Computergrafik, SS Übungsblatt

Transkript

1 Computergrafik, SS 200. Übungsblatt Abgabe: bis Freitag 20.April 202, 2 Uhr Die Aufgaben ohne Bewertung werden in den Tutorien besprochen.. (0 Punkte) (a) Bestimmen Sie eine Rotation R: x m m 2 m 3 x y m 2 m 22 m 23 y, 0 0 die die zwei Punkte (mit kartesischen Koordinaten) (0, 0) und (3, 4) auf die Punkte (2, ) und (2, 6) abbildet. (b) Bestimmen Sie den Punkt z der Ebene mit z = R(z) (den Fixpunkt; den Punkt, um den gedreht wird). (c) Um welchen Winkel wird die Ebene dabei gedreht? (im Uhrzeigersinn bzw. gegen den Uhrzeigersinn?) 2. Freiheitsgrade (0 Punkte) Wieviele Paare von Urbildpunkten und Bildpunkten muss man im Allgemeinen festlegen (beliebig, fast beliebig, mit Einschränkungen), um die folgenden Abbildungsarten im R 2 bzw. R 3 eindeutig zu charakterisieren? Geben Sie kurze Begründungen. (a) Isometrie (starre Bewegung) (b) Affine Abbildung Anmerkung: Manche Information kann man auch über ein einzelnes Bit speichern, anstatt ein zusätzliches Punktepaar zu verwenden. Diese Fälle sollen erkannt werden. 3. (0 Punkte) Schreiben Sie die Transformationsmatrix M, die der Nacheinanderausführung der folgenden Transformationen (in dieser Reihenfolge) entspricht: (a) Eine Translation um den Vektor (2, ). (b) Eine Rotation um den Ursprung um 90 nach links. (c) Eine Streckung der x-achse um den Faktor 2. (Die y-achse bleibt unverändert.) (d) Eine Rotation um den Ursprung um 90 nach links. Auf welche Punkte werden die drei Punkte (4, 2), (3, 3), (3, 7) am Ende abgebildet? 4. (0 Punkte) (a) Welche geometrischen Transformation wird durch die Abbildung beschrieben? A : x ( ) 0 x 0

2 (b) Sei R eine Rotation um 90 nach links um den Ursprung. Wenden Sie folgende drei Transformationen in der folgenden Reihenfolge an: R, A, R Bestimmen Sie die Matrix M, welche der Verknüpfung der drei Abbildungen entspricht. (c) Bestimmen Sie die Fixpunkte von M (Mx = x). (d) Welche geometrische Transformation wird durch M beschrieben? 5. (0 Punkte) Wenden Sie die projektive Transformation x Mx mit M = auf die Quadrate des Schachbrettmusters { (x, y) R 2 i, j Z, 0 i x i+ 8, 0 j y j + 8, i + j ist gerade } an und zeichnen Sie das Ergebnis. 6. (0 Punkte) (a) Berechnen Sie den Schnittpunkt P der beiden folgenden Geraden in homogenen Koordinaten. 3x + 4y = 5 4x + 5y = 6 (b) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g durch P und den Punkt (c) Schneiden Sie g mit der Ferngeraden. 7. Rotation um eine beliebige Achse (0 Punkte) Bestimmen Sie die Transformationsmatrix für eine Rotation um die Gerade durch den Ursprung in Richtung des Vektors 5 u = 2 3 um einen Winkel von 30 gegen den Uhrzeigersinn, wenn man vom Ursprung aus in Richtung von u schaut. Verwenden Sie dazu eine Methode Ihrer Wahl, z.b. die folgende:. Drehe den Vektor u in die yz-ebene (z. B. um die z-achse). 2. Drehe den Vektor weiter in die z-achse (um die x-achse). 3. Drehe um 30 um die z-achse. 4. Führe die Transformationen aus Schritt 2 und rückwärts aus. 2

3 Kontrollieren Sie, dass der Punkt u auf sich selbst abgebildet wird. 8. Arithmetische Komplexität (0 Punkte) Betrachten Sie das Verfahren der vorherigen Aufgabe für einen allgemeinen Vektor u und bestimmen Sie die Anzahl der arithmetischen Operationen (Addition und Subtraktion, Multiplikation, Division, Quadratwurzel). 9. Projektives Bild einer Strecke (0 Punkte) (a) Zerlegen Sie die Strecke von (, 0) zu (0, ) in 0 gleiche Teile und wenden Sie auf die Zwischenpunkte die projektive Transformation x M x mit M = aus Aufgabe 4 an. Zeichnen Sie das Ergebnis. Was ist das Bild der ganzen Strecke unter dieser projektiven Transformation. (b) Charakterisieren Sie diejenigen Strecken, deren Bild unter einer gegebenen projektiven Transformation wieder eine Strecke ist. (Also nicht ein unendlicher Strahl oder etwas anderes.) 3

4 Computergrafik, SS Übungsblatt Abgabe: bis Freitag 4.Mai 202, 0:5 Uhr 0. Homogene Koordinaten (0 Punkte) Dies ist eine alte Klausuraufgabe. (a) Stellen Sie für die Gerade durch die Punkte (2, 3) und (4, 5) in der Ebene eine Geradengleichung der Form in homogenen Koordinaten (x, y, w) auf. (b) Die Gleichung ax + by + cw = 0 x 2 + 2xw + y 2 2w 2 3wy = 0 in homogenen Koordinaten (x, y, w) beschreibt einen Kreis in der Ebene. Bestimmen Sie seinen Radius und den Mittelpunkt (in kartesischen Koordinaten).. Zentralprojektion (0 Punkte) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix A (in homogenen Koordinaten) für die Zentralprojektion vom Punkt P = (4, ) auf die Gerade g: x + 2y + = Koordinatensysteme (2 Punkte) 4 7 (a) Eine Kamera steht im Punkt 7 und blickt in Richtung auf den Punkt Bestimmen Sie das entsprechende rechtwinklige Augenkoordinatensystem so, dass die Kamera aufrecht steht. (b) Bestimmen Sie die Transformationsmatrix zur Umrechnung von Weltkoordinaten in Augenkoordinaten. 3. Scherung (8 Punkte) a 0 Die Transformationsmatrizen 0 0 und 0 0 in x-richtung bzw. in y-richtung (a, b R). 0 0 b 0 beschreiben eine Scherung 0 0 (a) Welche Punkte der Ebene werden dabei in sich selbst überführt (Fixpunkte)? (b) Welche Geraden werden in sich selbst überführt (Fixgeraden)? (c) Wenden Sie eine Scherung mit a = 0,3 und unabhängig davon eine Scherung mit b = 0,7 auf folgende Abbildung an, und zeichnen Sie die Ergebnisse. y BUCHE x

5 Computergrafik, SS Übungsblatt Abgabe: bis Freitag.Mai 202, 0:5 Uhr 4. Programmieraufgabe (0 Punkte) Implementieren Sie den Bresenham-Algorithmus zum Verbinden von zwei mit der Maus eingegebenen Punkten mit einer Geraden in Java. Auf der Netzseite der Vorlesung gibt es ein Java-Beispielprogramm für zweidimensionale Grafik. 5. Bresenham-Algorithmus zum Rastern von Geraden (0 Punkte) Beim Bresenham-Algorithmus kann es passieren, dass zwei schneidende Geraden keine gemeinsamen Bildpunkte haben. Finden Sie ein Beispiel, wo das passiert. (Sie können wahlweise von Hand rechnen, oder Ihr Programm aus der vorigen Aufgabe benutzen.) 6. Rendering pipeline (20 Punkte) Die 8 Ecken eines Würfels haben in seinem lokalen Koordinatensystem die Koordinatem (±, ±, ±). In Weltkoordinaten wird der Würfel um 60 um die vertikale Achse (die z-achse) gedreht, und zwar nach links (im Gegenuhrzeigersinn), wenn man aus der positiven z-richtung, also von oben, draufschaut. Sein Zentrum liegt bei (x, y, z) = (7, 3, 4). Eine Kamera auf dem Punkt (4, 7, 3) blickt mit einem horizontalen Öffnungswinkel von 30 in Richtung des Punktes (7, 3, 4). Die Oben-Richtung der Kamera ist dabei möglichst senkrecht. Die Ausgabe der Kamera erscheint auf einem Bildschirm. Der Hauptpunkt ist in der Mitte des Bildschirmrechtecks. Wählen Sie die vordere und die hintere Begrenzung des sichtbaren Kegelstumpfs im Abstand von 6 und 20 Einheiten. Beschreiben Sie die notwendigen Rechnungen in den einzelnen Stufen der rendering pipeline und führen Sie sie aus, um die Bildschirmkoordinaten (Bildpunkte) der acht Würfelecken zu bestimmen. Zeichnen Sie Ihr Ergebnis als Skizze. Geben Sie auch die 4 4-Transformationsmatrix vom lokalen Koordinatensystem des Würfels auf die (dreidimensionalen) normalisierten Bildschirmkoordinaten (NDC) im Würfel [, ] 3 an.

6 Computergrafik, SS Übungsblatt Abgabe: bis Freitag 8.Mai 202, 0:5 Uhr 7. Aliasing (Programmieraufgabe) (0 Punkte) Schreiben Sie ein Java-Programm zur Erzeugung eines Farbmusters. (Sie können das Java-Beispielprogramm als Ausgangspunkt nehmen). Der Farbwert für den Punkt (x, y) soll von x 2 + y 2 mod r 2 abhängen. Punkte, die auf einem Kreis um den Ursprung liegen, haben also denselben Farbwert. Der Wert für r soll mit der Maus veränderbar sein. Experimentieren Sie mit unterschiedlichen Farbschemata und verschiedenen Werten für r und beobachten Sie die Muster und merkürdigen Effekte für sehr kleine Werte von r. Dokumentieren Sie Ihre Beobachtungen. 8. Kreise mit nichtganzzahligen Koordinaten (0 Punkte) K sei ein Kreis mit Mittelpunkt (c x, c y ) und Radius r. Betrachten wir den Teil des Kreises, wo der Radius einen Winkel zwischen 45 und 90 mit der x-achse macht. In der Vorlesung wurden zwei Methoden besprochen, diesen Kreisbogen auf dem Raster zu zeichnen. (a) Für jede senkrechte Gittergerade, die den Kreisbogen schneidet, runde den Schnittpunkt y mit dem Kreis K zum nächsten ganzzahligen Wert. (b) Auf jeder senkrechten Gittergeraden, die den Kreisbogen schneidet, bestimme den Gitterpunkt (x, y), der zum Kreis K den kleinsten Abstand hat. (c) [Außerdem: Finde den Gitterpunkt der die Kreisgleichung am besten erfüllt.] In der Vorlesung wurde gezeigt, dass für ganzzahlige Eingabedaten c x, c y, r die Bedingungen (a) und (b) das gleiche Ergebnis liefern. Gilt das auch für rationale Werte c x, c y, r? Geben Sie einen Beweis, oder finden Sie ein Gegenbeispiel. 9. Farbräume (0 Punkte) Dies ist eine alte Klausuraufgabe. Wandeln Sie folgende Farbangaben vom HSL-Modell in das RGB-Modell um. Die Werte sind dabei im Intervall [0, ] normiert, nur der Farbton H (hue) liegt zwischen 0 und 360. (a) H = 0 (rot), S = 0.7 (Sättigung), L = 0.5 (lightness). (b) H = 20 (grün), S = 0.5, L = 0.3. (c) Wandeln Sie folgende RGB-Farbe in das HSL-Modell um: R = 0.4, G = 0.4, B = Ellipsen (0 Punkte) Eine Ellipse ist das Bild eines Kreises unter einer affinen Transformation. Dies ist die Gleichung der Ellipse mit Halbachsen a und b in Standardlage: ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = (a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ellipse mit Halbachsen a = 5 und b = 3, die aus der Standardlage um 75 im Gegenuhrzeigersinn gedreht wurde.

7 (b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ellipse, bei der danach zusätzlich der Mittelpunkte in den Punkt ( 2, 7) verschoben wurde. (Kontrolle: Der Punkt ( 2+5 cos 75, 7+5 sin 75 ) muss die Gleichung erfüllen.) (c) (0 Punkte) Schneiden Sie die entstandene Ellipse aus (b) mit der Geraden y = 4. (d) Bestimmen sie die höchste und die tiefste horizontale Gerade y = h, die die Ellipse aus (b) schneidet. 2

8 Computergrafik, SS Übungsblatt Abgabe: bis Freitag 25.Mai 202, 0:5 Uhr 2. Programmieraufgabe (0 Punkte) Eine allgemeine Ellipse hat eine Gleichung der Form ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0. () Schreiben Sie ein Programm, das alle Bildpunkte (x, y) anzeigt, die die Bedingung ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f 0 (2) erfüllen. (Unter gewissen Bedingungen sind das die Punkte im Inneren der Ellipse.) 22. Merkwürdige Ellipsen (0 Punkte) (a) Finden Sie Parameter a, b, c, d, e, f, für die die Gleichung () keine Ellipse beschreibt. Welche Gebilde können entstehen? (b) Finden Sie eine Ellipse, bei der die Bildpunkte innerhalb der Ellipse (2) nicht zusammenhängend sind. Zwei Punkte (i, j) und (i, j ) werden dabei als benachbart betrachtet, wenn i i und j j ist. Die Punkte können also auch die Ecke zusammenhängen. über 23. Fehler bei der Approximation des Phong schen Beleuchtungsmodells (0 Punkte) Beim Phong schen Beleuchtungsmodell für spiegelnde Reflexion wird die Intensität mit dem Faktor (cos α) n multipliziert, wobei α der Winkel zwischem dem reflektierten Einfallstrahl L des Lichts und dem Sichtstrahl A zum Auge ist. Wie in der Vorlesung erwähnt, kann man den Faktor (cos α) n durch (cos β) 4n approximieren, wobei β der Winkel zwischen der Flächennormalen N und der Winkelhalbierenden H zwischen dem Einfallstrahl L des Lichts und dem Sichtstrahl A ist: H = H 0 H 0 mit H 0 = L + A; cos β = H, N Dieses Beleuchtungsmodell nennt man das Blinn sche Beleuchtungsmodell nach James F. Blinn (977) oder auch das Blinn-Phong sche Beleuchtungsmodell. Untersuchen Sie die Differenz zwischen cos α und cos 4 β für verschiedene Situationen. Wann wird der Fehler am größten, und in welchen Fällen kann er vernachlässigt werden? Nebenbemerkung: Wenn L, N und A in einer Ebene liegen, dann ist β = α/2. Wie gut ist die Approximation von cos α durch cos 4 α 2?

9 Computergrafik, SS Übungsblatt Abgabe: bis Freitag. Juni 202, 0:5 Uhr 24. Genauigkeit des Tiefenpuffers (8 Punkte) In der rendering pipeline gibt es einen Schritt, wo der sichtbare Pyramidenstumpf auf den Würfel [, ] 3 in normalisierten Bildschirmkoordinaten (NDC) abgebildet wird. Die (vordere) Projektionsebene im Abstand n nah wird dabei auf die Ebene z = abgebildet, und die hintere Begrenzungsebene im Abstand n fern wird auf die Ebene z = + abgebildet. Diese Abbildung verzerrt die Koordinaten stark und vermindert die Genauigkeit für Objekte, die nah an der Kamera liegen. Bestimmen Sie die Abstände ε entlang der n-achse (in Kamerakoordinaten), die zwei Objekte n und n 2 haben müssen, um sicherzustellen, dass ihre z-koordinaten im Tiefenpuffer unterschieden werden können, für n nah = Meter. Unterscheiden Sie die Fälle, wo dafür 5 beziehungsweise 3 Bits an Nachkommastellen zur Verfügung stehen. (a) n fern = 2 m, n = n nah, n 2 = n nah + ε (b) n fern = 2 m, n = n fern, n 2 = n fern ε (c) n fern = 00 m, n = n nah, n 2 = n nah + ε (d) n fern = 00 m, n = n fern, n 2 = n fern ε (e) n fern =, n = n nah, n 2 = n nah + ε (f) n fern =, n = n fern, n 2 = n fern ε 25. Implementierung des Phong-Beleuchtungsmodells (20 Punkte) Schreiben Sie ein Programm, das Kugeln mit dem Phong-Modell für spiegelnde Reflexion darstellt, und zwar mit dem ursprünglichen Phong-Modell und nicht mit dem vereinfachten Blinn-Phong schen Beleuchtungsmodell aus Aufgabe 23. Bestimmen Sie direkt die Farbe jedes Bildpunktes. Sie können annehmen, dass der Betrachter unendlich weit entfernt ist und dass das Bild daher orthogonal projiziert wird. Experimentieren Sie mit verschiedenen Lichtquellen an unterschiedlichen Positionen, mit verschiedenen Farben, und mit verschiedenen Exponenten n zur Modellierung der Glattheit im Phong-Modell. Sie können zusätzlich diffuse Reflexion verwenden, eventuell auch in Verbindung mit einem Umgebungslicht. Erstellen Sie ein Gitter von 4 5 Kugeln, wobei Sie für jede Kugel andere Farb- und Lichtverhältnisse wählen dürfen. Geben Sie für jede Kugel die Daten an, die Sie verwendet haben.

10 Computergrafik, SS Übungsblatt Abgabe: bis Freitag 8. Juni 202, 0:5 Uhr 26. Fehler bei der Interpolation in Bildschirm- und Weltkoordinaten (0 Punkte) Bei der Schattierung von ebenen Flächen werden die Intensitäten linear interpoliert, um vernünftige Werte der inneren Punkte zu erhalten. Diese Interpolation kann entweder in Weltkoordinaten oder in Bildschirmkoordinaten geschehen. Gegeben sei folgende Situation: Die Kamera ist am Ursprung platziert und schaut entlang der positiven z-achse mit Aufwärtsrichtung (0,, 0). Dabei ist n nah = und n fern = 00 gewählt. Die Kamera soll horizontal und vertikal um 60 geöffnet sein. Die Szene enthält folgende drei Strecken: von ( 0, 0, 20) nach (0, 0, 20) von (, 0, 8) nach (5, 0, 26) von (7, 0, 20) nach (7, 0, 30) Der erste Punkt jeder Strecke hat Intensität 0 und der andere Punkt Intensität. Nehmen Sie den Mittelpunkte einer Strecke in Bildschirmkoordinaten und berechnen Sie durch lineare Interpolation in Bildschirmkoordinaten und in Weltkoordinaten die Intensität des Mittelpunktes. Berechnen Sie den Unterschied der beiden Interpolationen (Interpolationsfehler), und vergleichen Sie den Fehler für alle drei Strecken. Unter welchen Bedingungen wird der Fehler maximiert? Finden Sie Strecken, bei denen der Interpolationsfehler wesentlich höher ist. 27. Programmieraufgabe Texturen (20 Punkte) Zeichnen Sie mit den Kameradaten von Aufgabe 26 einen Würfel, der mindestens 0% der Bildschirmfläche einnimmt, sodass mindestens zwei Seiten sichtbar sind. Bringen Sie dort Texturen an: a) ein 4 4 Schachbrettmuster b) ein Muster mit 2 3 gitterförmig angeordneten Kreisen (wie bei der Sechs auf einem Spielwürfel) Die Farben sind beliebig.

11 Computergrafik, SS Übungsblatt Abgabe: bis Freitag 5. Juni 202, 0:5 Uhr 28. OpenGL / JoGL (20 Punkte) Machen Sie sich anhand von Literatur oder den Verweisen auf der Netzseite mit OpenGL und JoGL vertraut. Schreiben Sie ein Programm, dass ein kleines aus Dreiecken und Vierecken aufgebautes Objekt zeichnet, und damit eine Animation (zum Beispiel eine Drehung) durchführt. Für Grundfunktionen können Sie den JoGL-Rahmen der Netzseite verwenden. 29. Boolesche Operationen. (0 Punkte) Schreiben Sie auf dem Papier ein Programm, das das untenstehende Schachbrettmuster erzeugt und dabei nur Operationen der folgenden Art verwendet: Erzeuge ein Rechteck mit gegebenen Eckpunkten. Bilde eine neue geometrische Figur durch (regularisierte) Vereinigung oder Schnitt aus bereits konstruierten Figuren. Übermale alle Punkte der Ebene, die zu einer konstruierten Figur gehören, schwarz oder weiß. Versuchen Sie mit möglichst wenigen Operationen auszukommen. (Sie müssen aber nicht unbedingt die letzte einzelne Operation einsparen.) Ihr Programm darf Schleifen verwenden, aber jede Operation wird einzeln gezählt. Wieviele Operationen benötigt Ihr Programm für ein n n-schachbrett (n gerade)? 30. Verständnisfragen (0 Punkte) Erläutern Sie den Unterschied zwischen Phong-Schattierung und Gouraud-Schattierung. Bei welchen Phänomenen ist der Unterschied besonders deutlich sichtbar?

12 Computergrafik, SS Übungsblatt Abgabe: bis Freitag 22. Juni 202, 0:5 Uhr 3. Spiegelung in der Ebene (8 Punkte) In der Ebene sind 4 Spiegel auf den Strecken [ 2, 2] { 3}, [ 2, 2] {3}, {3} [ 2, 2] und { 3} [ 2, 2] aufgestellt. Bestimmen Sie (auf geometrischem Weg), welche Punkte der Ebene vom Punkt (2, ) aus sichtbar sind. 32. Verständnisfragen (0 Punkte) Stellen Sie folgende Darstellungen einer Kugel gegenüber. (a) Eine genäherte Darstellung als Dreiecksgitter. (b) Eine Darstellung durch die Gleichung x 2 + y 2 + z 2 =. Für welche Operationen, für welche Aufgabenstellungen ist die eine oder die andere Darstellung günstiger? 33. Formfaktoren (2 Punkte) Betrachten Sie zwei rechteckige Flächenstücke A = [, 2] {0} [ 0.0, 0.0] und B = {0} [2, 3] [ 0.0, 0.0]. Berechnen Sie den Formfaktor F AB exakt oder genähert mit hoher Genauigkeit. Die Flächen sind sehr schmale Streifen; daher können Sie die Breitenausdehnung in z-richtung ignorieren und das Flächenintegral durch ein eindimensionales Integral ersetzen. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Näherungsmethode, bei der Sie jede Fläche durch ihren Mittelpunkt ersetzen und den Formfaktor nur durch dieses Punktepaar bestimmen. 34. Radiosity (20 Punkte, Abgabe bis Freitag 29. Juni, 0:5 Uhr) Implementieren Sie die grundlegenden Radiosity-Berechnungen und erzeugen Sie mit dem zweidimensionalen Rahmenprogramm ein Bild der folgenden Szene: Von einem Würfel mit Seitenlänge 2 und Mittelpunkt (0, 0, 5) wurde die vordere Fläche (z = 4) entfernt. Eine Kamera im Ursprung mit quadratischem Bildschirm und Öffnungswinkel 90 schaut in Richtung auf den Mittelpunkt, sodass die fünf inneren Seiten des Würfels sichtbar sind. Die Decke (y = ) strahlt weißes Licht aus, sie wirft aber das auf sie fallende Licht nicht zurück. Die linke Wand (x = ) ist rot, die rechte Wand (x = ) ist blau, die Rückwand (z = 6) ist weiß und der Boden (y = ) ist grau (ρ = 0.5). Zerlegen Sie die Wände in mindestens 7 7 Flächenstücke. Berechnen Sie die Formfaktoren mit einer Methode Ihrer Wahl. Lösen Sie das Gleichungssystem mit der iterativen Methode (Gauß-Seidel-Verfahren). Zusatzaufgabe (0 Bonuspunkte): Stellen Sie eine schwarzes würfelförmiges Hindernis mit Seitenlänge 0.4 in eine Ecke des Raumes.

13 Computergrafik, SS Übungsblatt Abgabe: bis Freitag 29. Juni 202, 0:5 Uhr 35. Radiosity (20 Punkte + 0 mögliche Bonuspunkte), siehe 9. Übungsblatt 36. Der Hodograph (5 Punkte) Die Tangentenrichtung einer ebenen parametrischen Kurve ( ) x(t) P (t) = y(t) ist durch die komponentenweise Ableitung nach dem Parameter t gegeben, sofern P (t) 0 ist: (ẋ(t) ) P (t) = ẏ(t) (a) P (t), 0 t sei die quadratische Bézierkurve mit Kontrollpunkten P 0 = (0, 0), P = (2, 0), P 2 = (, ). Zeichnen Sie P (t), 0 t als Kurve. (b) Beweisen Sie: Wenn die Kurve P (t), 0 t, eine Bézierkurve mit Kontrollpolygon P 0 P... P n P n ist, dann ist P (t), 0 t eine Bézierkurve mit Kontrollpunkten n(p P 0 ), n(p 2 P ),..., n(p n P n ). Diese Kurve nennt man den Hodographen von P (t). (c) Beweisen Sie auf direktem Weg, zum Beispiel mit Hilfe von (b): Wenn das Kontrollpolygon nach x-koordinaten sortiert ist (x 0 < x < < x n ), dann verläuft die Kurve P (t) monoton in x-richtung. (Nehmen Sie nicht die Variationsverminderungseigenschaft von Bézierkurven zu Hilfe.) 37. Bézier-Kurven (0 Punkte) Finden sie das Kontrollpolygon P 0 P P 2 P 3 der kubischen Bézier-Kurve ( ) ( x(t) t = 2 ) + t + 3 y(t) 2t 3, 0 t. + 3t + 4

14 Computergrafik, SS 202. Übungsblatt Abgabe: bis Freitag 6. Juli 202, 0:5 Uhr mit Nachtrag zu Aufgabe 38 (5. Juli) 38. Ein Kreis als NURBS (0 Punkte + 5 Bonuspunkte) Ein Kreis (in der Ebene) kann als quadratische NURBS-Kurve mit dem Kontrollpolygon (x i, y i, w i ) = (, 0, ), ( /2, /2, /2), (0,, ), ( /2, /2, /2), (, 0, ), ( /2, /2, /2), (0,, ), ( /2, /2, /2), (, 0, ) (i = 0,..., 8) und der Knotenfolge 0, 0,,, 2, 2, 3, 3, 4, 4 dargestellt werden. (a) (0 Punkte) Konstruieren Sie die explizite Parameterdarstellung für das Parameterintervall 0 t und für das Parameterintervall t 2 und weisen Sie nach, dass die Kurven einen Bogen des Kreises x 2 + y 2 = (in kartesischen Koordinaten) beschreiben. (b) (5 Bonuspunkte) Sind die Funktionen, die die Kurve beschreiben, an der Stelle t = stetig differenzierbar? Sind sie dort zweimal stetig differenzierbar? Hinweis (5. Juli): Bei wiederholten Knotenwerten wie in diesem Beispiel tritt in den Rekursionsformeln der Ausdruck 0 0 auf. Dieser ist durch 0 zu ersetzen (also einfach wegzulassen). 39. Bézier-Kurven (0 Punkte) Was passiert bei einer kubischen Bézier-Kurve mit Kontrollpolygon P 0 P P 2 P 3, wenn die beiden ersten Kontrollpunkte zusammenfallen? (P 0 = P ) 40. Übersichtsfragen (0 Punkte) Erläutern Sie die gängigen Methoden zur Entfernung verdeckter Flächen in der Computergrafik, und stellen Sie ihre Vor- und Nachteile gegenüber. 4. Verständnisfragen (0 Punkte) Erläutern Sie die verschiedenen Kriterien, nach denen man bei der Rasterung einer Kurve die zu zeichnenden Gitterpunkte auswählen kann. Welche dieser Kriterien kommen beim Bresenham-Algorithmus für Geraden und für Kreise zum Tragen?

15 Computergrafik, SS 202 KLAUSUR Aufgabe Punkte gesamt: 40 Zeit: 90 Minuten. Abgabe: Mittwoch. Juli 202, 7:45 Uhr. Hermite-Splines (0 Punkte) Eine Kamera startet zum Zeitpunkt t = 0 im Ursprung in Richtung der positiven x-achse mit Geschwindigkeit 2. Zum Zeitpunkt t = ist sie im Punkt (5, 5, 0) und hat den Geschwindkeitsvektor (9, 6, 0). (a) Bestimmen Sie die Position zum Zeitpunkt t = 0.5, wenn die Bahn der Kamera einem (kubischen) Hermite-Spline folgt. (b) Berechnen Sie die Richtung, in die die Kamera zu diesem Zeitpunkt gerichtet ist, wenn sie immer in Bahnrichtung schaut. 2. Kamerakoordinaten (0 Punkte) (a) Eine Kamera auf dem Punkt (,, 3) blickt in Richtung des Punktes (5, 4, 6). Bestimmen Sie die Basisvektoren u, v, n des Kamerakoordinatensystems so, dass die v-achse (die Oben-Richtung der Kamera) möglichst senkrecht ist. (Rechtssystem, Einheitsvektoren!) (b) Berechnen Sie die Kamerakoordinaten des Punktes mit Weltkoordinaten (9, 7, 0). 3. Farbmodelle Geben Sie die Koordinaten der Farbe Rot = (, 0, 0) im RGB-Modell (a) im HSV-Modell, (b) im HSL-Modell, (c) im CMY-Modell, (d) und im CMYK-Modell an. Nehmen Sie dabei an, dass Rot dem Farbton (hue) h = 0 entspricht. 4. Radiosity (0 Punkte) Stellen Sie das Gleichungssystem für die globale Beleuchtung im Radiosity- Verfahren auf, und erläutern Sie die Bedeutung der darin vorkommenden Variablen und Koeffizienten. Erläutern Sie insbesondere, was die Formfaktoren bedeuten. (Eine Formel für die Formfaktoren brauchen Sie nicht aufzuschreiben.) Für welche Situationen kann man das Radiosity-Verfahren einsetzen?

16 Computergrafik, SS 202 KLAUSUR Aufgabe Punkte gesamt: 40 Punkte Zeit: 90 Minuten. Abgabe: Donnerstag. Oktober 202, 7:45 Uhr. Splinekurven (0 Punkte) f(t), 0 t sei die kubische Bézierkurve mit Kontrollpunkten P 0 = (0, 0), P = (2, 0), P 2 = (, ), P 3 = (0, ). Berechnen Sie f( ) und f( ) Flächendarstellung (0 Punkte) Für eine Fläche sind folgende Darstellungen möglich. (Als Beispiel ist die Darstellung der Einheitskugel angegeben.) (a) Eine genäherte Darstellung als Dreiecksgitter. (b) Eine parametrische Darstellung; zum Beispiel Kugelkoordinaten : { φ cos θ } cos sin φ cos θ 0 φ 2π, π/2 θ π/2 sin θ (c) Eine implizite Darstellung durch eine Gleichung (zum Beispiel x 2 + y 2 + z 2 = ). Für welche der folgenden Operationen ist welche Darstellung besser oder weniger gut geeignet? (i) Schnitt mit einem Sichtstrahl (ii) Erzeugen einer großen Stichprobe von Punkten auf der Fläche (iii) Feststellen, ob die Fläche von einer Kamera zumindest teilweise gesehen wird (in Abwesenheit von Hindernissen). (iv) Aufbringen einer Textur Erläutern Sie in den Fällen, wo die Darstellung prinzipiell geeignet ist, kurz, wie man dabei vorgehen würde. [ Beispiel für (c.i): Einsetzen der parametrischen Gleichung x = x 0 + t v des Strahles in die Flächengleichung Nichtlineare Gleichung in einer Variablen t numerisch lösen und die kleinste Lösung t 0 ausgeben. ]

17 3. Analytische Geometrie (0 Punkte) (a) Bestimmen Sie die Rotation x m m 2 m 3 x R: y m 2 m 22 m 23 y, 0 0 die die zwei Punkte (mit kartesischen Koordinaten) (0, 0) und (4, 3) auf die Punkte (2, ) und (5, 5) abbildet. (b) Bestimmen Sie den Punkt z mit z = R(z). (c) Geben Sie an, um welchen Winkel die Ebene dabei gedreht wird? (im Uhrzeigersinn bzw. gegen den Uhrzeigersinn?) 4. Beleuchtung (0 Punkte) Beschreiben Sie das Phong sche Beleuchtungsmodell für die spiegelnde Reflexion. Erläutern Sie, welche Parameter und Daten gegeben sind, und was dabei ausgerechnet wird. 2