Nullstellen qudrtischer Gleichungen Rolnd Heynkes 5.11.005, Achen Nch y ufgelöst hen qudrtische Gleichungen die Form y = x +x+c. Zeichnet mn für jedes x uf der rechten Seite und ds drus resultierende y uf der linken Seite der qudrtischen Gleichung einen Punkt in ein zweidimensionles Koordintensystem, dnn erhält mn eine Prel. Flls diese Prel irgendwo die x-achse schneidet oder zumindest erührt, nennt mn so einen Schnitt- oder Berührungspunkt Nullstelle. Qudrtische Gleichungen können 0, 1 oder Nullstellen esitzen. Um sie zu finden, knn mn verschiedene Verfhren nwenden. Inhltsverzeichnis 1 Der llgemeine Lösungsweg 1 Qudrtische Ergänzung 1 3 Die schnelle Lösung per pq-formel 3 4 Auch ohne pq-formel leicht lösre Sonderfälle 3 4.1 qudrtische Gleichungen ohne lineres Glied................ 3 4. qudrtische Gleichungen ohne solutes Glied................ 3 4.3 in Linerfktoren zerlegte qudrtische Gleichungen............. 4 i
1 Der llgemeine Lösungsweg An einer Nullstelle ist die y-koordinte einer qudrtischen Gleichung gleich Null. Deshl knn mn die Nullstellen einer qudrtischen Gleichung finden, indem mn für ds y eine 0 einsetzt und nschließend die qudrtische Gleichung löst. Qudrtische Ergänzung Lösen knn mn qudrtische Gleichungen zum Beispiel mit dem Trick einer qudrtischen Ergänzung. Gemeint ist dmit, dß mn ds in normlen qudrtischen Gleichungen enthltene Binom qusi freilegt. Zuvor muß mn dfür llerdings die qudrtische Gleichung in ihre Normlform üerführen. Nehmen wir lso ml eine llgemein formulierte qudrtische Gleichung mit einem qudrtischen Glied x, einem lineren Glied x und einem soluten Glied c, mit der wir die Sche durchspielen können: y = x + c 1 D wir Nullstellen dieser qudrtischen Gleichung suchen, setzen wir y = 0 und vertuschen uch gleich die Seiten der Gleichung: x + c = 0 Nun müssen wir den Koeffizienten von x loswerden, um zur Normlform zu kommen. Dzu werden eide Seiten der Gleichung durch geteilt, woei 0 / gleich 0 leit: x + c = 0 3 Jetzt können wir die qudrtische Ergänzung ermitteln, indem wir den Fktor vor dem nicht qudrierten x durch teilen und ds Ergenis qudrieren. Diese qudrtische Ergänzung wird dnn eiden Seiten der Gleichung hinzugefügt: x + + c = 4 Mn knn nun ds solute Glied uf die ndere Seite der Gleichung ringen: x + = 5 Auf der linken Seite der Gleichung steht jetzt eine inomische Formel, die entsprechend umformuliert werden knn: = 6 Dnn wird uf eiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen, woei es eim Wurzelziehen immer zwei Lösungen git. Aufgrund des Wurzelziehens knn uf eiden Seiten 1
der Gleichung vor dem Term ein Plus oder ein Minus stehen und es wären insgesmt 4 Versionen der Gleichung möglich: = = = = Multipliziert mn llerdings in der unteren Zeile eide Seiten eider Gleichungen mit -1, dnn entsprechen sie genu den eiden Gleichungen in der oeren Zeile. Die untere Zeile knn mn sich lso spren. Normlerweise schreit mn uch nicht zwei Gleichungen, sondern deutet die eiden Möglichkeiten durch ein Plusminus ± vor einer der eiden Seiten der Gleichung n. Dei ist es eigentlich egl, uf welche Seite mn ds Plusminus schreit, er in diesem Fll ist es ülich und steigert dher den Wiedererkennungswert, ds Plusminus vor die rechte Seite der Gleichung zu schreien: = ± 7 Aschließend muß nur noch nch x ufgelöst werden. x 1, = ± 8 Mn knn diese Formel noch vereinfchen und die Ausklmmerung des Fktors in einen Gesmtnenner vorereiten: x 1, = ± 4c 9 4 x 1, = ± 4 4c 10 4 x 1, = ± 4c 11 4 x 1, = ± 4c 1 x 1, = ± 4c Diese letzte Formel 13 zur Lösung qudrtischer Gleichungen in ihrer llgemeinen Form 1 uf der vorherigen Seite nennt mn uch Mitternchtsformel, weil Mthemtikstudenten sie im Schlf ufsgen können sollen. 13
3 Die schnelle Lösung per pq-formel Geht mn nicht wie hier vorgeführt gnz llgemein von einer qudrtischen Gleichung wie in 1 uf Seite 1, sondern schon von deren Normlform 3 uf Seite 1 us, dnn schreit mn sttt ls Koeffizienten des lineren Gliedes vereinfchend p, und ds Asolutglied in der Normlform nennt mn einfch q sttt c. Vereinfchen wir in diesem Sinne unsere gnz llgemein geleitete Formel 8 uf der vorherigen Seite, dnn erhält mn die ls pq-formel eknnte Form: x 1, = p ± p q 14 Ansttt lso immer wieder die im Prinzip gleichen Rechenschritte uszuführen und jede einzelne qudrtische Gleichung für sich mittels qudrtischer Ergänzung zu lösen, knn mn einml forml eine usschließlich mit Vrilen geschrieene qudrtische Gleichung is zur pq-formel lösen. Deshl muß mn nschließend qudrtische Gleichungen nur noch in die Normlform ringen und den Koeffizienten des lineren Gliedes sowie ds solute Glied in die pq-formel einsetzen. Von d us ist die Lösung der qudrtischen Gleichung schnell und kum noch fehlernfällig erledigt. 4 Auch ohne pq-formel leicht lösre Sonderfälle 4.1 qudrtische Gleichungen ohne lineres Glied Wenn ds linere Glied fehlt x + c = 0 und x + q = 0, dnn muß der Koeffizient p = 0 sein. Wäre sttt dessen ds x = 0, dnn müsste uch ds qudrtische Glied = 0 sein. Einsetzen in x 1, = p ± p q ergit 0 ± 0 q = ± q 15 Der Rdiknd drf nicht negtiv sein, und deshl sind qudrtische Gleichungen mit p = 0 mit der pq-formel zumindest dnn nicht lösr, wenn q größer ls Null ist. Es läßt sich er recht einfch zeigen, dß die pq-formel ei negtivem q nwendr ist: x + c = 0 x = c x = x = 16 x 1, = ± q 17 4. qudrtische Gleichungen ohne solutes Glied Wenn ds solute Glied fehlt x + x = 0 und x + px = 0, dnn gilt q = 0. x 1, = p ± p x 1 = 0 und x = p = p ± p 4 = p ± p 18 3
Dieses Ergenis der Einsetzung in die pq-formel läßt sich leicht uf nderem Wege kontrollieren: x + px = 0 x p = 0 Es muß lso entweder x = 0 sein oder p muß gleich Null sein. Drus folgt: x 1 = 0 und x = p Die pq-formel ist lso in diesem Spezilfll voll nwendr. 4.3 in Linerfktoren zerlegte qudrtische Gleichungen Mn knn qudrtische Gleichungen in sogennnte in Linerfktoren zerlegen und muß diese für die Nullstellen-Ermittlung nicht unedingt zurück in die Normlform ringen. Mn sieht nämlich in den Linerfktoren sofort die Lösungen. x + r sx rs = 0 rx s = 0 Die linke Seite der rechten Gleichung ht dnn insgesmt den Wert 0, wenn r = 0 oder x s = 0 zw. wenn x = -r oder x = s. Ntürlich dürfen uch eide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein. 4