Kleine schlumpfige Schlumpfklausur AUFGABEN

Transkript

1 Kleine schlumpfige Schlumpfklausur Ingo Manfraß (TEAM Dr. Kowalski) 6. Juni 2008 AUFGABEN Aufgabe 1 (4/4/4 Punkte) Papa Schlumpf hat für Baby Schlumpf ein Kapital von K = Schlumpfbeertalern auf einem Sparbuch (bei Schlaubi) angelegt, dass jährlich mit einem Zinsfuß von p = 1.25% wachse und (unterjährig) pro Monat verzinst wird. a) Ermittle den zugehörigen Aufzinsungsfaktor q und den Effektivzinsfuß. b) Welcher Aufzinsungsfaktor q ergibt sich, wenn man von einer effektiven Jahresverzinsung von p = 1.25% ausgeht? c) Welcher jährliche Effektivzinsfuß ergibt sich, wenn statt monatlicher Verzinsung stetig mit nominell p = 1.25% verzinst wird? Aufgabe 2 (4 Punkte) Papa Schlumpf schließt einen Sparvertrag zu durchschnittlich 4.7% (pro Jahr) zur Geburt von Baby Schlumpf ab. Dabei zahlt er über 18 Jahre jeden Monat schlumpfige 120 Schlumpfbeertaler ein (jährlich also 1440 Schlumpfbeertaler). Unterstellt man jährliche Verzinsung am jeweiligen Jahresende, welche Aussteuer erhält Baby Schlumpf mit 18 schlumpfigen Jahren? Die Tatsache, dass Schlümpfe nicht altern, sei mal vernachlässigt. Aufgabe 3 (4/4/4 Punkte) Gargamel (böse) hat sich von seiner Mutter (noch böser) Goldtaler geliehen (blöde Idee!!!). Sie verzinst (dekursiv) das Kapital zu 45 % p.a. (Korrektur: Sie ist extrem böse).gargamel kann jedes Jahr Goldtaler an seine Mutter zurückzahlen. a) Wie hoch ist Gargamels dritte Tilgungszahlung? b) Wie hoch ist die danach verbleibende Restschuld? c) Wie lang ist die Laufzeit dieses Wucherkredites?

2 Aufgabe 4 (4/4/4/0 Punkte) Torti-Schlumpf stellt schlumpfige kleine Schlumpfbeertörtchen her. Dazu hat er eine Nachfragefunktion N mit N(p) = 775 p4 63 die die Nachfrage in Abhängigkeit vom Preis angibt. a) Ermittle die zugehörige Preis-Absatz-Funktion p(n). b) Bestimme die Elastizität des Preises im Bezug auf die Nachfrage ε p (N). c) Um wieviel Prozent erhöht sich näherungsweise die Nachfrage N an Törtchen, wenn der Preis p ausgehend von p = 13 um 1% erhöht wird? d) Wie viele Törtchen isst Torti selbst auf? Aufgabe 5 (4/4/4/4 Punkte) Handy hat eine Maschine konstruiert, die die Schlumpfbeeren automatisch zu äußerst schlumpfigen kleinen Törtchen verarbeitet. Diese Maschine kann dabei maximal 20 Eimer Schlumpfbeeren (Input x 0) verarbeiten. Der Output an Törtchen ist nun durch die folgende Produktionsfunktion gegeben: y(x) = 0.5x x x a) Wo liegt im vorgegebenen Inputbereich das Ertragsmaximum? D.h. wie viele Eimer Schlumpfbeeren muß man in die Maschine schütten, damit sie am meisten Törtchen ausspuckt? b) Für welchen Faktorinput x 1 wird die Grenzproduktivität maximal? D.h. wann ist der Törtchenoutputzuwachs am Größten? c) Für welchen Faktorinput x 2 ist der Durchschnittsertrag maximal? D.h. bei wie vielen Eimern Schlumpfbeeren liefert die Maschine am meisten Törtchen pro Schlumpfbeeren - wann sind sie also am saftigsten? d) Für welchen Faktorinput x 3 sind Grenzproduktivität und Durchschnittsertrag identisch? Aufgabe 6 (4/4/4 Punkte) Farmi hat diesmal nicht die Grenzkostenfunktion gegeben, möchte aber trotzdem die Kostenfunktion ( Düngerbedarf ) aufstellen. Hilf Farmi dabei und bestimme die Kostenfunktion (als Polynom 3. Grades), die den folgenden Bedingungen genügt: Fixkosten K f (x) = 215 Grenzkosten sind für x = 2 minimal und betragen dort 7 variable Kosten K v (x) = 410 für x = 2 a) Stelle die Kostenfunktion zuerst allgemein (also ohne Zahlen und nur mit Buchstaben ) dar. b) Übertrage die obigen Forderungen in mathematische Bedingungen und erstelle das zugehörige lineare Gleichungssystem. c) Ermittle die gesuchte Kostenfunktion., 2

3 Aufgabe 7 (4/4/4/4/0 Punkte) Torti Schlumpf will seinen Vorrat an Schlumpfbeersaft verschlumpfen 1. Da bieten sich Schlaubi und Farmi Schlumpf als Beerengeber 2 an. Wenn er dabei x Liter Schlumpfbeersaft an Schlaubi abtritt, dann erhält er nach einem Schlumpfjahr E Schlaubi (x) Liter als Ertrag zurück. Bei Farmi wären es entsprechend E Farmi (x) Liter. Torti Schlumpf möchte dabei ein Kapital von K Litern Schlumpfbeeren investieren; d.h. 0 x K. Wie muß Torti den Saft (K Liter) auf die beiden Gönner verteilen, damit er möglichst viel zurück bekommt? Die zugehörigen Ertragsfunktionen sehen dabei wie folgt aus: E Schlaubi = 1 ( 40x + 60 ) K K x2 E Farmi = 1 ( 70x + 30 ) K K x2 a) Stelle für Torti die zugehörige Gesamtertragsfunktion E(x) auf, wobei Torti x Liter Schlumpfbeerensaft an Schlaubi gibt und den Rest (von den K Litern) an Farmi Schlumpf. b) Bei welcher Literzahl x wird die Gesamtertragsfunktion E(x) maximal? c) Gib Papa Schlumpf einen ausführlichen Bericht, warum der in b) errechnete Wert eine Maximalstelle ist. d) Wieviel Schlumpfbeersaft erhält Torti Schlumpf nach einem Jahr von den beiden Schlümpfen zurück? e) Wie lange hält das bei Torti vor? Aufgabe 8 (4 Punkte) Farmi Schlumpf hat den Düngerbedarf ( Kosten ) seiner Schlumpfbeerfarm von Schlaubi, was ansich schon ein Fehler war, bestimmen lassen. Die Grenzkostenfunktion seiner Schlumpfbeerproduktion ( Farm ) mit Fixkosten von 350 Eimern Dung sei gegeben durch: K (x) = 1.08x 2 7x Bestimme die zugehörige Gesamtkostenfunktion K(x). Sprich: Wieviel Dung braucht Farmi in Abhängigkeit von der Menge an Schlumpfbeeren, die er ernten möchte. 1 zu deutsch: vergrößern 2 also Geldgeber 3

4 LÖSUNGEN So hingeschrieben wären s nach meinem Ermessen und mit etwas gutem Willen 30 von 100 Punkten. Dabei sind alle Angaben wie immer ohne Peng. Lösung zu Aufgabe 1 4 Nachkommastellen sind ansich mehr als genug. a) q nom = , q eff = und p eff = % b) q eff = , q m = 1, und q nom = c) p eff = % Lösung zu Aufgabe 2 K end = Lösung zu Aufgabe 3 a) b) c) Jahre, also 7 Jahre Lösung zu Aufgabe 4 a) p(n) = N b) ε p (N) = 63N 4( N) c) ε N (13) = d) Alle natürlich. Lösung zu Aufgabe 5 a) x = 20 (Rand!!!) mit y(20) = 2960 (Zusatzinfo!) b) x = 10.5 c) x = d) x = 0 oder x = Da der positive Wert aber nur ökonomisch sinnvoll ist, bleibt x = als Lösung übrig. Lösung zu Aufgabe 6 a) K(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d b) Mathematische Bedingungen: K(0) = 215 K (2) = 0 und K (2) = 7 K v (2) = 410 Die notwendigen Ableitungen: 4

5 K(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d K (x) = 3ax 2 + 2bx + c K (x) = 6ax + b Das zugehörige Gleichungssystem: d = a + 2b = 0 12a + 4b + c = 7 8a + 4b + 2c = 410 bzw a b c = d 410 c) K(x) = 49.5x 3 297x x Lösung zu Aufgabe 7 a) E(x) = E Schlaubi (x) + E Farmi (K x) = 90 K 2 x 2 90 K x b) x = 0 oder x = K c) Die errechnete Extremalstelle im Innern ist ein Minimum, da aber jede stetige Funktion auf einem Intervall beide Extrema annehmen muss, können diese nur am Rand liegen. Deshalb müssen bei x = 0 bzw. x = K die Maxima sein. Man überprüft dieses durch einsetzen in E(x). d) 100 e) sehr kurz Lösung zu Aufgabe 8 K(x) = 0.36x 3 3.5x x