7 Bewegung von Punkten

81 7 Bewegung von Punkten 7.1 Übersicht Bewegung von Punkten Differenzierbrkeit. Wo liegt die Ableitung Tylorreihe, Vektordreieck Physiklische Bezeichnungen Abstnd zu einer Kurve Geschwindigkeit Bogenlänge einer Kurve Geschwindigkeit Ntürliche Prm. durch Bogenlänge Rum = Zeit Krümmung Krft Fläche unter einer Kurve 7.2 Differentilgeometrie für Funktionen x : Ê X Wir untersuchen im weiteren die Änderung des Zustndes eines physiklischen Systems in der Zeit. Hierbei stellen wir uns die Zeit ls einen sich kontinuierlichen reellen Prmeter vor. Mit der Zeit n sich ht ds erstml nichts zu tun. Dieser reelle Prmeter könnte uch eine ndere sich kontinuierlich ändernde Größe sein, etw ein Steuerungsprmter. Im Gegenstz zum ersten Semester interessieren uns jetzt nicht die Eigenschften des eigentlichen Zustndsrumes. Wir nehmen deshlb der Einfchheit hl;ber n, dß X ein reeller Bnchrum ist. Es sei I = [, b] Ê ein Zeitintervll. Wir untersuchen die Spur, die I in X hinterläßt. Im Augenblick interessieren uns nicht die Prozesse, die dzu führen, dß so eine Spur entsteht. 7.3 Definitionen Es sei eine Abbildung x : I Ê gegeben. Sie heißt Trjektorie oder Kurve. Wir betrchten nur stetige Kurven. Diese Abbildung heißt differenzierbr im Punkt t, wenn der Grenzwert 1 ẋt = lim t t t t xt xt in X existiert. In den Rndpunkten betrchten wir einseitige Grenzwerte. Die Ableitung ẋt ist ebenflls ein Element von X. Anlog definieren wir höhere Zeitbleitungen. Im weiteren nehmen wir n, dß eine betrchtete Kurve stets usreichend gltt ist. Wir führen für die Ableitungen folgende Bezeichnungen ein, die sich im weiteren ls sinnvoll herusstellen werden. ẋ Geschwindigkeit oder Geschwindigkeitsvektor velocity v = ẋ Betrg der Geschwindigkeit oder tempo speed ẍ Beschleunigung Eine Funktion yx in Ê knn ls prmetrisierte Kurve zt = xt, yt = t, yt interpretiert werden. Dnn ist v = ż = 1 + y 2 x.

82 7 BEWEGUNG VON PUNKTEN 7.3.1 Tylorreihe Für genügend gltte Kurven können wir die Tylorreihe xt = xt + t tẋt + 1 2 t t 2 ẍt +... und Zwischenwertsätze betrchten. Diese schreiben wir in folgender Form: xt xt = t tẋ t 16 xt xt = t tẋt + 1 2 t t 2 ẍ t 17 im qudrtischen Fll gilt echte Gleichheit, im llgemeinen Fll gilt Gleichheit für einen Mittelwert. Die letzte Schreibweise ist der in der Tylorreihe vorzuziehen, denn von einem höheren ls der Theorie der Bnchräume Stndpunkt us sind xt und xt Elemente eines Punktrumes und xt xt ein Element eines Vektorrumes, die mn nicht ohne weitere Erklärungen gleichsetzen knn. Gleichung 17 ist dnn ls Gleichsetzung des Vektors xt xt mit der Linerkombintion der Vektoren ẋt und ẍ t mit den reellen Koeffizienten t t und 1 2 t t 2 zu verstehen. Also eine Gl;eichung in X. Wenn wir den Betrg so eines Vektors ls Länge und t t > ls Zeitbschnitt, lso ls extensive Größen interpretieren, dnn folgt us 17 die Dreiecksungleichung xt xt t t ẋt + t t t t 2R mit 1/R = ẍt. Diese UnGleichung bedeutet die Subdditivität von drei extensiven Größen ext int ext + ext ext ext Die Geschwindigkeit ist lso intensiv und die Beschleunigung ds Reziproke einer extensiven Größe. 7.3.2 Abstnd zu einer Kurve Der Abstnd eines Punktes P zu einer Kurve xt ist ntürlicherweise die Größe min xt P t Ist X ein Hilberrum, dnn läßt sich us diesem Minimumproblem eine Gleichung herleiten. Anstelle des Minimums über xt P läßt sich uch ds Minimums über 1 2 xt P 2. Nullsetzen der Ableitung ergibt = d 1 dt 2 xt P 2 = d dt 1 xt P, xt P = ẋt, xt P 2 Lösung dieser Gleichung ist ein Prmeterwert t, für den die beiden Vektoren ẋt und xt P senkrecht ufeinnder stehen.

7.3 Definitionen 83 7.3.3 Bogenlänge einer Kurve Wir bestimmen die Länge einer Kurve zwischen den Prmeter-Punkten und b indem wir die Kurve durch einen Streckenzug pproximieren und die Zhl der Stützstellen gegen und die Abstände zwischen den Stützstellen gegen gehen lssen. = t < t 1 < t 2 <... < t n = b. Die Länge ist dnn der Einfchheit hlber im im 2-D n x1 s n = t i x 1 t 2 i 1 + x 2 t i x 2 t 2 i 1 = = n x1 2 2 t i x 1 t i 1 x2 t i x 2 t i 1 + ẋ 21 t + ẋ22 t dt = ẋt dt = vtdt =: s x [, b] flls dieser Grenzwert existiert. Kurven, deren Länge sich uf diese Weise bestimmen läßt heißen rektifizierbr. Die Bogenlänge einer Kurve ist lso ds Integrl über den Betrg der Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit hängt ntürlich von der Prmetrisierung b, die Bogenlänge der Kurve sollte dvon unbhängig sein. Ds ist tsächlich der Fll. s x γ [, b] = ẋ γt dt = ẋtγ t dt = flls γ ds Vorzeichen nicht ändert, lso γ eineindeutig ist. 7.3.4 Beschleunigung bei konstntem Tempo ẋt γ t dt = ẋt dγt Angenommen, der Betrg der Geschwindigkeit ist konstnt, dnn gilt im Hilbertrum = dt d 1 2 v2 t = 1 d 2 dt ẋt 2 = 1 d ẋt, ẋt = ẋ, ẍ = 2 dt In diesem Fll steht die Beschleunigung lso senkrecht zur Tngente. Sie zeigt in Normlenrichtung. 7.3.5 Ntürliche Prmetrisierung durch Bogenlänge Die Prmetrisierung einer Kurve ist nicht eindeutig. Jede eineindeutige Funktion γ : I Ĩ ermöglicht die Prmetrisierung zu trnsformieren. Wir betrchten die Bogenlänge ls Funktion der oberen Grenze st = vt dt s : [, b] [s, sb] ist eine eineindeutige Abbildung der Prmetermenge. Die Prmetrisierung einer Kurve durch die Bogenlänge wird uch ntürliche Prmetrisierung gennnt und die Bogenlänge ntürlicher Prmeter. Wenn ds Tempo konstnt ist, ist der zurückgelegte Weg proportionl zur verbruchten Zeit. Früher ht mn deshlb Entfernung oft in Zeiteinheiten ngegeben siehe lte Postmeilensäulen. Dbei wurde die Lufgeschwindigkeit oder die Geschwindigkeit der Postkutsche implizit ngenommen.

84 7 BEWEGUNG VON PUNKTEN 7.3.6 Die Krümmung Angenommen wir hben eine Kurve ntürlich prmetrisiert. Dnn gilt für die Bogenlänge ds wr der Sinn der Prmetrisierung s vs ds = s D.h. ds Tempo ist konstnt: vs = ẋs = 1. Dmit steht bezüglich des Prmeters s die Beschleunigung senkrecht uf der Geschwindigkeit. Der Betrg dieser Beschleunigung ist lso im 2-D ks = ẍs = ẍs + ÿs und wird Krümmung gennnt. Beispiel: Kreis Es ist xt = R cos t yt = R sin t ẋt = R sin t ẏt = R cost Dmit erhlten wir für die Bogenlänge st = vtdt = Rdt = Rt, t = s/r Die ntürliche Prmetrisierung ist lso xs = R cos s/r ẋs = sin s/r ẍs = 1/R cos s/r ys = R sin s/r ẏs = cos s/r ÿs = 1/R sin s/r Dmit erhält mn für die Krümmung ks = ẍs = ẍs + ÿs = 1/R Bei einem Kreis mit dem Rdius R ist die Krümmung gerde konstnt 1/R. Im llgemeinen ist 1/ks gerde der Rdius des Kreises, der m besten im Punkt xs in die Kurve pßt. Wenn wir uns eine Kurve im gnz kleinen nsehen, sieht sie us wie ein Punkt. Etws weiter entfernt sieht sie us wie eine Gerde. Wenn wir den Abstnd noch weiter vergrößern, sieht sie us wie der Teil eines Kreises. Ds sind die Approximtionen nullter, erster und zweiter Ordnung. Die Gleichung : Beschleunigung = Krümmung ergibt zusmmen mit der Newtonschen Gleichung: Krft = Beschleunigung Msse sei 1 eine Identifizierung einer nlytischen Beschleunigung ẍ, geometrischen Krümmung und physiklischen Krft Größe. Krümmung ist die Abweichung von der gerden Linie. ẍs = xs ist ein Gerdenstück. Die Formel für die Krümmung einer Funktion y = yx ist kx = y x 1 + y x 2 3 2

7.3 Definitionen 85 7.3.7 Die Fläche, die eine Kurve umschließt in 2-D Wir betrchten o.b.d.a. die Fläche die eine Kurve umschließt und in der der Nullpunkt liegt. Genu wie bei der Berechnung der Bogenlänge, ermitteln wir die Fläche ls Grenzwert einer Approximtion der Kurve durch einen Streckenzug. Es sei = t < t 1 < t 2 <... < t n = b. Die Fläche ist dnn die Fläche eines n-ecks, lso F n 1 2 n xt i 1 yt i xt i yt i 1 = n xt i 1 yt i xt i yt i 1 = n xt i 1 yt i xt i 1 yt i 1 + xt i 1 yt i 1 xt i yt i 1 = n xt i 1 yt i yt i 1 yt i 1 xt i xt i 1 xtẏt ẋtyt dt = 1 xt, ẋ t dt =: F x [, b] 2 Die Formel für ds n-eck wr nur richtig, wenn die Summe zyklisch zu verstehen wr. Ds gilt uch für ds Integrl. Die Formel stimmt nur, wenn x = xb gilt. Nur dnn ist die Kurve geschlossen und mn knn von Flächeninhlt sprechen. Der Flächinhlt hängt nicht von der Prmetrisierung b. Ds entspricht der Formel für die Fläche eines Dreiecks, gebildet us den beiden Vektoren und b. 2S =, b = b, =, b Der Flächeninhlt einer Figur ist stets ds Produkt des Rndes mit einer senkrecht dzu stehenden Größe, wenn mn usreichend frei diese Begriffe definiert. So bedeutet die beknnte Formel für den Flächeninhlt eine Dreiecks 2S = + b + cr, dß 2S ds Produkt us dem Rnd der Umfng + b + c und dem senkrecht druf stehenden Inkreisrdius r ist. 7.3.8 Zusmmenhänge Mth. äußere Welt innere Welt rechte GH innere Welt linke GH Symbol Physik Geometrie Anlysis/Algebr xt Trjektorie Bhn-Kurve Funktion f : Ê Ê n ẋt Geschwindigkeit Richtung Tngente 1. Ableitung ẋt Geschwindigkeit Betrg??? Betrg der 1. Ableitung ẍt Beschleunigung Richtung Normle 2. Ableitung ẍt Beschleunigung Betrg Krümmung Betrg der 2. Ableitung