Musterlösung Übung 7

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1 Musterlösung Übung 7 Aufgabe : Kühlschränke Das Prinzip eines Kühlschrankes ist schematisch in Abbildung - dargestellt. Überträgt man Wärme von der Region mit der tieferen emperatur zur Region mit der ärmeren emperatur, muss zusätzlich Arbeit aufgeendet erden (vgl. Formulierung des. Hauptsatzes der hermodynamik durch Clausius). Aussentemperatur > q =- q = q = q System k k Innenraum des Kühlschranks mit Abbildung -: Schematische Darstellung des Prinzips eines Kühlschrankes. ist die emperatur der Region mit der tieferen, derjenigen mit der höheren emperatur. Entsprechend sind q k resp. q die vom System mit der kälteren resp. ärmeren Region ausgetauschten Wärmemengen. ist die am System geleistete Arbeit. Gemäss der üblichen Vorzeichenkonvention gilt für den Betrieb der Maschine als Kühlschrank: q k > 0, q < 0 und > 0. a) Da der Kühlschrank reversibel arbeiten soll, gilt: s = q k + q = 0 beziehungseise Man erhält damit für die emperatur im Innern: = q k q 00 kj = 9. K =.0 K. 0 kj Es handelt sich also um eine iefkühltruhe der emperatur = 7.7 C. q q k =. (.) b) Die aufzuendende Arbeit ergibt sich mit Hilfe des. Hauptsatzes der hermodynamik und der Energieerhaltung für zyklische Prozesse: = (q + q k ) = q q k. (.) Unter Benutzung von (.) kann man schreiben: = ( ) ( ) 9. K q k q k = q k = 0 kj.0 K =.00 kj. c) Eine Möglichkeit, die Effizienz eines Kühlschrankes zu beurteilen, ist den Quotienten zischen der aus der kühleren Region abgeführten Wärme q k und der dazu aufzuendenden Arbeit zu bilden: η K = q k.

2 Dabei ist die Effizienz des Kühlschrankes umso besser, je grösser η K ist. Mit (.) und (.) findet man nun η K = q ( ) ( ) k = q k q q k = q q k q = q k q k ( ) = =. (.) Da sinnvollereise > gelten muss, kann η K Werte im Bereich 0 η K < annehmen. Setzt man die in der Aufgabenstellung gegebenen Zahlenerte in (.) ein, erhält man η K ( = 9. K, =.0 K) =. η K ( = 0. K, =.0 K) =.90. Man sieht, dass bei einer Erhöhung der Aussentemperatur von 0 C auf 0 C pro geleisteter Arbeit esentlich eniger Wärme aus dem Innern des Kühlschrankes entfernt ird. d) Kühlschränke und Wärmepumpen arbeiten im Prinzip identisch, die Anendung ist jedoch verschieden. Bei Kühlschränken ist man an der Region mit der tieferen emperatur interessiert. Für einen optimalen Betrieb muss dafür gesorgt erden, dass die Abärme in der Region mit der höheren emperatur möglichst effizient eggeführt ird, da sonst die emperatur dort ansteigt, as zu einer geringeren Effizienz des Kühlschrankes führt (vgl. eilaufgabe c). Bei Wärmepumpen ist man hingegen an der der ärmeren Region zugeführten Wärmemenge interessiert. Dabei sollte man auf eine möglichst stabile emperatur der kälteren Region (z.b. See im Winter) achten, damit die abgegebene Wärmemenge allein über die von der Wärmepumpe geleistete Arbeit reguliert erden kann. Aufgabe : Stirlingmotor a) In Abbildung - ist das p, V -Diagramm von einem Stirling-Prozess und einem gleichartigen Carnot-Prozess dargestellt. Sie gleichen einander bis auf die atsache, dass die Punkte und soie und durch isochore Linien anstatt durch Adiabaten miteinander verknüpft sind. b) Die vier Zustände sind die Kombinationen von h und mit V a und V b. Danach muss nur noch der Druck mit der idealen Gasgleichung p i = nr i (.) ermittelt erden. Richtig kombiniert ergibt sich für die vier Zustände: Zustand V/L /K p/bar c) Die Arbeit, elche entlang einer Isotherme im reversiblen Fall verrichtet ird ist ij = V j pdv = nr V j dv V = nr ln V j (.)

3 p / bar p / bar V / L V / L Abbildung -: p, V -Diagramm von Stirling-Prozess (links) und Carnot-Prozess (rechts). Beide fahren entlang derselben Isothermen und leisten daher dieselbe Menge an Arbeit. Der Wärmeverbrauch in beiden Prozessen ist jedoch unterschiedlich. Da im isothermen Fall die innere Energie konstant bleibt gilt ausserdem q ij = ij. Bei der isochoren emperatur ird keine Volumenarbeit geleistet und daher ird Man erhält also pro akt q ij = U ij = nc V ( j i ). (.) akt /kj q/kj d) Mit diesem Stirlingmotor erhält man eine Arbeit von = + =.kj pro Zyklus. e) Die Effizienz dieser Maschine ist η = q + q = 0.. (.) Im vergleich dazu beträgt der Wirkungsgrad einer Carnot-Maschine, die zischen den emperaturen 00K und 700K läuft, η = 0.7. Der Grund für die schlechtere Effizienz ist die zusätzlich einzuspeisende Wärme q, die ein Stirlingprozess für die isochore Erärmung benötigt. Diese läuft beim Carnot-Prozess adiabatisch ab, und benötigt daher keine Wärmezufuhr. Stirnling-Maschinen erden deshalb vor allem bei sehr niedrigen emperaturdifferenzen eingesetzt, o der erm q vernachlässigbar ist gegenüber q und daher annähernd der Carnot-Wirkungsgrad erreicht ird.

4 Aufgabe : Heizen eines Chalets a) Man betrachte die Wärmepumpe, elche ährend die Zeit dt die folgende elektrische Arbeit leistet: δ = P dt (siehe Abbildung -). Chalet mit der emperatur q elektrische Wärmepumpe q k Luft aussen, mit 0 Abbildung -: Eine Wärmepumpe zum Aufheizen des Chalets. Bei einem geschlossenen Kreisprozess gilt für die innere Energie u der Wärmepumpe: du = δ + δq + δq k = 0 (.) und der Entropie s: ds = δq k 0 + δq = 0 (.) Das Symbol δ ird verendet, um anzuzeigen, dass die Variable egabhängig ist und nicht als totales Differential ausgedrückt erden kann. Mit die Wärme geliefert aus der System (zum Chalet) gegeben als δq = c p d und die elektrische Arbeit δ = P dt kann man Gleichung (.) nun umschreiben zu: P dt c p d + δq k = 0 Mit δq k = 0 δq aus Gleichung (.) und ieder δq = c p d folgt: P dt c p d + 0 c p d = 0 c p d P dt = c p d 0 dt = c ( ) p d d 0 P (.) Wenn man nun über die totale Heizdauer t integriert, erhält man: t = c p P [ ( 0 ) 0 ln ( 0 )] = h (.)

5 b) Wenn man die Forscher als Heizung betrachten ürde, äre die Heizdauer: Die Wärme, die pro Forscher produziert ird, ist: t = c p( ) 0 P m = 6.h (.) q m = t P m = 000 kj = 866 kcal (.6) Damit kann jeder Forscher eta 9 gram Fondue verspeisen. Man kann also zusammenfassend sagen, dass es sich lohnt eine Heizpumpe zu benutzten, enn man es schnell arm bekommen möchte.