Fchhochschule nnover Klusur Physik II 16.6.11 Fchbereich Mschinenbu Zeit: 9 min zum Fch Physik II im SS11 ilsmittel: Formelsmmlung zur Vorlesung 1. Ein zylinderörmiger Schwimmkörper us d 1mm di- 3 ckem Sthlblech (Dichte: Sthl 78 g cm ) besitzt einen Rdius von R 1 m und eine öhe von 4 m. Der Schwimmkörper schwimmt in Wsser und soll so weit mit Wsser geüllt werden dss er nur noch mit y 1cm us dem Wsser rgt (Position ()). 3 (Dichte Wsser: O 1 g cm ). Wie viel Prozent des Volumens muss mit Wsser geüllt werden? (Mn knn ls Näherung: Vinnen Vußen verwenden). b. Welche ubrbeit W ist nötig um den Zylinder von der Schwimmlge () us dem Wsser in die Position (b) zu heben?. Ein homogener olzquder mit Länge L cm reite 1cm und öhe 566 cm schwimmt in Wsser (Dichte: 3 O 1 g cm. In der Ruhelge () soll der uder mit seiner hlben öhe in ds Wsser eintuchen. Der uder wird durch eine äußere Druckkrt bis zur Oberknte eingetucht (b) und dnn losgelssen. erechnen Sie die Schwingungsduer T wobei Reibungskräte durch die Flüssigkeit vernchlässigt werden können. 3. etrchten Sie ein Feder-Msse-System mit chwindigkeitsbhängiger 1 Reibung (Msse: m 1kg Federkonstnte: D 61685 N m ). Eine Schwingungsmplitude x geht nch 8 Perioden u 1% von x zurück. Wie groß ist die bklingkonstnte? estimmen Sie zunächst eine Näherungslösung indem Sie Te T verwenden. b. erechnen Sie die exkte Lösung unter erücksichtigung dss ttsächlich T T gilt. e 4. In der Umgebung eines empindlichen Instruments ( minstr 4 kg ) vibriert der oden sinusörmig mit einer Frequenz von z und einer mplitude von 5 mm. Zur Schwingungsisolierung soll ds Instrument u eine schwere etonpltte m tellt werden die u vier prllel ngeordneten Federn mit jeweils D 5kN mm steht. Die bklingkonstnte des Systems beträgt näherungsweise 1% des Wertes der Eigenkreisrequenz der ungedämpten Schwingung. Wie groß muss die Msse der etonpltte sein wenn die äußere Erregung n der dem System etonpltte plus Instrument nur noch mplituden von mm erzeugen soll? 5. eschreiben Sie qulittiv die Eigenschten erzwungener Schwingungen mit unterschiedlichen Dämpungen: Skizzieren Sie dzu die Resonnzkurven und die Funktionen der Phsenverschiebung ür. Ws pssiert wenn ist? Verwenden Sie zur Vereinchung den Wert g = 1 m s -.
Lösungen: 1. Msse des leeren Schwimmkörpers: mschwimmkörper moden mdeckel mohlzylinder Mssen von oden und Deckel: m m R d oden Deckel Sthl Msse ohlzylinder: m R d ohlzylinder Teilergebnisse: ohlzyliner oden/deckel mt Volumen / cm**3 571 31416 3193 Msse / kg 1956 45 446 Gesmtmsse: m 446 kg Schwebebedingung: Schwimmkörper Sthl utriebskrt = Gewichtskrt F F g utriebskrt: O F R y g 15 N Gewichtskrt: Fg Fg SK Fg W Gewichtskrt des leeren Schwimmkörpers: Fg SK mschwimmkörper g 446 N Gewichtskrt des Wsserbllstes: F F F 98116 N Volumen des Wsserbllstes: V g W g SK W F 98116N 9 8116 cm g 1g cm 1ms g W 3 3 3 Volumen des Schwimmkörpers: VSK R 1566371 cm Prozentuler nteil des wssergeüllten Volumens: VW 98116 Ergebnis: P 781% V SK 1566371 1b. rbeit zum eben des Schwimmkörpers: x 1 ubrbeit: W F F x dx W W xy g Ohne utriebskrt wäre die rbeit: W F y m g y 1 g Gesmtmsse: m m m 45 44kg 981769 kg Gesmte Gewichtskrt: SK W m m m 15 9 kg SK W rbeit ohne utriebskrt: g F kg ms N g 15 9 1 159 W1 F x 159 N 39m W1 Fg x 477836 kj F x ist eine linere Funktion in bhängigkeit von x. Für x y ist die Die utriebskrt ( ) utriebskrt mximl und gleich der Gewichtskrt F 159 g N. Für x ist die utriebskrt Null. Der Grdient (Steigung) der utriebskrt ist: df x F 159 N 314159 Nm dx x 39 m Die rbeit W gegen die utriebskrt F ( x ) ist: 1 df x x x W F x y x dx x dx xy dx
x 1 df x df x W x dx x dx x y dx 1 df x 1 df x W x y dx dx y 1 N 314159 4 1 ) 51178 W m J m Ergebnis: W W1 W 477836 kj 5117 kj 6666 kj. Mn knn die Lösung durch Vergleich des schwingenden olzquders mit einem Feder- Msse-System erhlten. eim Feder-Msse-System wirkt ein lineres Krtetz (ooksches Gesetz). Krtetz: F D x wobei x der uslenkung us der Ruhelge entspricht. uch bei uslenkung des schwimmenden olzquders us der Ruhelge wirkt ein lineres Krtetz. Wird der uder um x nch oben usgelenkt so wirkt ls Rückstellkrt die mte Gewichtskrt Fg m g. ei einer uslenkung um x nch unten wirkt ls Dierenz von utriebs- und Gewichtskrt eine genu so große Krt die nch oben gerichtet ist. Dei Federkonstnte knn deshlb in olgender Form usgedrückt werden: F g mg D mg D g Eigenkreisrequenz: m m Schwingungsduer: T 316 s g Genuere erleitung mit ile der Schwingungsgleichung: (nicht erorderlich in der Klusur) Die uslenkung des Schwerpunktes des uders us der Gleichgewichtslge soll durch die Koordinte xx x beschrieben werden. Es gilt: x. Wird der Schwerpunkt nch unten gedrückt ist x. Die resultierende Krt us utriebskrt und Gewichtskrt ist nch oben gerichtet lso positiv. Wird der Schwerpunkt des uders hingegen us dem Wsservolumen nch oben gezogen ist x. Die resultierende Krt us utriebskrt und Gewichtskrt ist nch unten gerichtet lso negtiv. Für die Rückstellkrt F rück ergibt sich: Rückstellkrt: Frück F Fg utriebskrt: O Gewichtskrt: F L g F L x x g D der Körper in der Ruhelge bis zur hlben öhe eintucht gilt: g y
O Frück F Fg O L x x g L g O Frück O L g O L x g L g F L x g (1) Es olgt: D x ist olgt: Es olgt: rück O D lembertsches Prinzip: F m i F rück i m () Die Msse des uders ist: O m L (3) Einsetzen von (1) und (3) in (): L x g O O x Es olgt: g x x Die Eigenkreisrequenz der ungedämpten Schwingung lutet: g 1m s 19869 s 566m Schwingungsduer der ungedämpten Schwingung: Ergebnis: T 316 s 3. estimmung der bklingkonstnte mit ile der Näherung Te T : Es gilt lut ugbenstellung: x t 8Te x e cos 8T 1 x 8 T e e cos 8 1 Es olgt: D cos 8 1 olgt: 8 T e e 1 ln 1 1 8 T e e Te 8T e us den ngben zur Msse und zur Federkonstnte erhält mn die Eigenkreisrequenz der ungedämpten Schwingung: 1 D 61685 N m 785398s m 1kg Schwingungsduer des ungedämpten Feder-Msse.Systems: T 8 s Mn knn in einem ersten Schritt die Näherung: Te T verwenden. ln 1 ln 1 ln 1 Es olgt: 8T 8T 8 Ergebnis: 45885 e 3585 359778 s 88 s 3b. estimmung der bklingkonstnte unter Verwendung der exkten edingung Te T : 1 1
Es gilt: e T e Es olgt: T e ln 1 ln 1 Exkte Lösung: 8T e 8 ln 1 56 56 ln 1 ln 1 ln 1 56 18591 1 ln 1 1 Ergebnis: exkt 45765 3594 s T Näherungslösung und exkte Lösung weichen c. 1% voneinnder b. ln 1 56 ln 1 56 1 45765 4. Lut ugbenstellung soll der oden sinusörmig mit einer Frequenz von z und einer mplitude von 5 mm vibrieren. Die mplitudenunktion lutet: xt x sin t mit: x 5mm und: s 1566 s 1 1 Die Geschwindigkeitsunktion lutet: vt xt x t cos Die eschleunigungsunktion lutet: t xt x t sin Die mximle mplitude der eschleunigungsunktion ist demnch: F x m 5m 15 66s 7895m s 1 Für die mplitude eines Feder-Msse-Systems mit äußerer Erregung gilt: x Nch ugbenstellung soll die mplitude des schwingenden Systems us Instrument und etonpltte nur noch x mm betrgen. Es muss gelten: x wobei gelten soll: 1.
Es olgt: x 41 Ziel: us dieser Gleichung muss die Eigenkreisrequenz der ungedämpten Schwingung ür ds System us Instrument und etonpltte ermittelt werden. Es gilt: x 4 4 4 Ergebnis ür pos. Wurzel: Ergebnis ür neg. Wurzel: 4 4 98 x 4 4 4 98 98 964 x 4 98 396 x 4 98 396 x 1 7895ms 1 4 98 15 66s 396 15 66s m 15 475 s 394747 s 41s 3797s scheidet us. 1 Ergebnis ür 41 s 64 s Die Msse des schwingenden Systems setzt sich us des Instruments und der etonpltte m m m zusmmen: Instr Die vier Federn sind prllel ngeordnet deshlb ddieren sich die Federkonstnten. D 4D 45kN mm 1 kn mm (em. Im Klusurbltt vom 16.6.11 ht sich ein Tippehler einchlichen. Dort stnd D 5kN m richtig ist ber D 5kN mm. Dies beeinlusst den Lösungsweg nicht wohl ber die Ergebnisse. Dies wurde bei der Klusurbewertung ntürlich entsprechend berücksichtigt.) Eigenkreisrequenz der ungedämpten Schwingung: Für die uchte Msse der etonpltte gilt: D m m Ergebnis: m 4kg D D 1kN mm m m m 4kg m Instr Instr 8 1 kn mm 1 kg m s m m m 4 Instr kg 41 s 41 s