Schöne Körper: Die Polyeder des Platon und Archimedes. Konrad Engel

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1 : Die Polyeder des Platon und Archimedes Konrad Engel

2 1. Der Begriff des Polyeders (Konvexes) Polyeder: Durchschnitt von mehreren durch Ebenen begrenzten Halbräumen (Konvexes) Polytop: Beschränktes Polyeder Im 2D spricht man meist von Polygonen bzw. Vielecken und im 3D meist von Polyedern statt von Polytopen Institut für Mathematik, Universität Rostock 2

3 Polyeder haben Eckpunkte, Kanten, zwei- und höherdimensionale Seitenflächen. Diese sind selbst auch wieder Polyeder. Ein Polygon Institut für Mathematik, Universität Rostock 3

4 Dürers Melencolia (1514) Ein Polyeder Institut für Mathematik, Universität Rostock 4

5 Polyeder sind also Lösungsmengen von Systemen von (Gleichungen) und Ungleichungen der Form Ax b, Solche Systeme treten in vielen linearen Optimierungsproblemen (LP) auf. Die Zielfunktion hat hierbei die Gestalt c T x max Institut für Mathematik, Universität Rostock 5

6 Zulässige Menge (blau) eines LPs mit einschränkenden Ungleichungen (grün), Zielfunktion (rote Linie) und einer optimalen Lösung (roter Punkt) Institut für Mathematik, Universität Rostock 6

7 Clay Mathematics Institute: Vergabe eines Preises von Dollar, wenn man die Variante eines der 7 Millenium-Probleme löst: Finde für das folgende Problem einen Algorithmus, der in Anhängigkeit der Eingabelänge l für eine gewisse Zahl k höchstens l k viele Schritte benötigt, oder beweise, dass es einen solchen Algorithmus nicht gibt: Ax b, x c T x max ganzzahlig Institut für Mathematik, Universität Rostock 7

8 In diesem Sinne ist Mathematik sehr anwendungsbezogen. Sie liefert Techniken, um viele praktisch wichtige Probleme eben z.b. Optimierungsprobleme zu lösen. Die Praxis weist selten hohe Symmetrie auf. Hier ein Beispiel: Institut für Mathematik, Universität Rostock 8

9 Forschungen in unserer Gruppe sind gerichtet auf das folgende Bestrahlungsplanungsproblem: Erzeuge eine gewünschte Intensitätsverteilung mittels Überlagerung von Positionen eines Mehrlamellenkollimators. Formulierung als ganzzahliges LP ist möglich. Aber: zu große Dimension des Problems! Institut für Mathematik, Universität Rostock 9

10 Es gibt eine zweite wichtige Seite der Mathematik: Mathematik ist Kunst Ein schönes Beispiel ist das Studium der regulären Polyeder. Römisches Oktaeder Institut für Mathematik, Universität Rostock 10

11 2. Regelmäßige Vielecke Ein Vieleck heißt regelmäßig, wenn es gleichseitig und gleichwinklig ist. Frage: Welche regelmäßigen n-ecke kann man mit Zirkel und Lineal konstruieren? Antwort durch Gauß (19 Jahre): Die Konstruktion ist genau dann möglich, wenn alle ungeraden Primfaktoren von n nur Zahlen von folgender Form sind: Institut für Mathematik, Universität Rostock 11

12 Mögliche ungerade Primfaktoren sind also 3, 5, 17, 257, (k=0,1,2,3, ) Gauß mit einem Siebzehneck Institut für Mathematik, Universität Rostock 12

13 Beispiel reguläres Fünfeck Innenwinkelsumme = 3 mal 180 Innenwinkel = 540 /5=108 Sei Seitenlänge=1, Diagonalenlänge=d. Kosinussatz: d 2 =1+1-2cos(108 ) d Ingenieurskonstruktion: Berechne cos(108 ) mit Taschenrechner und dann d. Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen 1,1,d Institut für Mathematik, Universität Rostock 13 1

14 Die Mathematikerkonstruktion Ähnlichkeit des blauen und roten Dreiecks liefert d/1 =1/(d-1) d = ( 5 +1)/2 und damit die Konstruktion z.b. mittels des Satzes von Pythagoras: ( 5) 2 = Beachte: cos(108 )=(1-5)/ Institut für Mathematik, Universität Rostock 14

15 3. Reguläre Polytope Eine Bewegung sei eine abstandserhaltende Abbildung (Translationen, Drehungen, Spiegelungen und ihre Verknüpfungen). Sei P ein Polytop. Eine Bewegung heißt P-invariant, wenn sie P in sich selbst überführt. Ein Polytop P heißt regulär, wenn je zwei Seitenflächen F 1, F 2 der gleichen Dimension - im 3D also Ecken, Kanten und Flächen - durch eine P- invariante Bewegung ineinander überführt werden können Institut für Mathematik, Universität Rostock 15

16 3.1. Die platonischen Körper Reguläre 3-dimensionale Polyeder heißen platonische Körper. Platon: Der Kosmos ist nicht zufällig entstanden, sondern ist das Werk eines Schöpfers, des Demiurgs. Es hat alles seinen Sinn und Zweck. Platon v.chr Institut für Mathematik, Universität Rostock 16

17 Die 4 Elemente und das Weltall bzw. der Äther Tetraeder Feuer Würfel Erde Oktaeder Luft Ikosaeder Wasser Dodekaeder Welt Institut für Mathematik, Universität Rostock 17

18 Satz von Theaitetos-Euklid: Es gibt nur 5 reguläre dreidimensionale Polyeder Beweis (Elemente, Buch XIII, letzter Abschnitt): Sei r die Anzahl der Flächen, die eine Ecke bilden. Es gilt r 3. Die Flächen müssen reguläre n-ecke sein. Sei α der Innenwinkel des n-ecks. Es gilt α = (n-2)180 /n. Euklid v.chr Institut für Mathematik, Universität Rostock 18

19 Die Summe der Winkel an einer Ecke muss < 360 sein. Also 3 (n-2) 180 / n < r (n-2) 180 / n < /n < 2/3 1/3 < 2/n n < 6 Haben r < 2n/(n-2) n=5 r < 10/3 r=3 (Dodekaeder) Institut für Mathematik, Universität Rostock 19

20 r < 2n/(n-2) n=4 r < 4 r=3 (Würfel) n=3 r < 6 r=3,4,5 (Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder) Institut für Mathematik, Universität Rostock 20

21 Kepler und das Mysterium Cosmographicum" (1596) D Die Erde sei das Maß für alle Bahnen. Ihr umschreibe ein Dodekaeder; die diese umspannte Sphäre ist der Mars. Der Marsbahn umschreibe ein Tetraeder; die diese umspannte Sphäre ist der Jupiter. Der Jupiterbahn umschreibe ein Würfel; die diese umspannte Sphäre ist der Saturn. Nun lege in der Erdbahn ein Ikosaeder, die diese einschreibende Sphäre ist die Venus. In die Venusbahn lege ein Oktaeder, die diesem einschreibende Sphäre ist der Merkur. Kepler Institut für Mathematik, Universität Rostock 21

22 Bestimmung des Umkreises des Dodekaeders mit Seitenlänge 1 Betrachten Eckpunkt D und seine 3 benachbarten Eckpunkte A,B,C. D Wegen der Regularität ist das Dreieck ABC gleichseitig. Sei M Fußpunkt des Lotes von D auf ABC. M ist Mittelpunkt des Umkreises von ABC. Sei O Umkugelmittelpunkt von ABCD und damit des gesamten Dodekaeders. A h M d v O B C Institut für Mathematik, Universität Rostock 22

23 Sei d= AB, h= MD, v= OM. Bekannt: d = ( 5 +1)/2 (Folie 12) AM = d 3/3 (Umkreisradius im gleichs. ) AM 2 + h 2 = 1 (Pythagoras) 1 D 108 AM 2 + v 2 AO 2 = AO 2 (Pythagoras) = (h+v) 2 (Umkugel) Einsetzen und kleine Rechnung (Übungsaufgabe) liefert: (h+v) 2 =R 2 = 3( 5 +3)/8 A d h M v O B C Institut für Mathematik, Universität Rostock 23

24 Das Dodekaeder in der Kunst Salvador Dalí Das letzte Abendmahl (1955) 12 Stunden - 12 Monate - 12 Fünfecke - 12 Tierkreiszeichen - 12 Apostel Institut für Mathematik, Universität Rostock 24

25 Maurits Cornelis Escher Reptilien (1943) Institut für Mathematik, Universität Rostock 25

26 Eulerscher Polyedersatz: Sei e=anzahl der Ecken, k=anzahl der Kanten, f=anzahl der Flächen eines konvexen Polyeders. Dann gilt: Leonhard Euler e k + f = Institut für Mathematik, Universität Rostock 26

27 Beweisidee: Wir stellen uns die Kanten als Gummibänder vor und ziehen alle Eckpunkte in eine Ebene. Es entsteht ein mathematisches Objekt, das aus Punkten und je zwei Punkte verbindenden und sich nicht kreuzenden Kurven besteht eine Darstellung eines planaren Graphen. Durch diese Darstellung zerfällt die Ebene in Gebiete, die gerade den Flächen des Polyeders entsprechen (mit genau einem unbeschränkten Gebiet). Beispiel: Würfel Institut für Mathematik, Universität Rostock 27

28 Besteht der Graph nur aus einem Punkt, so gilt e=1, f=1, k=0, also e-k+f = 2. Wir können die Kanten so sortieren (Übungsaufgabe), dass wir den Graphen schrittweise durch Hinzufügen neuer Kanten wie folgt aufbauen können: Die neue Kante verbindet zwei alte Eckpunkte Neu: e =e, k =k+1,f =f+1, also e -k +f =e-k-f=2 Die neue Kante verbindet einen alten und einen neuen Eckpunkt Neu: e =e+1, k =k+1,f =f, also e -k +f =e-k-f= Institut für Mathematik, Universität Rostock 28

29 2. Beweis des Satzes von Theaitetos-Euklid: Sei r= Anzahl der Kanten (bzw. Flächen), die eine feste Ecke enthalten, n=anzahl der Ecken (bzw. Kanten) des Vielecks. {n,r} heißt Schläfli-Symbol Institut für Mathematik, Universität Rostock 29

30 Sei r= Anzahl der Kanten (bzw. Flächen), die eine feste Ecke enthalten, n=anzahl der Ecken (bzw. Kanten) des Vielecks. Dann gilt: 2k=re (doppeltes Abzählen der Paare (Ecke, Kante), wobei die Ecke zur Kante gehört), 2k=nf (doppeltes Abzählen der Paare (Kante, Fläche), wobei die Kante zur Fläche gehört) Institut für Mathematik, Universität Rostock 30

31 Also: e = 2k/r und f = 2k/n. Mit Euler (e k + f = 2) folgt: 2k/r k + 2k/n = 2 2k/r + 2k/n = k+2. 1/r + 1/n = 1/2 + 1/k Institut für Mathematik, Universität Rostock 31

32 Also: e = 2k/r und f = 2k/n. Mit Euler (e k + f = 2) folgt: 2k/r k + 2k/n = 2 2k/r + 2k/n = k+2. 1/r + 1/n = 1/2 + 1/k Insbesondere ist 1/r + 1/n > 1/ Institut für Mathematik, Universität Rostock 32

33 Es folgt r 3 oder n 3, denn andernfalls wäre 1/r+1/n 1/4+1/4=1/2. 1. Fall: n=3 1.1 r=3 1/k=1/3+1/3-1/2=1/6, also k=6 Tetraeder 1.2 r=4 1/k=1/4+1/3-1/2=1/12, also k=12 Oktaeder Erinnerung: 1/r+ 1/n = 1/2 + 1/k, also 1/k=1/r + 1/n -1/2. e=2k/r f=2k/n Institut für Mathematik, Universität Rostock 33

34 Es folgt d 3 oder n 3, denn andernfalls wäre 1/r+1/n 1/4+1/4=1/2. 1. Fall: n=3 1.1 r=3 1/k=1/3+1/3-1/2=1/6, also k=6 Tetraeder 1.2 r=4 1/k=1/4+1/3-1/2=1/12, also k=12 Oktaeder 1.2 r=5 1/k=1/5+1/3-1/2=1/30, also k=30 Ikosaeder 1.4 r 6 1/k 1/6+1/3-1/2=0, also k 0 Widerspruch Erinnerung: 1/r + 1/n = 1/2 + 1/k, also 1/k=1/r + 1/n -1/2. e=2k/r f=2k/n Institut für Mathematik, Universität Rostock 34

35 Es folgt r 3 oder n 3, denn andernfalls wäre 1/r+1/n 1/4+1/4=1/2. 1. Fall: n=3 1.1 r=3 1/k=1/3+1/3-1/2=1/6, also k=6 Tetraeder 1.2 r=4 1/k=1/4+1/3-1/2=1/12, also k=12 Oktaeder 1.2 r=5 1/k=1/5+1/3-1/2=1/30, also k=30 Ikosaeder 1.4 r 6 1/k 1/6+1/3-1/2=0, also k 0 Widerspruch 2. Fall: n=4 r=3 1/k=1/3+1/4-1/2=1/12, also k=12 Würfel 3. Fall: n=5 r=3 1/k=1/3+1/5-1/2=1/30, also k=30 Dodekaeder 4. Fall: n 6 r 3 1/k 1/3+1/6-1/2=0, Erinnerung: 1/r + 1/n = 1/2 + 1/k, also 1/k=1/r + 1/n -1/2. also k 0 Widerspruch e=2k/r f=2k/n Institut für Mathematik, Universität Rostock 35

36 Beispiele: e k + f = 2 Polyeder e k f Bild Tetraeder Würfel Oktaeder Ikosaeder Dodeka- eder Institut für Mathematik, Universität Rostock 36

37 Platonische Körper in der Geschichte Steinkugeln aus den Megalith-Kulturen ( v. Chr.), gefunden in Schottland Römisches Dodekaeder in Augst (Schweiz) gefunden. Nach keramischen Mitfunden auf datiert Institut für Mathematik, Universität Rostock 37

38 Platonische Körper in der Biologie Die einzellige, goldbraune Alge Braarudosphaera bigelowi bildet zeitweise ein Gerüst aus Calcitkristallen (CaCO 3 ), das annähernd ein Dodekaeder ist. Das Rhinovirus und andere Viren sind von einer ikosaederförmigen Proteinhülle - dem Capsid umschlossen Institut für Mathematik, Universität Rostock 38

39 Platonische Körper in der Kristallografie Chrom-Alaun-Einkristall Magnetit - Magneteisen Halit - Steinsalz Pyrit - Schwefelkies Institut für Mathematik, Universität Rostock 39

40 Platonische Körper im Glücksspiel Institut für Mathematik, Universität Rostock 40

41 3.2. Höherdimensionale reguläre Polyeder Das d-dimensionale Simplex: S={(x 1,, x n+1 ): x x n+1 = 1, x 1,, x n 0} Der d-dimensionale Würfel: W={(x 1,, x n ): -1 x 1 1,, -1 x n 1} Das d-dimensionale Oktaeder (Kreuzpolytop): O ={(x 1,, x n ): x x n 1} Institut für Mathematik, Universität Rostock 41

42 Satz von Schläfli Ist die Dimension d größer als 4, so sind das Simplex, der Würfel und das Oktaeder (der Dimension d) die einzigen regulären Polytope. Ist die Dimension gleich 4, so gibt es genau 3 weitere reguläre Polytope das 16-Zell, das 120-Zell und das 600-Zell. Ludwig Schläfli Institut für Mathematik, Universität Rostock 42

43 Zentralprojektion (Schlegel-Diagramm) für das 120-Zell Institut für Mathematik, Universität Rostock 43

44 Satz von Euler-Poincaré Sei f i die Anzahl der i-dimensionalen Seitenflächen eines d-dimensionalen Polytops, i=0,,d. Dann gilt f 0 - f 1 + f 2 - +(-1) (d-1) f d-1 Bsp: d=2: e k + f = 2 Bsp: Simplex, f i = = 1 - (-1) d Henri Poincaré Institut für Mathematik, Universität Rostock 44

45 4. Die archimedischen Körper Ein Polytop P heißt uniform, wenn je zwei Ecken durch eine P-invariante Bewegung ineinander überführt werden können. Ein archimedischer Körper ist ein 3-dimensionales uniformes Polytop, das nicht zu den folgenden Klassen gehört: 1.Platonische Körper 2.Prismen 3.Antiprismen Archimedes v.chr Institut für Mathematik, Universität Rostock 45

46 Prismen: Polyeder, die aus genau zwei kongruenten regelmäßigen n-ecken und n Quadraten bestehen Antiprismen: Polyeder, die aus genau zwei kongruenten n-ecken und 2n Dreiecken bestehen Institut für Mathematik, Universität Rostock 46

47 Satz (Archimedes): Es gibt genau 13 archimedische Körper. Polyeder e k f Figur Kuboktaeder Ikosidodekaeder Abgestumpftes Tetraeder Abgestumpftes Hexaeder Abgestumpftes Oktaeder Institut für Mathematik, Universität Rostock 47

48 Polyeder e k f Figur Abgestumpftes Dodekaeder Abgestumpftes Ikosaeder Kleines Rhombenkuboktaeder Großes Rhombenkuboktaeder Kleines Rhombenikosidodekaeder Institut für Mathematik, Universität Rostock 48

49 Polyeder e k f Figur Großes Rhombenikosidodekaeder Abgeschrägtes Hexaeder Abgeschrägtes Dodekaeder Institut für Mathematik, Universität Rostock 49

50 Informationen mittels MAPLE > with(geom3d): > tetrahedron(t,point(o,0,0,0),1); > draw(t); > volume(t); > vertices(t); > TruncatedIcosahedron(TI,point(o,0,0,0),1); > draw(ti); > TruncatedIcosidodecahedron(TId,point(o,0,0,0),1); > draw(tid); >?geom3d; Institut für Mathematik, Universität Rostock 50

51 Der Telstar WM Fußball Ein abgestumpftes Ikosaeder Eckpunkt-Eigenschaft: Jeder Eckpunkt gehört zu genau einem Fünfeck und genau zwei Sechsecken Institut für Mathematik, Universität Rostock 51

52 Aufgabe: Wie viele Ecken hat der Telstar Fußball? Lösung: Sei x=anzahl der Fünfecke y=anzahl der Sechsecke Dann gilt: f=x+y Institut für Mathematik, Universität Rostock 52

53 Aufgabe: Wie viele Ecken hat der Telstar Fußball? Lösung: Sei x=anzahl der Fünfecke y=anzahl der Sechsecke Dann gilt: f=x+y und mit Euler (e k + f = 2) e k + x + y = 2. Außerdem ist: Institut für Mathematik, Universität Rostock 53

54 2k = 3e (doppeltes Abzählen der Paare (Ecke, Kante), wobei die Ecke zur Kante gehört) Institut für Mathematik, Universität Rostock 54

55 2k = 3e (doppeltes Abzählen der Paare (Ecke, Kante), wobei die Ecke zur Kante gehört) und 2k = 5x+6y (doppeltes Abzählen der Paare (Kante, Fläche), wobei die Kante zur Fläche gehört) Institut für Mathematik, Universität Rostock 55

56 2k = 3e (doppeltes Abzählen der Paare (Ecke, Kante), wobei die Ecke zur Kante gehört) und 2k = 5x+6y (doppeltes Abzählen der Paare (Kante, Fläche), wobei die Kante zur Fläche gehört). Es folgt: 2 = e k + x + y = 2k/3 k + x + y, = -k/3 + x + y = -5x/6 y + x + y, Institut für Mathematik, Universität Rostock 56

57 2k = 3e (doppeltes Abzählen der Paare (Ecke, Kante), wobei die Ecke zur Kante gehört) und 2k = 5x+6y (doppeltes Abzählen der Paare (Kante, Fläche), wobei die Kante zur Fläche gehört). Es folgt: 2 = e k + x + y = 2k/3 k + x + y, = -k/3 + x + y = -5x/6 y + x + y, Also 2 =x/6, x = Institut für Mathematik, Universität Rostock 57

58 Aus der Eckpunkt-Eigenschaft folgt: 1.Jede Seite eines Fünfecks ist auch Seite eines Sechsecks. 2.Die Seiten eines Sechsecks sind abwechselnd auch Seiten eines Fünf- bzw. Sechsecks. Es folgt: 5x = 3y (doppeltes Abzählen der Kanten, die gleichzeitig Seite eines Fünf- und eines Sechsecks sind) Institut für Mathematik, Universität Rostock 58

59 x = 12 und 5x = 3y liefern y = 20, Institut für Mathematik, Universität Rostock 59

60 x = 12 und 5x = 3y liefern y = 20, f = x + y = 32, k = (5x + 6y)/2 = 90, e = 2k/3 = 60. Der Telstar-Fußball hat also 60 Ecken, 90 Kanten und 32 Flächen Institut für Mathematik, Universität Rostock 60

61 Verhältnis der Radien von Inkreis zu Umkreis: Kleines Rhombenikosidodekaeder % Abgeschrägtes Dodekaeder % Abgestumpftes Ikosaeder % Großes Rhombenikosidodekaeder % Sepp Herberger: Der Ball ist rund.??? Institut für Mathematik, Universität Rostock 61

62 Der Teamgeist WM Fußball Ein abgestumpftes Oktaeder e=24 k=36 f= Institut für Mathematik, Universität Rostock 62

63 Auf dem Weg nach Südafrika Institut für Mathematik, Universität Rostock 63

64 Institut für Mathematik, Universität Rostock 64

65 Übungsaufgaben für den 3D Aufgabe 1: Bestimme den Inkugelradius des Dodekaeders! Aufgabe 2: Beweise, dass jedes Polyeder mindestens 2 Flächen hat, die dieselbe Kantenzahl aufweisen! Aufgabe 3: Entscheide, ob es ein Polyeder gibt, dessen Oberfläche aus genau 10 Fünfecken besteht! Aufgabe 3: Sei P ein Polyeder, das zwei Ecken mehr als Flächen sowie keine Dreiecke als Flächen hat. Zeige: Alle Seitenflächen von P sind Vierecke Institut für Mathematik, Universität Rostock 65

66 Literatur Paul Adam, Arnold Wyss: Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde, Verlag Freies Geistesleben, Stuttgart, Harold S.M. Coxeter: Regular Polytopes, Macmillan, Dover, Harold S.M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie, Birkhäuser, Basel, Euklid: Die Elemente. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt a.m., Tiberiu Roman: Reguläre und halbreguläre Polyeder, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, Oswald Riemenschneider: Platonische Zahlentripel als Indikatoren verborgener Beziehungen zwischen einfachen mathematischen Objekten. Verlag Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, Wikipedia, Institut für Mathematik, Universität Rostock 66