Kurt Stange. Angewandte Statistik. Erster Teil Eindimensionale Probleme. Springer-Verlag Berlin Heidelberg-New York 1970

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1 Kurt Stange Angewandte Statistik Erster Teil Eindimensionale Probleme Springer-Verlag Berlin Heidelberg-New York 1970

2 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 1 2. Empirische Verteilungen mit stetig veränderlichem Merkmal Häufigkeitsverteilung 8 Klassifizierende Maßstäbe 14 Unterschiedliche Klassenbreite Die Summenlinie einer Verteilung 19 Die Summentreppe bei n Einzelbeobachtungen 20 Die Summenlinie bei klassifizierten Beobachtungen 21 Zeichnerische Ermittlung der Summenlinie 24 Zusammenhang zwischen Summenlinie und Häufigkeitsdichte 26 Der Grenzübergang n co 26 Die praktische Bedeutung der Summenlinie 27 a) Abgangslinien, Lebensdauerkurven 27 b) Ermittlung von Gut- und Schlechtanteilen bei einem 29 Fertigungs Vorgang c) Konzentrationskurven der Wirtschaft 30 Maße für die Lage einer Verteilung (Mittelwerte) Der (arithmetische) Mittelwert 34 Eigenschaften des Mittelwerts x Der Zentralwert 41 Eigenschaften des Zentralwerts x Der häufigste Wert einer eingipfligen Verteilung Geometrischer, harmonischer und quadratischer Mittelwert 52 Zusammenfassung über Mittelwerte 60 Streuungsmaße Die Spannweite Die durchschnittliche Abweichung Die mittlere quadrierte Abweichung Q 66 Der Verschiebungssatz für Momente zweiter Ordnung Varianz V und Standardabweichung s Eigenschaften der Varianz V 71 (1) Vereinigen von zwei Meßreihen oder Gruppen 71 (2) Varianz einer linearen Funktion; 74 lineare Merkmaltransformation (3) Die Varianz V y einer Funktion y = y(x) ; 7 5 nicht-lineare Merkmaltransformation 2.12 Die Sheppard-Korrektur für Mittelwert und Varianz Momente einer Verteilung 86

3 XII Inhaltsverzeichnis 3. Empirische Verteilungen mit sprunghaft veränderlichem Merkmal Häufigkeitsverteilung und Summenlinie Mittelwert und Varianz Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Rechnen mit Häufigkeiten Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 106 Das Elementarereignis 106 Die Axiome 109 Folgerungen aus den Axiomen 110 Der Additionssatz 110 Der Multiplikationssatz Beispiele zur Wahrscheinlichkeitsrechnung 115 B 1. Telefongespräche als Zufalls vor gang 115 B 2. Wahrscheinlichkeit für die Zahl von Versuchswieder- 116 B 3 holungen bis zum ersten Eintreten eines Ereignisses Wahrscheinlichkeitsdichte 117 B 4 Dichtefunktion für die geordneten Meßwerte x,, 118 (Vi einer Probe B 5. Die Dichtefunktion für eine geordnete Stichprobe 121 B 6. Merkmaltransformation 123 B 7. Zerstörende Abnahmeprüfung 124 B 8. Ein Gesellschaftsspiel Grundbegriffe der Informationstheorie Die Zuverlässigkeit von Bauteilen und Geräten Theoretische Verteilungen mit stetig veränderlichem Merkmal Wahrscheinlichkeitsdichte, Summenlinie, Mittelwert und 152 Varianz 5. 2 Zufallsbereiche und Schwellenwerte bei einseitiger und 154 zweiseitiger Abgrenzung Die Ungleichungen von Tschebyscheff und Camp-Meidell Merkmaltransformation Addition von Zufallsgrößen 169 Der Zusammenhang zwischen Einfluß- und Zielgrößen Beispiele zur Ueberlagerung von Varianzen 17 6 B 1. Fertigung von Einzelteilen 17 6 B 2. Fertigkleidung 179 B 3. Gewogene Mittelwerte kleinster Varianz 180 B 4. Einfluß eines Meßverfahrens auf die Varianz 182 der Meßgröße B 5. Die Ausschaltung des Einflusses von Meßfehlern 184 B 6. Varianzanalyse bei Herstellungsvorgängen Das Verhalten von Mittelwert, Varianz und Standardabweichung bei 190 wiederholter Probenahme 6. 1 Mittelwert und Varianz von x und s Der Grundversuch für messende Prüfung Ein Beispiel: Gemeinsame und getrennte Probenahme bei 201 Massengütern

4 Inhaltsverzeichnis XIII Die Normalverteilung Die Normalverteilung als "statistisches Modell" für 208 empirische Verteilungen 7.2 Dichtefunktion, Mittelwert, Varianz und höhere Momente Vergleich einer beobachteten Verteilung mit einer Normal- 216 Verteilung mit Hilfe der Dichtefunktion 7.4 Die Summenfunktion der Normalverteilung, Schwellenwerte Das Wahrscheinlichkeitsnetz 223 Eine geordnete Probe x (, im Wahrscheinlichkeitsnetz Vergleich einer beobachteten Verteilung mit einer Normal- 234 Verteilung mit Hilfe der Summenfunktion 7.7 Lineare Merkmaltransformation und Addition normal 234 verteilter Zufallsgrößen Der zentrale Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung B 1. Galtonbrett ; Ueberlagerung von Störungen bei 240 Fertigungsvorgängen B 2. Addition von einstelligen Zufallszahlen 243 Die Ueberlagerung von Toleranzen 246 Toleranzen bei Normal-, Dreieck- und Rechteckverteilung 250 der Abweichungen Addition der Einzeltoleranzen 253 Die Aufteilung einer vorgegebenen Gesamttoleranz 255 Beispiele 256 Die Verteilung von Mittelwert, Zentralwert, Varianz und Standard- 262 abweichung bei wiederholter Probenahme aus einer Normalverteilung 8. 1 Die Aufgabenstellung Die Verteilung der Mittelwerte x und der Zentralwerte x 264 bei wiederholter Probenahme Die x-karte ; der u-test für den Mittelwert Die %-Verteilung Die Verteilung der Varianzen s bei wiederholter Probe- 282 nähme 8. 5 Der x Z -Test für die Varianz Die Verteilung der Standardabweichungen s bei wiederhol- 295 ter Probenahme Die Variationszahl Das Additionstheorem für Varianzen 304 Der Schluß von der Probe auf die Gesamtheit bei normal verteilten 307 Ausgangswerten 9. 1 Der Konfidenzstreifen Der Rückschluß von x auf p bei gegebenem Cf Der Rückschluß von s z bzw. s auf 0" bzw. Cf Der Rückschluß von c = s/x auf y= 0"/fj Der Rückschluß von x auf u bei unbekannter Standard- 317 abweichung CT ; die t-verteilung 9.6 Der t-test für den Mittelwert Einige einfache Teste für die Mittelwerte normaler Grund- 327 gesamtheiten

5 XIV Inhaltsverzeichnis 10. Transformation einer schiefen Verteilung in eine Normalverteilung Die allgemeine Transformation von x zu y(x) Die logarithmische Normalverteilung Weitere Beispiele und andere Transformationen Die F-Verteilung Aufgabenstellung Die Dichtefunktion der F-Verteilung Die Summenfunktion der F-Verteilung ; die Schwellenwerte 360 F, und F 1-a a 11.4 Der F-Test für die Uebereinstimmung von zwei Varianzen Zufallsstreifen für s 1/s und Konfidenzstreifen für CT /CT Sonderfälle der F-Verteilung Mittelwert und Varianz der F-Verteilung Einige Verteilungen für geordnete Stichproben bei normaler 373 Ausgangs Verteilung Dichtefunktion und Summenfunktion für die Verteilung 373 der Spannweite Mittelwert, Varianz und Schwellenwerte der w-verteilung Anwendungen der w-verteilung Die Verteilungsfunktion für die größte Beobachtung x einer Meßreihe. Ausreißerschranke Die Verteilungsfunktion für die Differenz zwischen dem 392 größten Wert und dem Mittelwert einer Zufallsprobe 13. Toleranzgrenzen und -bereiche bei normaler Ausgangsverteilung Einseitige Toleranzgrenzen bei bekannter Standardab- 402 weichung 0" Zweiseitig abgegrenzter Toleranzbereich bei bekannter 404 Standardabweichung CT Einseitige Toleranzgrenzen bei unbekannter Standardab- 408 weichung 13.4 Zweiseitig abgegrenzter Toleranzbereich bei unbekannter 413 Standardabweichung 14. Binomialverteilung Die Wahrscheinlichkeiten b n (x p) 418 Der Additionssatz der Binomialverteilung Mittelwert, Varianz, Schiefe und Wölbung 428 Die Probengröße n für eine Erhebung Die Summenfunktion B n (x p) 432 Der Zusammenhang zwischen Binomialverteilung und 433 F-Verteilung 14.4 Zufalls- und Konfidenzstreifen ; Vertrauensgrenzen für p 436 "Nullergebnis" und "Vollergebnis" in einer Probe Der Grundversuch für Gut-Schlecht-Prüfung Der Grenzübergang zur Normalverteilung ; Zufalls- und 446 Konfidenzstreifen 14.7 Die arc-sin-transformation und das Wurzelnetz 453 Anwendungen des Wurzelnetzes 459 (a) Testen von Hypothesen 460 (b) Vertrauensbereich 461 (c) Plan für eine Abnahmeprüfung 461

6 Inhaltsverzeichnis XV Anwendungen der Binomialverteilung 463 (a) Gut-Schlecht-Prüfung 463 (b) Multimomentverfahren 466 (c) Mikrozensus 467 (d) Aufwand bei Massenuntersuchungen im Bereich 47 2 der Medizin (e) Wiederholte automatische Prüfung von Bauteilen 47 8 (f) Der Vorzeichentest Testen von Hypothesen über Grundwahrscheinlichkeiten 487 (a) Verträglichkeit eines Sollwerts mit einem Stich- 487 probenwert (b) Vergleich zweier Grundwahrscheinlichkeiten 487 Erste Lösung mit Hilfe der Normalverteilung 488 Zweite Lösung mit Hilfe der arc-sin-transfor- 490 mation Die "verallgemeinerte" Binomialverteilung Die Beurteilung des "Gütegrades" von Mischungen kör- 500 niger Stoffe mit Hilfe der Binomialverteilung Aufgabenstellung 500 Die Modellvorstellung zur Entstehung der Zufalls- 500 mischung Der Zusammenhang zwischen "Teilchenhäufigkeit" p 501 und "Gewichtshäufigkeit" P Stichproben gleicher Teilchenzahl 502 Berechnung der "Mischgüte" 504 Versuchsergebnisse 509 Mischungen aus drei Komponenten Poisson-Verteilung Vorbemerkung Der Grenzübergang 519 Der Additionssatz der Poisson-Verteilung Mittelwert, Varianz, Schiefe und Wölbung Die Summenfunktion P(x u) 526 Der Zusammenhang zwischen Poisson- und ^ -Verteilung Zufalls- und Konfidenzstreifen ; Vertrauensgrenzen für u Grenzübergang zur Normalverteilung Die Wurzeltransformation Anwendungen der Poisson-Verteilung 53 5 (a) Kontrollkarten für die Fehlerzahl 53 5 (b) Fadenbruchzählungen 537 (c) Ungleichmäßigkeit von Garnen 538 (d) Poisson- und Exponential-Verteilung bei Warte- 542 schlangen (e) Ein einfaches Lagerhaltungsmodell Testen von Hypothesen über Poisson-verteilte Zufalls- 554 großen (a) Verträglichkeit eines "Sollwerts" mit einem Stich- 554 probenwert (b) Vergleich zweier Mittelwerte 555 (1) Näherung mit Normalverteilung 556 (2) Näherung mit Wurzeltransformation 5 57 (3) Test mit der F-Verteilung Die negative Binomialverteilung 564

7 XVI Inhaltsverzeichnis 16. Die hypergeometrische Verteilung Die Wahrscheinlichkeitsverteilung Mittelwert und Varianz Grenzübergang zur Binomialverteilung 578 Sachwortverzeichnis 580