KAP 1.1 VOLLKOMMENE ZAHLEN UND MERSENNE-ZAHLEN

Transkript

1 Vollkommee Zahle ud Mersee-Zahle Seite 1 KAP 1.1 VOLLKOMMENE ZAHLEN UND MERSENNE-ZAHLEN Auf eiem Soderstempel der US-Post im Staat Illiois aus dem Jahre 1968 ist die bemerkeswerte Meldug zu lese: is prim! Warum hält die amerikaische Post wohl diese Meldug für so wichtig, dass ma ihr eie Soderstempel widmet? Wir werde us im Folgede geauer mit Zahle der Form 2-1 beschäftige. Wie wir beim Beweis vo 1.8f gesehe habe, ist eie Zahl z immer scho da vollkomme, we sie vo der Form z=2-1 (2-1) ist, wobei der zweite Faktor 2-1 prim sei muß. (Also scho wieder diese Zahle der Form 2-1!) Überprüfe wir das zuächst eimal a eiige kleie Beispiele: 2-1 prim z vollkomme 2 3 ja 6 ja 3 7 ja 28 ja 4 15 ei 120 ei 5 31 ja 496 ja 6 63 ei 2016 ei ja 8128 ja ei ei ei ei ei ei ei ei AUFGABE 1.38 Bestätige die Agabe über die Vollkommeheit der Zahle. Setze da die Tabelle bis =20 fort. (Beutze evetuell ei Programm zu Primfaktorzerlegug.) Welche Regelmäßigkeit steckt i dieser Tabelle? Da die Zahle der Form 2-1 auch a aderer Stelle eie Rolle spiele, wolle wir us erst mal diese zuwede. DEFINITION M :=2-1 heißt -te Mersee-Zahl. (ach dem frazösische Jesuitepater Mari Mersee ( ), der die Bedeutug dieser Zahle als Erster erkat hat ud etliche (auch falsche) Behauptuge über sie aufgestellt hat) Mache dieser M sid prim, adere wiederum icht. Wie ka ma schell erkee, für welche Idex M prim ist? Die erste Beispiele lasse vermute, daß M prim ist, we ur prim ist. Spätestes ab =11 widerlegt sich diese Behauptug vo selbst. Allerdigs gilt der

2 Vollkommee Zahle ud Mersee-Zahle Seite 2 SATZ 1 Ist M prim, so ist auch prim. Beweis: Wir zeige die Kotrapositio: icht prim M icht prim Ist ämlich =k l (k,l>1), so folgt M =2 k l -1=(2 k ) l -(1 k ) l =(2 k -1) Rest ach (F1) Damit habe wir gleichzeitig ei zweites Ergebis: M k teilt M k l oder i adere Worte: Jede zweite Mersee-Zahl ist durch 3=M 2 teilbar, jede dritte durch 7=M 3, jede füfte durch 31=M 5 usw. Das macht das Faktorisiere vo Mersee-Zahle wesetlich eifacher: will ma z.b. M 30 =2 30-1= faktorisiere, so weiß ma wege 2 30 ud 3 30 ud 5 30, daß M 30 midestes durch 3, 7 ud 31 teilbar ist; tatsächlich gilt: M 30 = AUFGABE 1.39 AUFGABE 1.40 AUFGABE 1.41 a) Zerlege M 20, M 21 ud M 28 i Primfaktore. b) Schreibe ei Programm, daß die Primfaktorzerleguge aller Mersee-Zahle bis =30 ausgibt. Utersuche die Zahle m :=2 +1 für 30 mit eiem geeigete Programm auf Zerlegbarkeit. Was fällt auf? Beweise: (1) ugerade 3 m (2) m prim =2 k, k N (3) M =M k m k mit k=/2 AUFGABE 1.42 Beutze c), um M für =32, 34, 36, 38 ud 40 zu zerlege. Wie viele Stelle hat M 60? Gib die Primfaktorzerlegug vo M 60 a. Schaut ma sich die Tabelle der Primfaktorzerleguge der erste 30 Mersee- Zahle a, so drägt sich die Vermutug auf, daß für p>2 gilt: p M p-1. Diese Vermutug ist richtig, ud wir werde sie später beweise (kleier Fermatscher Satz). Damit habe wir die Frage, welche der M prim sid, och icht befriediged beatwortet. Wir werde dies auch icht köe, da dies bis heute eie ubeatwortete Frage der Mathematik ist. Ma hat bis heute (1994) geau 30 solcher Mersee-Primzahle gefude - die größte davo hat mehr als Ziffer (siehe weiter ute). Die Mersee-Zahle eige sich für Utersuchuge über Zusammesetzbarkeit mit Computer besoders gut. Das liegt uter aderem dara, das sie i der Biärdarstellug aus lauter Eise bestehe. Mersee selbst hielt sowohl M 67 als auch M 127 für prim ud kote wohl i seie kühste Träume icht erahe, daß es jemals möglich sei würde, dies zu überprüfe. Tatsächlich zeigte 1876 Edouard Lucas (ei Name, der us och häufiger begege wird), daß M 67 icht prim ist, ohe allerdigs eie der Primfaktore agebe zu köe, was erst 1903 dem Amerikaer Cole gelag, der i eiem der merkwürdigste Vorträge, der je auf eier wisseschaftliche Tagug gehalte wurde, auf eier Tafelhälfte zuächst ud daach auf der zweite Tafelhälfte das Produkt vo ud berechete. Die beide Ergebisse stimmte überei. Ohe ei weiteres Wort setzte sich Cole uter dem Applaus der Awesede. Ergäzed sei erwäht, daß die beide Faktore prim sid. Ebefalls 1876 zeigte Lucas, daß M 127 tatsächlich prim ist. Diese Zahl - ausgeschriebe hielt bis 1952 de Weltrekord, als mit de damals och eue Computer M 521 (eie Zahl mit 159 Stelle) als prim achgewiese wurde. Über die Verfahre, die Lucas ud seie Nachfolger beutzte, werde wir i eiem spätere Kapitel och mehr höre.

3 Vollkommee Zahle ud Mersee-Zahle Seite 3 Hier sei zuächst ur kurz das vo Lucas erdachte ud beutzte Verfahre vorgestellt: Ma bilde ach der Rekursiosvorschrift x 1 =4 ud x +1 =x 2-2 die sogeate Lucasfolge: 4, 14, 194, M ist geau da prim, we M Teiler vo x -1 ist. z.b.: M 3 = M 4 =15 teilt icht M 5 = Der Nachteil des Verfahres liegt dari, daß die Testzahle schell sehr viel größer als die eigetlich zu utersuchede Mersee-Zahle sid. I de folgede Jahre wurde deshalb sehr viel effizietere Verfahre etwickelt. Der amerikaische Mathematiker Lehmer veräderte das Verfahre isofer, als er i der Lucasfolge ur och die Reste der Folgeglieder bezüglich M betrachtete. (Lucas- Lehmer-Test). Wir werde i eiem spätere Kapitel darauf zurückkomme. Komme wir u zu de vollkommee Zahle. Mit de eu gewoee Begriffe köe wir u die im Beweis vo 1.8f gewoe Erketisse so formuliere: SATZ vo EUKLID Ist M eie Mersee-Primzahl, so ist z=2-1 M vollkomme. Beweis: σ(z)= ( M + 1) = ( 2 1) 2 = 2 2 ( 2 1) = 2 2 M 2 1 Die Umkehrug dieses Satzes bewies Euler, allerdigs uter der Voraussetzug, dass z gerade ist. Die Frage, ob es auch ugerade vollkommee Zahle gibt, ist bis heute ugeklärt. SATZ vo EULER Ist z vollkomme ud gerade, da ist z=2-1 M mit M prim. Beweis: Es sei als z vollkomme ud gerade. Da ist z=2-1 b, wobei b ugerade ist. Es sei σ(b)=b. Da z vollkomme ist, gilt σ(z)=2z. Also 2z=σ(z)=σ(2-1 b)=σ(2-1 ) σ(b)=(2-1)b z 2z z ( 2 1) 2 1 b:b= = : = (*) 2 2z 2 Die rechte Seite des Bruchs ist vollstädig gekürzt. Da muß b Vielfaches vo 2-1 sei; es sei z.b. b=c(2-1); c Ν; 1. Fall c>1: Wege b=c(2-1) hat b midestes die Teiler 1, 2-1, c ud b. Es gilt also σ(b)=b b+2-1+c+1 ud damit: ( ) c( 2 1) B b c c c ( c ) c = = = > b b c( 2 1) 2 1 c 2 1 Dies ist ei Widerspruch zur Aussage (*). Also muß c=1 sei! 2.Fall c=1: Es ist also b=2-1. Da gilt mit (*): B=2 =b+1=σ(b). Die Gleichug σ(x)=x+1 ist aber ur für primes x erfüllt. Also ist b=2-1=m prim, was zu beweise war. Damit ist zumidest klar, daß es keie gerade vollkommee Zahle gibt außer de aus de Mersee-Primzahle gebildete. Mit jeder eue Mersee-Primzahl fidet ma eie eue gerade vollkommee Zahl ud auch ur damit.

4 Vollkommee Zahle ud Mersee-Zahle Seite 4 Bis heute ist die Frage ugeklärt, ob es ugerade vollkommee Zahle gibt. Ma weiß jedoch, dass eie solche Zahl, we es sie de gäbe, größer als sei müßte ud midestes 11 verschiedee Primteiler habe müßte. Zum Abschluß och ei Blick i die (mathematische) Vergageheit. Pater Mersee veröffetlichte im Jahr 1644 sei Buch Cogitata Physica-Mathematica, i dem er die Mersee-Zahle mit de Idizes =2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 ud 257 zu Primzahle erklärte. Keier weiß bis heute, wie er zu seier Vermutug kam, de Beweise legte er icht vor. Allerdigs hat er sich ja auch ur bei eiige Zahleriese getäuscht, de M 67 ud M 257 sid etgege seier Vermutug zerlegbar, währed er die Primzahle M 61, M 89 ud M 107 übersah. Um die vollkommee Zahle rakte scho i alte Zeite Geschichte. Der Lehrer Karls des Große, der Möch Alcui, soll geschriebe habe, daß Gott die Welt i 6 Tage erschaffe habe ud daß der Mod sich i geau 28 Tage um die Erde drehe, zeige scho die Vollkommeheit dieser Zahle. Die Grieche kate sogar scho die beide ächste vollkommee Zahle 496 ud 8128 (im 1.Jahrhudert. Ch. veröffetlichte der griechische Mathematiker Nikomachos sei Werk Itroductio Arithmeticae, i dem er die erste vier vollkommee Zahle et), doch es ist mir icht bekat, welche Mystizismus sie mit ihe betriebe habe. Nikomachos vermutete übriges, daß die -te vollkommee Zahl geau Stelle habe. Tatsächlich gibt es aber gar keie vollkommee Zahl mit füf Stelle (die füfte vollkommee Zahl ist ). Des weitere stellte Nikomachos die ob des etwas düe Zahlematerials gewagte - ud falsche - Behauptug auf, die vollkommee Zahle edete abwechseld auf 6 ud 8. Hätte er die sechste vollkommee Zahl gekat, so hätte er sich seie Fehleischätzug spare köe. Keith Devli berichtet i seiem Buch Sterstude der modere Mathematik (sehr empfehleswert) vo eiem eglische Mathematiker, der 1811 über die vo Euler 1772 etdeckte 19-stellige vollkommee Zahl 2 30 (2 31-1) schrieb: Sie ist die größte vollkommee Zahl, die je etdeckt wurde, ud sie wird es auch bleibe, de da diese Zahle zwar sehr merkwürdig sid, jedoch sost keie Nutze habe, ist es uwahrscheilich, daß je ei adere versuche wird, eie och größere vollkommee Zahl zu fide. Wie ma sich doch täusche ka! Eulers Etdeckug war die achte vo izwische 30 bekate vollkommee Zahle. Allerdigs hat sich die Rechezeit bei de i diesem Zusammehag auftretede Probleme durch modere Computer auch gewaltig verrigert. So gibt Devli a, daß für de Beweis der Zerlegbarkeit vo M 8191 (icht etwa für die Zerlegug), 1953 ca. 100 Stude gebraucht wurde, währed derselbe Test auf eiem CRAY I Computer i de achziger Jahre och gerade 10 Sekude beötigt wurde. AUFGABE 1.43 a) Zeige, daß es zu jeder der erste sechs vollkommee Zahle v i außer 6 eie Zahl i gibt mit v i = i 3. Gib diese Zahle i a. b) Beweise: Die Summe der Kehrwerte aller Teiler eier vollkommee Zahle ist 2. c) Beweise: Jede vollkommee Zahl v gestattet die Darstellug: v= 1 2 (+1) Hier ist u die Hitliste der Mersee-Primzahle: Läge Etdeckugsjahr 2 1?

5 Vollkommee Zahle ud Mersee-Zahle Seite 5 3 1? 5 2? 7 3? Letzte Meldug: WAZ, Ja.97: Nach eumoatiger Arbeit a 18 miteiader verbudee PC s hat der frazösische Igeieur J. Armegaud die bisher lägste bekate Primzahl etdeckt. Es hadelt sich um M , ach WAZ der 35. Mersee Primzahl. Allerletzte Meldug: Im Jahr 1997 werde ud im Jauar mit Stelle als vorerst letzte Mitglieder ( Nummer 36 ud 37) i de Klub der Mersee-Primzahle aufgeomme. Auffällig ist der (prozetual) gerige Abstad der beide Riese. Der Nachweis der Primalität der letztere brauchte etwa eie Woche Rechezeit auf eiem 200 MHZ Petium (ob mit oder ohe Rechefehler, ist icht bekat). Iteressierte köe sich auf der Iteretseite gaz aktuell auf dem Laufede halte.

6 Vollkommee Zahle ud Mersee-Zahle Seite : mir Stelle als prim etlarvt.