Station 1a Zylinder: Grundlagen - Begriffe Station 1a

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1 Station 1a Zylinder: Grundlagen - Begriffe Station 1a Material: Legespiel Zylinder Überschrift: Zylinder Grundlagen und Begriffe Die folgenden Zeichnungen zeigen 7 verschiedene Körper, von denen die Körper mit den Bezeichnungen a, b, c, d Zylinder sind, die mit den Bezeichnungen e, f, g keine. a b c d e f g Schau dir die Körper genau an und notiere 1. die Gemeinsamkeiten der Körper a d. 2. die Unterschiede zu den Körpern e - g. Vergleiche mit der Lösung. Im folgenden sollen nur noch Zylinder der Form b betrachtet werden. Diese nennt man gerade Kreiszylinder. Definition: Ein Körper, dessen Grund- und Deckfläche gleich große Kreise sind, deren Mittelpunkte senkrecht übereinander stehen, nennt man gerader Kreiszylinder. Mit dem Legespiel Zylinder kannst du nun wichtige Begriffe lernen. Lege die Kärtchen auf und vergleiche mit der Lösung. Notiere unter der Überschrift die Definition von oben. Zeichne einen Zylinder mit der Höhe h = 5 cm und dem Radius r = 3 cm. Beschrifte den Zylinder. Bei der Zeichnung musst du beachten, dass die kreisförmige Deck- und Grundfläche nicht als Kreise, sondern als Ellipsen in der Zeichenebene erscheinen.

2 Station 1a Lösung Station 1a Gemeinsamkeiten der Zylinder a bis d:: - Identische und parallele Grund- und Deckfläche - Parallele Verbindungsgeraden zwischen Grund- und Deckfläche Unterschiede zu den Zylindern e bis f: - keine Verbindungsgeraden [e]. - Deck - und Grundfläche haben nicht die gleiche Form [f]. - Deck - und Grundfläche sind nicht parallel [g]. Lösung zum Legespiel und Vorlage für den Hefteintrag: Radius

3 Legespiel Zylinder Mantel Höhe Grundfläche Mantellinie Radius Deckfläche

4 ... hier abschneiden Mantel Mantellinie Höhe Grundfläche Radius Deckfläche Mantel Höhe Grundfläche Mantellinie Radius Deckfläche Mantel Höhe Grundfläche Mantellinie Radius Deckfläche Mantel Höhe Grundfläche Mantellinie Radius Deckfläche

5 Station 1b Oberfläche und Volumen des Zylinders Station 1b Material: Zylindermodelle Überschrift: Oberfläche und Volumen des Zylinders Oberfläche: 1. Nimm ein Zylindermodell zur Hand und überlege, welche Form der Mantel eines Zylinders hat! Öffne dazu ggf. einen der Klorollenzylinder an der markierten Stelle. Wie du erkennen kannst, hat der Mantel eine bereits bekannte Form, deren Fläche leicht zu berechnen ist. 2. Wähle eines der Modelle und berechne Mantel und Oberfläche, indem du die notwendigen Angaben am Modell abmisst! 3. Leite nun an Hand deiner Berechnung bzw. des Modells die allgemeinen Formeln für die Mantelfläche und die Oberfläche des Zylinders her. Vergleiche mit der Lösung und schreibe die Formeln in einem Merkkasten in dein Heft! Volumen: Den Kreisinhalt haben wir bestimmt, indem wir die Kreisfläche zwischen ein- und umbeschriebene regelmäßige Vielecke eingesperrt haben. In ähnlicher Weise nähern wir den Zylinder durch ein- und umbeschriebene Prismen an. Die Prismen entstehen, wenn man Grund- und Deckfläche des Zylinders durch ein- und umbeschriebene regelmäßige n-ecke ersetzt. Wir wissen schon, dass für alle diese Prismen gilt: Volumen = Grundfläche mal Höhe Zylinder von fünfseitigem Prisma umgeben Zylinder von achtseitigem Prisma umgeben Weil sich bei genügend großer Eckenzahl die Prismen beliebig wenig vom Zylinder unterscheiden, verwenden wir diese Formel auch für den Zylinder: Für das Volumen des Zylinders gilt: V = G h = r 2 π h Schreibe die Formel in einem Merkkasten in dein Heft!

6 Station 1b Oberfläche und Volumen des Zylinders Aufgaben Station 1b Bearbeite die folgenden Aufgaben und vergleiche mit der Lösung! 1. Berechne die fehlenden Größen für einen Zylinder: a) b) c) Radius r 4 cm 5 cm Höhe h 6 cm Mantelfläche M 240 cm² Oberfläche O 80 cm² 312 cm² 2. Litfasssäule Berechne, welche Fläche auf einer Plakatsäule beklebt werden kann, wenn sie 2,50m hoch ist und einen Umfang von 4m besitzt? 3. Berechne die fehlenden Stücke des Zylinders: a) b) c) d) Radius r 1cm 10cm 4cm Höhe h 2cm 10cm 5cm Volumen V cm³ 20 cm³ 4. Eine oben offene Regentonne aus dünnem Blech fasst 800 Liter, ihre Höhe ist doppelt so groß wie ihr Durchmesser. Berechne den Radius der Tonne.

7 Station 1b Lösung Station 1b Rollt man den Mantel eines Zylinders ab, erhält man ein Rechteck. Dessen Flächeninhalt ist bekanntermaßen A = Länge mal Breite. Die Breite ist in diesem Fall die Höhe des Zylinders, die Länge der Umfang des Zylinderbodens, also der Umfang eines Kreises mit Radius r. Damit ergibt sich die Mantelfläche mit M = UBoden Höhe = 2πr h. Möchte man die gesamte Oberfläche berechnen, muss man freilich zum Mantel noch Deckel und Boden addieren, also O = M + 2 Kreisfläche(Zyl.Boden) = M + 2πr 2 Zylinder: Formel für die Mantelfläche: M = 2 r h Formel für die Oberfläche: O = M + 2 r² Berechnung der Modelle: z.b. Chipsdose: h = 10cm, r = 4cm M = U h = 2π 4 10 cm 2 = 80π cm 2 251,33 cm 2 2,5 dm 2 O = M + 2 A Kreis = 80π cm π 4 2 cm 2 112π cm 2 3,5 dm 2 z.b. Klorolle: h = 10cm, r = 2cm M = U h =2π 2 10 cm 2 = 40π cm 2 125,66 cm 2 1,3 dm 2 O = M + 2 A Kreis = 40π cm π 2 2 cm 2 48π cm 2 1,5 dm 2 z.b Smarties-Rolle:

8 Lösungen zu den Anwendungsaufgaben: 1. a) b) c) Radius r 4 cm 5 cm r = O M 2 6cm Höhe h 6 cm h 3 cm 20cm Mantelfläche M Oberfläche O 48 cm² 151 cm 2 80 cm² 251 cm 2 M 2 r 30 cm² 94 cm 2 80 cm² 240 cm² 312 cm² 2. Litfasssäule: Für den Grundkreis des Zylinders gilt: u = 2 r. Damit kann die Mantelfläche auch so berechnet werden: M = 2 r h = u h. Also: Größen: M = 4 m 2, 5 m = 10 m 2. Es kann eine Fläche von 10m² beklebt werden. = 3. a) b) c) d) r 1cm 10cm 4cm 2cm h 2cm 10cm 0,0625cm 5cm V 2 cm³ 6,28 cm³ 1000 cm³ 3142 cm³ cm³ 20 cm³ 4. 2 Zylindervolumen : V r h DieHöhe ist doppelt so groß wie der Durchmesser : h 2 d. Wegen d 2 r gilt : h 2 (2 r ) 4r 2 3 h 4 r in die Zylinderformel einsetzen : V r 4r r 4 V Nach r aufgelöst erhältst du : r 3 4 Einsetzen der Werte ergibt : r 800dm³ 200 dm³ 3,9929dm 39,9cm Die Regentonne hat einen Radius von 39,9 cm.

9 Station 2a Kegel: Grundlagen - Begriffe Station 2a Material: Kegelmodell aus Gummifäden Überschrift: Kegel Grundlagen und Begriffe Die folgenden Zeichnungen zeigen je 3 verschiedene Körper, von denen die Körper mit den Bezeichnungen a, b, c Kegel sind, die mit den Bezeichnungen d, e, f keine Kegel: Das sind alles Kegel! a b c Das sind keine Kegel! d e f (Der Boden von Figur f ist nach innen gewölbt) Schau dir die Körper genau an und notiere 1. die Gemeinsamkeiten der Körper a c. 2. die Unterschiede zu den Körpern d - f. Vergleiche mit der Lösung. Im folgenden sollen nur noch Kegel der Form a betrachtet werden. Diese nennt man gerade Kreiskegel. Definition: Ein Körper, der einen Kreis als Grundfläche hat und dessen Spitze senkrecht über dem Kreismittelpunkt liegt, heißt gerader Kreiskegel. Mit dem Gummifadenmodell kannst du, sobald die Spitze (der Knoten) nicht mehr in der Grundebene liegt und die Fäden gespannt sind, unendlich viele Kegel errichten. Mit dem Holzspieß kannst du die Höhe einbauen und einen geraden Kreiskegel erzeugen. Übernimm unter der Überschrift die Definition von oben. Zeichne einen Kegel mit der Höhe h = 4 cm und dem Radius r = 2 cm. Beschrifte den Kegel nach der Vorlage in der Lösung. Bei der Zeichnung musst du beachten, dass die kreisförmige Grundfläche nicht als Kreis, sondern als Ellipse in der Zeichenebene erscheint.

10 Station 2a Lösung Station 2a Gemeinsamkeiten (d.h. Eigenschaften) der Körper a - c: - ebene Grundflächen - Spitze und Rand der Grundfläche sind durch Geraden verbunden Unterschiede zu den Körpern d f: - keine Verbindungsgeraden [e]. - keine Spitze, die aus einem Punkt besteht [d]. - unebene Grundfläche [f]. Vorlage für den Hefteintrag:

11 Station 2b Volumen des Kegels Station 2b Überschrift: Das Volumen des Kegels Überlegung: Ähnlich wie beim Zylinder nähern wir den Kegel durch ein- und umbeschriebene Pyramiden an. Die Pyramiden entstehen, wenn man die Grundfläche des Kegels durch ein- und umbeschriebene regelmäßige n-ecke ersetzt. Für alle diese Pyramiden gilt bekanntlich: V = 1 3 G h Kegel von sechsseitiger Pyramide umgeben Kegel von achtseitiger Pyramide umgeben Lässt man n beliebig (unendlich!) groß werden, gelangt man von der Pyramide zum Kegel. Wie heißt folglich die Volumenformel für den Kegel? Vergleiche mit der Lösung und notiere die Formel in dein Heft! Berechne die fehlenden Stücke des Kegels: a) b) c) d) r 5cm 10cm 0,3cm h 12cm 10cm 5cm V 0,01 cm³ 60 cm³ Vergleiche mit der Lösung.

12 Station 2b Lösung Station 2b Lässt man die Anzahl der Ecken der Grundfläche der Pyramiden unendlich groß werden, unterscheidet sich diese Grundfläche nur noch beliebig wenig von einem Kreis. Folglich muss für das Kegelvolumen die selbe Formel gelten wie für die Pyramide: Volumenformel für den Kegel: V = 1 3 G h = 1 3 πr2 h Lösung zu den Aufgaben: a) b) c) d) r 5cm 10cm 0,3 cm 6cm h 12cm 10cm 1 3 cm 5cm V 100 cm³ 314 cm³ 1000π 3 cm³ 1047 cm³ 0,01 cm³ 60 cm³

13 Station 2c Oberfläche des Kegels Station 2c Material: Netz eines Kegels Überschrift: Die Oberfläche des Kegels Nimm das Kegelmodell und öffne den Mantel an der markierten Stelle. Der geöffnete Mantel hat die Form eines Kreissektors. Um die Fläche des Mantels zu bestimmen, könnte man nun den Kreis mit Radius m (Mantellinie) berechnen und anhand des Winkels an der Spitze den benötigten Anteil des Vollkreises bestimmen. Es gilt: A Sektor = α 360 π m2. Dabei ist α der Anteil des vollen Kreises. 360 Problem: In der Regel ist der Winkel nicht gegeben und schwer zu ermitteln. Dafür ist aber der Bogen b leicht verfügbar. Für den Bogen b gilt: Auch er ist ein Teilstück des Kreises mit Radius m. Der Anteil am Gesamtumfang 2πm bestimmt sich ebenfalls durch den Winkel. Also: b = α 2πm. 360 Erinnere dich an die 8. Klasse: Wenn m und b gegeben sind, haben wir jetzt zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (ASektor und ). Diese lauten: I. ASektor = π m2 II. b = 360 2πm 360 Löse die 2. Gleichung nach auf und setze das Ergebnis in I. ein. Vereinfache! Ermittle so eine Formel für ASektor, die nur noch von b und m abhängt! Vergleiche mit der Lösung Bitte wenden!

14 Station 2c Forts.: Oben stand, dass b leicht verfügbar ist: Nimm noch einmal das Kegelmodell, verschließe den Mantel wieder zu einem Kegel. Betrachte nun erneut den Bogen b. b ist nichts anderes als der Umfang U der Grundfläche des Kegels! Wie kannst du diesen berechnen, wenn vom Kegel der Radius gegeben ist? b =? Setze die Formel für b nun in die Mantelformel M = 1 bm ein und vereinfache. 2 Du erhälst die fertige Mantelformel und damit dann auch wie gewohnt die Formel für die Oberfläche. Vergleiche mit der Lösung und schreibe den Merkkasten mit den Formeln ins Heft! Zu guter Letzt: Was aber, wenn die Mantellinie m nicht gegeben ist, sondern nur die Höhe des Kegels? Nicht verzweifeln, sondern wieder unseren guten alten Pythagoras befragen : Betrachte noch einmal das Bild auf der Vorderseite: Was für ein besonderes Dreieck ist das, in dem h, r und m vorkommen? Fertige eine Skizze und berechne m, wenn h und r gegeben sind! Vergleiche mit der Lösung Aufgaben: Berechne die fehlenden Stücke des Kegels: a) b) c) Radius r 5cm 8cm 10cm Höhe h 12cm Mantellinie m 17cm Mantelfläche M 200 cm² Oberfläche O Vergleiche mit der Lösung.

15 Station 2c Lösung Station 2c I. ASektor = 360 II. b = 2πm 360 aus II: = 360 in I: ASektor = π m2 b 2πm π 360 m2 = 1 π 360 m2 = b π 360 2πm m2 = b m 2 ASektor = 1 2 bm Der Bogen b ist genau der Umfang der Kegelgrundfläche, also: b = U = 2πr MantelKegel = A Sektor = 1 bm = 1 2πrm = πrm 2 2 Die Oberfläche ergibt sich durch Additon der Grundfläche zum Mantel. Kegel: Mantelfläche: M = r m (m = Mantellinie) Oberfläche: O = M + r² Das Dreieck ist rechtwinklig mit Hypotenuse m: Mit Pythagoras folgt: m = r 2 + h 2 r 2 h 2 m Lösung zu den Aufgaben: a) b) c) Radius r 5cm 8cm 10cm Höhe h 12cm h = 2 2 m r = 15cm 10 3 cm 17,3 cm Mantellinie m 13cm 17cm M m = = 20cm r Mantelfläche M 65 cm² 204 cm cm² 427 cm cm² Oberfläche O 90 cm² 283 cm cm² 628 cm cm² 942 cm 2

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17 Station 3a Pyramide: Grundlagen - Begriffe Station 3a Überschrift: Pyramide Grundlagen und Begriffe Schau dir das Foto an. Schon mal gesehen? Richtig, hier abgebildet sind die Pyramiden von Gizeh bei Kairo in Ägypten. Vielleicht warst du ja sogar schon einmal dort? Was sind das für Gebilde? Informiere dich (Internet/Lexika/Unterricht), wann und zu welchem Zweck die Pyramiden von Gizeh gebaut wurden und finde auch etwas über die geometrische Form und ihre Maße heraus! Notiere ins Heft: Definition: Verbindet man die Eckpunkte eines beliebigen n-ecks mit einem Punkt außerhalb der Vielecksebene, so heißt der entstehende Körper n-seitige Pyramide. Zeichne nun selbst das Schrägbild einer beliebigen vierseitigen Pyramide in dein Heft und beschrifte folgende Teile: Spitze, Höhe, Seitenfläche, Grundfläche, Grundkante, Seitenkante, Höhenfußpunkt, Neigungswinkel zwischen Seitenkante und Grundfläche Vergleiche mit der Lösung. Manche Pyramiden haben besondere Eigenschaften. Sind alle Seitenkanten gleich lang, so spricht man von einer geraden Pyramide. Ist die Grundfläche ein regelmäßiges n-eck, also sind alle Grundkanten gleich lang, so heißt auch die Pyramide regelmäßig. Ein Tetraeder ist eine dreiseitige Pyramide. Mit der Grundfläche zusammen hat eine solche Pyramide also vier Flächen, daher auch der Name: tetra- ist die griechische Vorsilbe für vier. Ein Tetraeder, bei dem alle Kanten gleich lang sind, heißt regelmäßiges Tetraeder. Die Seitenfläche und auch die Grundfläche sind dann folglich gleichseitige Dreiecke mit ein und derselben Seitenlänge s. Wird einer Pyramide parallel zur Grundfläche die Spitze abgeschnitten, so spricht man von einem Pyramidenstumpf. Notiere die wichtigsten Begriffe wie in der Lösung vorgegeben in dein Heft! Betrachte die Abbildungen auf dem Beiblatt. Welche besonderen Pyramiden sind abgebildet? Welche besondere Form hat die Cheopspyramide in Gizeh? Vergleiche mit der Lösung!

18 Sunkist Fruchtsaftgetränk Ziegenkäse Chavroux Pyramide vor dem Louvre in Paris Haldenereignis Emscherblick, Wahrzeichen von Bottrop Oktaeder

19 Station 3a Lösung Station 3a Vorlage für den Hefteintrag: Wichtige Begriffe: gerade Pyramide: gleich lange Seitenkanten regelmäßige Pyramide: gleich lange Grundkanten regelmäßiger Tetraeder: dreiseitige Pyramide mit lauter gleich langen Kanten Abbildungen auf dem Beiblatt: Sunkist: Tetraeder Chavroux: Pyramidenstumpf einer vierseitigen geraden und regelmäßigen Pyramide Louvre-Pyramide: gerade, regelmäßige Pyramide mit quadratischer Grundfläche Bottrop-Wahrzeichen: regelmäßiger Tetraeder (Seitenlänge 60m) Oktaeder: Doppelpyramide aus zwei gleichen, an der Grundfläche zusammengesetzten vierseitigen geraden und regelmäßigen Pyramiden insgesamt 8 Flächen, daher der Name: griech. Vorsilbe okta- = acht Die Cheops-Pyramide in Gizeh ist eine regelmäßige Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche der Seitenlänge a = 230m, die Höhe beträgt h = 146m.

20 Station 3b Pyramide: Volumen Station 3b Material: Pyramidenaufgabe zum Einkleben ins Heft Überschrift: Das Volumen der Pyramide Auf der Suche nach einer Formel für das Pyramidenvolumen betrachten wir eine Pyramide, die in einem grundflächengleichen Quader sitzt. Was meinst du, wie oft passt das Volumen der Pyramide in den Quader? (Stelle dir z.b. vor, die Pyramide ist mit Wasser gefüllt. Wie oft kannst du eine Pyramidenfüllung in den Quader schütten?) Es ist bekannt: VPrisma = G h (Grundfläche mal Höhe), bzw. VQuader = G h Das Pyramidenvolumen einer Pyramide mit gleicher Grundfläche G und gleicher Höhe h ist folglich V Pyramide = k (G h) Dabei ist k ein uns noch nicht bekannter Faktor k, den wir herausfinden müssen. (Vgl. deine Vermutung von oben: Ist der Anteil k = 1 2? Oder k = 1 3? Oder k = 3 4?. ) Um k zu finden, machen wir folgendes: Wir versuchen, das Volumen der Pyramide näherungsweise zu berechnen, indem wir das Innere der Pyramide mit flachen Quadern füllen (Bild 1). 1 2 Volumen der Innenquader Volumen der Außenquader Die Volumen eines einzelnen flachen Quaders können wir mit der bekannten Formel G h berechnen. Die Summe aller Innenquader ist dann ein Näherungswert für das Pyramidenvolumen - der aber kleiner als das tatsächliche Pyramidenvolumen ist. Deshalb führen wir das gleiche Spiel noch einmal mit Quadern durch, die die Pyramide umschließen (Außenquader, Bild 2). Berechnen wir wieder die Summe der Quader, erhalten wir diesmal einen zu großen Näherungswert. Der Mittelwert aus beiden Summen liefert uns dann eine gute Näherung des tatsächlichen Pyramidenvolumens. Bitte wenden!

21 Station 3b Pyramide: Volumen Station 3b Notiere ins Heft: Das Pyramidenvolumen ist ein Bruchteil des Volumens eines Quaders mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe. VPyramide = k (G h) Wir suchen einen Wert für k Nimm dir eine Kopie des Arbeitsauftrags und klebe ihn unter der Überschrift in dein Heft. Berechne nun für die Pyramide auf dem Arbeitsblatt das Innen- und das Außenvolumen und bilde den Mittelwert! Berechne auch das Volumen des zugehörigen Quaders und bestimme den Anteil k! Lagst du mit deiner Vermutung für k richtig? Vergleiche mit der Lösung. Überlegung: Führt man die gleichen Berechnungen erneut durch, nur dass diesmal die Höhe der eingelegten bzw. umgebauten Quader nur noch halb so hoch ist, erhält man eine deutlich bessere Näherung. Denn die verbleibenden Hohlräume sind dann viel kleiner. Wiederholt man das Verfahren nun beliebig oft, also wählt man immer flachere Quader zum Ausfüllen der Pyramide, so wird der Fehler in der Berechnung immer kleiner und man gelangt schließlich zum tatsächlichen Wert für k, nämlich k = 1 3. Dieses Verfahren kann man für jede beliebige Pyramide so durchführen. Es ergibt sich die allgemeine Formel 1 Grundfläche mal Höhe.* 3 Notiere ins Heft: Für das Volumen einer beliebigen Pyramide gilt: V Pyramide = 1 3 G h Aufgabe: a) Berechne das Volumen der Cheops-Pyramide mit den Maßen a = 230m, h = 146m. b) Ein normaler LKW kann 25t Sandstein transportieren. Wie viel LKW-Fuhren wären theoretisch für den Bau der Pyramide nötig gewesen, wenn ein Kubikmeter Sandstein 2,25t wiegt? Berücksichtige dabei, dass nur ca. 1% der Cheops-Pyramide Hohlräume sind. Vergleiche mit der Lösung. [* Anmerkung: Dies ist kein Beweis im mathematischen Sinne, denn ein einzelnes Beispiel kann nie ein Beweis für eine Aussage sein! Es soll dir aber eine Vorstellung davon vermitteln, wie man vorgehen muss, um zu einer Volumenformel zu gelangen. Für einen richtigen Beweis benötigt man noch andere Sätze aus der Mathematik, die zu beweisen nur mit höherer Mathematik möglich sind.]

22 Aufgabe: (Station 3b) Gegeben ist eine quadratische Pyramide mit der Grundkante a = 14 cm und der Höhe h = 7 cm, die mit 1cm hohen Quadern gefüllt bzw. umbaut wird a) Berechne das Innen- sowie das Außenvolumen der Pyramide und bilde den Mittelwert! b) Bestimme das Volumen des zugehörigen Quaders und berechne, welchen Anteil k des Quaders die Pyramide einnimmt! Lagst du mit deiner Vermutung für k richtig? Aufgabe: (Station 3b) Gegeben ist eine quadratische Pyramide mit der Grundkante a = 14 cm und der Höhe h = 7 cm, die mit 1cm hohen Quadern gefüllt bzw. umbaut wird a) Berechne das Innen- sowie das Außenvolumen der Pyramide und bilde den Mittelwert! b) Bestimme das Volumen des zugehörigen Quaders und berechne, welchen Anteil k des Quaders die Pyramide einnimmt! Lagst du mit deiner Vermutung für k richtig?

23 Aufgabe: (Station 3b) Gegeben ist eine quadratische Pyramide mit der Grundkante a = 14 cm und der Höhe h = 7 cm, die mit 1cm hohen Quadern gefüllt bzw. umbaut wird a) Berechne das Innen- sowie das Außenvolumen der Pyramide und bilde den Mittelwert! b) Bestimme das Volumen des zugehörigen Quaders und berechne, welchen Anteil k des Quaders die Pyramide einnimmt! Lagst du mit deiner Vermutung für k richtig? Aufgabe: (Station 3b) Gegeben ist eine quadratische Pyramide mit der Grundkante a = 14 cm und der Höhe h = 7 cm, die mit 1cm hohen Quadern gefüllt bzw. umbaut wird a) Berechne das Innen- sowie das Außenvolumen der Pyramide und bilde den Mittelwert! b) Bestimme das Volumen des zugehörigen Quaders und berechne, welchen Anteil k des Quaders die Pyramide einnimmt! Lagst du mit deiner Vermutung für k richtig?

24 Station 3b Lösung Station 3b Lösung zum Aufgabenblatt: a) Summe der Innenquader: V innen = = 364 [cm 3 ] Summe der Außenquader: V außen = = 560 [cm 3 ] Mittelwert: = 462 [cm 3 ] b) V Quader = = 1372 [cm 3 ] Anteil k der Pyramide am Quader: k = V Pyramide V Quader = , Der Rauminhalt der Pyramide entspricht also etwa einem Drittel des Rauminhalts des Quaders Aufgabe zur Cheops-Pyramide: a) V Cheops = 1 3 (230m)2 146m = ,67 m 3 b) V Cheops = ,67 m 3 99% davon sind Steine: V Cheops massiv = 0, ,67 m 3 = m 3 Dichte Sandstein: ρ = 2,25 t m 3 Masse Cheops = ρ V = 2,25 t m m3 = ,5 t Anzahl der LKW-Fuhren (1 LKW schafft 25t) ,5 t 25t = , LKW-Fuhren (wenn es denn damals LKWs gegeben hätte )

25 Station 3c Pyramide: Oberfläche Station 3c Überschrift: Die Oberfläche der Pyramide Betrachte eine beliebige Pyramide und erinnere dich an die Definition: Aus welchen Teilflächen setzt sich die Oberfläche einer Pyramide zusammen? Auch eine Pyramide hat, ähnlich wie die anderen Körper, einen sog. Mantel. Welche Fläche ist das? Finde eine allgemeine Formel für den Mantel und die Oberfläche der Pyramide! Vergleiche mit der Lösung. Notiere den in der Lösung stehenden Kasten ins Heft! Die allgemeine Formel war ja nicht so schwer zu finden. Das Problem liegt aber manchmal darin, dass die Höhe der Manteldreiecke nicht gegeben ist und erst ermittelt werden muss, um die Flächen dieser Dreiecke zu berechnen. Zum Glück hilft uns da der Satz des Pythagoras Bearbeite folgende Aufgabe: Gegeben ist eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche: Grundkante: a = 4 cm; Höhe: h = 6 cm a) Betrachte das Dreieck FMS. F ist der Höhenfußpunkt, M der Mittelpunkt einer Grundkante. Um was für ein besonderes Dreieck handelt es sich? b) Berechne ha mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatzes und damit dann den Flächeninhalt des Seitendreiecks! c) Bestimme nun die Mantel- und die Oberfläche der Pyramide! Vergleiche mit der Lösung.

26 Weitere Aufgaben: 1. Bearbeite die Aufgabe b) und c) von oben erneut, wenn nicht die Höhe h der Pyramide, sondern eine Seitenkante mit s = 8 cm gegeben ist! 2. Bestimme auf ähnliche Weise wie oben eine Formel für die Oberfläche eines regelmäßigen Tetraeders mit Seitenlänge a! Beachte, dass bei einem regelmäßigen Tetraeder alle Kanten gleich lang sind. Tipp: Wenn dir die Aufgabe mit allgemeiner Rechnung (a beliebig) zu kompliziert erscheint, löse die Aufgabe zunächst für a = 5 L.E.! Fertige eine Skizze eines Seitendreiecks an und berechne die Höhe ha mit Hilfe des Satzes von Pythagoras! Vergleiche mit der Lösung.

27 Station 3c Lösung Station 3c Die Pyramide hat eine n-eckige Grundfläche und n Dreiecke als Seitenflächen. Addiert man nur die Flächeninhalte der Seitendreiecke, erhält man den so genannten Mantel der Pyramide. Nimmt man noch den Boden, also die Grundfläche der Pyramide hinzu, ergibt sich die gesamte Pyramidenoberfläche. Es gilt: Mantel Pyramide OberflächePyramide = Summe der Flächeninhalte der Seitendreiecke (Erinnerung: ADreieck = ½ mal Grundlinie mal Höhe!) = Mantel + Grundfläche Lösung zur Aufgabe : Gegeben ist eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche: Grundkante: a = 4 cm Höhe: h = 6 cm a) Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Die Strecke [FM] verläuft parallel zur Grundkante und ist genau halb so lang wie diese, weil die Pyramide gerade ist. (Die Spitze liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt der Grundfläche.) b) Im rechtwinkligen Dreieck ist der Satz des Pythagoras anwendbar: h 2 + FM 2 2 = h a also: = h a 2 h a 2 = 40 h a = 40 = 2 10 [cm] c) Mantel = 4 A Seitendreieck M = 4 A Dreieck = a h a = = ,6 [cm2 ] Oberfläche = Mantel + Grundfläche O = M + A Quadrat = = 16( ) 66,6 [cm 2 ]

28 Lösung Station 3c (Forts.) Lösungen zu den weiteren Aufgaben: 1. a = 4 cm, s = 8 cm Der Satz des Pythagoras lässt sich diesmal auf einer Seitenfläche der Pyramide anwenden. Die Höhe ha dieses Dreiecks steht senkrecht auf der Grundlinie a. Und weil das Seitendreieck gleichschenklig ist, wird die Grundkante a von der Höhe ha halbiert. Wende nun Pythagoras in dem rechten rechtwinkligen Dreieck an: h a 2 + ( a 2 )2 = s 2 und löse nach ha auf: h a 2 = s 2 ( a 2 )2 h a 2 = = 60 h a = 60 = 2 15 Seitenfläche: A Seitendreieck = 1 2 a h a = = 4 15 [cm2 ] Mantel: M = 4 A Seitendreieck = ,0 [cm 2 ] Oberfläche: O = M + Grundfläche = = 16( ) 78,0 [cm 2 ] 2.Im regelmäßigen Tetraeder sind alle Kanten gleich lang (Seitenlänge a). Damit sind die Flächen allesamt gleichseitige Dreiecke. Es gilt mit Pythagoras (siehe rechtwinkliges Dreieck im Bild): h a 2 + ( a 2 ) 2 = a 2 h a 2 = a 2 ( a 2 )2 = a 2 a2 4 = 3 4 a2 h a = a 2 3 Seitenfläche: Oberfläche: A Seitendreieck = 1 a h 2 a = 1 a a a2 3 = O = 4 A Seitendreieck = 4 a2 4 3 = a2 3 Für a = 5 L.E. ergibt sich O = 25 3 [F. E. ]

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