Joachim Berger. Technische Mechanik fur Ingenieure. Band 1: Statik

Transkript

1 Joachim Berger Technische Mechanik fur Ingenieure Band 1: Statik

2 ~ Aus dem Programm , Grundgebiete des Maschinenbaus Mathematik fur Ingenieure, Band 1 und 2 von L. Papula Mathematische Formelsammlung fur Ingenieure und Naturwissenschaftler von L. Papula Ubungen zur Mathematik ftir Ingenieure von L. Papula Roloff/Matek Maschinenelemente von W. Matek, D. Muhs und H. Wittel Roloff/Matek Maschinenelemente Aufgabensammlung von W. Matek, D. Muhs und H. Wittel Roloff/ Matek Maschinenelemente Formelsammlung von W. Matek, D. Muhs und H. Wittel Technische Mechanik fur Ingenieure Band 1: Statik von J. Berger Elektrotechnik fur Maschinenbauer von H. Kramer Regelungstechnik fur Maschinenbauer von W. Schneider Werkstoftkunde und Werkstoffpriifung von W. WeiBbach Aufgabensammlung Werkstoftkunde und Werkstoffpriifung von W. WeiBbach, U. Bleyer und M. Bosse ~ ~eweg ~

3 Joachim Berger Technische Mechanik fur Ingenieure Band 1: Statik Mit 396 Abbildungen und zahlreichen Beispielen Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig/Wiesbaden

4 CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Berger, Joachim: Technische Mechanik flir Ingenieure I Joachim Berger. Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg (Viewegs Fachbiicher der Technik) Bd. 1. Statik AIle Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig/Wiesbaden, 1991 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann International. Das Werk und seine Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Hillen bedarf deshalb der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Umschlaggestaltung: Hanswerner Klein, Leverkusen Gedruckt auf saurefreiem Papier ISBN-13 : DOl: / e-isbn-13:

5 v Vorwort Der Ingenieur ist fiir die Konstruktion, Haltbarkeit und einwandfreie Funktion von technischen Bauteilen zustandig. Er mub fur ausreichende Dimensionierung und fiir die Auswahl geeigneter Werkstoffe sorgen, damit die Bauteile geniigend Festigkeit besitzen, urn den teilweise hohen Belastungen mit Sicherheit standhalten zu konnen. Der Ingenieur beschaftigt sich also mit Kraften und deren Wirkung auf technische Systeme (Maschinen, Apparate, Fundamente, Gebaude usw.), wozu die Technische Mechanik die Grundlagen liefert. Urn den richtigen Einstieg in dieses schwierige Gebiet zu finden, ist eine anschauliche, praxisorientierte Betrachtungsweise erforderlich, damit das Vorstellungsvermogen und das konstruktive Gefiihl des Ingenieurs geweckt und gefordert wird. Wie iiberall in der Technik hat der Computer auch in der Mechanik die Rechenmethoden stark beeinflubt und eine weitgehende Vertiefung und Schematisierung ermoglicht. Von einem modernen Ingenieur wird daher verlangt, dab er sich mit der Handhabung des Computers vertraut macht. In der Hauptsache werden also an den Ingenieur zwei Forderungen gestellt. Zum einen mub er sich mit anschaulichen, klaren, iibersichtlichen Gedanken und Vorstellungen in technische Probleme hineinversetzen konnen, zum anderen mub er auch zu einer abstrakten und schematischen Denkweise fahig sein. Die Lehrmittel fur die Ausbildung der Ingenieure miissen diesen Forderungen gerecht werden und sowohl durch anschauliche zeichnerische als auch durch abstrakte rechnerische Vorgehensweise den Stoff vermitteln. Die Themen sollen so anschaulich wie moglich entwickelt werden, wobei an Skizzen nicht gespart werden darf. Sind doch gerade die Zeichnungen in Verbindung mit den mathematisch-physikalischen Formeln die eigentliche Sprache und das wichtigste Ausdrucksmittel des Ingenieurs. Die Allgemeingiiltigkeit auch beziiglich der Erweiterung auf raumliche Probleme soil bei der Herleitung der Gesetze angestrebt werden, so dab die Formeln auf beliebige Einzel- und Sonderfalle iibertragbar sind. Die Endergebnisse der abgeleiteten Gesetze sind durch teilweise unterbrochene Kasten eingerahmt, so dab nur der Teil der Formel besonders hervorgehoben wird, den man zur Losung von Aufgaben braucht und sich daher allmahlich einpragen soli. Eine gute Hilfe fur die straffe, exakte Formulierung und Erfassung der Probleme bietet die Vektorrechnung, die dann zur Matrizen- und Tensorrechnung fiir die hohere Mechanik iiberleitet. Die wichtigsten mathematischen Zusammenhilnge, die in der Mechanik gebraucht werden, sind in dem Kapitel "Mathematische Grundlagen" vorweggenommen. Es kann bei geniigender Vorkenntnis iiberschlagen werden und dient dann nur im Bedarfsfall zur Information und Vertiefung. Mit Hilfe des Computers kann man heutzutage komplizierte Bauteile ziemlich genau rechnerisch erfassen, z. B. mit der "Finiten Elemente Methode" oder der "Methode der Randelemente". Hierzu ist die iibersichtliche Zusammenstellung einer groben Anzahl von Daten (Geometrie, Belastung, Werkstoff-Kennwerte, Temperatur-Verteilung) in Form von Matrizen erforderlich. Diese komplexen Zusammenhange zu verstehen und zu iiberschauen ist nicht immer ganz einfach und wohl auch nicht auf Anhieb moglich. Man mub sich geduldig in kleinen Schritten vorarbeiten und allmahlich in die Materie eindringen.

6 VI Vorwort Bereits am Anfang bei den einfachen und ubersichtlichen Beispielen mug der Grundstein fur eine computer-orientierte Betrachtungsweise gelegt werden, urn den Studenten entsprechend zu motivieren. Der Ingenieur soli so gut wie moglich auf die Praxis mit ihren teilweise komplizierten Aufgaben vorbereitet werden. Das ist auch das Anliegen und das Ziel dieses dreibandigen Werkes (Statik, Festigkeitslehre, Dynamik), das den etwas erweiterten Inhalt meiner Vorlesungen uber Technische Mechanik an der Fachhochschule Dusseldorf darstellt. Die aufgeftihrten Beispiele mogen dazu dienen, die abstrakten Formeln auf praktische Probleme zu ubertragen und sie dadurch zu veranschaulichen und zu vertiefen. Eine zweckmabige Befreiung, die Festlegung der Vorzeichen, die genaue Definition der verwendeten Begriffe, die ubersichtliche Darstellung und Formulierung und der kurzeste Rechenweg werden gesucht und angestrebt. Dabei werden immer wieder Probleme auftreten, die zu Uberlegungen nach Verbesserungs-Moglichkeiten anregen. Erst mit zunehmender Ubung und Erfahrung konnen diese Schwierigkeiten uberwunden werden, wozu viel Interesse, Beharrlichkeit und Geduld von den Lernenden aufzubringen sind nach dem Motto "ohne FleiG keinen Preis". Dusseldorf, im September 1991 Joachim Berger

7 VII Inhaltsverzeichnis Mathematische Grundlagen fur die Mechanik G 1 Grundbegriffe der Vektorrechnung G 1.1 Definition eines Vektors G 1.2 Gleichheit von Vektoren G 1.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar G 1.4 Einheitsvektor.... G 1.5 Addition von Vektoren.... G 1.6 Vektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem G 1. 7 Rechengesetze G 1.8 Skalares Produkt zweier Vektoren " G 1.9 Vektorielles Produkt zweier Vektoren G 1.10 Mehrfache Produkte von Vektoren.. G Gemischtes Produkt (Spatprodukt) G Dreifaches Vektorprodukt G 1.11 n-dimensionale Vektoren G 1.12 Lineare Abhangigkeit von Vektoren G 1.13 Operatoren von Vektoren G Nabla-Operator V... G Gradient eines skalaren Feldes G Divergenz eines Vektorfeldes G Rotation eines Vektorfeldes G Laplace-Operator G 2 Matrizen G 2.1 Definition... G 2.2 Spezielle Matrizen G 2.3 Rechenregeln fur Matrizen G Addition und Subtraktion G Skalare Multiplikation G Matrizenmultiplikation. G Transponierung einer Matrix G Matrizeninversion.... G 2.4 Rang einer Matrix.... G 2.5 Auflosung von linearen Gleichungssystemen in Matrizenform G 2.6 Symmetrische Matrizen G 2.7 Definitheit G3 Tensoren Technische Mechanik A. Einteilung der Technischen Mechanik B. Aufgaben der Technischen Mechanik 30 32

8 VIII Inhaltsverzeichnis Statik 1 Grundbegriffe Definition der Kraft. 1.2 Wirkung einer Kraft 1.3 Erzeugung von Kraften 104 Einteilung der Krafte Zug- und Druckkrafte Beruhrungs- und Fernkrafte AuBere und innere Krafte Eingepragte und Reaktionskrafte 1.5 Bestimmungsstucke einer Kraft 1.6 Schreibweise von Vektorpfeilen 2 Axiome Tragheits-Axiom 2.2 Verschiebungs-Axiom 2.3 Parallelogramm-Axiom 204 Reaktions-Axiom... 3 Gleichgewicht von Kraften 3.1 Eine Kraft auf einen freien Korper 3.2 Zwei Krafte Drei Krafte in der Ebene Resultierende von drei beliebigen Kraften Gleichgewicht von drei Kraften Gleichgewichts-Bedingungen fur vier Krafte (Culmannsches Verfahren) 3.5 Beliebig viele Krafte Zentrales Kraftesystem Allgemeines ebenes Kraftesystem Wiederholte Parallelogramm-Konstruktion Verfahren mit der Zwischenresultierenden Poleck- und Seileck-Verfahren SchluBlinien-Verfahren 3.6 Besondere zeichnerische Losungs-Methoden Superpositions-Verfahren Verfahren der Belastungs-Umordnung Verfahren der angepabten Komponenten-Zerlegung 4 Moment einer Kraft Moment einer Kraft bezogen auf einen Punkt 4.2 Moment einer Kraft bezogen auf eine Achse. 4.3 Moment eines Kraftepaars 404 Wellenmoment mit Riickwirkung auf das Gehause Elektromotor Kolbenmotor Parallel-Verschiebung einer Kraft Reduktion einer Kraft auf eine Dyname 4.7 Reduktion eines allgemeinen Kraftesystems

9 Inhaltsverzeichnis IX 4.8 Magliche Formen der Gleichgewichts-Bedingungen Moment als Belastung und als Lagerreaktion Dreigelenkbogen Ausftihrungs-Beispiele Bestimmung der Auflager- und Gelenkkrafte Analytische Lasung Graphische Lasung Nur eine Scheibe belastet Beide Scheiben belastet Sonderfalle Die Belastungskraft ist parallel zur Gelenkkraft Die Belastungskraft und die Gelenkkraft sind fast parallel Geometrisch und belastungsmabig symmetrischer Dreigelenkbogen Gelenkbolzen mit einer auberen Kraft bela stet Fachwerke Beschreibung eines Fachwerks Abzahlbedingung Aufbau von einteiligen Fachwerken Verbindung von Fachwerksteilen Bestimmung der Auflagerkrafte Darstellung der Stabkrafte Zeichnerische Bestimmung der Stabkrafte Knotenkrafteck-Verfahren Cremonaplan Bestimmung einzelner Stabkrafte Null- oder Blindstabe Rechnerische Bestimmung der Stabkrafte Rittersches Schnittverfahren Analytisches Knotenpunkt-Verfahren K-Fachwerke Stabtausch-Verfahren von Henneberg Krafte im Raum Bewegungs-Moglichkeiten (Freiheitsgrade) eines Korpers Gleichgewicht eines Korpers Vektorielle Zerlegung einer Kraft Zentrales Kraftesystem Vektorielle Darstellung des Moments Moment in bezug auf einen Punkt Moment in bezug auf eine Achse Begrtindung des Vektorcharakters des Moments Verschiebbarkeit von Momentenvektoren Zusammenfassung von Kraftepaaren in sich schneid end en Ebenen Allgemeines Kraftesystem Reduktion auf eine Dyname l.l Windschiefe Einzelkraft Beliebige Anzahl von Kraften l78

10 x Inhaltsverzeichnis Reduktion auf eine Kraftschraube Reduktion auf ein Kraftkreuz 7.8 Krafte an Zahnradern Lagerung von Korpern Auflager und Zwischenlager 8.2 Lagerungsarten Kinematische und statische Bestimmtheit Statisch bestimmte Systeme Einteilige Balken Mehrteilige Balken Raumliche Lagerungen Statisch unbestimmte Systeme Kinematisch unbestimmte Systeme Gleichzeitige statische und kinematische Unbestimmtheit Begrenzte Beweglichkeit statisch bestimmter Systeme Analytische Bedingungen fur die statische Bestimmtheit Haftung und Reibung Korper auf horizontaler Unterlage Ohne Verschiebekraft Mit Verschiebekraft F Coulombsches Gesetz fur trockene Reibung Abhangigkeiten und Verhalten der Reibzahlen 9.2 Korper auf schrager Unterlage Ohne Verschiebekraft Mit Verschiebekraft F Reibung an der Schraube Flachgangige Schraube Scharfgangige Schraube Reibung am Keil Bewegung in der Keilflachenebene Bewegung senkrecht zur Keilflache 9.3 Reibung zwischen zylindrischen Beriihrungsflachen Seilreibung Reibung in Gleitlagern Querlager zur Aufnahme radialer Krafte Langslager zur Aufnahme axialer Krafte Rollwiderstand Schwerpunkt Definition Schwerpunkts-Koordinaten Ubertragung der Formeln auf andere Gebilde Masse Volumen Flache Linie Zerlegung eines Gebildes in eine endliche Anzahl von Teilelementen 242

11 Inhaltsverzeichnis 10.4 Satze und Regeln zur Schwerpunkts-Bestimmung Symmetrische Gebilde Zweiteilige Gebilde Grafische Schwerpunkts-Bestimmung Experimentelle Schwerpunkts-Bestimmung 10.5 Schwerpunkt von einfachen Gebilden Schwerpunkt von Linien Gebrochener Linienzug Kreisbogen Schwerpunkt von Flachen Doppeltsymmetrische Flachen Dreieck Parallelogramm Trapez Kreissektor Kreisringsektor Schwerpunkt von parabelformigen Flachen Schwerpunkt von Korpern Regeln von Guldin und Pappus Guldinsche Regeln ftir Oberflachen Guldinsche Regeln fur Volumina 11 Schnittgro6en Il.l SchnittgroBen am Balken Vorzeichen-Festlegung mit einem Koordinatensystem Ebenes System Raumliche Systeme Balken mit gerader Achse Balken mit gekrtimmter Achse 11.3 Experimentelle Bestimmung der SchnittgroBen 11.4 Verteilung von Kraften und Momenten Resultierende einer Streckenlast Zusammenhang zwischen Belastung und SchnittgroBen 11.7 Bestimmung der SchnittgroBen durch Integration 11.8 Bestimmung der SchnittgroBen mit dem Foppl-Symbol 11.9 Bestimmung von SchnittgroBen an verschiedenen Tragern Moment einer Kraftegruppe bezogen auf einen Punkt Zeichnerische Bestimmung des Biegemomenten-Verlaufs mit dem Seileck Ausnutzung von Symmetrie 12 Seile und Ketten Allgemeine Gleichungen der Seilkurve 12.2 Belastung durch veranderliche, vertikale Streckenlast 12.3 Belastung durch eine langs des Bogens s konstante, vertikale Streckenlast 12.4 Belastung durch eine langs der x-achse konstante, vertikale Streckenlast 12.5 Steil verlaufende Seile mit schwachem Durchhang Belastung durch Eigengewicht Belastung durch Eigengewicht und Einzelkraft 12.6 Momentenfreier Bogentrager.... XI

12 XII 13 Standsicherheit 14 Mechanische Arbeit 14.1 Wirkliche Arbeit Konstante Kraft Veranderliche Kraft Arbeit bei einer Drehbewegung 14.2 Virtue lie Arbeit Virtuelle Verschiebung Prinzip der virtuellen Arbeit Lagrangesches Befreiungsprinzip Verschiebungen bei einer virtuellen Verdrehung Prinzip der virtuellen Arbeit in der Dynamik Zusammenfassung 14.3 Stabilitats-Untersuchungen Arbeitssatz Potentielle Energie, Potential Energieerhaltungssatz Stabilitats-Kriterien... Inhaltsverzeichnis Weiterfiihrendes Schrifttum Sachwortverzeichnis