Mathematische Formelsammlung für Wirtschaftswissenschaftler

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1 Mathematische Formelsammlung für Wirtschaftswissenschaftler Fred Böker Institut für Statistik und Ökonometrie Georg-August-Universität Göttingen Platz der Göttinger Sieben 5 D Göttingen 18 April 2006 Tel FredBoeker@Wi-WissUni-Goettingende

2 Inhaltsverzeichnis 1 Matrizen und Vektoralgebra 2 11 Systeme linearer Gleichungen 2 12 Matrizen und Matrizenoperationen 2 13 Matrizenmultiplikation 4 14 Die transponierte Matrix 6 15 Gauß sche Elimination 7 16 Vektoren Geraden und Ebenen Determinanten Die Inverse einer Matrix Cramer sche Regel Das Leontief-Modell Partitionierte Matrizen Lineare Unabh ängigkeit Spur einer Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren Quadratische Formen 35 I

3 Vorwort Dies ist eine im Entstehen befindliche,,mathematische Formelsammlung für Wirtschaftswissenschaftler, die l ängst noch nicht fertig und ausgereift ist Es ist im Moment an vielen Stellen eine Materialsammlung, vielfach auch noch nicht im Stil einer Formelsammlung, da viel zu ausf ührlich Trotzdem m öchte ich sie meinen Studierenden schon in diesem Stadium zur Verf ügung stellen, nicht ganz ohne Eigennutz, denn ich erwarte mir davon R ückmeldungen, Hinweise, was denn noch fehlt oder vielleicht an anderer Stelle stehen sollte oder Wenn Sie mir etwas sagen m öchten, sprechen Sie mich an in der Vorlesungspause, in der Sprechstunde oder schicken Sie eine an fboeker@uni-goettingende Fred B öker,

4 Kapitel 1 Matrizen und Vektoralgebra 11 Systeme linearer Gleichungen Grundlegende Definitionen Ein allgemeines lineares Gleichungssystem mit n Variablen x 1,, x n und m Gleichungen ist gegeben durch: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 11, a 12,, a mn heißen die Koeffizienten des Systems und b 1,, b m die rechten Seiten a ij ist der Koeffizient der j-ten Variablen x j in der i-ten Gleichung Eine Lösung des Gleichungssystems ist ein n-tupel (s 1, s 2,, s n ), so dass x 1 = s 1, x 2 = s 2,, x n = s n das Gleichungssystem erf üllen Wenn das System mindestens eine L ösung hat, heißt es konsistent, andernfalls inkonsistent Ein lineares Gleichungssystem hat entweder ganau eine L ösung oder unendlich viele L ösungen oder keine L ösung 12 Matrizen und Matrizenoperationen Die Koeffizienten eines allgemeinen linearen Gleichungssystems werden als Matrix angeordnet: A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn 2

5 12 MATRIZEN UND MATRIZENOPERATIONEN 3 Grundlegende Defintionen A = (a ij ) m n = (a ij )ist eine m n Matrix (eine Matrix der Ordnung m n mit m Zeilen und n Spalten und mn Elementen Matrix mit einer Zeile ist Zeilenvektor, mit einer Spalte Spaltenvektor, beides zusammen sind Vektoren Falls m = n, heißt A quadratisch von der Ordnung n; die Elemente a 11, a 22,, a nn bilden dann die Hauptdiagonale Es seien A = (a ij ) und B = (b ij ) zwei m n Matrizen Zwei Matrizen A und B heißen gleich, wenn a ij = b ij f ür alle i = 1,, m und alle j = 1,, n, dh zwei Matrizen sind gleich, wenn sie dieselbe Ordnung haben und wenn alle entsprechenden Elemente gleich sind, andernfalls sind sie nicht gleich und man schreibt A B Die Summe der Matrizen A und B ist definiert durch A + B = (a ij ) m n + (b ij ) m n = (a ij + b ij ) m n Zwei Matrizen derselben Ordnung werden addiert, indem man die entsprechenden Elemente addiert Wenn α R, so ist αa definiert durch αa = α (a ij ) m n = (αa ij ) m n Um eine Matrix mit einem Skalar zu multiplizieren, muss man jedes Element mit diesem Skalar multiplizieren Rechenregeln für Matrizenaddition und Multiplikation mit Skalaren A, B und C seien m n Matrizen, α, β R und 0 sei die Nullmatrix der Ordnung m n, die nur aus Nullen besteht (a) (A + B) + C = A + (B + C) (b) A + B = B + A (c) A + 0 = A (d) A + ( A) = 0 (e) (α + β)a = αa + βa (f) α(a + B = αa + βb

6 4 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA 13 Matrizenmultiplikation Definition Das Matrizenprodukt C = AB zweier Matrizen A = (a ij ) m n und B = (b ij ) n p ist die m p Matrix C = (c ij ) m p, deren Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte das innere Produkt n c ij = a ir b rj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj r=1 der i-ten Zeile von A und der j-ten Spalte von B ist, dh jede Komponente a ir in der i-ten Zeile wird mit der entsprechenden Komponente b rj in der j-ten Spalte multipliziert und alle Produkte werden addiert Visualisierung der Matizenmultiplikation a 11 a 1h a 1n a i1 a ih a in a m1 a mh a mn b 11 b 1j b 1p b k1 b kj b kp b n1 b nj b np = c 11 c 1j c 1p c i1 c ij c ip c m1 c mj c mp

7 13 MATRIZENMULTIPLIKATION 5 Falk sches Schema zur Matrizenmultiplikation Man schreibe den linken Faktor A links unten, den rechten Faktor B rechts oben Im Kreuzungspunkt der i-ten Zeile von A und der j-ten Spalte von B steht dann deren Skalarprodukt als Element c ik b 11 b 1j b 1p b k1 b kj b kp b n1 b nj b np c a 11 a 1h a 11 c 1j c 1p 1n a i1 a ih a in = c i1 c ij c ip a m1 a mh a mn c m1 c mj c mp ACHTUNG: Das Matrizenprodukt AB ist nur dann definiert, wenn die Anzahl der Spalten in A gleich der Anzahl der Zeilen in B ist Beachten Sie: Wenn AB definiert ist, ist nicht notwendig auch BA definiert Selbst wenn beide definiert sind, ist im Allgemeinen AB BA Gleichungssysteme in Matrizenform Das allgemeine lineare Gleichungssystem kann mit a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn geschrieben werden als Ax = b Rechenregeln für die Matrizenmultiplikation, x = x 1 x 2 x n, b = b 1 b 2 b n Es seien A, B und C Matrizen Unter der Voraussetzung, dass alle Produkte definiert sind, gilt: (AB)C = A(BC) = ABC A(B + C) = AB + AC Assoziativgesetz linksseitiges Distributivgesetz (A + B)C = AC + BC rechtsseitiges Distributivgesetz Siehe S 2

8 6 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA Potenzen von quadratischen Matrizen Die n-te Potenz einer quadratischen Matrix A ist definiert durch: A n = AA A, dh A wird n-mal mit sich selbst multipliziert F ür eine m m Diagonalmatrix gilt: d d D = d m Dn = d n d n d n m Einheitsmatrix Die Einheitsmatrix der Ordnung n ist definiert durch: I = I n = Es gilt AI n = A f ür jede m n Matrix A und I n B = B f ür jede n m Matrix B und AI n = I n A = A f ür jede n n Matrix A ACHTUNG: AB BA, dh Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ AB = 0 impliziert nicht, dass entweder A oder B gleich 0 ist AB = AC und A 0 implizieren nicht, dass B = C n n 14 Die transponierte Matrix Definition Die zu der m n Matrix A transponierte n m Matrix A oder A t entsteht aus A, indem man Zeilen und Spalten vertauscht: a 11 a 12 a 1n a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a 2n a 21 a 22 a m2 A = a m1 a m2 a mn Dh A = ( a ij), wobei a ij = a ji A = a 1n a 2n a mn

9 15 GAUSS SCHE ELIMINATION 7 Rechenregeln für das Transponieren Es seien A und B Matrizen und α R, so dass alle folgenden Operationen definiert sind Dann gilt: (a) (A ) = A (b) (A + B) = A + B (c) (αa) = αa (d) (AB) = B A Symmetrische Matrizen Quadratische Matrizen, die symmetrisch bez üglich der Hauptdiagonalen sind, werden symmetrsich genannt, dh A ist genau dann symmetrisch, wenn A = A a ij = a ji f ür alle i, j = 1, 2,, n 15 Gauß sche Elimination Elementare Umformungen eines linearen Gleichungssystems Bei den folgenden elementaren Umformungen ändert sich sich die L ösungsmenge nicht: Z1: Multiplikation (Division) einer Zeile mit (durch) eine Zahl c 0 Z2: Addition (Subtraktion) einer Zeile zu (von) einer anderen Zeile Z3: Vertauschen zweier Zeilen Mit Z1 und Z2 zusammmen erh ält man Z4: Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile S1: Vertauschen zweier Spalten (Dabei muss man sich merken, welche Variablen vertauscht wurden!) Z1 - Z4 zusammmen nennt man elementare Zeilenumformungen Zur L ösung von linearen Gleichungssystemen siehe auch S 22, 27 und 29

10 8 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA Treppenstufenform Ein Gleichungssystem hat eine Treppenstufenform oder Zeilenstufenform, wenn alle Koeffizienten von x i unterhalb der i-ten Zeile Null sind a 11 a 12 a 13 a 1n 0 a 22 a 23 a 2n 0 0 a A = 33 a 3n a 4n a mn Ein führender Eintrag ist die erste Variable in einer Zeile, deren Koeffizient von Null verschieden ist Gauß sches Eliminationsverfahren oder Gauß-Jordan-Methode (1) Erzeugen Sie eine Treppenstufenform mit 1 als Koeffizienten f ür jeden f ührenden Eintrag (2) Erzeugen Sie Nullen über jedem f ührenden Eintrag (3) Man erh ält die allgemeine L ösung, indem man die Unbekannten, die als f ührende Eintr äge auftreten durch diejenigen Unbekannten ausdr ückt, die nicht als f ührende Eintr äge auftreten Die letzteren Unbekannten (wenn es welche gibt) k önnen frei gew ählt werden Die Anzahl der Unbekannten, die frei gew ählt werden k önnen (m öglicherweise 0) ist gleich der Anzahl der Freiheitsgrade des Systems Auf Schritt (2) kann manchmal verzichtet werden, insbesondere dann, wenn die Anzahl der Freiheitsgrade 0 ist Man l öst dann zun ächst die unterste Gleichung, setzt dann die L ösung in die dar über stehende Gleichung ein usw In der Praxis wende man das Verfahren auf die erweiterte Koeffizientenmatrix an Ergibt sich dabei eine Zeile mit Nullen als Koeffizienten der Variablen, w ährend die zugeh örige rechte Seite nicht Null ist, so ist das Gleichungssystem nicht l ösbar (inkonsistent) Mit den Schritten (1) und (2) werden in den Spalten Einheitsvektoren e i erzeugt, die an der i-ten Stelle eine 1 und sonst Nullen haben Die Maximalzahl der in der linken Seite des Gleichungssystems erzeugbaren (unterschiedlichen) Einheitsvektoren nennt man den Rang rg(a) der Matrix A Das durch die Schritte (1) und (2) erzeugte Gleichungssystem nennt man ein Siehe auch S 28

11 15 GAUSS SCHE ELIMINATION 9 kanonisches Gleichungssystem Es hat die Gestalt: x 1 x 2 x k x k+1 x n b b b 2 R b k b k b m Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems Die L ösbarkeit h ängt von b k+1,, b m ab 1) Mindestens einer der Werte b k+1 ist von Null verschieden Es gibt keine L ösung 2) b k+1 = b k+2 = = b m = 0: Die letzten n k Zeilen k önnen gestrichen werden Man erh ält ein Gleichungssystem mit k Gleichungen in n Variablen a) n > k: Es gibt unendlich viele L ösungen n k Variablen k önnen frei gew ählt werden b) n = k: Es gibt eine eindeutige L ösung x 1 = b 1, x 2 = b 2,, x n = b n Das lineare Gleichungssystem Ax = b aus m Gleichungen mit n Variablen ist (i) eindeutig l ösbar, wenn nach Streichen aller im Verlauf des Gaußschen Eliminationsverfahrens auftretender Nullzeilen ein widerspruchsfreies kanonisches System mit n Gleichungen und n Variablen übrig bleibt (ii) mehrdeutig l ösbar (mit unendlichen vielen L ösungen), wenn nach Streichen aller im Verlauf des Gauß schen Eliminationsverfahrens auftretender Nullzeilen ein widerspruchsfreies kanonisches System mit weniger Gleichungen als Variablen übrig bleibt (iii) nicht l ösbar, wenn im Verlauf der elementaren Zeilenoperationen eine Nullzeile mit nicht verschwindender rechter Seite auftritt Basis- und Nichtbasisvariablen, Basislösung In einem kanonischen Gleichungssystem nennt man die zu den k Einheitsvektoren geh örenden Variablen Basisvariablen, alle übrigen Nichtbasisvariablen W ählt man f ür s ämtliche Nichtbasisvariablen den Wert Null, so nennt man die sich ergebende spezielle L ösung eine Basisl ösung

12 10 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA Die obige Form des kanonischen Gleichungssystems l ässt sich meist nur durch Vertauschen von Spalten erreichen Man spricht auch dann von einem kanonischen Gleichungssystem, wenn man die Spalten nicht vertauscht, dh immer dann, wenn man k verschiedene Einheitsvektoren und darunter Nullzeilen erzeugt hat Pivotisieren In der k-ten Spalte von A soll der Einheitsvektor e i (mit 1 an der i-ten Stelle, dh 1 statt a ik 0 und sonst Nullen) erzeugt werden a ik heißt das Pivotelement, die k-te Spalte heißt Pivotspalte, die i-te Zeile Pivotzeile (i) Alle Elemente a jp, b j außerhalb der Pivotzeile und Pivotspalte werden ersetzt durch a jp a jka ip a ik bzw b j a jkb i a ik (ii) Alle Elemente a ip, b i der Pivotzeile werden ersetzt durch a ip a ik bzw b i a ik 16 Vektoren Grundlegende Definitionen Eine Matrix mit einer Zeile ist ein Zeilenvektor,, mit einer Spalte ein Spaltenvektor, beides sind Vektoren F ür einen 1 n Zeilenvektor schreiben wir: a = (a 1, a 2,, a n ) mit den Komponenten oder Koordinaten a i, i = 1, 2,, n als i-ter Komponente oder i-ter Koordinate a ist ein n-vektor oder ein Vektor der Dimension n, verk örpert durch einen Punkt im R n Zwischen den n-vektoren a und b sind die folgenden Operationen definiert, wenn t, s R: (A) a = b, wenn a i = b i, i = 1,, n (B) a + b = (a 1 + b 1,, a n + b n ) (C) ta = (ta 1,, ta n ) (D) a b = a + ( 1)b = (a 1 b 1,, a n b n ) (E) ta + sb = (ta 1 + sb 1,, ta n + sb n ) Gleichheit Summe Multiplikation mit einem Skalar Differenz Linearkombination (F) a b = a 1 b 1 + a 2 b a n b n = n a i b i R i=1 Inneres Produkt Das innere Produkt (auch Skalarprodukt oder Punktprodukt) ist ein Skalar (Zahl) und kein Vektor!

13 16 VEKTOREN 11 Rechenregeln für das innere Produkt Falls a, b und c jeweils n-vektoren und α R ein Skalar, so gilt: (a) a b = b a (b) a (b + c) = a b + a c (c) (αa) b = a (αb) = α(a b) (d) a a > 0 a 0 Geometrische Interpretation von Vektoren Definition F ür zwei Punkte P = (p 1, p 2 ) und Q = (q 1, q 2 ) Punkte in der xy-ebene heißt die Strecke von P nach Q mit dem Startpunkt P und dem Endpunkt Q der geometrische Vektor oder die gerichtete Strecke P Q Zwei geometrische Vektoren, die dieselbe Richtung und dieselbe L änge haben, sind gleich a = (a 1, a 2 ) = P Q = (q 1 p 1, q 2 p 2 ), dh ein Vektor kann aufgefasst werden als geordnetes Paar (a 1, a 2 ) oder gerichtete Strecke P Q Interpretation der Vektoroperationen Die Vektoren a = (a 1, a 2 ) und b = (b 1, b 2 ) beginnen beide im Urspung (0, 0) des Koordinatensystems a + b ist die Diagonale, in dem durch die Seiten a und b bestimmten Parallelogramm a b verl äuft von der Pfeilspitze dea Vektors b zur Pfeilspitze des Vektors a Es ist b + (a b) = a = (a b) + b ta ist f ür t > 0 der Vektor mit derselben Richtung wie a und der t-fachen L änge von a, f ür t < 0 ist die Richtung entgegengesetzt und die L änge wird mit t multipliziert Bilder??? 3 und n-dimensionaler Raum In der Ebene, dh im 2-dimensionalen Raum R 2, ist ein Punkt oder Vektor gleich einem Paar (a 1, a 2 ) von reellen Zahlen Analog ist ein Punkt oder Vektor im 3-dimensionalen Raum R 3 ein Tripel von reellen Zahlen (a 1, a 2, a 3 ), interpretierbar als geometrischer Vektor im R 3 Das Parallelogrammgesetz f ür die Summe zweier Vektoren gilt wie im R 2, auch die Interpretation f ür die Multiplikation mit einem Skalar bleibt erhalten

14 12 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA Länge von Vektoren Definition Die L änge oder die Norm von a = (a 1, a 2,, a n ) ist a = a a = a a a 2 n Dh a ist die Entfernung des Punktes (a 1, a 2,, a n ) vom Ursprung (0, 0,, 0) Wichtige Ungleichungen (a b) 2 a 2 b 2 a b a b Cauchy-Schwarz-Ungleichung a + b a + b Dreiecksungleichung für Normen Orthogonalität Bild wie 1587 Im R 2 oder R 3 ist der Winkel ϑ zwischen den Vektoren a und b genau dann ein rechter Winkel (= 90 ), dh die Vektoren sind ortogonal, in Zeichen a b, wenn a 2 + b 2 = a b 2 a b = 0 Orthogonalität im R n Im R n sind die Vektoren a und b per Definition genau dann orthogonal, wenn a b = 0 Der Winkel ϑ zwischen ihnen wird definiert durch: cos ϑ = a b a b (ϑ [0, π]) Es gilt: 1 ϑ 1 und cos ϑ = 0 a b = 0 ϑ = π/2

15 17 GERADEN UND EBENEN 13 In der Statistik ist f ür x = (x 1,, x n ) und y = y 1,, y n ) mit a = (x 1 x,, x n x) und b = (y 1 ȳ,, y n ȳ), wobei x = n 1 n x i und ȳ = n 1 n y i die Mittelwerte sind, i=1 cos ϑ der Korrelationskoeffizient ρ, Maß f ür die Korrelation der Daten Wenn ρ = 1 (ρ = 1), existiert eine Konstante α > 0 (α < 0), so dass x i x = α(y i ȳ) In beiden F ällen sind die Variablen vollständig korreliert F ür ρ > 0 sind die Variablen positiv korreliert, f ür ρ < 0 sind sie negativ korreliert i=1 17 Geraden und Ebenen Gerade im n-dimensionalen Raum Die Gerade L in R n durch die Punkte a = (a 1,, a n ) und b = (b 1,, b n ) ist die Menge aller Punkte x = (x 1,, x n ) mit x = (1 t)a + tb t R F ür die Koordinaten gilt x i = (1 t)a i + tb i (i = 1,, n) Bild wie 1593 Die Gerade durch p = (p 1,, p n ) in derselben Richtung wie a = (a 1,, a n ) ist: x = p + ta Hyperebenen Grundlegende Definitionen Im R 3 ist der Vektor p = (p 1, p 2, p 3 ) Normale zu einer Ebene P, wenn p normal (orthogonal oder senkrecht) zu jeder Geraden in der Ebene ist, dh wenn x = (x 1, x 2, x 3 ) P, so ist p (x a) = 0 oder (p 1, p 2, p 3 )(x 1 a 1, x 2 a 2, x 3 a 3 ) = p 1 x 1 + p 2 x 2 + p 3 x 3 (p 1 a 1 + p 2 a 2 + p 3 a 3 ) = 0 Dies ist die allgemeine Gleichung einer Ebene durch (a 1, a 2, a 3 ) Die Koeffizienten (p 1, p 2, p 3 ) von x 1, x 2, x 3 bilden einen von Null verschiedenen Vektor, der normal zu der Ebene ist Die Hyperebene H im R n durch a = (a 1,, a n ), die orthogonal zu dem Nichtnullvektor p = (p 1,, p n ) ist, ist die Menge aller Punkte x = (x 1,, x n ) mit p (x a) = 0

16 14 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA Ersetzt man p durch sp mit s 0, so ergibt sich die gleiche Hyperebene Die Koordinatendarstellung der Hyperebene ist: oder p 1 (x 1 a 1 ) + p 2 (x 2 a 2 ) + + p n (x n a n ) = 0 p 1 x 1 + p 2 x p n x n = A mit A = p 1 a 1 + p 2 a p n a n 18 Determinanten Determinanten der Ordnung 2 Das Gleichungssystem ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a11 a, A = 12 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 a 21 a 22 mit der Koeffizientenmatrix A hat die L ösung: x 1 = b 1a 22 b 2 a 12, x 2 = b 2a 11 b 1 a 21 a 11 a 22 a 21 a 12 a 11 a 22 a 21 a 12 Der Nenner a 11 a 22 a 21 a 12 muss 0 sein, dh er bestimmt, ob es eine eindeutige L ösung gibt Definition der Determinante A = det(a) = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12 heißt Determinante von A Es ist eine Determinanteder Ordnung 2 Geometrisch ist jede der beiden Gleichungen eine Gerade Wenn A 0, schneiden sich die beiden Geraden in (x 1, x 2 ) Wenn A = 0 hat das Gleichungssystem entweder keine L ösung (die Geraden verlaufen parallel) oder unendlich viele L ösungen (die beiden Geraden fallen zusammen) Cramer sche Regel Falls A 0, ist die L ösung des Gleichungssystems: b 1 a 12 b 2 a 22 x 1 =, x 2 = A a 11 b 1 a 21 b 2 A

17 18 DETERMINANTEN 15 Geometrische Interpretation Bild 1611 Determinante ist Fl äche des schraffierten Parallelogramms Determinanten der Ordnung 3 Definition F ür eine 3 3-Matrix ist die Determinante (der Ordnung 3) gegeben durch: a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 +a 12 a 23 a 31 a 12 a 21 a 33 +a 13 a 21 a 31 a 13 a 22 a 31 Entwicklung nach Co-Faktoren Es gilt A = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 31 a 22 a 31 ) Dies ist gleichbedeutend mit: A = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 Dh die Berechnung einer Determinante der Ordnung 3 wird auf die Berechnung von Determinanten der Ordnung 2 zur ückgef ührt Cramer sche Regel

18 16 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA Die L ösung des Gleichungssystems a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 ist gegeben durch: b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 x 1 =, x 2 = A a 11 b 1 a 13 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a 33, x 3 = A a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 A Beachten Sie, dass der Vektor der rechten Seiten von der ersten Spalte der Determinante im Z ähler zur dritten Spalte der Determinante verschoben wird Die entsprechende Spalte von A wird jeweils gestrichen Die Determinate kann als Volumen der von den drei Vektoren (a i1, a i2, a i3 ), i = 1, 2, 3 aufgespannten,,box interpretiert werden Regel von Sarrus F ür 3 3-Matrizen (und nur f ür diese) kann die folgende Regel verwendet werden: Schreiben Sie die Determinanten zweimal hintereinander auf, lassen Sie jedoch bei der zweiten Determinante die dritte Spalte weg a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Multiplizieren Sie entlang der drei nach rechts abfallenden Linien und geben Sie diesen Produkten ein Pluszeichen: a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 Multiplizieren Sie entlang der drei nach rechts aufsteigenden Linien und geben Sie diesen Produkten ein Minuszeichen: a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 Die Summe aller sechs Terme ist A Determinanten der Ordnung n

19 18 DETERMINANTEN 17 Definition a 11 a 12 a 1n a A = (a ij ) n n A = 21 a 22 a 2n = (±)a 1r1 a 2r2 a nrn a n1 a n2 a nn Die zweiten Indices r 1, r 2,, r n sind eine Vertauschung oder Permutation der Zahlen 1, 2,, n Es gibt n! Permutationen der Zahlen 1, 2,, n Die Summe ist über alle diese Permutationen zu bilden A ist eine Summe von n! Termen, wobei gilt: 1 Jeder Term ist das Produkt von n Elementen der Matrix, mit einem Element aus jeder Zeile und einem Element aus jeder Spalte Ferner muss jedes Produkt aus genau n Faktoren, in dem jede Zeile und jede Spalte genau einmal repr äsentiert ist, in dieser Summe erscheinen 2 Das Vorzeichen jedes Terms erh ält man durch die folgende Vorzeichenregel: Markieren Sie in der Matrix alle Elemente, die in diesem Term auftauchen Verbinden Sie alle m öglichen Paare dieser Elemente durch Linien Diese Linien werden dann entweder nach rechts fallen oder steigen Wenn die Anzahl der steigenden Linien gerade ist, erh ält der entsprechende Term ein Pluszeichen, wenn sie ungerade ist, ein Minuszeichen Determinanten von Dreiecksmatrizen Man spricht von einer oberen Dreiecksmatrix, wenn alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen Null sind, entsprechend von einer unteren Dreicksmatrix, wenn alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen Null sind F ür die Determinanten gilt: a 11 a 12 a 1n a a 22 a 2n a = a 11 a 22 a nn 21 a 22 0 = a 11 a 22 a nn 0 0 a nn a n1 a n2 a nn Rechenregeln für Determinanten

20 18 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA F ür eine n n Matrix A gilt: A Wenn alle Elemente in einer Zeile oder Spalte von A gleich 0 sind, dann ist A = 0 B A = A, wobei A die Transponierte von A ist C Wenn alle Elemente in einer einzelnen Zeile oder Spalte von A mit einer Zahl α multipliziert werden, wird die Determinante mit α multipliziert D Wenn zwei Zeilen oder zwei Spalten einer Matrix vertauscht werden, wechselt die Determinante das Vorzeichen, der Absolutwert bleibt unver ändert E Wenn zwei der Zeilen oder Spalten von A proportional sind, dann ist A = 0 F Der Wert der Determinante von A bleibt unver ändert, wenn das Vielfache einer Zeile (oder einer Spalte) zu einer anderen Zeile (oder einer anderen Spalte) von A addiert wird G Wenn B ebenfalls eine n n Matrix ist, so gilt: AB = A B H F ür α R gilt: αa = α n A ACHTUNG: A + B A + B (im Allgemeinen)

21 18 DETERMINANTEN 19 Entwicklung nach Co-Faktoren Die Entwicklung von A nach den Elementen der i-ten Zeile ist: A = a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a ij C ij + + a in C in Die Entwicklung von A nach den Elementen der j-ten Spalte ist: A = a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a ij C ij + + a nj C nj Den Co-Faktor C ij von a ij erh ält man, indem man 1) die Streichungsmatrix bildet, dh die Matrix, in der die i-te Zeile und j-te Spalte von A gestrichen ist 2) die Determinante der Streichungsmatrix, dh den sogenannten Minor bildet 3) den Minor mit ( 1) i+j multipliziert a 11 a 1,j 1 a 1j a 1,j+1 a 1n a 21 a 2,j 1 a 2j a 2,j+1 a 2n C ij = ( 1) i+j a i1 a i,j 1 a ij a i,j+1 a in a n1 a n,j 1 a nj a n,j+1 a nn Entwicklung einer Determinante nach (anderen) Co-Faktoren F ür die Entwicklung einer Determinante nach den Cofaktoren der eigenen bzw einer anderen Zeile (oder Spalte) gilt: a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in = A a i1 C k1 + a i2 C k2 + + a in C kn = 0 (k i) a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a nj C nj = A a 1j C 1k + a 2j C 2k + + a nj C nk = 0 (k j)

22 20 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA 19 Die Inverse einer Matrix Grundlegende Definitionen Eine n n Matrix A ist invertierbar, wenn es eine n n Matrix A 1 gibt, so dass AA 1 = A 1 A = I A 1 heißt die Inverse von A und A ist die Inverse von A 1, dh zwei Matrizen sind immer gegenseitig invers Die Inverse ist eindeutig bestimmt Nur quadratische Matrizen k önnen eine Inverse haben Eine quadratische Matrix wird singulär genannt, wenn A = 0 ist und nichtsingulär, wenn A 0 ist Existenz einer Inversen Die Matrix A genau dann eine Inverse, wenn nichtsingul är ist A 0, dh genau dann, wenn sie ( a b A = c d ), A = ad bc 0 A 1 = 1 ad bc ( d ) b c a = 1 A ( d ) b c a AX = I X = A 1 und Y A = I Y = A 1, dh eine der beiden Definitionsgleichungen ist hinreichend! Rechenregeln für inverse Matrizen A und B seien invertierbare n n Matrizen Dann gilt: (a) A 1 ist invertierbar und (A 1 ) 1 = A (b) AB ist invertierbar und (AB) 1 = B 1 A 1 (c) Die Transponierte A ist invertierbar und (A ) 1 = ( A 1) (d) (ca) 1 = c 1 A 1 f ür jede Zahl c 0 Die Inverse einer symmetrischen Matrix ist symmetrisch Eigenschaft (b) l ässt sich auf mehrere Faktoren erweitern: (ABC) 1 = C 1 B 1 A 1

23 19 DIE INVERSE EINER MATRIX 21 Lösung von Gleichungen durch Matrizeninversion Gegeben seien eine n n Matrix A und eine beliebige Matrix B Falls A 0 und es Matrizen X und Y mit geeigneter Ordnung gibt, so gilt: AX = B X = A 1 B und Y A = B Y = BA 1 Eine allgemeine Formel für die Inverse Sei C + = (C ij ) die Matrix der Co-Faktoren Die Transponierte davon wird als Adjungierte von A bezeichnet, dh C 11 C k1 C n1 adj(a) = ( C +) C = 12 C k2 C n2 C 1n C kn C nn Falls A 0, gilt: A 1 = 1 A adj(a) Bestimmung der Inversen durch elementare Zeilenumformungen Man bilde mit der n n Matrix A und der Einheitsmatrix I die n 2n-Matrix a 11 a 12 a 1n (A : I) = a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Durch elementare Zeilenumformungen transfomiere man diese Matrix in die n 2n Matrix (I : B), in der links die n n Matrix I steht Dann ist die Inverse A 1 = B, dh die rechts stehende Matrix Wenn diese Transformation nicht m öglich ist, ist A nicht invertierbar Inverse einer Diagonalmatrix a a 22 0 A = = A 1 = 0 0 a nn 1/a /a /a nn

24 22 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA 110 Cramer sche Regel F ür das allgemeine lineare Gleichungssystem mit n linearen Gleichungen und n Unbekannten a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n definieren wir a 11 a 1j 1 b 1 a 1j+1 a 1n a D j = 21 a 2j 1 b 2 a 2j+1 a 2n a n1 a nj 1 b n a nj+1 a nn, j = 1,, n dh die j-te Spalte aus A wird durch den Vektor der rechten Seiten ersetzt Das Gleichungssystem hat genau dann eine eindeutige L ösung, wenn die Koeffizientenmatrix A nichtsingul är ( A 0) ist Die L ösung ist dann x j = D j A j = 1,, n Homogene Gleichungssysteme Definition Wenn im allgemeinen linearen Gleichungssystem Ax = b mit n Gleichungen und n Unbekannten die rechte Seite b = (b 1,, b n ) = 0 ist, heißt das System homogen, dh Ax = 0 Das homogene Gleichungssystem hat immer die triviale Lösung: x 1 = x 2 = = x n = 0 Zur L ösung von linearen Gleichungssystemen siehe auch S 7, 27 und 29

25 111 DAS LEONTIEF-MODELL 23 Nichttriviale Lösungen homogener Gleichunssysteme Das homogene lineare Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten hat genau dann nichttriviale L ösungen, wenn die Koeffizientenmatrix A = (a ij ) n n singul är ist, dh wenn A = 0 ist 111 Das Leontief-Modell Mit den Outputgr ößen x = (x 1, x 2,, x n ), den Input-Koeffizienten a 11, a 12,, a nn und den Endnachfragegr ößen b = (b 1, b 2,, b n ) ist das Leontief Modell gegeben durch: x 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n + b 1 x 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n + b 2 x n = a n1 x 1 + a n2 x a nn x n + b n (1 a 11 )x 1 a 12 x 2 a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + (1 a 22 )x 2 a 2n x n = b 2 a n1 x 1 a n2 x (1 a nn )x n = b n In Matrixschreibweise gilt: Mit dem St ückpreis p i des Gutes i gilt x = Ax + b (I n A)x = b a 1j p 1 + a 2j p a nj p n p j a 1j p 1 a 2j p 2 a nj p n =: v j St ückkosten f ür Gut j St ückgewinn f ür Gut j Mit p = (p 1, p 2,, p n ) und v = (v 1, v 2,, v n ) ist p A p = v (I n A )p = v p (I n A) = v

26 24 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA 112 Partitionierte Matrizen Definition Falls f ür die m n-matrix A die folgende Zerlegung gilt a 11 a 1s a 1,s+1 a 1n a r1 a rs a r,s+1 a rn ( ) A = A11 A = 12 A 21 A 22 a r+1,1 a r+1,s a r+1,s+1 a r+1,n, a m1 a ms a m,s+1 a mn wobei A 11 eine r s-, A 12 eine r (n s)-, A 21 eine (m r) s- und A 22 eine (m r) (n s)-matrix ist, spricht man von einer partionierten Matrix Es ist eine weitere Zerlegung m öglich: A 11 A 12 A 1q A A = 21 A 22 A 2q A p1 A p2 A pq

27 112 PARTITIONIERTE MATRIZEN 25 Rechenregeln für partionierte Matrizen Sind A, A 11, A 22,, A qq quadratisch (p = q) und A ij = 0 f ür alle i j, ergibt sich eine Blockdiagonalmatrix Falls alle A ii invertierbar sind, gilt: A A A = A qq A 1 = A , 0 0 A 1 qq Falls die Ordnungen der entsprechenden Summanden übereinstimmen, gilt f ür die Summe: ( ) ( ) ( ) A11 A 12 B11 B + 12 A11 + B = 11 A 12 + B 12, A 21 A 22 B 21 B 22 A 21 + B 21 A 22 + B 22 A 1 F ür die Multiplikation mit einem Skalar α R gilt: ( ) ( ) A11 A α 12 αa11 αa = 12 A 21 A 22 αa 21 αa 22 Falls die Untermatrizen geeignete Ordnungen haben, gilt f ür das Produkt: ( ) ( ) ( ) A11 A 12 B11 B 12 A11 B = 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22, A 21 A 22 B 21 B 22 A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22 F ür die Transponierte gilt: ( A11 A 12 A 21 A 22 ) ( ) A 11 A 21 = A 12 A 22

28 26 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA Inverse einer partitionierten Matrix ( ) A11 A Sei A = 12 eine invertierbare n n Matrix Ferner sei A A 21 A 11 eine invertierbare 22 r r-matrix Dann gilt: ( A11 A 12 A 21 A 22 wobei = A 22 A 21 A 1 11 A 12 Falls A und A 22 invertierbar sind, gilt: ( ) 1 ( A11 A 12 = A 21 A 22 wobei = A 11 A 12 A 1 22 A 21 ) 1 ( ) A A 1 11 A = 12 1 A 21 A 1 11 A 1 11 A A 21 A , 1 1 A 12 A 1 22 A 1 22 A 1 21 A A 1 22 A 1 21 A 12 A 1 22 ), Determinante einer partitionierten Matrix: F ür die Determinante einer partionierten Matrix gilt, falls die jeweils vorkommenden Inversen Matrizen existieren: A 11 A 12 A 21 A 22 = A 11 A 22 A 21 A 1 11 A 12 = A 22 A 11 A 12 A 1 22 A 21 Spezielle dreieckige Partionierungen Falls die Matrizen A 11 und A 22 invertierbar sind ( ) 1 ( A11 A 12 A 1 11 A 1 11 = A ) 12A 1 22 A 11 A 12 0 A 22 0 A A 22 = A 11 A 22 ( A11 0 A 21 A 22 ) 1 = ( A A 1 22 A 21 A 1 11 A 1 22 ) A 11 0 A 21 A 22 = A 11 A 22

29 113 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT Lineare Unabhängigkeit Grundlegende Definitionen Die n Vektoren a 1, a 2,, a n im R m heißen linear abhängig, wenn es Zahlen c 1, c 2,, c n gibt, die nicht alle 0 sind, so dass c 1 a 1 + c 2 a c n a n = 0 Falls diese Gleichung nur gilt, wenn c 1 = c 2 = = c n = 0, so heißen die Vektoren linear unabhängig Der Vektor b = c 1 a 1 + c 2 a c n a n heißt eine Linearkombination der Vektoren a 1, a 2,, a n Charakterisierung linear unabhängiger Vektoren Eine Linearkombination linear unabh ängiger Vektoren kann nur dann der Nullvektor sein, wenn alle Koeffizienten in der Linearkombination Null sind Die n Vektoren a 1, a 2,, a n sind linear abh ängig, wenn wenigstens einer von ihnen als Linearkombination der anderen Vektoren geschrieben werden kann Die n Vektoren a 1, a 2,, a n sind genau dann linear unabh ängig, wenn keiner von ihnen als Linearkombination der anderen geschrieben werden kann Im R 2 gilt: Zwei Vektoren a 1 und a 2 sind genau dann linear abh ängig, wenn a 1 = ca 2 f ür ein c R, dh wenn a 1 ein Skalares Vielfaches von a 2 ist, dh wenn die Punkte a 1 und a 2 auf derselben Geraden durch den Urspung liegen (Bild??) Je drei Vektoren sind linear abh ängig Im R 3 gilt: Seien a 1 und a 2 zwei Vektoren mit a 2 ca 1, dh sie sind linear unabh ängig Alle Linearkombinationen c 1 a 1 + c 2 a 2 bilden die von a 1 und a 2 aufgespannte Ebene Jeder Vektor in dieser Ebene ist linear abh ängig von a 1 und a 2 Falls a 3 nicht in der von a 1 und a 2 aufgespannten Ebene liegt, sind a 1, a 2 und a 3 linear unabh ängig Drei Vektoren sind linear abh ängig, wenn sie alle in derselben Ebene liegen, sie sind linear unabh ängig, wenn es keine Ebene gibt, die alle drei Vektoren enth ält Vier Vektoren sind stets linear abh ängig Im R m gilt: Zwei Vektoren a 1 und a 2 sind genau dann linear abh ängig, wenn sie proportional zueinander sind, dh wenn a 1 = ca 2 Wenn c 0, sind die beiden Vektoren parallel Lineare Abhängigkeit und lineare Gleichungssysteme Zur L ösung von linearen Gleichungssystemen siehe auch S 7, 22 und 29

30 28 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA Grundlegende Definitionen Das allgemeine lineare Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten kann geschrieben werden als a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 x 1 a x n a n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Dabei sind a 1,, a n die Spaltenvektoren der Koeffizientenmatrix und b ist der Vektor der rechten Seiten Es gilt A = (a 1,, a n ) Lineare Abhängigkeit und Lösbarkeit des Gleichungssystems Wenn das Gleichungssystem mehr als eine L ösung hat, sind die Vektoren a 1,, a n linear abh ängig Äquivalent dazu ist: Wenn die Vektoren a 1,, a n linear unabh ängig sind, hat das Gleichungssystem h öchtens eine L ösung Die n Spaltenvektoren der n n Matrix A = (a 1,, a n ) sind genau dann linear unabh ängig, wenn A 0 Äquivalent dazu ist die Aussage: Die n Spaltenvektoren der n n Matrix A = (a 1,, a n ) sind genau dann linear abh ängig, wenn A = 0 Orthogonalität und lineare Unabhängigkeit Falls die n Vektoren a 1,, a n im R m, wobei n m paarweise orthogonal sind, dh a i a j ( a i a j = 0) f ür alle i j, so sind sie linear unabh ängig Der Rang einer Matrix Definition Der Rang einer Matrix A, bezeichnet mit r(a) ist die Maximalzahl linear unabh ängiger Spaltenvektoren in A Falls A die Nullmatrix 0 ist, so setzen wir r(a) = 0

31 113 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT 29 Eigenschaften des Ranges Der Rang einer Matrix A ist gleich der Ordnung des gr ößten Minors von A, der verschieden von 0 ist Einen Minor der Ordnung k von A erh ält man, indem man alle bis auf k Zeilen und k Spalten der Matrix streicht und von der sich ergebenden k k-matrix die Determinante bildet Wenn A eine quadratische Matrix der Ordnung n ist, so ist der gr ößte Minor von A gleich A, so dass gilt r(a) = n A 0 Es gilt: r(a) = r(a ), so dass der Rang von A auch gleich der Maximalzahl linear unabh ängiger Zeilenvektoren ist Der Rang einer Matrix wird durch die folgenden elementaren Umformungen nicht ver ändert: (a) Vertauschung zweier Zeilen (Spalten) (b) Multiplikation jedes Elements einer Zeile (Spalte) mit einem Skalar α 0 (c) Addition des α-fachen der i-ten Zeile (Spalte) zur j-ten Zeile (Spalte), wobei i j Jede Matrix l ässt sich mit elementaren Zeilenumformungen in Zeilenstufenform bringen und man schreibt A B, wenn B durch elementare Zeilenumformungen aus A hervorgeht Die Anzahl r von Zeilen 0 ist eindeutig bestimmt und ist gleich dem Rang r(a) Wenn A eine m n-matrix ist, so ist r(a) min(m, n) Ist r(a) = m bzw r(a) = n, so heißt A zeilen- bzw spaltenregulär Ist r(a) = n f ür eine quadratische Matrix der Ordnung n, so heißt A regulär, andernfalls singulär Damit ist eine Matrix genau dann regul är, wenn sie nichtsingul är (dh A 0), dh genau dann, wenn sie invertierbar ist Falls B und C weitere Matrizen sind, so dass die folgenden Operationen erlaubt sind, so gilt: (a) r(a + B) r(a) + r(b) (c) r(a) = r(a ) (e) r(a) = r(ab) = r(ca), falls B und C regul är sind (b) r(ab) min(r(a), r(b)) (d) r(a A) = r(aa ) = r(a) Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Erweiterte Koeffizientenmatrix Siehe auch S 7 Zur L ösung von linearen Gleichungssystemen siehe auch S 7, 22 und 27

32 30 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA F ür das allgemeine lineare Gleichungssystem Ax = b mit m Gleichungen und n Unbekannten ist A die Koeffizientenmatrix und A b die erweiterte Koeffizientenmatrix, wobei a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn A b = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m Es gilt: r(a) r(a b ) r(a) + 1 Lösbarkeit, Freiheitsgrade Eine notwendige und hinreichende Bedingung f ür die Konsistenz eines linearen Gleichungssystems (dh f ür die Existenz mindestens einer L ösung) ist, ist r(a) = r(a b ) Das System habe L ösungen und r(a) = r(a b ) = k < m W ählen Sie k Gleichungen des Systems, die zu k linear unabh ängigen Zeilen geh ören Jede L ösung dieser Gleichungen erf üllt auch die restlichen m k ( überfl üssigen) Gleichungen Das System habe L ösungen und r(a) = r(a b ) = k < n Dann gibt es n k Variablen, die frei gew ählt werden k önnen, w ährend die restlichen k Variablen eindeutig bestimmt sind durch die Wahl der n k freien Variablen Das System hat n k Freiheitsgrade 114 Spur einer Matrix Definition F ür eine n n-matrix A = (a ij ) ist die Spur (englisch: trace) von A definiert durch tr (A) = n a ii i=1

33 115 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 31 Rechenregeln für die Spur Wenn A, B und C so gew ählt sind, dass alle Operationen definiert sind, so gilt: (a) tr (A ) = tr (A) (b) tr (A + B) = tr (A) + tr (B) (c) tr (αa) = αtr (A) α R (d) tr (AB) = tr (BA) (e) tr ( (B 1 AB) = ) tr (A) (f) tr (ABC) = tr (BCA) = tr (CAB) A11 A (g) tr 12 = tr (A A 21 A 11 ) + tr (A 22 ) (h) tr (AB) tr (A)tr (B) (i Allg) Eigenwerte und Eigenvektoren Definition Falls A eine n n-matrix, so heißt λ ein Eigenwert von A, wenn es einen Vektor x 0 in R n gibt, so dass Ax = λx Dabei heißt x ein Eigenvektor von A (assoziiert zu λ) Eigenwerte und Eigenvektoren heißen auch charakteristische Wurzeln (Werte) bzw charakteristische Vektoren Wenn x ein zu λ geh öriger Eigenvektor ist, dann auch αx f ür jeden Skalar α 0 Es gilt Ax = λx (A λi)x = 0, wobei I die Einheitsmatrix der Ordnung n Es gibt L ösung x 0 A λi = 0, wobei A = (a ij ) n n Charakteristische Gleichung Die charakteristische Gleichung oder die Eigenwertgleichung von A ist: a 11 λ a 12 a 1n a p(λ) = A λi = 21 a 22 λ a 2n = 0 a n1 a n2 a nn λ p(λ) ist Polynom vom Grad n, das nach dem Fundamentalsatz der Algebra genau n Wurzeln oder Nullstellen (reelle oder komplexe) hat Mehrfache Nullstellen sind entsprechend ihrer Vielfachheit zu z ählen Ist λ ein Eigenwert, so ist mit diesem λ die folgende Gleichung zu l ösen: (A λi)x = 0 (a 11 λ)x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + (a 22 λ)x a 2n x n = 0 a n1 x 1 + a n2 x (a nn λ)x n = 0

34 32 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA Ein zu λ assoziierter Eigenvektor ist eine nichttriviale L ösung (x 1,, x n ) dieses Gleichungssystems Eigenwerte für Matrizen der Ordnung 2 ( a11 a Falls A = 12 a 21 a 22 ), so ist die charakteristische Gleichung p(λ) = A λi = λ 2 (a 11 + a 22 )λ + (a 11 a 22 a 12 a 21 ) = 0 Falls λ 1 und λ 2 Eigenwerte sind, so gilt: λ 1 + λ 2 = a 11 + a 22 = tr (A) λ 1 λ 2 = a 11 a 22 a 12 a 21 = A Die Eigenwerte sind reell, wenn A symmetrisch ist F ür 2 2-Matrizen mit reellen Eigenwerten gilt: (A) Beide Eigenwerte sind positiv A > 0 und tr (A) = a 11 + a 22 > 0 (B) Beide Eigenwerte sind negativ A > 0 und tr (A) = a 11 + a 22 < 0 (C) Die zwei Eigenwerte haben entgegengesetztes Vorzeichen A < 0 (D) 0 ist ein Eigenwert A = 0 Der andere Eigenwert ist dann a 11 + a 22

35 115 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 33 Eigenwerte für Matrizen der Ordnung n Das charakteristische Polynom ist p(λ) = A λi = ( λ) n + b n 1 ( λ) n b 1 ( λ) + b 0 Die Nullstellen sind die Eigenwerte λ 1, λ 2,, λ n und es gilt dann b 0 = A = λ 1 λ 2 λ n p(λ) = ( 1) n (λ λ 1 )(λ λ 2 ) (λ λ n ) b n 1 = tr (A) = a 11 + a a nn = λ 1 + λ λ n b k ist die Summe aller Hauptabschnittsdeterminanten oder Hauptminoren von A der Ordnung n k Eine quadratische Matrix erf üllt ihre eigene charakteristische Gleichung, dh ( A) n + b n 1 ( A) n b 1 ( A) + b 0 I = 0 Cayley-Hamilton Weiter gilt: λ ist Eigenwert von A λ ist Eigenwert von A A 0 λ 0 und 1/λ ist Eigenwert von A 1 A symmetrisch λ i R Wenn D = Diag (d 1,, d n ) eine Diagonalmatrix ist, so gilt λ i = d i A positiv definit λ i > 0 i = 1,, n A positiv semidefinit mit r(a) = p < n λ 1,, λ p > 0 und λ p+1 = = λ n = 0 Wenn A und B beides invertierbare n n-matrizen sind, so haben AB und BA dieselben Eigenwerte Diagonalisierung A und P seien n n-matrizen und P sei invertierbar Dann haben A und P 1 AP dieselben Eigenwerte Definition siehe S 35

36 34 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA Die Matrix A ist diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare n n Matrix P und eine Diagonalmatrix D gibt, so dass P 1 AP = D Charakterisierung diagonalisierbarer Matrizen Eine n n-matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n linear unabh ängige Eigenvektoren x 1,, x n hat In diesem Fall ist P 1 AP = diag (λ 1,, λ n ) Dabei ist P die Matrix mit x 1,, x n als Spalten und λ 1,, λ n sind die zugeh örigen Eigenwerte Ortogonale Matrizen Eine Matrix P = (x 1,, x n ) heißt orthogonal, wenn P = P 1, dh P P = I, dh genau dann wenn die Spaltenvektoren x i orthonormiert sind, dh x ix i = 1 x i = 1 und x i x j = 0 (i j), dh die Spaltenvektoren haben die L änge 1 und sind paarweise orthogonal F ür orthogonale Matrizen A und B gleicher Ordnung gilt: A 1, A, AB und BA sind orthogonal, A = ±1

37 116 QUADRATISCHE FORMEN 35 Spektraltheorem für symmetrische Matrizen Wenn A = (a ij ) n n symmetrisch ist, gilt: (a) Alle n Eigenwerte λ 1,, λ n sind reell (b) Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenwerten geh ören, sind orthogonal (c) Es existiert eine orthogonale Matrix P (dh P = P 1 ), so dass λ P 1 0 λ AP = λ n Die Spalten v 1,, v n der Matrix P sind Eigenvektoren der L änge 1 zu den Eigenwerten λ 1, λ 2,, λ n Aus c) folgt: A = P diag (λ 1,, λ n )P 1 und f ür m N: A m = P diag (λ m 1,, λm n (Allgemein gilt: Wenn P und D n n-matrizen sind, so ist (P DP 1 ) m = P D m P 1 ) )P Quadratische Formen Grundlegende Definitionen Eine quadratische Form in n Variablen ist eine Funktion Q der Gestalt Q(x 1, x 2,, x n ) = n n a ij x i x j = a 11 x a 12 x 1 x a ij x i x j + + a nn x 2 n i=1 j=1 Dabei sind a ij Konstante Mit x = (x 1, x 2,, x n ) und A = (a ij ) ist Q(x 1,, x n ) = Q(x) = x Ax Die quadratische Form ändert sich nicht, wenn man a ij und a ji ersetzt durch 1 2 (a ij +a ji ) f ür alle i und j Dadurch wird A symmetrisch und A heißt die zu Q assoziierte symmetrische Matrix und Q heißt eine symmetrische quadratische Form Eine quadratische Form Q(x) = x Ax sowie die assoziierte symmetrische Matrix A heißen positiv definit, positiv semidefinit, negativ definit oder negativ semidefinit je nachdem, ob Q(x) > 0, Q(x) 0, Q(x) < 0, Q(x) 0 f ür alle x 0 Die quadratische Form ist indefinit, falls es Vektoren x und y gibt, so dass Q(x ) < 0 und Q(y ) > 0, dh wenn sie sowohl positive als auch negative Werte annimmt

38 36 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA Q(x 1, x 2 ) = a 11 x a 12x 1 x 2 + a 22 x 2 2 ist positiv semidefinit a 11 0, a 22 0 und a 11 a 12 a 21 a 22 0 und positiv definit a 11 > 0 und a 11 a 12 a 21 a 22 > 0 (Hier ist die Bedingung a 22 überfl üssig, sie folgt aus den beiden anderen) Hauptminor oder Hauptabschnittsdeterminante Sei A = (a ij ) eine n n-matrix Ein Hauptminor oder eine Hauptabschnittsdeterminante der Ordnung k ist dann die Determinante der Matrix, die man erh ält, wenn man alle bis auf k Zeilen und k Spalten mit der gleichen Nummer streicht Eine Hauptabschnittsdeterminante enth ält immer genau k Elemente der Hauptdiagonalen Auch A ist eine Hauptabschnittsdeterminante Eine Hauptabschnittsdeterminante ist eine f ührende Hauptabschnittsdeterminante der Ordnung k (1 k n), wenn sie aus den k ersten (,,f ührenden ) Zeilen und Spalten von A besteht Die f ührenden Hauptabschnittsdeterminanten sind a 11 a 12 a 1k D k = a 21 a 22 a 2k, k = 1, 2,, n a k1 a k2 a kk ACHTUNG: In vielen deutschen B üchern wird nicht zwischen Hauptabschnittsdeterminanten und f ührenden Hauptabschnittsdeterminanten unterschieden Gemeint sind dann fast immer f ührende Hauptabschnittsdeterminanten! Mit k bezeichnen wir eine beliebige Hauptabschnittsdeterminante der Ordnung k

39 116 QUADRATISCHE FORMEN 37 Definitheit quadratischer Formen Die symmetrische quadratische Form Q(x) = n n a ij x i x j (a ij = a ji ) i=1 j=1 mit der assoziierten Matrix A = (a ij ) n n ist (a) positiv definit D k > 0 f ür k = 1, n (b) positiv semidefinit alle k 0 f ür k = 1, n (c) negativ definit ( 1) k D k > 0 f ür k = 1, n (d) negativ semidefinit alle ( 1) k k 0 f ür k = 1, n Q ist negativ (semi)definit Q ist positiv (semi)definit Die Eigenwerte λ 1,, λ n von A sind reell und es gilt Q ist (a) positiv definit λ 1 > 0,, λ n > 0 (b) positiv semidefinit λ 1 0,, λ n 0 (c) negativ definit λ 1 < 0,, λ n < 0 (d) negativ semidefinit λ 1 0,, λ n 0 (e) indefinit A hat Eigenwerte mit unterschiedlichem Vorzeichen Quadratische Formen unter linearen Nebenbedingungen Definition Wir betrachten die quadratische Form Q(x) = n n a ij x i x j (a ij = a ji ) i=1 j=1 unter den m linearen homogenen Nebenbedingungen b 11 x 1 + b 12 x b 1n x n = 0 b 21 x 1 + b 22 x b 2n x n = 0 b m1 x 1 + b m2 x b mn x n = 0 Bx = 0, wobei B = (b ij ) m n Q ist positiv (negativ) definit unter den linearen Nebenbedingungen, falls Q(x) > 0 (< 0) f ür alle x 0, die die Nebenbedingungen Bx = 0 erf üllen

40 38 KAPITEL 1 MATRIZEN UND VEKTORALGEBRA 0 0 b 11 b 1k 0 0 b B k = m1 b mk, k = 1,, n ist die (m + k)-te Hauptab- b 11 b m1 a 11 a 1k b 1k b mk a k1 a kk ( ) 0m m B schnittsdeterminante der (m + n) (m + n)-matrix B A Positive und negative Definitheit Die quadratische Form Q(x) ist genau dann positiv definit unter den linearen Nebenbedignungen Bx = 0, wobei angenommen wird, dass die m ersten Spalten in B linear unabh ängig sind, wenn ( 1) m B r > 0, r = m + 1,, n Die entsprechende notwendige Bedingung f ür negative Definitheit ist ( 1) r B r > 0, r = m + 1,, n