Vorlesung Mikroökonomik

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1 Georg-August-Universität Göttingen Volkswirtschaftliches Seminar Prof. Dr. Robert Schwager Vorlesung Mikroökonomik Sommersemester 004: Mikroökonomik I Termin und Ort Donnerstag 0:5-:45 ZHG 00 erster Termin: Do 5. Aril 004. Srechstunde Dienstag 4:30-5:30 Uhr Oec II-50 rschwag@uni-goettingen.de Übung Mittwoch 6:5-7:45 ZHG 0 erster Termin: Mi 0. Aril 004. Tutorien Beginn: erste Maiwoche. Termin und Ort werden durch gesonderten Aushang bekannt gegeben. Literatur Bergstrom T. und H. Varian 003: Workouts in intermediate microeconomics 6. Aufl. New York: Norton. Böhm V. 995: Arbeitsbuch zur Mikroökonomik Band I 3. Aufl. Berlin: Sringer. Böhm V. 993: Arbeitsbuch zur Mikroökonomik Band II. Aufl. Berlin: Sringer. Chiang A. 00: Fundamental methods of mathematical economics 3. Aufl. Nachdruck New York: McGraw-Hill. Feess E. 000: Mikroökonomie: eine sieltheoretisch- und anwendungsorientierte Einführung. Aufl. Marburg: Metroolis. Kres D. 990: A course in microeconomic theory New York: Harvester Wheatsheaf. Varian H. 003: Intermediate microeconomics: a modern aroach 6. Aufl. New York: Norton.

2 Inhalt Mikroökonomik I: Einzelwirtschaftliche Entscheidungen. Einführung in die wirtschaftstheoretische Methode: Der Wohnungsmarkt Varian 003 Ka. A. Theorie des Unternehmens. Technologie und Produktionsfunktion Varian 003 Ka Gewinnmaimierung Varian 003 Ka Kostenminimierung Varian 003 Ka Kostenkurven Varian 003 Ka. B. Theorie des Haushalts 6. Das Budget Varian 003 Ka. 7. Präferenzen und Nutzenfunktion Varian 003 Ka Nutzenmaimierung und Ausgabenminimierung Varian 003 Ka Einkommens- und Preisänderungen Varian 003 Ka Das Arbeitsangebot Varian 003 Ka. 9. Konsumentenrente und Wohlfahrtsmessung Varian 003 Ka. 4

3 Mikroökonomik II: Märkte und strategisches Verhalten C. Wettbewerbsmärkte. Konkurrenzgleichgewicht und Monool auf einem einzelnen Markt 3. Langfristiges Gleichgewicht bei Konkurrenz 4. Allgemeines Tauschgleichgewicht 5. Ersarnis und Investition 6. Risiko und Versicherungsmärkte D. Sieltheorie und oligoolistische Märkte 7. Siele in Normalform 8. Sequenzielle Entscheidungen 9. Oligoolistischer Mengenwettbewerb 0. Oligoolistischer Preiswettbewerb E. Asymmetrische Information. Adverse Selektion. Moralisches Risiko 3. Signale 3

4 . Einführung in die wirtschaftstheoretische Methode: Der Wohnungsmarkt Die Wirtschaftstheorie entwickelt Modelle sozialer Phänomene. Ein Modell ist eine vereinfachte Darstellung der Wirklichkeit. Beisiel: Der Preis von Wohnungen Annahmen: es gibt nur zwei Arten von Wohnungen. Die einen sind nahe der Universität gelegen innerer Ring die anderen sind weiter entfernt äußerer Ring. Es gibt mehr Interessenten für die inneren Wohnungen als solche Wohnungen vorhanden sind. der Preis der Wohnungen im äußeren Ring das Einkommen der Wohnungssuchenden die Anzahl der Wohnungen im inneren Ring sind eogen. D.h. diese Größen werden nicht durch das Modell erklärt. Fragen Wie hoch ist die Miete im inneren Ring? Wer wohnt in den Wohnungen im inneren Ring? Allokation Wie wünschenswert sind unterschiedliche Verfahren zur Zuteilung der Wohnungen? Preis und Allokation sind endogen d.h. sie werden durch das Modell erklärt. Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 4 Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 5

5 Die ökonomische Methode: Prinziien der Erklärung menschlichen Verhaltens Das Otimierungsrinzi: Jeder Mensch wählt die beste der ihm zur Verfügung stehenden Möglichkeiten. Das Gleichgewichtsrinzi: Die Entscheidungen müssen alle zugleich durchführbar sein. Nachfragekurve: Beschreibt die nachgefragte Menge zu jedem möglichen Preis. Konstruktion der Nachfragekurve: absteigend geordnete Liste aller Vorbehaltsreise z.b. eine Person mit Vorbehaltsreis 400 eine Person mit Vorbehaltsreis 390 zwei Personen mit Vorbehaltsreis 380 usw. Die Nachfrage Miete [ ] Vorbehaltsreis: Maimale Zahlungsbereitschaft einer Person Zahlungsbereitschaft Anzahl der Wohnungen Möglichkeiten: Einkommen Preise der Wohnungen im äußeren Ring... Wünsche: Präferenzen Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 6 Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 7

6 Miete Nachfragekurve bei vielen Nachfragern Das Angebot die Vermieter Angebotskurve: Beschreibt die zu jedem der möglichen Preise angebotene Menge. Konstruktion der Angebotskurve Annahmen: Die Vermieter sind daran interessiert ihre Wohnungen zum höchstmöglichen Preis zu vermieten. Die Zahl der Wohnungen ist kurzfristig fest. Wettbewerb Konkurrenz: jeder Vermieter handelt im eigenen Interesse keine Preisabsrachen Vermieter sind Preisnehmer. Miete Nachfrage Angebot Anzahl von Wohnungen Bei vielen Nachfragern sind die Srünge zwischen den Preisen klein. Stetige Nachfragekurve Anzahl der Wohnungen Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 8 Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 9

7 Marktgleichgewicht Behautung: Der Preis aller Wohnungen im inneren Ring muß einheitlich sein. Beweis durch Widerlegung des Gegenteils: Mieter A zahlt h Mieter B zahlt l < h. Mieter A kann dem Vermieter von B für B s Wohnung eine Miete zwischen l und h bieten. Das lohnt sich für A und den Vermieter; sie werden einen Mietvertrag über die Wohnung abschließen. Widersruch zum Gleichgewichtsrinzi. Miete Das Wettbewerbsgleichgewicht Angebot Gleichgewichtsreis *: Der Preis bei dem die nachgefragte Anzahl von Wohnungen gleich der angebotenen ist. Allokation im Gleichgewicht: Personen mit einem Vorbehaltsreis über * werden im inneren Ring und solche mit einem Vorbehaltsreis unter * werden im äußeren Ring wohnen. * Nachfrage Anzahl an Wohnungen Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 0 Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt

8 Komarative Statik Wie ändert sich das Gleichgewicht wenn sich eogene Größen ändern? Vergleich zwischen zwei Gleichgewichtszuständen Beisiel: Erhöhung des Wohnungsangebots Beisiel: Umwandlung mehrerer Mietwohnungen in Eigentumswohnungen. Effekt: Das Angebot an Mietwohnungen sinkt.. Effekt: Da einige Mieter von Wohnungen sich nun entschließen könnten die neuen Eigentumswohnungen zu kaufen sinkt die Nachfrage nach Mietwohnungen ebenfalls. Wenn sich Nachfrage und Angebot in gleichem Ausmaß nach links verschieben bleibt der Gleichgewichtsreis unverändert. Miete altes Angebot neues Angebot Miete neues Angebot altes Angebot altes * altes * neues P* Nachfrage alte Nachfrage neue Nachfrage Anzahl an Wohnungen Anzahl der Wohnungen Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 3

9 Beisiel: Grundsteuer Jeder Vermieter muß 50 ro Monat für jede seiner Wohnungen zahlen. Die Angebotskurve ändert sich nicht da die Zahl der Wohnungen unverändertbleibt. Die Nachfragekurve ändert sich auch nicht. Folgerung: Der Gleichgewichtsreis ändert sich nicht. Die Vermieter tragen die Steuer. Anwendung: Wer rofitiert vom Wohngeld? Andere Verfahren der Allokation von Wohnungen. Der Konkurrenzmarkt wie in vorheriger Analyse. Der diskriminierende Monoolist besitzt alle Wohnungen kennt alle Vorbehaltsreise kann Untervermietung verhindern Gleichgewicht: Jeder Mieter zahlt seinen Vorbehaltsreis Die Interessenten deren Zahlungsbereitschaft größer ist als * erhalten die Wohnungen im inneren Ring. Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 4 Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 5

10 3. Der gewöhnliche Monoolist besitzt alle Wohnungen kennt die Nachfragekurve muß von allen Mieterndie gleiche Miete verlangen. 4. Mietenbegrenzung _ < * als höchste zulässige Miete Rationierung der Nachfrager i.d.r. erhalten nicht die Nachfrager mit den größten Zahlungsbereitschaften die inneren Wohnungen. Angebotssteigerung Miete Umsatz steigt Preis sinkt Angebot Umsatz sinkt _ Nachfrage Ein Monoolist wird nicht alle Wohnungen vermieten. Überschußnachfrage Anzahl an Wohnungen Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 6 Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 7

11 Vergleich unterschiedlicher Arten der Allokation von Wohnungen Welches der Allokationsverfahren Konkurrenzmarkt diskriminierender Monoolist gewöhnlicher Monoolist Mietenkontrolle ist das beste? Pareto-Effizienz: Eine Situation ist Pareto-effizient wenn es keine Möglichkeit gibt jemanden besser zu stellen ohne jemand anderen dadurch schlechter zu stellen. Pareto-Verbesserung: Eine Veränderung der Situation so daß es einer Person besser geht aber niemandem schlechter. In einer Pareto-effizienten Situation gibt es keinetauschmöglichkeiten mehr die sich für beide Partner lohnen. Pareto-Effizienz der 4 Allokationen Monool: Die Vermietung einer leeren Wohnung zu einem beliebigen ositiven Preis ist eine Pareto-Verbesserung. Mietenbegrenzung: Es gibt Personen die im äußeren Ring wohnen und bereit sind mehr zu zahlen als Personen mit einer Wohnung im inneren Ring so dass es ein Potential für Tauschgewinne gibt. Kriterium für Pareto-Effizienz in diesem Modell: Alle Wohnungen sind vermietet. Die Personen mit den größten Zahlungsbereitschaften wohnen im inneren Ring. Pareto-effiziente Allokationen: Wettbewerbsmarkt Diskriminierender Monoolist Nicht Pareto-effiziente ineffiziente Allokationen: Monoolist Mietenbegrenzung Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 8 Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 9

12 Langfristiges Gleichgewicht Zusammenfassung Neubau Angebot hängt vom Preis ab: Je höher die Miete desto mehr Wohnungen werden gebaut. Die Angebotskurve verläuft steigend. Die Gleichgewichtsmenge ist endogen. Miete Angebot In der Wirtschaftswissenschaft werden Modelle sozialer Phänomene erstellt die vereinfachte Darstellungen der Wirklichkeit sind. Dabei werden zwei methodische Prinziien beachtet: Das Otimierungsrinzi: Jeder Mensch wählt die beste der ihm zur Verfügung stehenden Möglichkeiten. Das Gleichgewichtsrinzi: Die Entscheidungen müssen alle zugleich durchführbar sein. Die Nachfragekurve gibt für jeden Preis an * wieviel die Käufer zu diesem Preis nachfragen wollen die Angebotskurve gibt für jeden Preis Nachfrage an wieviel die Verkäufer zu diesem Preis anbieten wollen. Bei einem Gleichgewichts- Gleichgewichtsmenge Zahl der Wohnungen reis sind Angebots- und Nachfragemenge gleich groß. Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 0 Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt

13 Komarative Statik untersucht wie sich das Gleichgewicht verändert wenn sich eine der zugrundeliegenden Bedingungen verändert. Eine Situation ist Pareto-effizient wenn keine Möglichkeit besteht jemanden besser zu stellen ohne gleichzeitig jemand anderen schlechter zu stellen. Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt

14 A. Theorie des Unternehmens Beschränkungen der Entscheidungsmöglichkeiten eines Unternehmens Technische Beschränkungen Das Grundmodell des Unternehmens Ziel: Gewinnmaimierung Gewinn Erlös - Kosten π m i y Entscheidungsmöglichkeiten: y i i i n i w Menge die von jedem Erzeugnis Outut i...m hergestellt wird i Menge die von jedem Einsatzstoff Inut Produktionsfaktor i...n verwendet wird i i Nur technisch durchführbare Inut-/ Oututkombinationen können gewählt werden Marktbeschränkungen Bei Konkurrenz können Oututreise... m und Inutreise w w w... w n vom Unternehmen nicht verändert werden. Es ist Preisnehmer. i Preis des Oututs i w i Preis des Inuts i Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 3 Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 4

15 . Technologie und Produktionsfunktion Produktionslan Liste aller Inutmengen die eingesetzt werden und aller Oututmengen die hergestellt werden. Inuts und Oututs werden meist als Stromgrößen gemessen z.b. 00 Arbeitsstunden ro Tag Einroduktunternehmen: m... n y bzw. y Produktionslan Produktionsmöglichkeitenmenge Technologiemenge Y Menge aller technisch durchführbaren Produktionsläne Die Produktionsfunktion y f... n gibt den maimal möglichen Outut an den man mit der Inutkombination... n erzielen kann. 5 MWh ro Tag PkWs ro Jahr mathematische Darstellung von Produktionslänen durch Vektoren y Outut y f Produktionsfunktion n... Inutmengen Produktionsmöglichkeitenmenge y y y y... ym Oututmengen Produktionslan Inut Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 5 Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 6

16 Eigenschaften der Technologie Die Isoquante zum Oututniveau y ist die Menge aller möglichen Kombinationen der Inuts und die gerade ausreicht um die Menge y des Oututs zu erzeugen. Monotonie Es ist immer möglich von einem Inut mehr einzusetzen oder von einem Outut weniger herzustellen. Wenn mit der Outut y hergestellt werden kann dann kann auch mit der Outut y hergestellt werden falls gilt: ' ' y' y. Isoquante Bei monotoner Technologie gilt für alle im grünen Bereich f ' ' f Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 7 Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 8

17 Konveität Der gewogene Durchschnitt zweier durchführbarer Produktionsläne ist selbst durchführbar. Beisiel: ' 300 ' y t 075 Gewichtungsfaktor Kann man mit '' und '' auch den Outut y00 herstellen? Wenn die Technologie konve ist gilt f '' ''. y Die Isoquante verläuft unterhalb der Verbindungsgeraden von nach. Konveität im Inut-Outut-Diagramm y Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 9 Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 30

18 Beisiele für Technologien Limtationale Produktionsfunktion festes Faktoreinsatzverhältnis f min{ }. Cobb-Douglas Produktionsfunktion f A a b mit A>0 0<ab<. seziell: A a+b. Lineare Produktionsfunktion Vollkommene Substitute f +. Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 3 Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 3

19 Das Grenzrodukt Wie verändert sich der Outut wenn von einem Inut eine Einheit zusätzlich eingesetzt wird? y? y endliches Grenzrodukt des Faktors ; es gibt die zusätzliche Menge des Oututs je Einheit zusätzlichen Inuts an. Grenzrodukt bei gekrümmter Produktionsfunktion y y f i Beisiel: f + y unverändert also. y y i Das infinitesimale Grenzrodukt des Faktors i: y f f + f lim 0 gibt das Grenzrodukt für sehr kleine Inutänderungen an. Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 33 Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 34

20 Abnehmendes Grenzrodukt Wie verändert sich das Grenzrodukt eines Inuts wenn von diesem Inut mehr eingesetzt wird? y Skalenerträge Wie steigt der Outut wenn alle Faktoren roortional erhöht werden? Beisiel: y f a + b. Verdoelung der beiden Inuts führt zum Outut y y f i i Durchschnittsrodukt f a a + b y also zur Verdoelung des Oututs. Allgemein: Führt eine Erhöhung der Inutmengen auf das t-fache t> zu einer Erhöhung des Oututs um mehr oder weniger als das t-fache? + b i i Ertragsgesetz: Ab einem bestimmtem Inutniveau sinkt das Grenzrodukt jedes Faktors. Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 35 Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 36

21 Die Produktionsfunktion hat Konstante Skalenerträge wenn für alle t 0 gilt: f t t tf Abnehmende Skalenerträge wenn für alle Zunehmende Skalenerträge wenn für alle gilt: t > f t t > tf t > gilt: f t t < tf. Abnehmende Skalenerträge treten auf wenn ein Produktionsfaktor nicht vermehrt eingesetzt werden kann. Die technische Rate der Substitution Kann man einen Inut durch den anderen ersetzen ohne den Outut zu verringern? Beisiel: Lineare Technologie f +. Wenn um sinkt und um steigt bleibt f unverändert. TRS Technische Rate der Substitution. Sie mißt das Austauschverhältnis zwischen zwei Inuts in der Produktion bei einem konstanten Oututniveau. Beisiel: Landwirtschaft mit Inuts Arbeit Kaital und Boden z. TRS - f hat abnehmende Skalenerträge F z hat konstante Skalenerträge. Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 37 Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 38

22 TRS mit gekrümmter Isoquante Entlang einer Isoquante ist dy 0 also f f 0 d d + TRS d d f / f /. d d d d infinitesimale TRS Steigung der Isoquante Abnehmende TRS Wie ändert sich TRS wenn man sich entlang einer Isoquante nach rechts bewegt? Wenn die Technologie konve ist nimmt TRS ab bzw. steigt nicht. Berechnung der TRS: d d Änderungen der Inutmengen dy Änderung der Oututmenge Totales Differential der Produktionsfunktion: A B f f dy d + d. Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 39 Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 40

23 Zusammenfassung Die technologischen Beschränkungen eines Unternehmens werden durch die Menge der Produktionsmöglichkeiten beschrieben die alle technologisch durchführbaren Kombinationen von Inuts und Oututs darstellt und durch die Produktionsfunktion die den maimalen Outut für jede vorgegebene Menge der Inuts angibt. Eine Isoquante gibt alle jene Kombinationen von Inuts an die ein vorgegebenes Oututniveau roduzieren können. Im allgemeinen wird angenommen dass die Technologie konve und monoton ist. Die technische Rate der Substitution TRS mißt die Steigung einer Isoquante. Es wird allgemeinen angenommen dass die TRS sinkt wenn man sich entlang einer Isoquante bewegt. Skalenerträge beschreiben wie stark der Outut steigt wenn alle Inuts gleichmäßig erhöht werden. Konstante Skalenerträge liegen vor wenn eine Erhöhung aller Inutmengen auf das t-fache zu einer Steigerung des Oututs auf das t-fache führt. Wenn der Outut auf mehr als das t-fache zunimmt dann haben wir steigende Skalenerträge; und wenn er um weniger als das t-fache ansteigt dann haben wir abnehmende Skalenerträge. Das Grenzrodukt mißt den zusätzlichen Outut je zusätzlicher Einheit eines Inuts bei Konstanz aller anderen Inuts. Tyischerweise wird angenommen dass das Grenzrodukt eines Inuts fällt wenn immer mehr von diesem Inut verwendet wird. Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 4 Mikroökonomik I: Technologie und Produktionsfunktion 4

24 3. Gewinnmaimierung Ein-Produkt-Unternehmen mit zwei Faktoren y f π f w w Kurzfristige Gewinnmaimierung Die Einsatzmenge des Faktors sei kurzfristig fi. Sie ist auf festgelegt. Beisiele: langfristige Mietverträge für Immobilien Kündigungsschutz für Arbeitnehmer; Kaitalbestand Otimierung des Unternehmens ma π f w w Notwendige Bedingung für ein Gewinn- Maimum: π 0 π bzw. 0 π > 0 Wenn wäre dann könnte das π < 0 Unternehmen den Gewinn erhöhen indem es mehr weniger Die otimale Menge * ist die kurzfristige Faktornachfrage. Der damit roduzierte otimale Outut ist das kurzfristige Angebot. π vom Inut einsetzt. f w 0 Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 43 Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 44

25 f Wertgrenzrodukt des Faktors... gibt an um wieviel der Erlös steigt wenn eine Einheit des Faktors zusätzlich eingesetzt wird. w Beisiel: Faktor Arbeit l Faktor Kaital k f l k l Preis des Faktors... gibt an um wieviel die Kosten steigen wenn eine Einheit des Faktors zusätzlich eingesetzt wird. w Gewinn: Isogewinnlinie: Grahische Lösung π y w w π + w w y + Die Isogewinnlinie enthält alle Kombinationen von Inutmenge und Oututmenge die ein konstantes Gewinnniveau ergeben. π Zu jedem Gewinn gehört eine andere Isogewinnlinie. π Je höher desto höher liegt die zugehörige Isogewinnlinie. π Suche die höchste Isogewinnlinie die mit der Produktionsfunktion einen Punkt gemeinsam hat. Grenzrodukt der Arbeit Reallohn Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 45 Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 46

26 y y* Isogewinnlinien Steigung w / f Komarative Statik Wie ändern sich die otimalen Entscheidungen wenn sich eogene Größen ändern? Erhöhung des Inutreises von w auf w. * / π +w * Anwendung: Wie verändert sich der Gewinn wenn das Unternehmen mehr Beschäftigte einstellen muß als es eigentlich will? y y* π * + w / y* *' / π + w w / w / f * * Nachfrage nach Inut Angebot und Gewinn sinken. Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 47 Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 48

27 Inverse Faktornachfragekurven Die kurzfristige Nachfragekurve nach Inut gibt die otimale Einsatzmenge dieses Faktors in Abhängigkeit vom Faktorreis w an. Die inverse Faktornachfragekurve gibt an wie hoch der Faktorreis sein muß damit eine gegebene Menge an Inuts nachgefragt wird. Erhöhung des Oututreises die Isogewinnlinien werden flacher Nachfrage nach Inut Angebot und Gewinn steigen. Erhöhung des Inutreises w die Steigung der Isogewinnlinien ändert sich nicht. Faktornachfrage und Angebot bleiben unverändert der Gewinn sinkt. w f w Erhöhung der Menge des fien Faktors die Steigung der Isogewinnlinien ändert sich nicht. Wie ändert sich das Grenzrodukt des ersten Faktors? Plausible Annahme: Faktor wird roduktiver. Nachfrage nach Faktor steigt. Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 49 Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 50

28 Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 5 w f w höheres oder höheres _ Anwendung: Hohe Löhne führen nicht zu Beschäftigungsverlust weil durch die hohen Löhne die Produktivität steigt. Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 5 Langfristige Gewinnmaimierung Langfristig sind alle Faktormengen frei wählbar. Die otimalen Faktormengen * und * erfüllen die notwendigen Bedingungen: ma w w f π w f w f w f w f * * * * * * * * 0 0 π π Auflösen dieser zwei Gleichungen nach den zwei Unbekannten * and * liefert die Faktornachfragefunktionen: * * w w w w

29 Einsetzen der Faktornachfragefunktionen in die Produktionsfunktion liefert die Angebotsfunktion: y * f w w w w y w w Einsetzen der Faktornachfragefunktionen und der Angebotsfunktion in die Gewinngleichung Frage: Wie ändern sich a die Inutnachfragen b das Angebot und c der Gewinn wenn der Oututreis und alle Inutreise um den selben Faktor steigen? π y w w liefert die Gewinnfunktion: π w w y w w w w w w w w Die Nachfragefunktionen die Angebotsfunktion und die Gewinnfunktion sind Ergebnis der Otimierung des Unternehmens hängen vom Oututreis und von den Inutreisen ab. Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 53 Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 54

30 Probleme mit der Bedingung f * wi. Produktionsfunktion ist nicht differenzierbar z.b. festes Faktoreinsatzverhältnis. Randlösung i * 0 für einen Inut. Insbesondere kann y* 0 otimal sein. y w/ i 3. Es gibt keinen gewinnmaimierenden Produktionslan z.b. Inut Outut f a a>0. w π a w a steigt > w π bleibt konstant wenn steigt a sinkt < a > w/. f y f a Isogewinnlinien w/ y* *0 f * wi i* 0 i Das Unternehmen will unendlich viel roduzieren. Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 55 Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 56

31 a < w/. y 4. Mehrere gewinnmaimierende Produktionsläne w/ a w/. f a y f π */ 0 a w/ π / < 0 Randlösung π * / 0 Alle f führen zum otimalen Gewinn * π 0. Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 57 Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 58

32 5. Lokales statt globalem Gewinnmaimum y y* y * 6. Gewinnminimum y f f w/ w/ Gewinnmaimierung und konstante Skalenerträge Ein Unternehmen habe konstante Skalenerträge. Der langfristig gewinnmaimierende Produktionslan sei * * y*. Dieser führe zu einem ositiven Gewinn * * * * π y w w > Wenn das Unternehmen das Niveau seines Inuteinsatzes verdoelt verdoelt sich auch sein Outut. Der Gewinn ist dann y* w * w * y* w * w * Also war der Produktionslan π * > π *. * * y* gar nicht gewinnmaimierend. Auch * *y* ist nicht gewinnmaimierend.. Zwischenergebnis: 0. y Wenn möglich ist dann gibt es bei konstanten * Skalenerträgen keinen π > 0 gewinnmaimierenden Produktionslan. Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 59 Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 60

33 Das Unternehmen kann langfristig immer die Produktion einstellen y 0.. Zwischenergebnis: Der maimale Gewinn ist mindestens 0. Ergebnis: Der Gewinn eines Unternehmens das konstante Skalenertäge für alle Oututniveaus aufweist ist langfristig Null. Warum stellt der Unternehmer die Produktion nicht ein wenn der Gewinn sowieso null ist? Bei den Kosten müssen auch Leistungen berücksichtigt werden die der Eigentümer dem Unternehmen zur Verfügung stellt z.b. Arbeitskraft des Unternehmers Diese Leistungen werden mit dem Preis bewertet den sie in anderen Verwendungen erzielen könnten. Diese Kosten werden Oortunitätskosten genannt. Folgen unendlicher Eansion eines Unternehmens mit konstanten Skalenerträgen im Wettbewerb: das Unternehmen könnte so groß werden daß es nicht mehr effektiv arbeiten könnte somit hates keine konstanten Skalenerträge für alle Oututniveaus; das Unternehmen dominiertden Markt für sein Erzeugnis so daß das Modell der Gewinnmaimierung bei Konkurrenz nicht mehr aßt; Marktzutritt senkt den Oututreis. Eigenkaital Grundstücke die den Eigentümern gehören. Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 6 Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 6

34 Hotellings Lemma π ww yww π ww i ww für alle Inuts i w i Begründung: Es sei * *y* der zu den Preisen *w * w * otimale Produktionslan. Die Passive Gewinngerade π π * w* w* π w * w * * Passive Gewinngerade y* π y* w * * w * * drückt aus wie sich der Gewinn durch eine Änderung des Oututreises verändern würde wenn das Unternehmen seinen Produktionslan nicht an die veränderten Preise anassen würde. Gewinnfunktion und assive Gewinngerade haben die gleiche Steigung. Der durch die Gewinnfunktion ausgedrückte otimale Gewinn ist mindestens so π w * w* groß. Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 63 Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 64

35 Zusammenfassung Gewinne sind die Differenz zwischen Erlösen und Kosten. Bei dieser Definition müssen Oortunitätskosten mit einbezogen werden. Fie Faktoren sind Faktoren deren Menge nicht verändert werden kann; die Menge variabler Faktoren kann angeaßt werden. Kurzfristig können einige Faktoren fi sein; Langfristig sind alle Faktoren variabel. Bei Gewinnmaimierung ist das Wertgrenzrodukt eines jeden variablen Faktors gleich seinem Faktorreis. Die Angebotsfunktion eines Unternehmens ist eine steigende Funktion des Oututreises die Nachfragefunktion nach jedem Faktor ist eine abnehmende Funktion seines Preises. Wenn ein Unternehmen konstante Skalenerträge aufweist dann ist sein maimaler Gewinn langfristig Null. Mikroökonomik I: 3 Gewinnmaimierung 65

36 Grahische Lösung 4. Kostenminimierung Kostenminimierung ist ein Teilroblem der Gewinnmaimierung: Produktion eines vorgegebenen Oututs y zu möglichst niedrigen Kosten w + w. Kostengleichung: w + w C Isokostenlinie: w w Für jedes Kostenniveau C gibt es eine andere Isokostenlinie. Je höher die Kosten C desto höher liegt die Isokostenlinie. Suche die niedrigste Isokostenlinie die mit der Isoquante zu y noch einen Punkt gemeinsam hat. C w. Beschränkung Nebenbedingung: f y Isokostenlinien Steigung - w /w Kostenminimierung ist notwendig aber nicht hinreichend für Gewinnmaimierung. * Isoquante f y * Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung 66 Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung 67

37 Die Lösung * * der Kostenminimierungsaufgabe heißt Minimalkostenkombination. Isoquante und Isokostenlinie tangieren sich an der Minimalkostenkombination. Steigung der Isoquante Steigung der Isokostenlinie Notwendige Bedingung für ein Kostenminimum Beisiel: Es sei TRS d /d - und w / w. Dann ändert sich der Outut nicht wenn Einheiten weniger von Inut und Einheit mehr von Inut eingesetzt werden. Man sart -w an den Ausgaben für Inut und zahlt zusätzlich w für den Inut. Gesamte Kostenänderung: w w + w + w w w < 0. TRS f * */ f * */ w w w w TRS ist das Verhältnis zu dem die beiden Inuts in der Produktion gegeneinander ausgetauscht werden können. Der Relativreis das Preisverhältnis w /w ist das Verhältnis zu dem die beiden Inuts am Markt gegeneinander getauscht werden können. Im Kostenminimum sind beide Verhältnisse gleich. Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung 68 Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung 69

38 Probleme mit der Bedingung w TRS w. Randlösung *0 oder *0.. Die Produktionsfunktion ist nicht differenzierbar z.b. festes Faktoreinsatzverhältnis y min{a ;b } * -w /w * * 0 * f 0 */ TRS f 0 */ w w Die Isoquante ist links von * * steiler als die Isokostenlinie rechts davon flacher. Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung 70 Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung 7

39 4. Lokales aber kein globales Kostenminimum 3. Mehrere kostenminimierende Inutbündel * A B * 5. Kostenmaimum Alle Inutkombinationen zwischen A und B sind Minimalkostenkombinationen. * Alle diese Punkte erfüllen TRS -w /w. * Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung 7 Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung 73

40 Hinreichende Bedingungen Die Technologie ist konve und monoton; erfüllt TRS - w /w und f y minimiert die Kosten zur Produktion von y. Lagrange-Funktion Analytische Lösung min w + w u.d.b. f y. [ ] L w + w λ f y istdie Lagrangevariable. λ Notwendige Bedingungen für ein Otimum mit ositiven Faktoreinsatzmengen * * > 0: Notwendige Bedingungen minimiert die Kosten zur Produktion von y; f ist differenzierbar; > 0 > 0 erfüllt TRS - w /w und f y. * * L f w λ 0 * * L f w λ 0 * * 0. f y Aus den ersten beiden Gleichungen folgt: Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung 74 Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung 75

41 w f / * TRS * * w f / Diese Gleichung und die Nebenbedingung bestimmen die beiden otimalen Inutmengen. Bedingte Faktornachfragefunktionen: * w w y * w w y Einsetzen in die Kostengleichung liefert die Kostenfunktion: cw w y w w w y + w w w y Die Kostenfunktion gibt die bei den Inutreisen w und w zur Produktion von y Einheiten des Oututs notwendigen Kosten an. * * * Interretation der Lagrangevariablen Für alle w w und y gilt: c w w y w w w y + w w w y Differenzieren nach y liefert : c w w y w w y w w y w + w y y y Zudem gilt für alle w w und y: f w w y w w y y 0 Differenzieren nach y liefert : f w w y f w w y + 0 y y Ersetze f / i für beide Inuts i gemäß den notwendigen Bedingungen durch f / i wi / λ Es folgt: Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung 76 Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung 77

42 w w w y + w y Aus und folgt: w w y λ y Komarative Statik Wie ändert sich die bedingte Faktornachfrage wenn ein Inutreis oder der Outut sich ändern? Der Preis des Inuts steigt von w auf w c w w y y λ Grenzkosten Lagrangevariable w w y -w /w w w y Die Lagrangevariable gibt an um wieviel die Kosten steigen wenn eine Einheit mehr roduziert werden soll. -w /w Allgemein: Die Lagrangevariable gibt an um wieviel sich der otimale Wert der Zielfunktion verbessert wenn die Nebenbedingung um eine Einheit gelockert wird. w w 0 0 w w y w w y gilt auch für mehr als zwei Inuts gilt nicht notwendigerweise bei drei oder mehr Inuts Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung 78 Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung 79

43 Erhöhung von y Shehards Lemma cww y i w w y w i für alle Inuts i Faktoreansionsfad Begründung: Es sei * * die bei den Faktorreisen w * w * zur Produktion von y* kostenminimierende Inutkombination. Die Passive Kostengerade Der Faktoreansionsfad ist die Menge aller Inutbündel die bei konstanten Preisen für irgendein Oututniveau kostenminimierend sind. Bei inneren Lösungen * > 0 * >0 gilt entlang dem Faktoreansionsfad TRS - w /w. C w * + w * * drückt aus wie die Kosten auf eine Änderung des Inutreises w reagieren würden wenn das Unternehmen seine Inutwahl nicht an die veränderten Preise anassen würde. Die durch die Kostenfunktion c w w *y* ausgedrückten otimalen Kosten sind höchstens so groß. Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung 80 Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung 8

44 Kosten cw *w * y* w * * w * Passive Kostengerade * c w w* y* Kostenfunktion und assive Kostengerade haben die gleiche Steigung. w Zusammenfassung Eine Minimalkostenkombination ist dadurch gekennzeichnet daß die technische Rate der Substitution gleich dem negativen Faktorreisverhältnis ist. Die Kostenfunktion gibt die minimalen Kosten der Produktion eines vorgegebenen Oututniveaus bei gegebenen Faktorreisen an. Die bedingte Nachfragefunktion nach einem Faktor ist fallend im Preis dieses Faktors. Der Faktoreansionsfad enthält die Minimalkostenkombinationen für alle möglichen Oututniveaus. Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung 8 Mikroökonomik I: 4 Kostenminimierung 83

45 5. Kostenkurven Steigung der Durchschnittskosten Wie verhält sich die Kostenfunktion in Abhängigkeit vom Outut? Durchschnittskosten c w w y AC y Grenzkosten c w w y MC y Kosten cy MC cw y cwy d y cwy y y dy y c w y c w y y y y steigen Die Durchschnittskosten fallen größer wenn die Grenzkosten kleiner als die Durchschnittskosten sind. Wenn MC>AC gilt dann ist die letzte roduzierte Einheit teurer als der Durchschnitt der bisher roduzierten Einheiten. AC y Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven 84 Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven 85

46 Beisiel: Kosten cw w y Skalenerträge und Kostenfunktion Wenn die Technologie konstante Skalenerträge aufweist dann kann die Kostenfunktion als cw w y cw w y geschrieben werden. Grenz- Durchschnittskosten y 0 y y MC Einheitskostenfunktion cw w Begründung: Wenn man das Produktionsverfahren mit dem AC Einheit am billigsten roduziert werden kann y- fach anwendet erhält man y Einheiten. Also kosten y Einheiten höchstens soviel wie y mal Einheit. y 0 y y Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven 86 Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven 87

47 Das Verfahren mit dem man y Oututeinheiten am billigsten roduziert kann auf das /y-fache verkleinert werden. Damit roduziert man Einheit des Oututs. Also kostet Einheit höchstens soviel wie /y-mal die Kosten zur Produktion von y Einheiten. Umgekehrt: Die Produktion von y Einheiten kostet mindestens soviel wie y-mal die Produktion von Einheit. Schlußfolgerung: Die Produktion von y Einheiten kostet genau soviel wie y-mal die Produktion von Einheit. c w y [ y c w] c w y y c w y y c w c w y y Grenz- und Durchschnittskosten sind konstant und gleich wenn die Technologie konstante Skalenerträge hat. Schlußfolgerung: Die Durchschnittskosten sinken steigen mit steigender Oututmenge wenn die Technologie Bei zunehmenden Skalenerträgen benötigt das Unternehmen weniger als y-mal so viel von jedem Inut um y-mal so viel Outut zu roduzieren. Die Kosten erhöhen sich daher um weniger als das y-fache. Bei abnehmenden Skalenerträgen wird zur Produktion eines y-fachen Oututs mehr als das y-fache der Inuts benötigt. zunehmende abnehmende Skalenerträge hat. Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven 88 Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven 89

48 Kurzfristige Kostenfunktion Die kurzfristige Kostenfunktion gibt die minimalen Kosten zur Erzeugung eines vorgegebenen Oututniveaus an wobei lediglich die variablen Produktionsfaktoren angeaßt werden können. Die Menge des Inuts sei kurzfristig auf _ festgelegt. Lösung: kurzfristige bedingte Faktornachfragefunktion min w + w u.d.b. f y s w w y und. STC c yww w w w y + w s SVC w s w SFC w s Kurzfristige Gesamt- Kosten y Kurzfristige variable Kosten Kurzfristige Fikosten Abgeleitete Kostenbegriffe: STC SAC y STC SVC SMC y y SVC SAVC y SFC SAFC y Kurzfristige Durchschnittskosten Kurzfristige Grenzkosten Kurzfristige variable Durchschnittskosten Kurzfristige fie Durchschnittskosten Standardverlauf der drei kurzfristigen Durchschnittskostenkurven: SAVC steigend wegen abnehmendem Grenzrodukt SAFC fallend weil die Fikosten auf mehr Oututeinheiten verteilt werden SAC U-förmig Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven 90 Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven 9

49 SAFC SAFC Der geometrische Zusammenhang zwischen langfristigen und kurzfristigen Kosten Der Faktor sei fi. SAVC SAC SAVC y y Zu jedem Oututniveau y sei y die langfristig kostenminimierende Nachfrage. Zum Oututniveau y* ist langfristig die Faktornachfrage * y* otimal. Kurzfristig sei die Einsatzmenge des Inuts auf * festgelegt. Die kurzfristigen Kosten sind c s y *. Wenn man genau y* roduzieren will dann ist die kurzfristig festgelegte Faktormenge * auch langfristig otimal d.h. es gilt SAC cy * c y* * c y* y* s s y Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven 9 Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven 93

50 Bei allen anderen Oututniveaus y sind die kurzfristigen Kosten mindestens so groß wie die langfristigen Kosten. An der Stelle y y* tangieren sich kurz- und langfristige Kosten. Kosten c s y* * cy* c s y * c s y y cy Auch die lang- und kurzfristigen Durchschnittskosten tangieren sich an der Stelle y*. Begründung: c y d d AC y y [MCy ACy ] dy dy y STC y d d SAC y y [ SMC y SACy ] dy dy y An der Stelle y* gilt cy* STCy* also auch ACy* SACy*. Es gilt für alle y: MCy SMCy. y* y Damit sind die Steigungen von AC und SAC an der Stelle y* gleich. An der Stelle y y* gilt: dc y* cs y* * dy y Die Kurve der langfristigen Durchschnittskosten ist die Einhüllende der Kurven der kurzfristigen Durchschnittskosten. Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven 94 Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven 95

51 Beisiele: Durchschnittskosten SAC zu y SAC zu y AC Anwendung: Der Wert der Fleibilität Zwei Unternehmen haben die gleichen konstanten langfristigen Durchschnittskosten. Im deutschen Unternehmen ist die Zahl der Arbeitskräfte kurzfristig fi im amerikanischen variabel. y y y Ausgangssituation: Beide roduzieren y* zu den langfristigen Durchschnittskosten. Dann geht die Absatzmenge auf y 0 < y* zurück. Häufiger Fall: langfristig konstante Skalenerträge kurzfristig U-förmige Durchschnittskosten Das deutsche Unternehmen hat kurzfristig höhere Kosten. SAC Durchschnittskosten Durchschnittskosten SAC D AC AC SAC USA y 0 y* y Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven 96 y Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven 97

52 Zusammenfassung Die Grenzkostenkurve liegt unter der Durchschnittskostenkurve wenn die Durchschnittskosten fallen und darüber wenn sie steigen. Die Grenzkostenkurve schneidet deshalb die Durchschnittskostenkurve in deren Minimum. Steigende Skalenerträge imlizieren fallende Durchschnittskosten fallende Skalenerträge imlizieren steigende Durchschnittskosten und konstante Skalenerträge imlizieren konstante Durchschnittskosten. Durchschnittliche Fikostenfallen immer mit steigendem Outut während durchschnittliche variable Kosten tyischerweise steigen. Es ergibt sich eine U-förmige Durchschnittskostenkurve. Die langfristige Durchschnittskostenkurve ist die Einhüllende der Kurven der kurzfristigen Durchschnittskosten. Mikroökonomik I: 5 Kostenkurven 98

53 B. Theorie des Haushalts 6. Das Budget Der rivate Haushalt... konsumiert Güter... bietet Güter und Faktorleistungen an. Wünsche: Präferenzen Möglichkeiten: Die Konsummenge X enthält alle hysisch konsumierbaren Güterbündel Konsumbündel... k. Die Budgetmenge B enthält alle bezahlbaren Güterbündel. Otimierung: Der Haushalt konsumiert das Güterbündel das ihm von allen hysisch konsumierbaren bezahlbaren Güterbündeln am liebsten ist. Güterbündel die der Haushalt sich leisten kann erfüllen die Budgetbeschränkung. Alle diese Bündel zusammen bilden die Budgetmenge. Die Güterreise... k sind eogen. Zwei Varianten: Der Haushalt erhält ein eogenes Einkommen in Höhe von m > 0 Geldeinheiten: k i i i m Ausgaben Einnahmen Kaitel 7-9 Mikroökonomik I: 6 Budgetbeschränkung 99 Mikroökonomik I: 6 Budgetbeschränkung 00

54 Der Haushalt besitzt eine Anfangsausstattung von Gütern die er verkaufen kann. Der Wert der Anfangsausstattung ist sein Einkommen. Beisiele: Bestände an Konsumgütern Faktorausstattungen Arbeit Kaital Boden Kaitel 0 und 4-5 in Mikroökonomik II Komarative Statik Ein Preis steigt z.b. von auf > m Budgetgleichung + m m Budgetgerade / ist der Relativreis das Preisverhältnis. Wenn der Haushalt Einheit weniger von Gut kauft dann kann er / zusätzliche Einheiten von Gut kaufen. Dimension: ' m ' m Das Einkommen steigt von m auf m m'/ ME ME ME ME m / / m'/ m Mikroökonomik I: 6 Budgetbeschränkung 0 Mikroökonomik I: 6 Budgetbeschränkung 0

55 Das Einkommen und alle Preise steigen um den selben Faktor t >0. Es gilt also m tm t und t. Die Budgetgleichung + m wird zu + m also t + t t m d.h. + m Zusammenfassung Ein Güterbündel ist eine Liste von Mengen von Konsumgütern. Die Budgetbeschränkung gibt an welche Güterbündel sich ein Haushalt leisten kann. Die Budgetbeschränkung ändert sich nicht wenn alle Preise und das Einkommen um denselben Faktor steigen. Die Budgetmenge ändert sich nicht wenn alle Preise und das Einkommen roortional steigen. Mikroökonomik I: 6 Budgetbeschränkung 03 Mikroökonomik I: 6 Budgetbeschränkung 04

56 7 Präferenzen und Nutzenfunktion Die Präferenzrelation Präferenzordnung drückt die Wünsche des Konsumenten aus ordnet jeweils zwei konsumierbare Güterbündel und y. y bedeutet: Der Haushalt findet das Güterbündel mindestens so gut wie das Güterbündel y. Andere Srechweisen: Der Haushalt zieht das Güterbündel dem Güterbündel y schwach vor. Der Haushalt räferiertdas Güterbündel schwach gegenüber dem Güterbündel y. Abgeleitete Relationen Strenge Präferenz y ist strikt besser als y. Indifferenz y y aber nicht y. y und ist genauso gut wie y; der Haushalt ist indifferent zwischen und y. Die Indifferenzkurve zum Güterbündel besteht aus allen Güterbündeln y die genauso gut sind wie d.h. für die ~ y gilt. Die Bessermenge zu enthält alle Bündel y die mindestens so gut sind wie d.h. für die y gilt. y. Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion 05 Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion 06

57 Menge Gut Transitivität Für alle y z gilt: Bessermenge zu Wenn y dann z. und y z Indifferenzkurve zu Nur wenn Präferenzen transitiv sind ist es sinnvoll nach einem besten Güterbündel zu suchen. Menge Gut Standard-Annahmen über Präferenzen Vollständigkeit Für alle y gilt: y oder y. Refleivität Für alle gilt: Vollständigkeit Refleivität und Transitivität sind Grundanforderungen an rationales Verhalten. Beisiel für eine nicht-transitive strenge Präferenzordnung A: Veltins Warsteiner + B: Warsteiner Jever + C: Jever Veltins + Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion 07 Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion 08

58 Monotonie Weitere Eigenschaften von Präferenzrelationen Wenn gilt y und y dann ist y y. Mehr ist besser. Sättigung ist ein Sättigungsunkt wenn mindestens so gut ist wie alle konsumierbaren Güterbündel y d.h. wenn y für alle y gilt. mindestens so gut wie Lokale Sättigung ist ein lokaler Sättigungsunkt wenn mindestens so gut ist wie alle Güterbündel y in der Nähe von. Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion 09 Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion 0 3

59 Konveität Für alle y mit ~ y gilt: t + - t y für beliebiges 0 t. Beisiele für Präferenzrelationen Vollkommene Substitute z.b. Nahrungsmittel bei denen nur die Kalorienanzahl zählt. Gut hat a Kalorien/kg Gut hat b Kalorien/kg. y y wenn Bessermenge zu t + - t y a + + b ay by y Indifferenzkurve zu -a/b Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion 4

60 Vollkommene Komlemente z.b. rechte und linke Schuhe Nutzenfunktion Es ist sinnvoll eine Präferenzrelation durch eine Funktion darzustellen z.b. damit man damit rechnen kann. Eine solche Funktion heißt Nutzenfunktion. Standard-Präferenzen konve monoton Definition: Die Funktion u ist Nutzenfunktion zur strikten Präferenzrelation wenn für alle y gilt: y genau dann wenn u > uy. wird durch u reräsentiert dargestellt. u 6 u 8 u u 4 Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion 3 Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion 4 5

61 Die Nutzenfunktion ist ordinal. Sie macht keine Aussagen darüber um wieviel ein Güterbündel besser ist als ein anderes. Das Niveau des Nutzens und Nutzendifferenzen haben keine Bedeutung. Gegeben sei eine ositiv monotone Transformation f d.h. f >0. Dann gilt: Wenn u die Präferenzrelation darstellt dann stellt auch v f u die Präferenzrelation dar. Beisiel: Grenzrate der Substitution Die Grenzrate der Substitution MRS sagt aus wieviele zusätzliche Einheiten des Gutes der Haushalt benötigt um für den Verlust von einer Einheit des Gutes entschädigt zu werden. Wieviele Einheiten des Gutes würde der Haushalt hergeben um eine zusätzliche Einheit des Gutes zu erhalten? Grenzzahlungsbereitschaft für Gut ausgedrückt in Einheiten des Gutes. u f u u f u ln u v v ln + ln Diese drei Nutzenfunktionen reräsentieren alle dieselbe Präferenzrelation. d MRS d Geometrisch: MRS Steigung der Indifferenzkurve Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion 5 Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion 6 6

62 7 Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion 7 Analytisch: Herleitung wie bei der TRS in der Produktionsfunktion. ist der Grenznutzen des Gutes. Um wieviel steigt der Nutzen wenn der Haushalt eine zusätzliche Einheit des Gutes konsumiert? Fallender Grenznutzen sagt nichts aus denn dies hängt nicht nur von der Präferenzrelation ab sondern auch von der gewählten Form der Nutzenfunktion. / / 0 u u d d d u d u du + u Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion 8 Beisiel: Grenznutzen: Die Nutzenfunktion stellt dieselben Präferenzen dar. Grenznutzen: Dieselbe Präferenzrelation hätte einmal steigenden einmal fallenden Grenznutzen. / / u 0 4 / 3/ / / < u u 4 ] [ u v 0 > v v

63 Fallende Grenzrate der Substitution Die MRS wird geringer wenn man bei unverändertem Nutzen mehr von Gut konsumiert. Die Indifferenzkurve wird flacher wenn man sich an ihr entlang nach rechts bewegt. Interretation: Die Zahlungsbereitschaft für Gut wird geringer wenn man mehr davon hat. Fallende MRS konvee Präferenzen Fallende MRS ist ein sinnvoller Begriff denn die MRS ändert sich nicht wenn die Nutzenfunktion monoton transformiert wird. Es sei v f u mit f ' > 0. Dann ist die MRS der Nutzenfunktion v: d v/ f ' u u/ u/ d d v v/ f ' u u/ u/ d u A B Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion 9 Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion 0 8

64 Zusammenfassung Die Präferenzrelation drückt die Wünsche des Konsumenten aus. Rationales Verhalten wird durch eine vollständige refleive und transitive Präferenzrelation beschrieben. Eine Funktion die bei besseren Güterbündeln höhere Werte annimmt ist eine Nutzenfunktion. Nutzen wird ordinal angegeben; Nutzendifferenzen haben keine Bedeutung. Die Grenzrate der Substitution drückt die Grenzzahlungsbereitschaft für ein Gut in Einheiten des anderen Gutes aus. Mikroökonomik I: 7 Präferenzen und Nutzenfunktion 9

65 8. Nutzenmaimierung und Ausgabenminimierung Der Haushalt wählt das beste Güterbündel das er sich leisten kann. m * B * m Otimierung: Suche die höchste Indifferenzkurve die mit der Budgetmenge noch einen Punkt gemeinsam hat. Eigenschaften des otimalen Güterbündels: Es liegt auf der Budgetgeraden. Das Einkommen wird vollständig ausgegeben. Budgetgerade und Indifferenzkurve tangieren sich. Es gilt: d MRS d Interretation: MRS gibt an wie viele Einheiten des Gutes der Haushalt hergeben will um eine zusätzliche Einheit des Gutes zu erhalten. / gibt an wie viele Einheiten des Gutes der Haushalt hergeben muß um eine zusätzliche Einheit des Gutes zu erhalten. Wenn MRS > / ist dann lohnt es sich etwas weniger von Gut zu konsumieren und das eingesarte Geld für Gut zu verwenden. Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaimierung Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaimierung 3

66 Analytische Lösung ma u u.d.b. + m Lösungen: * m Marshallsche Nachfragefunktion nach Gut * m Marshallsche Nachfragefunktion nach Gut v m u m m Indirekte Nutzenfunktion Lagrangefunktion L λ u λ + m L u L λ u λ 0 0 Nach Elimination von λ folgt u / u / MRS also Interretation der Lagrangevariablen v m λ m λ ist der Grenznutzen des Einkommens Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaimierung 4 Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaimierung 5

67 Hinreichende Bedingungen Die Präferenzrelation ist konve und monoton und das Güterbündel erfüllt MRS - / und + m maimiert den Nutzen unter der Budgetbeschränkung. Ausgabenminimierung Wie viel muß der Haushalt bei gegebenen Preisen mindestens ausgeben um ein vorgegebenes Nutzenniveau u zu erreichen? min + u.d.b. u u Notwendige Bedingungen maimiert den Nutzen unter der Budgetbeschränkung; u ist differenzierbar; die Präferenzen sind monoton und es gilt > 0 > 0 erfüllt MRS - / und + m. Lösungen: * h u Hickssche Nachfragefunktion nach Gut * h u Hickssche Nachfragefunktion nach Gut e u h u + h u Ausgabenfunktion Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaimierung 6 Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaimierung 7

68 Shehards Lemma * * u Auf Grund der Analogie zur Kostenminimierung gilt: e e u h u u h u Dualität Otimierung: Suche die niedrigste Budgetgerade die mit der Indifferenzkurve zu u noch einen Punkt gemeinsam hat. Der Zusammenhang zwischen Ausgabenminimierung und Nutzenmaimierung u* Die Hickssche Nachfragefunktion heißt auch komensierte Nachfragefunktion. Sie gibt an wie sich die Nachfrage in Abhängigkeit von den Preisen verhält wenn das Einkommen so angeaßt wird daß der Nutzen konstant bleibt. e u* * m* v m* * Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaimierung 8 Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaimierung 9

69 Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaimierung 30 * * maimiert den Nutzen beim Einkommen m*. u* v m* ist der maimale Nutzen zu m*. * * minimiert die Ausgaben wenn der Nutzen u* erreicht werden soll. m* e u* sind die minimalen Ausgaben mit denen u* erreicht werden kann. Identitäten Für alle m u gilt: 4 3 u e u h m v h m u u e v m m v e i i i i Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaimierung 3 Roys Identität Beweis: Differenzieren der Identität nach liefert mit Identität : m m v m v m i i 0 + u e m m v m v u h m m v m v m u h Wegen der Identität 4 folgt:

70 Zusammenfassung An einem nutzenmaimierenden Güterbündel ist die Grenzrate der Substitution gleich dem negativen Preisverhältnis. Die Marshallschen Nachfragefunktionen geben das nutzenmaimierende Güterbündel in Abhängigkeit von den Preisen und dem Einkommen an. Die Hickssche komensierte Nachfrage beschreibt das Güterbündel mit dem ein vorgegebenes Nutzenniveau mit den geringsten Ausgaben erzielt werden kann. Mikroökonomik I: 8 Nutzenmaimierung 3

71 9. Einkommens- und Preisänderungen Komarative Statik: Wie ändern sich die Marshallschen Nachfragen wenn die Preise oder das Einkommen sich ändern? Die Einkommenskonsumkurve EKK enthält alle Konsumbündel die bei unveränderten Preisen für irgendein Einkommen nutzenmaimierend sind. Die Engelkurve stellt den Konsum eines Gutes in Abhängigkeit vom Einkommen dar. Einkommensänderungen m' '/ m' / EKK Definition: m m m / ε m i m m i i Einkommenselastizitätder Nachfrage nach Gut i. m m' m' ' Um wie viel % verändert sich die Nachfrage nach Gut i wenn das Einkommen um % steigt? Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen 33 Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen 34

72 Beisiel: ε m i 0 < ε ε m i > m i < 0 < Luusgut Notwendiges Gut Inferiores Gut Normales Gut Quasilineare Nutzenfunktion u w + ; w' > 0 w' ' < 0 Falls > 0 dann gilt für die otimale Entscheidung: u / u / w' Diese Bedingung hängt nicht von ab. Die Lösung dieser Gleichung sei. ergibt sich aus der Budgetbeschränkung: m m Definition: _ Gut ist für Einkommen m > m inferior. m m Falls das ositiv ist ist die otimale Nachfrage Sonst gilt: * * m m * 0. * Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen 35 Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen 36

73 Preisänderungen EKK Der Preis fällt und das Einkommen m bleiben konstant. > ' > ' ' m/ Preiskonsumkurve Falls dann Falls dann m > 0 m m < m 0 m m m m ' m '' Die Preiskonsumkurve enthält alle Konsumbündel die bei gegebenem Preis und Einkommen m zu irgendeinem Preis nutzenmaimierend sind. Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen 37 Mikroökonomik I: 9 Einkommens- und Preisänderungen 38