X : W R, µ((a,b]) = P({w W : b < X(w) a}) = P(X < a) F X (a) := P({w W : X(w) < a}) = P(X < a).

Transkript

1 Ã Ô Ø Ð ½ Ù ÐÐ ÔÖÓÞ ½º½ Ò ÙÖÞ Ò ÖÙÒ Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÒÙÒ Ð Ö Ø Û Ö Ò Ò Û Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ù ËØÓ Ø Û Ö ÓÐغ Ð Û Ø Ö Ö Ò Ä Ø Ö ØÙÖ ÑÔ Ð Ò Û Ö ºº Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ø Ò ÌÖ ÔÐ Ø (W,F,P ½ ÛÓ W Ö Ö Ò Ö ÙÑ Ø ÙÒ Å Ò ÐÐ Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò ÒØ ÐØ F Å Ò ÐÐ Ö Ñ Ð Ò Ö Ò Ø ÙÒ P Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ù F Ò Ñ Ð Ò Ö Ò Ò Ò Ï ÖØ Ï Ö ÒÐ Ø Ñ Ø Ö Ö Ò ÒØÖ ØØ ÞÙÓÖ Ò Øº Ô Ð ½ Ë W Å Ò ÐÐ Ö Ñ Ð Ò Ë Ò Ú ÖÐÙ Ò Ï Ö Ø ÙÒ F Å Ò ÐÐ Ö Ì ÐÑ Ò Ò ÚÓÒ Wº P Ï Ö ÒÐ Ø Ó Ò Ë Ò Ú ÖÐ Ù ÒØÖ Øغ Ò ØÛ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ô Ð Ø Ö Å ÒÞÛÙÖ º Ô Ð ¾ Ö Å ÒÞÛÙÖ Ë W = {K,Z} ÙÒ F Å Ò ÐÐ Ö Ñ Ð Ò Ì ÐÑ Ò Ò ÚÓÒ W º º F = {{K,Z},{K},{Z}, }º Ï Ö ÒÐ Ø Ñ P : F [,] Ò Ö Ò Û Ö ÓÐ Ò ÖÑ Ò Ë A Fº ÒÒ ØÞ Ò Û Ö P(A = A /º ÁÒØ Ö ÖØ Ñ Ò Ò Ô Ð ½ Ò Ø Ö Ë Ò Ú ÖÐÙ ÓÒ ÖÒ Ö Ò ØÔÙÒ Ø Û ÒÒ Ò Ï Ö Ø Ò Ø Ñ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ó Ö ÐØ Ñ Ò Ò Ð ÙÒ X : W R, w ØÔÙÒ Ø Ò Ò Ï Ö Ø Ñ Ø Ë Ò Ú ÖÐ Ù w Ò Ø Ñ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø Øº. ËØ ØØ Ò Ë Ò Ú ÖÐÙ Ò Ö Ñ Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ (W,F,P ÞÙ ÑÑ Ò Ñ Ø Ö Ù¹ ÐÐ Ú Ö Ð Ò X ÞÙ ØÖ Ø Ò Ø ÒÙÒ Ñ Ð Ð Ñ Ø Ö ÚÓÒ X Ò ÙÞ ÖØ Ò Î ÖØ ÐÙÒ Ù Ò Ö ÐÐ Ò Ð Ò R ÞÙ Ö Ø Òº ÞÙ Ò Ö Ò Û Ö Ò Ó Ò ÒÒØ Å µ Ù Ò Ö ÐÐ Ò Ð Òº ÁÒ Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ø ÓÖ ÒÒ Ñ Ò Þ Ò Ò Ø Ó Ò Å Ù Ö Å Ò ÐÐ Ö Ð Ó Ò Ò ÁÒØ ÖÚ ÐÐ ÞÙ Ò Ö Òº Ë Ð Ó a b < º ÒÒ µ((a,b] = P({w W : b < X(w a} = P(X < a  ØÞØ ÒÒ Ñ Ò Ñ Ø À Ð Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ù Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ö ÐÐ Ò Ð Ò Ò Ï Ö ÒÐ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ò Î ÖØ ÐÙÒ Ö Ë Ò Þ Ø Ò X Ò Øº Ò Ù Ö F X (a := P({w W : X(w < a} = P(X < a. ÁÒ ÙÒ Ö Ñ Ô Ð Û Ö Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ö Ò º Ø Ö Ù Û Ø Ù ÓÑÔÐ Ü Ö Ï Ö ÒÐ Ø ÖÙÑ ½ ÁÑ Ë Ö ÔØÙÑ ÚÓÒ À ÖÖÒ ÈÖÓ º Ã Ö Ò Ó Ö Û Ö Ö Ê ÙÑ Ñ Ø Ω ÙÒ Å Ñ Ø P Þ Ò Ø Ó ω ÙÒ Ω ÞÙÑ Ø Ö ÕÙ ÒÞ Ò Þ Ò Ò Û Ö Ö (W,F,P Ú ÖÛ Ò Øº ½

2 ¾ à ÈÁÌ Ä ½º Í ÄÄËÈÊÇ ËË Ô Ð Ë W Å Ò ÐÐ Ö Ñ Ð Ò ÍÒ ÐÐÚ ÖÐÙ Ò Ù ÖØ ÙÒ ÐÐ ÙÒ F Å Ò ÐÐ Ö Ñ Ð Ò Ì ÐÑ Ò Ò ÚÓÒ Wº Ï Ø Ö Ö w W P(w Ï Ö ÒÐ Ø Ò ÍÒ ÐÐ Ñ Ø ÍÒ ÐÐÚ ÖÐ Ù w Ô Öغ Ë X : W R X(w ÃÓ Ø Ò Ò ÍÒ ÐÐ Ñ Ø ÍÒ ÐÐÚ ÖÐ Ù w Ú ÖÙÖ Øº Ë A > º Ï Ö ÒÐ Ø ÃÓ Ø Ò ÍÒ ÐÐ Ñ Ö Ð ea Ù Ñ Ò ÒÒ ÙÖ Î ÖØ ÐÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÖ P Ù R Ò ÙÞ ÖØ Û Ö Ö Ò Ø Û Ö Òº Ñ Ø Ø Î ÖØ ¹ ÐÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ F X ¾ Ù Ô Ð Ò ÙÖ F X (x := P(X x = µ((,x], x R. Ñ Ö ÙÒ ½ Å Ò ÒÒ Þ Ò F X : R R ÓÐ Ò Ò Ø Ò ØÞØ ½º F X : R [,] ¾º lim x F X (x = ÙÒ lim x F X (x = º F X (x F X (y Ö x y F X Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ø Ò µº ÍÑ ÖØ Ö ÐÐØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ F ÈÙÒ Ø Ò Ñ Ö ÙÒ ½ Ó ØÞØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø º Ø Ø Ò Ò Ø Ò Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ f : R R Ó ÐØ F(a = a f(xdx, < a <. ÍÑ ÖØ Ø Ò Ò ØÒ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ f Ð ØÙÒ ÚÓÒ F º º F(x+ x F(x f(x = lim x x = df(x dx ÙÒ f(xdx = ÒÒ Ø F Ò ÖØ ÙÖ ½º½µ Ò Î ÖØ ÐÙÒ ÙÒ Ø ÓÒº Ë Y Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ò ÖØ ÙÖ µ Ô Ð ½µ ÙÒ F Y ÞÙ Ö Î ÖØ ÐÙÒ ¹ ÙÒ Ø ÓÒº ÒÒ Ø Ø ÚÓÒ F Y Ò ÙÖ f Y = δ + δ. ½º½µ Ñ Ö ÙÒ ¾ Å Ø À Ð Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÞÛº Ö Î ÖØ ÐÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ø ÅÓ¹ Ñ ÒØ ÙÒ ÞÛ Ø ÅÓÑ ÒØ ÒÞ Ð Ø Ö Ò Ò Ë X : W R Ò Ù ÐÐ Ú Ö Ð ÙÒ F X ÞÛº f X ÞÙ Ö Î ÖØ ÐÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÞÛº Ø º ÒÒ ÐØ Ö Ö Ø ÅÓÑ ÒØ Ù ÖÛ Ö¹ ØÙÒ Û ÖØ Ò ÒÒص ÙÒ Ö ÞÛ Ø ÅÓÑ ÒØ µ X = EX = µ X = EX = xf X (xdx = x f X (xdx = ( F X (x dx x( F X (x dx. Ö Ø ÅÓÑ ÒØ Ø Ù ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ ÙÒ Û Ö Ò Ö Ä Ø Ö ØÙÖ Ó Ø Ù Ñ Ø EX Þ Ò Øº Ò ÐÓ Û Ö µ X Ó Ø Ñ Ø EX Þ Ò Øº ¾ ÁÑ Ë Ö ÔØÙÑ Þ Ò Ò Û Ö Î ÖØ ÐÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ò Ù ÐÐ Ú Ö Ð Y F Y º

3 ½º½º ÁÆ ÃÍÊ ÁÆ ÀÊÍÆ ÁÆ Á Ï ÀÊË À ÁÆÄÁ Àà ÁÌËÊ ÀÆÍÆ Ñ Ö ÙÒ Ë X Û Ö Ò Ù ÐÐ Ú Ö Ð º Ò Û Ø Ö Û Ø Ã ÒÒ Ö Ò Ö Ù Ø Ò ¹ Ú Ö Ð Ø Ö Ò Î Ö ÒÞ Û Ð ÓÐ Ò ÖÑ Ò Ö Ò Ø Û Ö º σ X = E(X µ X = = (x µ X f X (xdx x f X (xdx µ X xf X (xdx+µ X f X (xdx = µ X µ X +µ X = µ X µ X Á Ø µ X = Ó ÐØ σ X = µ X Ü ÑÔÐ ½º½º½ Ë x Ò Ò Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒº Ø x : R R cos(+θ; ÛÓ θ [,π] Ü ÖØ Øº Æ Ñ Ò Û Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ x Ò Ø Ò,, 3,..., n Ñ Ò Û Ö º ÙÒ Ø ÓÒ Ù [,π] Ô Ö Ó Ø Ò Ñ Ò Û Ö Ò ØÔÙÒ Ø,, 3,..., n Ð Ú ÖØ ÐØ Ù [,π] Û ÐØ Ò º Ï ÖÓ Ø Ö Å ØØ ÐÛ ÖØ ÙÒ ÙÖ Ò ØØÐ ËØ Ò Ö ¹ Û ÙÒ Ë ÑÔÐ Ó Ö Ù Ö ËØ ÔÖÓ µ {x(,x(,...,x( n }? ÁÒ Ñ Ø Ñ Ø ËÔÖ Ö ØÞØ Ø Û Ö Ò Ò Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ (W,F,P ÛÓ Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ð ÙØ Ø W = [,π], F = { Å Ò ÐÐ Ö Ì Ð¹ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ù [,π] }, P([a,b] = b a, Ö a π. X : W R w x(w = cos(w+θ. Å Ø À Ð Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ ÒÒ Ñ Ò Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö Ø Ù Ö Ò Òº Ø Ñ Ò Ö Ò Ø ÓÐ Ò ÁÒØ Ö Ð Ò ÐÓ ÐØ Ö Î Ö ÒÞ EX = µ X = EX = µ X = π π X (d = = cossin π+θ + θ X(wdw = π π+θ θ π x(d =. cos (+θd = d =... π+θ θ cos (d Ù ÐÐ Ú Ö Ð X Ö Ñ Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ (W,F,P Ò ÙÞ ÖØ Ò Î ÖØ ÐÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ F X Ù Ò Ö ÐÐ Ò Ð Ò Ñ ØØ Ð F X (a := P({w W : X(w a} = P({ [,π] : x( a} = arccos(a. ½º¾µ

4 à ÈÁÌ Ä ½º Í ÄÄËÈÊÇ ËË ÙÖ Ö ÒÞ Ö Ò Ö ÐØ Ñ Ò ÞÙ Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒ f X (a = / a º ÁÒ Ö ÈÖ Ü ÒÒØ Ñ Ò Ó Ø ÞÙ ÖÙÒ Ð Ò Î ÖØ ÐÙÒ ¹ ÙÒ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò Øº ÐÐ Ö¹ Ò Û Ñ Ò Ù Ñ ØÞØ Ö ÖÓ Ò Ð Ò Ö ØÔÙÒ Ø {,, 3,..., n } Ð Ú ÖØ ÐØ Ù [,π] Ò Ö Å ØØ ÐÛ ÖØ Ö ËØ ÔÖÓ Ð Ó {x(,x(,...,x( n }, x := n n x( i, Ò Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ µ X ØÖ Ø ÙÒ Î Ö ÒÞ Ö ËØ ÔÖÓ {x(, x(,..., x( n } Ð Ó ( s x := n x ( i n x( i, n n i= i= Ò Î Ö ÒÞ Ö Ù ÐÐ Ú Ö Ð σx ØÖ Øº ËÓ ÒÒ Ñ Ò ÙÖ Ë ÑÔÐ Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒÛ ÖØ ÚÓÒ X Ö Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ ÙÒ Î Ö ÒÞ Ö Ò Òº i= ½º¾ Î Ö Ò Î ÖØ ÐÙÒ Ò ÙÑ Ø Ø Ò Ù Î ÖØ ÐÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ù ÐÐ Ö ÙÒ ÒÒغ ÁÒ Ö ÈÖ Ü Ò Ö Ø ÑÑØ Î ÖØ ÐÙÒ ØÝÔ Ò Û ÖØ Ò Û Ö Ò Û Ö Ö Ò Ñ Ã Ô ØÐ ÙÖÞ ÚÓÖ Ø ÐÐ Òº ½º¾º½ ÆÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐÙÒ Ë X Ò Ù ÐÐ Ú Ö Ð º ÒÒ Ø X ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐØ ÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓÒ f X ÚÓÒ X ÓÐ Ò ÓÖÑ Ø f X (x = σ (x µ π e σ, x R. ½º µ ÁÒ Ð ½º½ Ø Ø Ö ÆÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐÙÒ Ñ Ø Å ØØ ÐÛ ÖØ ¼ ÙÒ Î Ö ÒÞ ½ Рغ È Ö Ñ Ø Ö σ ÙÒ µ R Ò ½º½µ ÒÒ Ñ Ò Ö Û Ð Òº Å Ò Ö Ø Ù ÙÖÞ X Ø N(µ,σ Ú ÖØ Ðغ Ö È Ö Ñ Ø Ö µ Ø Å ØØ ÐÛ ÖØ ÙÒ ÐØ xf X (x dx = µ. Ö È Ö Ñ Ø Ö σ Ø Ù ËØ Ò Ö Û ÙÒ ÙÒ ÐØ (x µ f X (x dx = σ. Á Ø X Ò ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐØ Ù ÐÐ Ú Ö Ð ÞÛº X N(,σ Ó ÒÒ Ñ Ò Ò Ö ËØ Ò Ö Û ¹ ÙÒ Ò Û Ú Ð Ñ ÙÖ Ò ØØ Ö Ò w Ö Ï ÖØ X(w ÚÓÑ Å ØØ ÐÛ ÖØ Û Øº Ï ÐÐ Ñ Ò Ë Ö ÔØÙÑ Ã Ö Ò Ó Ö ËØ Ø Ø º º¾º Ë Ë Ö ÔØÙÑ Ã Ö Ò Ó Ö ËØ Ø Ø º¾º

5 ½º¾º Î ÊË ÀÁ Æ Î ÊÌ ÁÄÍÆ Æ Ð ÙÒ ½º½

6 à ÈÁÌ Ä ½º Í ÄÄËÈÊÇ ËË Ò ÓÒ Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ù Ö Ò Ò X Ò Ñ ÁÒØ ÖÚ Ð [ σ,σ] Ð Ø Ó ÑÙ Ñ Ò Ò Ï ÖØ ÁÒØ Ö Ð ÚÓÒ σ Ò σ Ö f X Ö Ò Ò º º P({w W : σ(w X σ} = σ π σ σ e x σ dx. Ò ÐÓ ÒÒ Ñ Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ö Ò Ò Ï ÖØ ÚÓÒ X Ñ ÁÒØ ÖÚ Ð [ σ,σ] [ 3σ,3σ]..., Рغ À Ö Ö Ò Ø Ñ Ò Ò Ï ÖØ ÁÒØ Ö Ð ÚÓÒ σ Ò σ Þ ÙÒ Û ÚÓÒ 3σ Ò 3σ...µ Ö f Ø ½º µ P({w W : σ X σ} = σ π σ σ e x σ dx. ½º µ ÁÒ ÓÐ Ò Ö Ì ÐÐ Ò Ò Û Ø Ï ÖØ Ò ØÖ Ò ½º¾º¾ Ê ÝÐ Ú ÖØ ÐÙÒ n P( nσ x nσ P( x > nσ ½ º ± ½º ± ¾ º ± º ± º ± ¼º ± Ë Ò X : W R ÙÒ Y : W R ÞÛ ÙÒ Ò ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐØ Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ñ Ø Å ØØ ÐÛ ÖØ ÙÒ Î Ö ÒÞ σº Å ØØ Ð X ÙÒ Y ÒÒ Ñ Ò Ò Ò Ù Ù ÐÐ Ú Ö Ð r Ò Ö Ò ÙÖ Ò ØÖ Î ØÓÖ (X,Y Ò Øº Å Ø Ñ Ø Ù Ö Ø Ø r Ò ÖØ ÙÖ r : W R, w r(w := X (w+y (w. Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ r ÒÒ Ñ Ò Ð Ø Ñ ØØ Ð ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ Ð Ø Ò Ë a < b < º ÒÒ ÐØ P(r [a,b] = P( [a,b] (r = P( [a,b] ( X +Y = = = σ π σ π f X (xf Y (y [a,b] ( x +y dxdy π e x σ e y σ [a,b] ( x +y dxdy e r σ [a,b] (rdθdr. Ë < a < b º ÒÒ Ø P(r [a,b] = Ö ØÖ Ò Î ØÓÖ Ò Ø Ò Ø Ú Ò ÒÒº Ñ Ø Ð ÙØ Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ò r Ñ Ò Ê ÝÐ ¹Î ÖØ ÐÙÒ Ò ÒÒØ ÙÖÞ r Rayleigh(σµ f r (x = { x σ e x σ, x,, x <. Î ÖØ ÐÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÙØ Ø

7 ½º¾º Î ÊË ÀÁ Æ Î ÊÌ ÁÄÍÆ Æ Ð ÙÒ ½º¾ F r (x = { e x σ, x x <. ÁÒ Ð ½º¾ Ø Ù Ö Ð Ò Ò Ë Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ê Ð Ý Î ÖØ ÐÙÒ ÙÒ Ù Ö Ö Ø Ò Ë Ø Î ÖØ ÐÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ê Ð Ý Î ÖØ ÐÙÒ Þ Ò Øº Î Ö ÒÞ Ø Û Ð ½ ØÞغ Ï Ø Ö Ã ÒÒ Ö Ò Ò Ö ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ ÅÓÑ ÒØ ÙÒ Î Ö ÒÞº Ö ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ð ÙØ Ø µ r = σ π Û Ù ÓÐ Ò Ö Ê ÒÙÒ ÓÐ Ø µ r = = xf r (xdx = x x σ e σ dx = x x x σ σe dx = e x σ + = σ π σ π = σ π = σ e x σ dx = e x σ dr = σ π e r σ dx =. π σ π Ö Ñ Ü Ñ Ð Ï ÖØ Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒ Û Ö Ò σ Ò ÒÓÑÑ Òº ÞÛ Ø ÅÓÑ ÒØ Ð ÙØ Ø µ r = σ Û Ù ÓÐ Ò Ö Ê ÒÙÒ ÓÐ Ø µ r = = σ. x f r (xdx = x 3 x σ e σ dx

8 à ÈÁÌ Ä ½º Í ÄÄËÈÊÇ ËË ÐÐ Ñ Ò ÐØ Ö kø ÅÓÑ ÒØ µ r k = σ k k/ Γ(+k/, k N. Ö Î Ö ÒÞ ÐØ Var(r = σ r = σ (4 π/º σr = µ r (µ r = σ σ π = 4 π σ Ò ÙØ ØÞÙÒ Ö σ r Ø 3 σº Ï Ö ÆÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐÙÒ ÒÒ Ñ Ò Ö Ò Û ÖÓ Ï Ö ÒÐ Ø Ø Ò Ê ÝÐ Ú ÖØ ÐØ Ù ÐÐ Ú Ö Ð ÚÓÑ Å ØØ ÐÛ ÖØ Û Øº Ë n Nº Ö Ò Ø Ñ Ò Ï ÖØ ÚÓÑ ÓÐ Ò Ò ÁÒØ Ö Ð x P(r > nσ = σ dr Ó ÓÑÑØ Ñ Ò Ù ÓÐ Ò Ì ÐÐ nσ σ e x ÓÜ Å ÐÐ Ö¹Å Ø Ó n P(r > nσ ¼ ½¼¼± ½ ¼º ± ¾ ½ º ± ½º¾± ÓÜ Å ÐÐ Ö Ñ Ø Ó Ø Ò Î Ö Ö Ò ÞÙÖ ÖÞ Ù ÙÒ ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐØ Ö Ù ÐÐ Þ Ð Ò ÙÒ ÖØ Ù Ö Ì Ø ÐÐ x ÙÒ x ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐØ Ò Ñ Ø Ð Ö Î Ö ÒÞ σ ÙÒ Å ØØ ÐÛ ÖØ Ù ÐÐ Ú Ö Ð R = X +X Ê Ð Ý Ú ÖØ ÐØ Øº ÓÜ Å ÐÐ Ö¹Å Ø Ó ½º ÖÞ Ù ÞÛ Ð Ú ÖØ ÐØ Ù ÐÐ Ú Ö Ð U ÙÒ U Ù [,]º Ø P(U k (a,b = b a, a b. ¾º Ë ÒÙÒ ÙÒ Z = ln(u sin(πu, Z = ln(u cos(πu. Ñ Ö ÙÒ Ø Ò ÞÙ Ò R = ln(u Ò Ê ÝÐ Ú ÖØ ÐØ Ù ÐÐ Ú Ö Ð Øº Á Ø U Ð Ú ÖØ ÐØ Ù [,] ÙÒ Ø F Ò Ò Î ÖØ ÐÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÒÒ Ø X = F (U Î ÖØ ÐÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ F º Ë ØÞØ Ñ Ò ÒÒ Ø F (x = ln(xº F(x = E x /(τ, x,

9 ½º¾º Î ÊË ÀÁ Æ Î ÊÌ ÁÄÍÆ Æ Ñ Ö ÙÒ ÆÓÖÑ Ö ËÙÑÑ ÞÛ Ö Ù Ú ÖØ ÐØ Ö Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ø Ê ÝÐ Ú ÖØ Ðغ Ø Ñ Ò ÙÖ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ù ÈÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò Ë R = X +X X X Ø ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ Ðغ ÒÒ ÐØ F(R = x = = = πσ π x x σ e σ. e u σ e u σ δ x u +v dudx δ x (rre r σ drdθ ½º¾º Ï ÙÐÐ Î ÖØ ÐÙÒ Ï ÙÐйΠÖØ ÐÙÒ Ø Ò Ø Ø Ø Î ÖØ ÐÙÒ Ô Ð Û ÞÙÖ ÍÒØ Ö Ù ÙÒ ÚÓÒ Ä Ò ¹ Ù ÖÒ Ò Ö ÉÙ Ð ØØ ÖÙÒ Ú ÖÛ Ò Ø Û Ö º Å Ò Ú ÖÛ Ò Ø ÚÓÖ ÐÐ Ñ Ö Ø ÐÐÙÒ Ò Û Å Ø Ö Ð ÖÑ ÙÒ Ò ÚÓÒ ÔÖ Ò Ï Ö ØÓ Ò Ó Ö Ù ÐÐ Ò ÚÓÒ Ð ØÖÓÒ Ò ÙØ Ð Ò Ò¹ Ó Ø Ø Ø Ò ÍÒØ Ö Ù ÙÒ Ò ÚÓÒ Ï Ò Û Ò Ø Òº Ò ÒÒØ Ø Ò Ñ Ë Û Ò Ï ÐÓ Ï ÙÐÐ ½ ¹½ µº Ò Ò ÙÐ Ô Ð Ö ÒÛ Ò ÙÒ Ö Ï ÙÐйËØ Ø Ø Ø Ù ÐÐÛ Ö ÒÐ ¹ Ø Ò Ö Ã ØØ º Î Ö Ò Ò Ð ÖØ ÞÙÑ Ø Ø Ú ÖÐÙ Ø Ö ÒÞ Ò Ã ØØ º ËÔÖ Ï Ö ØÓ Þ Ò Ò ÒÐ ÖÙ Ú Ö ÐØ Òº Ò Ø Ò Ê Ö Ö Ø Ê ÐÒ Ö¹ Ö Ø Ø ÙÑ ÙØ Ð ÞÙ Þ Ö Ø Ö Òº ÁÑ Ã Ô Ø Ð Û Ö Ò Û Ö Ò Ò Ù Ò Ù ÑÑ Ò Ò ÞÛ Ò Ö ÙÖ Ò ØØÐ Ò Ä Ò ¹ Ù Ö Ò Ð Ø Ø Ò ÙØ Ð ÙÒ Ö Ï ÙÐÐ Î ÖØ ÐÙÒ Ð Ø Òº ÁÒ Ñ Ã Ô Ø Ð Ò Û Ö ÒÙÖ ÙÖÞ Ö Ø Ö Ø Ò Ö Ï ÙÐÐ Î ÖØ ÐÙÒ ÞÙ ÑÑ Òº Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ï ÙÐйΠÖØ ÐÙÒ Wei(α,β α,β > Ø Ò ÙÖ f(x = { αβx β e αxβ Ö x >, ÓÒ Ø, ÙÒ Ö Î ÖØ ÐÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÙØ Ø F(x = e αxβ, x >. Å Ü ÑÙÑ Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒ Û Ö Ò ( β αβ β Ò ÒÓÑÑ Òº Ö ½º Þ Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ï ÙÐйΠÖØ ÐÙÒ Ö Ú Ö Ò Ï ÖØ ÚÓÒ α º Å Ò Ø Ö ÐÐ α = ÜÔÓÒ ÒØ ÐÚ ÖØ ÐÙÒ Ö Øº Ö α Ø Ø ØÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ ÐÐ Ò º Ö α = 3,4 Ö Ø Ò Î ÖØ ÐÙÒ ÒÐ Ö ÆÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐÙÒ º Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ø Ò ÙÖ ( E(X = α /β Γ β +. Î Ö ÒÞ Ø Ò ÙÖ σ X = α /β ( Γ ( ( β + Γ β +,

10 ½¼ à ÈÁÌ Ä ½º Í ÄÄËÈÊÇ ËË Ï ÙÐÐÚ ÖØ ÐÙÒ x Β,5 Β Β 4 Β 3 Β.5.5 f x Ð ÙÒ ½º Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ò È Ö Ñ Ø Ö ÛÓ Γ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Þ Ò Øº Ï Ø Ö ÐØ ( Wei σ, = Rayleigh(σ ½º Ù ÐÐ ÔÖÓÞ Ç Ø ØÖ Ø Ø Ñ Ò Ò Ö ËØÓ Ø Ò Ø ÒÞ ÐÒ Ù ÐÐ Ú Ö Ð ÓÒ ÖÒ Ù ÐÐ Ú Ö Ð Þ ØÐ Ú ÖÒ ÖÒ ÒÒ Òº ÁÒ Ò ÐÐ Ö ÐØ Ñ Ò Ò Ð ÙÒ ξ : W [, R, (w, ξ(w,. ÛÓ W Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Øº ÁÑ ÐÐ Ñ Ò Ò Ò ÒÒØ Ñ Ò Ó Ò Ñ Ð ÚÓÒ Ù ÐÐ Ú Ö ¹ Ð Ò Ö Ò ÁÒ ÜÑ Ò Ø Ø Ò Ò ËØÓ Ø Ò ÈÖÓÞ º ËÓ Ò ËØÓ Ø Ö ÈÖÓÞ ÒÒ Þº º Ì ÑÔ Ö ØÙÖ Ñ Ò Ñ Ö Þ Ö ÐÙ Ò Ó Ö Ï Ò ØÖ Ñ Ò Ñ Ë Û Ñ¹ Ñ ÖÐØÙÖÑ Òº Ê Ù Ò Ñ Ò Ñ Ê Ó ÖØ Ó Ö Ñ ÖÒ Ö Ø Û ÒÒ Ñ Ò Ò Ë Ò Ö Ò Ø Ò Ù Ò Ø ÐÐØ Ø ÒÒ Ñ Ò Ð ØÓ Ø Ò ÈÖÓÞ ÑÓ ÐÐ Ö Òº Ù Î Ö Ø ÓÒ Ò Ò Ö ËØ ÒÒ Ñ Ò Ñ ØØ Ð Ò Ò ËØÓ Ø Ò ÈÖÓÞ ÑÓ ÐÐ Ö Òº Ü ÑÔÐ ½º º½ Ï ØØ Ö Ë W := { ÐÐ Ñ Ð Ï ØØ ÖÚ ÖÐÙ Ò Ä Ó Ò Ò Ò Ñ Ø Ñѹ Ø Ò Ì } F Å Ò ÐÐ Ö Ñ Ð Ò Ì ÐÑ Ò Ò ÚÓÒ Wº Ë ξ : W [, R, Ï Ò ØÖ ÞÙÖ Ø Ñ ÈÙÒ Ø (w, ξ(w, := x Þº º Ö ËÔ ØÞ Ë Û ÑÑ Öй ØÙÖÑ µ Ñ Ò Û Ö º ËÓ Ò ØÓ Ø Ò ÈÖÓÞ ÒÒ Ñ Ò Ù ÞÛ ÖØ Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò Ë w W Ü ÖØ ØÖ Ø Ø Ñ Ò Ð ÙÒ ξ(w : [, R, ξ(w,, ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Γ Ø Ò Ô Þ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ì Ð Ø Ò Ö Ò ÐÝ ÙÒ Ö ÙÒ ¹ Ø ÓÒ ÒØ ÓÖ º ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÒÒ Ö ÔÓ Ø Ú Ö ÐÐ Ð Ò x ÙÖ Γ(x = x e dº

11 ½º º Í ÄÄËÈÊÇ ËË ½½ Eine Trajekorie zu einen besimmen w aus W Eine Trajekorie zu einen anderen w aus W xi(w xi(w Ð ÙÒ ½º Ô Ð ÞÛ Ö Ú Ö Ò Ö ÌÖ ØÓÖ Ò Ó Ö Ø ξ(w Ò Þ ØÐ Ò Î ÖÐ Ù Ö Ï Ò ØÖ Ò Ñ ÈÙÒ Ø x Ñ Ò ÛÙÖ Ø ξ(w Ø Ò Ò ÃÙÖÚ Ò Rº ÃÙÖÚ Ò ÒÒØ Ñ Ò ÌÖ ØÓÖ Ó Ö Ù È Ê Ð ÖÙÒ µº Ë [, Ü ÖØ ØÖ Ø Ø Ñ Ò Ð ÙÒ Ó Ø ξ( Ò Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ö Rº ξ( : W R, w ξ(w,, Ü ÑÔÐ ½º º¾ Ë Ò A ÙÒ B ÞÛ ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐØ Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ñ Ø Å ØØ ÐÛ ÖØ ÙÒ ËØ Ò Ö ¹ Û ÙÒ.5º ÒÒ Ø ξ Ò ÖØ ÙÖ [, ξ( := Acos(ω+Bsin(ω Ò ØÓ Ø Ö ÈÖÓÞ º ÁÑ Ò Ø Ò Ð Ò Ë Ð Ò Ò ÌÖ ØÓÖ º Ö Ø Ð Þ Ø ¼¼ ÌÖ ØÓÖ Ò ÞÙÑ ØÔÙÒ Ø = ÑÔ Ðغ Ü ÖØ Ñ Ò > ÙÒ Ö Ò Ø Ñ Ò Î ÖØ ¹ x( Eine ypische Trajekorie ÐÙÒ ÞÙ ξ( Ó Ø Ñ Ò ξ( Û Ö Ò ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐØ Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ñ Ø Å ØØ ÐÛ ÖØ ÙÒ ËØ Ò Ö Û ÙÒ.5 غ Ü ÑÔÐ ½º º ÁÒ Ñ Ø ÒØ ÖÚ Ð [,] Û Ö Ø Ò ËÔ Ð Ö n Ñ Ð Å ÒÞ Ù Ô Ð ½º Ö Ø Ö Ñ Ð Ò Ï ÖØ Ù Ò Ö Û Ö ÐØ Øº Ö Ö ÐØ ÙÖ Ò ÓÐ (w,w,,w n

12 ½¾ à ÈÁÌ Ä ½º Í ÄÄËÈÊÇ ËË ÛÓ w i ÒØÛ Ö K Ó Ö Z غ ÁÒ Ñ Ø Ñ Ø ËÔÖ Ö ØÞØ Ò Û Ö Ò Ò Ï Ö Ò¹ Ð Ø Ö ÙÑ (W,F,P Ö ÓÐ Ò ÖÑ Ò Ò Ø W := n i= W, F := n i= F, P := n i= P. Ò Ð Ñ ÒØ Ù Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ø Ò Î ØÓÖ w = (w,w,,w n Ï Ö Ò¹ Ð Ø Ò Î ØÓÖ Ù W Ð Ò Ò ÚÓÖ Ò Ò Î ØÓÖ y = (K,Z,Z,K,,Z Ø Ø Ð P({w W := y} = P(w = K }{{} = P(w = Z }{{} = P(w = Z = ( }{{} n. = Ò ÐÓ ÞÙ Ð ÙÒ µ ÒÒ Ñ Ò ØÞØ Ò Ò Î ØÓÖ Y ÓÒ ØÖÙ Ö Ò Ó Y( := n Y(w i ÐÐ i n < i n,. Y = {Y( : } Ø Ò ØÓ Ø Ö ÈÖÓÞ Ö Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð [,]º ÖØ Ñ Ò Ò ÈÖÓÞ Y Ù Ó Ö ÐØ Ñ Ò Ò Ò Ó Ò ÒÒØ Ò Ê Ò ÓÑ Û Ð B = {B( : } B( := Y(sds = [n] i= Y(w i. ÈÖÓÞ Ö Ò ÒÞ ÐÒ ÌÖ ØÓÖ ÚÓÒ Ö Ø Ò Ò Ö Ò Î ÖØ ÐÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÙÒ Ø ¹ Ø Ø Ò È Ö Ñ Ø Ö Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò ÙÒ ÙÒ Ò ÚÓÑ Û ÐØ Ò ØÔÙÒ Ø Ò Ò ÒÒØ Ñ Ò Ø Ø ÓÒÖº Ò Ø ÓÒ ½º º½ Ò ØÓ Ø Ö ÈÖÓÞ ξ Ø Ø Ø ÓÒÖ ÐÐ Ö ÐÐ n < Î ÖØ ÐÙÒ Ö Ù ÐÐ Ú Ö Ð (ξ(,ξ(,...,ξ( n ÒÙÖ ÚÓÒ Ò Ö ÒÞ Ò 3... n n Ò Øº Ò ÙØ Ô Ð Ö Ò Ò Ø Ø ÓÒÖ Ò ÈÖÓÞ Ø Ê Ù Ò Ñ Ê Óº Ô Ý Ð ËÝ Ø Ñ À ÒØ Ö ÖÙÒ Ö Ù Ò ÖÞ Ù Ø Ø Ò Ò Ñ Ð Û Ø ÙÒ Ò ÖØ Û Ò º Ë Û Ò ÙÒ Ò ÙÖ Ò Ö Ò ÖÞ Ù Ø Û Ö Ò ÒÒ Ò Ò Ø ÙÖ Ò Ò Ø Ø ÓÒÖ Ò ÈÖÓÞ Ö Ò Û Ö Òº Î ÖÒ Ð Ø Ñ Ò Ö Ò ÃÐ Ñ Û Ò Ð ÞÛº Ö ÖÛÖÑÙÒ ÒÒ Ñ Ò ÚÓÒ Ù Ò Ö ÈÖÓÞ Ù Ô Ð ½º º½ Ù Ø Ø ÓÒÖ Øº Ï Ø Ö Ø Ô Ð ½º º¾ ÙÒ Ô Ð ½º º Ø Ø ÓÒÖº Ô Ð ½º º¾ ÒÒ Ñ Ò Ö Ø Ò ÖÐ Òº Ù A N(,σ ÙÒ B N(,σ ÓÐ Ø cos(ωa+sin(ωb ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐØ Ø Ñ Ø Î Ö ÒÞ cos(ω.5 + sin(ω.5 =.5º Ð Ó Ø Î ÖØ ÐÙÒ ÚÓÒ ξ( ÞÙ Ò Ò ØÔÙÒ Ø ÙÒ Ò ÚÓÒ º Á Ø Ò ØÓ Ø Ö ÈÖÓÞ Ø Ø ÓÒÖ Ó Ò Ò ÓÒ Ö Ö ÞÛ Ú Ö Ò ØÔÙÒ Ø ÙÒ Î ÖØ ÐÙÒ Ò Ö Ù ÐÐ Ú Ö Ð Òξ( ÙÒ ξ( Ð º Ù Ò Ö Ò Ò Ø Ø ÓÒÖ Ò ÈÖÓ¹ Þ ξ Ö ÐÐ Ã ÒÒ Ö Ò Ö Ù ÐÐ Ú Ö Ð ξ( Û Ö Ø Ó Ö ÞÛ Ø ÅÓÑ ÒØ ÙÒ Ò ÚÓÒ Ö Ø ÙÒ Ö Ø Ö Ö Ò Ò ÑØ Ò ÈÖÓÞ º Ò Ø Û Ø Ò Ø Ø Ö Ó Þ Øغ Á Ø Ò ÈÖÓÞ Ö Ó Ó ÒÒ Ñ Ò ÙÖ Ë ÑÔ ÐÒ Ò Ö ÒÞ ÐÒ Ò ÌÖ ØÓÖ ξ(ω ÛÓ w W Ü ÖØ Ø Ù Î ÖØ ÐÙÒ ÚÓÒ ξ( Ö Ò Ø Ð Òº Ø Ó Ø Ø Ñ Ò Ò Ò ÈÖÓÞ Ò Ò Ð Ò Ó Ø Ñ Ò ÐÐ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ö Ò Î ÖØ ÐÙÒ ÞÙ Ò Ñ Ü Ò ØÔÙÒ Øº ½º µ

13 ½º º Í ÄÄËÈÊÇ ËË ½ Ò Ø ÓÒ ½º º¾ Ò ÈÖÓÞ ξ Ø Ö Ó ÐÐ Ö Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ g : R R P¹ º Ðص Ö Ö Ø Ó Ó Û µ T Eg(ξ( = lim g(ξ(w, d. T T T Ñ Ö ÙÒ Ò Ø T g(ξ(w, d Ò Ï ÖØ Ö ÚÓÒ w Ò Øº Ö Ö ÒÞÛ ÖØ Ö T Ò Ò Ø Ò Ø ÞÙ ÐÐ µ Ð ØÖ Ø Ò Ø Ñ Ø Ñ ØÞ Ö ÖÓ Ò Ð Ò ÞÙ ÑÑ Òº Ë ÐÓÔÔ Ø Û Ø Ò Ò Ñ ÖÓ Ò ÙÒ Ø Ø ÓÒÖ Ò ÈÖÓÞ Ø Ñ Ò ÞÙÖ ÖÑ ØØ ¹ ÐÙÒ Ö Î ÖØ ÐÙÒ ÞÙ Ò Ñ ØÔÙÒ Ø ÁÒØ Ö Ð Ö Ø Ñ Ø Ñ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö Ñ Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ Ú ÖØ Ù Ò Ö º Ö Ù Ö Ø P¹ º º ÞÙÖ Ö ÒÙÒ Ö Ã ÒÒ Ö Ò Å ØØ ÐÛ ÖØ Eξ( = lim T T T ξ(ω, d ¾ºØ ÅÓÑ ÒØ Eξ T ( = lim T T ξ (ω, d Ü ÑÔÐ ½º º Á Ø Ö ÈÖÓÞ Ù Ô Ð Ø Ø ÓÒÖ Ó Ö Ö Ó Ñ Ö ÙÒ Ò ÈÖÓÞ Ö Ö Ó Ø Ø Ò Ø ÙÒ Ò Ø Ø Ø ÓÒÖ Ò Ø Ø ÓÒÖ Ö ÈÖÓÞ ÑÙ Ò Ø Ö Ó Òº Ö Ó Þ ØØ ÙÒ ËØ Ø ÓÒ Ö ØØ ÑÔÐ Þ Ö Ò Ù ÓÐ Ò Û Ø Ì Ø Ë h > Ü ÒÒ ÐØ Ö Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ g : R R N Eg(ξ( = lim g(ξ(w,hn, N N n= P¹ º º. ÁÒ ÓÒ Ö ÓÒÚ Ö ÖØ Ù ÐÐ Ú Ö Ð N g(ξ(w,hn N n= Ò Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ï ÖØ Eg(ξ(º Ö ÙÒ Ö Ô Ð ½º º½ ÐØ ÓÑ Ø Ñ Ø Ñ Ò ÞÙ ÕÙ Ø ÒØ Ò ØÔÙÒ Ø Ò < < 3 < n < Ï Ò ØÖ ÙÒ ØÖ Ø ÈÙÒ Ø Ò Ò À ØÓ Ö ÑÑ Ù Ó ÒÒ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ò ξ( ÞÙ Ò Ò Ü Ò ØÔÙÒ Ø Ù Ñ ÒÓÖÑ ÖØ Ò À ØÓ Ö ÑÑ Ð Òº ½º º½ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Å Ø Ñ Ò Ò Ô Ð ½º º½ Ï Ò ØÖ ÞÙ Ú Ö Ò Ò ØÔÙÒ Ø Ò Ó ÒÒ Ò Å ¹ Ö Ò ÚÓÒ Ò Ò Ö Ò Ò Ó Ö Ò Ö Ù Ö Ø ÓÖÖ Ð ÖØ Ò º ÍÑ Ò Ë Ú Ö ÐØ ÞÙ Ö Ò ØÖ Ø Ø Ñ Ò ÃÓÖÖ Ð Ø ÓÒº Ò Ø ÓÒ ½º º Ë ξ Ò Ø Ø ÓÒÖ Ö ØÓ Ø Ö ÈÖÓÞ º ÙÒ Ø ÓÒ R ξ : R R Ò ÖØ ÙÖ Ø ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒº R ξ (τ := E(ξ(ξ(+τ, τ >. ½º µ Ñ Ö ÙÒ Á Ø Ö ÈÖÓÞ Ø Ø ÓÒÖ Ó Ò Ø Ö Ò ½º µ ÒÙÖ ÚÓÒ τ º

14 ½ à ÈÁÌ Ä ½º Í ÄÄËÈÊÇ ËË τ R(τ = exp( τ cos(τ τ R(τ = τ Ð ÙÒ ½º Ú Ö Ò ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÁÑ Ð ½º Ò Ë Ú Ö Ò Ô Ð ÚÓÒ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Òº Ð ÞÙ ÖÙÒ Ð Ò Ò ÈÖÓÞ Ñ Ð Ò Ò Ð ÒÒ Ñ Ò Ò Ï ÐÐ ÚÓÖ Ø ÐÐ Ò Ð ÞÙ ÖÙÒ Ð Ò Ò ÈÖÓÞ Ñ Ö Ø Ò Ð ÒÒ Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ò Ö Ë ÓØØ Ö ØÖ ÚÓÖ Ø ÐÐ Òº Ð ÙÒ ÒÒ Ò Û Ö ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù Ô Ð ½º º¾ Ö Ò Òº Ë Ð ÙØ Ø EAB = ÙÒ EA = EB =.5 Ø Eξ(ξ(+τ = E(Acos(ω+Bsin(ω(Acos(ω(+τ+Bsin(ω(+τ =.5(cos(ωcos(ω(+τ+sin(ωsin(ω(+τ =.5cos(ωτ. Á Ø Ö ÈÖÓÞ ξ Ò Ø ÒÙÖ Ø Ø ÓÒÖ ÓÒ ÖÒ Ù Ö Ó ÒÒ Ñ Ò Ò ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö (W,F,P ÙÖ Ò Å ØØ ÐÛ ÖØ Ö Ø Ö ØÞØ Ò ÙÒ ÐØ P¹ º º ÓÐ Ò Á ÒØ ØØ E(ξ(ξ(+τ = lim T T T ξ(w,ξ(w, +τd. Ø Û ÖÙÑ ÙÖ Ë ÑÔ ÐÒ Ö Ò Ö ÌÖ ØÓÖ Ò ÕÙ Ø ÒØ Ò ØÔÙÒ Ø Ò ÒÒ Ñ Ö ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö Ò Ò º º Ö Ü w W ÐØ lim N N N ξ(w, n N ξ(w, n N +τ = R ξ(τ. n= Ù Ñ ÖÙÒ Û Ö Ó Ø ÚÓÖ Ù ØÞØ Ö ÞÙ ÖÙÒ Ð Ò ØÓ Ø ÈÖÓÞ Ö Ó ÙÒ Ø Ø ÓÒÖ Øº Ñ Ö ÙÒ Ë ξ Ø Ø ÓÒÖ ÙÒ µ ξ := Eξ( σ ξ := Eξ( º ÒÒ Ö ÐÐØ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÓÐ Ò Û Ø Ò Ø Ò R ξ ( = σ ÒÒ R ξ ( = E(ξ(ξ( = E ( ξ( = σ Ö µ ξ =. R ξ : R R ÝÑÑ ØÖ Þ Ð Ò ÆÙÐÐÔÙÒ Øº º º Ö Ð τ > ÐØ R ξ (τ = R ξ ( τº ÓÐ Ø Ù ÓÐ Ò Ö Ê ÒÙÒ R ξ (τ = E(ξ(ξ(+τ = E(ξ( τξ( τ +τ = E(ξ( τξ( = E(ξ(ξ( τ = R ξ ( τ.

15 ½º º Í ÄÄËÈÊÇ ËË ½ R ξ Ø Å Ü ÑÙÑ Ñ ÆÙÐÐÔÙÒ Øº º º R ξ (τ R ξ ( Ö ÐÐ τ º ÓÐ Ø Ù ÓÐ Ò Ö Ê ÒÙÒ E ( (ξ(±ξ(+τ = = E ( ξ( ±ξ(ξ(+τ+ξ(+τ = = E(ξ( ±R ξ (τ+e ( ξ(+τ = E(ξ( ±R ξ (τ E(ξ( ±R ξ (τ ÙÒ ±R ξ (τ R ξ (. Á Ø Ð Ó R ξ (τ ÒÒ ÐØ R ξ (τ R ξ ( Ø R ξ (τ ÒÒ ÐØ R ξ (τ R ξ ( ÙÒ Ñ Ø R ξ (τ R ξ (º ËÔØ Ö Û Ö Ò Û Ö Ò Þ ØÐ Î Ö ÐØ Ò Ö ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Û Ø Øº Ø ÓÐ Ò Á ÒØ ØØ Û Ø R ξ(τ = R ξ (τ. ½º µ Û ÚÓÒ ½º µ R ξ (τ = E(ξ(ξ(+τ R ξ(τ = dr ξ dτ = E(ξ( ξ(+τ = E(ξ( τ ξ( R ξ (τ = E( ξ( τ ξ( = E( ξ( ξ(+τ = R ξ(τ R ξ(τ = R ξ (τ. Ü ÑÔÐ ½º º Ë ω > º Ë A Ò Ê ÝÐ Ú ÖØ ÐØ Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ñ Ø È Ö Ñ Ø Ö σ A Ö Ñ Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ (W,F P ÙÒ ϕ Ò ÚÓÒ A ÙÒ Ò Ö (,π Ð Ú ÖØ ÐØ Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ù Ö Ñ Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ (W,F,P Ò Öصº Ë ξ = {ξ( : < } Ò ØÓ Ø Ö ÈÖÓÞ Ò ÙÖ ξ : W [, R (w, A sin(ω+ϕ. Ö Ò Ò Ë Ò Å ØØ ÐÛ ÖØ ÈÖÓÞ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ ÒØ Ò Ë Ó Ö ÈÖÓÞ Ö Ó Øº Ä ÙÒ ½ Eξ( = = π f A (ada = µ A =. f A (af Φ (φsin(ω+φdadφ π f Φ (φsin(ω+φdφ

16 ½ à ÈÁÌ Ä ½º Í ÄÄËÈÊÇ ËË E(ξ(ξ(s = EA sin(ω+φsin(ωs+φ = EA π π = σ Aπcos(ω( s sin(ω+φsin(ωs+φdφ Ñ Ø ÐØ R ξ (τ = σa cos(ω(τ Ö Ò Ø Ñ Ò Þ ØÐ Ò Å ØØ ÐÛ ÖØ Ò ÌÖ ØÓÖ Ö Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ [,T] Ó ÓÑÑØ Ñ Ò Ù T = nπµ ξ T ξ T T T asin(ω+φd =, a sin (ω+φd = a. ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ñ Ø ÙÒ Ò ÚÓÒ Ö Øº Ð Ò Ø Ö Ò Ò Û Ö ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ê Ð ÖÙÒ ÌÖ ØÓÖ µ Ö Ñ ØØ ÐØ Ö Ø ÙÒ Ò Ø Ö Wµº ÙÚÓÖ Ö Ò Ö Ò Û Ö Ò Ó Ò ÒÒØ Ò Ø ÓÔ Ö ØÓÖ θ τ : R R +τ. ØÖ Ø Ø Ñ Ò Ù ÑÑ Ò ØÞÙÒ ξ θ τ Ó ÓÑÑØ Ñ Ò Ò Ò ÙÑ τ Þ ØÐ Ú Ö ØÞØ Ò ÈÖÓÞ º º ξ θ τ : W R R (w, ξ(+τ. Æ ÑÑØ Ñ Ò ÒÙÒ Ò Þ ØÐ Ò Å ØØ ÐÛ ÖØ Ö Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ [,T] ÚÓÒ ξ ξ θ τ Ó ÓÑÑØ Ñ Ò (ξ (ξ θ τ = T T a sin(ω+φsin(ω(+τ+φd = a cos(ωτ. ÁÑ ØÖ Ò Ò Ë ÒÒ Ø Ö ÈÖÓÞ ÒØÐ Ò Ø Ö Ó º Æ ÑÑØ Ñ Ò Ö Ò Å ØØ ÐÛ ÖØ Ö Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ö ÙÑ (W,F,P ÚÓÒ (ξ (ξ θ τ Ó Ø Ö Ð R ξ (τº Ü ÑÔÐ ½º º ÑÔÐ ØÙ Ò ÚÓÒ Ï ÐÐ Ò Ë ξ = {ξ( : < < } À Ò Ö Ñ Å Ö Ü ÖØ Ò Ó º Å Ü Ñ ÚÓÒ Ï ÐÐ Ò ØÖ Ø Ò Ñ Ø Ò Ö Û Ò Ö ÕÙ ÒÞ Ù Ö Ñ Ø Ö Ø Ú ÖÐ Öغ Ò Ö Ö Ø Ø Ð Ò ÐÙ ØÙ Ø ÓÒ Òº Ò Ý ÖØ Ñ Ò ÒÙÒ ÃÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÓÐ Ò ÓÖÑ R ξ (τ = cos(τ +τ. ½º º¾ Ò Ö Ø Ö Ø Ø ÓÒÖ ÈÖÓÞ ÁÑ ÔÔ Ò Ü Ø ÖÐÙØ ÖØ Û Ñ Ò ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ Ò Ö Ò Ø Ô Ö Ó Ò ÙÒ Ø ÓÒ x Ö Ò Øº ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ Ø Ñ ÐÐ Ñ Ò Ò Ò Ð ÙÒ ÛÓ Ð Ò ÖØ ÐÐ + x( d <

17 ½º º Í ÄÄËÈÊÇ ËË ½ Ðغ ÃÖ Ø Ö ÙÑ Û Ö Ö ÚÓÒ Ö ÌÖ ØÓÖ Ò Ø Ø ÓÒÖ Ò ØÓ Ø Ò ÈÖÓÞ ξ Ò Ø Ö ÐÐغ Û Ò Ò ÑÑØ Ñ Ò Ò Ø ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ Ö ÒÞ ÐÒ Ò ÌÖ ØÓÖ Ò ÓÒ ÖÒ ØÖ Ø Ø ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ R ξ º À Ö Û Ñ Ò ÐØ ÙÒ ÙÒØ Ö Ö Ð Ø Ú Û Ò ÎÓÖ Ù ØÞÙÒ Ò E lim R ξ(τ = τ + R ξ (τ dτ < Ðغ Ï ÓÒ ÚÓÖ Ö Ò ÔÖÓ Ò ÖÛ Ø ÖØ Ñ Ò Ò Ø Ø ÓÒÖ Ò ÈÖÓÞ ξ = {ξ( : < } Ö ÞÙÑ ØÔÙÒ Ø Ø ÖØ Ø ÞÙ Ò Ñ ØÓ Ø Ò ÈÖÓÞ Ö ÓÒ Ø Û Ø Ò Ü Ø Öغ Ù Ñ ÖÙÒ Ò Ñ Ò Û Ö Ò ξ = {ξ( : < < } Ò Ø Ø ÓÒÖ Ö ÈÖÓÞ Ö (W,F,P Ñ Ø ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ E(ξ( = º Å Ø À Ð Ö ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÒ Ñ Ò ËÔ ØÖÙÑ Ø Ò ÈÖÓÞ Ò Ö Òº Ò Ø ÓÒ ½º º ËÔ ØÖÙÑ Ø Ù Ä ØÙÒ Ø Ô ØÖÙÑ Ò ÒÒص Ò ØÓ Ø Ò ÈÖÓÞ ξ = {ξ( : < < } S ξ : R R Ø Ò ÙÖ S ξ (ω := R ξ (τe iωτ dτ, ω R. π ÛÓ R ξ : R R ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÈÖÓÞ ξ غ Ñ Ö ÙÒ ½¼ Å Ò ÒÒ Ð Ø ÓÐ Ò Þ ÙÒ Þ Ò S ξ (ω = π R ξ (τ = R x (τe iωτ dτ S x (ωe iωτ dω. Å Ø Ò Ö Ò ÏÓÖØ Ò S ξ (ω ÙÒ R ξ (τ Ò Ò È Ö ÚÓÒ ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ Òº Ñ Ö ÙÒ ½½ ÐØ Ö ÐÐ R Eξ ( = R ξ ( = S ξ (ω dω. Ø Ð ÙÒØ Ö Ö ËÔ ØÖ Ð Ø ¹ÃÙÖÚ Ø Ð Ö Î Ö ÒÞº Ñ Ö ÙÒ ½¾ ÐØ S ξ (ω Ö ÐÐ ω Rº ÓÐ Ø Ù Ñ Ö ÙÒ ½½º Ñ Ö ÙÒ ½ ÐØ S ξ (ω = A(ω = R ξ (τcosωτ dτ. π Þ ÙÒ Ð Ø Ð Ø Ù ËÝÑÑ ØÖ Ò ÖÐ Ø Òº Ð Ö Ø ÒÒ Ñ Ò Ò Ö¹ Ð Ò Û ÒÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ x ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ñ ÍÖ ÔÖÙÒ Ð Ó x( = x( µ Ø Ó ÐØ x(d = º ÆÙÒ R ξ ÝÑÑ ØÖ Ñ ÍÖ ÔÖÙÒ sin Ø ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ñ ÍÖ ÔÖÙÒ ÙÒ Ñ Ø Ø R ξ sin ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ñ ÍÖ ÔÖÙÒ º Ñ Ø Ø B(ω = π R ξ(τsinωτ dτ = º Ù e iω = cosω +isinω ÓÐ Ø Ó ÙÔØÙÒ º

18 ½ à ÈÁÌ Ä ½º Í ÄÄËÈÊÇ ËË Ñ Ö ÙÒ ½ Ù Ò Ð Ò Ö ÙÑ ÒØ Ò Û Ò Ñ Ö ÙÒ ½ ÓÐ Ø Ù ÐØ ½º R ξ (τ = π S ξ (ωcosωτ dω. Î Ö Ò ØÓ Ø ÈÖÓÞ ÁÒ Ñ Ã Ô Ø Ð Û Ö Ò Û Ö ÙÖÞ Ò Ú Ö Ò ØÓ Ø ÈÖÓÞ ÚÓÖ Ø ÐÐ Ò ÞÙÖ ÅÓ¹ ÐÐ ÖÙÒ Ú ÖÛ Ò Ø Û Ö Òº ½º º½ Ò Ô Ð Ú Ö Ò Ö ËÔ ØÖ Ð Ø Ò ÁÒ Ö ÓÐ Ò Ò Ö Ô Ò Ò Ò ØÝÔ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ñ Ø ÞÙ Ö Ò ËÔ Ø¹ Ö Ð Ø Ò Ú Ö Ò Ö ÈÖÓÞ ÞÞ Öغ Ì Ð Ö Ô Ò Ò Ð Ò ØÝÔ Ô Ð Ø Ò ÈÖÓÞ Ñ Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ò ÃÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒº º º ÒÒ Ë Ò Ð Ò Ì Ð Ö Ô ÒÑ Ø Ñ Ø À Ð Ó Ò ÈÖÓÞ Ö Ò Û Ö Òº ÒÒ Ö Ù ÈÖÓ Ð Ò Ö ËØÖ Ó Ö Ö Ï Ö ÖÙ Ò Ò Ö ËØ ÐÐ Ñ ÇÞ Ò Ö Ù Ö Ë Ñ Ø À Ð Ó Ò ÈÖÓÞ ÑÓ ÐÐ ÖØ Û Ö Òº Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÃÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÞÙÒ Ñ Ò Ò Ø Ò Ò ÑÑØ ÙÒ Ò È Ö Ó Ù ØÖ Øغ Ô Ð ÚÓÒ Ñ Ð Ò ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ÙÒ»Ó Ö ËÔ ØÖ Ð Ø Ò Ò Ò Ò Ò Ø Ò Ð ÖÒ Òº ½µ σ =, α = ; ¾µ σ =, α = ; Ð ÙÒ ½º ËÔ ØÖ Ð Ø ÙÒ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ð ÙÒ ½º Ñ Ø Ó Ò È Ö Ñ Ø ÖÒº S ξ (ω = σ π α α +ω ÙÒ R ξ (τ = σ e α τ. ½º µ Ò Ò Ö ØÝÔ Ô Ð Ò Ö ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ø ÞÙ Ö Ö ËÔ ØÖ Ð Ø Ø ÓÐ Ò Ð ½º º½µ R ξ (τ = σ e τ τ ÙÒ S ξ (ω = σ τ π e 4 ω τ. ½º½¼µ

19 ½º º Î ÊË ÀÁ Æ ËÌÇ À ËÌÁË À ÈÊÇ ËË ½ X(,w 5 5 X(, w 5 5 Ð ÙÒ ½º Î Ö Ú Ö Ò ÌÖ ØÓÖ Ò Ñ Ø ËÔ ØÖ Ð Ø ÙÒ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ¹ Ò Ò ½º Ñ Ø Ó Ò È Ö Ñ Ø ÖÒ Ò Ú Ö Ò Ò ØÐÒ Òº σ = ; σ = ; Ð ÙÒ ½º ËÔ ØÖ Ð Ø ÙÒ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ð ÙÒ ½º½¼ Ñ Ø Ó Ò È Ö Ñ ¹ Ø ÖÒº X(,w 5 5 X(, w 5 5 Ð ÙÒ ½º Û Ú Ö Ò ÌÖ ØÓÖ Ò Ñ Ø ËÔ ØÖ Ð Ø ÙÒ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ¹ Ò Ò ½º½¼ Ñ Ø Ó Ò È Ö Ñ Ø ÖÒº

20 ¾¼ à ÈÁÌ Ä ½º Í ÄÄËÈÊÇ ËË ½º º¾ Ù ÔÖÓÞ Ñ Ø Ð Ø ÒØ ÚÓÖ Ò Ò Ö È Ö Ó Î Ð ÈÖÓÞ Ò Ö Æ ØÙÖ Ò Ð Ø ÒØ ÚÓÖ Ò Ò È Ö Ó º Å Ø ÑÒ Ò Ò Ø Ò Ö Ò Ô Ð ½º º Ö Ò Ó ÞÙÑ Å Ö ÖÙÒ ÙÒ ÖÖ Ø Ò ËØÙÖÑ Ó Ö Ø Ò Ò ØÓ Ø Ò ÈÖÓÞ Ö Ò Ð Ø ÒØ ÚÓÖ Ò Ò È Ö Ó Øº ÓÐ Ò ËÔ ØÖ Ð Ø Û Ö Ö Ø Ö Ò Ï Ò Ò Ö Ä Ø Ö ØÙÖ Ò Òº Ö ÖÙ Ï Ò ËØÙÖÑ ÒÒ ÙÖ Ò Ò Ù ÈÖÓÞ Ñ Ø ÓÐ Ò Ö ËÔ ØÖ Ð Ø ÑÙÐ ÖØ Û Ö Ò S (ω = ω 6 e g /(ω w. ½º½½µ Ø w Ï Ò Û Ò Ø ÙÒ C ÞÛº g Ò Ò ÒÓ ÙÖ Å ÙÒ Ò ÞÙ Ø ÑÑ Ò ÃÓÒ Ø ÒØ Òº ÈÖÓ Ð Ò Ö ËØÖ ÒÒ ÙÖ Ò Ò Ù ÈÖÓÞ ÑÓ ÐÐ ÖØ Û Ö Òº ÖØ Ò ÙØÓ Ñ Ø ¹ Û Ò Ø v ËØÖ ÒØÐ Ò Ó ÒÒ Ñ Ò ËØ ÖÙÒ Ñ ØØ Ð Ò Ò Ù ÔÖÓÞ Ñ Ø ÓÐ Ò Ö ËÔ ØÖ Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ö Òº S sr (ω = ( ω v S. v X(,w 5 5 X(, w 5 5 Ð ÙÒ ½º½¼ Û Ú Ö Ò ÌÖ ØÓÖ Ò Ñ Ø ËÔ ØÖ Ð Ø ÙÒ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ¹ Ò Ò ½º½½ Ñ Ø È Ö Ñ Ø ÖÒ Ð ½º Û Ø Ò ÙØÓ Ñ Ø Û Ò Ø v ÚÓÖÛÖØ ÒÒ ÒÒ Ñ Ò Ò ËØ ÖØ ÖÑ Û Ð ËØÖ ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÓÐÐØ ÙÖ ( ω S h (ω = S ξ v ÑÓ ÐÐ Ö Òº ËÓÐ ÈÖÓÞ ÒÒ Ñ Ò ÙÖ Ù ÔÖÓÞ Ñ Ø ÓÐ Ò Ö ËÔ ØÖ Ð Ø Ò ÞÛº ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ¹ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Òº R ξ (τ = σ e α τ cos(θ α τ ÙÒ S ξ (ω = σ π α(ω +θ α (ω θ α +4α ω. ½º½¾µ Ò Ò Ö ØÝÔ Ô Ð Ø ÓÐ Ò ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ ËÔ ØÖ Ð Ø º R ξ (τ = σe (cos(θ α τ α τ+ α sin(θ α τ θ α ÙÒ S ξ (ω = σ π αω (ω θ α +4α ω. ½º½ µ

21 ½º º Î ÊË ÀÁ Æ ËÌÇ À ËÌÁË À ÈÊÇ ËË ¾½.5 X(,w X(, w Ð ÙÒ ½º½½ Û Ú Ö Ò ÌÖ ØÓÖ Ò Ñ Ø ËÔ ØÖ Ð Ø ÙÒ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ¹ Ò Ò ½º½½µ Ñ Ø È Ö Ñ Ø ÖÒ Ð ½ ÐÐ Ö Ò v = 5 ØÞغ Ð ÙÒ ½º½¾ ÙØÓÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ñ Ø v = ÙÒ Ö Ø Ñ Ø v = 5 Ò ½º½½µµº σ = ;θ α =,α = σ = ;θ α =,α = Ð ÙÒ ½º½ ËÔ ØÖ Ð Ø ÙÒ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ð ÙÒ ½º½¾º

22 ¾¾ à ÈÁÌ Ä ½º Í ÄÄËÈÊÇ ËË σ = ;θ α =,α =.5 σ = ;θ α =,α = Ð ÙÒ ½º½ ËÔ ØÖ Ð Ø ÙÒ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ð ÙÒ ½º½ º σ = ;θ α =,α = Ð ÙÒ ½º½ ËÔ ØÖ Ð Ø ÙÒ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ð ÙÒ ½º½ º

23 ½º º Î ÊË ÀÁ Æ ËÌÇ À ËÌÁË À ÈÊÇ ËË ¾ ½º º Ò Ò ÈÖÓÞ Ò ÈÖÓÞ Ñ Ø ËÔ ØÖ Ð Ø Û Ñ Ð ½º½ Ò Ø Ò Ò ÈÖÓÞ ËÔ ØÖ Ð Ø ÒÙÖ Ù Ð Ò Ò ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ò ÔÓ Ø Ú Øº Ç Ø Ø Û Ö Ù ÔÖÓÞ Ñ Ø ÚÓÖ Ò Ö ËÔ ØÖ Ð Ø ÞÙ ÑÙÐ Ö Òº Å Ò Ú Ö Ò¹ Ø Û Ò ËÔ Ö Ð Ø ÞÙ Ò Ö ÌÖ ÔÔ Ò ÙÒ Ø ÓÒº Ö Ö Ù Ö ÙÐØ Ö Ò ÈÖÓÞ Ø Ò Ò Ò ÔÖÓÞ º Ò Ø ÓÒ ½º º½ Ë ω > ÙÒ d Ð Ò Ñ Î Ö Ð ÞÙ ω º ÒÒ Ø Ö ÈÖÓÞ ξ Ñ Ø S ξ Ð ËÔ ØÖ Ð Ø ÛÓ ÐÐ ω ω d R ω S(ω := ÐÐ ω +ω d, ÓÒ Ø Ò Ò Ò ÈÖÓÞ º ½µ ËÔ ØÖ Ð Ø µ ÞÙ Ö ÙØÓ ÓÖÖÐ Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÙÒ ½º½ ÁÑ Ö Ø Ò Ð Ø ËÔ ØÖ Ð Ø Ò Ò Ò Ý Ø Ñ Ð Øº ÁÑ ÞÛ Ø Ò Ð Ø ÞÙ Ö ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ø ω =.5 ÙÒ d =.5º ÁÑ Ò Ø Ò Ð Ò Ë Ò ØÝÔ ÌÖ ØÓÖ Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ò ÔÖÓÞ º Ï Ö Ò Û Ð ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ú Ö Ö Öغ Å ØØ Ð Ö ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ Ò ÒÒ Ñ Ò ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ω+d R ξ (τ = S e iωτ dω + ω d ω+d ω d e iωτ dω ω+d = S [sin(ωτ+icos(ωτ] dω + ω d ËÝÑÑ ØÖ ÚÓÒ sin Ö Ø R ξ (τ = S sin((ω +dτ sin((ω dτ τ ω+d ω d [sin(ωτ+icos(ωτ] dω. cos(ω τsin(dτ = 4S. τ

24 ¾ à ÈÁÌ Ä ½º Í ÄÄËÈÊÇ ËË X(,w 5 5 X(, w 5 5 X(, w X(, w Ð ÙÒ ½º½ Ò Ò ÔÖÓÞ Ñ Ø ω =.5 ÙÒ d =.5º Ü ÑÔÐ ½º º½ Ë ξ Ò ÙÚ ÖØ ÐØ Ö Ò Ò ÔÖÓÞ Ñ Ø ω ÙÒ dº Ï ÖÓ Ø σ ξ ÙÒ σ ξº Ä ÙÒ Ù Ö ËÔ ØÖ Ð Ø ÒÒ Ñ Ò Î Ö ÒÞ σ ξ ÙÒ Ù σ ξ ÞÛº σ ξ Ö Ò Òº ÐØ Ò Ñ Ö ÙÒ ½½ σ ξ = Eξ( = R ξ ( = S ξ (ωdω. Ò ØÞØ Ò Ö Ò Ø ÓÒ Ò Ò ÔÖÓÞ ÙÒ Ù Ö Ò Ò Ö Ø Ï Ø Ö ÐØ σ ξ cos(ω τsin(dτ = lim 4S = 4S d. τ τ ÙÒ σ ξ = R ξ(τ = d dτ R ξ(τ ( [( = 4S lim sin(dτ d τ τ 3 τ +ωτ cos(ω τ ω τ sin(ω τ]+dτ cos(dτ(cos(ω τ+ω τ sin(ω τ ( = 4S d d+dω ( dω +dω + dτ τ 3 +dτ ( = 4S d 3 +dω.

25 ½º º Î ÊË ÀÁ Æ ËÌÇ À ËÌÁË À ÈÊÇ ËË ¾ X(,w 5 5 X(, w X(, w X(, w Ð ÙÒ ½º½ Ò Ò ÔÖÓÞ Ñ Ø ω =. ÙÒ d =.º X(,w 5 5 X(, w 5 5 X(, w X(, w Ð ÙÒ ½º½ Ò Ò ÔÖÓÞ Ñ Ø ω =.5 ÙÒ d =.5º

26 ¾ à ÈÁÌ Ä ½º Í ÄÄËÈÊÇ ËË X(,w X(, w X(, w X(, w Ð ÙÒ ½º¾¼ Ò Ò ÔÖÓÞ Ñ Ø ω =.5 ÙÒ d =.75º X(,w X(, w X(, w 3 X(, w Ð ÙÒ ½º¾½ Ò Ò ÔÖÓÞ Ñ Ø ω = ÙÒ d = º

27 ½º º Î ÊË ÀÁ Æ ËÌÇ À ËÌÁË À ÈÊÇ ËË ¾ X(,w X(, w X(, w 3 X(, w ½º º Ö Ø Ò ÈÖÓÞ Ð ÙÒ ½º¾¾ Ö Ø Ò ÔÖÓÞ ω = 3. d =.6 Ò Ö Ø Ò ÔÖÓÞ Ø Ò ÈÖÓÞ Ò ËÔ ØÖ Ð Ø Ö ÖÓ ÁÒØ ÖÚ ÐÐ ÔÓ Ø Ú Ø ÙÒ Ñ Ð ½º¾¾ Ò Øº Ò Ø ÓÒ ½º º¾ Ë ω,ω > º ÒÒ Ø Ö ÈÖÓÞ ξ Ñ Ø S ξ Ð ËÔ ØÖ Ð Ø ÛÓ ÐÐ ω [ω,ω ] R ω S(ω := ÐÐ ω [ ω, ω ] ÓÒ Ø Ò Ö Ø Ò ÈÖÓÞ º ÁÑ Ò Ø Ò Ð Ò Ë Ú Ö ØÝÔ ÌÖ ØÓÖ Ò Ò Ö Ø Ò ÔÖÓÞ º

28 ¾ à ÈÁÌ Ä ½º Í ÄÄËÈÊÇ ËË 5 X(,w X(, w Ð ÙÒ ½º¾ Ö Ø Ò ÔÖÓÞ À Ö Ø ω = 3. ÙÒ d =.6º

29 ½º º Î ÊË ÀÁ Æ ËÌÇ À ËÌÁË À ÈÊÇ ËË ¾ ½µ ¾µ µ Ð ÙÒ ½º¾ ÐØÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ ËÔ ØÖ Ð Ø ÈÖÓÞ ½º½ º ½º º Ï Ê Ù Ò Á Ø ω = ÙÒ ω = ÒÒ Ø ËÔ ØÖ Ð Ø ÓÒ Ø Òغ ÁÒ Ó Ò Ñ ÐÐ Ò ÒÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓÞ Û Ê Ù Ò Ò ÒÐ ÒÙÒ Ò Ä Ø ÛÓ Ñ Ò Ð Û Ä Ø Ä Ø Þ Ò Ø ÐÐ Ö Ò ÒØ Ðغ Û Ê Ù Ò ÒØ Þº º Ö ÙÒ ÚÓÒ Ø ÖÑ Ñ Ê Ù Òº Ö Ø ¹ Ö Ø Ö Û Ê Ù Ò Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ Ê Ù Ð ØÙÒ Ø Ñ Ä ØÙÒ Ø Ô ØÖÙÑ S ξ (ω = S º Û Ê Ù Ò Ñ Ø ÓÖ Ø Ò Ë ÒÒ Ø ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ä ØÙÒ ÙÒ ÓÑ Ø ÙÒ Ò Ð Ë ¹ Ò Ð Ò Ö º Ö Ø Û Ê Ù Ò ÒÙÖ Ð Ò Ø ÓÖ Ø ÅÓ ÐÐ ÒÞÙ Òº ÁÒ Ö ÈÖ Ü ÐÐØ Ñ Û Ò Ê Ù Ò Ä ØÙÒ Ø Ö Ö ÖÓ Ö ÕÙ ÒÞ Ò º ÀÙ Ø Û Ê Ù Ò Ù ÒÙÖ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ù Ò Ê Ù Ò Ñ Ø ÙÚ ÖØ ÐØ Ò Ë Ò Ð ÑÔÐ ØÙ¹ Ò ÛÓ ÒÙÖ Ò Ð Ò Ö Ö Ð Ú ÒØ Ö Ù Ò ØØ ËÔ ØÖÙÑ Ð ÕÙ ¹ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ò Û Ö Ò ÒÒº ÁÒØ Ö ÖØ Ñ Ò Ò Û Ê Ù Ò Ó Ö ÐØ Ñ Ò ÖÓÛÒ Û ÙÒ Ó Ö Ò Ï Ò Ö ÈÖÓÞ º Ù Ô Ð Ø Ð Ö ÒÞÛ ÖØ Ö n Û Ê Ù Òº Ò ÓÑÑØ Û Ê Ù Ò ÙÑ Ò Ö Æ ØÙÖ ÚÓÖº ÌÖÓØÞ Ñ ÒÒ Ñ Ò Ù Ñ Ø À Ð Û Ò Ê Ù Ò Ò Ù ÔÖÓÞ Ñ Ø Ñ Ø µ ÓÒ ØÖÙ Ö Ò ÒÒ Û Ò Ø ËÔ ØÖ Ð Ø ØÞØ Òº Ë ÞÙ ξ = {ξ( : < r < } Ó Ò Û Ê Ù Òº ÒÒ Ø Ö ÈÖÓÞ ζ = {ζ( : < r < } Ò ÙÖ Ò ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ ËÔ ØÖ Ð Ø ζ( = R ζ (τ = e ( s ξ(sds π e τ /, S ζ (ω = e ω /4 π. Ö ÈÖÓÞ ζ = {ζ( : < r < } Ò ÙÖ ζ( = e ( s sin(θ α ( sξ(sds ½º½ µ Ò ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ R ζ (τ = π e (+τ ( ecos(τ, ÙÒ ËÔ ØÖ Ð Ø S ζ (ω = 4 e (+ω (e ω.

30 ¼ à ÈÁÌ Ä ½º Í ÄÄËÈÊÇ ËË ½º ½º º½ à ÒÒ Ö Ò Ù Ò Ò Ð Ö ÕÙ ÒÞ¹ ÖØÖ ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ À Ö Ò ÐÝ ÖØ Ñ Ò Ê Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ Û ÒÒ Ñ Ò ËÝ Ø Ñ Ñ Ø Ò Ö ÖÑÓÒ Ò Ë Û Ò¹ ÙÒ Ñ Ø Ö ÕÙ ÒÞ ω Ø Öغ Å Ø Ñ Ø ÓÖÑÙÐ ÖØ ØÖ Ø Ø Ñ Ò Ò ËÝ Ø Ñ ÙÖ ÓÐ Ò Ð ÙÒ Ö Ò Û Ö mẍ(+bẋ(+cx( = F e iω = F cos(ω+if sin(ω,, ½º½ µ ÛÓ ω R Ø Øº Ï Ø Ö Ò Ñ Ò Û Ö Ò c 4bm > Ø ÓÑÑØ Ò Ø ÞÙÖ Ê ÓÒ ÒÞº Ä ÙÒ Ø Û ÖÙÑ Ò ÖÑÓÒ Ë Û Ò ÙÒ Ö Ð Ò Ö ÕÙ ÒÞº Ø Ð Ä ÙÒ Ò ØÞ Û Ð Ò Û Ö x( = Ae iω = Acos(ω+iAsin(ω. Ò Ö ÒÞ Ö Ò Ò Ö Ø Ð ÖØ ẋ( = iaωe iω ÙÒ ẍ = Aω e iω º Ò Ð ÙÒ ½º½ µ Ò ØÞØ Ö Ø Ó Ö Ñ Ø Ð ÙØ Ø Ä ÙÒ Ö ½º½ µ mω Ae iω ibωae iω +Ace iω = Fe iω, A = x( = F (c mω +bωi. A (c mω +biω F eiω. ÁÑ Ò Ø Ò Ë Ö ØØ ØÖ ÒÒ Ò Û Ö Ò Ê ÐØ Ð ÚÓÑ ÁÑ ÒÖØ Ðº Ð Ö Ø ÖÛ Ø ÖÒ Û Ö Ò ÖÙ (c mω +biω = c mω (c mω +b ω i bω (c mω +b ω ÖÐ ÙÒ e iω = cosω+i sinω Ö Ø Re x( = A(c mω (c mω +b ω cos(ω+ Abω (c mω +b ω sin(ω. Ö ÁÑ ÒÖØ Ð Ð ÙØ Ø Ix( = A(c mω (c mω +b ω sin(ω+ Abω (c mω +b ω cos(ω. Ö Ê ÐØ Ð Ö ËØ ÖÙÒ Ñ Ø Ñ Ê ÐØ Ð Ö Ä ÙÒ ÙÒ Ö ÁÑ ÒÖØ Ð Ö ËØ ÖÙÒ Ñ Ø Ñ ÁÑ ÒÖØ Ð Ö Ä ÙÒ Ö Ò Ø ÑÑ Ò ÑÙ Ø Ä ÙÒ x ÞÙÖ ËØ ÖÙÒ cos(ω Ò ÙÖ x( = A(c mω (c mω +b ω cos(ω+ Abω (c mω +b ω sin(ω. Ã Ô Ø Ð ¾ Î Ö Ð Ù Ã Ô Ø Ð Ù Ë Ø º

31 ½º º à ÆÆ Ê Æ Ë ÍË Æ ËËÁ Æ Ä ½ ÙÒ Ä ÙÒ x ÞÙÖ ËØ ÖÙÒ sin(ω Ò ÙÖ x( = A(c mω (c mω +b ω sin(ω Abω (c mω +b ω cos(ω. Å ØØ Ð Ö Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ cos(ω+ϕ = cosωcosϕ sinωsinϕ sin(ω+ϕ = sinωcosϕ+ cosωsinϕµ Ö ÐØ Ñ Ò Ö Ä ÙÒ x ÞÙÖ ËØ ÖÙÒ cos(ω ÙÒ Ö Ä ÙÒ x ÞÙÖ ËØ ÖÙÒ sin(ω x( = AH(ωcos(ω+ϕ x( = AH(ω sin(ω+φ. Ö ØÖ Ö Ò Ù Ò ÑÔÐ ØÙ Ø H(ω := (c mω +b ω, ½º½ µ Ö È ÒÛ Ò Ð Ø Ð ÙÒ φ = arcan H : [, [,, ω H(ω = b c mω. (c mω +b ω, ½º½ µ Û Ø Ð Ó Ö Ö ÕÙ ÒÞ ω [, Ò Ö ÕÙ ÒÞÛ ÖØ ÞÙ Ñ Ø Ñ ËÝ Ø Ñ Ù Ò Ö ÒÖ ÙÒ Ñ Ø Ö ÕÙ ÒÞ ω ÒØÛÓÖØ Øº Ï Ö Ò Ó Ò Ò ÐÐ ÞÙÖ Ê ÓÒ ÒÞ ÓÑÑØ Ù Ð ÑÑ Öغ Á Ø b c / ÒÒ ÐÐØ Ö Æ ÒÒ Ö Ò ½º½ µ ÙÒ Ö ÕÙ ÒÞ¹ ÖØÖ ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐØ Ö ω Ð Ò Ñ º Á Ø b < c / Ø Ø H ÞÙ Ö Ø Ò ÒÒ Ø H Ò Å Ü ÑÙÑ A/(b c b ÙÒ ÐÐØ ÒÒ Ö ω º Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ ½º½ µ Ð Ò Ö Ø ÒÒ Ò Û Ö ÞÙ Ö Ø ËØ ÖÙÒ Ò Ö Ö ÕÙ ÒÞ ÒØ Ð Þ ÖÐ Ò ÙÒ ÒÒ ÙÖ Ù ÙÑÑ Ö Ò Ù ÑØÐ ÙÒ Ð Òº ½º º¾ ËÔ ØÖ Ð Ø Ö Ä ÙÒ Ò ÒÓÑÑ Ò p Ø ËØ ÖÙÒ º Ù Ø Ø Ä ÙÒ ÓÐ Ò Ö Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ mẍ+bẋ+cx = p(. Ï Ö Ò Ò Ñ Ò Ä ÙÒ Ö Ò ÓÑÓ Ò Ò Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ñ ØØ Ð Ñ Ù Ñ Ð ÁÒØ Ö Ð Ó Ö Ù ÐØÙÒ µ Ö Ò Ò ÒÒ ÒÑÐ x( = p(τ h( τdτ Î Ö Ð Ò Ë Ò Ò Ò ÚÓÒ Ã Ô Ø Ð Ö ÛÙÖ h Ð Ó Ò ÒÒØ ÖÙÒ Ð ÙÒ Ò Öغ

32 ¾ à ÈÁÌ Ä ½º Í ÄÄËÈÊÇ ËË Ò ÒÓÑÑ Ò ξ Ø Ò ØÓ Ø Ö ÈÖÓÞ Ö (W,F,Pº Ï Ö Ò Ò Ö Ä ÙÒ mẍ+bẋ+cx = ξ ÒØ Ö Öغ Ä ÙÒ Ø Ù Û Ö Ò ØÓ Ø Ö ÈÖÓÞ Ö Ñ Ð Ò Ï Ö ÒÐ ¹ Ø Ö ÙÑ (W,F,Pº Á Ø Ñ Ò Ñ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ò Ö ËØ ÐÐ ÒØ Ö ÖØ Ó ÒÒ Ñ Ò Ò Û ÚÓÖ Ö ÙÖ Ù Ñ Ð ÁÒØ Ö Ð Ö Ò Ò E(x( = E( = = ξ(τ h( τdτ E(ξ(τ h( τdτ E(ξ(τ h( τdτ ÛÓ h Ð ÖÙÒ Ð ÙÒ ÓÒ Ñ Ã Ô Ø Ð Ò ÐØ ÛÙÖ º Ö Ù ÓÐ Ø ÐØ E(x( = ÐÐ E(ξ( = Ó Ö µ x ( = ÐÐ µ ξ ( = Å ØØ Ð Ñ Ù Ñ Ð ÁÒØ Ö Ð ÒÒ Ñ Ò ØÞØ ÓÖÑ Ð Ö ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ØÞØ Òº Ë Üº ÒÒ ÐØ R x (τ = E(x( x(+τ Å Ø À Ð Ö ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ +τ = E( ξ(s h( s ds ξ(s h(+τ s ds u = s s = u u = +τ s s = +τ u Ö ÐØ Ñ Ò... = E( ξ( u h(u du ξ(+τ u h(u du = E( = = (ξ( u ξ(+τ u h(u h(u du du E(ξ( u ξ(+τ u h(u h(u du du R ξ (τ u +u h(u h(u du du. ÍÑ ËÔ ØÖ Ð Ø Ö Ä ÙÒ ÞÙ Ö Ò Ò ØÞØ Ñ Ò ÓÐ Ò ÖÑ Ò Ò S x (ω = π = π R x (τ e iωτ dτ { } R ξ (τ u +u h(u h(u du du e iωτ dτ.

33 ½º º à ÆÆ Ê Æ Ë ÍË Æ ËËÁ Æ Ä Å Ø À Ð Ö ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ s = τ u +u Ö ÐØ Ñ Ò... = π = π = π = π H(ωH(ω = H(ω S ξ (ω. h(u du h(u du R ξ (se iω(s u+u ds h(u e iωu du h(u e iωu du R ξ (se iωs ds h(u e iωu du h(u e iωu du R ξ (se iωs ds R ξ (se iωs ds Ï Ö Ò Ò Ó Ö Ê ÒÙÒ ÓÐ Ò Ò ÓÖÑ Ð Û Ò S x (ω = H(ω S ξ (ω X(ω = H(ωξ(ω. Ñ Ö ÙÒ ½ Ò Û Ø Ö Ã ÒÒ Ö Ø Î Ö ÒÞ Ö Ñ Ò ÓÐ Ò ÖÐ Ø Ò ÒÒ ½º º σ x = R x( = = S x (ωe iω dω = H(ω S ξ (ωdω. à ÒÒ Ö Ò Ú Ö Ò Ö Ò Ò ÔÖÓÞ Ò ÁÒ Ñ Ã Ô Ø Ð Û Ö Ò Û Ö Ò Ú Ö Ò ÈÖÓÞ ÚÓÖ Ø ÐÐ Ò ÙÒ ËÔ ØÖ Ð Ø Ö Ä ÙÒ Ö Ò Òº ½º º Û Ê Ù Ò Ï ÓÒ Ñ Ã Ô Ø Ð ½º º Ñ Ö Ø ÐØ Ö Ò Û Ê Ù Ò ξ S ξ (ω = S غ Ë x Ä ÙÒ ÚÓÒ mẍ(+bẋ(+x( = ξ(,, ½º½ µ ÛÓ Ö ØÓ Ø ÈÖÓÞ Ò Û Ê Ù Ò Øº ÒÒ ÐØ ÓÐ Ò ÒÒ Û Ò Ñ Ö ÙÒ ÐØ σ x = R x( = = σ x = πω ks Dc = S ω k c = S ω k π c D S c ( m ω +(bω dω S ω k dη c ( η +(Dη dη ( η +(Dη

34 à ÈÁÌ Ä ½º Í ÄÄËÈÊÇ ËË 9 Überragungsfunkion S x Ð ÙÒ ½º¾ ÖØÖ ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ H (ωº ÐØ Ù Û ÒÒ S p (ω Ò Ò Ö Ò Ò ÖÓ Ò ÍÑ ÙÒ ÚÓÒ ω k ÓÒ Ø ÒØ Ø ØÛ Ð S Ü ÑÔÐ ½º º½ Ò Ê Ö ÒÐ Ñ Ø Ò Ö Å ÚÓÒ ¼ Û Ö ÙÖ Ï Ò Ð Ø Øº ËÔ Ø¹ Ö Ð Ø πs(ω = 3 N /Hz Ñ Ö ÞÛ Ò ¼ ÙÒ ¾ À ÖØÞ Ò ÓÒ Ø Ò ÆÙÐк ËÝ Ø Ñ Ò Ò Ö ÕÙ ÒÞ ÚÓÒ ÀÞ ÙÒ Ò ÑÔ ÙÒ Ö ¼º¼ º Å Ò Ø ÑÑ Î Ö ÒÞ Ù Ð ÙÒ Ï Ö ÒÐ Ø x( Ö Ö Ð ¼º½ ¾Ñ غ Ä ÙÒ c m = ω K = (πf c = m(πf = 6 4π 6 R x ( = ππf S c D σ x =.66 c = 3 7 π = πf(πs c D π 4 5 = 3 4 π 4. 4 = 3 π 3 =.438=σ x P( x >.3 = σ = 4.6%

35 ½º º à ÆÆ Ê Æ Ë ÍË Æ ËËÁ Æ Ä X(,w X(, w Ð ÙÒ ½º¾ ÙÖ Î Ö Ò ÙÐ ÙÒ Ò Ë Ö ÞÛ ØÝÔ Ò È ËØ ÖÔÖÓÞ Ñ Û Ò Ê Ù Òº X(,w X(, w X(, w X(, w Ð ÙÒ ½º¾ ÙÖ Î Ö Ò ÙÐ ÙÒ Ò Ë Ö Û Ð ØÝÔ Ò È Ä ÙÒ ÔÖÓÞ º ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö Û Ê Ù Ò ÁÒ Ñ Ã Ô Ø Ð Û Ö Ò Û Ö ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö Ä ÙÒ ÚÓÒ ½º½ µ ØÖ Ø Òº Ø Û Ö Ò Ò R x (τ ÒØ Ö Öغ Ä ÙÒ x( ÒÒ Ñ Ò Ð Ë ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ø Ö Ò Ú Ö Ö Ò Ö ÃÖ Ö ÕÙ ÒÞ ÙÒ Ú Ö Ð Ö ÑÔÐ ØÙ ÚÓÖ Ø ÐÐ Òº Ï Ö Ö Ë ÒÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÒÙ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ò ÒÐ Ö ÑÔ Ø ÙÒ Ø ÓÒº ÙØÓ ÓÖÖÐ Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÒÒ Ñ Ò ÓÐ Ò ÖÑ Ò ÖÐ Ø Ò

36 à ÈÁÌ Ä ½º Í ÄÄËÈÊÇ ËË R x (τ = R ξ (τ = πs δ(τ h( = e ω k D sin(ω D mω D R x (τ = πs m ω D R ξ (τ u +u h(u h(u du du δ(τ u +u e ω k D(u +u sin(ω D u sin(ω D u du du. Å ØØ Ð Ö ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ u = τ +u Ö ÐØ Ñ Ò = πs m ω D = πs m ωd e ω k Dτ = πs c D e ω k D(τ+u sin(ω D u sin(ω D (τ +u du e ω k Du (sinω D u cosω D u sinω D τ + sin ω D u cosω D τdu ( D cosω D τ + sinω D τ e ωd τ. D Ï Ò Ö Ö ÒÞ Ò Ö u ÙÒ u ÑÙ τ ÔÓ Ø Ú Ò R x (τ Ø ÒÙÒ Ö Ð R x ( τ Ö τ ÙÖ τ ÞÙ Ö ØÞ Ò µº Ä ÙÒ Ð ÙØ Ø ÒÙÒ R x (τ = πωs ( D c D e ωd τ cosω D τ + sinω D τ D ½º Ì Ô ÐØ Ö Ö Ö Ì Ô ÐØ Ö ÓÑÑØ Ù Ö Ð ØÖÓØ Ò º Ò Ì Ô ÐØ Ö Ø Ò ÐØ Ö Ö Ò Ò Ë Ò Ð Ë Ò Ð ÒØ Ð Ñ Ø Ö ÕÙ ÒÞ ÙÒØ Ö Ð Ò Ö Ë Ö Ò Ô Ö Ò Ð Ø ÙÒ Ë Ò Ð ÒØ Ð Ñ Ø Ö ÕÙ ÒÞ Ó Ö Ð Ö Ë Ö Ò Ö Ù ÐØ Öغ ÒØ ÔÖ Ò ÐØ Ö Ø Ù Ò Ö Å Ò ÀÝ Ö ÙÐ Ó Ö Ù Ø º º º Û Ö Ò Ñ ÅÈ ÓÖÑ Ø Ó Ò Ö ÕÙ ÒÞ ÒØ Ð ÙÒ Ò Ö Ò Ö ÕÙ ÒÞ ÒØ Ð Ö Ù ÐØ Öغ Ö ÕÙ ÒÞ Ò¹ Ø Ð Ñ Ò Ð Ç Ö Ò Ø Ö Ò ÒÒ Ñ Ö Ø Ñ Ò ÙÑ Û ÒÒ Ñ Ò Ò ÅÙ Ø Ò Öغ Å Ò ÒÒ Ì Ô Ð Ö Ù Ú Ö Ò Ï Ö Ð Ö Òº Ò ÑÔ Ø ÙÒ Û Ò Ò ËÝ ¹ Ø Ñ Ø Þº º Ò Ì Ô ÐØ Öº Ö ÙÒ Ö Ø Û Ø Ñ Ò Ñ Ø À Ð Ò Ö Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò Û Ê Ù Ò Ò Ò Ò Ù ÔÖÓÞ Ñ Ø ËÔ ØÖ Ð Ø Ò Ò Ð ÙÒ ½º µ Ó Ö ºº ÙÑÛ Ò ÐÒ ÒÒº

37 Ò Ò ÓÙÖ Ö ÒØ Ö Ð Ò Ò Ö Ø Ô Ö Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÒÒ Ñ Ò Ù Ñ ØØ Ð Ö Ö ÓÙÖ ÖÖ Ö Ø Ö Ö Òº ÁÒ Ñ Ã Ô Ø Ð Û Ö Ò Û Ö Ö ÐÖ Ò Û Ñ Ò ÓÙÖ Ö ÒØ Ö Ð Ò Ö Ò Ø Ô Ö Ó Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Øº Ï Ö Ò Ñ Ò Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ò ÒÞ Ò ÁÒØ ÖÚ ÐÐ (, Ò ÖØ Øº Ï Ø Ö Û Ö Ò Ò Ø Ô Ö Ó Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÒØ Ö ÖØ Ò Ò ÖØ Ñ Ò Ñ Ö Ø Ò Ë Ö ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ø Ò Ö Ù Ò Ñ ÖÓ Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ô Ö Ó Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÙÒ Ð Ø ÒÒ ÄÒ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò ÙÒ Ò Ð Û Òº Ð Ö Ø Ö Ò Û Ö ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ Ö Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ x Ù Ñ ÚÓÖ Ò Ò ÁÒØ ÖÚ Ð [ T, T ] T > Ø Ô Ö Ó Ø Òº Ë Ð Ó x : [ T, T ] R Ò Ô Ö Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ø È Ö Ó T º Å Ò ÒÒ ØÞØ ÙÒ Ø ÓÒ x Ù Ð ÓÐ Ò Ê Ö Ø ÐÐ Ò Ó Ö x( = a +a cos π T +a cos 4π T + x( = a + +b sin π T +b sin 4π T +, k= º½µ ( a k cos kπ T +b ksin kπ. º¾µ T ÓÙÖ Ö Ó Þ ÒØ Ò a ÙÒ a k b k k N Ò Ð ÙÒ º½µ ÙÒ º¾µ Ò Ò ÙÖ a = T a k b k = T = T T T T T T T x( d, x(cos kπ T x(sin kπ T d, d, k N. Å Ò ÒÒ Þ Ò ÙÒØ Ö Þ ÑÐ ÐÐ Ñ Ò Ò Ò ÙÒ Ò Þ Ð x Ö Ø Ë Ø º½µ ÓÒÚ Ö ÖØ ÙÒ ÃÓ Þ ÒØ Ò ÛÓ Ð Ò ÖØ Ò º Ö Ò Ø Û Ò Ò Ñ Ò Û Ö Ò Ö Å ØØ ÐÛ ÖØ Ö ÙÒ Ø ÓÒ x Ð ÆÙÐРغ Ñ Ø ÐØ Ù a = º ÍÑ Ö ÕÙ ÒÞ ÒØ Ð ÞÙ Ö ÐØ Ò ÑÙ Ñ Ò È Ö Ó ÐÒ ÒÓÖÑ Ö Òº Ø Ñ Ò Ú ÖØ ÙÖ ÁÒØ ÖÚ ÐÐÐÒ ÚÓÒ [ T, T ]º Ñ Ø Ö ÔÖ ÒØ ÖØ a k Ò Ö ÕÙ ÒÞ¹ ÒØ Ð Ö Ö ÕÙ ÒÞ ω k = πk T.

38 ÆÀ Æ º Ë ÇÍÊÁ ÊÁÆÌ Ê Ä Ò Ë Ö ØØ Ù Ö Ö ÕÙ ÒÞ ØÖ Ø ω = π T. ØÖ Ø Ø Ñ Ò Ò Ö ÒÞÛ ÖØ T Ó ÒÒ Ò Û Ö Ù Ò ÙÒ Ø ÓÒ ØÖ Ø Ò Ò Ø Ò Ö Ø Ô Ö Ó Øº Å Ø T ØÖ Ò ØÒ Ö ÒÞ ÐÒ Ò Ö ÕÙ ÒÞ ÒØ Ð Ò ÙÒ Û Ö Ö ÐØ Ò Ò Ø ØØ Ò Ö ÓÙÖ ÖÖ Ò ÓÙÖ Ö ÒØ Ö Ðº Ø Ñ ØØ Ð Ò ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ Ò ω k = πk ÙÒ ω = π T Ö ÐØ Ñ Ò x( = k= + k= + { T k= T { T { ω π k= T } x(scos πk T ds cos πk T } T T T T x(ssin πk T ds x(scosω k sds } { T ω π T x(ssinωk sds ω= sin πk T cosω k } sinω k. Æ ÑÑØ Ñ Ò ÒÙÒ Ò Ö ÒÞÛ ÖØ Ö T Ó ØÖ Ø ω dω ÙÒ ËÙÑÑ Ö k =,..., Û Ö ÞÙÑ ÁÒØ Ö Ð Ö ÁÒØ ÖÚ Ð (, º Ø { dω } x( = x(scosωs ds cosω ω= π { dω } + x(ssinωs ds sinω, π Ó Ö Ò Ö Ö Ò ÛÓ Ü ÑÔÐ º¼º½ Ë x( = ω= A(ω cosω dω + B(ω sinω dω, ω= A(ω := x(s cosωsds, π B(ω := x(s sinωsds. π x( := Ö Ò Ò Ë ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ º Ä ÙÒ ÎÓÒ Ö Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ A(ω ÙÒ B(ω ÓÐ Ø {, ÐÐ, e, ÐÐ. T A(ω = sin(e cosωd π = π e cosω π ωe sinωd = π ω π e sinωd. º µ

39 Ê Ò Ø Ñ Ò ÁÒØ Ö Ð e sinωd Ù Ö ÐØ Ñ Ò e sinωd = e sinω ωe cosωd = ω Ë ØÞØ Ñ Ò Ó Ö Ò Ò º µ Ò Ö ÐØ Ñ Ò ÙÒ Ñ Ø A(ω = π e cosωd. A(ω = ( ω A(ω, π +ω º Ò ÐÓ ÒÒ Ñ Ò Þ Ò B(ω = π ω +ω Ðغ Ù ÖÙÒ Ö Þ ÙÒ e iθ = cosθ+isinθ Ö Ø Ñ Ò ÖÒ ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ Ò Óѹ ÔÐ Ü Ö ÓÖѺ ÍÑ Ð ÙÒ ÞÙ Ú Ö Ò Ò Ö ØÞØ Ñ Ò ÁÒØ Ö Ð Þ Ð ω Ö [, ÙÖ ÁÒØ Ö Ð Ö (, º Å Ø Ñ ÃÙÒ Ø Ö Ö ÐØ Ñ Ò x( = X(ω = π X(ωe iω dω, x(e iω d.

40 ¼ º½ ÆÀ Æ º Ë ÇÍÊÁ ÊÁÆÌ Ê Ä Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò ÙÔÖÓÞ Ñ Ø Ò Ö ËÔ ØÖ Ð¹ Ø Ë ËÔ ØÖ Ð Ø S Òº Ö Ò Ò T > ÒÒ Ñ Ò Ò Ò ÙÔÖÓÞ ξ Ù Ñ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ [ T, T ] ÑÙÐ Ö Ò Ö Ò ÒØÐ Ò ÈÖÓÞ Ð ÙØ ÔÔÖÓÜ Ñ Öغ Ø ÐÐ Ö Ò ÞÙ Ø Ò Ö ÈÖÓÞ Ù Ñ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ [ T, T ] Ô Ö Ó Øº Ö Ø Ñ Ò Ö Ò Ð Ò Ö Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ù [ T, T ] Ö Ù ÒÒ Ñ Ò È Ö Ó Þ ØØ Ú ÖÒ Ð Òº Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ï Ð T > ÙÒ ØÞØ N = T º Ø Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò Ø ÚÓÑ È Ö Ñ Ø Ö T Ö Ö Ö Ø Ö Û Ö Ö ÒØÐ ÈÖÓÞ ÔÔÖÓÜ Ñ Öغ Ë ÑÙÐ Ö Ö n {,...,N} ÞÛ Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ò r n ÙÒ φ n ÛÓ ÐØ ÙÒ r Rayleigh(S(πn/T, φ n Ð Ú ÖØ ÐØ Ù [ π,π]. ÒÒ Ñ Ò Ò Å ØÄ Ñ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò wblrnd(sqr(s(πn/t, ÙÒ (rand(.5 π ÖÞ Ù Òº Ð ÓÐ Ò ËÙÑÑ ξ N ( = N n= T r ncos( πn T +φ n. Ö ÈÖÓÞ ξ N = {ξ N ( : T T } Ø Ò ÙÔÖÓÞ Ö ξ ÔÔÖÓÜ Ñ Öغ Ï ÖÙÑ Ó Ø Ø Ñ Ò Ò ÓÐ Ò Ö ÖÐ ÙÒ º Ë Ò {(a n,b n : n N} ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐØ Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ò Ñ Ø Å ØØ ÐÛ ÖØ ÙÒ ËØ Ò Ö Û ÙÒ S(πn/T º Ë ÒÒ ÐØ ζ N ( = N n= ( a n cos( πn T T +b nsin( πn T. ζ Ø Ò ÙÔÖÓÞ º À Ö Ø ÞÙ Þ Ò Ö [ T, T ] Ù ÐÐ Ú Ö Ð ζ( ÙÚ Ö¹ Ø ÐØ Øº Ö a n ÙÒ b n ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐØ Ñ Ø ËØ Ò Ö Û ÙÒ S(πn/T ÙÒ Å ØØ ÐÛ ÖØ Ò Ø ( a n cos( πn T T +b nsin( πn T ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐØ Ñ Ø ËØ Ò Ö Û ÙÒ ( S(πn/Tcos ( πn T T +S(πn/Tsin ( πn T ÙÒ Å ØØ ÐÛ ÖØ º cos ( πn T +sin ( πn T = Ø ( a n cos( πn T T +b nsin( πn T ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐØ Ñ Ø ËØ Ò Ö Û ÙÒ T S(πn/T º ËÙÑÑ ÙÚ ÖØ ÐØ Ö Ù ÐÐ ¹ Ú Ö Ð Ò Ù Û Ö ÙÚ ÖØ ÐØ Ò Ø ζ N ( Ù Ú ÖØ Ðغ

41 º½º ËÁÅÍÄ ÌÁÇÆ ÁÆ Ë ÍÈÊÇ ËË Ë ÅÁÌ Æ Ê ËÈ ÃÌÊ Ä Á ÀÌ ËÔ ØÖ Ð Ø ÚÓÒ ζ N ËÔ ØÖ Ð Ø ÈÖÓÞ ζ Ò Ö ËØ ÐÐ πm T ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö m¹ø Ò ÓÙÖ Ö Ó Þ ÒØ Ò Ð Ó [ T/ ] A m := E ζ N ( T/ T cos(πm T d ÙÒ T/ [ T/ ] B m := E ζ N ( T/ T sin(πm T d. Ë ØÞØ Ñ Ò ËÙÑÑ Ò ÙÒ Ö Ø T/ T cos(πn T T/ T/ T cos(πm T d = T sin(πn T T sin(πm T d = { ÐÐ n m, ÐÐ n = m, { ÐÐ n m, ÐÐ n = m, ½ Ø Ö ÙÒ T/ ÐØ ÓÑÑØ Ñ Ò Ù ÙÒ T/ T cos(πn T T sin(πm d =, T A m = E [ a ] T/ m T/ T cos ( πm T d = E[ a ] m B m = E [ b ] T/ m T/ T sin ( πm T d = E[ b ] m. Ö {(a n,b n : n N} ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐØ Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ò Ñ Ø Å ØØ ÐÛ ÖØ ÙÒ ËØ Ò Ö ¹ Û ÙÒ S(πn/T ÐØ A m = S(πm/T ÙÒ B m = S(πm/Tº ζ Ø Ð Ó Ð ËÔ ØÖ Ð Ø S(ω = N n= δπn T (ωs(πn T. Ö Ù ÒÒ Ñ Ò Ò Û ÒÒ T Ò ÙÒ Ò Ð ÐÙ Ø ÙÒ Ñ Ø Nµ ÔÔÖÓÜ Ñ ÖØ ËÔ ¹ Ö Ð Ø ÚÓÒ ζ N Ò ËÔ ØÖ Ð Ø S ÑÑ Ö Öº Ö ÈÖÓÞ ζ N ÙÒ ξ N Ò Ð Î ÖØ ÐÙÒ º ÒÒ Ñ Ñ Ö Ø Ò Ñ ØØ Ð Ò Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Ò Ð Ø Òº ÒÒ a n T cos(πn T +b n T sin(πn T = ( a n +b a n n a n +b T cos(πn T + b n n a n +b T sin(πn T n = a n +b n T cos(πn T +φ n, Ï Ø Ö Û Ò Û Ö Û ÒÒ ÞÛ Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ò X ÙÒ Y ÒÓÖÑ ÐÚ ÖØ ÐØ Ñ Ø Å ØØ ÐÛ ÖØ ÙÒ ËØ Ò Ö Û ÙÒ σ Ö Ï ÖØ X +Y Ê ÝÐ Ú ÖØ ÐØ Ø Ñ Ø È Ö Ñ Ø Öσº ÐØ ÒÙÖ ÒÓ ÞÙ Þ Ò φ n Ð Ú ÖØ ÐØ Ø ÙÒ Ò Ù ÐÐ Ú Ö Ð Ò r n ÙÒ φ n ÙÒ Ò Ò º ÓÐ Ø Ö Ù Ò Ö ÓÖ ÐØ Ò Ò ÐÝ Ö Ê ÒÙÒ µº