Teil VIII Datenquellen

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1 Teil VIII Datenquellen

2 In das zu messende Feld können Sonden eingebracht werden, die Parameter wie Temperatur Geschwindigkeit Materialeigenschaften Gasmischverhältnisse Dichte... punktuell bestimmen. (vgl. Wettermessstationen)

3 Bei Flugzeugen wird manchmal (z.b: Cessna) die Strömung gemessen um bei Strömungsabriss zu warnen. Piper Tomahawk soll mechanisch über eine Metallzunge warnen.

4 PIV Particle Image Velocimetry Berührungsloses System Erfassung der Geschwindigkeits- und Turbulenzparameter von Strömungsfeldern gegenüber punktuell messenden Verfahren eine Verkürzung der Messzeiten

5 Funktionsweise: Mehrere Partikel werden in die Strömung eingebracht Die Partikel werden über einen aufgespannten Laserstrahl sichtbar gemacht Hochgeschwindigkeitskameras erzeugen Bilder Bildverarbeitung zur Bestimmung der Strömungsparameter http: //

6 Laser Induced Fluorescence Fluoreszierende Partikel werden in System eingebracht Fluoreszenz kann von bestimmten Parametern abhängen Messung von Temperatur, Dichte, Verteilung möglich Zusammen mit PIV auch Geschwindigkeit erfassbar

7 Teil IX Grundlagen der CFD-Simulation

8 u = gradu u = divu u = rotu

9 Experimente vs. Simulation Experimente Quantitative Beschreibung der Flussphänomene Für oft eine Messgröße zu einer bestimmten Zeit Für beschränkte zeitliche und räumliche Auflösung Für laborgeeignete Modelle Für realistisch erreichbare Rahmenbedingungen (Temperatur, Materialien,...) Fehlerquellen: Messfehler, Beeinträchtigungen durch Messinstrumente

10 Experimente vs. Simulation Simulation Qualitative Vorhersage von Flussphänomenen Für alle gewünschten Mess -größen Hohe räumliche und zeitliche Auflösung Für fast alle Probleme und Randbedingungen Fehlerquellen: Modellfehler, Diskretisierung, Beschränkungen der Simulationslaufzeit/Zahl der Iterationen

11 Strömungen finden sich in vielen Bereichen des täglichen Lebens Meteorologische Phänomene (Regen, Wind, Hurrikans, Fluten, Feuer) Umweltkatastrophen (Luftverschmutzung, Gefahrguttransport) Heizung, Belüftung, Klimaregulierung von Gebäuden, Autos, Flugzeugen, Zügen,... Verbrennungsprozesse in Verbrennungsmotoren Interaktion von Objekten mit Wasser oder Luft Abläufe im menschlichen Körper (Blutfluss, Atmung,...) Bewegungen der Erdkruste (über einen langen Zeitraum gesehen)...

12 Was ist CFD Computational Fluid Dynamics (CFD) liefert qualitative, manchmal sogar quantitative, Vorhersagen von Strömungen mittels mathematischer Modelle (partielle Differentialgleichungen), numerischer Methoden (Diskretisierung und entsprechende Lösungsansätze), und Softwarepakete (Löser (Solver), pre- und postprocessing Werkzeuge). CFD bietet die Möglichkeit, numerische Experimente in einem virtuellen Labor durchzuführen (d.h. Computersimulationen)

13 Numerische Simulationen liefern Hinweise auf Designfehler/Optimierungen Optimierung der Aerodynamik von Fahrzeugen Optimierung chemischer Prozesse (Verfahrenstechnik) Verbesserung von Wetter oder Klimavorhersagen Verbesserte Katastrophenvorwarnung Liefern schöne bunte Bilder, mit denen man sich um Fördermittel bewerben kann...

14 Experimente vs. Simulation Experimente In der Regel teuer Oft langsam Sequentiell Spezialisiert auf eine Anwendung Simulation In der Regel günstiger In der Regel schneller Parallelisierbar Können allgemeiner durchgeführt werden In der Regel ersetzt die Simulation die Messung nicht, reduziert aber die Zahl nötiger Messungen

15 Charakterisierung von Fluiden Makroskopische Größen Dichte (density) ρ Viskosität (viscosity) η Druck (pressure) p Temperatur (temperature) T Geschwindigkeitsvektor (velocity) u, manchmal auch v

16 Charakterisierung von Fluiden viscous invicit Viskosität Fluidität 68 compressible incompressible Kompressibel Inkompressibel steady unsteady stationär instationär laminar turbulent Laminar Turbulent single-phase multi-phase Einphasen- Mehrphasenströmung 68 Kinematisch ν [m 2 s 1 ] Dynamisch η [N m 2 s = Pa s]

17 Typische Werte: Viskosität (Flüssigkeiten) Wasser 5 C 1,52mPa s Wasser 10 C 1,297mPa s Wasser 20 C 1,00mPa s Hexan 0,320mPa s Heptan 0,410mPa s Octan 0,538mPa s Motoröl 25 C 100mPa s Motoröl 150 C 3mPa s Glycerin (rein) 1480mPa s Asphalt bis mPa s Blut 37 C 4 bis 25mPa s Honig 10 4 mpa s Erdmantel bis mpa s [Quelle Wikipedia]

18 Typische Werte: Viskosität (Gase) Luft 17,1 µpa s Sauerstoff 19,2µPa s Kohlendioxid 13,8µPa s Stickstoff 16,6µPa s Argon 21,0µPa s Neon 29,7µPa s Helium 18,6µPa s Wasserstoff 8,4µPa s [Quelle Wikipedia]

19 Software: Preprocessor Definition des Beobachtungsraums und der Randbedingungen (auf dem Rand des Beobachtungsraums) Definition oder Berechnung der Diskretisierung (=des Gitters+des Randgitters)

20 Mögliche Randbedingungen Haftbedingung, No-Slip-Bedingung (Allgemein: u=uw) Experimentell bestimmte Eigenschaft Strömung in Normalenrichtung und Tantentialrichtung ist Null Führt zur Bildung einer Grenzschicht Bei Gasen mit großem Atomabstand (geringer Dichte) nicht mehr sinnvoll Immer in Zusammenhang mit weiteren Bedingungen wie Temperatur oder Wärmefluss am Rand

21 Randbedingung: Inlet Zulauf, Zufluss Eine Dirichlet-Randbedingung, gibt den Zufluss von Materie, eventuell auch deren Richtung, am Rand an Weitere Größen wie Turbulenz, Temperatur, Druck können spezifiziert werden

22 Randbedingung: Outlet Abfluss Kann ganz frei sein oder mit Abflussgeschwindigkeit versehen werden (z.b. Abflussmasse = Zuflussmasse)

23 Randbedingung: Symmetriebedingung Ebenen verhalten sich symmetrisch, d.h., keine Strömung über die Ebene da jede Kraft eine Gegenkraft spürt. Zur Vereinfachung von Simulationen verwendet, wenn Symmetrie in der Geometrie UND der Strömung(!) erwartet wird oder Strömung am Rand irrelevant (z.b. in großer Entfernung vom Objekt)

24 Randbedingungen: Druckbedingungen Annahme konstanten Drucks Annahme keiner Druckänderung über den Rand

25 Randbedingung: Periodizität Bei aufgerollten zyklischer Prozesse oder bei Untersuchung eines mittleren Teils einer periodisch angeordneten Geometrie Unendlichkeit der Geometrie wird angenommen Findet die Strömung über diese Bereiche statt, ist die Anfangsbedingung entscheidend!

26 Randbedingungen Viskose Strömung Initialbedingung: ρ, u und T sind für t = 0 überall im Definitionsbereich gegeben Randbedingungen: An soliden Wänden: u = u w (no-slip condition) T = T w (fixed temperature) oder k T n = q w (fixed heat flux) An Flüssigkeitsgrenzschichten Einströmung: ρ, u, T sind als Funktion der Position gegeben Ausströmung: p + µ un n = F n und µ ut = Ft (stress n continuity) Kraft, die senkrecht zum Rand wirkt (aus Druck und Scherkräften)

27 Finite Elemente Methode (FEM) Hauptsächlich in der Analyse von Festkörpern eingesetzt, jedoch auch auf CFD anwendbar R i sind die Residuen am Gitterpunkt i. Q ist die auf dem Element ausgedrückte Konservierungsgleichung, i. W i sind Gewichte und V e das Volumenelement B = m e=1 Typischerweise: G i G j = /0 G e bzw. G = m e=1g e R i = i j W i Q dv e

28 Finite Volumen Methode (FVM) Alle Gleichungen werden für endliche, diskrete Volumen gelöst PDE wird in konservativer Form aufgestellt und diskretisiert Konservierung des Fluxes durch ein Element wird somit garantiert Q ist der Vektor der Erhaltungsgrößen, F der Vektor aller Fluxe, V das Volumen des Kontrollelements, A dessen Randfläche: t Q dv + F da = 0

29 Andere Möglichkeiten Spektralmethode Lattice-Bolzmann-Methode (LBM) Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH), partikelbasiert, gitterfrei Randelementmethode (Boundary Element Method, BEM) auch Momentenmethode High-resolution discretization Schemes FEM 2 und ähnliche mehrstufige Methoden

30 Grundlegende Gleichungen Euler sche Betrachtungsweise Beobachtung des Flusses aus Sicht eines festen Kontrollvolumens Lagrange sche Betrachtungsweise Verfolgung einzelner Flusspartikel (oft kleiner Kontrollvolumen) durch die Strömung

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32 Definition Die substantielle zeitliche Ableitung d dt ist die Rate der Änderung eines sich bewegenden Flüssigkeitsteilchens. Definition Die lokale zeitliche Ableitung t ist die Änderungsrate einer Größe an einem festen Punkt. Sei u = u(x,t), wobei x = x(x 0,t). Mit Kettenregel erhält man: du dt = u t + u x dx dt + u dy y dt + u z dz dt = u t + v u Substantielle Ableitung = lokale Ableitung + konvektive Ableitung Reynolds Transporttheorem: d u(x,t) u(x,t) dv = dt V V =V } {{ } τ t } {{ } Änderung in bewegten V Änderung in festem V + S=S t u(x,t)v n ds } {{ } konvektiver Transfer durch A

33 Herleitung der Gleichungen Herleitung der Gleichungen Philosophie der Modellierung Wähle physikalisches Prinzip Wähle physikalisches Prinzip Massenerhaltung Momenterhaltung Energieerhaltung Wende passendes Flussmodell an Euler scher/lagrange scher Ansatz finite/infenitesimale Berechnungsvolumina Bestimme integrale Beziehungen für die PDE, die das physikalische Prinzip anwenden Generisches Konservierungsgesetz: udv + f n da = q dv t V A V f = vu d u Fluxfunktion Aus dem Divergenztheorem erhält man: u V t V dv + f dv = q dv V mit der partiellen Differentialgleichung u t + f = q

34 Physikalische Prinzip der Masseerhaltung: dm dt = d ρ ρdv = dt V t V =V t t dv + ρv nds = 0 S=S t Ansammlung von Masse in Volumen = Nettozufluss durch die Oberfläche Aus Divergenztheorem folgt Kontinuumsgleichung [ ] ρ ρ V t + (ρv) dv = 0 t + (ρv) = 0 Lagrange sche Darstellung: (ρv) = v ρ + ρ v dρ dt + ρ v = 0 Inkompressible Flüssigkeiten: dρ dt = v = 0 konstante Dichte

35 Momenterhaltung Physikalisches Prinzip: f = ma (Newtons zweites Gesetz) Gesamte Kräfte: f = ρg dv + h da, wobei h = σ n Kräfte auf Körper: g (Gravitation, elektromagnetisch,... ) Oberflächenkräfte: h (Druck + viskose Spannungen) Stresstensor: σ = pi + τ (Momentflux) Für Newton sche Fluide ist die viskose Spannung proportional zum Gradienten der Strömung: τ = (λ v)i + 2µD(v), wobei D(v) = 1 2 ( v + vt ), λ 2 3 µ Normalenkräfte: Streckung Scherkräfte: Deformation ) τ xx = λ v + 2µ v x x τ xy = τ yx = µ ( vy x v x y

36 Navier-Stokes Gleichungssystem 1 Kontinuumsgleichung/Masseerhaltung ρ t + (ρv) = 0 2 Momenterhaltung/Newton s zweites Gesetz (ρv) t + (ρv v) = p + τ + ρg 3 Energieerhaltung/Erstes Gesetz der Thermodynamik (ρe) t + (ρev) = (κ T ) + pq (pv) +v ( τ) + v : τ + ρg v E = e + v 2 2 Dieses System von Differentialgleichungen nennt man auch die Navier-Stokes Gleichungen für kompressible Fluide

37 Navier-Stokes eigentlich nur die Gleichungen, die aus Impulserhaltung hervorgehen, jedoch wird das Gleichungssystem aus allen drei Grundgleichung als Navier-Stokes-Gleichungssystem bezeichnet. Lösung von: reibungsbehafteten Strömungen thermischer Energieübertragung instationären Strömungen kompressiblen Strömungen Vernachlässigung der Reibungs- und Wärmeleitterme Euler-Gleichungen: keine Reibung keine thermische Energieübertragung instationäre Strömung kompressible Strömung Schneller Berechnung mit Euler möglich.

38 Allgemeines Erhaltungsgesetz für skalare Größen: u t + f = q, wobei f = f(u,x,t) die Fluxfunktion ist. Die Erhaltungsvariablen, Fluxe und Quellen sind ρ U = ρv, F = ρv ρv v + pi τ, Q = 0 ρg. ρe (ρe + p)v κ T τ v ρ(q + g v) Daraus ergibt sich die Navier-Stokes Gleichung in Divergenzform: U t + F = Q, U R5,F R 3 5,Q R 5 Stellt alle Gleichungen in der gleichen, allgemeinen Form dar und vereinfacht die Implementierung. Es reicht, nur eine Diskretisierung für das allgemeine Erhaltungsgesetz zu implementieren.

39 Variablen der Gleichungen: ρ,v,e, p,τ,t Gleichungen: Kontinuumsgleichung, Momenterhaltung, Energie Die Zahl der Variablen ist höher als die Zahl der Gleichungen 1 Newtonscher Spannungstensor (stress tensor) (Beziehung zw. Spannung und Verformung) τ = (λ v)i + 2µD(v), D(v) = 1 2 ( v + vt ), λ 2 3 µ 2 Thermodynamische Beziehungen, z.b. p = ρrt ideales Gas mit R = spezifische Gaskonstante e = c v T Kalorienzustandsgleichung; c v = spezifische Temp. bei konst. Volumen Jetzt ist das System vollständig und enthält fünf Gleichungen für fünf unabhängige unbekannte ρ, v, e, sowie Formeln zur Berechnung von ρ,τ,t. Initiale und Randbedingungen müssen weiterhin noch spezifiziert werden.

40 Weitere Gleichungen und dazugehörige Variablen können in ähnlicher Form ergänzt werden Bsp: Volumenanteile von Materialien in einer Berechnungszelle Bsp: Mischkolonne: Populationsbilanzgleichungen für die Verteilung und Größe von Bläschen

41 Start- und Randbedingungen Startbedingungen (IC): ρ t=0 = ρ 0 (x),v t=0 = v 0 (x),e t=0 = e 0 (x), x Ω Randbedingungen (BC): Sei Γ = Γ in Γ w Γ out Zufluss: Γ in = {x Γ : v n < 0} vorgegebene Dichte, Geschwindigkeit und Energie v n = v n oder p + n τ n = 0 v sn = v } {{ } s feste Geschwindigkeit oder s } τ {{ n = 0 } verschwindende Kräfte Das Problem ist wohldefiniert, wenn die Lösung existiert, eindeutig ist und stetig auf IC und BC.

42 Turbulenzen Turbulenzen sind feine Strukturen, die bei der Simulation aufgelöst werden müssen Direct Numerical Simulation (DNS): Direkte Simulation der Turbulenz Erfordert sehr hohe Auflösung Größe der Strukturen muss bekannt sein k-ε-modelle Reynolds-averaged Navier Stokes (RANS) Large Eddy Simulation (LES) Propability Density Funciton PDF-Method Vortex Method (Gitterfreie Modelle, Vortices als Grundelement)...

43 k-ε-modell Wir nehmen an, dass die kinetische Energie in einer Strömung dargestellt werden kann durch die mittlere kinetische Energie K und die turbulente kinetische Energie k k(t) = K + k Tennekes und Lumey (1972) zeigten, dass die kinetische Energie durch die Gleichung ρk +div(ρku) = div( p t u )+2µ u s ρ 1 u i 2 u i u j 2µ s i j s i j ρū iu j S i j ausgedrückt werden kann, wobei die einzelnen Terme bedeuten: + Änderung der kinetischen Energie k + Transport der Energie k durch Druck + Transport der Energie k durch Konvektion = Transport von k durch viskose Scherkräfte + Transport von k durch Reynoldsspannungen - Rate der Vernichtung/Auflösung - Rate der Produktion/Entstehung

44 Betrachtet man jetzt die Größe der Turbulenzen (Launder und Spalding, 1974) basierend auf dem besten Verständnis, das man von den Modellen hat, so ergeben sich zwei Transportgleichungen: ρε t ρk t Oder in Worten: + div(ρku) = div [ µt σ k ] + 2µ t S i j.s ji ρε [ ] µt ε + div(ρεu) = div +C iε σ ε k 2µ ε 2 ts i j.s ji C 2ε k + Rate der Änderung von k oder ε + Transport von k oder ε durch Konvektion = Transport von k oder ε durch Diffusion + Rate der Produktion von k oder ε - Rate der Vernichtung von k oder ε

45 Skalierbarkeit von Problemen Die Reynoldszahl 69 ist eine dimensionslose Kennzahl Re = ρvd η = vd ν mit η = νρ, wobei ρ[kg/m3 ] die charakteristische Dichte des Fluids ist, ν[ms 1 ] die charakteristische Strömungsgeschwindigkeit des Fluids gegenüber dem Körper, d[m] die charakteristische Länge des Gegenstandes und η, ν die charakteristischen Viskositäten. 69 Osborne Reynolds

46 Unterschiedung nach Machzahl M = Fluggeschwindigkeit Schallgeschwindigkeit = v c Einteilung von Windkanälen nach Machzahl: Unterschallkanal, inkompressibel 0 M 0.4 Unterschallkanal, kompressibel 0.3 M 0.7 Transsonikkanal: 0.7 M 1.2 Überschallkanal: 1.2 M 5.0 Hyperschallkanal: 5 M

47 OpenFOAM Beispiel, Gitter 1 ConvertToMeters ; 2 v e r t i c e s 3 ( 4 ( ) // v e r t e x number 0 5 ( ) // v e r t e x number 1 6 ( ) // v e r t e x number 2 7 ( ) // v e r t e x number 3 8 ( ) // vertex number 4 9 ( ) // v e r t e x number 5 10 ( ) // v e r t e x number 6 11 ( ) // v e r t e x number 7 12 ) ; e d g e s 15 ( 16 a r c 1 5 ( ) 17 ) ; b l o c k s 20 ( 21 hex ( ) // v e r t e x numbers 22 ( ) // numbers o f c e l l s i n each d i r e c t i o n 23 s i m p l e G r a d i n g (1 2 3) // c e l l e x p a n s i o n r a t i o s 24 ) ;

48 OpenFOAM Beispiel, Randgitter 1 boundary // keyword 2 ( 3 i n l e t // patch name 4 { 5 type patch ; // patch type f o r patch 0 6 f a c e s 7 ( 8 ( ) ; // b l o c k f a c e i n t h i s patch 9 ) ; 10 } // end o f 0 th patch d e f i n i t i o n o u t l e t // patch name 13 { 14 type patch ; // patch type f o r patch 1 15 f a c e s 16 ( 17 ( ) 18 ) ; 19 } w a l l s 22 { 23 type wall ; 24 f a c e s 25 ( 26 ( ) 27 ( ) 28 ( ) 29 ( ) 30 ) ; 31 }

49 Thermophysical Properties 1 thermotype epsithermo<p u r e M i x t u r e<c o n s t T r a n s p o r t<speciethermo<econstthermo 2 <perfectgas >>>>>; 3 4 m i x t u r e 5 { 6 s p e c i e 7 { 8 nmoles 1 ; 9 molweight ; 10 } 11 thermodynamics 12 { 13 Cv ; 14 Hf 0 ; 15 } 16 t r a n s p o r t 17 { 18 mu 1.8e 05; 19 Pr 0. 7 ; 20 } 21 }

50 Solver 1 s o l v e r s 2 { 3 p 4 { 5 s o l v e r PBiCG ; 6 p r e c o n d i t i o n e r DILU ; 7 t o l e r a n c e 1e 12; 8 r e l T o l 0 ; 9 } rho 12 { 13 s o l v e r PCG ; 14 p r e c o n d i t i o n e r DIC ; 15 t o l e r a n c e 1e 08; 16 r e l T o l 0 ; 17 } (U e k e p s i l o n R) 20 { 21 $p ; 22 t o l e r a n c e 1e 08; 23 r e l T o l 0 ; 24 } 25 } PISO 28 { 29 n C o r r e c t o r s 2 ; 30 n N o n O r t h o g o n a l C o r r e c t o r s 2 ; 31 Mario} Hlawitschka

51 Gradientenberechnung 1 ddtschemes 2 { 3 d e f a u l t E u l e r ; 4 } 5 6 gradschemes 7 { 8 d e f a u l t Gauss l i n e a r ; 9 } divschemes 12 { 13 d e f a u l t none ; 14 d i v ( phi,u) Gauss l i m i t e d L i n e a r V 1 ; 15 d i v ( phi, k ) Gauss upwind ; 16 d i v ( phi, e p s i l o n ) Gauss upwind ; 17 d i v ( phi, R) Gauss upwind ; 18 d i v (R) Gauss l i n e a r ; 19 d i v ( phid, p ) Gauss l i m i t e d L i n e a r 1 ; 20 d i v ( phi,k) Gauss l i m i t e d L i n e a r 1 ; 21 d i v ( phi, e ) Gauss l i m i t e d L i n e a r 1 ; 22 d i v ( ( mueff dev2 (T( grad (U ) ) ) ) ) Gauss l i n e a r ; 23 } l a p l a c i a n S c h e m e s 26 { 27 d e f a u l t none ; 28 l a p l a c i a n ( mueff, U) Gauss l i n e a r l i m i t e d 0. 5 ; 29 l a p l a c i a n ( DkEff, k ) Gauss l i n e a r l i m i t e d 0. 5 ; 30 l a p l a c i a n ( DREff, R) Gauss l i n e a r l i m i t e d 0. 5 ; 31 l a p l a c i a n ( D e p s i l o n E f f, e p s i l o n ) Gauss l i n e a r l i m i t e d 0. 5 ;

52 Systemparameter 1 a p p l i c a t i o n sonicfoam ; 2 startfrom latesttime ; 3 s t a r t T i m e 0 ; 4 stopat endtime ; 5 endtime ; 6 deltat 4e 08; 7 w r i t e C o n t r o l runtime ; 8 w r i t e I n t e r v a l 2e 04; 9 p u r g e W r i t e 0 ; 10 w r i t e F o r m a t a s c i i ; 11 w r i t e P r e c i s i o n 6 ; 12 writecompression o f f ; 13 timeformat general ; 14 t i m e P r e c i s i o n 6 ; 15 runtimemodifiable true ;

53 Beispielsimulation (OpenFOAM) Startparameter 50 Iteratationen 1000 Iterationen Stromlinien

54 Simulation kann stationär oder zeitabhängig sein Stationäre Strömungen konvergieren in der Simulation Zeitabhängige Simulationen brauchen eventuell einen Vorlauf, bis sie sinnvoll sind

55 Weiter Literatur Folien teilweise angelehnt an: [ kuzmin/cfdintro/lecture1.pdf] Bilder und Beispiele sind analog zu: [H. K. Versteeg, W. Malalasekera. An Introduction to Computational Fluid Dynamics, The finite Volume Method (second edition). Pearson Education Limited, Essex, England, 2007] [Computational Fluid Dynamics, a practical approach. Jiyuan Tu, Guan Heng Yeoh, Chaogun Liu, Butterworth Heinemann, ISBN-10: , ISBN-13: ]