Thilo Moseler Bern,

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Stephan Bergmann
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1 Bern,

2 (Verallgemeinerte) Lineare Modelle Stärken Schwächen Fazit und persönliche Erfahrung 2

3 i-te Beobachtung der zu erklärenden Variablen Yi ist gegeben durch Linearkombination von n erklärenden Variablen Xik mit zu berechnenden Parametern βk:, Matrixschreibweise: und Yi ist normalverteilt mit identischer Varianz für jede Beobachtung. Vorteile: Explizite Lösung Nachteile: 1. Wertebereich 2. Verteilungsannahme 3. Varianzannahme Schadenbedarf Fr. 1'500 Fr. 1'000 Fr. 500 Fr. 0 Fr. 0 Fr. 40'000 Fr. 80'000 Katalogpreis 3

4 Modellannahmen des linearen Modells werden verallgemeinert: + Wahrscheinlichkeit Anzahl Schäden 1. Durch Wahl der sog. Linkfunktion kann der Wertebereich und die Modellstruktur variiert werden. 2. Yi hat Verteilung aus Exponentialfamilie (z.b. Binomial, Poisson, Negativbinomial, Gamma). Weitere Verallgemeinerung möglich. 3. Varianz kann je nach Beobachtung unterschiedlich sein. g 4

5 Modelle für: Schadenfrequenz Durchschnittsschaden Schadenbedarf Stornoverhalten Konversionsrate Basis für kommerziellen Tarif in Massenbranchen 5

6 Multiplikatives Modell (falls Linkfunktion = log) ist leicht zu erklären Experten haben oft Gefühl, wie viel Prozent gewisse Gruppen teurer sind als andere Massgeschneiderte Software für Versicherungen ist vorhanden, schnelle Visualisierungen 6

7 Passt die angenommene Verteilung? Chi-Quadrat-Test Soll Merkmal in Modell aufgenommen werden? Deviance, AIC, BIC Sind einzelne Parameter signifikant? p-wert Sämtliche Daten verwendbar, bei anderen Verfahren müssen Daten für out-of-sample Test ausgesucht werden 7

8 Vorgegebene Parameter können als «Offset» im Modell mitgeschätzt werden Bonus-Malus-System Ökorabatt 8

9 Anwendung, wenn Verteilungsannahmen verletzt sind verzerrte Schätzer für 4'000 Parameter Anzahl Schäden pro Kategorie 3'000 2'000 1'000 0 Fr. 0 Fr. Grossschäden oft unbehandelt / unterschätzt 500 Fr. Fr. Fr. Fr. Fr. 1'000 1'500 2'000 2'500 3'000 Schadendurchschnitt Tools werden teilweise als «black box» verwendet 9

10 Alle Interaktionen zwischen zwei oder mehreren Variablen müssen separat getestet werden (aufwändig, Software eher schwer interpretierbar) 35% Frequenz Haftpflicht 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% Alter des Hauptlenkers Männlich Weiblich Polynomiale Schätzung für Männlich Polynomiale Schätzung für Weiblich 10

Software eher auf kategorielle Variablen zugeschnitten viele geschätzte Parameter führen zu gutem Fit innerhalb der verwendeten Daten und eher schwacher Prognosekraft out of sample Fr.

11 Software eher auf kategorielle Variablen zugeschnitten viele geschätzte Parameter führen zu gutem Fit innerhalb der verwendeten Daten und eher schwacher Prognosekraft out of sample Fr. 6'000 Durchschnittsschaden Fr. 5'000 Fr. 4'000 Fr. 3'000 Fr. 2'000 Fr. 1'000 Fr. 0 Fr. 0 Fr. 20'000 Fr. 40'000 Fr. 60'000 Fr. 80'000 Fr. 100'000 Katalogpreis Rohdaten Kategorielle Schätzung Schätzung mit Funktion 11

12 Zu einfache Modellierung führt zu Tarifen, die durch Internetrechner leicht rekonstruierbar sind: Prämie = ä!" Durch Test von 2 Profilen (eines männlich, eines weiblich) sind die Faktoren ermittelbar (bis auf multiplikativen Term). 12

13 GLM sind ein (wesentliches) Tool zur Risikomodellierung in Versicherungen und damit Grundlage zur kommerziellen Tarifbildung Vorhandene Software macht ihren Einsatz sehr komfortabel Annahmen zuerst überprüfen, dann verwenden Risikomodellierung ist nicht alles bei Tarifierung: Kommunikation teilweise problematisch Einbezug des individuellen Schadenverlaufs 13

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