Abschlussprûfung Berufskolleg

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1 Abschlussprûfung Berufskolleg (Fachhochschulreife) Prüfungsaufgaben aus Baden-Württemberg Analysis Ganzrationale Funktionen Exponentialfunktionen Trigonometrische Funktionen Jahrgänge bis Text Nr. 7 Stand 8. Januar 7 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 7 Fachhochschulreife: Analysis bis Vorwort Dieser Text gehört zu einer Sammlung von Aufgaben, die in Baden-Württemberg für die Abschlussprüfung des Berufskollegs gestellt worden sind. Sie umfasst die Jahre bis 6. Diese Prüfung führt zur Fachhochschulreife. Die Formulierung der Aufgaben wurde teilweise etwas verändert. Die Lösungen stammen nur von mir. Folgende Texte gibt es bzw. sind in Planung 7 Analysis ganzrationale und e-funktionen - 9 noch ohne Lösungen 75 Analysis Trigonometrische Funktionen Analysis (alles) Dieser Text. 75 Analysis (alles) ab 5 7 Vektorgeometrie noch ohne Lösungen 7 Matrizenrechnung: wirtschaftliche Anwendungen 7 Stochastik 75 Wirtschaftsrechnen: Kosten- und Gewinnfunktionen Zum vorliegenden Text: Diese Aufgaben sind zwar nur für die Prüfung zur Fachhochschulreife gedacht, sind aber unbedingt für Klausuren an allen Arten von Gymnasien geeignet, da Grundlagenwissen abgeprüft wird! Ich biete fast immer manuelle Lösungen an, auch wenn es oft gestattet ist, die Ergebnisse mit einem GTR (Graphischen Taschenrechner) zu ermitteln. Das ist immer dann möglich, wenn es heißt Bestimmen Sie.,.. oder Geben Sie an. Dies geschieht, damit die Lösungen für einen möglichst breiten Leserkreis brauchbar sind. Lediglich Gleichungen z. b.. oder. Grades, zu denen es kein exaktes Lösungsverfahren in der Schule gibt, wurden auch hier immer mit einem GTR gelöst. Zum Lösen von Gleichungssystem habe ich auch das Gaußsche Matrizen-Verfahren verwendet. Ab und zu wurde auch der Screenshot eines CAS-Rechners verwendet, Mein GTR ist CASIO fx CG.

3 7 Fachhochschulreife: Analysis bis Inhalt Der Hinweis Funktionenwissen soll bedeuten, dass hier eine Teilaufgabe so gestellt ist, dass man z. B. zu einem gegeben Schaubild Fragen zur zugehörigen nicht bekannten Funktion beantworten soll. das sind beliebte Aufgaben, die man überall einsetzen kann, auch zum Wissenstraining im Unterricht. Jahrgang Inhalt der Aufgabe Aufgabe / Lösung x - fx x x x und gx e 8 8 x Funktionenwissen und fx e mit g x sinx f(x) bestimmen, gx x x und hx cos x ,5x fx x x und gx 5e,7 t Abkühlungsprozess f t 58 e Funktionenwissen,, 7,7 t gt,6e u. a und h 5 5 x sin x 9 gx x x fx x 6x 5,5x,5x f x e e f(x) bestimmen, h x axb e,5x u. a. gx cos x 8 f x sin x fx x x,5 x gx e eund und ht e f(x) bestimmen, fx 5sinx 5, p x x x 7 5 5,t 55 f x,5x e x und Funktionswissen 5 58 p x x u.a fx x x x gx x und fx sinx und x h x e x x h x e 8 6 sowie Funktionswissen 9 68 h x x x und einige Kosinusfunktionen 7

4 7 Fachhochschulreife: Analysis bis Gegeben ist die Funktion Aufgabe f x x x x, x. Ihr Schaubild sei K f Ermitteln Sie die Achsenschnittpunkte und die Extrempunkte von f K. Zeichnen Sie K f. Nennen Sie die Extremstellen einer Stammfunktion von f und begründen Sie Ihre Antwort. (9 VP). Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an K f an der Stelle x = -. Zeigen Sie, dass diese Tangente K f auch an der Stelle x = berührt. (5 VP). In dem Funktionsterm f(x) wird der Koeffizient von x abgeändert. 8 Begründen Sie bei jedem der folgenden Schaubilder, dass es nicht zu dem geänderten Funktionsterm gehören kann, wenn die anderen Koeffizienten gleich bleiben. (6 VP) a) b) x. Gegeben ist die Funktion g mit gx e, x. Das Schaubild der Funktion g, die Gerade mit der Gleichung x = und die Gerade mit der Gleichung y = sowie die y-achse schließen eine Fläche ein. Bestimmen Sie deren Flächeninhalt. ( VP) cx.5 Gegeben ist die Funktion h mit hx a be, x und a, b, c. Das Schaubild von h geht durch den Ursprung und es gilt h() h(). Zeigen Sie, dass a = b und c = ist. x Legen Sie einen Punkt fest, der auf dem Schaubild der Funktion h mit hx a ae liegt und berechnen Sie dann den Wert von a. (6 VP)

5 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 5 Aufgabe. Vervollständigen Sie die folgenden Aussagen: a) Eine Polynomfunktion.Grades hat höchstens Extremstellen, denn ihre Ableitung ist vom Grad. b) Die Funktion f mit f x x e denn ihre Ableitung ist stets. x ist monoton, c) Die Funktion f mit f x cos x hat im Intervall [;] Nullstellen und diese Funktion hat die Periode. d) Das Schaubild der Funktion f mit f x cosx entsteht aus dem Schaubild der Funktion f mit f(x) cos(x) durch Streckung um den Faktor in y-richtung und durch Verschiebung um nach. (8 VP). Gegeben ist das Schaubild einer Funktion. Skizzieren Sie das Schaubild ihrer Ableitungsfunktion in das untenstehende Koordinatensystem. (6 VP) Gegeben sind die Funktionen f mit fx x e und g mit g(x) sin(x) für x. Ihre Schaubilder sind K f und K g. Begründen Sie folgende Aussagen: a) K f und K g berühren sich auf der y-achse. b) K f und K g haben für x < unendlich viele Schnittpunkte. (6 VP). Eine Tangente an K f geht durch den Ursprung. Berechnen Sie die Gleichung dieser Tangente. ( VP)..5 K g und die Gerade mit der Gleichung y x schneiden sich in P K g und die x-achse schließen eine Fläche ein, die von dieser Geraden geteilt wird. Berechnen Sie den Flächeninhalt der kleineren Teilfläche. Geben Sie das Ergebnis als Vielfaches von an. (6 VP)

6 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 6 Aufgabe Die Abbildung zeigt das Schaubild K f einer Polynomfunktion f:. Bestimmen Sie die Gleichung einer Polynomfunktion f, deren Schaubild mit der dargestellten Kurve K f übereinstimmt. (5 VP). Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung: a) f, b) f' c) f'' (5 VP) gx x x mit x R.. Gegeben ist die Funktion g durch 6 8 Das Schaubild von g ist K g. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Schaubildern K f und K g? ( VP). Gegeben ist die Funktion h durch hx cos x mit x 6;6. Das Schaubild von h ist K h. Untersuchen Sie K h auf Symmetrie. Bestimmen Sie die Periode von h. Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von K h mit der x-achse sowie die Koordinaten der Extrempunkte an. (7 VP).5 Die Gerade y = - schließt mit K h eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt mit Hilfe einer Stammfunktion. (5 VP).6 Die Gerade x = u mit u schneidet K g und K h in P und Q. Für welchen Wert von u wird der Abstand der Punkte P und Q maximal? (6 VP)

7 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 7 Die Funktion f ist gegeben durch Aufgabe f x x x mit x. Ihr Schaubild ist K f.. Geben Sie die Koordinaten der Extrempunkte an und zeichnen Sie K f. Berechnen Sie die exakten Grenzen des Intervalls, auf dem K f linksgekrümmt ist. Bestimmen Sie alle Werte von c, für die die Gerade y = c das Schaubild K f in vier Punkten schneidet. K f soll in y-richtung so gestreckt werden, dass die Hochpunkte den y-wert haben. Bestimmen Sie den veränderten Funktionsterm. ( VP),5x Die Funktion g ist gegeben durch gx 5e.. Ihr Schaubild ist K g.. Zeichnen Sie K g. Geben Sie die Gleichung einer Ursprungsgeraden an, die K g in zwei Punkten schneidet, und zeichnen Sie diese Gerade ein. ( VP). Eine Parallele zur Geraden mit der Gleichung y = x berührt K g im Punkt B. Berechnen Sie die exakten Koordinaten von B. Geben Sie die Gleichung dieser Parallelen an. (6 VP). Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die K g mit den Koordinatenachsen einschließt. ( VP) u.5 Bestimmen Sie u >, so dass gilt: g x dx. (5 VP)

8 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 8 Aufgabe In einem C warmen Zimmer steht eine Tasse Kaffee. Während des Abkühlungsvorganges werden folgende Temperaturen gemessen: Zeit t in Minuten O Temperatur T in C Übertragen Sie die Daten in ein geeignetes Koordinatensystem. Zu einem Zeitpunkt wurde der Temperaturwert falsch gemessen. Begründen Sie, um welchen Wert es sich handelt. ( VP). Berechnen Sie für die ersten fünf Minuten und die letzten fünf Minuten des Messvorgangs die durchschnittliche Abkühlung des Kaffees in C pro Minute. ( VP) Die Funktion f ist gegeben mit für t,,7 t f t 58 e wobei f(t) die Temperatur in C und t die Zeit in Minuten angibt.. Zeigen Sie, dass durch die Funktion f der Abkühlungsvorgang des Kaffees näherungsweise beschrieben wird. ( VP). Berechnen Sie, nach welcher Zeit der Kaffee die Temperatur von 58 C erreicht hat. ( VP).5 Zeigen Sie, dass die Funktion g mit,7 t für t gt,6e die momentane Änderungsrate der Temperatur des Kaffees beschreibt. Bestimmen Sie 5 Abkühlungsvorgang. gtdt und interpretieren Sie das Ergebnis im Hinblick auf den (6 VP) Das Schaubild einer Funktion geht durch den Punkt P und hat die Tiefpunkte T und T,.6 Bestimmen Sie den Term einer ganzrationalen Funktion, deren Schaubild die obigen Eigenschaften hat. (6 VP).7 Bestimmen Sie den Term einer trigonometrischen Funktion, deren Schaubild neben den obigen Eigenschaften in Punkt P einen Hochpunkt hat. ( VP)

9 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 9 Aufgabe Das nachfolgende Schaubild K f' gehört zur Ableitungsfunktion f' der Funktion f. K f ist das Schaubild der Funktion f.. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung. a) Die Steigung von K f an der Stelle x = ist negativ. b) K f besitzt zwei Wendepunkte. c) An der Stelle x = hat K f einen Hochpunkt. (6 VP) Gegeben ist die Funktion g mit 6, x. Ihr Schaubild ist K g. 5 5 g x x x. Untersuchen Sie K g auf Symmetrie. Geben Sie die Extrem- und Wendepunkte von K g an. Zeichnen Sie K g in ein geeignetes Koordinatensystem. (7 VP). Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen von K g im Ursprung. Die Gerade mit der Gleichung x = u mit < u < schneidet die Normale im Punkt Q und das Schaubild K g im Punkt P. Zusammen mit dem Ursprung bilden diese Punkte das Dreieck OPQ. Berechnen Sie u so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird. Geben Sie den maximalen Flächeninhalt an. (8 VP). Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung y x. K h ist das Schaubild der Funktion h mit hx sin x und x. K h und die Gerade schließen zwei Flächen ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt einer der beiden Flächen und geben Sie die dafür notwendige Stammfunktion an. (5 VP).5 Ein Schaubild hat die Gleichung y asinbx mit x. a) Wie muss b gewählt werden, dass die Periodenlänge p ist? b) Geben Sie einen Wert für a an, so dass das Schaubild Schnittpunkte mit der x-achse hat. ( VP)

10 7 Fachhochschulreife: Analysis bis Gegeben ist die Funktion f mit Aufgabe f x x 6x 5 mit x.. Geben Sie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte von K f an. Berechnen Sie die exakten Koordinaten der Extrempunkte von K f. Zeichnen Sie K f in ein geeignetes Koordinatensystem. (7 VP). Stellen Sie die Gleichungen der Wendetangenten an K f auf. K f und seine Wendetangenten schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.. Die Punkte O, A u, B u f u mit u bilden ein Dreieck. Berechnen Sie u so, dass der Inhalt des Dreiecks maximal wird und geben Sie den maximalen Flächeninhalt an. (6 VP) ( VP). Von einer ganzrationalen Funktion g mit dem Schaubild K g sind die folgenden Werte bekannt: x gx,5,5 g' x 6 g" x 6 Entscheiden Sie für jede der folgenden Aussagen, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Antwort mit den Angaben aus der Tabelle. a) Das Schaubild von g geht durch den Punkt P,5. b) g hat in x = - eine doppelte Nullstelle. c) K g hat eine Normale mit der Steigung,5. d) K h hat im Schnittpunkt mit der y-achse einen Hochpunkt. (6 VP) (Fortsetzung nächste Seite)

11 7 Fachhochschulreife: Analysis bis Das Schaubild K h einer Funktion h mit entspricht einem der folgenden Schaubilder. hx axb e,5x mit x und a,b.5 Begründen Sie, warum nur Abb. das Schaubild K h sein kann. Von den anderen drei Abbildungen zeigt eine das Schaubild der Ableitungsfunktion h' und eine andere das Schaubild einer Stammfunktion H von h. Ordnen Sie diese zu und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. (7 VP)

12 7 Fachhochschulreife: Analysis bis Aufgabe Gegeben ist die Funktion f durch Das Schaubild von f ist K f. f x e e,5x,5x, x. Bestimmen Sie die Schnittpunkte von K f mit der x-achse und den Hochpunkt. Zeichnen Sie K f. Weisen Sie nach, dass K f symmetrisch zur y-achse ist. Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von K f. ( VP). Das Schaubild K f soll oberhalb der x-achse durch das Schaubild einer ganzrationalen Funktion angenähert werden. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm an. ( VP) Gegeben ist die Funktion g durch gx cos x, x. Das Schaubild von g ist K g.. Zeichnen Sie K g in das Koordinatensystem von Aufgabenteil.. Beschreiben Sie, wie das Schaubild K g aus dem Schaubild der Funktion g* mit g* x cos x hervorgeht. (5 VP). Berechnen Sie zwei exakte Stellen, an denen die Funktion g den Funktionswert,5 hat. ( VP).5 Die Differenzfunktion d wird durch d(x) f(x) -g(x) definiert. Begründen Sie, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind: a) Das Schaubild von d ist symmetrisch zur y-achse. b) d(x) > für x c) dxdx d) Der maximale Wert von d ist,5. e) Das Schaubild von d hat unendlich viele gemeinsame Punkte mit K f. ( VP)

13 7 Fachhochschulreife: Analysis bis Aufgabe. Gegeben ist das Schaubild K g einer Funktion g mit gx a sinkx, a,k, x Ermitteln Sie aus der Zeichnung die Amplitude, die Periode und berechnen Sie den Faktor k. Das Schaubild K g soll so verschoben werden, dass es symmetrisch zur y-achse ist und dass die Tiefpunkte auf der x-achse liegen. Geben Sie für den verschobenen Graphen einen möglichen Funktionsterm an. (6 VP) Gegeben ist die Funktion f mit fx sin x für x 5, x.. Zeichnen Sie das Schaubild K f von f und geben Sie die Nullstellen an. W Wendepunkte von K f sind. Überprüfen Sie, ob die Punkte W und (6 VP). Berechnen Sie die exakte Steigung von K f an der Stelle x und geben Sie die Gleichung der Tangente an dieser Stelle an. Zeigen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung y x Tangente an K f an der Stelle x ist. Diese Tangenten schließen mit dem Schaubild K f eine Fläche ein. Berechnen Sie den exakten Inhalt dieser Fläche. ( V) Gegeben ist die Parabel p mit der Gleichung, x. p x x x 7. Zeigen Sie, dass der Scheitel der Parabel p ein Punkt des Schaubildes K f ist. Bestimmen Sie alle weiteren gemeinsamen Punkte von p und K f..5 Bestimmen Sie die Stelle x ;, an welcher die Differenz der Funktionswerte der Funktionen f und p maximal ist. Berechnen Sie die maximale Differenz. ( VP) (5 VP)

14 7 Fachhochschulreife: Analysis bis Gegeben ist die Funktion f mit Das Schaubild von f heißt K f. Aufgabe mit x. f x x x. Weisen Sie mithilfe der Ableitungen nach, dass H Hochpunkt und T Tiefpunkt von K f ist. Zeichnen Sie K f. (9 VP). Für welche Werte von x ist K f rechtsgekrümmt? ( VP). Der Funktionsterm von f kann auch in der Form fx axbx c geschrieben werden. Bestimmen Sie a, b und c. ( VP). Geben Sie jeweils einen möglichen neuen Funktionsterm an: a) K f wird so verschoben, dass es drei Schnittpunkte mit der x-achse hat. b) K f wird so verschoben, dass es die x-achse im Ursprung berührt. ( VP).5 Bestimmen Sie den Term einer Stammfunktion von f so, dass deren Schaubild durch den Tiefpunkt von K f verläuft. ( VP) Der Bestand an fester Holzmasse h(t) zum Zeitpunkt t in einem Wald wird durch die Funktion 5,t, t ht e beschrieben. Dabei wird die Zeit t in Jahren und der Bestand h(t) in m³ gemessen. (t = steht für das Jahr.).6 Mit welchem Bestand wird im Jahr gerechnet? Nach welcher Zeit wird der Bestand erstmals über 5 m³ liegen? ( VP).7 Um wie viel Prozent nimmt der Holzbestand im Verlauf des ersten Jahres zu? ( VP).8 Nach wie vielen Jahren wird die momentane Änderungsrate 5 m³ / Jahr betragen? ( VP)

15 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 5 Aufgabe Gegeben ist die Funktionen g und f mit Ihre Schaubilder sind K g und K f.,5 x und g x e e f x,5x e x mit x.. Bestimmen Sie die exakten Koordinaten der Achsenschnittpunkte von K g. Ergänzen Sie die Skalierung im Koordinatensystem auf dem beigefügten Arbeitsblatt. ( VP). Zeichnen Sie die Asymptoten beider Kurven auf dem Arbeitsblatt ein und geben Sie die Gleichungen der Asymptoten an. (6 VP). Geben Sie die exakte Gleichung der Tangente t g an K g im Punkt P g. Veranschaulichen Sie auf dem Arbeitsblatt, dass es eine Tangente t f an K f gibt, die parallel zu t g verläuft. (5 VP). Begründen Sie mithilfe der Ableitungen, dass K f keine Wendepunkte besitzt. ( VP).5 Berechnen Sie den Inhalt der von K f und K g eingeschlossenen Fläche A. A ist der Flächenteil von A, der im ersten Quadranten liegt. Geben Sie ein geeignetes Vorgehen zur Bestimmung des Flächeninhaltes von A an. (5 VP).6 Zu jedem der abgebildeten Schaubilder A, B und C gehört eine der Funktionen f, g und h mit: fx sinax b gx csinx,5 hx cosdx Ordnen Sie jeder Funktion eines der Schaubilder zu und begründen Sie Ihre Entscheidung. Bestimmen Sie a, b, c und d. (7 VP) Fortsetzung nächste Seite.

16 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 6 Arbeitsblatt: Im folgenden Koordinatensystem sehen Sie K f und K g. Zu. Asymptote von K f : Asymptote von K g : für x für x

17 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 7 Aufgabe. Das Schaubild einer Funktion ist symmetrisch zur y-achse und verläuft durch den Punkt S und hat in T einen Tiefpunkt. Geben Sie jeweils die Gleichung einer Polynomfunktion.Grades und einer trigonometrischen Funktion an, deren Schaubild die genannten Bedingungen erfüllt. (7 VP) Gegeben ist die Funktion f mit fx 5sinx 5 mit x. Das Schaubild von f ist K f.. Bestimmen Sie die ersten drei Ableitungen von f. Geben Sie die Periodenlänge des Schaubilds K f als Vielfaches von an. Geben Sie die exakten Koordinaten von vier Wendepunkten an. (6 VP). Das Schaubild K p der Funktion p mit p x x schließt mit dem Schaubild K f eine Fläche ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt mithilfe einer Stammfunktion. (6 VP). Der Ursprung und der Punkt Pu pu mit u,6 sind Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks. Für welchen Wert von u ist der Flächeninhalt des Rechtecks maximal? Geben Sie den maximalen Flächeninhalt an. (5 VP).5 Begründen Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind: a) Es gilt f x dx b) Die Funktionen g mit gx 5sinx mx besitzt für jedes m die gleichen Wendestellen wie die Funktion f. c) Für, x,5 ist die Tangentensteigung von K f bei x,5 am größten. (6 VP)

18 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 8 Aufgabe. Das Schaubild einer Funktion.Grades berührt die x-achse bei x = - und verläuft durch den 6 Ursprung. Weiterhin liegt der Punkt A auf dem Schaubild der Funktion. Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion. (6 VP) Gegeben ist die Funktion f mit mit x. Ihr Schaubild ist K f. f x x x x. Bestimmen Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von K f mit der x-achse sowie der Extrem- und Wendepunkte von K f. Zeichnen Sie K f in ein geeignetes Koordinatensystem. (7 VP). K f schließt mit der x-achse eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Flächeninhalt. Berechnen Sie mithilfe einer Stammfunktion, für welchen Wert von u mit u > - gilt: u f x dx (6 VP) Gegeben sind die Funktionen g mit 7 x und gx Das Schaubild von g ist K g, das Schaubild von h ist K h. x h x e, x.. K h soll in y-richtung so verschoben werden, dass K g den verschobenen Graphen auf der y-achse schneidet. Bestimmen Sie den neuen Funktionsterm. ( VP).5 Die Kurve K g und die Gerade mit der Gleichung y = -8 begrenzen eine Fläche. In diese Fläche soll ein zur y-achse symmetrisches Dreieck mit den Eckpunkten S 8 und Pu gu mit u einbeschrieben werden. Skizzieren Sie diesen Sachverhalt für u =. Berechnen Sie den Inhalt des Dreiecks mit dem größten möglichen Flächeninhalt. (7 VP)

19 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 9 Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit fx sinx mit x ;. Ihr Schaubild ist K f.. Zeichnen Sie K f. Bestimmen Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von K f mit den Koordinatenachsen. (5 VP). Der Punkt W ist ein Wendepunkt von K f. Zeigen Sie, dass die Gerade y x Tangente an K f im Punkt W ist. Die Tangente, die y-achse und K f schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie den exakten Inhalt dieser Fläche. (8 VP). Die Abbildung zeigt das Schaubild K g einer Funktion g... Begründen Sie jeweils, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. a) Die Ableitungsfunktion von g hat im Intervall [;] eine Nullstelle. b) Das Schaubild einer Stammfunktion von g hat im Intervall [;] einen Hochpunkt. ( VP).. Ermitteln Sie mit Hilfe der Abbildung die Gleichung der Tangente an K g an der Stelle x = -,5. ( VP) Gegeben ist die Funktion h mit x h x e x,. x. Ihr Schaubild ist K h.. Geben Sie die Koordinaten des Hochpunktes von K h an. Untersuchen Sie rechnerisch das Krümmungsverhalten von K h. Anton behauptet: " K h besitzt keine Schnittpunkte mit der x-achse." Nehmen Sie Stellung zu dieser Behauptung. (6 VP).5 Die Gerade mit der Gleichung x = u schneidet für < u < das Schaubild K f im Punkt P und das Schaubild K h im Punkt Q. Für welchen Wert von u ist der Abstand der Punkte P und Q maximal? ( VP)

20 7 Fachhochschulreife: Analysis bis Aufgabe Die Abbildungen zeigen die Schaubilder K g und K h der Funktionen g und h.. Begründen Sie mit Hilfe von vier Eigenschaften, dass K h das Schaubild der Ableitungsfunktion von g ist. ( VP) Zum Schaubild K h gehört der Funktionsterm h x x x, x.. Berechnen Sie alle Stammfunktionen der Funktion h. Welche dieser Stammfunktionen gehört zu K g?. Vom Punkt P,5 aus wird eine Tangente an K h gelegt. Berechnen Sie die Gleichung dieser Tangente. ( VP) (6 VP) Gegeben sind die Funktionen u und v mit, vx cosx für x ; u x cos x Ihre Schaubilder heißen K u und K v.. Geben Sie den Wertebereich sowie die exakte Periodenlänge der Funktion u an. Zeigen Sie, dass die Wendepunkte von K u auf der Geraden y = liegen..5 Zeichnen Sie die Schaubilder K u und K v in ein gemeinsames Koordinatensystem. Beschreiben Sie, wie das Schaubild K v aus dem Schaubild K u hervorgeht..6 Lena bereitet sich auf die anstehende Mathematikprüfung vor. In Ihrem Heft findet sie folgenden Aufschrieb: ux =vx cos x + = -cos x + cos x = - cos x = -,5 x= A= cos x +)-(-cos x + dx= + Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung. (5 VP) (7 VP) (5 VP)

21 7 Fachhochschulreife: Analysis bis

22 7 Fachhochschulreife: Analysis bis Gegeben ist die Funktion Hauptprüfung Aufgabe f x x x x, x. Ihr Schaubild sei K f Ermitteln Sie die Achsenschnittpunkte und die Extrempunkte von K f. Manuelle Lösung Nullstellen: fx x x x x x 6x x x x6 Ein Nullprodukt ist Null, wenn ein Faktor Null ist:. Faktor: x =,. Faktor: x x6 6 6 x, Schnittpunkte mit der x-achse: N, N6, N Schnittpunkt mit der y-achse: N Ableitungen: f' x x x x, Extrempunkte: Notwendige Bedingung. f' x f" x x x x x x 8 8 x x 6x x x x6 9,7. Faktor: x E =. Faktor: xe, 7 y-koordinaten: ye ye f.7 6, y f,7,7 Hinreichende Bedingung (Kontrolle): E f" Maximum f ",7,7,7 Minimum 8 f ",7,7,7 Minimum 8 Ergebnis: Hochpunkt H, Tiefpunkte: T,7 6,, T,7,7 ACHTUNG: Wenn die Verwendung eines Graphikrechners (GTR) gestattet ist, dann sollte man ihn hier verwenden. Daher ist die Aufgabe auch schon so gestellt, dass es heißt ermittle die Extrempunkte und nicht berechne sie. Lösung mit dem Grafikrechner CASIO fx CD /: z. B. N usw. T,7,7 T,7 6, usw.

23 7 Fachhochschulreife: Analysis bis Zeichnung: K f Nennen Sie die Extremstellen einer Stammfunktion von f und begründen Sie Ihre Antwort. Es sei F eine Stammfunktion von f. Dann gilt: F' x fx Für eine Extremstelle von F gilt: F' x, also fx. Extremstellen von F sind also Nullstellen von f. Aber nicht jede Nullstelle von f ist eine Extremstelle von F, denn es muss ein Vorzeichenwechsel vorliegen: Es ist f und wegen f' 8 liegt Vorzeichenwechsel vor. 8 8 Es ist f. Da aber bei Es ist f6 und wegen H ein Hochpunkt von K f vorliegt, gibt es keinen Vorzeichenwechsel. f ' 6... liegt Vorzeichenwechsel vor. Ergebnis: Die Extremstellen der Stammfunktionen liegen bei und 6,. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an K f an der Stelle x = -. Berührpunkt: f B Steigung: f' Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Form erstellen: x yy f' x xx y y x B B B Zeigen Sie, dass diese Tangente K f auch an der Stelle x = berührt. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies zu zeigen:. Möglichkeit: Man stellt die Tangente für x = auf. 8 8 f C 6 f' Tangentengleichung in C: y6 x y x 6 y x Und das ist auch die Gleichung der Tangente in B.. Möglichkeit: Man prüft nach, ob C 6 auf der Tangente in B liegt: 6 ist eine wahre Aussage. f' liefert die gleiche Tangentensteigung. 8 8 Also berührt diese Tangente auch in C.

24 7 Fachhochschulreife: Analysis bis. Möglichkeit: Die Schnittgleichung von Tangente y = - x und Kurve liefert die Lösungen - und doppelt: x x x x 8 8 Leider ist diese Gleichung nur mit großem Aufwand lösbar. Der Trick besteht jedoch darin, dass man ja zwei doppelte Lösungen kennt. Also sollte man wissen, dass man die Gleichung x x x x 8 8 Und dies ist schnell gezeigt: Die linke Seite ergibt: auch so darstellen kann: k x x 8 k (x x 6 x 6x x) Quadrate doppelte Pr odukte k x x x x 6 Und für k ist alles klar. k x x. In dem Funktionsterm f(x) wird der Koeffizient von x abgeändert. 8 Begründen Sie bei jedem der folgenden Schaubilder, dass es nicht zu dem geänderten Funktionsterm gehören kann, wenn die anderen Koeffizienten gleich bleiben. a) b) Es ist nun also: f x x bx x 8 a) Dass a) nicht zu f gehören kann, erkennt man, wenn man das Verhalten von f für x bestimmt. Dieses wird bekanntlich nur vom Summanden mit dem höchsten Koeffizienten bestimmt. Und x für x, was der Abbildung widerspricht. b) Da laut Gleichung f ist, passt dieses Schaubild nicht zu f. Denn dort ist f.

25 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 5 Teilaufgabe mit der Exponentialfunktion: x. Gegeben ist die Funktion g mit gx e, x. Das Schaubild der Funktion g, die Gerade mit der Gleichung x = und die Gerade mit der Gleichung y = sowie die y-achse schließen eine Fläche ein. Bestimmen Sie deren Flächeninhalt. x x A gxdx e dx e dx x e x 6 6 e e e e,96 FE cx.5 Gegeben ist die Funktion h mit hx a be, x und a, b, c. Das Schaubild von h geht durch den Ursprung und es gilt h' h". Zeigen Sie, dass a = b und c = ist. cx cx Ableitungen: h' x bc e h'' x bc e h abe a b () denn e = h' bc () h" bc () Aus h ergibt sich a b a b Aus h' h" ergibt sich bc bc : (-bc) c x Legen Sie einen Punkt fest, der auf dem Schaubild der Funktion h mit hx a ae liegt und berechnen Sie dann den Wert von a. Der beliebige Punkt sei z. B. Q. Die Punktprobe liefert aae a e a e Oder man nimmt einen ganz beliebigen Kurvenpunkt Qu v. Dann liefert die Punktprobe: u u v aae v a e a e u v

26 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 6 Hauptprüfung Aufgabe. Vervollständigen Sie die folgenden Aussagen: a) Eine Polynomfunktion.Grades hat höchstens Extremstellen, denn ihre Ableitung ist vom Grad. b) Die Funktion f mit f x x e denn ihre Ableitung ist stets positiv. denn x c) Die Funktion f mit x ist monoton steigend, f'x e f x cos x hat im Intervall [;] 6 Nullstellen und diese Funktion hat die Periode. denn die Kurve y cos x in x-richtung mit dem Faktor entsteht aus y cos x durch Streckung k. Daher wurde aus der ursprünglichen Periode p die neue Periode kp f x cosx entsteht aus dem Schaubild der Funktion f mit f(x) cos(x) durch Streckung um den Faktor in y-richtung d) Das Schaubild der Funktion f mit und durch Verschiebung um nach links.. Gegeben ist das Schaubild einer Funktion. Skizzieren Sie das Schaubild ihrer Ableitungsfunktion in das untenstehende Koordinatensystem. Die roten Pfeile erklären: Bei H oder T hat f' eine Nullstelle, bei W liegt die größte bzw. kleinste Steigung vor usw.

27 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 7 Gegeben sind die Funktionen f mit fx Ihre Schaubilder sind K f und K g x e und g mit g(x) sin(x) + für x.. Begründen Sie folgende Aussagen: a) K f und K g berühren sich auf der y-achse. b) K f und K g haben für x < unendlich viele Schnittpunkte. x a) Ableitungen: f' x e, g' x cosx Auf der y-achse gilt x =. f e und g sin f' e und g' cos Wegen f g und f ' g' berühren sich die Kurven auf der y-achse. x b) Die Kurve K f : y e P. Für x nähert sich diese Kurve asymptotisch der negativen x-achse. Sie verläuft also für x < im Horizontalstreifen schneidet die y-achse im Punkt y Die Kurve K g : y = sin(x) + ist die um nach oben verschobene Sinuskurve. Sie verläuft periodisch im Horizontalstreifen y und hat im Abstand von Nullstellen. Also schneiden sich K g und K f unendlich oft. Diese Schnittpunkte liegen allerdings so dicht an (über) der x-achse, dass man sie schon bei x = 8 nicht mehr erkennen kann.. Eine Tangente an K f geht durch den Ursprung. Berechnen Sie die Gleichung dieser Tangente. Die Grundaufgabe Lege von einem Punkt die Tangente an eine Kurve löst man mit dieser Methode: Es sei Bu fu ein beliebiger Kurvenpunkt (der spätere Berührpunkt). Die Tangente in B hat diese Gleichung: yfu f' ux u. Diese Tangente soll durch den Ursprung gehen, d.h. es gilt die Bedingung: fu f'u u fu uf'u u u u u u Ersetzt man f, dann heißt das: u Da e folgt u und daher f(u) e. Berührpunkt: B e. Tangente: ye ex y ex e ue e ue e u

28 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 8..5 K g und die Gerade mit der Gleichung y x schneiden sich in P K g und die x-achse schließen eine Fläche ein, die von dieser Geraden geteilt wird. Berechnen Sie den Flächeninhalt der kleineren Teilfläche. Geben Sie das Ergebnis als Vielfaches von an. K g : y sin(x). Methode: Man berechnet die beiden Teilflächen A und A und addiert ihre Inhalte: A sinx dx cosx x cos cos / / / / A sinx x dx cosxx x cos cos() Gesuchte Fläche: A A A FE. Methode: Man berechnet zuerst die große Fläche zwischen K f, der x-achse und der Geraden x. Davon subtrahiert man den Inhalt des Dreiecks mit dem Inhalt A : / / Agr sinx dx cosx x cos cos / / Dreiecksinhalt: A Gesuchte Fläche: A A A. gr

29 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 9 Hauptprüfung Aufgabe. Das Schaubild hat die typische Form einer Polynomfunktion. Grades. Erkennbar sind folgende Eigenschaften:. T ist Tiefpunkt (also mit waagrechter Tangente). H ist Hochpunkt (also auch mit waagrechter Tangente). N ist Nullstelle. Damit kann man die Funktionsgleichung auf zwei verschiedene Arten erstellen.. Möglichkeit: Ansatz: f x ax bx cx d Ableitung: f' x ax bx c. Bedingung: f d. h. d (). Bedingung: f d. h. 6a 6b c d (). Bedingung: f d. h. 8a b c d (). Bedingung: f' d. h. c () 5. Bedingung: f' d. h. 8a 8bc (5) Hierin steckt ein kleines Problem: Für vier unbekannte Koeffizienten werden nur vier Gleichungen benötigt. Die fünfte, also zusätzliche Gleichung muss aber auch erfüllt sein. Berechnung der Koeffizienten: Berücksichtigt man c = und d = -, dann folgt: Aus (): 6a 6b ( ) Aus (): 8a b ( ) Aus (5): 8a 8b (5 ) Elimination von b: ' : a 6b 8 (*) ( ) - (*): 96a b6 96a 6 a 8 b b b b In ( ): Die Probe in (5 ) stimmt (ganz wichtig!). f x x x Ergebnis: Möglichkeit: Wenn man wie hier die Nullstellen kennt, kommt man mit dem Produktansatz schneller zum Ziel: fx axx Denn - ist eine Nullstelle und sogar eine doppelte (Berührpunkt der x-achse!). Den Streckfaktor a erhält man durch die Punktprobe mit dem Tiefpunkt T : Aus f und f a6 a folgt a und daher: f x x x 6 6

30 7 Fachhochschulreife: Analysis bis. Es geht um folgende Eigenschaften: Zuerst mit anschaulichen Begründungen: a) f : f ist die y-koordinate des Kurvenpunkts bei x = -. Weil K f bei die x-achse schneidet ist aber f : falsch. b) f' Damit wird die Steigung der Tangente im genanntem Schnittpunkt berechnet. Und weil diese fällt, ist die Aussage wahr. c) f'' Die zweite Ableitung gibt an, ob sich eine Kurve nach links oder nach rechts krümmt. [ f'' x gilt zum Beispiel in einem Hochpunkt. So kann man sich merken, dass negatives Vorzeichen Rechtskurve bedeutet). Es muss jedoch gelten: f'' : falsch. Man kann auch eine rechnerische Begründung liefern. f x x x 6 8. Dazu benötigt man die in. erstellte Funktionsgleichung: Wer die Lösung Dann folgen zwei Ableitungen: f x x x gefunden hat, muss sie zuerst so umformen: f x x x 8x 6 f x x 8x 6x x 6x f x x 6x x x 6 f' x x x f' x x x bzw. bzw. f'' x x f'' x 6x Die Variante mit dem ausgeklammerten konstanten Faktor ist am einfachsten und reicht. Jetzt erst folgt die Überprüfung der Aussagen: a) f... (einfach ausrechnen) falsch! b) f' 6 wahr. c) f '' falsch! f x x x. Für diese Lösung muss man den Funktionsterm wie in. gezeigt nach umrechnen. Dann kann man mit Man muss erkennen, dass gx fx gx x x vergleichen. ist. 6 8 Also entsteht das Schaubild K g aus K f durch Spiegelung an der x-achse. 6 8

31 7 Fachhochschulreife: Analysis bis. Es geht jetzt um hx cos x mit x 6;6 a) y cosx. ist zur y-achse symmetrisch. Der Faktor besagt, dass das Schaubild um k in x-richtung gestreckt worden ist. Dies ändert an der Symmetrie nichts. Der Faktor besagt, dass das Schaubild um k in y-richtung gestreckt worden ist. Dies ändert an der Symmetrie auch nichts. Folglich ist K h auch symmetrisch zur y-achse. b) Durch die Streckung in x-richtung hat K h die Periode x 8. c) Die Schnittpunkte mit der x-achse kann man entweder über die Streckung ermitteln oder durch Rechnung: () Die Kurve y cosx schneidet die x-achse bei,,... Durch die Streckung in x-richtung liegen bei K h diese Stellen jetzt bei bzw. 6. () Die Gleichung hx cos x cos x löst man über die Substitution u x: cos u mit den Lösungen u,, u,,... Rücksubstitution mit x u ergibt: x bzw. x 6, Ergebnis: N, N, N 6, N 6,, d) Die Extrempunkte liegen bei einer Kosinuskurve immer zwischen diesen Schnittpunkten mit der x-achse: Für die y-achse beachte man den Streckfaktor k = für die y-richtung. Das Schaubild war nicht verlangt: H, T und T

32 7 Fachhochschulreife: Analysis bis.5 Flächenberechnung: A cos x dx A 8 sin x x 8 A [ sin 8] 6 Ich habe hier die Fläche von x = bis x = berechnet. Wegen der Symmetrie von K h ist das genau die halbe Fläche, daher der Faktor vor dem Integral..6 Die Gerade x = u mit u schneidet K g und K h in P und Q. Für welchen Wert von u wird der Abstand der Punkte P und Q maximal? 6 8 Pu gu u u u Qu hu u cos u Wir entnehmen der Anschauung, dass yp yq ist: PQ L u y y u u cos u P Q 6 8 Definitionsbereich dieser Zielfunktion ist ;. Für die rechnerische Lösung müsste man L (u) = lösen. Diese Gleichung ist manuell nicht lösbar. Daher wird hier die Lösung mit dem GTR erlaubt: Der GTR liefert ein Maximum für u = -,7 mit dem maximalen Längenwert L(-,7) =,86. Aber Vorsicht: Man muss noch die Randwerte betrachten: Am linken Rand ist L( ). Aber am rechten Rand passiert folgendes: 6 8 L cos,7 Das Maximum bei -,7 ist also nur ein lokales (relatives) Maximum. Das absolute Maximum liegt am rechten Rand des Definitionsbereichs: L,7.

33 7 Fachhochschulreife: Analysis bis Die Funktion f ist gegeben durch Hauptprüfung Aufgabe f x x x mit x. Ihr Schaubild ist K f.. Geben Sie die Koordinaten der Extrempunkte an und zeichnen Sie K f. Günstig ist es, sofort zu erkennen, dass K f symmetrisch zur y-achse ist. Denn da f nur gerade Exponenten hat, gilt fx fx für alle x. a) Manuelle Berechnung der Extrempunkte. Ableitungen: f' x x x, f" x x Notwendige Bedingung für Extrempunkte: f' x x x x x Ein Nullprodukt ist Null, wenn ein Faktor Null ist:. Faktor: x E =,. Faktor: x x x y-koordinaten: E y f E, ye, f denn und bzw. Kontrolle (Hinreichende Bedingung): f '' Minimum Ergebnis: T, H, f " Maximum, Ermittlung der Extrempunkte mit einem GTR: Diese Methode ist zulässig, weil es in der Aufgabe nicht heißt Berechne die Extrempunkte. Schaubild:

34 7 Fachhochschulreife: Analysis bis Berechnen Sie die exakten Grenzen des Intervalls, auf dem K f linksgekrümmt ist. Da sich die Krümmung nur an den Wendepunkten ändert, sind diese jetzt zu bestimmen. Manuelle Berechnung der Wendestellen. Ableitungen: f' x x x, f" x x und f ''' x Notwendige Bedingung: 6x f'' x x x x W Hinreichende Bedingung: f''' 6. Das bedeutet, dass an der Stelle x f'' steigt, also das Vorzeichen von - nach + ändert. f''' 6 Das bedeutet, dass an der Stelle x f'' fällt, also das Vorzeichen von + nach ändert. Linkskrümmung liegt genau dann vor, wenn f' zunimmt, also wenn zwischen und der Fall. f'' x ist, und das ist Eine andere Methode besteht darin, das Vorzeichen von f'' x x durch die Parabelmethode zu bestimmen: Das Schaubild von f" ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen und. Daher hat f'' zwischen ihren Nullstellen positive Werte. Ergebnis: Die Kurve K f ist im Intervall, linksgekrümmt. Hinweis: Die y-koordinaten der Wendepunkte werden nicht benötigt. Bestimmen Sie alle Werte von c, für die die Gerade y = c das Schaubild K f in vier Punkten schneidet. Dier Gerade und K f schneiden sich genau dann viermal, wenn die Gerade auf der Höhe zwischen den Hochpunkten und dem Tiefpunkt liegt. Also muss gelten: yt c yh, d.h. c. K f soll in y-richtung so gestreckt werden, dass die Hochpunkte den y-wert haben. Bestimmen Sie den veränderten Funktionsterm. Gestreckte Funktion: f* x kfx k x x Ableitung: f*' x k f' x. Daraus erkennt man, dass f* dieselben Nullstellen hat wie f. Das bedeutet, dass die gesteckte Funktion ihre Hochpunkte an denselben Stellen hat wie f, also auch bei. y-koordinaten: f* kf k k Daraus erkennt man, dass k = sein muss. Ergebnis: f* x x x x x

35 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 5 Teilaufgabe mit der Exponentialfunktion:,5x Die Funktion g ist gegeben durch gx 5e.. Ihr Schaubild ist K g.. Zeichnen Sie K g. Geben Sie die Gleichung einer Ursprungsgeraden an, die K g in zwei Punkten schneidet, und zeichnen Sie diese Gerade ein. Man muss einen Punkt P im. Feld so wählen, dass er zwischen der Kurve und der x-achse liegt, etwa P5. Die Steigung der Geraden ist y dann m. x 5 Gleichung der Ursprungsgeraden: y x 5. Eine Parallele zur Geraden mit der Gleichung y = x berührt K g im Punkt B. Berechnen Sie die exakten Koordinaten von B. Geben Sie die Gleichung dieser Parallelen an. Da die Gerade y = x die Steigung hat, gilt dies auch für die dazu parallele Tangente. Also muss gelten: g' x Ableitung: g' x 5e,5,5 e,5 x,5 e,5x,5x Also lautet die Bedingung:,5x e, (*),5 5,5 x ln, ln, xb ln,,5 Durch Anwenden der Logarithmengesetze folgt: xb ln, ln, ln ln ln ln 6,5,,6 6,5 x y-koordinate: y 5 e B 5, B,5 x Hinweis. Den Wert von e B muss man nicht neu berechnen, denn man kann ihn der Gleichung (*) entnehmen, die ja zu x B führt. Ergebnis: Bln6,5 oder großzügig auch B ln, Gleichung der Tangente: y xln6,5 y xln6, 5. Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die K g mit den Koordinatenachsen einschließt. ln6,5),5x ln6,5,5x e,5x A 5e dx x5 xe,5,5 x B ln6,5 A ln 6,5 e e ln 6,5,,5 Hinweise: Die Fläche liegt unterhalb der x-achse, daher das Minuszeichen.,5xB e, siehe (*)

36 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 6 u.5 Bestimmen Sie u >, so dass gilt: gxdx u,5x u,5x e,5x u,5u,5 5e dx x5 xe ue Bedingung:,5u u e Diese Gleichung ist nicht exakt lösbar, man würde für die manuelle Lösung ein Näherungsverfahren benötigen. Da dies nicht erwähnt ist und die Aufgaben für GTR gestellt sind, wird man die Gleichung damit wie folgt lösen:,5x Man zeichnet den Graphen der Funktion h(x) x e und lässt die rechte Nullstelle (ROOT) bestimmen: Ergebnis: u,6 Hinweis: Das gegebene Integral wird, weil die beiden Flächen zwischen K g und der x-achse gleich groß sind und auf verschiedenen Seiten der x-achse liegen.

37 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 7 Hauptprüfung Aufgabe Teil : Exponentialfunktion In einem C warmen Zimmer steht eine Tasse Kaffee. Während des Abkühlungsvorganges werden folgende Temperaturen gemessen: Zeit t in Minuten O Temperatur T in C Übertragen Sie die Daten in ein geeignetes Koordinatensystem. Zu einem Zeitpunkt wurde der Temperaturwert falsch gemessen. Begründen Sie, um welchen Wert es sich handelt. Der Wert für t = 8 Minuten ist falsch. 65 C ist zu groß. Denn sonst hätte sich der Kaffee zwischen der 5. und 8. Minute wieder erwärmt.. Berechnen Sie für die ersten fünf Minuten und die letzten fünf Minuten des Messvorgangs die durchschnittliche Abkühlung des Kaffees in C pro Minute. T(5) T() 6 8 Grad, 5 5 min T() T(5) 6 Grad, min Die Funktion f ist gegeben mit die Zeit in Minuten angibt. für t, wobei f(t) die Temperatur in C und t,7 t f t 58 e. Zeigen Sie, dass durch die Funktion f der Abkühlungsvorgang des Kaffees näherungsweise beschrieben wird. Wertetafel für f: Zeit t in Minuten O Temperatur f(t) in C 8 7, 6,9 55, 5,8, 6, Die Werte entsprechen den Messwerten gut (bis auf die Fehlmessung nach 8 Minuten.). Außerdem ist t lim f t, denn,7 t lim e t. Das heißt, dass sich die Kaffeetemperatur asymptotisch der Zimmertemperatur nähert.

38 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 8. Berechnen Sie, nach welcher Zeit der Kaffee die Temperatur von 58 C erreicht hat.,7 t f t e 58,7 t 58 e 6 e 58,7t 6 6,7 t ln 58 6 ln 58 t 6,8 (Minuten),7.5 Zeigen Sie, dass die Funktion g mit,7 t für t gt,6e die momentane Änderungsrate der Temperatur des Kaffees beschreibt. Die momentane Änderungsrate ist die Ableitung der Temperaturfunktion:,7 t,7 t,7 t f t 58 e f ' t 58,7 e,6 r g t Bestimmen Sie 5 gtdt und interpretieren Sie das Ergebnis im Hinblick auf den Abkühlungsvorgang. 5 5 O g t dt f t f 5 f 6,9 8 7, C Denn wenn g die Ableitung von f ist, dann ist f eine Stammfunktion von g. Interpretation: In den ersten 5 Minuten hat die Temperatur um etwa 7, C abgenommen.

39 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 9 Teil : Ganzrationale Funktion Das Schaubild einer Funktion geht durch den Punkt P und hat die Tiefpunkte T und T,.6 Bestimmen Sie den Term einer ganzrationalen Funktion, deren Schaubild die obigen Eigenschaften hat. Aus den gegebenen Daten erhält man 5 Gleichungen (Bedingungen) für den Funktionsterm. Daher benötigt man einen Term. Grades: Ansatz: gx ax bx cx dx e mit g' x ax bx cx d Bedingungen: () g a bcde () g a bcde () g 8a 7b 9c d e () g' a b c d (5) g' 8a 7b 6c d 9 Lösung mit einem GTR: a, b, c, d. e Ergebnis: g x x x x x Lösung mit dem Gauß-Verfahren: 8 8 Z Z 6 Z Z ~ Z ~ Z 8 : 8 5 Z Z : Z5 ~ :6 ~ Z5 9 7 Z Z 8 5 Z ~ ~ 8 9 9Z Z 5 Z 8 8 Z :( ) 8 7 Z Dieser Matrix entspricht dieses Gleichungssystem: Ergebnis: g x x x x x e b a d c 8 8 9

40 7 Fachhochschulreife: Analysis bis.7 Bestimmen Sie den Term einer trigonometrischen Funktion, deren Schaubild neben den obigen Eigenschaften in Punkt P einen Hochpunkt hat. Welche Sinuskurve hat den Hochpunkt H und die Tiefpunkte T und T Die allgemeine Sinuskurve hat die Gleichung y asinbx c. Aus den Punkten H und T kann man die Amplitude berechnen: y yh yt 6. Also ist die Sinuskurve in y-richtung mit dem Faktor gestreckt: a =. Das Intervall zwischen den Tiefpunkten entspricht der Periodenlänge: p. Die Grundkurve y sinx? hat die Periode. Also liegt in x-richtung eine Streckung mit dem Faktor k vor. Daher ist b als Kehrwert des Streckfaktors b. Damit haben wir fx sin x c. Die Mittelachse der Amplitude ist bei c y y H T Ergebnis: fx sin x Nicht verlangt war die Zeichnung:

41 7 Fachhochschulreife: Analysis bis Hauptprüfung Aufgabe. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung. a) Die Steigung von K f an der Stelle x = ist negativ. Aus der Abbildung liest man ab: f' : FALSCH b) K f besitzt zwei Wendepunkte. f'' x ist zugleich Die Wendepunktbedingung Extrempunktbedingung für die Funktion f'. Da Kf' zwei Extrempunkte besitzt, hat K f zwei Wendepunkte: WAHR c) An der Stelle x = hat K f einen Hochpunkt. Dann hat K f dort eine waagrechte Tangente. Dies kann aber nicht sein, da man aus der Abbildung ablesen kann, dass. Gegeben ist die Funktion g mit Untersuchen Sie K g auf Symmetrie. f' ist: FALSCH 6. Ihr Schaubild ist K g. 5 5 gx x x, x 6 6, ist K g punktsymmetrisch zum Ursprung (Dies erkennt man auch daran, dass g nur ungerade Exponenten hat.) Da g x x x x x gx Geben Sie die Extrem- und Wendepunkte von K g an. Ableitungen: Extrempunktbedingung: x, g" x x, g''' x g' x 5 5 g' x, d. h E 9 5 x 5 x 6 x x, 5 Wenn es gestattet ist, einen geeigneten Rechner (GTR) zu verwenden, kann man diese Punkte auch graphisch ermitteln:

42 7 Fachhochschulreife: Analysis bis Wendepunktbedingung: 6 g" x x x Kontrolle: g''', y-koordinate: Ergebnis: W. 5 W g. Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen von K g im Ursprung. Tangentensteigung: 6 m g' T 5 Da die Normale orthogonal zur Tangente ist, gilt: m Zeichnung von K g N 5 m 6 5 Die Normale ist hier eine Ursprungsgerade, hat also die Gleichung: y x 6 Die Gerade mit der Gleichung x = u mit < u < schneidet die Normale im Punkt Q und das Schaubild K g im Punkt P. Zusammen mit dem Ursprung bilden diese Punkte das Dreieck OPQ. Berechnen Sie u so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird. Geben Sie den maximalen Flächeninhalt an. 5 Es gilt: Pu gu,qu u. 6 Grundseite des Dreiecks OPQ: Höhe des Dreiecks: PQ y y u u u 5 6 Q P Dreieckinhalt: 5 8 u u A u u u u A u u u mit dem Definitionsbereich D 8 6 u ; Gesucht ist das Maximum dieser Inhaltsfunktion T u Die Graphische Lösung mit GTR ergibt den maximalen A-Wert für u,96. Das Maximum beträgt 7,7 FE. Untersuchung der Randwerte: lim A u x (Achtung: A() darf man nicht schreiben, weil A nur für u > definiert ist. Wäre u =, dann wäre das Dreieck zu einem Punkt entartet, da O = P = Q!). Der rechte Rand ist laut Aufgabenstellung auch ausgeschlossen. Würde man u = einsetzen, erhielte man A() =,5 (Grafik), Also ist lim A u,5. x Sinn der Randwertuntersuchung: An beiden Rändern gibt es keinen größeren Wert als 7.7. Also ist dieser Wert das absolute Maximum.

43 7 Fachhochschulreife: Analysis bis. Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung y x. K h ist das Schaubild der Funktion h mit hx sin x K h und die Gerade schließen zwei Flächen ein. und x. Berechnen Sie den Flächeninhalt einer der beiden Flächen und geben Sie die dafür notwendige Stammfunktion an. Mit einem GTR (Hier CASIO fx CG ) kann man sich die Situation so anzeigen lassen: Man erkennt, dass die Schnittstellen, und sind. A sin x xdx cos x 6 A sin x 6 x dx 6x x cos x 6x x 6 6 A cos 6 cos ,.5 Ein Schaubild hat die Gleichung y asinbx mit x. a) Wie muss b gewählt werden, dass die Periodenlänge p ist? Der Faktor b bewirkt eine Stauchung mit k. Die Periode ist dann p b b Wenn sie aber p sein soll, muss gelten: b b b) Geben Sie einen Wert für a an, so dass das Schaubild Schnittpunkte mit der x-achse hat. Der Wert bewirkt eine Verschiebung der Sinuskurve um nach unten. Die Sinuskurve schwankt also um die Gerade y = - herum. Damit sie die x-achse berührt, muss die Amplitude genau sein, ist sie größer als, z. B. 5, dann schneidet sie die x-achse.

44 7 Fachhochschulreife: Analysis bis Gegeben ist die Funktion f mit Hauptprüfung Aufgabe f x x 6x 5 mit x.. Geben Sie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte von K f an. Günstig ist es, sofort zu erkennen, dass K f symmetrisch zur y-achse ist. Denn da f nur gerade Exponenten hat, gilt fx fx für alle x. Manuelle Lösung: Schnittpunkte mit der x-achse: Bed.: fx x 6x 5 x 6x 5 Diese biquadratische Gleichung löst man z. B. durch die Substitution x Damit geht sie über in: u 6u5 Rücksubstitution: mit u, x 5 x, 5, x x, Ergebnis: N 6, N,, u. Schnittpunkt mit der y-achse: y S f 5 Graphische Lösung: Berechnen Sie die exakten Koordinaten der Extrempunkte von K f. Gegeben: fx x 6x 5 Ableitungen: f' x x x f" x x f''' x x Notwendige Bedingung: y-koordinaten: f' x x x x x. Faktor = : x xe. Faktor = : x x Hinreichende Bedingung: f 5 Ergebnis: T 5 E, f denn f" Minimum f" ) Maximum, H,, 9

45 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 5 Zeichnen Sie K f in ein geeignetes Koordinatensystem.. Stellen Sie die Gleichungen der Wendetangenten an K f auf. Berechnung der Wendepunkte: Notwendige Bedingung: f'' x x x x Das sind die Nullstellen. Hinreichende Bedingung: f''' Ergebnis: W, Steigungen der Wendetangenten: f' 8 bzw. f' 8 Gleichungen der Tangenten: y 8 x y 8x 8 bzw. y 8x 8 K f und seine Wendetangenten schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. W, Wegen der Symmetrie der Anordnung reicht die Berechnung der rechten Hälfte: A x 6x 5 8x 8 dx x 6x 8x dx 5 A x x x x A,6 FE Die Punkte O,Au,Bu fu mit u bilden ein Dreieck. Berechnen Sie u so, dass der Inhalt des Dreiecks maximal wird und geben Sie den maximalen Flächeninhalt an. Grundseite des Dreiecks: Höhe des Dreiecks: u f(u) Flächeninhalt: Fu u fu uu 6u u u u Diese Flächeninhaltsfunktion hat den Definitionsbereich D u ;.

46 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 6 Manuelle Berechnung der Extremwerte Ableitungen: F' u u 9u, 5 5 Notwendige Bedingung: F' u u 9u 5 5 Diese biquadratische Gleichung löst man z. B. mit Hilfe der Substitution 5 5 Damit entsteht die Gleichung: z 9z mit den Lösungen z , 5,, 5 x z. Rücksubstitution: z, x, x,, z, x, x,,,55 Brauchbarkeit dieser Ergebnisse: Nur der Wert x =,55 liegt in D u. Hinreichende Bedingung: F'',55,55 8,55 Maximum 5 5 Maximaler Flächeninhalt: F,55,55,55,55,9 Graphische Lösung mit CASIO fx CG Dax Maximum im Intervall ; liegt bei u =,55 und hat den Wert,9.. Von einer ganzrationalen Funktion g mit dem Schaubild K g sind die folgenden Werte bekannt: x gx,5,5 g' x 6 g" x 6 Entscheiden Sie für jede der folgenden Aussagen, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Antwort mit den Angaben aus der Tabelle. a) Das Schaubild von g geht durch den Punkt P,5. Falsche Aussage, denn g,5. b) g hat in x = - eine doppelte Nullstelle. Falsche Aussage, denn g', d.h. K g schneidet die x-achse bei x = -. Eine doppelte Nullstelle wäre aber eine Berührstelle. c) K g hat eine Normale mit der Steigung,5. Wenn eine Normale die Steigung,5 hat, dann hat die zugehörige Tangente die Steigung mt. Und dies ist bei x = der Fall: Wahre Aussage.,5 5 d) K g hat im Schnittpunkt mit der y-achse einen Hochpunkt. K g schneidet die y-achse in H,5, denn eine waagrechte Tangente, und weil g,5. Wegen g' gibt es dort g'' 6 ist, ist H ein Hochpunkt: Wahr!

47 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 7 Teilaufgabe mit der Exponentialfunktion:.5 Das Schaubild K h einer Funktion h mit hx axb e,5x mit x und a,b entspricht einem der folgenden Schaubilder. Begründen Sie, warum nur Abb. das Schaubild K h sein kann. Es ist Da h b, also kommen nur Abb. oder in Frage. Ableitungen:,5 x h" x,5 e h' x ae,5 a,5 e,5x,5x h" x für alle x, hat das Schaubild von h Rechtskrümmung, also scheidet Abb. aus. Von den anderen drei Abbildungen zeigt eine das Schaubild der Ableitungsfunktion h' und eine andere das Schaubild einer Stammfunktion H von h. Ordnen Sie diese zu und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. K h hat bei x, h',, d.h. das Schaubild von h' schneidet bei -, die x-achse. Das passt zu Abb.. Oder: K h hat die schräge Asymptote y ax b, also folgt: x lim h' x a einen Hochpunkt, also ist. Das passt nur zu Abb. mit geschätzten -a = -,. Für die Stammfunktion H gilt: H' x hx. Das heißt, dort wo h eine Nullstelle besitzt (bei -, und ), hat das Schaubild von H eine waagrechte Tangente. Das trifft auf Abb. zu. Hinweis: Ich kenne den genauen Funktionsterm von h nicht, aber hx,x e,5x ergibt ziemlich genau die Abbildung auf dem Original-Aufgabenblatt.,55x Die Funktion, deren Schaubild Abb. darstellt ist k x e,7x.

48 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 8 Hauptprüfung Aufgabe Teilaufgabe e-funktion Gegeben ist die Funktion f durch f x e e,5x,5x, x. Das Schaubild von f ist K f.. Bestimmen Sie die Schnittpunkte von K f mit der x-achse und den Hochpunkt. Zeichnen Sie K f. Weisen Sie nach, dass K f symmetrisch zur y-achse ist. Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von K f.,5x,5x Die Bedingung für Nullstellen lautet: f x e e. Manuelle Lösung x x x e e e x x e e denn x x x x x und e e e e x x x x e e e e Diese Gleichung führt man durch die Substitution X denn dann wird e u. Man erhält: oder noch besser: u u u u u u u e x in eine quadratische Gleichung über, Lösungsformel: Rücksubstitution: 6 u, w X Aus e u folgt x lnu ln u Aus u folgt somit x ln,6 Aus u folgt somit x ln,6 Ergebnis: N,6,. Graphische Lösung Ableitungen: Extrempunkte:. Manuelle Lösung x x x x x und f x e e f' x e e x f'' x e e Notwendige Bedingung: x x x x x f' x e e e e e x ln y-koordinate: f e e Hinreichende Bedingung: Ergebnis: Hochpunkt: H f'' Max.

49 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 9. Graphische Lösung Ergebnis: H Symmetrieuntersuchung: Behauptung: Beweis: K f ist symmetrisch zur y-achse. x x x x f x e e e e f(x) Krümmungsverhalten Der Abbildung entnimmt man: K f hat immer Rechtskrümmung. x x Beweis: f'' x e e ist negativ für alle x.. Das Schaubild K f soll oberhalb der x-achse durch das Schaubild einer ganzrationalen Funktion angenähert werden. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm an. Die Annäherung durch eine ganzrationale Funktion. Grades (Schaubild: Parabel G) geschieht mit dem Ansatz: gx ax bx c Da K f symmetrisch zur y-achse ist, gilt dies auch für die Parabel G, also muss b = sein. Die Parabel soll durch H gehen, also muss sein: Andererseits ist g c c G soll die x-achse in N,6, schneiden. Dies liefert die Bedingung: Ergebnis: gx,9x g g,6 a,6 a,9,6

50 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 5 Trigonometrische Teilaufgabe Gegeben ist die Funktion g durch gx cos x, x. Das Schaubild von g ist K g.. Zeichnen Sie K g in das Koordinatensystem von Aufgabenteil.. Beschreiben Sie, wie das Schaubild K g aus dem Schaubild der Funktion g* mit g* x cos x hervorgeht. Verschiebung y cosx y cos x y cos x Sreckung in xrichtung in y Richtung um Der Streckfaktor in x-richtung ist k (der Kehrwert von ).. Berechnen Sie zwei exakte Stellen, an denen die Funktion g den Funktionswert,5 hat. Substitution: cos x,5 cos x,5 z x ergibt; cosz,5 cos,5 WISSEN: Also muss gelten: x : x Weil die Kosinuskurve (auch bei Verschiebung in y-richtung) symmetrisch zur y-achse ist, x lautet die zweite Lösung: x.5 Die Differenzfunktion d wird durch d(x) f(x) -g(x) definiert. Begründen Sie, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind: a) Das Schaubild von d ist symmetrisch zur y-achse. Richtig, denn K f und K g sind beide symmetrisch zur y-achse, also gilt das auch für das Schaubild der Differenzfunktion. b) d(x) > für x Ich berechne d f g e e cos Also ist die Aussage falsch. K f liegt also bei x = unterhalb von K g

51 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 5 c) dxdx Falsch, denn im Intervall ; liegt K f unterhalb von K g. Damit hat d dort negative Werte und das Integral wird somit auch negativ. d) Der maximale Wert von d ist,5. Falsch: Der Graphikrechner zeigt, dass K d die Hochpunkte,9, hat. Somit kann der maximale d-wert nicht,5 sein. e) Das Schaubild von d hat unendlich viele gemeinsame Punkte mit K f. Richtig: In den Schnittpunkten von K f und K d gilt: dx, also f x f x f x g x g x Und da K g unendlich viele Berührpunkte mit der x-achse hat, trifft das zu.

52 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 5 Hauptprüfung Aufgabe. Gegeben ist das Schaubild K g einer Funktion g mit gx a sinkx, a,k, x Ermitteln Sie aus der Zeichnung die Amplitude, die Periode und berechnen Sie den Faktor k. Die Amplitude ist (Abstand Mittellinie Hochpunkt), die Periode ist (Abstand der Hochpunkte) Der Faktor k bewirkt eine Stauchung der Periode von auf. Aus folgt k =. k k Damit lautet die Funktion: gx sin x. Das Schaubild K g soll so verschoben werden, dass es symmetrisch zur y-achse ist und dass die Tiefpunkte auf der x-achse liegen. Geben Sie für den verschobenen Graphen einen möglichen Funktionsterm an. g* x sin x Man muss K g um nach links und um in y-richtung verschieben:. Gegeben ist die Funktion f mit Zeichnen Sie das Schaubild K f von f und geben Sie die Nullstellen an. f x sin x für x 5, x. Die einfache Lösung mit einem GTR geht so: 7 Die Nullstellen sind x, x, x. Die Schnittpunkte mit der x-achse sind: 7 N,N,N ^ Hinweis: Ist eine exakte Berechnung der Nullstellen verlangt, kann man so vorgehen: Bed.: fx sin x sin x Vereinfachung durch die Substitution: u x zu: sinu. 7 Im Intervall ; hat diese Gleichung die Lösungen u, u 6. 6 u 7 Rücksubstitution durch x ergibt x und x. Dann muss man noch überprüfen, ob durch periodische Verschiebung weitere Lösungen für ; 5 in Frage kommen: u!! Alle weiteren Stellen fallen aus dem Definitionsbereich ; 5 heraus.

53 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 5 Überprüfen Sie, ob die Punkte W und W Wendepunkte von K f sind.. Begründung: Auf Grund der Zeichnungen kann man dies schon bestätigen: Bei y sinx sind die Wendepunkte,, USW. Durch die Streckung mit k,, Die Streckung in y-richtung ändert daran nichts, weil diese Punkte auf der x-achse liegen und somit Fixpunkte sind. in x-richtung wird daraus Die Verschiebung um in y-richtung ergibt dann:,,,.. f' x cos x cos x f " x sin x sin x, f ''' x cos x cos x, f'' sin. f ''' cos, f'' sin. f ''' cos. Begründung: Kontrolle durch die Ableitungen Kontrolle für W : f Kontrolle für W : f. Berechnen Sie die exakte Steigung von K f an der Stelle x und geben Sie die Gleichung der Tangente an dieser Stelle an. Kurvenpunkt: f W Tangentensteigung: f' cos Tangentengleichung: yy mx x liefert y x y x Zeigen Sie, dass die Gerade y x Tangente an K f an der Stelle x ist. Kurvenpunkt: f W Tangentensteigung: f' cos Tangentengleichung: yy mx x liefert Diese Tangenten schließen mit dem Schaubild K f eine Fläche ein. Berechnen Sie den exakten Inhalt dieser Fläche. Da diese Fläche symmetrisch zur Gerade x = ist, kann man vereinfacht so rechnen: A xfxdx xsin x dx cos x x A x x x cos x A cos cos y x y x 8 A,595 FE

54 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 5 Gegeben ist p x x x 7.. Zeigen Sie, dass der Scheitel der Parabel p ein Punkt des Schaubildes K f ist. Bestimmen Sie alle weiteren gemeinsamen Punkte von p und K f. Parabelscheitel: p' x x. Bed.: p' x x xs y p 967 S S Punktprobe für S und K f : y sin x sin ist eine wahre Aussage, also gilt: Gemeinsame Punkte von p und K f : Die Schnittgleichung x x 7 sin x ist algebraisch nicht lösbar. Daher löst man diese Gleichung grafisch mit einem GTR: S K. f Außer dem bekannten gemeinsamen Punk S gibt es also zwei weitere: S unds..5 Bestimmen Sie die Stelle x ;, an welcher die Differenz der Funktionswerte der Funktionen f und p maximal ist. Berechnen Sie die maximale Differenz. Differenzfunktion dx fx px Bei diesem Ansatz übernimmt man aus der graphischen Darstellung die Erkenntnis, dass die Parabel zwischen S und S unter der Sinuskurve liegt. Sonst müsste man den Betrag der Differenz verwenden. Graphische Lösung: Für x,7 erhält man die maximale Differenz dmax,.

55 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 55 Gegeben ist die Funktion f mit Hauptprüfung Aufgabe f x x x mit x. Das Schaubild von f heißt K f.. Weisen Sie mithilfe der Ableitungen nach, dass H Hochpunkt und T Tiefpunkt von K f ist. Zeichnen Sie K f. Ableitungen: x, f" x x, f''' x f' x f' x Notwendige Bedingung für Extrempunkte: x x x, y-koordinaten: f f Hinreichende Bedingung: f'' Minimum f" Maximum Ergebnis: K f hat den Hochpunkt H und den Tiefpunkt T.. Für welche Werte von x ist K f rechtsgekrümmt? Notwendige Bedingung für Wendpunkte: f'' x x Rechtskrümmung bedeutet f" x x x Ergebnis: K f ist für x < rechtsgekrümmt.. Der Funktionsterm von f kann auch in der Form fx axbx c geschrieben werden. Bestimmen Sie a, b und c. Da K f den Tiefpunkt T hat, besitzt f die doppelte Nullstelle. Außerdem entnimmt man der Abbildung f, was man noch beweisen muss: f 8 Also ist fx axx d. h. fx axx x fx ax x x xx ax x Man kann andererseits f so darstellen: fx x x Durch Vergleichen erhält man a. Hinweis: Man sollte eigentlich ja nicht beweisen, dass man f so darstellen kann. Das wird mitgeteilt. Also geht es nur um a, was sofort nach dem Ausklammern klar ist.

56 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 56. Geben Sie jeweils einen möglichen neuen Funktionsterm an: a) K f wird so verschoben, dass es drei Schnittpunkte mit der x-achse hat. b) K f wird so verschoben, dass es die x-achse im Ursprung berührt. a) Damit es drei Schnittpunkte gibt, muss man K f so nach unten verschieben, dass der Tiefpunkt unter der x-achse liegt aber der Hochpunkt darüber. Dies gelingt z. B. mit einer Verschiebung um nach unten: g x f x x x b) K t berührt die x-achse im Ursprung, wenn man die Kurve um nach links verschiebt: g x f x x x.5 Bestimmen Sie den Term einer Stammfunktion von f so, dass deren Schaubild durch den Tiefpunkt von K f verläuft. Allgemeine Stammfunktion F von f: F x f x dx x x x x dx xc x x xc 8 Bedingung: F Vergleichen mit F C C 8 8 Ergebnis: F x x x x 8 8 C C 8 8

57 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 57 Teilaufgabe mit der Exponentialfunktion: Der Bestand an fester Holzmasse h(t) zum Zeitpunkt t in einem Wald wird durch die Funktion ht e 5,t, t beschrieben. Dabei wird die Zeit t in Jahren und der Bestand h(t) in m³ gemessen. (t = steht für das Jahr.).6 Mit welchem Bestand wird im Jahr gerechnet? Nach welcher Zeit wird der Bestand erstmals über 5 m³ liegen? h 7 e 5.7 m 5,7 5,t 5,t h t 5. e,5 e,5 ln,5,t ln,5 t, Jahre,.7 Um wie viel Prozent nimmt der Holzbestand im Verlauf des ersten Jahres zu? Bestand im Jahr : h 5. m Bestand im Jahr h 5 e,. m Absolute Zunahme: h. m Relative Zunahme: h h(). Prozentuale Zunahme: h % % %,% h()..8 Nach wie vielen Jahren wird die momentane Änderungsrate 5 m³ / Jahr betragen? Die momentane Änderungsrate wird durch die Ableitungsfunktion beschrieben: 5,t,t h' t e, e Wann ist h' t 5? d. h., t, t ln,5 e 5 e,5, t ln,5 t, Jahre,

58 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 58 Hauptprüfung Aufgabe Gegeben ist die Funktionen g und f mit Ihre Schaubilder sind K g und K f.,5 x und g x e e f x,5x e x mit x.. Bestimmen Sie die exakten Koordinaten der Achsenschnittpunkte von K g. Ergänzen Sie die Skalierung im Koordinatensystem auf dem beigefügten Arbeitsblatt. Schnittpunkt mit der x-achse:,5x,5x Bed.: Ergebnis: N g x e e e e ln x x Schnittpunkt mit der y-achse: f e e e S e,7 y. Zeichnen Sie die Asymptoten beider Kurven auf dem Arbeitsblatt ein und geben Sie die Gleichungen der Asymptoten an. K g hat die waagrechte Asymptote y e, x/ denn wegen lim e x wird für x fx K f hat die waagrechte Asymptote y x, x denn wegen lim e x wird für x f x e. x. N. Geben Sie die exakte Gleichung der Tangente t g an K g im Punkt P g. Veranschaulichen Sie auf dem Arbeitsblatt, dass es eine Tangente t f an K f gibt, die parallel zu t g verläuft. Berührpunkt: g e e P,5x Ableitung: g' x e Tangentensteigung: m g' e Punkt-Steigungsform für die Tangente: yy f' x x e e Tangentengleichung: A ist der Berührpunkt der Tangente t f. P P T y x y x e e

59 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 59. Begründen Sie mithilfe der Ableitungen, dass K f keine Wendepunkte besitzt. x Gegeben: fx x e x Ableitungen: f' x e x, f" x e Da f" x ist für alle x hat K f stets Linkskrümmung und daher keinen Wendepunkt. (Für einen Wendepunkt müsste f'' xw gelten.).5 Berechnen Sie den Inhalt der von K f und K g eingeschlossenen Fläche A. A ist der Flächenteil von A, der im ersten Quadranten liegt. Geben Sie ein geeignetes Vorgehen zur Bestimmung des Flächeninhaltes von A an. Die Schnittstellen von K f und K g sind die Lösungen der Gleichung x e x e x/ e Da diese Gleichung nicht exakt lösbar ist, wird sie graphisch mit einem GTR gelöst: Schnittstellen sind also x,5 x,8 Flächenberechnung graphisch: Dargestellt ist die Differenzfunktion hx fx gx,8 Ergebnis:,5 A f x g x dx,76 Exakte Berechnung,8,5,8 x x/ x x/,5 A xe e e dx x e e ex Das zeigt mir mein CAS-Rechner dazu: Wege zur Berechnung von A. Zuerst berechnet man die Fläche zwischen K f und den Koordinaten- achsen: A g x dx. = (Viel Spaß ) Davon subtrahiert man den Inhalt der Fläche zwischen K f und den Koordinatenachsen: z. A A A g x dx f x dx A z f x dx, wobei z die Nullstelle von f ist.

60 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 6.6 Zu jedem der abgebildeten Schaubilder A, B und C gehört eine der Funktionen f, g und h mit: fx sinax b gx csinx,5 hx cosdx Ordnen Sie jeder Funktion eines der Schaubilder zu und begründen Sie Ihre Entscheidung. Bestimmen Sie a, b, c und d. () Am auffälligsten ist die Kurve B. Sie ist symmetrisch zur y-achse und man erkennt sie als eine in y-richtung verschobene Kosinuskurve. B ist also das Schaubild von h. Die Amplitude ist. Die Zentrallinie ist der Mittelwert m y max ymin 5 Um diesen Betrag ist die Kosinuskurve in y-richtung verschoben. Der x-abstand zwischen den beiden Tiefpunkten ist die Periode: p 5 5 Also ist 5k k. Der Kehrwert davon tritt als Faktor d auf: d,. Ergebnis: hx cos, x 5 () Die Kurve A hat die Gerade y =,5 als Mittellinie, das passt zu g. Aus sin(x) folgt, dass die Kurve mit k gestreckt (besser gesagt gestaucht) ist. Daher ist die Periode, was auch mit der Abbildung übereinstimmt. Gesucht ist jetzt die Amplitude. Sie ist die Hälfte der Differenz ymax ymin, also ist c =,5 oder,5 Nun muss man beachten, dass die Kurve A die y-achse fallend schneidet, also: c = -,5 Ergebnis: gx,5sinx,5 () Damit ist C das Schaubild von f. Man erkennt, dass die Amplitude ist. Die Mittellinie ist y = -. Also haben wir b = -. Der Abstand zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt ist die halbe Periode: p p. Daher ist der Streckfaktor. Daraus ergibt sich a Ergebnis: f x sin x

61 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 6 Hauptprüfung Aufgabe. Das Schaubild einer Funktion ist symmetrisch zur y-achse und verläuft durch den Punkt S und hat in T einen Tiefpunkt. Geben Sie jeweils die Gleichung einer Polynomfunktion.Grades und einer trigonometrischen Funktion an, deren Schaubild die genannten Bedingungen erfüllt. Ansatz für die Polynomfunktion g: g hat bei x = eine doppelte Nullstelle, und wegen der Symmetrie zur y-achse auch bei x = -. Bestimmung von a durch Andererseits ist: gx ax x g g a99 8a Vergleichen: 8a a Ergebnis: gx x x 7 7 Hinweis: Wer f auf die Normalform bringen möchte, sollte die. binomische Formel anwenden: g x x x x 9 x 8x 8 x x Ansatz für die trigonometrische Funktion h: Da das Schaubild von g zur y-achse symmetrisch sein soll, verwendet man eine Kosinusfunktion: hx bcoscx d Diese Funktion hat einen Tiefpunkt bei c Andererseits soll er T sein. T b d Vergleichen: c c und d b Das führt zu hx bcos x b. Ferner gilt: h Vergleichen mit h bcos b b Dann erhält man b,5 und daher auch d =,5. Ergebnis: h x,5cos x,5 Gegeben ist fx 5sinx 5 mit x. Das Schaubild von f ist K f.. Bestimmen Sie die ersten drei Ableitungen von f. f ' x 5cosx 5 cosx f " x 5 sinx 5 sinx f ''' x 5 cosx 5 cosx Geben Sie die Periodenlänge des Schaubilds K f als Vielfaches von an. Die Kurve ist in x-richtung mit k gestaucht, also ist die Periode p 5

62 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 6 Geben Sie die exakten Koordinaten von vier Wendepunkten an. Das Schaubild von f entsteht so aus der Kurve y = sin(x): Stauchung mit k / Streckung mit k x y sin 5 y 5sinx Verschiebung um 5 y 5sinx y sin x 5 in xrichtung in yrichtung in yrichtung Die Kurve y = sin(x) hat den Wendepunkt. Bei diesen Abbildungen geht er über in 5. Alle weiteren Wendepunkte liegen auf der Mittellinie im Abstand einer halben Periode. Die Mittellinie ist y 5, die halbe Periode ist, also gibt es diese weiteren Wendepunkte: 5, 5, 5, Das Schaubild K p der Funktion p mit p x x schließt mit dem Schaubild K f eine Fläche ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt mithilfe einer Stammfunktion. Die Schnittgleichung der beiden Kurven lässt sich nur grafisch z. B. mit einem GTR lösen: Abgelesene Schnittpunkte: S,,96, S,5,8 Flächenberechnung:,5,5,5 A (p x f x )dx ( x 5 sin x 5)dx ( x 5 sin x )dx,,,,5,5 x cos x A x5 x x cosx,,, A,5,5 cos,5,, cos,8 FE

63 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 6. Der Ursprung und der Punkt Pu pu mit u,6 sind Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks. Für welchen Wert von u ist der Flächeninhalt des Rechtecks maximal? Geben Sie den maximalen Flächeninhalt an. Grundseite des Rechtecks: u Höhe des Rechtecks p(u) Flächeninhalt: mit dem Definitionsbereich ;,6 Fu upu u u D s. Aufgabe. Bestimmung des Maximums: () Grafisch mittels GTR: Für u,65 erhält man Fmax,9 FE () Mittels Ableitungen: F' u 6u, F'' u u Extremwertbed.: F' u 6u u,65 (-,65 D ) Kontrolle: F'',65 Maximum Maximum: F,65,9 FE Randwertuntersuchung:, 6 Für u = ist das Rechteck zu einem Strich mit A= entartet. Für u =,6: A,6,8 <,9. Also ist F,65,9 FE der absolut größte Wert..5 Begründen Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind: a) Es gilt f x dx Das ist FALSCH. Begründung ohne Rechnung: Dieses Integral stellt den Inhalt der Fläche dar, die K f mit der x-achse, der y-achse und der Geraden x = begrenzt. Da f(x) stets > ist, hat diese Fläche einen positiven Wert (9,9 FE) b) Die Funktionen g mit gx 5sinx mx besitzt für jedes m die gleichen Wendestellen wie die Funktion f. Diese Aussage ist WAHR. Begründung: F und g haben dieselbe. Ableitung, deren Nullstellen die Wendestellen sind. c) Für, x,5 ist die Tangentensteigung von K f bei x,5 am größten. Die Tangentensteigung wird durch f ' x 5 cosx berechnet. Diese Funktion hat ihr Maximum bei x..,5,7. Die Aussage ist FALSCH.

64 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 6 Hauptprüfung Aufgabe. Das Schaubild einer Funktion.Grades berührt die x-achse bei x = - und verläuft durch den 6 Ursprung. Weiterhin liegt der Punkt Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion. Ansatz: f x ax bx cx d Ableitungen: f' x ax bx c A auf dem Schaubild der Funktion. Zur Berechnung der Koeffizienten a, b, c, d benötigt man vier Bedingungen: () K geht durch O d. h. f d. h. d = () A liegt auf den Schaubild K, d. h. f d. h. abc d () Berührpunkt B,, d. h. f () Waagrechte Tangente in B, d. h. f' d. h. 7a 6b c d. h. 7a 9b c d. Lösung (manuell Eliminationsverfahren) d = einsetzen: Aus (): 6 a bc ( ) Aus (): 7a 9b c : 9abc ( ) (): 7a 6bc () Elimination von c: ' (') 6 : 8a b (5) : (') () : 8a b (6) : Ergebnis: Elimination von b: 5' 6'. Lösung mit GTR: Aus (5): a b (5') Aus (6): 6a b (6') : a a In 6' : b 6a b In ' : 6c c f x x x x Man gibt die Koeffizientenmatrix A ein und wählt dann den Befehl Rref aus. Er bringt die Matrix in die Stufenform. Diese gibt dann die Endgleichungen an: a, b =, c =, d =. Ergebnis: f x x x x

65 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 65. Lösung: Gauß-Verfahren: Umformung der Koeffizientenmatrix Z ~ ~ ~ 7 9 Z 7 9 : 9 Z Z Z ~ ~ 6 ~ 8 : : Z 8 6 : Ergebnis: Z ~ Z f x x x x d. h. d c b a. Lösung: mit einem CAS-Rechner. (Hier TI Nspire CAS) Erklärung: Zuerst wird f definiert, dann mit f eine Ableitungsfunktion. Dann schreibt man die vier Bedingungen als Funktionalgleichungen auf und löst das Gleichungssystem bei TI mit dem Befehl solve. Nun könnte man aufhören, denn man kennt nun die Koeffizienten a, b, c und d. Will man mit f weiterrechnen, muss der Rechner zuerst noch die wirkliche Funktion f lernen. Dazu lässt man durch f(x) ans die Ergebnisse einsetzen und definiert dann f neu. Die letzte Zeile ist nur eine Kontrollanzeige.

66 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 66 Gegeben ist die Funktion f mit f x x x x mit x. Ihr Schaubild ist K f.. Bestimmen Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von K f mit der x-achse sowie der Extrem- und Wendepunkte von K f. Zeichnen Sie K f in ein geeignetes Koordinatensystem. Nullstellen: Bed.: fx x x x x 6x 9x x x 6x 9 Mit diesem Klammertrick folgt schnell: N. N Ableitungen: Extrempunkte: Notwendige Bedingung: x x, f" x x, f' x x x doppelte Lösung, also Berührpunkt. f ''' x f' x d. h. x x x x 6 xe, f y-koordinaten: Hinreichende Bedingung: f" Maximum f (bekannt!) f" 6 Minimum Ergebnis: K f hat den Hochpunkt T und den Tiefpunkt H Wendepunkt:. Notwendige Bedingung: f" x x xw 8 y-koordinate Hinreichende Bedingung: f''' Ergebnis: K f hat den Wendepunkt W. K f schließt mit der x-achse eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Flächeninhalt. f 86 A x x x dx x x x Ergebnis: A 8,5 FE Berechnen Sie mithilfe einer Stammfunktion, für welchen Wert von u mit u > - gilt: u f x dx u d. h. u x x x dx x x x u u u u u u,5 Graphische Lösung: Wegen u > - folgt u =.,5 s.o.

67 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 67 Gegeben sind die Funktionen g mit Teilaufgabe mit der Exponentialfunktion: 7 x und gx Das Schaubild von g ist K g, das Schaubild von h ist K h. x h x e, x.. K h soll in y-richtung so verschoben werden, dass K g den verschobenen Graphen auf der y-achse schneidet. Bestimmen Sie den neuen Funktionsterm. Neue Funktion: Schnitt des Schaubilds K h* mit der y-achse: x h* d h* x e d 7 Schnitt des Schaubilds K g mit der y-achse: g d d,5 7 9 Ergebnis: x h* x e,5.5 Die Kurve K g und die Gerade mit der Gleichung y = -8 begrenzen eine Fläche. In diese Fläche soll ein zur y-achse symmetrisches Dreieck mit den Eckpunkten S 8 und Pu gu mit u einbeschrieben werden. Skizzieren Sie diesen Sachverhalt für u =. Berechnen Sie den Inhalt des Dreiecks mit dem größten möglichen Flächeninhalt. Flächeninhaltsfunktion des Dreiecks SPQ: P Q P S A u x x y y u g u 8 A u u u,5 u,5u Definitionsbereich dazu: D u ; Ableitungen: A" u u A 'u u,5 Notwendige Bedingung für den Extremwert: Da A 'u u,5 u 9 u u D u, folgt u,7. A " Maximum. Hinreichende Bedingung: A A,5,5 5,96 max Randuntersuchungen: A() 7,5,5,5 A,5 In beiden Fällen entartet das Dreieck zu einer Strecke. Ergebnis: Für u nimmt das Dreieck seinen absolut größten Inhalt an. (Rechts die Lösung mit GTR)

68 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 68 Hauptprüfung Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit fx sinx mit x ;. Ihr Schaubild ist K f.. Zeichnen Sie K f. Bestimmen Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von K f mit den Koordinatenachsen. Zur Zeichnung sind folgende Erkenntnisse hilfreich: Die Kurve K t entsteht aus y = sin(x) durch folgende Abbildungen: Streckung in x-richtung mit dem Faktor k x (also eine Stauchung, da, ) und in y-richtung mit dem Faktor ky, anschließend Verschiebung um in y-richtung. Durch die Stauchung in x-richtung verkürzt sich die Periode von auf p Nullstellen:. Möglichkeit: Graphische Lösung: Durch die Verschiebung um nach oben, werden die Tiefpunkte der gestreckten Sinuskurve K f zu den Berührpunkten mit der x-achse. WISSEN: Tiefpunkte von y sinx sind bei x z für z. Durch die Stauchung wird daraus: x z z. Da die Verschiebung nur in y-richtung stattfindet, sind dies dann die Nullstellen von f t. Nach Einschränkung auf das Intervall ; bleiben diese Nullstellen übrig: 7,,.. Möglichkeit: Algebraische Lösung Bed.: fx sinx sinx sinx Vereinfachung der Gleichung durch die Substitution u Die Lösungen sind u z bzw. ohne Formel: x ergibt: sinu Rücksubstitution: x 5 u:...,,,, 7,,... Nach Einschränkung auf das Intervall ; bleiben diese Nullstellen übrig: 7,,. Ergebnis: K f berührt die x-achse in N 7, N, N. Schnittpunkt mit der y-achse: f sin S y

69 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 69. Der Punkt W ist ein Wendepunkt von K f. Zeigen Sie, dass die Gerade y x Tangente an K f im Punkt W ist.. Lösungsmöglichkeit: (Nachweis der Tangenteneigenschaften) () Liegt W auf der Geraden? Punktprobe mit W: () Hat die Gerade die richtige Steigung? ist eine wahre Aussage. Berechnung der Tangentensteigung aus f' x cosx m f' cos. Das passt auch. T Also ist die Gerade die Tangente an K f in W.. Lösungsmöglichkeit: (Unabhängige Berechnung der Tangentengleichung) Berührpunkt ist W. Berechnung der Tangentensteigung aus f' x cosx m f' cos. T Aufstellung der Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungsform: yyp mtx xp y x y x, was zu beweisen war. Die Tangente, die y-achse und K f schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie den exakten Inhalt dieser Fläche. A x sin x dx xsin x dx A x x cos x A cos cos (FE)

70 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 7. Die Abbildung zeigt das Schaubild K g einer Funktion g... Begründen Sie jeweils, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. a) Die Ableitungsfunktion von g hat im Intervall [;] eine Nullstelle. d. h. Es gibt in ; eine Zahl u mit f' u. d. h. K g hat in ; eine waagrechte Tangente. Dies ist eine wahre Aussage. b) Das Schaubild einer Stammfunktion von g hat im Intervall [;] einen Hochpunkt. Für die Stammfunktion G von g gilt: G' x gx. Die Aussage K G hat in ; einen Hochpunkt bedeutet, dass es in ; eine Stelle c gibt, für die gilt: G' c gx. g hat aber in ; keine Nullstelle, also ist diese Aussage falsch... Ermitteln Sie mit Hilfe der Abbildung die Gleichung der Tangente an K g an der Stelle x = -,5. Zeichnet man mit dem Lineal die Tangente näherungsweise ein, dann erhält man den Berührpunkt B und den y-achsenabschnitt Sy Daraus berechnet man die Steigung:. y m T x Die Punkt-Steigungs-Form ergibt: y x y x Gegeben ist die Funktion h mit x h x e x, x. Ihr Schaubild ist K h.. Geben Sie die Koordinaten des Hochpunktes von K h an. Ableitungen: x h' x e h'' x e x x Notwendige Bedingung: x h' x e e x ln ln denn es gilt: a ln lna lnb, also ist ln lnln ln ln b ln x ln,7 ln ln e ln y-koordinate: ln Ergebnis: H,7,87 h ln e lne ln ln ln,87

71 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 7 Oder eine graphische Lösung: Ergebnis: H,7,87 Untersuchen Sie rechnerisch das Krümmungsverhalten von K h. h'' x x e hat nur negative Werte, das heißt, K h hat nur Rechtskrümmung, Anton behauptet: "K h besitzt keine Schnittpunkte mit der x-achse." Nehmen Sie Stellung zu dieser Behauptung. () Der Hochpunkt von K h liegt unterhalb der x-achse. () Da K t nur Rechtskrümmung hat übersteigt K h nie die Hochpunkt-Tangente. Also kann K t nicht die x-achse schneiden. Ergebnis: Antons Behauptung ist eine wahre Aussage..5 Die Gerade mit der Gleichung x = u schneidet für < u < das Schaubild K f im Punkt P und das Schaubild K h im Punkt Q. Für welchen Wert von u ist der Abstand der Punkte P und Q maximal? Man weiß aus., dass K f die x-achse von oben berührt, und aus., dass K h unterhalb der x-achse verläuft. Ferner ist Pu fu u sin u u Qu hu u e u und Der Abstand der Punkte P und Q ist die Differenzfunktion du fu gu. Deren Maximum kann nur graphisch mit einem geeigneten Rechner ermittelt werden: Ergebnis: Das Maximum im angegebenen Intervall ; x,5 und beträgt d(,5) 5,87. besteht an der Stelle Da die Randwerte von d bei und kleiner sind, liegt sogar ein absolutes Maximum vor.

72 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 7 Hauptprüfung Aufgabe. Zu zeigen ist: hx g' x. () An der Stelle x = besitzt K g einen Hochpunkt und K h eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach -. () An der Stelle x = besitzt K g einen Wendepunkt und K h einen Extrempunkt. () An der Stelle x = besitzt K g einen Wendepunkt und K h einen Extrempunkt. () An der Stelle x = besitzt K g eine waagrechte Tangente und K h eine Nullstelle.. h x x x, x Berechnen Sie alle Stammfunktionen der Funktion h. Welche dieser Stammfunktionen gehört zu K g? x x Stammfunktionen zu h: Hx C x x C 8 g ist auch eine dieser Stammfunktionen. C ist dadurch festgelegt, dass z. B. Andererseits gilt: g C Durch vergleichen folgt: C = Ergebnis: gx x x 8. Vom Punkt P,5 aus wird eine Tangente an K h gelegt. Berechnen Sie die Gleichung dieser Tangente g ist. Es sei Bu hu der noch unbekannte Berührpunkt an K h. Gleichung der Tangente in B (mit der Punkt-Steigungs-Form) mit yhu h' ux u mt h' u und h' x x x : Diese Tangente soll durch P gehen, also kann man die Punktprobe machen:, 5 hu h' u u Es folgt:,5 u u u u u,5 u u u 6u u u Ordnen u u 6u,5 () 9

73 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 7 Es gibt mehrere Möglichkeiten, Gleichung () zu lösen. () Graphische Suche mit dem gegebenen Schaubild: Legt man darin die Tangente durch Probieren von P aus an K h, dann stellt man fest, dass die Berührstelle eigentlich nur u = sein kann. Dies beweist man anschließend durch eine Probe in (): 6,5 7 8,5! 9 8 () Durch eine graphische Lösung mit einem GTR: Man sucht die Nullstelle (ROOT) der Funktion Y x,5x 6x,5 und erhält x =. HINWEIS: Für Interessierte, die mit einem CAS-Rechner arbeiten, zeige ich eine sehr elegante Version (hier mit CASIO ClassPad II). Dabei wird aus der Punkt-Steigungs-Form y hu h' ux u eine Tangentenfunktion gebildet: tx,u h' uxu hu Dieser Funktion gibt man Variable, x und u!! Weil diese Tangente dann durch P,5 gehen muss, erhält man den gesuchten u-wert als Lösung der Gleichung t(,u),5, was ja im Grunde die Punktprobe mit der Tangente ist. Kennt man dann u =, dann erhält man die Tangentengleichung wie in der letzten Zeile gezeigt! Abschließend muss man auch noch bei der Handversion die Tangentengleichung bilden: Dazu benötigt man nur noch die Tangentensteigung Die Punktsteigungsform liefert dann mit P,5 : T: y,5,5 x y = -,5x +,5 m h' 99,5

74 7 Fachhochschulreife: Analysis bis 7 Trigonometrie-Teilaufgabe Gegeben sind die Funktionen u und v mit, vx cosx für x ; u x cos x Ihre Schaubilder heißen K u und K v. Geben Sie den Wertebereich sowie die exakte Periodenlänge der Funktion u an. Zeigen Sie, dass die Wendepunkte von K u auf der Geraden y = liegen. Da K u nicht in x-richtung gesteckt ist, hat u die Periode. K u besitzt die Amplitude und ist um in y-richtung verschoben. Aus dem Wertebereich von y = cos(x) mit ; wird daher Wu ; ;5. Die Wendepunkte von y = cos(x) liegen auf der Mittellinie y =. Daran ändert auch eine Streckung in y-richtung mit dem Faktor nichts. Jedoch wird diese Mittellinie um in y-richtung verschoben. Daher liegen die Wendepunkte von K u auf der Geraden y =..5 Zeichnen Sie die Schaubilder K u und K v in ein gemeinsames Koordinatensystem. Beschreiben Sie, wie das Schaubild K v aus dem Schaubild K u hervorgeht.. Zeichnung mit LE cm. Zeichnung mit LE. Weil K u und K v dieselbe Amplitude haben und in x-richtung weder verschoben noch gestreckt sind, kann man durch eine Spiegelung an der Geraden y = K u in K v überführen. Wenn man dieses aus der Abbildung abgelesene Ergebnis begründen soll, kann man so argumentieren: Lässt man bei beiden Kurven den Verschiebungsanteil weg, dann ist die x-achse die Mittellinie, und die eine Kurve ist das Spiegelbild der anderen. Verschiebt man die eine Kurve um nach oben, die andere aber nur um, dann ist der Mittelwert davon y =.