Physik des Radfahrens

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1 Physik des Radfahrens Radfahren lernen wir bereits als Kinder, nicht immer ohne Schwierigkeiten! Einmal gelernt, können wir es halt einfach, Radfahren gilt als Prototyp für sog. implizites Wissen (Polanyi). Was aber steckt dahinter? Fährt das links abgebildete Fahrrad? Jones 1 ging diesen Fragen auch experimentell nach, von ihm stammt auch die Aufnahme links. Wohl gibt es Literatur zu diesem Thema 2, Jones war aber der erste, der dazu auch Experimente durchgeführt hat. 1 Physics Today, 23, 34 40, (1970) 2 Ich werde neben Jones vorallem Lowell und McKell, Am. J. Phys., 50, , (1982) und Fajans, Am.J. Phys., 68, , (2000) verwenden

2 Kräfte auf den Schwerpunkt Φ λ M b h Dazu müssen wir uns erst überlegen, was für Kräfte, bzw. Beschleunigungen auf ein Fahrrad wirken. Auf den Schwerpunkt M im stark idealisierten Fahrrad links wirkt die Beschleunigung σ η h λ + b η + v2 R, a wo v die Geschwindigkeit und R der F 2 Krümmungsradius der Kurve des Fahrrads F1 sind. Andere Größen sind links definiert. Mit R η = v und der senkrecht auf den Rahmen wirkenden Komponente der Gra-

3 vitationskraft, Mg sinλ Mgλ haben wir für die Bewegung des Schwerpunktes gλ = h λ + b d dt ( v R) + v2 R. Dies können wir mit Rσ = a umschreiben zu ( ) ( ) bv v 2 λ + σ + σ ha ha ( g λ = 0. h) Damit ist die Beschleunigung auf den Schwerpunkt gegeben. wir wenden uns nun möglichen Stabilisationsmechanismen zu. Sehr oft wird in Lehrbüchern geschrieben, der wesentliche Stabilisator sei die Drehimpulserhaltung am Vorderrad. Für diesen Drehimpuls muss gelten: d dt (I z σ Iω sinλ) = 0,

4 wo ω = v/r die Winkelgeschwindigkeit und r der Radius des Vorderrads sind. Vergrößert sich λ, präzediert das Vorderrad, d. h. σ vergrößert sich. Für kleine λ gilt ( ) Iv σ = λ. I z r

5 Der Einfluss der Drehimpulserhaltung Ein Experiment von Jones ist links abgebildet. Er hat parallel zum vorderrad ein Rad mit demselben trägheitsmoment montiert. Es konnte mit dem Vorderrad rotieren (und damit den Drehimpuls verdoppeln) nicht rotieren (keine Änderung) oder entgegengesetzt rotieren, was den Drehimpuls zum Verschwinden gebracht hat. Zu seinem Erstaunen war dieses Rad problemlos fahrbar! Dies deutet darauf hin, dass der Drehimpuls des vorderrades keine große Rolle für die Stabilität des Fahrrades spielt.

6 Stabilisierungsmechanismen Jones hat aufgrund seiner Experimente postuliert, dass ein anderer Effekt die wichtigere Rolle spielt. In der Tat kann man diesen Effekt selbst beim ruhenden Fahrrad beobachten. Die Gabel des Fahrrades zeigt eine Strecke Delta vor dem Bodenberührungspunkt des Vorderrades auf den Boden. Dies führt dazu, dass sich das Vorderrad selbst bei still stehendem Fahrrad in die Kurve neigt, wenn das Fahrrad nach innen geneigt wird. Wie aus einfachen geometrischen Überlegungen klar wird, führt eine Drehung der Lenkstange um einen Winkel σ zu einer Richtungsänderung Φ = σ /a des Fahrrades. Ist das Fahrrad um einen Winkel λ geneigt, so fällt der Schwerpunkt bei Drehung des Lenkrades um eine Strecke bφ sin λ (b /a)σλ. Dies bewirkt eine Verringerung der potentiellen Energie um (Mgb /a)σλ. Damit wirkt ein Drehmoment

7 (Mgbδ/a)λ auf das Vorderrad welches den Winkel σ vergrößert. Damit I z σ = (Mgbδ/a)λ. Dieser stabilisierende Effekt verschwindet, wenn in die andere Richtung zeigt, wie im Fahrrad links. Dieses Fahrrad aus Jones Versuchsserie war nahezu unfahrbar. führt auch zu einem auf Reibung basierendes Drehmoment auf das Vorderrad. Die Reibungskräfte F 1 und F 2 müssen die Zentrifugalkraft Mv 2 /R auf das Fahrrad kompensieren. Damit dasa Fahrrad nicht um den Schwerpunkt zu rotieren beginnt, müssen F 1 und F 2 im Verhältnis F 1 /F 2 = b/(a b)

8 stehen. Damit I z σ = (Mb v 2 /a 2 )σ.

9 Zusammenfassung Damit haben wir eine Gleichung für den Neigungswinkel λ und eine Gleichung für den Winkel des Lenkrades, σ. Sie können vereinfacht geschrieben werden als