ε zusammengesez sen (lneare Verbundene): y = m + ε ( = l,,..., k,..., s,..., ) = Zal der gesamen Beobacungen Als glae oder permanene Komponene soll z.b. en Polynom n-en Grades oder andere Funkonen, we z.b. de logarmscen Funkonen oder Exponenalfunkonen usw. angenommen werden. Ferner wrd vorausgesez, dass E ( ε ) =, E ( ε ) = σ (Homoskedaszä) E, ( ε ε ) = (wenn s s) E, ( m ε ) = s s s s (kene Korrelaon m jedem anderen Wer). Dese Annamen snd plausbel und ensprecen grundsäzlc der Realä. Es werden sukzessve Dfferenzen geblde und zwar: ( y ) = y y, + ( y ) ( ( y )) ( y y ) ( y ) ( y ) = = + = +...

21 und es s ( y ) = ( ( y )) = ( y y ) = ( y ) ( y ) l l l l l + + ( y ) = ( m ) + ( ε ), ( y ) = ( m ) + ( ε )... usw.... l l l ( y ) = ( m ) + ( ε ), usw., usw. Es zeg sc, dass z.b. de oben erwänen Funkonen der glaen Komponene m zunemender Zal der Dfferenzen mmer klener und klener und de Dfferenzen der Zufallskomponene mmer größer und größer werden. So s z.b. de n-e n Dfferenz enes Polynom n-en Grades ( ) konsan und de (n+) Dfferenz a den Wer. Ensprecendes gl auc z.b. für andere oben erwäne Funkonen. So werden de öeren Dfferenzen der zu unersucenden Daen nur noc Were der socasscen Komponene enalen. Man kann ene Tesfunkon y R K blden, beseend aus emprscen Varanzen verbunden m Bonomal-Koeffzenen, de approxmav be öeren Dfferenzen normal verel m Melwer und Varanz s. Wenn R K < 3 s, wdersprc ncs der Anname, dass de glae oder permanene Komponene elmner s. Den Scäzwer für m nac l = l Dfferenzen ganz oder bs auf klene Rese m eräl man m Hlfe ener lnearen Annäerungsfunkon F als Aggrega m konsanen Koeffzenen b, b, b 3 usw.: m mˆ = y + F, wobe F = b ( ε ) + b ( ε ) +... n n+ n n usw. s. Aus Gründen der Symmere wrd l = n für l ene gerade und l + = n für l ene ungerade Zal gesez. n s er en Laufndex und nc der Umfang ener Scprobe oder der Grad enes Polynoms. scäzen, je größer de Zal der Koeffzenen b * s. De Koeffzenen b, b usw. werden dann so ausgewäl, dass D = E ( ε + F ) = Mnmum m wrd man umso effzener wrd. Sez man de so eralenen b, b usw. n F en, so eräl man m Hlfe von y F + de relav besen Scäzwere ˆ m für de Komponene der glaen Were Für man dese Recnungen aus, dann eräl man n erser äerung m.

22 m ˆ m (/ 3) = ( y + y + y + ), wobe =,, 3,..., k,... usw. 3 Weere äerungen sowe Leraurangaben see H. Srecker n: M. Beckmann/ R.Weger 987, 79-8 sowe Übrgens snd de vorseend angefüren Annamen und Hypoesen, we man lec zegen kann, n der Regel erfüll und ensprecen der Realä. Enen Scäzwer der socasscen Komponene ε zum Zepunk eräl man z.b. durc Subsrakon ε ˆ ε = y mˆ ( =,, 3,..., k,... ) (/3) (/3) Dese Meode der Scäzung der glaen Komponene soll nun auf de er geselle Aufgabe überragen werden, de ndvduellen glaen Komponenen n der Survey Sask zu scäzen. Es wrd von der lnearen Verbundene, er n der Erebungsene, ausgegangen: y = m + ε =,, 3,..., (bzw. n, =,, 3,..., k,... ) In den Eneen snd de glaen Komponenen m = a und m jewels ene Konsane, ewa ε de socassce Komponene ener Zeree n der Ene ( =,, 3,..., k). De Annamen und Hypoesen mögen de glecen bleben we be der Varae Dfference-Meode als Zereen-Zerlegungsmeode. Da von der Anname ausgegangen wrd, dass de (Wederolungs-)Zälungen = l,, 3,..., k unabängg snd und de glece Sreuung aufwesen (Homoskedaszä), gl E ( ε ) =, E ( ε ) = σ, E, ( ε ε ) = ( s) (kene Auokorrelaon). s s Lau Modellaufbau snd dese Annamen erfüll. De Varae Dfference-Meode kann also angewand werden und es gl dann: y = m + ε ( y ) ( =,, 3,..., k,...) y = m + ε y y = ( m + ε ) ( m + ε ) = ε ε y = m + ε y3 y = m + ε3 m + ε = ε3 ε y3 = m + ε3 y 4 y3 = ( m + ε4) ( m + ε3) = ε4 ε3 y4 = m + ε 4 z.b. k = 4 ( ) ( ) usw. ( y ) ( y y ) ( y y ) = 3 (( m + ε ) ( m + ε )) (( m + ε ) ( m + ε )) = ε ε + ε 3 3

23 ( y y ) ( y y ) = (( m + ε ) ( m + ε )) (( m + ε ) ( m + ε )) = ε ε + ε usw. =,, 3,..., bzw. n usw., usw. Heraus se man, dass de glae Komponene m der Ene als Konsane beres nac der ersen Dfferenz der Angabewere ( ( y ) ) elmner wurde; das s en Spezalfall der Varae Dfference-Meode. Man kann drek de glae Komponene m z.b. mels 3er Durcscne scäzen und zwar s be dre (Wederolungs-)- Zälungen m ˆ m (/3) = ( y + y + y+ ) = ( y + y + y3). 3 3 De ndvduellen Zufallsfeler der dre (Wederolungs-)Zälungen n der Ene snd dann als Scäzwere ε = y m ˆ ε = y mˆ ( =,, 3). (/3) (See erzu Srecker, 4, 98-3) Erscwerend für de Scäzung s erbe, dass de ndvduellen Angaben der Ene aus dre (Wederolungs-)Zälungen bekann sen müssen. Das s n der Praxs wegen der Kosen und des n der Realserung der Zälungen nc unereblcen Arbesaufwandes scwerg. Dabe muss ferner unersuc werden, ob de ndvduellen Angabewere y zelc scnellen Änderungen (we z.b. Scwenebesände) unerlegen, oder ob se für ene kürzere Ze, ewa bs 3 Monae, konsan bleben, z.b. Wezenfläce von der Aussaa bs zur Erne. Wenn be varablen Weren und verscedenen Scagen bzw. Referenz-Zeräumen unerscedlce Angaben gemac wurden, muss ene Adjuserung der Daen auf enen enelcen Scag bzw. Bercs-Zeraum vorgenommen werden. Be zewese konsanen Merkmalsweren können de (Wederolungs-)Zälungen auf enen Zeraum verel werden und ene Adjuserung s n desem Fall nc nög. Weere Enzeleen see H.Srecker/R.Weger 986, Da es zur Ze nc möglc s, dre Wederolungszälungen n enem kurzen Zeraum durczufüren, süz sc das folgende Bespel auf smulere ndvduelle Daen. So wurden de ndvduellen Angabewere y sowe re Komponenen glaer Wer m, Zufallsfeler ε und warer Wer x für dre unabängge (Wederolungs-)- Zälungen (=,,3) anand von Daen aus der belgscen Landwrscafssask 3

24 smuler. Der ndvduelle Zufallsfeler ε wurde der er beandelen Aufgabensellung ensprecend nac der Varae Dfference-Meode gescäz. Auf ene Scäzung der waren Were x wrd er nc engegangen. De Resulae für ene Gesame =, 5 und Eneen wurden n den folgenden Tabellen 5 und 6 zusammengefass: De Scäzwere der ndvduellen Zufallsfeler ˆ ε (/3) ergaben sc aus der Dfferenz zwscen Angabeweren y und der glaen Komponene ε ˆ ε = ˆ. De durcscnlcen m (/3) y m, (/3) Zufallsfeler ˆ ε (/3) berugen z.b. für = und =, 5 und (absolu).97,.85,.6. Tabelle 5: Smulaonsbespel Ene De ndvduellen Angabewere y sowe re Komponenen warer Wer sysemascer Feler e und Zufallsfeler ε für dre unabängge (Wederolungs-) Zälungen ( = l,, 3) Durcscnen und de Scäzwere der glaen Komponene m 3er x, = = Glae Komponene m m, x, e x Zufallsfeler Auswal =,, 3 ε Angabewer y Scäzung 3er Durcscne e ε ε ε 3 y y y m ˆ 3 (/3)

25 = Zal der Dfferenzen zwscen den gescäzen (Mel-)Weren m ˆ (/3) und den Meln der "waren" glaen Komponenen m, für de Gesameen =, 5, Größenklasse. - <.5 ( mˆ (/3) ) = = 5 =.5 - < <.75 Σ Erläuerung: ˆ ( m ) = mˆ m m (/3) (/3) = = m =.75 - <. Σ. - <.5 Σ.5 - < < <. Man se, dass m zunemendem de gescäzen durcscnlcen Zufallsfeler klener werden (H. Srecker 4, 587 Tabelle: Scäzwere der Zufallsfeler). Weern wurde noc de Zal der Dfferenzen ˆ ( m ) = mˆ m zwscen den durcscnlcen gescäzen (/3) (/3) = Komponenen-Weren ˆ m (/3) ( = mˆ (/3) ) und den Meln der waren glaen Komponenen = m für de Gesameen =, 5, berecne. Dabe zege sc, dass m zunemendem Umfang der Gesameen de Dfferenzen klener werden, d.. de Mel der gescäzen glaen Komponenen näeren sc den Meln der waren glaen Were. Daraus ergb sc, dass de Varae Dfference-Meode en geegnees Verfaren s, um de ndvduellen Zufallsfeler n den Angaben der Eneen zu scäzen. De Zufallsfeler n den Gesamergebnssen ener Erebung werden umso klener je größer s. 5

26 M der Maßzal "Anworvarablä" kann man noc Aussagen über de Varablä der Zufallsfeler n den Gesam-Ergebnssen m Eneen vornemen. Dese gb Auskunf darüber, we we zufallsbednge Gesam-Ergebnsse aus = und mer (Wederolungs-)-Zälungen vareren können. Wenn de Angabewere y der Ene n der (Wederolungs-)Zälung m =,, 3,... bezecne snd und nsbesondere be zwe Erebungen =, snd, dann s de ndvduelle Varanz der Zufallsfeler der Ene σ y + y y + y R = E ( ( )) ( ) y E y s = y + y = y y E ( y y ) = E ( x + e + ε x e ) = E ( ε ) = σ R De Gesamvaranz der Zufallsfeler s dann σ = = - Gesamzal der Eneen R E ( σ R ) sr sr = Tabelle 6: Melwer der Zufallsfeler ε und re Scäzwere ˆ ε (/3) sowe de Dfferenzen zwscen Scäzweren und waren Melweren der Zufallsfeler der ε ( =,, 3) n der Abfolge für verscedene Gesameen Auswal Zufallsfeler Gesameen 5 ε.9 >.47 >.95 ε 3 ˆ(/3) ε.97 >.85 >.6 Zufallsfeler ˆ ε 3(/3) Gesameen 5 * *. <.33 <.65 *.93 >.9 <.3 ( ˆ ).93 >.6 >.33 ε (/3) ( ˆ ε ) / m.95% >.68% >.39% (/3) ( ˆ ) ε 3(/3) ( ˆ ε ) / m 3(/3) *.93 >.5 <.33 *.95% >.5% <.39% ε ˆ ε (/3) ε (/3) *.9 >.7 <.6 *.3 <.55 >.33 ( ˆ ).87 >.6 >.33 ( ˆ ε ) / m.85% >.66% >.39% (/3) (*) socassce Sörung Erläuerung: ε = ε, ˆ ε ˆ (/3) = ε(/3) = = ( ˆ ε ) = ˆ ε ε, (/3) (/3) =,, 3 m = m = 6

27 Anworvaranz und Anworvarablä Be zwe Zälungen ergeben sc dann als Scäzwere für de Gesam- Anworvaranz V ˆ/ R sr =. s = und für de Anworvarablä R sr = Vˆ R sr = oder auc Da be der Anworvarablä n jeder Größenklasse de Mel der jewelgen Zufallsfeler nac dem Zenralen Grenzwersaz normal verel snd, snd auc de gescäzen Melwere normal verel (Reprodukvä). Demnac snd be ener Gesame von Eneen de Scäzwere der Gesammel approxmav normal verel und man kann scon be zwe Zälungen m / V R bzw. Konfdenznervalle für de Zufallsfeler n den Gesam-Ergebnssen der Erebungen angeben. Ergänzend wrd noc en numersces Bespel für de Scäzung der Anworvaranz und der Anworvarablä be enem konsanen Merkmalswer (kene Adjuserung auf enen enelcen Scag nowendg) gegeben werden. Im Ma 985 wurden n Belgen kurzfrsg nac enem annäernd glecen Arbessysem zwe Erebungen - Landwrscafs- und Garenbauzälung als Hauperebung am 5. Ma und Enquêe Ploe als Wederolungszälung ex ane am 4.Ma durcgefür. Auf Grund deser Daen wurden de Anworvaranzen und Anworvarabläen für Anbaufläcen verscedener Frucaren (Wnerwezen, Wnergerse, Zuckerrüben, Handelsgewäcse) und der Landwrscaflcen uzfläce nsgesam besmm. Das Bespel bescränk sc auf de Angaben für de Wezenanbaufläce der Berebe ( ) der Kaegore 5: Berebe, de pflanzlce Produke erzeugen und zuglec Denslesungen für andere Berebe anbeen. De Zal deser Eneen berug 45, alle wurden zwemal befrag ( y, y ), es gab som kene Scprobenzufallsfeler, was für de Scäzung von Vorel war. Da de Wederolungszälung auf frewllger Grundlage erfolge, beelgen sc be deser Enquêe Ploe = 378 Berebe. De Response Quoe von 378/45 = 84 % war noc ser zufredensellend. De Ergebnsse deser Unersucung werden n der Tabelle 7 mgeel. Uner "effekv" werden er de Berebe bezecne, de n beden Erebungen - Hauperebung und Enquêe Ploe - ndvduelle Angaben über re Anbaufläcen gegeben aben. Agrarsassce Facleue aben de Scäzwere der Anworvaranzen und nsbesondere der Anworvarabläen als plausbel anerkann. / V ˆR 7

28 Tabelle 7: Belgen - Landwrscafs- und Garenbauzälung Ma 985 Kaegore 5 - Vollerebung - Merkmal: Wnerwezenfläce Anworvaranz und Anworvarablä De Anworvaranzen Größenkla sse der landwrsc aflcen uzfläce n a,, - < - < < - < + Zal der Berebe (effekv) (85) nsgesam (85) = 378 Zal der Berebe der Kaegore 5 s R n den Größenklassen (Sccen),Gesam-Anworvaranzen Anworvarabläen V ˆR und V ˆR Gesamwer de Angaben Gesam Anworvaranz (effekv) n a mel (85) s Y + Y R = s (85) = 4. Ma Y 5. Ma Y Y = Y Y = Y = = 6 94 Gesamwezenfläce (effekv) n a (85) n a Y + Y (85) = 6.44 n a R s R = Vˆ s R und de Anworvarablä R V ˆR S = R (85) Vˆ R s = R (85) = 6.66, V ˆR Wurzel % Es bedeue Y (85) = y, = Y (85) = y = Anworvaranz der Ene n der Größenklasse und =,, 3,..., σ s = ( y y ) R R Anworvaranz der Größenklasse σ R s = R sr = Gesam-Anworvaranz σ L R sr = sr = Anworvarablä der Größenklasse V R ˆ s VR = R Gesam-Anworvarablä 8

29 V R ˆ sr VR = Hauperebung und Wederolungserebung (Enquêe Ploe) wurden als Vollerebungen durcgefür (n = ) - ken Scprobeneffek m engeren Snne der Scprobeneore! (L = Zal der Größenklasse, m Bespel L=4) Zal der effekven Berebe, der Kaegore 5 nac Zälung Ma

30 5. Felermodell Für de eorescen Beracungen se zunäcs von enem dedukven Felermodell ausgegangen, wärend für de Bercgung von Zälungsergebnssen der ndukve Felerbegrff der adäquae s. Der dedukve Angabe- oder Anworfeler s für den -en Befragen defner: Feler = Angabewer - warer Wer, der ndukve Feler wrd umgeker erklär. De dedukve Beracungswese s für Analysen von eorescen Zusammenängen (Zerlegung des Angabeweres n de Komponenen: Warer Wer, sysemascer Feler, Zufallsfeler) geegne, wärend der ndukve Felerbegrff zugrunde geleg werden soll, wenn de Aufgabe gesell s, dejenge Größe (Verbesserung) zu fnden, de dem Angabewer nzugefüg werden muss, um enen bercgen Wer (waren Wer) zu eralen. Deser Gedanke fnde z.b. Anwendung n der Geodäse. acfolgend soll en Felermodell m ener Unerglederung des ndvduellen Angabeweres y n waren Wer x, sysemascen Feler e und Zufallsfeler ε dargeleg werden. Weer soll das Felermodell n Verbndung m ener Vollerebung one Zälereffek beandel werden. In Weseuropa werden mes de ndvduellen Daen durc Selbsausfüllung der Fragebogen one Beenflussung durc Zäler gewonnen. Das Felermodell ener Vollerebung eräl man, ndem man n den Formeln den Scprobenumfang n durc den Gesamumfang ersez. Begrffe und Symbole Es möge sen: n y Zal der Befragen n der Grundgesame - be allen nacfolgenden Überlegungen als vollsändg erfass vorausgesez Zal der Befragen n der Scprobe ndvdueller angegebener Wer (Angabewer) der Ene (des Befragen ) n der (Wederolungs-)Zälung und zwar nneralb kurzer Ze für denselben Scag oder Bercszeraum mermals befrag ( = l,,3,... und =,,..., bzw. =,,...,n) (Anworvarablä) x Warer Wer des Merkmals bem -en Befragen ( =,,...,, bzw. =,,..., n) e ndvdueller sysemascer Feler des Befragen (Ene ) ε ndvdueller Zufallsfeler des Befragen (Ene ) n der (Wederolungs-)- Zälung ( =,, 3,...) - zur Verenfacung wurden de Zufallsfeler als vonenander unabängg angenommen, was ene plausble Arbesypoese s 3

31 De Verbundene der Felerkomponenen soll lnear sen, daer gl y = x + e + ε (er angenommen, dass es kenen Zälereffek gb!) Demzufolge a man e E ( y ) = x + e + E ( ε ) = x + e, - n Anlenung an de Zereenanalyse als E ( ε ) =, - nac Defnon des Zufalls "glaer Wer" ( m ) bezecne + ε ndvdueller Angabefeler des Befragen (Ene ) n der (Wederolungs-)- Zälung Demnac s ε = y ( e + x ) ndvdueller Zufallsfeler E ( e + ε ) = e ndvdueller sysemascer Feler des Befragen (Ene ) Melwer und Varanz Her soll zur Verenfacung von enem Scprobenmodell ener Enfacen unengescränken Zufallsscprobe one Zurücklegen und one Zälereffek ausgegangen werden. De Were für ene Vollerebung eräl man one Scwergke, ndem man sa des Scprobenumfanges n den Gesamumfang ensez. De nacfolgenden Scäzformeln der Scprobe können auc n de öeren Scprobenmodelle subsumer werden, denn alle weerfürenden Scprobenmodelle snd nac dem "Baukasenprnzp" aus dem Modell ener unengescränken Scprobe aufgebau. Es gl für de Ene m k (Wederolungs-)Zälungen ( =,, 3,..., k ), de Scprobe m Umfang n und de Gesame Ene Scprobe n k k y = E ( y ) yˆ = y = ( x + e + ε ) k = k = n n k Mel yˆ = yˆ =... = ( x + e + ε ) = xˆ + eˆ + ˆ ε ˆ ( ) = y( ) n n k & n n n n k k n = = = xˆ n n = x, n = eˆ n n = e, ˆ ε n( k ) n = n n k k = = = ε Gesame 3

32 Mel y ( x + e + ε ) = x + e + k k = k = = k = ε k Wer der Gesame : Y = x + e + ε = x + e + ˆ ε( ) k k & = = = = Es für zu we, für de vorseenden Scäzformeln de enscläggen Formeln der Scprobenzufallsvaranzen aufzuzegen. Man kann dese nac den n der Leraur beandelen üblcen Scprobenmodellen enwckeln. Von großer Bedeuung für de Praxs s zwefellos de folgende Punkscäzung des durcscnlcen Angabefelers und de Scproben-Varanzscäzung. Wenn man den ndvduellen Angabefeler e ( ε ) = y x (sysemascer Feler e + Zufallsfeler ε ) n der (Wederolungs-)Zälung so enfür und defner, dann ergeben sc be ener (Wederolungs-)Zälung als Vollerebung m Eneen und ener Konrollerebung als Scprobe vom Umfang n (n<) m one Zurücklegen als Scäzwere für den Melwer der ndvduellen Angabefeler ener Erebung be k = l m ener Hauperebung als Melwer der ndvduellen Angabefeler eˆ n = e ( ε= ) n = ( ε= ) n = und als Scprobenzufallsvaranz σ n s s = n eˆ ( ε ) n eˆ ( ε ) n = =, m s e e n = ( ˆ = n= ) n = und be k (Wederolungs-)Zälungen als Melwer eˆ n ( ε ) n ( ε ) n = k = k = und als Scprobenzufallsvaranz e V erbe snd ( eˆ ) ( ε ) n n σ σ = + n nk b w, (+Korrelaonen) und σ b = E e ( ε ) E e ( ε ) 3

33 σ w = E ( E e ( ε ) e ( )) ε Be nur k= Zälungen (Hauperebung und ener Wederolungszälung) s n den Formeln k= zu sezen. Wenn de Hauperebung selbs ene Scprobe m Umfang n s, dann kann de Konrollerebung enweder ene Unerscprobe m enem Umfang n' (n'<n) oder es werden alle Angaben aus der Scprobe auf re Felerafgke (n'=n) überprüf. De Formeln für de Punk- und Varanzscäzung snd dann nac den Regeln der Scprobeneore und der Scäzung ensprecend zu gesalen. Scleßlc kann auc de Konrollerebung be den Eneen n vollem Umfang we n der Hauperebung durcgefür werden (n=). De k Scäzformel für das Mel der ndvduellen Feler s dann eˆ = ( ε ) e ( ε ) k = = und de Varanz s dann enfac nac dem Scproben-Modell zu besmmen. In desem Mel werden öfers auc de ndvduellen Feler e ( ε ) je nac der Rcung des Enzelfelers unerscedlce Vorzecen (+ oder -) aben und daer bezecne man dese Gesammel als Mel der eo-feler. De Qualä der ndvduellen sasscen Daen aus ener Erebung, deren waren Were x z.b. aus ener Konrollerebung als Scprobe vom Umfang n gewonnen werden, kann man bekannlc nur m Hlfe des Melweres der Bruo-Angabefeler gebürend beurelen. Deser wrd aus den Absoluberägen der ndvduellen Angabefeler e ε gescäz. In de Scprobenformeln s jewels der Wer e ( ε ) enzusezen, ( ) d.. eˆ n k * ( ε ) n e ( ε ) n = k = =. Es gb Erebungen, n denen sc de ndvduellen eo-feler um symmersc verelen und der Melwer der eo-feler exak oder ungefär ( ) s, wärend der Melwer der Bruo-Feler ˆ e ε größer oder sogar ereblc größer als (> ) * ( ) n s. De Erebung wes also uner Umsänden große felerafe Daen auf (Srecker 995, 4-44). Abscleßend soll er noc auf das wcge Felermaß Mlerer quadrascer Feler "Mean Square Error (MSE)" ngewesen werden. Deser gb ene umfassende Auskunf über de Qualä der Daen. Er läss sc n folgende Komponenen zerlegen: MSE = Gesam(Scproben)- Anworvaranz + + Kovarnaz (Wecselwrkungen) + (Scprobenzufallsvaranz) Bas- Quadra 33

34 ac umfangrecen Umformungen (Srecker 98, 385-4) eräl man allgemen für ene Scprobe n ensprecend der vorseenden Symbolk de Mean Square Error-Zerlegung: erbe snd: n k MSE( yˆ ) = E( yˆ x ) E( yˆ x ) = ( k ) n ( k ) n g ( k ) n g,, σ R = [ + ( k ) ρ ( ) ( )( ) ] ( ˆ + n ρr + n k ρ R + V y( k ) n) + B nk Umfang der Scprobe Zal der (Wederolungs-)Zälungen σ R nk ρ ρ R Anworvaranz des Scprobenmels oder (Gesam-)Anworvarablä ( ) ' ( ) B = Y X B = Y X Bas (Gesam-Angabefeler) G Mlere Auokorrelaon der Angabewere y nneralb derselben Eneen be verscedenen (Wederolungs-)Zälungen, ' ( bzw. = j, ) Korrelaon zwscen den Angabeweren verscedener Eneen (j) n derselben (Wederolungs-)Zälung ( j, = ) ρ R Korrelaonen zwscen den Angaben verscedener Eneen (, j) be verscedenen (Wederolungs-)Zälen, ' ( j, ) V ( yˆ ) E( yˆ Y ) ( k ) n = ( k ) n Scprobenzufallsvaranz, Für de Scäzung des Mean Square Error (MSE) snd dann de ensprecenden Scäzwere für σ R, ρ, ρ R, ρ R, Vˆ ( y ˆ ( k ) n) n de Formel enzusezen. Für k= kann man Abscäzungen des MSE angeben: V ( yˆ ) B n + Unerer Scäzwer des MSE one Berückscgung der Anworvaranz ˆ σ R ( y ˆ n ) + V ( yn ) + B n Oberer Scäzwer des MSE m Berückscgung der Anworvaranz 34

35 Bespel In der amlcen Agrarsask Belgens werden se 965 n merjärgen Absänden deskrpve Konrollerebungen durcgefür. Beame des Sasscen Außendenses (Moneure) m Insu naonal de sasque nemen dese Überprüfung der ndvduellen Daen vor, um sassce Feler n den Angabeweren feszusellen. Das erfolg, ndem dese Bedenseen m Ramen ener Scprobe vom Umfang n ene nocmalge Zälung genau nac den Vorscrfen und Rclnen uner Zulfename von Unerlagen n den Bereben (z.b. Sallbücern, Terärzlcen Bescengungen, Verkaufs-Quungen usw.) durcfüren. Als Grundlage für dese Besmmung und Scäzung des Mels der Angabefeler usw. dene das Feler-Modell, we es vorseend dargeleg wurde. Auf Enzeleen deser acprüfungen soll er nc weer engegangen werden - n zalrecen enscläggen Veröffenlcungen (see z.b. Srecker, H., Weger, R., 994, nsbesondere S. bs 98) wurden de Meoden und Ergebnsse deser Konrollen dargeleg. De Überprüfung erfolge an de für de Ernärung wcgen naürlcen Merkmale - er Zal der Scwene. Dese Merkmalsbegrffe ändern sc n der Ze nc und de Zälungs- und Konrollergebnsse snd one Enscränkung voll verglecbar. In der Tabelle 8 snd m Auszug nur enge Maßzalen und Ergebnsse von zwe Erebungen und Konrollen m Ma 965 und Ma 97 aufgefür. Erwän se er, dass neben den Melweren der Angabefeler je Bereb (eo-feler) auc de ensprecenden Were der Bruo-Feler mgeel werden. We nc anders zu erwaren, snd de Mel der eo-feler ses klener als de der Bruo-Feler. Da es n der Wrscafssask nur wenge Angaben über den MSE gb, wurden er noc bewuss Scäzwere über den Mean Square Error aufgefür. De Größenordnungen der Mel der Angabewere und des Mean Square Error veranlassen kene Änderungen n der Organsaon und m Ablauf des Arbessysems der Landwrscafs- und Garenbauzälungen n Belgen. De durcscnlcen Angabefeler unersceden sc nc wesenlc von denen senerze n der Bundesrepublk Deuscland fesegesellen (96, e ˆ n = 7.% und V ˆ =.% - Sassces Bundesam). / ( ˆ ) e n 35

36 Tabelle 8: Belgen Ergebnsse der Landwrscafs- und Garenbauzälungen am 5. Ma 965 und 5. Ma 97 sowe zweer Konrollerebungen als Scproben n jewels n = 4 Auswalgemenden m nsgesam 96 Bereben n je 4 Bereben n jeder Auswalgemende. Merkmal: Zal der Scwene Zälung und Konrollerebung Zal der Umfang der Scprobe. Zal der (Konroll-) Mel des Angabefelers je Bereb Gemenden Berebe Gemenden Berebe e( ε ) n % ˆ eo-feler Scprobenzufallsvaranz (Wurzel) ˆ / V( e ˆ ) ( ε ) n % 5. Ma Ma Zälung Zal der Scwene Y Melzal der Scwene je Bereb Y Mlere Quadrasce Feler Mean Square Error Unerer Scäzwer ( ) Oberer Scäzwer Mel des Angabefelers je Bereb ˆ Bruo-Feler Scproben- Zufallsvaranz (Wurzel) Vˆ * / e( ε ) n % ˆ * ( e ) ( ε ) n % 5. Ma Ma Zälung Landwrscafs- und Garenbauzälung: Melwer und Varanz Scäzwer für den "waren" Wer der Zal der Scwene ˆX Bercges Zälungsergebns (Zalen gerunde) Zal der Scwene Y Scäzwer des Gesam- Angabefelers E ˆn Varanz (Wurzel) V ˆ / ( ˆ ) E n Bercges Zälungsergebns Zal der Scwene X Xˆ = Y + Eˆ n 5. Ma Ma Weere Hnwese und Kommenare zu desem Tema sollen er nc gegeben werden; das Wesenlce wurde mgeel. (äeres see Srecker 98, ) 36

37 Sclussbemerkungen In dem vorseenden Berag wurde gezeg, we ene Planung für ene sassce Erebung zu erfolgen a und welce Feler n den Zälungsergebnssen enalen snd sowe man dese besmmen und n Maßzalen (Melwere der Feler, Anworvaranzen, Anworvarabläen usw.) darsellen kann. Veles zu deser Problemak wäre noc anzumerken und auszufüren, aber er se nur auf ensclägge Veröffenlcungen verwesen. Ineressan wäre es, noc enge Grafken anzufergen, we z.b. u.a. de Verelung der ndvduellen Angabefeler oder Punk- und Sreuungsdagramme der ndvduellen "waren" Were und Angabewere m den Koordnaen-Acsen "warer" Wer und Angabewer, oder auc, wenn de ndvduellen Angabewere es erlauben, enen Verglec der Endzffern der ndvduellen Angabewere m den Endzffern der durc de Konrollen fesgesellen enzelnen Angaben, we z.b. dargesell n ener Agrarsask Belgens (Landwrscafs- und Garenbauzälung vom 5. Ma 965, H. Srecker/R. Weger, u.a., 983, 36-5, 85-88). De er dargelegen Verfaren wurden n der Landwrscafssask angewand. Se können auc one weeres auf Erebungen n der Bevölkerungs- und Wrscafssask überragen werden. De Were der Maßzalen we Mel der ndvduellen eo- und Bruo- Angabefeler, der Anworvarabläen, Inkonssenz-Indces usw. müssen von den Konsumenen der Sasken überprüf werden, ob de jewelgen Erebungsergebnsse für re Analysen und Auswerungen noc olererbar snd. Wenn nc, dann muss das Arbessysem so geänder werden können, dass akzepable Resulae gewonnen werden können. Grundsäzlc wrd sc n der Survey Sask n nc allzu ferner Ze mances ändern, wenn vele Daen n Compuern gespecer werden und es aus Gründen der Kosenersparns und Raonalserung kene sasscen Ergebnsse gewonnen aus ener bzw. mereren prmärsasscen (Wederolungs-)Zälungen m klassscen Snn geben wrd. Scäzwere we Anworvarablä oder Inkonssenz-Indces ec. können dann nc mer berecne werden und dam felen wcge Hnwese auf de Qualä sasscer Daen. Das bedeue ene ereblce Smplfzerung n der sasscen Daenanalyse. De Gesam-Ergebnsse Y G ener Zälung ( = l, Hauperebung) sezen sc n der = = erkömmlcen Sask aus den ndvduellen Angabeweren zusammen YG y =. und weer aufgegleder ( x + e + ε ) = X + E + ε = = = = Feler bzw. be ener Scprobe de Summaon von von bs n - E = e = sysemascer = n ( ). = 37