Übungen Kombinatorik und Analysis Aufgabenblatt I

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1 28. Oktober 205 Aufgabenblatt I bis Montag, den 2. November 2:00 Uhr durch Einwurf in die gekennzeichneten Kästen im Gebäude 48, Treppenhaus 5. Geschoss (bitte achten Sie auf die richtige Gruppe) Beweisen Sie die Formel durch vollständige Induktion n 2 = n(n + )(2n + ) für jedes n 2 N 6 2 Satz Der Mars ist bewohnt. Beweis Wir zeigen sogar mehr: ist n eine natürliche Zahl und sind P,...,P n Planeten, von denen mindestens einer bewohnt ist, so sind alle Planeten P,...,P n bewohnt. Dazu wenden wir das Prinzip der vollständigen Induktion auf die Folge der Aussagen L n : Ist von n Planeten mindestens einer bewohnt, so sind sie alle bewohnt. an (n =, 2, 3,...). L ist o ensichtlich wahr, bleibt der Induktionsschritt von n auf n +. Sei also n festundl n wahr. Wir betrachten beliebige Planeten P,...,P n+, von denen mindestens einer bewohnt ist; nach Umnummerierung dürfen wir annehmen, dass P bewohnt ist. Weil L n gilt, sind also P,...,P n alle bewohnt. Damit ist von den n Planeten P 2,...,P n+ zumindest P n bewohnt. Wieder nach L n sind also P 2,...,P n+ bewohnt, also sind P,P 2,...,P n,p n+ alle bewohnt. Damit ist L n+ nachgewiesen, und der Induktionsschluss geführt. (a) (b) Wir zeigen sogar mehr : wieso? Was meinen Sie zu dem Induktionsbeweis? 3 Untersuchen Sie, ob für je drei logische Aussagen L, M und N (a) die Aussage (L ^ M) ) N mit (L ) N) ^ (M ) N) und (b) die Aussage L ) (M ^ N) mit(l ) M) ^ (L ) N) ü b e r e i n s t i m m t. Erklärung: Sie müssen sich also zu jedem der beiden Fälle etwa durch Probieren erst eine Meinung bilden. Wenn Sie dann glauben, dass die Aussagen übereinstimmen, müssen Sie das beweisen, sonst widerlegen. Für beides können Sie zum Beispiel die Wahrheitstafeln betrachten.

2 2. November 205 Aufgabenblatt II bis Montag, den 9. November 2:00 Uhr durch Einwurf in die gekennzeichneten Kästen im Gebäude 48, Treppenhaus 5. Geschoss (bitte achten Sie auf die richtige Gruppe) 4 Sei 6= q 2 Q. Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n gilt. +q + + q n = qn+ q Beachten Sie: Die Einschränkung q 6= ist wesentlich, damit die rechte Seite überhaupt Sinn hat. Warum braucht man für q = auch keine solche Formel? 5 Bei unserem ersten Sortierverfahren ist für eine Liste der Länge m V 2 : wenn (x >x 2 ) vertausche(x,x 2 ); V 3 : wenn (x >x 3 ) vertausche(x,x 3 );. V m : wenn (x >x m ) vertausche(x,x m ); der erste Block von Anweisungen. Ich hatte Ihnen begründet, warum x <x 2 nicht nur nach V 2, sondern nach V 3 immer noch gilt. Verfeinern Sie meine Argumentation zu einem Beweis dafür, dass x <x 2 auch nach dem Ende des Blocks gilt. Wenn Sie wollen, können Sie unter Benutzung dieses Ergebnisses dann auch leicht einen Beweis dafür formulieren, dass das gesamte Sortierverfahren korrekt arbeitet. 6 Analog zum logischen UND L^M ist das logische ODER L_M durch die Wahrheitstabelle L \M F W F F W W W W definiert. Drücken Sie diese Operation mittels des UND und der Verneinung aus (man schreibt L für die Aussage, die L verneint). Anmerkung: Wie gesagt glaubt man Ihnen in der Mathematik nur, was Sie auch beweisen. Hier ist also auch nach einem Beweis gefragt, auch wenn das nicht ausdrücklich da steht. 7 Berechnen Sie für jedes n 2 N das Produkt ny j j+ und zwar nicht durch vollständige Induktion j= (das ginge auch), sondern durch geeignete Indexmanipulation. j

3 9. November 205 Aufgabenblatt III bis Montag, den 6. November 2:00 Uhr 8 Wie viele fünfstellige PINs gibt es, (a) die (mindestens) zwei gleiche Zi ern enthalten? (b) die zwei gleiche Zi ern direkt hintereinander enthalten? 9 Sei n 2 N. (a) Wieviele Teilmengen von {,...,n} gibt es? (b) Sei N eine Menge und p 2 N. Einp-tupel (S,...,S p ) von Teilmengen von N mit S S 2 S p nennt man eine p-flagge in N. Wievielep-Flaggen gibt es in {,...,n}? Tip vor allem zu (a), aber auch zu (b) die Teilmengen fester Größe zählen. Lassen Sie sich nicht von dem Gefühl täuschen, man müsse erst mal 0 In einführenden Texten zur Kombinatorik finden Sie häufig das sogenannte Schubfachprinzip : Verteilt man n Objekte auf p Fächer und ist n größer als p, so gibt es mindestens ein Fach, in dem mehr als ein Objekt landet. Das Prinzip selbst ist wohl evident. Es lässt sich aber auch in der Sprache der Mengen und Abbildungen ausdrücken: erklären Sie wie. f: N! P und g: P! Q seien Abbildungen. Untersuchen Sie, welche der folgenden Aussagen allgemein richtig sind: () (2) (3) (4) Sind f und g injektiv, so ist g f injektiv. Ist g f injektiv, so ist f injektiv. Ist g f injektiv, so ist g injektiv. Ist g f surjektiv, so ist g surjektiv.

4 6. November 205 Aufgabenblatt IV bis Montag, den 23. November 2:00 Uhr 2(a) Sei f: N! P eine Abbildung. Zeigen Sie, dass für jede Teilmenge S N die Inklusion S f f(s), im allgemeinen aber nicht die Gleichheit S = f f(s) gilt. (b) Charakterisieren Sie alle Abbildungen f: N! P,beidenenS = f f(s) doch für jede Wahl von S N zutri t. Erinnerung Während positive Aussagen allgemein zu beweisen sind, kommt es bei negativen wie der in (a) auf ein zu begründendes Gegenbeispiel an. In Fragestellungen wie (b) oder der folgenden Aufgabe geht es natürlich nicht nur um die korrekte Antwort, sondern auch um deren Beweis. 3 Für jede Menge N bezeichnen wir mit PN die Menge aller Teilmengen von N die sogenannte Potenzmenge von N. Seif: N! P eine Abbildung in eine weitere Menge. Das Zurückziehen von Mengen definiert eine neue Abbildung f : PP! PN ; f (T )=f T. Untersuchen Sie, ob man für injektive oder surjektive f auch etwas über Injektivität oder Surjektivität von f sagen kann. 4 Sei N eine Menge. Beweisen Sie die folgenden Aussagen: (a) Zu jeder nicht-leeren Teilmenge B N gibt es ein f mit f f = f und f(n) =B. (b) Ist f injektiv oder surjektiv mit f f = f, so folgt f =id N. 5 Durch welche der beiden folgenden Vorschriften wird auf der Menge Q N = x =(x 0,x,...) x j 2 Q für alle j 2 N der rationalen Zahlenfolgen eine Äquivalenzrelation definiert? (a) x y :() j 2 N x j = y j ist unendlich (b) x y :() j 2 N x j 6= y j ist endlich Griechische Buchstaben helfen mit, Bezeichnungen und Formeln übersichtlich zu halten: A Alpha I Iota P Rho B Beta K apple Kappa Sigma Gamma Lambda T Tau Delta M µ My Y v Ypsilon E " Epsilon N Ny ' Phi Z Zeta Xi X Chi H Eta O o Omikron Psi # Theta Pi! Omega Als Großbuchstaben werden in der Regel nur diejenigen benutzt, die nicht mit lateinischen verwechselt werden können; Omikron und Ypsilon vermeidet man meist ganz. Wenn Sie die kleinen Buchstaben mit der Hand schreiben, achten Sie auf die richtige Lage zur Grundlinie, vor allem: '

5 23. November 205 Aufgabenblatt V bis Montag, den 30. November 2:00 Uhr 6 n und p seien natürliche Zahlen. Auf der Menge der Wörter X := {,...,p} n = Abb(p, n) betrachten wir die durch x y () x = y oder für jedes j 2{,...,n} ist x j = y n+ j (mit x = x...x n und y = y...y n )definierteäquivalenzrelation: zwei Wörter sind äquivalent, wenn sie gleich sind oder Spiegelbilder voneinander. Begründen Sie, warum das tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist, und berechnen Sie die Anzahl der Äquivalenzklassen. 7 Für natürliche Zahlen n undp 2seiX = {,...,p} n die Menge der n-wörter x = x x n ü b e r dem Alphabet {,...,p}. Wir erklären zwei Wörter x, y 2 X für äquivalent, wenn für jedes i 2{2,...,n} x i = x i () y i = y i gilt; dadurch wird auf X eine Äquivalenzrelation erklärt (machen Sie sich das eben klar, es ist aber nicht Teil der Aufgabe). Konstruieren Sie ein Repräsentantensystem oder (nach Ihrer Wahl) eine vollständige Invariante. Lesen Sie in jedem Fall die Anzahl der Äquivalenzklassen ab. 8 Sei n 2 N und N = {,...,n} die Standardmenge. Auf der Menge Abb(N,N) wirdeineäquivalenzrelation durch f g :() es gibt ein 2 Sym N mit f = g erklärt. Zeigen Sie, dass die Funktion j: Abb(N,N)! {0,...,n}, die jedem f: N! N die Anzahl der Fixpunkte j(f) := x 2 N f(x) =x zuordnet, eine Invariante ist. Bestimmen Sie für den Fall n =2dieÄquivalenzklassen. Ist die Invariante j in diesem Fall vollständig? Und für n = 3 (dazu brauchen Sie nicht alle Äquivalenzklassen zu bestimmen)? Anmerkung Hier wäre es eher unzweckmäßig, die Abbildungen als Wörter zu interpretieren. 9 Beweisen Sie die Formel p + q = n nx j=0 p j n q j für alle n, p, q 2 N durch eine kombinatorische Überlegung auf der Basis der Interpretation 5.. Was ergibt sich speziell für q =?

6 30. November 205 Aufgabenblatt VI bis Montag, den 7. Dezember 2:00 Uhr 20 Seien n und p natürliche Zahlen. Berechnen Sie die Anzahl aller p-wörter x = x x 2... x p aus natürlichen Zahlen x j mit P p j= x j apple n. 2 Für positive natürliche Zahlen n und p erfüllen die Stirling-Zahlen n p die Rekursionsformel n p = n p n + p p. (a) Verifizieren Sie die Formel durch Anwendung der Sätze 3. und 7.4. (b) Führen Sie einen eigenständigen Beweis, etwa indem Sie die beim Beweis von 3. benutzten Argumente in die Sprache der Partitionen übertragen. 22 Seien n, p 2 N mit p>0. Zeigen Sie, dass folgende Objekte einander entsprechen, es insbesondere also gleich viele davon gibt: Partitionen der Zahl n mit p Summanden; Partitionen der Zahl n mit einer beliebigen Anzahl von Summanden, deren größter p ist. Tip Zum Beispiel die 3-Partition 0 = kann man graphisch durch das Kästchenaggregat beschreiben. 23 Berechnen Sie für alle n, p 2 N die Anzahl der Partitionen der Zahl n in p Summanden, von denen mindestens einer ungerade ist. Anmerkung Mit berechnen ist (wie meistens) gemeint, diese Anzahl durch anderweitig Bekanntes auszudrücken. Wer Lust hat, kann auch (oder stattdessen) die etwas schwierigere Profiversion machen: 23 P Berechnen Sie für alle n, p 2 N die Anzahl der Partitionen der Zahl n in p Summanden, von denen mindestens einer gerade ist.

7 7. Dezember 205 Aufgabenblatt VII bis Montag, den 4. Dezember 2:00 Uhr 24 Gehen Sie hier der Einfachheit halber davon aus, dass jedes Jahr 360 Tage hat und dass als Geburtstag jeder davon gleich wahrscheinlich ist. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den 46 eingetragenen Übungsteilnehmern wenigstens einer heute Geburtstag hat? (b) Wie viele Teilnehmer muss eine Übungsgruppe haben, damit mit mindestens 25 % Wahrscheinlichkeit zwei oder mehr Teilnehmer am gleichen Tag Geburtstag haben? (Die Formel, die Sie zunächst erhalten, ist schlecht nach der Teilnehmerzahl aufzulösen, aber eine einfache Wertetabelle reicht für den Zweck vollkommen aus.) (c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von zehn Teilnehmern genau zwei im Dezember geboren (für diesen Zweck seien alle Monate gleich lang)? 25 Zeigen Sie, dass es genau Wörter mit 8 Buchstaben über dem Alphabet {a,...,z} gibt, die nicht die Buchstabenfolge oho enthalten. 26 Es werden n bereits adressierte Weihnachtskarten in ebensoviele mit denselben Adressen versehene Umschläge gesteckt aber die Zuordnung sei rein zufällig. Zeigen Sie, dass mit der Wahrscheinlichkeit keine Karte im richtigen Umschlag steckt. P n = nx ( ) k k! k=0 Anmerkung Für große n hängt die Wahrscheinlichkeit P n von n kaum noch ab, sie ist dann näherungsweise der Kehrwert der eulerschen Zahl: P n /e 37%.

8 4. Dezember 205 Aufgabenblatt VIII bis Montag, den 2. Dezember 2:00 Uhr 27 Sei n 2 N und X = x =(x,x 2,...,x n ) 2 R n x x 2 x n 0undx +x 2 + +x n =. (a) Zeigen Sie, dass durch x apple y :() kx x i apple kx i= i= y i für jedes k 2{,...,n} eine Ordnungsrelation auf X definiert wird. (b) Zeigen Sie, dass X ein kleinstes und ein größtes Element besitzt. (c) Zeigen Sie, dass die Ordnung für n 3 nicht total ist. 28 Sei X eine endliche geordnete Menge, die genau ein maximales Element m enthält. Beweisen Sie, dass m dann sogar das größte Element von X ist. 29 Sei X eine endliche geordnete Menge. Konstruieren Sie auf X eine neue Ordnungsrelation derart, dass total ist und x apple y =) x y für alle x, y 2 X gilt. Tip Überlegen Sie sich vorweg, dass wegen der Endlichkeit von X jede nicht-leere Teilmenge T X ein (bezüglich T ) minimales Element enthält.

9 2. Dezember 205 Aufgabenblatt IX bis Montag, den. Januar 2:00 Uhr 30(a) Beweisen Sie die umgekehrte Dreiecksungleichung x ± y x y für alle x, y 2 R. (b) Es sei (x j ) j2n eine reelle Zahlenfolge mit lim j! x j = a 2 R. Zeigen Sie, dass dann lim j! x j = a gilt. 3 Beweisen Sie die Bernoullische Ungleichung: Für jedes x 2 R mit x undjedesn 2 N gilt ( + x) n +nx. 32 Es seien S und T zwei nicht-leere Mengen reeller Zahlen mit der Eigenschaft x apple y für alle x 2 S und alle y 2 T. Beweisen Sie, dass es eine Zahl t 2 R gibt, die S und T trennt: x apple t apple y für alle x 2 S und alle y 2 T. Tip Die häufigste spontane Reaktion auf diese Aufgabe ist, dass das ja klar sei, weil.... Klar ist das aber nur dann, wenn S eine größte oder T eine kleinste Zahl enthält. Das muss keineswegs so sein, denken Sie an das Beispiel S = { /n 0 <n2n} und T = {/n 0 <n2n}. 33 Sei (x n ) n=0 eine reelle Zahlenfolge mit x n apple x n+ für alle n 2 N (solche Folgen nennt man monoton wachsend). Zeigen Sie: Wenn diese Folge außerdem nach oben beschränkt ist, dann konvergiert sie, und zwar gegen die Zahl a := sup {x n n 2 N} 2R. Zeigen Sie als Anwendung, dass die Folge (x n ) n=0 mit konvergiert. x n = nx j= n+j = n+ + n n Tip Bei der ersten Frage geht man wie immer beim Supremum vor: a ist eine obere Schranke, aber für jedes ">0ista " keine obere Schranke...

10 . Januar 206 Aufgabenblatt X bis Montag, den 8. Januar 2:00 Uhr 34 Sei (x n ) n=0 eine reelle Zahlenfolge, a 2 R. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? (a) (b) Aus lim x n = folgt lim = 0. n! n! x n Aus lim n! x n =0undx n 6= 0 für alle n folgt lim n! x n = oder lim =. n! x n 35 Für welche q 2 R konvergiert die Folge (x n ) n=0 mit x n = die sogenannte geometrische Reihe mit Quotient q? Berechnen Sie gegebenenfalls auch den Limes. nx j=0 q j 36 Seien (n k ) k=0 eine Folge positiver natürlicher Zahlen, (x n) n=0 d, e 2 N. BeweisenSie: (a) Aus lim k = und lim n = a folgt lim n k! n! k = a. k! (b) Aus n k 2 O(k d )undx n 2 O(n e ) folgt x nk 2 O(k de ). eine Folge in (0, ) sowiea 2 R und 37 (a) Seien (x n )und(y n ) Folgen positiver reeller Zahlen. Beweisen Sie, dass unter der Voraussetzung (y n ) 2 o(x n ) die Aussage (x n y n )= (x n ) Sinn gibt und wahr ist. (b) Sei d 2 N fest. Beweisen Sie ( d +2 d + + n d )= (n d+ ). Tip Glauben Sie nicht, Sie müssten für (b) zuerst eine explizite Formel für d +2 d + + n d finden der Charme von asymptotischen Aussagen liegt ja gerade darin, dass man nicht benötigte Detailinformation frühzeitig ausblenden kann.

11 8. Januar 206 Aufgabenblatt XI bis Montag, den 25. Januar 2:00 Uhr 38 Sei a 2 R sowie f: R! R eine monoton wachsende Funktion mit der Eigenschaft lim f a n! Beweisen Sie, dass f an der Stelle a stetig ist. = f(a) = lim a+ n f. n! n 39 Eine Menge von Zahlen Z R hat die Zwischenpunkteigenschaft (ZPE), wenn für je zwei Zahlen, 2 Z und jedes t 2 R mit <t< auch t 2 Z gilt. (a) Begründen Sie, warum jedes Intervall Z die ZPE hat. (b) Beweisen Sie, dass umgekehrt jede Teilmenge Z R mit der ZPE ein Intervall sein muss der Einfachheit halber nur unter der zusätzlichen Annahme, dass Z nicht-leer und beschränkt ist. 40 Sei K ein kompaktes Intervall, f: K! (0, ) eine überall positive stetige Funktion. Beweisen Sie: es gibt ein >0mit f(x) für alle x 2 K. 4 f:[0, )! R sei eine stetige Funktion, die nur endlich viele Nullstellen hat. Zeigen Sie, dass f dann nach oben beschränkt oder nach unten beschränkt sein muss.

12 25. Januar 206 Aufgabenblatt XII bis Montag, den. Februar 2:00 Uhr Anmerkung Die Aufgaben beziehen sich diesmal auch schon auf den Sto der Mittwochsvorlesung. 42 Seien f,g:[0, )! (0, ) zwei stetige und asymptotisch äquivalente Funktionen: f(x) = g(x) für x!. Beweisen Sie: es gibt reelle Zahlen 0 <aapple b mit a g(x) apple f(x) apple b g(x) für alle x 2 [0, ) (und nicht nur für alle genügend großen x wie in der Definition 3.4). 43 Beweisen Sie, dass die Gleichung 2x 2 = log 2 (2 + x) im Intervall [ 2, ] genau eine Lösung x hat. 44 Die binäre Entropiefunktion ist für p 2 (0, ) durch H(p) = p log 2 p ( p) log 2 ( p) erklärt. Wie kann man H zu einer auf [0, ] stetigen Funktion ergänzen? Welche Werte nimmt H dann an? Ist die ergänzte Funktion in den Randpunkten von [0, ] di erenzierbar? 45 Bestimmen Sie die Stellen, an denen die Funktion f ein lokales Extremum hat, für: (a) f:[0, )! R, f(x) = ex x 2 + (b) f: R! R, f(x) =e x x 2 3x

13 . Februar 206 Aufgabenblatt XIII bis Montag, den 8. Februar 2:00 Uhr 46 Berechnen Sie die Grenzwerte: (a) (c) 3 x 2 x lim x!0 x x 3 + x 2 x lim x! x 2 (b) (d) lim x! e x e x e x + e x lim x! x log x Erinnerung existieren. Die Formulierung der Aufgabe soll nicht schon die Behauptung enthalten, daß diese Grenzwerte 47 Es sei f: R! R eine stetige Funktion mit der Eigenschaft Z b a f = 0 für jede Wahl des kompakten Intervalls [a, b] R. Beweisen Sie, dass f dann die Nullfunktion ist: f(x) = 0 für alle x 2 R. 48 Berechnen Sie Z 4 p x x + p x dx. Z 49 Berechnen Sie für jedes n 2 N das unbestimmte Integral x n log xdx.

14 8. Februar 206 Aufgabenblatt XIV Keine 50 Berechnen Sie existiert. Z 0 dx aus Ihrer Rechnung soll auch hervorgehen, warum das Integral überhaupt +ex 5 Entscheiden Sie, ob das Integral Z 4 0 dx p 4 x existiert, und berechnen Sie es gegebenenfalls. 52 (a) Beweisen Sie, dass für jedes feste x 2 [0, ) das Integral f(x) := (b) Z Zeigen Sie für die dadurch definierte Funktion f:[0, )! R die Eigenschaften f(0) = und f(x+) = (x+) f(x) für alle x 2 [0, ) 0 t x e t dt existiert. (aus ihnen folgt durch Induktion übrigens sofort f(n) =n! für alle n 2 N: diese Funktion f lässt sich also als natürliche Erweiterung der Fakultätsfunktion auf nicht-natürliche Zahlen au assen). 0 nx 53 Für welche reellen c 0 konvergiert die A j (log j) c j=2 n=2?

15 2. März 206 Klausur Kombinatorik und Analysis Bearbeitungszeit: 20 Minuten Noch n Hinweis Dort, wo eine Stammfunktion gebraucht wird, soll Ihre Lösung erkennen lassen, wie Sie die Stammfunktion finden; verwenden Sie also die in der Vorlesung dafür erklärten Methoden. Sei f: N! P eine Abbildung mit der Eigenschaft, dass gilt. Beweisen Sie, dass f surjektiv ist. f(f T )=T für jede Teilmenge T P 2 Seien m, n 2 N gegeben. Wie viele Wörter (beliebiger Länge) über dem Alphabet {a, h} gibt es, die genau m-mal den Buchstaben a, aber an keiner Stelle n-mal (oder häufiger) hintereinander den Buchstaben h enthalten? 3 Betrachtet werde die Menge {0,...,9} 5 aller 5-stelligen PINs. Berechnen Sie die Anzahl derjenigen PINs, die keine der drei Zi ernfolgen 00, 0, 2 enthalten. 4 Für natürliche Zahlen n undp 2seiX = {,...,p} n die Menge der n-wörter x = x x n ü b e r dem Alphabet {,...,p}. Wir erklären zwei Wörter x, y 2 X für äquivalent, wenn für jedes i 2{2,...,n} x i = x i () y i = y i gilt (zu zeigen, dass das wirklich eine Äquivalenzrelation auf X definiert, gehört nicht zur Aufgabe). Konstruieren Sie ein Repräsentantensystem oder nach Ihrer Wahl eine vollständige Invariante. Bestimmen Sie in jedem Fall die Anzahl der Äquivalenzklassen. 5 f: R! R sei eine stetige Funktion mit lim f(x) = und lim f(x) =. Beweisen Sie, dass f nach x! x! unten beschränkt ist. 6 Beweisen Sie: log n +2 n 2 = für n!. n 7 Bestimmen Sie die Wertemenge der durch f(x) = p x e x definierten Funktion f:[0, )! R. 8 Berechnen Sie warum. Z 0 x +2 (x+)(x+3) dx falls dieses Integral existiert. Wenn nicht, dann begründen Sie,