Elektronik 1, Foliensatz 7: Frequenzraum

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1 Elektronik, Foliensatz 7: Frequenzraum G Kemnitz 6 Januar 27 Inhaltsverzeichnis Frequenzraum Fouriertransformation 2 2 FFT/Matlab 6 3 komplexe U, I, R 9 4 Schaltung Gleichungssystem 5 Handwerkszeug 2 6 Transistorverstärker 4 7 Operationsverstärker 9 8 Aufgaben 22 Frequenzraum Frequenzraum, Spektrum Funktionsraum, in dem ein periodisches Zeitsignal als Summe komplexer Exponentialfunktionen dargestellt wird: ω = 2π T P T P j = X m) m = f T P f Grundkreisfrequenz Signalperiode imaginäre Einheit Spektralwerte, Spektrum Frequenzindex Frequenz M xt) = X m) e j m ω t m= M Darstellung der Spektralwerte durch Betrag und Phase Xm) Im ϕ Re Wozu Signaldarstellung im Frequenzraum? Das Spektrum eines Signals: ist eine Funktion mit der Frequenz als Argument Diese Funktion ist eine umkehrbar eindeutige Darstellung des Signals: xt) X f)

2 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 2 Kapazitäten und Induktivitäten verhalten sich im Frequenzraum wie frequenzabhängige Widerstände Lineare Systeme aus Quellen, R, C und L bilden sich auf ein lineares frequenzabhängiges Gleichungssystem ab Fact Der Frequenzraum ist ein Mittel zur Beschreibung linearer Schaltungen mit zeitveränderlichen Quellen, R, C und L durch ein lineares Gleichungssystem statt durch ein DGL-System Fouriertransformation Fouriertransformation Mathematische Grundlage der Signaldarstellung im Frequenzraum ist die Fouriertransformation Eine Funktion f a) mit der Perioden 2 π wird durch eine Fourierreihe f a) = X m cos m a + ϕ m ) m= X m Amplitude; ϕ m Phasenverschiebung) angenähert Nichtperiodische Signale werden durch ein Signal mit unendlicher Periode angenähert Beispiel: Fourierreihe einer Rechteckfunktion ) f 3 a) = 4 π cos a) cos3 a) 3 ) f 9 a) = 4 π cos a) cos3 a) 3 + cos5 a) 5 cos7 a) 7 + cos9 a) 9 f 3 a) f 9 a) - - π π a f M a) = 4 π M m= sin ) π m 2 cosm a) m

3 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 3 f M a) = 4 π M m= sin ) π m 2 cosm a) m f 9 a) - f 39 a) - U U ut) π π a - t -,5,5 T P Achsenbeschriftung für ein formgleiches Spannungssignal Formgleiches Spannungssignal: ω = 2π T P u t) = 4 U π M π m ) sin cos m ω t) 2 m m= Grundkreisfrequenz; T P Signalperiode) Bandbegrenzung Band: Frequenzbereich bandbegrenzt: X m = für f m > f max f max f X X X = Fact 2 Alle Spannungen und Ströme in realen Schaltungen sind bandbegrenzt u C und i L können sich nur stetig ändern Eingebaute und unvermeidliche parasitäre C und L bewirken Bandbegrenzung Bandbegrenzter Sprung: Sprung abzüglich der Kosinusterme der Frequenzen f m > f max U t Übergang zur komplexen Exponentialfunktion Zusammenfassung X m, ϕ m ) zu einer komplexen Zahl X m Denition der komplexen e-funktion: umgestellt nach cos a) e ja = cos a) + j sin a) e ja = cos a) j sin a) cos a) = 2 e ja + e ja) Ersatz der Kosinusterme der Fourierreihe: X m cos m ω t + ϕ m ) = X m) e j m ω t + X m) e j m ω t) mit X m) = Xm 2 e j ϕm und X m) = Xm 2 e j ϕm Fourierreihe mit komplexen e-funktionen: xt) = M m= M X m) ej m ω t

4 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 4 Fourierreihe mit komplexen e-funktionen M xt) = X m) e j m ω t m= M M Frequenzindex des Signalanteils mit der höchsten auftretenden Frequenz) neue Summationsgrenzen: M m M Die Spektralwerte der negativen Frequenzen sind die konjugiert komplexen Spektralwerte der positiven Frequenzen und betragsmäÿig halb so groÿ wie die Amplituden der Kosinusterme: X m) = X m 2 ej ϕm und X m) = X m 2 e j ϕm der Gleichanteil bleibt: X ) = X Zeitdiskrete Fouriertransformation Umkehrbarer Algorithmus zur Berechnung von N Spektralwerten eines bandbegrenzten Spektrum aus N äquidistanten Abtastwerten einer Periode des Zeitsignals u) u4) u8) u2) Abtastfolge einer Periode u in V t in s - T P = 6 T A Signalperiode) T A = s Abtastintervall) Die Anzahl der Abtastpunkte N sei geradzahlig, im Idealfall eine Zweierpotenz siehe später t)) Voraussetzung ist die Einhaltung des Abtasttheorems Abtasttheorem Der Signalanteil mit der höchsten Frequenz muss mehr als zweimal je Periode abgetastet werden: Bei Verletzung des Abtasttheorems N > 2 M sind im Grenzfall N = 2 M Amplitude und Phase des Signalanteils mit der höchsten Frequenz nicht eindeutig festgelegt Für N < 2 M gibt es ein Kosinussignal mit geringerer Frequenz mit derselben Abtastfolge Aliasing): T P =,5 T A T P = 3 T A T A

5 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 5 Ausgangspunkt für die Herleitung der Fouriertransformation ist die Fourierreihe eines bandbegrenzten Signals: M xt) = X m) e j m ω t m= M Abtastzeitpunkte: Grundkreisfrequenz: Exponent: t n = n TP N ω = 2π T P m ω t n = 2π m n N Abtasttheorem: M < N 2 Indexerweiterung: X ) N 2 = Für jeden Zeitpunkt t n = n T A beträgt der Zeitwert: xt n ) = xn) = N 2 m= N 2 2 π m n j X m) e N Die Berechnung von N Zeitwerten xn) aus N Spektralwerten X m) erfolgt über die Lösung eines linearen Gleichungssystems aus N Gleichungen mit N Unbekannten: x ) x ) x N ) Q N N-Matrix mit den komplexen Koezienten: Die Determinante beträgt X N ) 2 = Q X N 2 + ) 2 π m n j q mn = e N det Q) = N X N 2 ) Sie ist somit ungleich null Damit ist die Transformation umkehrbar Berechnung der Spektralwerte aus der Abtastfolge: X ) N 2 X N 2 + ) X = Q N 2 ) Q N N-Matrix mit den komplexen Koezienten: x ) x ) x N ) q mn = N 2 π m n e j N Fact 3 Die Berechnung der Spektralwerte für eine Abtastfolge eines bandbegrenzten Signals erfolgt über die Lösung eines linearen Gleichungssystems Prakt Berechnung Spektralwerte aus Zeitwerten und umgekehrt: FFT Fast Fourier Transformation) und IFFT Inverse Fast Fourier Transformation)

6 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 6 2 FFT/Matlab Von der Matrixmultiplikation zur FFT Zirkulare Verschiebung der Spektralwerte der negativen Frequenzen um N Indexpositionen in den positiven Bereich: xn) = N 2 m= 2 π m n j X m) e N }{{} für m< N 2 positive Freq) Der hinzukommende Faktor e j 2π N n N + N m=+ N 2 2 π m N) n j X m N) e N }{{} für N 2 m< negative Freq) ist eins und entfällt Mit X m N) = X m) bleibt die Gleichheit erhalten Die Transformationsvorschrift mit dem zirkular verschobenen Spektralvektor liefert dieselbe Zeitfolge xn) = N m= 2 π m n j X m) e N Darstellung der Exponentialterme als Potenzen der Hilfsvariablen 2 π j v = e N Ergebnis: xn) = N m= X m) v m n Aus historischen oder numerischen Gründen wird statt der Spektralwerte deren N-facher Wert benutzt: W m) = N X m) Die inverse zeitdiskrete Fouriertransformation IFFT) berechnet die Abtastfolge für den Vektor aus den N-fachen Spektralwerten der positiven Frequenzen und den N-fachen zirkular in den positiven Bereich verschobenen negativen Frequenzen: mit: x ) x ) x N ) V = N = V W ) W ) W N ) v v v N v v 2 v 2 N ) v v N v N )2

7 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 7 Die zeitdiskrete Fouriertransformation ist die inverse Operation Umkehrung) davon: mit: W ) W ) W N ) N V = = N V x ) x ) x N ) v v v N ) v v 2 v 2 N ) v v N ) v N )2 Umrechnung Transformationsergebnis Spektrum X Indextransformation Amplitudenskalierung m 8 T P 6 T P 4 T P T P T P T P T P f W k 5 5 Index in Matlab T P T P T P T P T P T P T P f Schnelle Fouriertransformation FFT) Die FFT Fast Fourier Transformation) ist ein Algorithmus, der durch geschicktes Ausklammern die Anzahl der komplexen Multiplikationen und Additionen von N 2 auf im günstigsten Fall N log 2 N) reduziert Für die IFFT Inverse Fast Fourier Transformation) gilt dasselbe, nur mit inverser Transformationsmatrix Matlab-Funktionen: W=f f t x ) ; % f a s t f o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n x= i f f t W) ; % i n v e r s e f a s t f o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n x Abtastfolge; W transformierter Frequenzvektor) Der günstigste Fall ist, wenn N eine Zweierpotenz ist Die bevorzugten Werte für die Anzahl der Abtastpunkte sind entsprechend 6, 32, 64, 28, 256, 24,

8 ,2,4,6,8 t in s Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 8 In Matlab beginnt die Indexzählung mit Eins: X Indextransformation Amplitudenskalierung m 8 T P 6 T P 4 T P T P T P T P T P f W k 5 5 Index in Matlab T P T P T P T P T P T P T P f Beispiel für die Berechnung und Darstellung eines Spektrums Eingabe und Darstellung der Abtastfolge des Zeitsignals TP = ; % P e r i o d e n d a u e r i n s N = 2^6; % A b t a s t w e r t e j e P e r i o d e u = [ ] ; % Vorgabe d e r N A b t a s t w e r t e t = : N ) TP/N; % F o l g e d e r N Z e i t w e r t e s u b p l o t 3,, ) ; p l o t t, u ) ; % D a r s t e l l u n g Z e i t f u n k t i o n ut) in V 2 Berechnung und Darstellung des Spektrums U = f f t u )/N; % Berechnung d e s Spektrums f = :N/2 )/TP ; % V e k t o r p o s i t i v e F r e q u e n z e n s u b p l o t 3,, 2 ) ; % B e t r a g d e r S p e k t r a l w e r t e stem f, abs U :N/ 2 ) ) ) ; Uf) in V,, f in Hz

9 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 9 s u b p l o t 3,, 3 ) ; % P h a s e n v e r s c h i e b u n g stem f, angle U :N/ 2 ) ) ) ; % d e r S p e k t r a l w e r t e PhaseUf)) f in Hz 3 Wurde das Abtasttheorem eingehalten? Zeitfunktion für 3 statt 64 Abtastwerten je Periode: f o r n =:3; % f ü r 3 Z e i t w e r t e t n)=n )/2;% A b t a s t z e i t p u n k t e f e s t l e g e n u n ) = U ) ; % mit G l e i c h a n t e i l i n i t i a l i s i e r e n f o r m=2:32 % f ü r d i e 3 S p e t r a l w e r t e mit f > u n)=u n)+2 r e a l Um) e ^ j 2 p i f m) t n ) ) ) ; end ; end ; p l o t t, u ) ; u in V 2 Abweichungen zwischen Vorgabezeitsignal und Zeitsignal zum Spektrum, Abtasttheorem verletzt,2,4,6,8 Periode t in s 3 komplexe U, I, R Komplexe Spannungen und Ströme Die folgende Theorie basiert auf dem Überlagerungssatz und gilt nur für lineare Systeme In linearen Systemen können alle periodischen Quellenwerte in eine Summe komplexer Exponentialterme vom Typ u t) = U ω) e jωt i t) = I ω) e jωt U ω) komplexe Spannung; I ω) komplexer Strom; ω Kreisfrequenz) zerlegt und die Berechnung der gesuchten Ströme und Spannungen für jede Kreisfrequenz ω extra durchgeführt werden Die Gesamtströme und -spannungen sind dann die Summe der Ströme und Spannungen für jede Kreisfrequenz ω, für die die berechneten komplexen Ströme bzw Spannungen ungleich null sind

10 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) Komplexer Widerstand Z = U I Widerstand u = R i: U e jωt = R I e jωt Z = U I = R Kapazität i = C d u d t : Induktivität u = L d i d t : I e jωt = C U d e jωt) = jωc U e jωt dt Z = U = I jωc = j ωc U e jωt = = L I d e jωt) = jωl I e jωt dt Z = U I = jωl Zeigerdarstellung Komplexe Spannungen, Ströme und Widerstände besitzen einen Betrag und eine Phase und lassen sich als Zeiger in der komplexen Ebene darstellen Für den komplexen Widerstand: Z e jϕz ist der Betrag Z = U I = U ejϕ U I e jϕ I und beträgt die Phasenverschiebung: ϕ Z = ϕ U ϕ I An der Kapazität ist die Spannung zum Strom um π/2 verzögert An der Induktivität eilt die Spannung dem Strom um π/2 voraus Im komplexe Ebene U L = jωl I I Re U C = j ωc I Gibt es wirklich imaginäre Spannungen und Ströme? Für die Spektralanteile der einzelnen positiven und negativen Frequenzen ja, in einem reellen Signal jedoch nicht Warum? Weil ein reelles Zeitsignal zu jedem Spektralwert einer positiven Frequenz auch noch den konjugiert komplexen Spektralwert der negativen Frequenz enthält, so dass sich die Imaginäranteile immer paarweise gegenseitig aufheben

11 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 4 Schaltung Gleichungssystem Kirchhosche Sätze für komplexe U und I u R i C 2 K u 3 R 3 i 3 C 3 K2 i 5 u e R 2 M i 2 u 2 M2 R 4 i 4 u 4 M3 L 5 u 5 K : i i 2 i 3 = K2 : i 3 i 4 i 5 = M : u + u 2 = u e M2 : u 2 + u 3 + u 4 = i = I e jωt M3 : u 4 + u 5 = i 2 = I 2 e jωt i 3 = I 3 e jωt i 4 = I 4 e jωt i 5 = I 5 e jωt u = U e jωt = R I e jωt ) u 2 = U 2 e jωt = R 2 + jωc 2 I 2 e jωt u 3 = U 3 e jωt = R 3 + I 3 e jωt jωc 3 ) u 4 = U 4 e jωt = R 4 I 4 e jωt u 5 = U 5 e jωt = jωl 5 I 5 e jωt u e = e jωt Der zeitabhängige Term e jωt kürzt sich aus allen Knoten- und Maschengleichungen heraus Die kirchhoschen Sätze gelten auch für die komplexen Spannungen und Ströme: U I K U 3 I 3 X X 3 = R 3 + = R jωc 3 X 2 = X 4 = R 4 U R2 + U 2 4 X 5 = jωl 3 jωc 2 M M2 M3 K2 I 5 U 5 I 2 I 4 ) R R 2 + jωc 2 ) ) R 2 + jωc 2 R 3 + jωc 3 R 4 R 4 jωl 5 I I 2 I 3 I 4 I 5 =

12 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 2 Zusammenfassung Die Schaltungsanalyse im Frequenzbereich erfolgt nach demselben Formalismus wie für den stationären Zustand, nur dass die Spannungen, Ströme und Widerstände durch die komplexen Spannungen, Ströme und Widerstände ersetzt sind Schaltungsanalyse für periodische Eingabesignale: Eingabezeitsignal Abtastfolge Berechnung des Spektrums aus der Abtastfolge Wiederhole für alle Frequenzen des Spektrums 2 : Berechnung der gesuchten komplexen Ströme und Spannungen Rücktransformation der Ergebnisspektren in Zeitfolgen Stationärer Betrieb als Sonderfall ω = Basisfunktion: e j t = komplexe Spannung stationäre Spannung: U e j 2π t = U komplexer Strom stationärer Strom: I e j 2π t = I Induktivität Verbindung: X L = j L = Kapazität Unterbrechung X C = lim f j 2π f C Die Schaltungsanalyse für den stationären Betrieb entspricht im Frequenzbereich dem Sonderfall ω = bzw m = ) 5 Handwerkszeug Schaltungsumformungen und Vereinfachungen Aus der Gültigkeit der kirchhoschen Sätze für die komplexen Spannungen und Ströme folgt, dass auch der gesamte Werkzeugkasten für die Schaltungsanalyse auf die Schaltungsmodellierung mit komplexen Spannungen und Strömen übertragbar ist 2 Eine zeitdiskreten Analyse wiederholt die Lösung des Gleichungssystems für alle Abtastzeitpunkte Rechenaufwand vergleichbar hoch

13 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 3 Zusammenfassen komplexer Widerstände Reihenschaltung U ges I = Z ges = U I + U 2 I = Z + Z 2 I U R R U L L R 2 PhaseZ RL ) Z RL,, ω L R π π 2 Z RL = R + j ω L Parallelschaltung I ges U = Z ges = I U + I 2 U = Z + Z 2 I RL U R R U L L π 2 R, PhaseZ RLC ), Z RLC π 2 I C U C,, ω L C Z RLC = Z RL Z C = R+j ω L + j ω C = R + j ω L + j ω R C ω 2 L C Spannungsteiler Z U Z I a = Z 2 U Z2 Z 2 = Z + Z 2

14 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 4 Frequenzgang eines RC-Glieds R C,,,, ω R C Z = R und Z 2 = jωc : = j ω C R + j ω C = + j ω R C Für niedrige Frequenzen ist die Ausgangsspannung gleich der Eingangsspannung Für hohe Frequenzen nimmt ihr Betrag umgekehrt proportional mit der Frequenz ab RLC-Spannungsteiler R L C,,, Q = 7,4 Q = 2,86 Q =,43 Q =,7 ω ω = j ω C R + j ω L + j ω C = ω + j Q ω ) 2 ω ω Q = R L C Güte, ω = / L C Resonanzfrequenz Mit Q ist das ein Tiefpass und mit Q ein Bandpass 6 Transistorverstärker Der Frequenzgang der Stromverstärkung Die Verstärkung eines Bipolartransistors hat eine ähnliche Frequenzabhängigkeit wie die Übertragungsfunktion eines RC-Gliedes: β Grundverstärkung f Grenzfrequenz Für hohe Frequenzen f f : β β β = β + j f f j f = j β f f f f T = β f Transitfrequenz Frequenz für β = ) β β,, = j ft f,, f f )

15 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 5 Der Frequenzgang der Verstärkung eines Verstärkers Beim Aufbau eines Transistorverstärkers wird die Verstärkung der Gesamtschaltung mit externen Widerständen eingestellt Dabei gilt tendenziell: Verstärkung Grenzfrequenz Ersatzschaltung für f = U V R Q I B U BEF β I B R E U V R Q Ersatzschaltung für f u a R Q I B β I B u e R E R E R Q I B β I B R E = R Q + R E + β )) I B = β I B = β R Q + R E + β ) U Q = R Q + R E ) β + R E β = β + j f f T U = e R Q + R E ) β + j f f T ) Für niedrige Frequenzen beträgt die Verstärkung: v U = R Q + R E ) β + R E R E = v U + R E + j f 2) f V Die Grenzfrequenz der Spannungsverstärung f V, bei der die Verstärkung auf das v U / 2 abgesunken ist, beträgt: ) f T R Q + R E ) β + R E R E f V = f T R Q + R E ) R Q + R E Für einen Quellenwiderstand R Q R E ist die Grenzfrequenz der Spannungsverstärkung nahezu die Transistfrequenz f T der Stromverstärkung des Transistors Für eine hochohmige Quelle ist die Grenzfrequenz wesentlich geringer

16 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 6 Basisschaltung Die Basis liegt für f ) auf dem Bezugspotenzial Transistorverstärker für hohe Frequenzen und Bandbreiten Ersatzschaltung f = U V R E I E β +β I E U BEF U V Ersatzschaltung f R E u a R E I E β +β I E u e R E I E β +β I E I E = R E = β I E + β U = e ) R E + β = R ) C U e R E + β + j f f T R E Die Verstärkung für niedrige Frequenzen beträgt: v U = /R E + j f f T ) = v U + j f f V Die Grenzfrequenz der Spannungsverstärkung f V für v V / 2) ist etwa die Transitfrequenz der Stromverstärkung: f V f T Arbeitspunkt Der Arbeitspunkt beschreibt die Spannungen und Ströme im stationären Zustand Der Transistor muss für den gesamten nutzbaren Ein- und Ausgangsspannungsbereich im Normalbereich arbeiten Ein groÿer Ein- und Ausgangsspannungsbereich verlangt, dass der Arbeitspunkt auf der Übertragungsfunktion in der Mitte des Verstärkungsbereichs liegt linearer Arbeitsbereich Arbeitspunkt t t Verstärkungsbereich

17 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 7 Einstellung des Arbeitspunktes: über den Gleichanteil der Eingangsspannung u e oder eine Gleichspannungsquelle in Reihe zur Eingangssignalquelle Alternative: Nur Spektralanteile mit einer Frequenz f f u verstärken f u minimale Nutzfrequenz) Der Frequenzbereich darunter und der stationäre Betrieb werden für die Einstellung des Arbeitspunkts genutzt Trennung von Gleichanteil und Nutzsignal mit RC-Gliedern U V U V u e u a u a AP u e AP AP Gleichspannung zur Arbeitspunkteinstellung Der Transistorverstärker selbst Typischer Signalverstärker U V Signalquelle R Q C R C 3 Empfänger C 2 u e u a R 2 R E R E2 R EE Für die Arbeitspunkteinstellung stationärer Zustand) sind die Kapazitäten Unterbrechungen Mit dieser Ersatzschaltung werden R, R 2, R E und geeignet festgelegt Im Frequenzbereich des Nutzsignals seinen alle Z C vernachlässigbar klein Mit dieser Ersatzschaltung werden C bis C 3 und R E2 festgelegt Arbeitspunkteinstellung U V Richtwerte R I B U RC 4% U V I B U BEF β I B U CE 4% U V R 2 U BEF + U RE R E U RE 2% U V Beispiel: gegeben: U V = 5 V, β, U BEF,7 V und = kω gesucht: R E, R und R 2

18 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 8 I R 22 µa R I R2 2 µa U R 3,3 V I B 2 µa U BEF =,7 V kω I C 2 ma β I B U V = 5 V U RC 2 V U CE 2 V R 2 U R2,7 V R E U RE V I E 2 ma R E V 2 ma 5 Ω R 3,3 V 5 kω 22 µa R 2,7 V 8,6 kω 2 µa Ersatzschaltung im genutzten Frequenzbereich R Q Z C I B β I B Z C2 Z C3 R R 2 R E R E2 R EE ers = k Z RQ I B β I B Z RE Z RC = k 2 U ZRC U = v ZRC U ers Ersatzschaltungsparameter: Z RQ = k = R Q j ) R R 2 ω C R R 2 R R 2 ) + R Q j ω C R Q Z C I B β I B Z C2 Z C3 R R 2 R E R E2 R EE ers = k Z RQ I B β I B Z RE Z RC = k 2 U ZRC U = v ZRC U ers

19 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 9 Z RE = Z RC = k 2 = R E2 j ) R E ω C 2 R EE j ) ω C 3 R EE = jω C 3 R EE R EE + X C3 jω C 3 R EE + Z RQ I B β I B U ZRC = v U ers ers = k Z RE Z RC = k 2 U ZRC Die Spannungsverstärkung dieser Ersatzschaltung wurde bereits auf Seite 5 in Gl 2 hergeleitet: v U = U ZRC ers = Z RC ZRQ + Z RE ) β ) Z RC + j f f g + Z f fg Z RE RE Die gesamte Verstärkung ist um die beiden Spannungsteilerverhältnisse kleiner: v Uges = = k k 2 v U k k 2 ZRC f fg Z RE Signalquelle R 5 k k C 3 Empfänger 5 V R Q C C 2 u e R 2 8,6 k R E 5 R E2 u a R EE Weitere Entwurfsschritte am einfachsten mit Matlab oder einem Simulator durch Probieren): Mit R E2 gewünschte Spannungsverstärkung einstellen C bis C 3 so festlegen, dass v Uges bis zur unteren Nutzfrequenz auf nicht weniger als das,77-fache absinkt Kontrolle der Verlustleistungen, Kontrolle über die gesamten Toleranzbereiche, 7 Operationsverstärker Frequenzgang eines Operationsverstärkers v = v + j f = f v + j f f T v Verstärkung für niedrige Frequenzen; f Grenzfrequenz; f T = v f Transistfrequenz Idealer Operationsverstärker v : lim v v ) = j ft f Der nutzbare Frequenzbereich hängt von der externen Beschaltung ab

20 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 2 Nicht invertierender Verstärker R v R u 2 v u = v u = v u = R+R2 R 3 2 f f T = v + R R +R 2 = v + = v u v u j vu f f T + Die Grenzfrequenz des Verstärkers ist der Quotient aus Transistfrequenz des OV's und der eingestellten Verstärkung: f v = f T v u Im Frequenzbereich f f v Z 2 Z Z 2 Z Verstärkung des nichtinvertierenden Verstärkers: Verstärkung des invertierenden Verstärkers: = Z + Z 2 Z 3) = Z 2 Z 4) Nicht invertierender Verstärker mit RC-Beschaltung Z 2 = R Z = jωc Übertragungsfunktion: Z = jωc ; Z 2 = R = jωc + R = + jω R C) jωc

21 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 2 Invertierender Verstärker mit RC-Beschaltung Z 2 = R 2 +jω R 2 C Z = R R 2 C Übertragungsfunktion: Z = R ; Z 2 = R 2 + jω R 2 C R 2 = R + jω R 2 C) Nachbildung des RLC-Spannungsteilers U C3 I 3 U R U R2 C 3 I 2 I I = R K R 2 I 2 U = C 2 U M C2 M2 M3 K : I I 2 ) + I 3 = M : R I + R 2 + j ω C 2 I 2 = M2 : j ω C 2 I 2 + = M3 : R 2 I 2 j ω C 3 I 3 = Auösen nach ) durch eliminieren der 3 unbekannten Ströme: = + j ω C 2 R + R 2 ) ω 2 R R 2 C 2 C 3 Das ist derselbe Typ von Übertragungsfunktion wie für den RLC-Spannungsteiler auf Seite 4: = ω + j Q ω ) 2 ω ω Ein Koezientenvergleich ergibt für die Resonanzfrequenz: ω = R R 2 C 2 C 3 und für die Güte: Q = ω C 2 R +R 2 ),,,2 Q = 7,4 Q = 2,86 Q =,43 Q =,7 ω ω

22 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 22 8 Aufgaben Bestimmung des Spektrums u in V 2 2 T P = 2 s t in s Suchen einer geeigneten Fourierreihe Anpassen an den gegebenen Signalverlauf Darstellung der Abtastfolge und der Ergebnisse der Fourierreihe einmal mit drei und einmal mit neun Summanden Matlabprogramm) Imaginärer Strom? Was bedeutet es physikalisch, wenn ein komplexer Strom einen Imaginärteil besitzt, wie zb der Strom: I = + j) ma Gibt es dann in der Schaltung imaginäre Ströme? Zusammenfassen komplexer Widerstände C R C K R C 2 R 2 C 2 R 2 K2 Z a Z b Wie groÿ sind die komplexen Ersatzwiderstände Z a und Z b? Unter welcher Bedingung sind die Ersatzwiderstände beider Schaltungen gleich? Grenzfrequenz und Arbeitspunkt u e R E U V R E = 22 Ω β = R u C = kω f T = MHz a U V U V = 5 V U BEF,7 V Stellen Sie die Ersatzschaltung für den stationären Zustand mit dem Transistor im Normalbereich auf Wie groÿ ist die Versorgungsspannung U V zu wählen, damit die Ausgangsspannung im stationären Zustand 3 V beträgt?

23 Prof G Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I EH7pdf) 23 Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion Welche Amplitude darf ein kosinusförmiges Ausgangssignal maximal haben Mittelwert 3 V)? Stellen Sie die Ersatzschaltung für Frequnzen f > null auf Wie groÿ ist die Verstärkung für Frequenzen f f T? Wie groÿ ist die Grenzfrequenz der Verstärkung? Filter mit Operationsverstärkern R 2 C C R R a) b) Wie lauten die Übertragungsfunktionen?