Wie wir in Mathematik für alle die Welt der Mathematik sehen Folie 1 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013

Transkript

1 Ein Blick Einblick Wie wir in Mathematik für alle die Welt der Mathematik sehen Folie 1

2 Ein Weg ist gangbar vorbereitet Wie wir in Mathematik für alle die Welt der Mathematik sehen Folie 2

3 Exponentialfunktion Exp-fkt f ( x ) x 0, k k 0, k Def Def Basis k >1 Basis k mit 0<k <1 für Basis k <0 ist f nicht definiert Folie 3

4 Exponentialfunktion Exp-fkt f ( x ) x 0, k k 0, k Def Def Basis k >1 Basis k mit 0<k <1 für Basis k <0 ist f nicht definiert Folie 4

5 Exponentialfunktion Exp-fkt f ( x ) rx basis 1 basis Aber welche Basis??? Eine Basis reicht für alles! r 0, Asymptote neg. x Achse r 0, Asymptote pos. x Achse Folie 5

6 e-funktion Funktion, das halbe Geheimnis hin f ( x) x k f ( x) e x Folie 6

7 e-funktion Funktion, das halbe Geheimnis f ( x ) k x e-funktion ist diejenige i Exponentialfunktion, die in (0/1) die Steigung 1 hat. f ( x ) e x Folie 7

8 Die Welt der Umkehrfunktionen y x y ln( x) y arcsin( x)... y n x y log ( x) a Folie 8

9 Umkehr-Fragen Umkehr-Funktionen Umkehr-Relationen Folie 9

10 Umkehr-Fragen, Umkehr-Funktionen, Umkehr-Relationen Frage: Welchen Wert hat f an der Stelle 2? Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4 Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4? Antwort: +2 und -2 sind Lösungen, f(+2)=4 und f(-2)=4 Visualisierung der Umkehrfrage: Folie 10

11 Umkehr-Fragen, Umkehr-Funktionen, Umkehr-Relationen Frage: Welchen Wert hat f an der Stelle 2? Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4 Umkehrfkt Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4? Antwort: +2 und -2 sind Lösungen, f(+2)=4 und f(-2)=4 Visualisierung der Umkehrfrage: Gehe von der y-achse zur Kurve und dann zur x-achse Folie 11

12 Umkehr-Fragen, Umkehr-Funktionen, Umkehr-Relationen Frage: Welchen Wert hat f an der Stelle 2? Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4 Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4? Antwort: +2 und -2 sind Lösungen, f(+2)=4 und f(-2)=4 Antwort: 4 ist der Wert f(2)=4 Umkehrfkt Visualisierung der Umkehrfrage: Gehe von der y-achse zur Kurve und dann zur x-achse Gehe von der x-achse zum Graphen der an der Winkel halbierenden gespiegelten Kurve und dann zur y-achse Achse. Es ist die Umkehrrelation. Dies ist hier keine Funktion. Der Wert ist nicht eindeutig bestimmt. Folie 12

13 Umkehr-Fragen, Umkehr-Funktionen, Umkehr-Relationen Frage: Welchen Wert hat f an der Stelle 2? Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4 Umkehrfkt Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4? Antwort: +2 und -2 sind Lösungen, f(+2)=4 und f(-2)=4 Formalisierung der Umkehrfrage: Bilde (hier stückweise) die Umkehrfunktion g( x) x hx ( ) x Folie 13

14 Exponentialfunktion x f ( x ) e Umkehrfkt der natürliche Logarithmus Eulersche e-funktion die ln-funktion der ln Folie 14

15 Exponentialfunktion x f ( x ) e Umkehrfkt der natürliche Logarithmus Eulersche e-funktion die ln-funktion der ln Folie 15

16 Wie langsam wächst der Logarithmus? Folie 16

17 Umkehrfkt Funktion frisst Umkehrfunktionen y x y ln( x) y arcsin( x) y n x für Hauptwerte y log ( x) a Folie 17

18 Die Welt der Umkehrfunktionen y x y ln( x) y arcsin( x)... y n x y log ( x) für Hauptwerte a Folie 18

19 leer Übung mit Funktionsgraphen x x x2 x3 y e y e y e y e 1 y ln( x6) Folie 19

20 leer Übung mit Funktionsgraphen x x x2 x3 y e y e y e y e 1 y ln( x6) Folie 20

21 Vierer-Übung Erklären Sie sich hier die Gleichungen Die, die nebeneinander sitzen, skizzieren 3 Exponentialfunktionen. Die beiden anderen müssen die Funktionsgleichung g herausbekommen 6 Minuten Folie 21

22 Vierer-Übung Erklären Sie sich hier die Gleichungen Die, die nebeneinander sitzen, skizzieren 3 Exponentialfunktionen. Die beiden anderen müssen die Funktionsgleichung g herausbekommen 6 Minuten Folie 22

23 Funktionsgleichung y = f(x) Grundtypen Potenzfunktion Wurzelfunktion GeoGebra Exponentialfunktion Logarithmus Trigonometrische Funktion Arcus-Funktion Folie 23

24 Differentiale Folie 24

25 Parabel Differentiale SekStF Sekanten Nur zur Vertiefung Folie 25

26 Das Differential Also untersuchen wir für jeden Punkt einer Funktion: welche Steigung hat die Funktion in dem Punkt? Wenn man B an A heranrücken lässt, wird das Steigungsdreieck der Sekante immer kleiner und man erhält die Tangente in A. m A lim xa m sekante SekStF Folie 26

27 Das Differential SekStF Also untersuchen wir für jeden Punkt einer Funktion: welche Steigung g hat die Funktion in dem Punkt? Fahrrad pur Fahrrad hier Folie 27

28 Das Differential Also untersuchen wir für jeden Punkt einer Funktion: SekStF welche Steigung hat die Funktion in dem Punkt? Fahrrad pur Fahrrad hier Folie 28

29 Die Ableitung f ist die Funktion, die für jedes x die Steigung der Funktion f angibt. Diff pur Fahrrad pur, Vari Fahrrad hier Die rote Funktion ist also die Ableitung von der blauen Ḟolie 29

30 Übung 2 mit Funktionsgraphen Fahrrad frei Poly Folie 30

31 Übung 2 mit Funktionsgraphen Folie 31

32 Übung 3 mit Funktionsgraphen und Ableitungen diff3 Folie 32

33 Übung 3 mit Funktionsgraphen Breit Extremum Sattel Ableitung Sattel Extremum Folie 33

34 e-funktion, das ganze Geheimnis Teil 1 Teil 2 Ableiten f ( x ) e x e-funktion ist diejenige i Exponentialfunktion, die in (0/1) die Steigung 1 hat. Folie 34

35 e-funktion Funktion, das ganze Geheimnis Teil 1 Teil 2 Ableiten x f ( x ) e e-funktion ist diejenige Exponentialfunktion, die in (0/1) die Steigung 1 hat. Die e-funktion ist diejenige Funktion, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt. e x ' e x Folie 35