Koordinaten, Skalare, Vektoren, Tensoren

Transkript

1 Kapitel 1 Koordinaten, Skalare, Vektoren, Tensoren 1.1 Ziele Die mathematische Modellierung physikalischer Phänomene bzw. technischer Prozesse führt zu Gleichungen, in denen Größen verschiedener geometrischer Struktur auftreten. Es gibt im Wesentlichen drei Größenkategorien, nämlich Skalare, Vektoren und Tensoren. Die Mitglieder dieser Kategorien werden in diesem Kapitel eingeführt. 1.2 Koordinaten, Vektoren und Basen Koordinaten im Punktraum. Ein Punkt P ist durch Angabe von drei Zahlen definiert. Wir schreiben x = (x 1, x 2, x 3 ) = (x i ) i=1,2,3 und nennen (x 1, x 2, x 3 ) die Komponenten von x. Die Menge der Punkte x, y, z... bildet den 3-dimensionalen EUKLIDischen Punktraum R 3. Ferner führen wir ein rechtwinklig kartesisches Koordinatensystem K ein. Dieses besteht aus drei orthogonal aufeinander stehenden geraden Linien, die von einem beliebig gewählten Punkt O ausgehen. Nun fällen wir von P ausgehend drei Lote, wie es in Abb. 1.1 links gezeigt wird. Die Konstruktion induziert auf den Koordinatenlinien drei Strecken, welche wir mit den Komponenten (x 1, x 2, x 3 ) von x identifizieren. Ortsvektoren im R 3. Zur geometrischen Veranschaulichung stellen wir den Punkt P durch einen Pfeil da, welcher in O beginnt und in P endet. 1 Vermutlich hat eine Person namens EUKLID nie gelebt, und seine berühmte Schrift Elemente der Geometrie ist von einer Autorengruppe unter Pseudonym geschrieben worden.

2 Wir nennen einen solchen Pfeil Ortsvektor und entsprechend (x 1, x 2, x 3 ) die Komponenten des Ortsvektors x. Abbildung 1.1: Darstellungen in einem rechtwinklig kartesischen Koordinatensystem. Der Universalgelehrte Descartes predigte rationale Beweisführung in der Geometrie. Als Sicherheitsvorkehrung wiesen seine eigenen Beweise aber häufig Lücken auf, die er erst füllte, wenn im Falle späterer Streitigkeiten seine Priorität nachzuweisen war. Offensichtlich gilt für Ortsvektoren die folgende Rechenregel: αx + βy = (αx 1 + βy 1, αx 2 + βy 2, αx 3 + βy 3 ) (1.1) wobei α und β reelle Zahlen sein sollen. Somit ist insbesondere die Summe und die Differenz von Ortsvektoren definiert. Eine weitere wichtige Beziehung zwischen zwei Ortsvektoren ist ihr Skalarprodukt. Für ein rechtwinklig kartesisches Koordinatensystem ist das Skalarprodukt definiert durch 3 x y x i y i. (1.2) Das Skalarprodukt liefert eine reelle Zahl, die wir Skalar nennen. Erklären werden wir diese Namensgebung erst später. Wir bezeichnen die Länge eines Ortsvektors mit x und folglich gilt i=1 x = x x. (1.3) Aus (1.2) läßt sich eine Alternativform für das Skalarprodukt herleiten, welche bei Anwendungen sehr nützlich ist: x y = x y cos( x, y). (1.4) Übung 1.1 Beweise die Formel 1.4 im zwei- oder dreidimensionalen Fall. Die bisherigen Überlegungen werden jetzt eine Verallgemeinerung erfahren. 2

3 Die Beschränkung auf N = 3 Dimensionen ist nämlich bei den eingeführten Regeln nicht notwendig. In der Übung 1.1 haben wir schließlich bereits den zweidimensionalen Fall betrachtet, weil er einfacher zu behandeln ist. Aber auch der Fall N > 3 wird uns in vielen Anwendungen begegnen. Allerdings geht hier die visuelle Anschaung verloren. durch N Kompo- Ortsvektoren im R N. Ein Ortsvektor x ist im R N nenten gegeben: x = (x 1, x 2,..., x N ). Für zwei Ortsvektoren gilt die Additionsregel αx + βy = (αx 1 + βy 1, αx 2 + βy 2,..., αx N + βy N ), (1.5) wobei α und β reelle Zahlen sind. Beziehen sich die Komponenten zweier Ortsvektoren auf ein rechtwinklig kartesisches Koordinatensystem, dann lautet deren Skalarprodukt im R N x y = N x i y i. (1.6) i=1 Später werden wir weitere Koordinatensysteme einführen, die nicht rechtwinklig kartesisch sind. In diesem Zusammenhang muss dann das Skalarprodukt (1.6) verallgemeinert werden. Bisher haben wir Ortsvektoren durch N -Tupel der Form (x 1, x 2,..., x N ) dargestellt. Zum Rechnen ist aber eine Alternativdarstellung nützlicher. Diese gewinnen wir leicht nach Einführung von Basisvektoren. Rechtwinklige Basis. Für ein rechtwinklig kartesisches Koordinatensystem K, welches wir zur Zeit ausschließlich benutzen, definieren wir e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e N = (0, 0,..., 1), (1.7) und nennen diese Vektoren die (rechtwinklig kartesische) Basis des Punktraumes R N. Offensichtlich gilt e i e j = δ ij mit δ ij (1.8) Das neu eingeführte Symbol δ ij heißt Einheitsmatrix und wird auch KRONECKER-Tensor genannt. 3 In der Debatte um das Unendliche lehnte Kronecker Behauptungen ab, deren Entscheidbarkeit nicht in endlich vielen Schritten belegt werden kann. Deshalb nannte Hilbert ihn den Verbotsdiktator. Das aber die meisten Studenten Kronecker nur über das Symbol kennen, welches seinen Namen trägt, hätte ihn vermutlich verwundert.

4 Wir werden demnächst weitere Basen kennenlernen, welche die Beziehung (1.8) nicht erfüllen. Eine Eigenschaft muss eine Basis aber in jedem Fall haben: Im N dimensionalen Punktraum können N Vektoren E 1, E 2,..., E N nur dann ein System von Basisvektoren bilden, wenn sie linear unabhängig sind. Dieser Begriff besagt: N Vektoren (E i ) i=1,2,...,n heißen linear unabhängig, wenn es unmöglich ist, N Zahlen λ i zu finden, die nicht alle gleichzeitig Null sind, so daß die Beziehung N λ i E i = 0 (1.9) erfüllt ist. Übung 1.2 i=1 Beweise, daß die Vektoren (1.7) linear unabhängig sind. Schließlich lautet die Darstellung eines Ortsvektors x mittels der Basis (1.7) N x = x i e i x i = x e i, (1.10) i=1 und hat die in Abb. 1.1 rechts gegebene geometrische Darstellung. Allgemeine Vektoren. Neben den Ortsvektoren gibt es weitere Objekte, die durch N-Tupel im R N dargestellt werden. Aus physikalischer Sicht kennen wir beispielsweise Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Kräfte oder Wärmeflüsse. N-Tupel im R N, welche die Rechenregel (1.5) für Ortsvektoren erfüllen, und für deren rechtwinklig kartesische Komponenten das Skalarprodukt durch (1.6) gegeben ist, heißen Vektoren. Schiefwinklige Basis. Eine Basis des R N muss nicht notwendiger Weise aus orthonormalen Vektoren, d.h. e i e j = δ ij, aufgebaut sein. Bei vielen Anwendungen sind schiefwinklige Basen dem vorliegenden Gegenstand angemessener. Übung 1.3 Die Charakterisierung feuchter Luft geschieht in einem MOLLIER Diagramm. Studiere ein MOL- LIER Diagramm und erläutere das zugrunde liegende Achsensystem. Zeige insbesondere, dass hier ein schiefwinkliges Achsensystem verwendet wird. 4

5 Zur Konstruktion schiefwinkliger Basen gehen wir von N linear unabhängigen Vektoren g 1, g 2,..., g N aus. Da diese Basisvektoren nicht orthonormal sein müssen, ist es nützlich, N zusätzliche Basisvektoren g 1, g 2,..., g N einzuführen, die den Bedingungen g i g j = δ j i mit δ j i δ ij (1.11) genügen sollen. Die zusätzliche Basis nennen wir duale Basis. Die Bedingungen (1.11) stellen N 2 Gleichungen zur Berechnung der N Vektoren (g i ) i {1,2,...,N} der dualen Basis dar. Einen gegebenen Vektor V können wir somit auf drei verschiedene Weisen in Komponenten zerlegen. Wir schreiben V = N i=1 V i (e) e i = N i=1 V i g i = (g) N i=1 V i (g) g i. (1.12) Die zu den drei Basen gehörenden Komponenten berechnen sich gemäß V i = V e i, V i = V g i, V i = V g i. (1.13) (e) (g) (g) Die Komponenten V i heißen kartesische Komponenten, während die Kom- (e) kontra- bzw. kovariantekomponenten des Vektors V ge- ponenten V i (g), V i (g) nannt werden. Den Sinn der beiden letzten Bezeichnungen werden wir etwas später erhellen. Beispiel zur schwiefwinkligen Basis. Zur geometrischen Veranschaulichung betrachten wir ein einfaches Beispiel im zweidimensionalen Fall. Mit Bezug auf die kartesische Basis geben wir uns zwei Basisvektoren vor, nämlich g 1 = (4, 2) und g 2 = (1, 3). Diese Vektoren haben die Längen g 1 = 4.47 und g 1 = Die zunächst noch unbekannten Komponenten der dualen Basis bezeichnen wir mit g 1 = (a, b) und g 2 = (c, d), und berechnen die vier Zahlen mittels der Beziehungen (1.11). ( ) ( ) 4a + 2b 4c + 2d 1 0 g i g j = (g i ) 1 (g j ) 1 + (g i ) 2 (g j ) 2 = =. 1a + 3d 1c + 3d 0 1 (1.14) Die Lösungen sind g 1 = (3/10, 1/10) und g 2 = ( 1/5, 2/5). Die Längen dieser Vektoren sind g 1 = 0.32 sowie g 2 =

6 Ein gegebener Vektor V hat gemäß (1.4) und (1.13) die Komponenten V i (e) V i (g) V i (g) = V e i = V cos( (V, e i )) (1.15) = V g i = V g i cos( (V, g i )) (1.16) = V g i = V g i cos( (V, g i )). (1.17) Die Abbildung 1.7 zeigt die graphische Darstellung der erhaltenen Resultate. Beachte die unterschiedlich Länge der Basisvektoren. Abbildung 1.2: Zerlegung eines Vektors auf schiefwinklige Basen. In der Literatur über Tensoranalysis, welche keine Basisvektoren benutzt, werden die kontravarianten Komponenten eines Vektors mit den Abschnitten υ 1 und υ 2 identifiziert. D.h. diese Komponenten werden als Parallelprojektion von V auf die durch g 1 und g 2 definierten Richtungen eingeführt. Betrachte noch einmal das Beispiel zur schiefwinkligen Basis aus der Vorlesung. 6

7 Übung 1.4 Stelle einen Zusammenhang her zwischen υ 1 und υ 2 und den in dieser Vorlesung definierten kontravarianten Komponenten V 1 und V 2. Zeige, dass gilt υ 1 = g 1 V 1 sowie υ 2 = g 2 V 2. (1.18) Erläutere das Resultat durch Vergleich mit der Behandlung in Abschnitt 1.3 der im WS 09/10 gehaltenen entsprechenden Vorlesung, siehe Teil02.pdf. Länge eines Vektors bei schiefwinkligen Basen und der metrische Tensor. Wenn die Komponenten eines Vektors bezüglich einer schiefwinkligen Basis angegeben sind, berechnen wir seine Länge wie folgt: V 2 = V V = ( N i=1 V i (g) g i) N j=1 V j (g) g j = N (g i g j )V i i,j=1 V j (g) (g) (1.19) In dieser Beziehung treffen wir zum ersten Mal auf die Matrix g i g j, welche eine große Bedeutung hat. Ihre Komponenten g ij g i g j = N (g i ) k (g j ) k (1.20) k=1 heißen kovariante Komponenten des metrischen Tensors. Entsprechend nennen wir die Größen g ij g i g j = N (g i ) k (g j ) k (1.21) k=1 kontravariante Komponenten des metrischen Tensors. Das Längenquadrat eines Vektors können wir also schreiben V 2 = N i,j=1 g ij V i (g) V j (g) = 7 N i,j=1 g ij V i V j. (1.22) (g) (g)

8 Beziehungen zwischen ko- und kontravarianten Vektorkomponenten. Die Komponenten des metrischen Tensor sind nicht nur wichtig um Längen von Vektoren zu bestimmen. Mittels ihrer Hilfe können wir auch auf einfache Art ko- in kontravariante Komponenten von Vektoren und umgekehrt berechnen, und das geht so: Wir multiplizieren die Gleichung (1.12) 3 mit g j, bzw. alternativ hierzu mit g j und beachten die Orthonormalitätseigenschaft (1.11). Es folgen V i = (g) N j=1 g ij V j (g), sowie V i (g) = N j=1 g ij V j. (1.23) (g) Schließlich führen wir noch die inverse Matrix 1 g ij ein, d.h. N 1 g ik g kj = δ ij. (1.24) k=1 Übung 1.5 a.) Beweise, dass gilt 1 g ij = g ij. (1.25) b.) Berechne den Abstand d zweier Punkte innerhalb der schiefwinkligen Basis g 1 = (4, 2), g 2 = (1, 3). Die Punkte sind in der rechtwinklig kartesischen Basis durch die Ortsvektoren x = (1, 1), y = (2, 2) charakterisiert. Erläutere das Resultat. 1.3 Koordinatenlinien, ortsabhängige Basen und Vektorkomponenten Zur Vermessung des Raumes haben wir bisher ein globales Koordinatensystem verwendet. Wenn wir aber in den Anwendungen auf Räume großer Inhomogentität treffen, so sind lokale Koordinatensysteme zu ihrer Vermessung besser geeignet. Ein weiterer Grund für die Einführung lokaler Koordinatensysteme ergibt sich aus dem Vorhandensein von koordinatenabhängigen Vektoren, d.h. V = ˆV(x). Für Vektoren gilt dann die Additi- 8

9 onsregel (1.5) natürlich nur in der Form αv + βw = (αv 1 (x) + βw 1 (x), αv 2 (x) + βw 2 (x),..., αv N (x) + βw N (x)), (1.26) d.h., dass die beteiligten Vektoren nur an demselben Punkt x addiert werden können. Zur Einführung lokaler Koordinatensysteme im R N durchziehen wir den Raum in dichter Weise mit Koordinatenlinien. Diese bestehen aus N Familien von Kurven, welche zwei notwendige Eigenschaften haben: (i) Die Fortbewegung auf der Kurve einer Familie ändert die Parameter der Kurven der anderen Familien nicht. (ii) Zwei Kurven derselben Familie dürfen sich nicht schneiden. Das vermutlich bekannteste Beispiel für Koordinatenlinien sind die Breitenund Längenkreise des Erdglobus. Weitere Beispiele schauen wir uns nun genauer für den Spezialfall N = 2, d.h. der Raum ist eine Ebene. Rechtwinklig kartesische Koordinatenlinien. In der Ebene können wir zwei Familien von geradlinigen Koordinatlinien einführen, die senkrecht aufeinander stehen. In der Abbildung besteht jede Familie aus fünf Geraden. Es sollte aber klar sein, dass wir in einem Raumgebiet das Netz beliebig dicht machen können. Netz von Koordinatenlinien zur Bestimmung von Standorten auf der Erde. Abbildung 1.3: Rechtwinklig kartesische Koordinatenlinien. Links: mit einer rechtwinklig kartesischen Basis. Rechts: mit drei schiefwinkligen Basen an drei Raumpunkten. In der Abb. 1.3 haben wir an drei ausgewählten Raumpunkten eine lokale kartesische bzw. schiefwinklige Basis angebracht. Polarkoordinaten in der Ebene. In diesem Beispiel besteht die eine Familie aus Geraden, die alle von einem beliebig gewählten Nullpunkt ausgehen, und die andere Familie beinhaltet konzentrische Kreise um den Nullpunkt. 9

10 Abbildung 1.4: Links: Polarkoordinatenlinien. Rechts: mit zwei lokalen orthogonalen Basen an zwei Raumpunkten. Zur Angabe eines Ortes wählen wir als Parameter auf den Geraden der Familie 1 den Abstand r des Ortes zum Nullpunkt, und auf den Kreisen der Familie 2 den Polarwinkel ϕ. Diese beiden Parameter, z i = (r, ϕ) für i {1, 2} hängen mit den kartesischen Parametern x i = (x 1, x 2 ) wie folgt zusammen: sowie nach Invertierung x 1 = z 1 cos(z 2 ), x 2 = z 1 sin(z 2 ), (1.27) z 1 = (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2, z 2 = arctan( x2 x 1 ). (1.28) Im Unterschied zum Fall der kartesischen Koordinatenlinien treffen wir hier auf die Situation, dass die Basisvektoren an verschiedenen Punkten im Raum in verschiedene Richtungen zeigen. D.h. die Basisvektoren sind Funktionen des Ortes! Übung 1.6 Ergänze die Umkehrformeln (1.28) durch Bedingungen, so daß diese eindeutig werden. Erläutere außerdem, dass Funktionen?? Allgemeine Koordinatenlinien in der Ebene. Im Falle der Polarkoordinaten bestehen die Koordinatenlinien aus einem Netz orthogonaler Koordinatenlinien. Im allgemeinen ist dies jedoch nicht der Fall, siehe die folgende Abbildung. 10

11 Die Koordinatenlinien sind hier durch zwei Familien beliebiger Funktionen gegeben, die aber glatt und eineindeutig sein müssen. Die Glattheit benötigen wir zur Konstruktion von Basisvektoren, und die Eineindeutigkeit garantiert, dass es innerhalb einer Familie keine Schnittpunkte gibt. z 1 = ẑ 1 (x 1, x 2 ), z 2 = ẑ 2 (x 1, x 2 ), (1.29) mit der Umkehrung Abbildung 1.5: Allgemeine Koordinatenlinien in der Ebene. x 1 = ˆx 1 (z 1, z 2 ), x 2 = ˆx 2 (z 1, z 2 ). (1.30) Wieder stellen wir fest, dass die lokalen Basen ortsabhängig sind. Die Verallgemeinerung auf den Raum R N mit N > 2 ist damit klar. Koordinatenlinien im R N sind durch Funktionen der Form z i = ẑ i (x 1, x 2,..., x N ) x i = ˆx i (z 1, z 2,..., z N ), i {1, 2,..., N} (1.31) gegeben. Allgemeine Funktionen dieser Art sind zur Konstruktion von Koordinatenlinien zulässig, falls gewährleistet ist: (i) Die Fortbewegung auf der Kurve einer Familie ändert die Parameter der Kurven der anderen Familien nicht. (ii) Zwei Kurven derselben Familie dürfen sich nicht schneiden. Ortsabhängige Basen. In den obigen Abbildungen haben wir bereits beispielhaft lokale ortsabhängige Basen eingezeichnet. Insbesondere haben wir an einem Ort das System der Basen {g 1, g 2,..., g N } durch Vektoren aufgebaut, welche tangential zu den dort sich schneidenden Koordinatenlinien liegen. Lokale Basisvektoren in einem System von Koordinatenlinien sollen diese Eigenschft immer haben, und darum definieren wir die lokale Basis {g 1, g 2,..., g N } gemäß g i N k=1 ˆx k z i e k für i {1, 2,..., N}, (1.32) denn dies sind Tangentialvektoren an die Kurven (1.31) 2. Mit dieser Definition ist auch die zugeordnete duale Basis festgelegt, welche 11

12 wieder aus den Gleichungen (1.11) zu berechnen sind. Zunächst folgt N δj i = g i g j = (g i e k ) ˆxk z = ˆx 1 j (gi ) 1 z + ˆx 2 j (gi ) 2 z ˆx N j (gi ) N. z j k=1 (1.33) Hier bezeichnet das Symbol (g i ) k die k-te Komponente des Basisvektors g i bezüglich der kartesischen Basis. Wenn wir uns diese Gleichung genauer ansehen, erkennen wir leicht durch Raten, dass gilt (g i e k ) (g i ) k = ẑi x k bzw. g i = N k=1 ẑ i x k e k. (1.34) Mit dieser Wahl sind nämlich die Gleichungen g i g j = δ i j wegen der Kettenregel identisch erfüllt. Übung 1.7 Verwende die Polarkoordinatenlinien aus obigem Beispiel, und berechne die Basen g i sowie g i. Vektorkomponenten bezüglich ortsabhängiger Basen. Wir berechnen nun die Komponenten eines gegebenen Vektors V bezüglich der im letzten Abschnitt definierten lokalen und ortsabhängigen Basen. Hierzu gehen wir aus von den allgemeinen Formeln (1.12), wonach gilt V = N i=1 V i (x) e i = N i=1 V i g i = (z) N i=1 V i (z) g i. (1.35) Die Größen V i, V i (x) (z) und V i bezeichnen die Komponenten von V bezüglich (z) der jeweils verwendeten Koordinatenlinien. Beachte, dass wir im Vergleich zu (1.12) die Bezeichnungen leicht verändert haben. Nun benennen wir den Summationsindex in der ersten Summe von i nach k um, was natürlich nichts ändert. Ausserdem setzen wir unter den beiden anderen Summen die Basen (1.32) und (1.34) ein und erhalten dann V = N k=1 V k (x) e k = N i,k=1 V i ˆx k (z) z e i k = N V i (z) i,k=1 ẑ i e k. (1.36) x k Beachte, dass sich hier alle Darstellungen auf die gleiche rechtwinklig kartesische Basis e k beziehen. Wir können also wegen e i e k = δ jk einen Koeffizientenvergleich durchführen. 12

13 Übung 1.8 Beweise, dass gilt V i = N ẑ i (z) x V k k (x) k=1 V i = (z) N k=1 ˆx k z i V k (x), (1.37) sowie V i = N g ik V k (z) (z) k=1 V i = (z) N k=1 g ik V k (z). (1.38) Die Gleichungen (1.37) geben an, wie Vektorkomponenten in lokalen Koordinatenlinien aus den entsprechenden Vektorkomponenten bezüglich rechtwinklig kartesischer Koordinatenlinien berechnet werden. Mittels der Gleichungen (1.37) können wir kontravariante aus kovarianten Komponenten und umgekehrt berechnen. Der Ursprung der Bezeichnungen ko- und kontravariante Komponenten. Erinnere die Formel (1.32), welche angibt, wie die lokale schiefwinklige Basis {g i } i {1,2,...,N} aus der kartesischen Basis {e i } i {1,2,...,N} berechnet wird. Wenn wir nun diese Formel mit den entsprechenden Darstellungen (1.37) für die Vektorkomponenten vergleichen, so beobachten wir: Die Komponenten V i transformieren sich in gleicher Weise wie die Basis (z) g i. Die Komponenten V i aber transformieren sich bezüglich dieser Basis in (z) entgegengesetzter Weise, m.a.w. mit der Inversen Transformation. Aus diesem Grund werden die Komponenten V i kovariante und die Komponenten (z) kontravariante Komponenenten genannt. V i (z) Summationskonvention. In vielen der bisher eingeführten Beziehungen treten Einfach- bzw. Doppelsummen auf. Zur Vereinfachung der Schreibweise ist es nun üblich, die Summenzeichen einfach wegzulassen und folgende Regel einzuführen: Über doppelt auftretende Indizes wird entsprechend der Dimension des betrachteten Raumes summiert. Dies ist die Summationskonvention, welche auf EINSTEIN zurückgeht. Bei- 13 Fast jeder gebildete Laie kennt die Relativitätstheorie. Viele Experten der Kontinuumsmechanik aber kennen nur die EINSTEINsche Summationskonvention.

14 spielsweise definieren wir also a ik b k N a ik b k. (1.39) k=1 In diesem Zusammenhang ist folgende Erkenntnis aus dem Bisherigen wichtig: Handelt es sich bei der betrachteten Größe um Komponenten bezüglich einer rechtwinklig kartesischen Basis, ist es nicht wichtig, ob ein Index an einem Symbol hoch gestellt ist oder rechts unten steht. Bezieht sich die Größe aber auf ein schiefwinkliges Basissystem, so ist es sehr relevant, wo ein Index steht. Denn aus der Indexstellung ersehen wir sogleich, ob auf die Tangentialbasis {g 1, g 2,..., g N } oder auf die zugeordnete Dualbasis {g 1, g 2,..., g N } bezogen wird. Beispielsweise treten folgende Fälle auf. a ik b k (x) (x) N a ik b k (x) (x) k=1 oder a ik b k (z) (z) N a ik b k (z) (z) k=1 a k i b k (z) (z) N a k i b k k=1 (z) (z). (1.40) 1.4 Der Begriff des Tensors m-ter Stufe In diesem Abschnitt werden wir Tensoren m-ter Stufe einführen. Diese Objekte haben eine kompliziertere Struktur als die N Tupel, aus denen wir Vektoren aufgebaut haben. Wir werden aber erkennen, dass Vektoren Tensoren 1. Stufe sind, während die noch genauer zu definierenden Skalare in diesem Zusammenhang Tensoren 0. Stufe sind. Alternative Charakterisierung von Vektoren. Zunächst verallgemeinern wir die Formeln (1.37). Wir fragen, wie sich Vektorkomponenten bei einem Wechsel der schiefwinkligen Koordinatenlinien {z 1, z 2,..., z N } zu einem weiteren System schiefwinkliger Koordinatenlinien { z 1, z 2,..., z N } transformieren. Wir gehen also aus von einer Transformation z i = ˆ z i (z 1, z 2,..., z N ) z i = ẑ i ( z 1, z 2,..., z N ) für i {1, 2,..., N}, (1.41) und berechnen die Komponenten V i i. ( z) 14 ( z)

15 Übung 1.9 Beweise, dass gilt V i = ˆ z i ( z) z V k k (z) V i ( z) = ẑk z V i k. (1.42) (z) Die Struktur der Formeln (1.42) hat sich also gegenüber der Transformation (1.37) nicht geändert. Außerdem sind die transformierten Komponenten immer homogene Linearkombinationen der ursprünglichen Komponenten. Dies impliziert, dass sich die Summationsregel (1.1) von Vektorkomponenten in z Koordinatenlinien überträgt auf die Komponenten bezüglich der Koordinatenlinien z. Dieser Tatbestand ermöglicht eine neue Definition von Vekoren. Zur Vereinfachung der Schreibweise definieren wir vorab J i j ˆ z i z j J i j ẑi z j. (1.43) Nebenbei bemerkt haben die beiden Matrizen J und J einen Namen. Sie heißen JACOBI Matrizen. Definition: Die beiden N-Tupel (A 1, A 2,..., A N ) und (A 1, A 2,..., A N ), bestehend aus einwertigen Funktionen, d.h. (A i ) i=1,2,...,n, (A i ) i=1,2,...,n : x R N R, definieren einen Vektor A : x R N R N, wenn sich ihre Komponenten bei der Koordinatentransformation (1.41) transformieren gemäß A i ( z) ( z1, z 2,..., z N ) = J ka i k (z) (z1, z 2,..., z N ), (1.44) A i ( z) ( z 1, z 2,..., z N ) = J k i A k (z 1, z 2,..., z N ). (1.45) (z) Auch die Exaktheit mathematischer Beweise ist relativ. Jacobi, in seiner Epoche nächst Gauß der bedeutendste deutsche Mathematiker, behauptet: Wenn Gauß sagt, er habe etwas bewiesen, ist es mir sehr wahrscheinlich, wenn Cauchy es sagt, ist ebensoviel pro und kontra zu wetten, wenn Dirichlet es sagt, ist es gewiß. Bei dieser Definition von Vektoren treten die Basisvektoren nicht mehr explizit auf. Nur die Koordinatenlinien sind noch präsent. Im Zusammenhang mit dieser Sichtweise hat sich ein Sprachgebrauch eingebürgert, der, obwohl nicht korrekt, sehr praktisch ist: Wir sprechen bei Verwendung des N-Tupels (A 1, A 2,..., A N ) als Darstellung für A von dem kontravarianten Vektor A. Verwenden wir dagegen für A das N-Tupel (A 1, A 2,..., A N ), so nennen wir A kovarianten Vektor. Die Inkorrektheit liegt natürlich in der Tatsache begründet, dass das Objekt A als solches weder kontra- noch kovariant ist. Diese Eigenschaften kommen 15

16 nur den Komponenten zu. Später werden wir diesen Aspekt noch einmal aufnehmen. Der Begriff des Skalars, Skalarprodukt und metrischer Tensor. Im letzten Abschnitt haben wir gelernt, unter welchen Umständen eine Menge von Funktionen, d.h. {A i } i {1,2,...,N}, {A i } i {1,2,...,N}, einen Vektor repräsentiert. Jetzt betrachten wir eine einzelne Funktion. Definition: Eine einzelne einwertige Funktion f, d.h. f : x R N R, heißt Skalar, falls gilt f ( z 1, z 2,..., z N ) = f (z 1, z 2,..., z N ). (1.46) ( z) (z) In diesem Zusammenhang ist folgende Beobachtung wichtig. Jede der N Funktionen A i ist eine einwertige Funktion, d.h. A i : x R N R, trotzdem haben wir A i ( z 1, z 2,..., z N ) A i (z 1, z 2,..., z N ) sondern stattdessen (1.47) ( z) (z) A i ( z) ( z 1, z 2,..., z N ) = J ka i k (z 1, z 2,..., z N ). (1.48) (z) Als nächstes betrachten wir wieder das Skalarprodukt. Zur Erinnerung schreiben wir es für zwei gegebene Vektoren V und W in einer beliebigen Basis noch einmal auf. V W = g ij V i W j = g ij V i W j = V i W i = V i W i. (1.49) Wir wissen bereits, wie sich die Vektoren V und W bei einer Transformation der Koordinatenlinien gemäß (1.41) transformieren, und auch das Transformationsverhalten der Metrik ist klar, denn deren Komponenten sind nach (1.20) und (1.21) definiert durch g ij g i g i und g ij g i g i. Für rechtwinklig kartesische Koordinatenlinien gilt g ij = δ ij, und in diesem Fall geht (1.56) in die bekannte Form (1.6) über. 16

17 Übung 1.10 Bestimme das Transformationsgesetz für die Komponenten der Metrik, und zeige, dass sich diese gemäß g ij = J k i J l jg kl ( z) (z) g ij ( z) = J i k J j l gkl (z). (1.50) transformieren. Beweise ferner die Regeln für das Herauf- und Herunterziehen von Indizes: V i = ( z) gik V k ( z) ( z) V i ( z) = g ik V k. (1.51) ( z) ( z) Und damit folgt, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren in obigem Sinn in die Klasse der Skalare gehört. Diese Aussage wird durch eine einfache Rechnung bestätigt, die allerdings dem Leser überlassen bleibt. Übung 1.11 Bilde die Determinante der kovarianten Komponenten des Metriktensors und nenne sie g. Erinnere, daß die Berechnung einer Determinante eine Zahl liefert. Trotzdem ist die Determinante kein Skalar! Beweise diese Behauptung, und gib das Transformationsgesetz für g an. Charakterisierung des Tensors m -ter Stufe auf der Basis von Koordinatenlinien. Nach den soeben gegebenen Definitionen von Skalaren und Vektoren, die wir bereits als Tensoren 0 -ter bzw. 1 -ter Stufe eingestuft haben, geht es wie folgt weiter. 17

18 Definition: Die Matrizen (T ij ) i,j {1,2,...,N}, (T ij ) i,j {1,2,...,N}, (T i j) i,j {1,2,...,N} und (T j i ) i,j {1,2,...,N}, der einwertigen Funktionen T ij, T ij, T i j, T j i : x R N R für i {1, 2,..., N}, definieren einen Tensor 2 -ter Stufe T : x R N R N R N, wenn sich ihre Komponenten bei der Koordinatentransformation (1.41) transformieren gemäß T ij ( z) ( z1, z 2,..., z N ) = J i k J j l T kl (z) (z1, z 2,..., z N ), (1.52) T ij ( z) T i j ( z) ( z 1, z 2,..., z N ) = J k i J l j T kl (z 1, z 2,..., z N ), (1.53) (z) ( z 1, z 2,..., z N ) = J k i J l j T k l(z 1, z 2,..., z N ), (1.54) (z) j T i ( z 1, z 2,..., z N ) = J k i ( z) J j l l T k (z 1, z 2,..., z N ). (1.55) (z) Dieses Beispiel zeigt bereits, dass zur Klassifizierung der Komponenten eines Tensors neben seiner Stufe noch ein weiteres Unterscheidungsmerkmal angegeben werden muss. Dieses Merkmal nennen wir Typ. Wir sagen: Die Darstellung eines Tensors m -ter Stufe ist vom Typ (r, s) mit r + s = m, (1.56) wenn r kontra- und s kovariante Indizes verwendet werden. Der Tensor 2 -ter Stufe kann also durch vier verschiedene Komponentendarstellungen charakterisiert werden. Bei Tensoren 3 -ter Stufe gibt es natürlich noch mehr Variationen, was die Stellung der Indizes angeht. Das Prinzip ist aber klar, und deshalb verzichten wir auf deren explizite Angabe. Schließlich beobachten wir an den obigen Darstellungen, dass es auch wichtig ist zu kennzeichnen, welcher Index ko- bzw. kontravariant ist. In (1.52) 3 ist der erste Index kontravariant und der zweite kovariant, in (1.52) 4 ist es umgekehrt. Sind beispielsweise die ersten r Indizes kontravariant und die hiernach folgenden s Indizes alle kovariant, lautet das Transformationsgesetz, welches garantiert, dass die Menge der beteiligten einwertigen Funktionen einen Tensor r + s = m -ter Stufe vom Typ (r, s) bilden i T 1 i 2 i 3...i = ( z) rj1 J i 1 i k 1 J 2 i k 2 J 3 k 3...J l 1 j1 J l 2 j2 J l 3 k j3... T 1 k 2 k 3...k r. (z) j2 j3...js l 1 l 2 l 3...l s (1.57) 18

19 Algebraische Operationen mit Tensoren. Da wir Tensoren mittels einwertiger Funktionen t : x R N R definiert haben, liegen die möglichen algebraischen Operationen mit Tensoren bereits fest. Die Addition der Komponenten zweier Tensoren von gleicher Stufe und gleichem Typ nach vorheriger Multiplikation mit reellen Zahlen α, β produziert die Komponenten eines Tensors von gleicher Stufe und gleichem Typ. Beispiel: α A i jk + β B i jk = C i jk. (1.58) Die Multiplikation der Komponenten zweier Tensoren der Stufen m und n und zugehöriger Typen (r 1, s 1 ) und (r 2, s 2 ) produziert die Komponenten eines Tensors m + n -ter Stufe vom Typ (r 1 + r 2, s 1 + s 2 ). Beispiel: A i 1 i2 i 3 B j 1j 2 j 3 j 4 j 5 = C i 1j 1 j 2 i2 i 3 j 3 j 4 j 5. (1.59) Die Verjüngung eines Tensors m -ter Stufe vom Typ (r, s) liefert einen Tensor m 2 -ter Stufe vom Typ (r 1, s 1). Beispiel: A i ij = B j. (1.60) Das Wesentliche an den hier gegebenen Gleichungen ist, dass auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens ausschließlich Tensoren im obigen Sinn auftreten. Zur Verdeutlichung betrachten wir noch einmal zwei Beispiele: A i B ij = C j sowie A i B i j = D j. (1.61) Wir setzten voraus, dass A und B Tensoren sind. Dann sind die aus der Produktbildung und Verjüngung resultierende Größen C j die Komponenten eines Tensors, die Größen D j aber sind keine Tensorkomponenten. Bei Anwendungungen können beide Bildungen auftreten. Während aber die Gleichung (1.61) 1 eine objektive Aussage ist, d.h. sie gilt für jedes System von Koordinatenlinien, gilt die Gleichung (1.61) 2 nur bezüglich des Systems von Koordinatenlinien, in welchem sie aufgestellt wurde. Charakterisierung des Tensors m -ter Stufe ohne Verwendung von Koordinatenlinien. Im letzten Abschnitt haben wir das Objekt Tensor für beliebige aber gegebene Koordinatenlinien eingeführt. Hierbei haben wir, im Gegensatz zu unserem Vorgehen bei Vektoren, ausschließlich die Eigenschaften der Komponenten eines Tensors charakterisiert. Darüber hinaus haben wir das System von Basisvektoren, welches den Raum aufspannt, in welchem der Tensor lebt, nicht definiert. Der Tensor 2. Stufe lebt beispielsweise im Produktraum R N R N, und dieser wird aufgespannt durch N 2 dyadische Produkte von Vektorbasen, nämlich {g i g j } i,j {1,2,...,N}. 19

20 Das Wesen von Produkträumen wird in der multilinearen Algebra studiert. Diese liefert ein System von Rechenregeln, welche es gestatten, Tensoren nebst zugehörigen Tensorbasen unabhängig von den Koordinatenlinien einzuführen. Ein Tensor wird hier nicht über sein Transformationsverhalten charakterisiert, sondern als lineare Abbildung eingeführt, die beispielsweise Vektoren in Vektoren oder auf Skalare abbildet. Nach meiner subjektiven Meinung bringt dies, weder visuell anschaulich noch rechentechnisch, irgendwelche Vorteile und wird deshalb unterdrückt. Übung 1.12 Besorge ein Buch, welches eine gegenteilige Meinung vertritt, und referiere etwa Minuten über die Einführung von Tensoren 2 -ter und 3 -ter Stufe ohne die Verwendung von Koordinatenlinien. Zeige insbesondere, dass bei Akzeptanz von Koordinatenlinien beide Vorgehensweisen equivalent sind. Beispielsweise könnten als Grundlage die Kapitel und des Vorlesungsskriptes Festigkeitslehre von A. Betram dienen, welches unter der Adresse herunter geladen werden kann. Die Bearbeitung dieser Übung ist freiwillig. Die Gruppe, welche allerdings das hier gegebene Problem bearbeitet, erhält hierfür die Gesamtpunktzahl der anderen Übungen dieser Woche. Tullio Levi-Civita und sein Lehrer Gregorio Ricci- Curbastro begründeten vor 120 Jahren die Form der Tensoranalysis, wie sie in dieser Vorlesung immer noch gelehrt wird. Das vollständig antisymmetrische Symbol. Im Zusammenhang mit der Berechnung von Flächen und Volumina werden wir zwei weitere Produktbildungen zwischen Vektoren benötigen, die Vektorprodukt und Spatprodukt heißen. Vor deren Einführung definieren wir zunächst das vollständig antisymmetrische Symbol ε, welches auch LEVI-CIVITA Symbol genannt wird. Im R 2 ist ε durch eine 2 2 Matrix definiert, nämlich ε ij = ( ), (1.62) 20

21 und im R 3 setzen wir fest ε ijk = 1 ijk entsteht durch gerade Permutationszahl aus 123, 1 ijk entsteht durch ungerade Permutationszahl aus 123, 0 zwei Indizes sind gleich. (1.63) Durch Analogieschluß erhalten wir auch das vollständig antisymmetrische Symbol in höheren Dimensionen, was wir aber hier nicht benötigen. Wir betrachten nun fast ausschließlich den Fall des R 3, wo auch die folgenden sehr nützlichen Formeln gelten, die sich leicht beweisen lassen. ε ijk ε krs = δ ir δ js δ is δ jr, ε ijk ε kjs = 2δ is, ε ijk ε kji = 6. (1.64) Vor seiner Anwendung zur Volumen- und Flächenberechnung studieren wir weitere Eigenschaften des Symbols ε etwas genauer. Als erstes stellen wir die Frage, ob die Komponenten ε ijk die kontravarianten Komponenten eines Tensors 3. Stufe sind. Zur Beantwortung bilden wir zunächst J m j J nε k lmn (1.65) J i l und stellen fest, dass dieser Ausdruck vollständig antisymmetrisch in den Indizes ijk ist. Folglich muss er proportional sein zu ε ijk. Zur Bestimmung der Proportionalitätskonstanten wählen wir i = 1 j = 2 k = 3. Durch diese Wahl in (1.68) resultiert die bekannte Regel, nach welcher Determinanten von 3 3 Matrizen berechnet werden. J 1 l J 2 m J 3 nε lmn = det( J i j) J. (1.66) Wir schließen, dass die Komponenten ε ijk fast die kontravariante Komponenten eines Tensors sind. Es gilt nämlich Mit ε ijk ε ijk können wir auch schreiben ε ijk = 1 J J i l J j m J k n ε lmn. (1.67) ε ijk = 1 J J i l J j m J k n ε lmn. (1.68) Größen, die sich gemäß (1.68) transformieren haben auch einen Namen: Sie heißen Tensordichten. Genauer sagen wir, dass das vollständig antisymmetrische Symbol eine Tensordichte 3. Stufe mit Gewicht W = 1 ist. Weitere Tensordichten werden wir noch kennenlernen. 21

22 Schließlich berechnen wir noch die kovarianten Komponenten des ε Symbols. Übung 1.13 Beweise den Zusammenhang ε ijk = g ε ijk. (1.69) Vektorprodukt und Spatprodukt. Die Grundbausteine zur Berechnung beliebiger Flächen und Volumina im R 3 sind die Trapezfläche und das Parallelepiped. Diese einfachen geometrischen Körper werden über das Vektorprodukt und das Spatprodukt charakterisiert. Abbildung 1.6: Vektorprodukt und Spatprodukt zur Berechnung der Trapezfläche bzw. des Parallelepipeds. Zunächst führen wir im R 3, und nur hier, das Vektorprodukt zweier Vektoren ein. Definition: Das Vektorprodukt V zweier Vektoren A und B des R 3 bezeichnen wir durch V A B. (1.70) Seine Berechnungsvorschrift soll in rechtwinklig kartesischen Koordinatenlinien lauten e 1 e 2 e 3 V det A 1 A 2 A 3. (1.71) B 1 B 2 B 3 Die vier wesentlichen Eigenschaften des Vektorproduktes sind: 1. Der Betrag von V ist der Flächeninhalt der Fläche, welche gemäß Abbildung 1.6 von den Vektoren A und B aufgespannt wird. V = A B sin( (A, B)). (1.72) 22

23 Zum Beweis von (1.72) verwenden wir rechtwinklig kartesische Koordiantenlinien: V V = (A B) (A B) (1.73) = ε ijk A j B k ε ilm A l B m = ε ijk ε ilm A j B k A l B m = ε jki ε ilm A j B k A l B m = (δ jl δ km δ jm δ kl )A j B k A l B m = (A A)(B B) (A B) 2 = A 2 B 2 sin 2 ( (A, B)). 2. V steht senkrecht auf dieser Fläche, und zwar so, dass die drei Vektoren A, B und V ein Rechtssystem bilden. Wir sprechen auch von der Rechte- Hand-Regel. Die Behauptung läßt sich leicht überprüfen: Die über die Indizes ij laufende Doppelsumme, welche in der folgenden Gleichung (1.74) auftritt, ergibt Null, da das symmetrische Produkt A i A j auf das antisymmetrische ε Symbol trifft. Natürlich folgt ebenso V B = 0. V A = ε ijk A i A j B k = 0. (1.74) 3. Das Vektorprodukt ist nicht assoziativ und antikommutativ, d.h. (A B) C A (B C) A B = B A. (1.75) 4. Das Vektorprodukt kann als Vektordichte mit Gewicht -1 klassifiziert werden. Deshalb gelten seine Eigenschaften in beliebigen Koordinatenlinien, obwohl wir zunächst das Vektorprodukt nur mit Bezug auf kartesische Koordinatenlinen definiert hatten. Übung 1.14 a.) Zeige, dass sich die Komponenten des Vektorproduktes V i = (A B) i transformieren gemäß V i ( z) ( z1, z 2,..., z N ) = 1 J J k i V k (z) (z1, z 2,..., z N ). (1.76) b.) Beweise die Identitäten A (B C) = B(A C) C(A B) (A B) C = B(A C) A(B C). (1.77) 23

24 Definition: Das Spatprodukt S dreier Vektoren A, B und C des R 3 ist definiert durch S = (A B) C. (1.78) Es berechnet das Volumen des in Abbildung 1.6 gezeichneten Parallelepipeds. 1.5 Ableitungen von Tensoren Zur Aufstellung der Gesetze der Kontinuumsphysik sind Tensoren die geeigneten Größen, da Gleichungen zwischen Tensoren unabhängig von den zugrunde liegenden Koordinatenlinien sind. Bisher haben wir gelernt wie durch algebraische Operationen aus Tensoren weitere Tensoren produziert werden. In der Kontinuumstheorie benötigen wir aber auch partielle Ableitungen von Tensoren nach den Ortskoordinaten, und diese erzeugen im allgemeinen keine Tensoren, sondern Größen mit einem komplizierteren Transformationsverhalten. Das Ziel dieses Abschnittes ist die Einführung von verallgemeinerten Ableitungen, die derart definiert werden, so daß aus Tensoren wieder Tensoren werden. Im Folgenden werden wir ausschließlich Tensorfelder, das sind Funktionen der Ortskoordinaten, von hinreichender Glattheit betrachen. Alle auftretenden Ableitungen sollen also ohne besondere Erwähnung bildbar sein. Die Ableitung eines Skalarfeldes. Bei einem Wechsel der Koordinatenlinien z = (z 1, z 2,..., z N ) z = ( z 1, z 2,..., z N ) genügt ein Skalarfeld S(z) der Regel: S ( z) ( z) = S (z). (1.79) Wir bilden auf beiden Seiten dieser Gleichung die partielle Ableitung nach irgendeiner Koordinate, z.b. z i und nach Anwendung der Kettenregel folgt z i S ( z) ( z) = J j i (z) z S (z). (1.80) j (z) Die partiellen Ableitungen eines Skalars bilden die Komponenten eines Vektors. In unkorrekter Sprechweise sagen wir: Die partielle Ableitung eines Skalars ist ein kovarianter Vektor. Die Ableitung eines Vektorfeldes. Wir betrachten einen Vektor mit 24

25 Zerlegung auf die Basis (g j ) j=1,2,...,n. D.h. V(z) = V j (z)g j (z). (1.81) Bei der Ableitung des Vektors V müssen wir nun beachten, dass nicht nur die Komponente V j, sondern auch die Basis ortsabhängig ist. Wir bilden also z V = V j i z g i j + V j g j (1.82) z i Zur Identifizierung der Komponenten von V zerlegen wir zunächst die z i Ableitung der Basisvektoren nach der Basis (g j ) j=1,2,...,n. Es ist klar, dass die Komponenten dieser Ableitung durch Größen mit drei Indizes charakterisiert sind. Wir schreiben die Komponentenzerlegung wie folgt: g j z i Γ k ijg k. (1.83) Die Größen Γ k ij sind von eminenter Bedeutung und haben deshalb einen Namen bekommen. Sie heißen CHRISTOFFEL-Symbole. Durch skalare Multiplikation mit g l erhalten wir eine Berechnungsvorschrift für die CHRISTOFFEL-Symbole, nämlich Γ l ij = g l g j z i. (1.84) Als Folge der Definitionsgleichung (1.32) der Basis g j sind die CHRISTOFFEL-Symbole symmetrisch in den unteren Indizes. In einer späteren Übung werden wir sehen, dass die CHRISTOFFEL-Symbole nicht die Komponenten eines Tensors 3. Stufe vom Typ (1,2) sind. Wenn wir zur Berechnung der Ableitung eines Vektorfeldes V(z) statt (1.81) die Zerlegung nach der Dualbasis (g j ) j=1,2,...,n verwenden, müssen wir zunächst wieder deren Ableitung berechnen. Sie lautet In dieser Vorlesung beschreiben die CHRISTOFFEL- Symbole die Variation einer Basis von Ort zu Ort. In der Allgemeinen Relativitätstheorie allerdings kodieren sie die Kräfte des Gravitationsfeldes. g j z i = Γ j ik gk. (1.85) Übung 1.15 Beweise die Komponentenzerlegung (1.85). Die Ableitung eines Vektors nach den Koordinaten kann somit durch zwei Alternativformeln dargestellt werden. j z V = ( V i z i + Γ j ik V k )g j = ( V j z i Γk ijv k )g j. (1.86) 25

26 Die hier als Komponenten auftretenden Kombinationen sind die Komponenten eines Vektors. Sie heißen kovariante Ableitungen eines Vektors und werden durch ein Semikolon abgekürzt. Die kovarianten Ableitungen der Komponenten eines Vektors sind definiert durch A j ;i V j z i + Γ j ik V k und A j;i V j z i Γk ijv k, (1.87) und bilden Tensoren 2. Stufe der Typen (1,1) bzw. (0,2). Diese Behauptung beweisen wir in der folgenden Übung. Übung 1.16 a.) Führe einen Wechsel der Koordinatenlinien von z nach z durch und schreibe die Transformationsgleichung der kontravarianten Komponenten eines Vektors V auf. Bilde auf beiden Seiten der Gleichung die Ableitungen nach den Koordinaten. Zeige, entsprechend der Vorgehensweise beim Skalarfeld, dass diese Ableitungen nicht die Komponenten eines Tensors 2. Stufe vom Typ (1,1) sind. b.) Berechne das Transformationsgesetz der CHRISTOFFEL-Symbole, welches lautet Γ i jk ( z) = J i m J n k J l j Γ m ln (z) + J i l 2 ẑ l z j z k. (1.88) Erläutere das Resultat. c.) Zeige, dass die kovarianten Ableitungen eines Vektors die Komponenten eines Tensors 2. Stufe sind. Es gibt eine zu (1.84) alternative Berechnungsformel der CHRISTOFFEL- Symbole. Diese ist für manche Anwendungen günstiger. Die Alternativformel lautet Γ m ij = 1 2 gml ( g il z j + g jl z i g ij z l ). (1.89) Zum Beweis von (1.89) starten wir mit (1.84) und bilden auf beiden Seiten das Skalarprodukt mit dem Vektor g l. Das erhaltene Resultat schreiben noch einmal auf, aber mit Vertauschung der Indizes i und l. Nach Addition beider Gleichungen folgt (1.90) 1 sowie zwei weitere Ausdrücke nach 26

27 Vertauschung von j mit i bzw. von j mit l. g il z j = Γk ijg kl +Γ k ljg ki g jl z i = Γ k ijg kl +Γ k lig kj g ij z l = Γ k ilg kj +Γ k ljg ki. (1.90) Jetzt werden die ersten zwei Gleichungen addiert und hiervon (1.90) 3 subtrahiert. Auf der resultierenden rechten Seite überlebt nur ein Term, nämlich 2Γ k ijg kl. Nach Multiplikation mit g lm folgt dann die Behauptung. Die Ableitung der Komponenten eines Tensors 2. Stufe. Bei der Ableitung eines Skalarfeldes sowie in Übung 1.16 haben wir eine Methode kennen gelernt, mittels der wir auch kovariante Ableitungen der Komponenten eines Tensors 2.Stufe erzeugen können. Die kovarianten Ableitungen der vier verschiedenen Komponenten eines Tensors 2.Stufe sind definiert gemäß T ij ;k T ij z k + Γi klt lj + Γ j kl T il, (1.91) T ij;k T ij z k Γl kit lj Γ l kjt il, (1.92) T i j;k T i j z + k Γi klt l j Γ l kjt i l, (1.93) T j i;k T j i z k Γl kit j l + Γ j kl T i l. (1.94) Sie sind Komponenten der Typen (2,1), (0,3) und (1,2) eines Tensors 3. Stufe. Der Beweis dieser Behauptung bringt nichts neues und wird darum unterdrückt. Die Ableitung der Komponenten eines Tensors m-ter Stufe. Wie es mit einem Tensor höherer als 2. Stufe weitergeht ist klar. 1. Die kovariante Ableitung seiner Komponenten setzt sich additiv zusammen aus der gewöhnlichen partiellen Ableitung, sowie aus Korrekturtermen, welche erzwingen, dass die kovariante Ableitung der Komponente eines Tensors m-ter Stufe einen Tensor (m+1)-ter Stufe erzeugt. 2. Wie beim Tensor 2. Stufe gibt es für jeden Index einen Korrekturterm, dessen Struktur leicht aus den Formeln (1.91) heraus gelesen werden kann. 3. Ein oberer Index erzeugt einen Term mit positivem Vorzeichen, ein unterer Index impliziert ein negatives Vorzeichen. Rechenregeln für kovariante Ableitungen. Obwohl kovariante Ablei- 27

28 tungen aus gewöhnlichen Ableitungen plus algebraischen Termen bestehen, gelten viele Regeln, die auch für gewöhnliche Ableitungen bestehen. 1.Die kovariante Ableitung ist eine homogene und lineare Operation. D.h., dass beispielsweise für zwei Zahlen α, β und zwei Tensorkomponenten 3. Stufe A i jk, Bi jk gilt (αa i jk + βb i jk) ;l = αa i jk;l + βb i jk;l. (1.95) 2. Es gilt die Produktregel, beispielsweise (A i jk B r st) ;l = A i jk;l B r st + A i jk B r st;l. (1.96) 3. Die Verjüngung ist mit einer kovarianten Ableitung vertauschbar, beispielsweise A i jk;l für i=j = A j jk;l. (1.97) 4. Allerdings, die SCHWARZsche-Regel gilt nicht, d.h. im allgemeinen haben wir A i jk;l;m A i jk;m;l, (1.98) Wichtigstes und trivialstes in der Mathematik wurde von Hermann Amandus SCHWARZ mit gleicher Gründlichkeit bearbeitet. Eine Charaktereigenschaft, die vermutlich vielen Mathematikern zu Eigen ist. was wir demnächst noch genauer diskutieren werden. Verschiebung von Vektoren längs einer Kurve. Wir gehen aus von irgenwelchen Koordinatenlinien z = (z 1, z 2,..., z N ) und geben uns auf diesem Netz eine Kurve C vor, die wir durch einen Parameter λ charakterisieren. Wir schreiben C : z i = z i (λ) für i {1, 2,..., N}. (1.99) Beipielsweise können wir λ = s setzen, wo s die Bodenlänge auf C ist, bezogen auf einen beliebigen Anfangspunkt. Als nächstes betrachten wir eine Vektorfunktion Ṽ(λ) V( z(λ)) auf C und interessieren uns für die Ableitung des Vektors längs C. Ihre Berechnung ist nach dem Vorhergehenden sehr einfach. Mittels V = V i g i, der Kettenregel und (1.86) 1 bilden wir dṽ(λ) dλ = V(z) d z j i z j dλ = (dv (λ) + Γ i dλ jkv j d zk dλ )g i. (1.100) Häufig ist in Anwendungen eine Parallelverschiebung eines Vektors längs einer gegebenen Kurve C durchzuführen. 28

29 Abbildung 1.7: Verschiebung eines Vektors längs einer gegebenen Kurve. Definition: Ein Vektor V heißt parallelverschoben zwischen zwei Punkten P 1 und P 2 auf einer Kurve C, falls für alle λ [P 1, P 2] gilt da(λ) dλ = 0. (1.101) In den nächsten Übungen machen wir uns mit der anschaulichen Bedeutung dieser Definition vertraut. Zur Vorbereitung berechnen wir zunächst die CHRISTOFFEL-Symbole für ein Netz von Koordinatenlinien, welches durch Kugelkoordinaten im Raum R 3 generiert wird. Übung 1.17 a.) Berechne die Komponenten des Metrik-Tensors und die CHRISTOFFEL-Symbole im Raum R 3 für Kugelkoordinaten z = (r, θ, φ), welche mit den rechtwinklig kartesischen Koordinatenlinien x = (x 1, x 2, x 3 ) über die Formeln x 1 = r cos(φ) sin(θ) x 2 = r sin(φ) sin(θ) x 3 = r cos(θ) (1.102) zusammenhängen. b.) Spezialisiere die Formeln für den Fall, das eine Ebene vorliegt. 29

30 Übung 1.18 Übung 1.19 Betrachte in der Ebene eine Kurve C : x(λ) = (x 1 = 2, x 2 = λ). Am Ort λ = 0 ist ein Vektor Ṽ(0) = (1, 1/2) mit Bezug auf kartesische Koordinatenlinien gegeben. Verwende nun zur Beschreibung der Koordinaten der Ebene Polar-Koordinatenlinien. Führe eine Parallelverschiebung von V auf C zum Punkt λ = 3 durch. a.) Bestimme grafisch die Komponenten von Ṽ(3) bezüglich der durch das Polarnetz generierten Tangentenbasis g i {1,2}. b.) Führe das gleiche Programm durch Auswertung der Gleichung dv i (λ) = Γ i dλ jkv j d zk (1.103) dλ durch, und erläutere ausführlich die Vorgehensweise. Ein Flugzeug fliegt in konstanter Höhe von Peking (P ) nach Vancouver (V ). Üblicherweise nimmt der Pilot die Route entlang eines Großkreises, welcher die Punkte P und V verbindet. a.) Was ist ein Großkreis? b.) Wie läßt sich im Prinzip die Gleichung des Großkreises mit den Hilfsmitteln dieser Vorlesung berechnen? Aus: Thorne, Misner, Wheeler Gravitation, c.) Beschreibe, wie sich die Flugroute im Koordinatennetz der Längen- und Breitenkreise der Erde gestaltet. Entweder rein verbal oder mit Gleichungen aus der Vorlesung. d.) Illustriere Teile der Lösung in der Abbildung. e.) Ist die Flugbewegung eine Folge von Parallelverschiebungen? 30

31 Die Operatoren grad, div und rot. Gewisse Kombinationen von partiellen Ableitungen nach den Koordinaten treten häufig auf und haben teilweise eine anschauliche Bedeutung. Für diese Kombinationen sind deshalb besondere Symbole und Namen eingeführt worden. Die Bedeutung der Namen wird uns in den späteren Anwendungen klar werden. Wir beginnen mit der Definition des Nabla-Symbols, welches die N partiellen Ableitungen zu einem Vektor vereinigt. Im Folgenden verwenden wir zunächst ausschließlich rechtwinklig kartesische Koordinatenlinien. e i x. (1.104) i wird angewendet auf Skalare, Vektoren und Tensoren. Falls die beiden letzteren Objekte durch Komponenten dargestellt werden, haben wir zum Beispiel S(x) = e i S(x) x i V j (x) = e i V j (x) x i T jk (x) = e i T jk (x) x i. (1.105) Wird das -Symbol auf einen Skalar angewandt, wird die Bezeichung Gradient grad eingeführt. Wir beobachteten, dass durch Anwendung des -Symbols kovariante Vektorkomponenten, gemischte Tensorkomponenten 2. Stufe bzw. gemischte Tensorkomponenten 3. Stufe enstehen. Als nächstes betrachten wir das Skalarprodukt des Nabla-Symbols mit Vektoren bzw. Tensoren. Diese Operation erhält die Bezeichung Divergenz div. Für Vektoren V entsteht natürlich div V V = V i x i. (1.106) Bei Anwendung der Operation div auf Tensoren 2. oder höherer Stufe benötigen wir noch die Zusatzinformation mit welchem der Tensorindizes die entstehende Verjüngung stattfinden soll. Wir vereinbaren, dass es der erste Index sein soll. D.h. ijk... T div T T = ( ) x i j,k,... {1,2,3,...,N}. (1.107) Schließlich ist auch das Vektorprodukt des Nabla-Symbols mit Vektoren interessant. Im R 3 heißt die Operation Rotation rot, und die Operation 31

32 ist definiert wie folgt k ijk V rot V V = (ε x ) j i {1,2,3}. (1.108) Die Wirkung des -Symbols läßt sich leicht auf beliebige Koordinatenlinien übertragen, da sein Transformationsverhalten sowie das der anderen involvierten Größen festliegen. Definition des Nabla -Symbols: In beliebigen Koordinatenlinien definieren wir ( ) g i ( ) ;i, (1.109) wobei der Punkt für die Komponenten eines Tensors m- ter Stufe steht. Folgerungen: 1. Bei einem Wechsel auf beliebige Koordinatenlinien folgt ( ) = e i x ( ) = i gi ( ) ;i. (1.110) 2. Die Anwendung des -Symbols auf kontravarianten Komponenten transformiert sich gemäß (T ijk... ) = ˆxi ˆx j ˆx k (T mnl... ). (1.111) (x) z m z n z l (z) 3. Für Tensorkomponenten vom Typ (r,s) gilt entsprechendes. Beispielsweise (T ijk... ) = ˆxi ẑ n ẑ l m... (T (x) z m x j xk nl). (1.112) 4. Die Divergenzbildung in Form einer Verjüngung lautet x (T ijk... ) = ˆxj ˆx k (T mnl... ) i (x) z n z l ;m. (1.113) (z) 5. Die Operation rot ist nur für Vektoren erklärt. Es gilt rot i V = ˆxi (εlmn V (x) z l n;m ). (1.114) g (z) (z) Nebenbemerkung: Die Verallgemeinerung der Operation rot auf Tensoren sowie auf höhere Raumdimensionen ist nur von Interesse, wenn die Tensoren vollständig antisymmetrisch sind. Der bekannteste Fall betrifft das 32

33 elektromagnetische Feld, welches durch einen antisymmetrischen Tensor 2. Stufe repräsentiert wird. In dieser Vorlesung werden wir uns aber hiermit nicht befassen. Im Folgenden diskutieren wir kurz gefaßte Beweise zu den fünf Behauptungen. Zu 1. Die Gleichung (1.110) führt für z = x zu einer Identität, denn bezüglich x- Koordinatenlinien sind die Christoffelsysmbole Γ i jk = 0, und die kovariante Ableitung reduziert sich auf eine partielle Ableitung. Nun ist aber leicht nachzuprüfen, dass das -Symbol ein Vektor ist. Also gilt die Aussage für beliebige Koordinatenlinien. Zu 2. Wir beweisen die Gleichung (1.112) für einen Vektor V. Die Übertragung auf Tensoren höherer Stufe ergibt sich dann von selbst. Wir starten mit dem Transformationsgesetz V k = J k i V i für die Komponenten von V (x) (z) und rechnen wie folgt: e i x V i (x) k = g j z (J k j i V i ) (1.115) (z) = J k i g j z V i + V i g j ˆx k j (z) (z) z j z i = ˆxk z i gj z V i + V i g j ˆxk j (z) (z) z m Γm ij = ˆxk z i gj ( z V i + Γ i j nj V n ) = ˆxk (z) (z) z i gj V i ;j (z). Zu 3. Zum Beweis der Gleichung (1.113) verwenden wir einfach die Regel vom Herauf- und Herunterziehen von Indizes mit den Komponenten des metrischen Tensors. Dieser kann aus Ableitungen herausgezogen werden, denn es gilt g ij;k 0 und g ij ;k 0. (1.116) Diese wichtigen Identitäten beweisen wir durch Anwendung der Formeln (1.90) und (1.91) auf g ij bzw. g ij. Wenn wir danach die Darstellung der CHRISTOFFEL-Symbole (1.89) einsetzen, erkennen wir unmittelbar die Richtigkeit der Behauptungen (1.119). Zu 4. Eine Verjüngung von (1.110) liefert sofort die Divergenz (1.113). Zu 5. Zur Demonstration der Einfacheit der Rechnungen in diesem Kontext, geben wir auch hier die einzelnen Schritte noch einmal an, die zu (1.114) führen. Wir überlassen es aber dem Leser, die aus früheren Ab- 33

34 schnitten verwendeten Beziehungen zu identifizieren. ( V) i = ε ijk x V k j (x) = 1 ˆxi ˆx j ˆx k det( ˆx ) z l z m z z x j n εlmn ẑo = 1 ˆx i g z l εlmn g np V p ;m = ˆxi z (z) l Damit haben wir die fünf Behauptungen bewiesen. z o ( ˆxk z V p (z) ) ( ε lmn g V n ;m (z) p ). (1.117) Im Zusammenhang mit der Divergenzbildung gibt es noch eine Alternativdarstellung. Zumindest für Vektoren ist diese sehr nützlich. Es gilt Diese Formel folgt aus der Identität divv V n ;n = 1 g g V n z n. (1.118) Γ n in = 1 g g z i. (1.119) Übung 1.20 a.) Beweise die Formel (1.119) und erläutere die sich hieraus ergebende Formel (1.118). b.) Diskutiere die entsprechende Divergenzbildung bei Tensoren 2. Stufe. Lokale orthogonale Basen. Häufig treten bei Anwendungen lokale Basen auf, die durch orthogonale Basisvektoren generiert werden. In diesem Fall hat der metrische Tensor eine Diagonalstruktur, d.h. beispielsweise im R 3 g ij = h h h 2 3 und g ij = h (1.120) 0 0 h 2 3 In diesem Kontext ist es sinnvoll physikalische Komponenten von Tensoren einzuführen. Beachte: In diesem Abschnitt wird die Summationskonvention nicht verwendet! Definition: Die Größen h 2 T < ijk.. > h i h j h k T ijk... = h i h j h k T ijk... (1.121) 34

35 heißen physikalische Komponenten des Tensors T. Die physikalischen Komponenten sind deshalb nützlich, weil sie sich auf Basisvektoren mit der Länge 1 beziehen. Im Zusammenhang mit Skalaren und Vektoren im R 3 sind folgende leicht einzusehende Relationen nützlich. 1. Das Skalarprodukt: V W = V < 1 > W < 1 > +V < 2 > W < 2 > +V < 3 > W < 3 >. (1.122) 2. Der Gradient: 3. Die Divergenz: (grad S) < i >= 1 h i S z i. (1.123) divv = 3 i=1 V i ;i = 1 g 3 gv i i=1 z i (1.124) 1 ( h 2h 3 V < 1 > + h 1h 3 V < 2 > + h 2h 1 V < 3 > ). h 1 h 2 h 3 z 1 z 2 z 3 4. Die Rotation: 1 h i (rotv) < i > Übung j,k=1 ε ijk g V k;j = 3 j,k=1 ε ijk h 1 h 2 h 3 h k V < k > z j.(1.125) Beweise die Formel (1.125) und zeige ausführlich, warum hier die kovariante Ableitung durch eine partielle Ableitung ersetzt werden darf. Der LAPLACE-Operator. Schließlich betrachten wir noch eine spezielle zweite Ableitung von Skalaren und Vektoren, welche einen besonderen Namen bekommen hat. In rechtwinklig kartesischen Koordinaten heißt die Operation ( ) 2 (1.126) (x) x i x i Auf die Frage Napoleons, warum in seinem berühmtesten Werk, Die Himmelsmechanik, Gott nicht einmal erwähnt wird, antwortete LAPLACE: Ich bedurfte dieser Hypthese nicht. Als Napoleons Innenminister konnte LAPLACE allerdings nicht reüssieren, da er den Geist des unendlich Kleinen in die Verwaltung hineingetragen hatte. LAPLACE-Operator. 35

36 Sei f : x R 3 R ein Skalar, d.h. f = f f(z), dann gilt in schiefwinkligen (x) (z) Koordinatenlinien ( f ) = 1 (x) (x) g z ( gg ij i Zum Beweis von (1.127) gehen wir wie folgt vor: ( f ) = (x) (x) x ( i x f ) mit V i i (x) (x) f). (1.127) zj x i f (x) = V i ;i = 1 g z ( g V i ) = 1 i g z ( gg ij i In einer orthogonalen Basis im R 3 wird hieraus f (x) (x) = 1 h 1 h 2 h 3 ( z 1 (h 2h 3 h 1 f z 1 ) + z 2 (h 1h 3 h 2 und V i = g ij z f(1.128) j f z 2 ) + z f). j z 3 (h 1h 2 h 3 ) f z ) 3. (1.129) Als nächstes wenden wir den LAPLACE-Operator auf ein Vektorfeld V = i e i = V i g i an. V (x) Die Beziehungen zwischen den Darstellungen in rechtwinklig kartesischen und krummlinigen Koordinatenlinien lauten in diesem Fall V i = ˆxi (x) (x) z V j, wobei V j g kl (V j j ;k ) ;l (1.130) (z) (z) die Wirkung des LAPLACE-Operators auf einen Vektor in krummlinigen Koordinatenlinien angibt. Übung 1.22 Beweise die Formel (1.130). Hilfe: Führe die CHRISTOFFEL-Symbole ein mittels der beiden Identitäten 2ˆx i z j z k = ˆxi z l Γl jk und 2 ẑ i x j x k = ẑl x i ẑ m x j Γi lm. (1.131) 36

37 Übung 1.23 a.) In Kugelkoordinaten sei eine Funktion f(r) gegeben, welche nur von der radialen Koordinate abhängt. Zeige, dass gilt f (x) (x) = 2 f r + 2 f 2 r r. (1.132) b.) Betrachte nun ein Vektorfeld u in Kugelkoordinaten, welches nur eine Radialkomponente u(r) besitzt. D. h., der Vektor u hat die Komponenten u = (u(r), 0, 0). Berechne die zu Teil a.) entsprechende Formel. 37

38 38

39 Kapitel 2 Volumen-, Flächen- und Linienintegrale 2.1 Ziele Masse, Impuls und Energie eines Körpers Ω R 3 werden durch Integrale über sein Volumen dargestellt. Greifen an der Oberfläche Ω dieses Körpers Kräfte an, oder wird dem Körper durch seine Oberfläche Wärme zugeführt, so wird dies durch Flächenintegrale über Ω beschrieben. Ein Körper kann auch durch eine innere Fläche I in zwei Teile mit unterschiedlichen Eigenschaften geteilt sein. Beispielsweise trennt I eine flüssige von einer festen Phase. Der Rand von I ist eine Linie I und mögliche Flüsse über diesen Rand ins Innere des Körpers beschreiben wir durch Linienintegrale über I. In diesem Kapitel studieren wir die Beziehungen zwischen Volumen-, Flächen- und Linienintegralen sowie Zeitableitungen dieser Objekte. 2.2 Der Integralsatz von Gauß Wir betrachten ein Gebiet Ω im Punktraum R 3. Dessen Oberfläche bezeichnen wir mit Ω. In jedem Punkt x auf Ω sei ein Normalenvektor n(x) = (n 1, n 2, n 3 ) mit n(x) = 1 (2.1) definiert, welcher nach Außen zeigen soll. Mit Bezug auf rechtwinklig kartesische Koordinatenlinien erfüllen wir die Normalisierungsbedingung (2.1) 2 durch die Darstellung n = (cos ( n, x 1 ), cos ( n, x 2 ), cos ( n, x 3 )) = (cos α, cos β, cos γ). (2.2) 39

40 Für eine glatte Funktion f : x Ω R gelten die drei Identitäten: Ω f x dv = i Ω fn i da für i {1, 2, 3}. (2.3) Abbildung 2.1: Volumen Ω im R 3 mit Projektion auf die x 1, x 2 Ebene. Anhand der Abbildung 2.1 beweisen wir nur den Fall i = 3. Die beiden anderen Richtungen sind analog zu behandeln. Die folgenden Schritte setzen die Projektion von Ω auf die x 1, x 2 Ebene formelmäßig um. Ω f x 3 dx1 dx 2 dx 3 = = A(x 1,x 2 ) dx 1 dx 2 x 3 =z o (x 1,x 2 ) x 3 =z u(x 1,x 2 ) f x 3 dx3 (2.4) dx 1 dx 2 (f(x 1, x 2, z 0 ) f(x 1, x 2, z u )) = A(x 1,x 2 ) f cos(γ)da + f cos(γ)da. Ω o Ω u Die Einführung des Winkels γ, d.h. den Zusammenhang zwischen dem 40

41 Flächenelement da und den Koordinatendifferenzen dx 1 dx 2 uns in Abbildung 2.2 klar. machen wir Abbildung 2.2: Flächenelement auf Ω o. Die linke Seite der Abbildung zeigt ein ebenes Flächenelement mit Flächeninhalt da, dessen Richtung beschrieben wird durch einen Normalenvektor, der mit der x 3 -Achse den Winkel γ und mit der (nichtgezeichneten) x 1 -Achse den Winkel π/2 bildet. Die rechte Seite der Abbildung zeigt die Approximation eines Teiles von Ω o durch das ebene Flächenelement. Die folgende Beziehung (2.6) 1 lesen wir aus Abbildung 2.2 ab. Die Beziehung (2.6) 2 folgt durch eine entsprechende Betrachtung für Ω u. dx 1 dx 2 = cos(γ)da auf Ω o, dx 1 dx 2 = cos(γ)da auf Ω u. (2.5) Als nächstes betrachten einen Vektor F : x Ω R 3, d.h. F(x) = (F 1 (x), F 2 (x), F 3 (x)). Nun wenden wir auf jede Komponente von F die Identität (2.11) an, und addieren die drei resultierenden Identitäten auf. Es ensteht eine neue Identität. Integralsatz von Gauß für Vektoren: div(f)dv = F n da. (2.6) Napoleon untersagte den Beschuß Göttingens, als ihm gesagt wurde, dass Gauss hier lebt und arbeitet. Ω Ω Entsprechendes gilt natürlich auch im R N und für Tensoren höherer Stufe T = (T ij ) i,j {1,2,...,N}. Wir geben das Resultat in Komponentendarstellung an. 41

42 Integralsatz von Gauß für Tensoren: T ijk... dv = T ijk... n i da. (2.7) x i Ω Ω Die Übertragung von kartesischen auf krummlinige Koordinatenlinien ist nach den Regeln von Kapitel 1 durchzuführen und ist Gegenstand der folgenden Übung. Übung 2.1 a.) Berechne die Transformationsgesetze für das Volumenelement dv sowie für das Flächenelement da beim Wechsel x z von kartesischen auf krummlinige Koordinatenlinien. Hilfe: Verwende zur Darstellung von dv bzw. da das Spat- bzw. das Vektorprodukt. b.) Stelle den Integralsatz von Gauß in krummlinigen Koordinatenlinien auf. Eine Anwendung des Integralsatzes von Gauß Beispiel gegeben. wird durch das folgende Wir betrachten einen mit Wasser gefüllten Behälter. Bekanntlich nimmt der Druck p mit der Wassertiefe z gemäß dem Gesetz p(z) = p 0 ρ w gz (2.8) zu. Hier ist p 0 der Druck an der Wasseroberfläche, d.h. bei z = 0, ρ w ist die konstante Dichte von Wasser, und g = 9.81 m/s 2 ist die Erdbeschelunigung. Ein in Wasser ruhender Körper Ω mit dem Volumen V Ω und der Dichte ρ Ω erfährt unter Wasser zwei Kräfte: 1. Die Gewichtskraft, welche in jedem Punkt des Inneren von Ω angreift. 2. Die vom Wasser auf die Oberfläche ausgeübte Druckkraft, welche normal auf der Oberfläche steht. Die Summe beider Kräfte ergibt die Auftriebskraft K. Dieser Sachverhalt lautet in mathematischer Formulierung K = ρ Ω V Ω g Ω p(z)nda. (2.9)

43 Abbildung 2.3: Ein Körper Ω erfährt unter Wasser die Auftriebskraft K. Übung 2.2 Berechne die Kraft auf einen in Wasser ruhenden Körper. Zeige, dass gilt 0 K = (ρ w ρ Ω )gv Ω 0. (2.10) 1 a.) Berechne die Kraft auf einen Körper von der Gestalt eines Quaders durch direkte Auswertung des Integrals in (2.9). b.) Berechne die Kraft auf einen Körper von beliebiger Gestalt. Hilfe: Verwende hier den Integralsatz von Gauß. Beachte, dass diese Anwendung nicht trivial ist, und sehr sorgfältig durchgeführt werden muss. 2.3 Der Integralsatz von Stokes Während der Integralsatz von Gauß aus einem Volumenintegral ein Flächenintegral macht, verwandelt der Integralsatz von Stokes ein spezielles Integral über eine Fläche A in ein Linienintegral über eine die Fläche begrenzende Randkurve A. Wir parametrisieren A durch die Bogenlänge s, und führen einen Vektor τ ein, welcher in jedem Punkt der Randkurve A die Tangente von A angibt. In dieser Vorlesung benötigen wir den Integralsatz von Stokes nur 43

44 für Vektoren F : x R 3 R 3. Wie hier immer vorausgesetzt wird, müssen die auftretenden Ableitungen im klassischen Sinn bildbar sein. Abbildung 2.4: Geometrisches Objekt im Kontext des Integralsatzes von Stokes. Integralsatz von Stokes im R 3 : rot(f) n da = F l ds, (2.11) A A G.S. wobei l ein Einheitsvektor tangential zur Kurve A ist. Der Beweis dieser Identität startet mit einer Zerlegung der Fläche aus Abbildung 2.4 in kleine Zellen. Die Integrale über diese Zellen werden dann vermittels ähnlicher Argumente ausgewertet, die im letzten Abschnitt zum Integralsatz von Gauß führten. Wir verzichten auf die Einzelheiten. 44

45 2.4 Das Reynolds sche Transporttheorem für Volumenintegrale Wir betrachten ein zeitabhängiges Gebiet Ω(t) R 3 mit dem Rand Ω(t). Die äußere Normale ist durch eine Funktion n : (t, x) [0, ) R 3 R 3 charakterisiert. Die Geschwindigkeit der Punkte im Inneren und auf dem Rand des Gebietes Ω(t) soll gemäß w : (t, x) [0, ) R 3 R 3 gegeben sein. In Ω(t) soll es eine glatte Funktion f : (t, x) [0, ) R 3 R geben. Wir bilden f(t, x)dv und interessieren uns für die Zeitableitung des Ω(t) Integrals. Beachte, dass die Zeit in dem zu differenzierenden Integral an zwei Stellen auftritt: Im Integranden und in den Integralgrenzen. Es gilt das Reynolds sches Transporttheorem: d f(t, x) f(t, x)dv dv + dt t Ω(t) Ω(t) Ω(t) f(t, x)w(t, x) n(t, x) da. (2.12) Den Beweis dieses Theorems beginnen wir mit einer Betrachtung des Gebietes Ω zur Zeit t 0. Zur Angabe der Lage der Punkte von Ω(t 0 ) verwenden wir rechtwinklig kartesische Koordinatenlinien und führen Ortsvektoren x 0 ein. Aufgrund eines gegebenen Geschwindigkeitsfeldes w befinden sich die Punkte des zeitabhängigen Gebietes Ω(t) zur Zeit t an den Orten x = ˆx(t, x 0 ). Hierbei sind die Funktionen ˆx(t, x 0 ) Lösungen eines Systems O.R. 45

46 gewöhnlicher Differentialgleichungen. Dieses lautet d dtˆx(t, x 0) = w(t, ˆx(t, x 0 )) mit der Anfangsbedingung ˆx(0, x 0 ) = x 0. (2.13) Abbildung 2.5: Geometrisches Objekt im Kontext des Integralsatzes von Stokes. Vermittels der Funktionen ˆx transformieren wir nun das Gebiet Ω(t) auf das Gebiet Ω(t 0 ): f(t, x)dv = ˆf(t, x 0 )J(t, x 0 )dv 0. (2.14) Ω(t) Ω(t 0 ) Hierbei haben wir definiert ˆf(t, x 0 ) f(t, ˆx(t, x 0 )) J(t, x 0 ) det( ˆxi x j ). (2.15) 0 Die Richtigkeit der Identität (2.14) folgt unmittelbar aus dem Resultat der Übung 2.1a. Nach Rückführung des zeitabhängigen Gebietes Ω(t) auf ein festes Gebiet Ω(t 0 ) haben wir nur noch ein Integral mit festen Grenzen zu differenzieren. Dies geschieht nach den bekannten Regeln. d dt Ω(t) f(t, x)dv = d dt Ω(t 0 ) ˆf(t, x 0 )J(t, x 0 )dv 0 = 46 Ω(t 0 ) ( ˆf J J + ˆf t t )dv 0. (2.16)

47 Um das letzte Integral in (2.16) wieder auf das Gebiet Ω(t) zu transformieren, benötigen wir Ausdrücke für die beiden Zeitableitungen. Diese werden in der folgenden Übung erarbeitet. Übung 2.3 a.) Beweise, dass gilt J(t, x 0 ) t = div(w(t, x))j(t, x 0 ). (2.17) b.) Beweise die sogenannte Reisegleichung ˆf(t, x 0 ) t = f(t, x) t + w(t, x) (f(t, x)). (2.18) c.) Erläutere den Sinn der Namensgebung an einem Beispiel aus der Alltagswelt. Mit (2.17) und (2.18) wird (2.16) zu d f(t, x)dv = ( f + div(fw))(t, x)dv. (2.19) dt t Ω(t) Ω(t) Nach Anwendung des Integralsatzes von Gauß auf das zweite Integral folgt das Reynolds sche Transporttheorem in der Form (2.12). 2.5 Der Satz von GAUSS und das Transporttheorem für Flächenintegrale In physikalischen Körpern können Flächen auftreten, an denen sich gewisse Größen der Mechanik bzw. Thermodynamik unstetig ändern, falls wir von einer auf die andere Seite der Fläche wechseln. Eine derartige Fläche wird singuläre Fläche genannt. Häufig tritt der Fall auf, dass eine singuläre Fläche andere Materialeigenschaften als die beiden angrenzenden Körper hat. Wir geben zwei Beispiele an: 1. Grenzflächen zwischen verschiedenen Materialien. Hierzu gehören die Trennfläche zwischen Öl und Wasser, wo sich die Massendichte sprungartig ändert. Oder ein Bimetallstreifen, welcher aus zusammengeklebten Metallen mit unterschiedlichen thermischen Ausdehnungskoeffizienten besteht. 47

48 Tropfenverteilung in feuchter Luft. Apparatur zur Messung der Oberflächenspannung An der Grenzfläche zwischen den beiden Metallen ändert sich beispielsweise die Tangentialkomponente der mechanischen Spannung unstetig. 2. Grenzflächen zwischen zwei verschiedenen Phasen eines Körpers. Ein bekanntes Beispiel ist die Oberfläche eines flüssigen Tropfens in feuchter Luft. Passieren wir die Grenze zwischen der Luft und einem Tropfen, dann ändern sich der Feuchtegrad, die Massendichte, die Konzentrationen von Sauerstoff und Stickstoff und der Druck unstetig. Die Grenzfläche zwischen den beiden Phasen besitzt eine spezifische Energie, die auch Oberflächenspannung genannt wird. Geometrische Beschreibung einer Fläche. Wir betrachten die in Abbildung 2.6 dargestellte Fläche B R 3, welche im Raum R 3 eingebettet ist. Zur Angabe eines Ortes auf B führen wir gemäß der Abbildung 2.6 zwei Familien von Koordinatenlinien (u 1, u 2 ) B ein. Abbildung 2.6: Geometrie einer Fläche im Raum. Die Fläche B kann sich mit der Zeit t 0 gemäß einer Funktion ˆx : I(t) [0, ) B R 3 ändern, wobei gelten soll I(0) = B. Wir schreiben x = ˆx(t, u 1, u 2 ) = (ˆx 1 (t, u 1, u 2 ), ˆx 2 (t, u 1, u 2 ), ˆx 3 (t, u 1, u 2 )). (2.20) Bis auf die Zeitvariable, erinnern diese Gleichungen an die entsprechenden Gleichungen, die wir im Kapitel 1 bei der Tranformation von rechtwinklig kartesischen Koordinatenlinien (x 1, x 2, x 3 ) auf krummliniger Koordinatenlinien (z 1, z 2, z 3 ) studiert haben. Allerdings weisen die Gleichungen (2.20) 48

49 einen wesentlichen Unterschied zu den Gleichungen (1.41) auf: Sie sind nicht umkehrbar, denn nur zwei Koordinaten (u 1, u 2 ) generieren drei Koordinaten (x 1, x 2, x 3 ). An jedem Ort auf der Fläche I(t) bringen wir ein lokales Dreibein an, welches aus zwei Tangentenvektoren τ 1, τ 2 an die Koordinatenlinien und einer Flächennormalen ν besteht. Zur Charakterisierung des Randes I(t) benötigen wir einen Einheitsvektor E, der in einem Randpunkt in der dortigen Tangentialebene liegt und senkrecht auf I(t) steht. Gemäß der in dieser Vorlesung üblichen Annahme soll die Funktion ˆx hinreichend glatt sein, so dass die folgenden Definitionen bildbar sind. Beachte die fast vollständige Analogie zu den entsprechenden Größen in Kapitel 1. Tangentenvektoren: τ α ( ˆx1 u, ˆx2 α u, ˆx3 ) für α {1, 2}. (2.21) α uα Komponenten des Metriktensors: Flächennormale: g αβ τ α τ β für α, β {1, 2}. (2.22) ν τ 1 τ 2 τ 1 τ 2. (2.23) Komponenten des Krümmungstensors und mittlere Krümmung: b αβ τ α u β ν für α, β {1, 2}, k M 1 2 gαβ b αβ. (2.24) Christoffel-Symbole: Γ γ αβ gγδ τ α u β τ δ für α, β, γ {1, 2}. (2.25) Änderungen von Tangential- und Normalvektoren: τ α u β Γ γ αβ τ i γ = b αβ ν i und ν u α = b β ατ β. (2.26) Geschwindigkeit mit Tangential- und Normalkomponenten: w ˆx t = wα τ α + w ν ν. (2.27) 49

50 Die Beziehungen (3.21) geben die Änderungen der Tangentenvektoren des Normalenvektors auf der Fläche an. Die Beziehung (3.21) 1 folgt unmittelbar durch Kombination von (2.24) und (2.25). Der Beweis von (3.21) 2 erfordert eine kleinere Rechnung. Hierzu starten wir von ν ν = 1 und ν τ β = 0. (2.28) Wir differenzieren die Bedingungen ( ) und erhalten ν u α ν = 0 und ν u α τ β = ν τ β u α. (2.29) Aus (VFL19c 1 ) schließen wir, dass die Ableitung des Normalenvektors in der Tangentialebene liegt, d.h. ν ;α = A β ατ β und die Koeffizienten A β α berechnen wir über (VFL19c 2 ), deren rechte Seite wir mittels (VFL19a 1 ) auswerten. Nach Charakterisierung der Geometrie einer gegebenen Fläche I im R 3 geben wir noch eine wichtige Identität an. Für Funktionen φ : R 3 R 3, welche auf I die Darstellung φ = ϕ α τ α haben, gilt der Satz von GAUSS für Flächenintegrale: ϕ α ;αda = ϕ α e α ds = φ Eds (2.30) I I I wobei gesetzt ist φ = ϕ α τ α, E = 1 2 e α τ α, e α = ε αδ g g βδ τ β l E l = 0, E = 1. (2.31) Zum Beweis dieser Identität wenden wir den Satz von STOKES (2.11) im R 3 auf Vektoren F = f α τ α an, die ausschließlich in der Tangentialebene von I Komponenten haben. Hierzu berechnen wir I (rot(f )) i ν i da = I ε ijk j f k 1 g ε irs τ r 1 τ s 2 da = I 1 g (g 2α f α ;1 g 1α f α ;2)da. (2.32) Bei Verwendung der antisymmetrischen Matrix ε αβ im R 2, siehe (1.62), mit ε αβ = gε αβ können wir (2.32) auch schreiben I (rot(f )) i ν i da = I 1 g ε αβ g αγ f γ ;β da = 50 I ϕ α ;αda mit ϕ α 1 g ε αβ g βγ f γ. (2.33)

51 Als nächstes werten wir die rechte Seite des STOKESschen Satzes (2.11) aus. Der Integrand unter dem Linienintegral formt sich wie folgt um F i l i = f β τ i βl i = f δ g δβ τ i δ = ϕ α ( ε αδ g g βδ τ i βl i ) ϕ α e α = φ i E i. (2.34) Beachte insbesondere, dass der Einheitsvektor E R 3 tangential zu I liegt und außerdem normal auf der Kurve I steht. Mit (2.33) und (2.34) ist der Satz von GAUSS für Flächenintegrale bewiesen. Transporttheorem für Flächen. Dieses Transporttheorem leistet für Flächen die gleiche Aufgabe, wie das Reynolds sche Transporttheorem für Volumina. Hier geht es um die zeitliche Änderung des Integrals F (t) f(t, u 1, u 2 )da, (2.35) wobei da das skalare Flächenelement der Fläche I(t) ist. I(t) Übung 2.4 a.) Verwende das Vektorprodukt zur Berechnung eines Flächenelementes da auf I(t). Zeige, dass gilt da = gdu 1 du 2 mit g det(g αβ ). (2.36) b.) Beweise die Formel g t = g(w α ;α 2k M w ν ). (2.37) Die kovariante Ableitung ist hier analog zu (1.87) definiert. Allerdings ist im Kontext von Flächen nur über die Indizes 1 und 2 zu summieren. Hilfen: Beweise zunächst die Formel zur Ableitung von Determinanten nach ihren Elementen, welche hier lautet g g αβ = g αβ g. (2.38) Berechne dann die Zeitableitungen der kovarianten Metrikkomponenten g αβ 51

52 Jetzt betrachten wir die zeitliche Ableitung des Integrals I(t) f(t, u1, u 2 )da. Es gilt das Transporttheorem für Flächen: d f(t, u 1, u 2 )da = ( f(t, u1, u 2 ) + (w;α α 2k M w ν )f(t, u 1, u 2 )) da. dt t I(t) I(t) (2.39) In Analogie zum Transporttheorem für Volumina startet der Beweis von (2.39) mit einer Transformation des zeitabhängigen Gebietes I(t) auf das zeitunabhängige Gebiet B. Nach Gleichung (3.21) können wir schreiben d f(t, u 1, u 2 )da = d f(t, u 1, u 2 ) gdu 1 du 2. (2.40) dt dt I(t) In (2.40) 2 können wir die Ableitung unter das Integral ziehen und anschließend die Produktregel anwenden. Nach Ersetzen der Ableitung der Determinante mittels Gleichung (2.28) und nach Rücktransformation auf I(t) folgt das Transportheorem (2.39). B 52

53 Kapitel 3 Bilanzgleichungen 3.1 Ziele Unter den physikalischen Basisgrößen eines Körpers stehen an prominentester Stelle Masse, Impuls, Energie und Entropie. Gemeinsam ist diesen Größen die Eigenschaft additiv zu sein. Das heißt: Wird ein Körper gedanklich in disjunkte Teile zerlegt, so heißt eine Größe additiv, falls die dem Gesamtkörper zugeordnete Größe einfach die Summe der Größen ist, die den Teilkörpern zugeordnet sind. Die Kontinuumsphysik basiert auf Bilanzgleichungen für additive Größen. Diese geben an, welche Änderungen eine additive Größe aufgrund eines Flußes durch die Oberfläche des Körpers und durch Quellen in seinem Inneren erfährt. In diesem Kapitel werden wir Bilanzgleichungen aufstellen und ihre Eigenschaften untersuchen. Zur Vorbereitung dieser Aufgaben werden wir zunächst die lokalen Bewegungen in einem Körper geometrisch beschreiben und insbesondere systematisieren. 3.2 Lokale Bewegungen Einen gegebenen Körper denken wir uns in materielle Punkte zerlegt. Hierunter verstehen wir die kleinsten meßtechnisch auflößbaren Volumenelemente. Referenzkonfiguration. Zur Beschreibung der Bewegung eines materiellen Punktes P starten wir mit seinen rechtwinklig kartesischen Koordinaten X = (X i ) i {1,2,3} in einer Referenzkonfiguration Ω 0 R 3. Die Wahl einer 53

54 Referenzkonfiguration ist frei und je nach Aufgabenstellung werden hier unterschiedliche Entscheidungen getroffen. Beispielsweise kann die Referenzkonfiguration durch den Zustand des Körpers zu irgeneiner Zeit t 0 gegeben sein. Es mag aber auch nützlich sein, einen von mechanischen Spannungen freien Zustand als Referenzkonfiguration zu wählen. Abbildung 3.1: Beschreibung der Bewegung eines materiellen Punktes. Aktuelle Konfiguration. Die Bewegung der Punkte eines Körpers Ω 0 beschreiben wir durch die Bewegungsfunktion χ = (χ i ) i {1,2,3}, welche die aktuelle Konfiguration Ω(t) jedes materiellen Punktes von Ω 0 angibt. Die Ableitungen von χ nach der Zeit t und nach den Koordinaten X liefern die Geschwindigkeit und den Deformationsgradienten und somit die lokalen Veränderungen in Zeit und Raum. Bewegung: χ : X Ω 0 [0, ) R 3, bzw. x = (χ i (t, X)) für i {1, 2, 3}. (3.1) Geschwindigkeit: Deformationsgradient: ˆυ = (ˆυ i ) = ( χi (t, X) ) für i {1, 2, 3}. (3.2) t ˆF = ˆF i j(t, X) = ( χi (t, X) X j ) für i, j {1, 2, 3}. (3.3) Die Formeln (3.34), (3.35) und (3.36) geben die Bewegung in LAGRAN- GEscher Darstellung an. Häufig sprechen wir auch von der materiellen 54

55 Darstellung der Bewegung und nennen X die LAGRANGE Koordinaten eines materiellen Punktes. Wir werden immer voraussetzen, dass die JACOBI-Determinante der Bewegung größer als Null ist. D.h. Ĵ(t, X) = det( ˆF i j(t, X)) > 0. (3.4) Wir können somit die Bewegungsfunktion eindeutig nach der LAGRANGE Koordinate auflösen: X = 1 χ (t, x). (3.5) Mittels dieser Funktion definieren wir die EULERsche Darstellung der Bewegung. Häufig sprechen wir auch von der räumlichen Darstellung der Bewegung und nennen x die EULER-Koordinate eines materiellen Punktes X. Geschwindigkeit: Deformationsgradient: υ i (t, x) = ˆυ i (t, 1 χ (t, x)) für i {1, 2, 3}. (3.6) F i j(t, x) = ˆF i j(t, 1 χ (t, x)) für i {1, 2, 3}. (3.7) Das polare Zerlegungstheorem. Der Deformationsgradient beschreibt die relative Änderung von zwei nahe benachbarten materiellen Punkte X und Y, denn es gilt y i x i ˆF i j(t, X)(Y j X j ). (3.8) Diese durch Bewegung hervorgerufene Änderung läßt sich in die zwei Anteile Rotation und Streckung zerlegen, denn für jede nichtsinguläre Matrix gilt das Polare Zerlegungstheorem: F = V R = RU mit V = V T, U = U T und 1 R = R T, (3.9) wobei die Matrizen U und V positiv definit sind. Wir werden noch sehen, dass die symmetrischen Matrizen V und U als Streckung eines Abstandsvektors interpretiert werden können, während die orthogonale Matrix R seine Rotation beschreibt. Die Matrizen V und U heißen linker bzw. rechter Strecktensor und R heißt Rotationstensor. 55

56 Gemäß der polaren Zerlegung gibt es zwei Produktdarstellungen für den Deformationsgradienten. Im ersten Produkt wird ein Abstandsvektor erst gedreht und dann gestreckt, und im zweiten Produkt ist es umgekehrt. Dieser Sachverhalt kann vereinfacht gemäß der folgenden Skizze dargestellt werden. Worin hier die Vereinfachung besteht wird in der Übung 3.2 erarbeitet. Abbildung 3.2: Vereinfachte Darstellung des polaren Zerlegungtheorems. Zum Beweis des polaren Zerlegungstheorems führen wir zunächst zwei wichtige Größen ein. C F T F rechter Cauchy-Green Tensor, (3.10) B F F T linker Cauchy-Green Tensor. (3.11) Diese beiden Matrizen sind symmetrisch und positiv definit, was sich leicht nachrechnen läßt. Beispielsweise für C: sowie C T = (F T F ) T = F T F T T = F T F = C, (3.12) C ij a i a j = (F ki F kj )a i a j = (F ki a i )(F kj a j ) A k A k 0. (3.13) Entsprechendes gilt für B. Also gibt es eine orthogonale Matrix H, die C mit positiven Eigenwerten auf Hauptachsen bringt. Das heißt: λ 2 HCH T = 0 λ (3.14) 0 0 λ 2 3 Wir definieren U H T λ λ λ 3 H. (3.15) Aufgrund ihrer Definition ist die Matrix U symmetrisch: U = U T. Außerdem folgt U 2 = C. 56

57 Schließlich bilden wir den Ausdruck R F 1 U und berechnen R T R = (F 1 U) T (F 1 U) = 1 UF T F 1 U = 1 UC 1 U = 1 UU 2 1 U = (3.16) Also ist R eine orthogonale Matrix und damit ist die Zerlegung F = RU bewiesen. Der Beweis für F = V r mit V = V T und 1 r = r T verläuft analog. Übung 3.1 a.) Beweise die Eindeutigkeit der beiden Zerlegungen (3.9). b.) Zeige, dass gilt r = R. (3.17) Geometrische Interpretation der polaren Zerlegung. Sei A = (A 1, A 2, A 3 ) ein gegebener Vektor. Wir bilden die Operation a i R ij A j und sehen a i a i = R ij A j R ik A k = δ jk A j A k = A i A i, (3.18) d.h., die Anwendung von R auf A ändert dessen Länge nicht. Es hat eine reine Rotation stattgefunden. Jetzt bilden wir a i U ij A j und sehen a i a i = U ij A j U ik A k = C jk A j A k, (3.19) d.h., dass a eine andere Länge als A hat. Im Hauptachsensystem von U folgt a 1 = λ 1 A 1 a 2 = λ 2 A 2 a 3 = λ 3 A 3. (3.20) Dies beschreibt eine reine Streckung. Im allgemeinen ist aber über die Matrix H in U eine weitere Rotation enthalten. Diese kann eine Scherung oder eine Torsion darstellen. 57

58 Übung 3.2 In einer Referenzkonfiguration ist in kartesischen Koordinaten ein Vektor X = (0, 1) gegeben. Ferner betrachten wir den Deformationsgradienten ( ) 1 a F = mit a > 0. (3.21) 0 1 a.) Zeichne auf kariertes Papier X sowie den aktuellen Vektor x mit den Komponenten x i = Fj i X j und kennzeichne die Strecke a. b.) Berechne den rechten und den linken Chaucy-Green Tensor C ij = Fi k Fj k, B ij = Fk if j k und deren gemeinsame Eigenwerte. c.) Bestime die Strecktensoren V ij und U ij, sowie die Rotationsmatrix R ij. d.) Zeichne x i = R ij X j und x i = V ij x j. e.) Zeichne x i = U ij X j und x i = R ij x j. f.) Erläutere die auftretenden Bewegungen. Übung 3.3 Unter welchen Bedingungen an den Deformationsgradienten gibt die Abbildung 3.2 die dort gezeigten Verhältnisse richtig wieder? 3.3 Körper und Kontrollvolumina Unser derzeitiges Hauptziel ist die Aufstellung von Bilanzgleichungen für einen gegebene Körper. Als weitere Vorbereitung hierzu ist eine Präzisierung des Begriffes Körper notwendig. Körper. Der einfachste Körper, den wir betrachten, ist durch ein einzelnes Material repräsentiert, z.b. ein Stück Gummi, ein Stück Eisen oder ein Stück Messing. Den Begriff Körper wollen wir aber auch für zusammengesetzte Materialien verwenden. Hierunter verstehen wir beispielsweise einen Luftballon, bestehend aus der Ballonhülle sowie der hierin enthaltenen Luft. Ein weiteres Beispiel liefert ein Druckbehälter, der durch einen Schieber in zwei Teile geteilt werden kann und ein Gas enthält. Schließlich fassen wir auch eine Rakete inklusive der ausgestoßenen Brenngase als Körper auf. 58

59 Abbildung 3.3: Drei Beispiele für zusammengesetzte Materialien. Kontrollvolumen. Im allgemeinen hat ein Körper Zu- bzw. Abflüsse. Beispielsweise kann ein Körper Wärme verlieren oder es wird ein Impuls auf ihn übertragen. Zur Bilanzierung der Zu- bzw. Abflüsse benötigen wir ein Kontrollvolumen. Dieses wird einem gegebenen Körper zugeordnet und kann entweder den ganzen Körper enthalten oder nur Teile davon umschließen. Zur Illustration dieser Aussage betrachten wir das berühmte Experiment von Gay-Lussac. Ein beweglicher Schieber teilt einen nach außen wärmeisolierten Behälter in zwei Teile. Ein Gas befindet sich zunächst nur im linken Teil und hat dort die Temperatur T A. Nach dem Herausziehen des Schiebers verteilt sich das Gas auf turbulente Weise im gesamten Behälter und kommt nach einiger Zeit wieder zur Ruhe. Das Experiment beantwortet die Frage nach der dann vorliegenden Endtemperatur T E. Zwei mögliche Kontrollvolumina zur mathematischen Modellierung des Experimentes sind in Abbildung 3.4 eingezeichnet. Abbildung 3.4: Mögliche Kontrollvolumina für das Experiment von Gay- Lussac. Das rechte Kontrollvolumen ist während der Strömungsphase ein offenes Volumen, sowohl für Materie, als auch für Impuls und Energie. Dagegen zeichnet sich das linke Kontrollvolumen dadurch aus, dass es keine Flüsse über den Rand gibt. Die Frage nach dem besseren Kontrollvolumen ist in diesem Beispiel natürlich einfach zu beantworten. Denn es ist sofort klar, dass wir bei Verwendung des rechten Kontrollvolumens zur Auswertung des Experimentes in jedem Fall das Strömungsfeld genau kennen müssen, dessen rechnerische Bestimmung ist aber eine sehr schwere Aufgabe. Bei der Wahl des linken 59

60 Kontrollvolumens entfällt diese Aufgabe. Jedoch ist die Frage nach dem günstigsten Kontrollvolumen im allgemeinen nicht einfach zu beantworten und erfordert eine gewisse Erfahrung. Übung 3.4 Die Temperatur eines Zimmers wird durch eine Heizspirale erhöht. Welche Größen bleiben bei diesem Prozeß konstant? Definiere auf der Grundlage dieser Erkenntnisse mögliche Kontrollvolumina und diskutiere deren Eigenschaften. Wolke mit materiellem Kontrollvolumen. Materielles Volumen. Ein Kontrollvolumen, welches durch seine Oberfläche keinen Materietransport zuläßt, heißt materielles Volumen. Transport von Impuls und Energie sind hier zugelassen. Ein materielles Volumen kann fest oder mitbewegt sein. Im letzteren Fall bewegt sich die Oberfläche mit der Geschwindigkeit der Materie. Beispiele sind ein sich ausdehnender Luftballon oder eine sich bewegende Wolke. Adiabates Volumen. Wenn die Oberfläche eines materiellen Volumens keine Wärmeenergie passieren läßt, so sprechen wir von einem adiabaten Kontrollvolumen. Impulsübertrag, d.h. mechanischer Energietransport durch die Oberfläche ist hier weiterhin möglich. 3.4 Bilanzgleichungen für Masse, Impuls und Energie In diesem Abschnitt werden wir unterschiedliche Typen von Bilanzgleichungen aufstellen. Es gibt globale Bilanzgleichungen, welche die Verhältnisse eines Gesamtkörpers beschreiben. Darüber hinaus werden wir uns auch 60

61 mit lokalen Bilanzgleichungen beschäftigen, welche das Verhalten in jedem Punkt des Körpers beschreiben. Es gibt zwei Typklassen für lokale Bilanzgleichungen, je nachdem ob die beteiligten Größen differenzierbar sind oder nicht. Allgemeine Struktur einer globalen Bilanzgleichung. Eine globale Bilanzgleichung berechnet für einen gegebenen Körper Ω die Zeitableitung einer additiven Größe Ψ aufgrund von Flüssen F durch die Oberfläche Ω und aufgrund von Quellen Ξ im Inneren von Ω. Allgemeine Struktur einer globalen Bilanzgleichung: dψ dt = Φ + Ξ, (3.22) wobei für Ψ, Φ und Ξ folgende Darstellungen vorausgesetzt werden: Ψ(t) = ψ(t, x)dv Φ(t) = ϕ n(t, x)da Ξ(t) = ξ(t, x)dv. Ω(t) Ω(t) Ω(t) (3.23) Bilanzgleichungen lassen sich nur für additive Größen aufstellen. Diese sind wie folgt charakterisiert: Wird ein Körper gedanklich in disjunkte Teile zerlegt, so heißt eine Größe additiv, falls die dem Gesamtkörper zugeordnete Größe einfach die Summe der Größen ist, die den Teilkörpern zugeordnet sind. Aus diesem Grund fordern wir die Integraldarstellung (3.23) 1 für Ψ. Die Darstellung (3.23) 2 eines Flusses durch Ω über ein Flächenintegral resultiert aus der Beobachtung, dass Flüsse durch die Oberfläche proportional zum Flächeninhalt sind. Das Minus-Zeichen garantiert, dass ein Fluß in den Körper zu einer Erhöhung von Ψ führt. Zur Unterscheidung von einem weiteren Beitrag zum Fluß, welcher aber nur bei offenen Kontrollvolumina auftritt nennen wir ϕ nichtkonvektiven Fluß. Die Integraldarstellung (3.23) 3 einer Quelle, setzt voraus, dass eine Quellenverteilung in Ω in additiver Weise zu einer Änderung von Ξ führt. Globale Bilanzgleichung der Masse. Zur Formulierung der allgemeinen Bilanzgleichungsstruktur (3.22) haben wir bisher keine spezielles Kontrollvolumen vorausgesetzt. Allerdings können wir die physikalische Identifizierung der auftretenden Flüsse am einfachsten durchführen, wenn wir ein materielles Volumen verwenden. Die Bilanz der Masse basiert auf Beobachtungen im Rahmen der klassischen Physik: 1. Die Masse M : [0, ) R + eines Körpers ist eine additive 61

62 Größe. M(t) = ρ(t, x)dv, (3.24) Ω(t) wobei ρ : [0, ) Ω R + die Massendichte ist. 2. Es gibt keine Massenquellen im Inneren eines Körpers. Darüber hinaus gibt es per Definition keinen Massenfluß durch die Oberfläche eines materiellen Kontrollvolumens. dm(t) dt = 0. (3.25) Globale Bilanzgleichung des Impulses. Auch die Bilanzgleichung für den Impuls hat ihre einfachste Form für ein materielles Kontrollvolumen. Denn dann ist die Impulsbilanz eine Anwendung der Newton schen Bewegungsgesetze auf ausgedehnte Körper. 1. Der Impuls I : [0, ) Ω R 3 eines Körpers ist eine additive Größe: I(t) = ρυ(t, x)dv, (3.26) Ω(t) wobei ρυ : [0, ) Ω R 3 die Impulsdichte ist. 2. Eine Impulsänderung ist nur durch äußere Kräfte möglich. 3. Kräfte sind additive Größen. Es gibt zwei unterschiedliche Kraftsorten: 3 1. Volumenkräfte greifen in jedem Punkt des Inneren von Ω an Flächenkräfte greifen ausschließlich an der Oberfläche Ω an. di(t) dt = Ω(t) ρg(t, x)dv + Ω(t) k(t, x)da. (3.27) 5. Die Flächenkraft hat die Darstellung k = σ n, wobei σ : [0, ) Ω R 3 R 3 der CAUCHYsche Spannungstensor ist. Übung 3.5 Betrachte ein beliebig orientiertes Flächenelement nda in einer Flüssigkeit mit homogenem Geschwindigkeitsfeld. Hier wirkt die Flächenkraft immer senkrecht auf das Flächenelement. Zeige, dass dann gelten muß wobei p Druck genannt wird. σ ij = pδ ij, (3.28) 62

63 Globale Bilanzgleichung der Energie. Erst im 19. Jahrhundert setzte sich die Erkenntnis durch, dass es einen universellen Energieerhaltungssatz gibt, wonach Energie weder erzeugt noch vernichtet werden kann. Es finden ausschließlich Umwandelungen zwischen verschiedenen Energieformen statt. Während die mechanischen Energiearten bereits in der NEWTONschen Mechanik identifiziert wurden, machte die Einordnung der Wärmeenergie zunächst große begriffliche Schwierigkeiten. Selbst der Entdecker der universellen Energieerhaltung, der Heilbronner Arzt Robert MAYER gründete seine Überlegungen auf aberwitzigen Annahmen. Zur Aufstellung der globalen Energiebilanz aus moderner Sicht verwenden wir wieder ein materielles Kontrollvolumen. 1. Die Energie E : [0, ) Ω R eines Körpers ist eine additive Größe: E(t) = Ω(t) ρe(t, x)dv, (3.29) wobei ρe : [0, ) Ω R die Energiedichte ist. Die Größe e heißt spezifische Energie. 2. Die Energiedichte enthält die bereits aus der Mechanik bekannte kinetische Energiedichte, und diese wird üblicherweise explizit kenntlich gemacht. wobei u spezifische innere Energie heißt. ρe = ρu + ρ 2 υ2, (3.30) 3. Eine Energieänderung ist nur durch äußere Energiezufuhren möglich. 4. Es gibt vier Ursachen für die Änderung der (Gesamt-)Energie eines Körpers. de(t) = dt Ȧ + Q. (3.31) Hiervon sind zwei Ursachen mechanischen Ursprungs: 4 1. Mechanische Volumenkräfte sowie die Flächenkräfte erzeugen eine mechanische Leistung. A = ρg υ(t, x)dv + υ σ n(t, x)da. (3.32) Ω(t) Ω(t) 4 2. Wärme wird durch zwei Mechanismen auf einen Körper übertragen: durch Strahlung, die in jedem Punkt des Inneren von Ω wirkt und durch 63

64 Wärmeleitung, die an der Oberfläche Ω übertragen wird. Die Wärmeleistung ist deshalb Q = ρr(t, x)dv q n(t, x)da. (3.33) Ω(t) Ω(t) Die Funktion r : [0, ) Ω R heißt spezifische Strahlungsdichte und q : [0, ) Ω R 3 ist der (konvektive) Wärmefluß. Allgemeine Struktur einer lokalen Bilanzgleichung in den regulären Punkten eines Körpers. Wir gehen aus von der allgemeinen globalen Bilanzgleichung (3.22) und setzen hier die Darstellungen (3.23) ein. d ρψdv = ϕ n(t, x)da + ξ(t, x)dv. (3.34) dt Ω(t) Ω(t) Die physikalischen Interpretationen der Gößen ψ, ϕ und Ξ können wir dem letzten Abschnitt entnehmen. Ein Punkt P Ω Ω heißt regulär, wenn alle benötigten Ableitungen in P bildbar sind. Andernfalls heißt P singulär. Zunächst betrachten wir nur Körper, die ausschließlich reguläre Punkte haben. Allgemeine Struktur einer lokalen Bilanzgleichung in regulären Punkten: ψ + div(ψυ + ϕ) = ξ. (3.35) t Zum Beweis der lokalen Bilanzgleichung (3.35) berechnen wir zunächst die Zeitableitung auf der linken Seite von (3.34) über das REYNOLDSsche Transportheorem (2.12). Da sich (3.34) auf ein materielles Volumen bezieht, gilt auf Ω(t) w = υ. Somit entsteht Ω(t) ψ t dv + Ω(t) Ω(t) (ψυ n + ϕ n)da = Ω(t) ξdv. (3.36) Hier formen wir das Flächenintegral in ein Volumenintegral um und erhalten ( ψ + div(ψυ + ϕ) ξ)dv = 0. (3.37) t Ω(t) Jetzt kommt die wichtige Beobachtung, dass wir die Größe des materiellen Volumens Ω beliebig wählen können. Wenn aber ein Integral mit beliebigen 64

65 Grenzen Null ist, dann muß auch der Integrand Null sein, und es folgt die lokale Bilanzgleichung (3.35). Lokale Bilanzgleichungen für Masse, Impuls und Energie in regulären Punkten. Auf Basis der Identifizierungen der allgemeinen Dichten, Flüsse und Quellen, die zu konkreten globalen Bilanzgleichungen für Masse, Impuls und Energie führten, werden wir nun deren lokale Bilanzgleichungen in regulären Punkten ableiten. Spezielle lokale Bilanzgleichungen in regulären Punkten. Lokale Massenbilanz: Lokale Impulsbilanz: ρ t + div(ρυ) = 0. (3.38) ρυ + div(ρυ υ σ T ) = ρg. (3.39) t Lokale Energiebilanz: ρu + ρ 2 υ2 t + div((ρu + ρ 2 υ2 )υ + q υ σ) = ρg υ + ρr. (3.40) Lokale Bilanz der kinetischen Energie in regulären Punkten. Aus der Impulsbilanz folgt durch skalare Multiplikation mit der Geschwindigkeit und nach einigen einfachen Umformungen die Lokale Bilanz der kinetischen Energie: ρ 2 υ2 t + x ((ρ k 2 υ2 )υ k υ i σ ik ik υi ) = σ x + k ρgi υ i. (3.41) Übung 3.6 a.) Bestätige die lokalen Bilanzgleichungen für Masse, Impuls und Energie. Gehe hierzu von der allgemeinen Struktur (3.23)aus und identifiziere in Tabellenform die Dichten, Flüsse und Quellen. b.) Schreibe die Bilanzgleichungen in Komponentenform mit Bezug auf kartesische Koordinatenlinien auf. c..) Leite die Bilanzgleichung für die kinetische Energie ab. 65

66 Die Bilanz der kinetische Energie hat auf ihrer rechten Seite zwei Quellterme. Da ist zunächst die bereits bekannte Leistung der äußeren Kräfte, und es gibt darüber hinaus einen Term, den wir Produktionsdichte der kinetischen Energie nennen. Wie wir sogleich sehen werden, beschreibt dieser Term die Umwandlung von kinetischer Energie in innere Energie. Lokale Bilanz der inneren Energie in regulären Punkten. Wir subtrahieren die kinetische Energiebilanz von der Energiebilanz und erhalten die Lokale Bilanz der inneren Energie: ρu t + x k (ρuυk + q k ik υi ) = σ + ρr. (3.42) xk Auch diese Bilanzgleichung hat zwei Quellen unterschiedlicher Art. Die von außen zugeführte Leistung an Strahlungsenergie und eine weitere Quelle, die wir Produktionsdichte der inneren Energie nennen. Diese Produktion taucht mit unterschiedlichem Vorzeichen auch in der kinetischen Energiebilanz auf, und deshalb ist klar, dass hierdurch die Umwandlung von kinetischer Energie in innere Energie beschrieben wird. Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik: Die Bilanzgleichung der inneren Energie wird auch 1. Hauptsatz der Thermodynamik genannt. Studenten der Thermodynamik kennen diesen Hauptsatz meistens in einer einfacheren Struktur, die nur ein Spezialfall der Gleichung (3.42) ist. Die Anwendbarkeit dieses Spezialfalles, den wir jetzt angeben, ist allerdings stark eingeschränkt. Wir integrieren die lokale Bilanzgleichung der inneren Energie über ein materielles Volumen Ω und erhalten du dt = Q ij υi + σ dv, (3.43) xj Ω wobei die innere Energie U und die Wärmeleistung Q definiert sind durch U = ρudv und Q = q nda + ρrdv. (3.44) Ω Ω Ω Falls(!) nun gilt σ ij = pδ ij, und falls(!) darüber hinaus der Druck p überall in Ω konstant ist, dann können wir p aus dem Volumenintegral herausziehen, und es verbleibt ein Integral über div(υ). Nach dem REYNOLDSschen 66

67 Transporttheorem (2.12) ist dieses Integral aber einfach die Zeitableitung des Volumens von Ω. Wir können also schreiben du dt = Q p dv dt. (3.45) In dieser Form ist der 1. Hauptsatz der Thermodynamik häufig in der Lehrbuchliteratur anzutreffen. Wie wir aus der Herleitung von (3.45) gesehen haben, ist dies nur ein eingeschränkt nutzbarer Spezialfall des 1. Hauptsatzes der Thermodynamik (3.42). Aber selbst dieser Spezialfall wird in den Lehrbüchern häufig verstümmelt angeben, nämlich in der Form du = δq pdv, (3.46) wo dann überhaupt nicht mehr klar ist, was die Symbole überhaupt bedeuten. Die Erkenntis, dass der 1. Hauptsatz der Thermodynamik durch die Bilanzgleichung der inneren Energie (3.42), zumindest bei Prozessen ohne singuläre Flächen, wiedergegeben wird, ist seit Beginn des 20. Jahrhunderts bekannt. Insbesondere die eingeschränkte Anwendbarkeit der Formeln (3.45) bzw. (3.46) ist seit dieser Zeit klar erkannt. Die grundlegenden Untersuchungen hierzu wurden in den 40iger Jahren abgeschlossen. Merkwürdiger Weise wird dieses Wissen in den meisten Anfängervorlesungen über Thermodynamik nicht an die Studierenden weiter gegeben. Globale Bilanzgleichung für offene Volumina: Wir begegnen häufig Körpern, die mit ihrer Umgebung neben Impuls und Energie auch Materie austauschen. Ein Bespiel haben wir bereits in Übung 3.4 kennengelernt, die sich mit der Heizung eines Zimmers beschäftigt. Wenden wir die ideale Druckformel für Gase in der Form pv = R M mt V (3.47) auf das Zimmer an, so ist V das Volumen des Zimmers, p und T geben Druck und Temperatur des enthaltenen Gases an, und m ist dessen Masse. Offensichtlich bleiben Druck und Volumen während der Heizungdauer konstant. Da aber die Temperatur steigt, muss folglich die Luftmenge des Zimmers abnehmen. Das Zimmer ist ein offenes Volumen. Zur Herleitung einer Bilanzgleichung für offene Volumina, gehen wir aus von der allgemeinen lokalen Bilanzgleichung (3.35). Wir betrachten jetzt 67

68 ein Volumen Ω(t), dessen Oberfläche Ω(t) sich mit der Normalgeschwingigkeit w n (t, x) bewegen soll. Nach Integration von (3.35) über Ω und nach Verwendung des REYNOLDSschen Transporttheorems folgt die Allgemeine globale Bilanzgleichung für offene Volumina. d dt Ω(t) ψ dv Ω(t) ψ(w υ) nda + Ω(t) ϕ nda = Ω(t) ξ dv. (3.48) Zusätzlich zu den drei Termen, die auch in der globalen Bilanzgleichung für materielle Volumina auftreten, siehe (3.22) und (3.23) haben wir den konvektiven Fluß von ψ, welches den Fluß der Dichte ψ durch den Rand Ω beschreibt. Zur Unterscheidung nennen wir ϕ auch nichtkonvektiven Fluß. Globale Bilanzgleichung bei homogenen Verhältnissen. Wir betrachten jetzt den Spezialfall, dass wir (i) im Inneren des Körpers Ω und auf seiner Oberfläche homogene Verhältnisse antreffen, und dass (ii) ein Austausch mit der Umgebung nur über ebene Flächenteile stattfindet. In diesem Fall können wir die Integrale in (3.49) direkt ausrechnen. Es entsteht die Globale Bilanzgleichung für homogene Körper. d dt (mψ ρ ) ψ ρ ρ(w υ) na + ϕ nb = mξ ρ. (3.49) Hier ist m(t) die eventuell zeitabhängige Masse des Körpers. A gibt den Flächeninhalt des Teils von Ω an, durch welchen Materie strömt, und entsprechend ist B der Flächeninhalt wo es einen nichtkonvektiven Fluß ϕ gibt. Diese beiden Teile können natürlich zusammenfallen. Beispiele zu den Bilanzgleichungen. 68

69 Übung 3.7 Betrachte einen mit Luft gefüllten Zylinder, welcher mit einem beweglichen Kolben verschlossen ist. Der Kolben ist zunächst in der Höhe H A arretiert. Sowohl der Kolben als auch der Zylinder sollen weder Wärme noch Strahlung durchlassen. Zur Zeit t A wird die Arretierung gelöst und der Kolben fällt in den Zylinder hinein. Anfänglich entsteht dabei eine kräftige Strömung der Luft, aber nach einiger Zeit herscht wieder Ruhe, und der Kolben hat eine neue Stellung angenommen. Nimm an, dass Druck p und spezifische innere Energie u des Gases wie folgt mit der Gasdichte ρ und der Temperatur T zusammen hängen: p = R M ρt u = 5 R 2 M T, (3.50) wobei R = 8314 Nm/(kgK) die allgemeine Gaskonstante ist, und M = 28 ist das Molekulargewicht der Luft. Das Ziel der Übung ist die Berechnung des Endzustandes aus den Anfangsdaten T A = 293K, V A = 10 3 m 3, H A = 0.1 m. Der Außendruck p 0 beträgt 1 bar. Die Masse m K des Kolbens soll 10 3 kg sein. a.) Verwende zur Bearbeitung die globalen Bilanzgleichungen für Impuls und Energie, und gib ein geeignetes Kontrollvolumen an. Begründe warum die lokale Impulsbilanz und insbesondere die lokale Bilanz der inneren Energie nicht zur Lösung verwendet werden sollten. b.) Berechne die mechanische Leistung und zeige Druckbehälter mit beweglichem Kolben. A = (p 0 a K + m K g) dh dt. (3.51) c.) Integriere die globale Energiebilanz über die gesamte Prozesszeit, und zeige 5 R m L 2 M (T E T A ) = (p 0 a K + m K g)(h E H A ). (3.52) c.) Berechne den Enddruck p E aus der Impulsbilanz und bestimme dann die Endtemperatur T E und die Endhöhe des Kolbens H E. 69