Schwerpunkt S liegt auf der Verbindungslinie der Rechteckmitten im Abstand

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1 . Geometrische Körper (Stereometrie) 7 Schwerpunkt S liegt auf der Verbindungslinie der Rechteckmitten im Abstand von der Grundfläche: h ab+ad + cb+3cd ab+ad + bc+cd Keil (Grundfläche rechteckig, Seitenflächen gleichschenklige Dreiecke und Trapeze) V = bh 6 (a+c) Schwerpunkt wie Obelisk mit d = 0... Die fünf regelmäßigen Polyeder (Platonische Körper, von regelmäßigen kongruenten Vielecken begrenzt) Tetraeder (dreiseitige regelmäßige Pyramide) (6 Kanten, Ecken, von gleichseitigen Dreiecken begrenzt) V = a3 AO = a 3 r i = a 6 ru = a 6 Schwerpunkt S liegt auf der Höhe im Abstand h von der Grundfläche. Er ist Mittelpunkt der ein- und umbeschriebenen Kugel. Tetraeder Oktaeder Hexaeder (Würfel) ( Kanten, 8 Ecken, von 6 Quadraten begrenzt) siehe...

2 8 Elementare (klassische) Geometrie Oktaeder ( Kanten, 6 Ecken, von 8 gleichseitigen Dreiecken begrenzt) V = a3 AO = a 3 3 r i = a 6 ru = a 6 Schwerpunkt S ist der Schnittpunkt der Diagonalen des gemeinsamen Grundquadrates. Dodekaeder Ikosaeder Dodekaeder (30 Kanten, 0 Ecken, von regelmäßigen Fünfecken begrenzt) V = a3 ( +7 ) r i = a ( 0 + ) 0 Ikosaeder ( A O = 3a + ) r u = a 3 ( + ) (30 Kanten, Ecken, von 0 gleichseitigen Dreiecken begrenzt) V = a3 ( 3+ ) r i = a 3 ( 3+ ) A O = a 3 r u = a ( + )

3 . Geometrische Körper (Stereometrie) 9..3 Krummflächig begrenzte Körper..3. Zylinder, Zylinderabschnitt U s Umfang des Querschnitts normal zur Achse Seitenlinie V = A G h A O = A G + A M A M = Us Gerader Kreiszylinder Gerader Kreiszylinder V = πr h s = A M = πrh h + r A O = πr(r+h) Schief abgeschnittener Kreiszylinder J = mr (Massenmoment. Grades) Schief abgeschnittener gerader Kreiszylinder V = πr (s + s ) A M = πr(s + s ) ( A O = πr s + s + r+ r + ( s s ) ) Schwerpunkt S liegt auf der Achse im Abstand s + s + r tan α von s + s der Grundfläche. α Neigungswinkel der Deckfläche gegen die Grundfläche. Zylinderabschnitt (Zylinderhuf) ϕ Mittelpunktswinkel des Grundrisses a Hufkante, r Radius des Grundkreises h längste Mantellinie b Lot vom Fußpunkt von h auf die Hufkante Zylinderhuf

4 380 7 Funktionen Komplementbeziehungen ( π ) ( sin x = cos x = cos x π ) ( π ) ( cos x = sin x = sin x+ π ) ( π ) tan x = cot x ( π ) cot x = tan x D( f ) = R D( f ) = R D( f ) = R\ { π + kπ }, k Z D( f ) = R\{kπ}, k Z Grundbeziehungen (sin x±cos x) = ±sin x sin x+cos x = tan x = sin x cos x = cot x +tan x = cos x +cot x = sin x Graphen der Winkelfunktionen x R Trigonometrischer PYTHAGORAS, x R tan x cot x = x k π, k Z x π + k π x k π Sinus- und Kosinusfunktion Goniometrische Beziehungen Additionstheoreme sin(x ± x ) = sin x cos x ± cos x sin x cos(x ± x ) = cos x cos x sin x sin x tan(x ± x ) = tan x ± tan x = sin(x ± x ) tan x tan x cos(x ± x ) cot(x ± x ) = cot x cot x = cos(x ± x ) cot x ± cot x sin(x ± x ) Tangens- und Kotangensfunktion

5 7.6 Nichtrationale Funktionen 38 sin(x + x ) sin(x x ) = cos x cos x cos(x + x ) cos(x x ) = cos x sin x Doppelte und halbe Winkel sin x = sin x cos x = tan x +tan x cos x = cos x sin x = sin x = cos x = tan x +tan x tan x = tan x tan x = cot x tan x cot x = cot x cot x = sin x = ± cos x cot x tan x tan x cos x = ± +cos x = cos x sin x cot x +cos x = ± cos x = +cos x sin x cos x = ± +cos x = sin x +cos x = sin x cos x Terme von weiteren Vielfachen eines Winkels sin 3x = 3 sin x sin 3 x sin x = 8 sin x cos 3 x sin x cos x sin x = 6 sin x cos x sin x cos x+sin x cos 3x = cos 3 x 3 cos x cos x = 8 cos x 8 cos x+ cos x = 6 cos x 0 cos 3 x+ cos x sin nx = n sin x cos n x ( ) n sin 3 x cos n 3 x+ 3 cos nx = cos n x tan 3x = 3 tan x tan3 x 3 tan x cot 3x = cot3 x 3 cot x 3 cot x ( ) n sin x cos n x+ ( ) n sin x cos n x +... ( ) n sin x cos n x +... tan x = tan x tan3 x 6 tan x+tan x cot x = cot x 6 cot x+ cot 3 x cot x 7

6 38 7 Funktionen Summen und Differenzen von trigonometrischen Termen sin x ± sin x = sin x ± x cos x + cos x = cos x + x cos x x cos x x cos x cos x = sin x + x sin x x cos x±sin x = ( π ) sin ± x = ( π ) cos x tan x ± tan x = sin(x ± x ) cos x cos x cot x ± cot x = sin(x ± x ) sin x sin x Produkte von trigonometrischen Termen sin x sin x = ( cos(x x ) cos(x + x ) ) cos x cos x = ( cos(x x )+cos(x + x ) ) sin x cos x = ( sin(x x )+sin(x + x ) ) tan x tan x = tan x + tan x cot x + cot x = tan x tan x cot x cot x cot x cot x = cot x + cot x tan x + tan x = cot x cot x tan x tan x tan x cot x = tan x + cot x cot x + tan x = tan x cot x cot x tan x sin x sin x sin x 3 = ( sin(x + x x 3 )+sin(x + x 3 x ) + sin(x 3 + x x ) sin(x + x + x 3 ) ) cos x cos x cos x 3 = ( cos(x + x x 3 )+cos(x + x 3 x ) + cos(x 3 + x x )+cos(x + x + x 3 ) ) sin x sin x cos x 3 = ( cos(x + x x 3 )+cos(x + x 3 x ) + cos(x 3 + x x ) cos(x + x + x 3 ) )

7 7.6 Nichtrationale Funktionen 383 sin x cos x cos x 3 = ( sin(x + x x 3 ) sin(x + x 3 x ) + sin(x 3 + x x )+sin(x + x + x 3 ) ) Potenzen von trigonometrischen Termen sin x = ( cos x) cos x = (+cos x) tan x = cos x +cos x sin 3 x = (3 sin x sin 3x) cos3 x = (3 cos x+cos 3x) sin x = (cos x cos x+3) 8 cos x = (cos x+ cos x+3) 8 sin x = (0 sin x sin 3x+sin x) 6 cos x = (0 cos x+ cos 3x+cos x) 6 sin 6 x = (0 cos x+6 cos x cos 6x) 3 cos 6 x = (0+ cos x+6 cos x+cos 6x) 3 7 Zusammenhang der trigonometrischen Funktionen mit der Exponentialfunktion (EULERsche Formel) e jx = cos x+ j sin x e jx = cos x j sin x Hieraus: sin x = e jx e jx j tan x = j e jx e jx e jx + e jx sin x = j sinh jx tan x = j tanh jx (Hyperbelfunktionen siehe 7.6.6) x R cos x = e jx + e jx cot x = j e jx + e jx e jx e jx x 0 cos x = cosh jx cot x = j coth jx

8 8. Funktionen einer Variablen 3 Differenzial Das Differenzial dy einer differenzierbaren Funktion f ist die Änderung der Tangentenordinate, der Zuwachs auf der Tangente: dy = f (x) dx dy heißt das Differenzial der Funktion y = f (x), das zum Inkrement x = dx gehört. 8.. Erste Ableitungen der elementaren Funktionen f (x) (Erste) Ableitung f (x) Bedingungen c 0 c R Konstantenregel x a a x a a R Potenzregel x 0 für a < 0, x > 0 für a R\N e x e x a x a x ln a a > 0 ln x log a x x x > 0 x ln a = x log a e a, a, x > 0 8 sin x cos x tan x cos x sin x cos x = +tan x cot x sin x = (+cot x) arcsin x x x (k+) π, k Z x kπ, k Z x < arccos x x x < arctan x +x arccot x +x

9 8 Differenzialrechnung f (x) (Erste) Ableitung f (x) Bedingungen cosh x sinh x tanh x sinh x cosh x cosh x = tanh x coth x sinh x = coth x x 0 arsinh x +x arcosh x sgn x x > x artanh x arcoth x x x x < Abgeleitete spezielle Funktionen x > f (x) (Erste) Ableitung f (x) Bedingungen x x R lg x ln f(x) 0,39 lg e x x f (x) f (x) bzw. x ln 0,309x x > 0 logarithmische Ableitung f (x) Differenziationsregeln, Ableitungsregeln Grundregeln Faktorregel: ( ) a f (x) = a f (x) a R Summenregel: (u±v) = u ±v u = u(x),v = v(x) Produktregel: (u v) = u v + uv (u v w) = u vw+uv w+uvw ( u vu Quotientenregel: = v) uv v v 0 Merke:. Quadrat des Nenners im Nenner notieren. Nenner mal Zählerableitung minus Zähler mal Nennerableitung

10 Ein Spezialfall der Quotientenregel ist die ( ) Reziprokenregel: = v v v Kettenregel (siehe auch 7.) 8. Funktionen einer Variablen Ableitung mittelbarer (zusammengesetzter) Funktionen y = h(x) = (g f )(x) = g ( f (x) ) y = g(u) äußere Funktion, u = f (x) innere Funktion y = h (x) = dy dx = dy du du dx bzw. y = g (u) f (x) äußere Ableitung mal innere Ableitung y = h(u), u = g(v),v = f (x) dy dx = dy du du dv dv dx = h (u) g (v) f (x) Beispiele Differenziation der Funktionen y = f (x). () y = f (x) = x + 3x x 7 y = f (x) = x + 6x 7x 6 () y = f (x) = (x 3 + a)(x + 3b) u(x) = x 3 + a, u (x) = 3x v(x) = x + 3b,v (x) = x y = u v + uv = 3x (x + 3b)+(x 3 + a)x = x + 9bx + ax 8 (3) y = f (x) = x3 + x x 7 y = vu uv v u(x) = x 3 + x, u (x) = 3x + v(x) = x 7,v (x) = 8x = (x 7)(3x + ) (x 3 + x)8x (x 7) = x 9x (x 7) () y = ( cos x) = u = h(u) wobei u = cos x h (u) = u = ( cos x) u = cos x = v = g(v) g (v) = v 3 = cos 3 x v = cos x = f (x) wobei v = cos x f (x) = sin x dy dx = h (u)g (v) f (x) = ( cos x)( cos 3 x)( sin x) = 8 sin x cos 3 x( cos x)

11 666 3 Statistik, Stochastik Ereignisse Jede Teilmenge A Ω einschließlich der leeren Menge /0 (unmögliches Ereignis) und der Gesamtmenge Ω (sicheres Ereignis) heißt Ereignis. A tritt ein, wenn bei einem Versuch eines seiner Elementarereignisse eintritt. Ereignisse können verbal beschrieben werden oder als Menge durch Aufzählung ihrer Elementarereignisse. Beispiele () Zufallsexperiment: Werfen eines Würfels Ω = {,, 3,,, 6} Ereignis A = Werfen einer geraden Zahl = {,, 6} Ω A tritt z. B. ein, wenn eine gewürfelt wird. () Zufallsexperiment: Lebensdauer eines technischen Gerätes messen Ω = [0; ) Ereignis A = Gerät hält weniger als 3000 h = [0; 3000) Ω Relationen zwischen Ereignissen A B A = B A ist Teilmenge von B, mit A tritt stets B ein, A zieht B nach sich Gleichheit, mit A tritt auch B ein und umgekehrt, (A B) (B A) Operationen mit Ereignissen A B A B A\B A Summe (Vereinigung), es tritt mindestens eines der beiden Ereignisse ein Produkt (Schnitt), A und B treten gleichzeitig ein Differenz, A tritt ein, aber B nicht Komplement, Gegenereignis, A tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt Rechenregeln für Ereignisse A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (Kommutativgesetze) (Assoziativgesetze) (Distributivgesetze)

12 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung 667 A B = A B A B = A B A /0 = /0 A A = /0 A /0 = A A A = Ω (DE MORGANsche Gesetze) Disjunkte Ereignisse Zwei Ereignisse A, B Ω heißen disjunkt, (unvereinbar, schnittfremd), falls A B = /0. Disjunkte Ereignisse können nicht gleichzeitig eintreten, sie schließen sich gegenseitig aus. Beispiel Die Ereignisse A: Werfen einer geraden Zahl und B: Werfen einer ungeraden Zahl beim Würfeln sind disjunkt. 3.. Definition der Wahrscheinlichkeit Empirischer Wahrscheinlichkeitsbegriff Führt man einen Versuch sehr oft (n-mal) unter gleichen Bedingungen durch, so strebt die relative Häufigkeit eines Ereignisses A gegen einen festen Wert P(A). Dieser Wert heißt Wahrscheinlichkeit von A: P(A) h n(a) n h n (A) Anzahl des Eintretens von A bei n unabhängigen Wiederholungen eines Versuchs h(a) schwankt bei immer größerem n immer weniger um einen gewissen n Wert P(A) ). P(A) ist ein Maß dafür, wie häufig ein Ereignis auf lange Sicht eintritt. Im Gegensatz zum strengen Konvergenzbegriff der Analysis kann man aber zu einer vorgelegten Abstandsschranke ε > 0 kein n 0 angeben, sodass P(A) h n (A)/n < ε ist für n n 0. Daher ist der empirische Wahrscheinlichkeitsbegriff als Grundlage der modernen Stochastik unbrauchbar, stattdessen wählt man die 3 ) gelesen P von A, von engl. probability

13 668 3 Statistik, Stochastik Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit (nach A. N. KOLMOGOROFF) Jedem Ereignis A Ω wird eine reelle Zahl P(A), seine Wahrscheinlichkeit, zugeordnet, sodass folgende Axiome erfüllt sind: Axiom : 0 P(A) Axiom : P(Ω) = Axiom 3: Für paarweise disjunkte Ereignisse A, A,... ist P(A A...) = P(A )+P(A )+... Paarweise disjunkt: A i A j = /0 für i j, i, j N Die drei Axiome werden nicht bewiesen, stellen aber zusammen mit den Axiomen der reellen Zahlen die Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung dar. Aus ihnen werden alle weiteren Sätze streng hergeleitet. Daneben im täglichen Leben: Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff, um die Stärke eines Vorsatzes oder den Grad empirischen Wissens auszudrücken: Wahrscheinlich komme ich morgen nicht zur Vorlesung oder Mit ziemlicher Sicherheit bekommen wir bis Jahresende einen neuen Chef Sätze über Wahrscheinlichkeiten Aus den Axiomen lassen sich unmittelbar folgende Sätze herleiten: Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses P(/0) = 0 Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses P(A) = P(A) Monotonie der Wahrscheinlichkeit A B P(A) P(B)

14 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung 669 Additionssatz für beliebige Ereignisse Für zwei Ereignisse: P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) Für drei Ereignisse: P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C)+P(A B C) Die Ereignisse A, B und C müssen nicht notwendig disjunkt sein, daher beliebige Ereignisse. Im Fall der Disjunktheit sind alle Wahrscheinlichkeiten von Schnittmengen gleich 0 und man erhält das dritte KOLMOGOROFFsche Axiom als Spezialfall des Additionssatzes. Additionssatz für zwei Ereignisse Satz von LAPLACE Besteht der Elementarereignisraum Ω aus nur endlich vielen Elementarereignissen, die alle gleichwahrscheinlich sind, so gilt für jedes Ereignis A Ω P(A) = A Ω = Anzahl der für A günstigen Elementarereignisse Anzahl der überhaupt möglichen Elementarereignisse A Mächtigkeit von A, Anzahl der Elemente von A Die LAPLACE-Annahme Alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich wird in der Praxis als gegeben angesehen, wenn es keinen Grund zu der Annahme gibt, ein Elementarereignis sei gegenüber den anderen in irgendeiner Weise bevorzugt. Dies ist z. B. der Fall bei einem geometrisch und physikalisch perfekt gefertigten Würfel (LAPLACE-Würfel) oder bei der Ziehung einer Zufallsstichprobe. 3 Beispiele () Werfen eines LAPLACE-Würfels, Ereignis A = Augenzahl> P(A) = {, 6 } {,, 3,,, 6} = 6 = 3