7. 9.4 Stoffgesete Verformungsustnd Der Zusmmenhng wischen Spnnung und elstischer Verformung wird durch ds Hook sche Geset beschrieben und wurde für den einchsigen Fll bereits behndelt. Im folgenden wird ds Geset uf den mehrchsigen Fll usgeweitet. Biegung Stuchung Birkenfeld, Zimmerbchbrücke
7. Verllgemeinertes Hook sches Geset Die llg. Abhängigkeit wischen Dehnung und Spnnung lässt sich us dem Hook schen Geset für den einchsigen Fll und us dem Geset von Poisson mit Hilfe des Überlgerungssprinips (Superposition entwickeln. Die Normlspnnungen bewirken eine Dehnung in -Richtung und eine Querdehnung in - und -Richtung. s gilt und Wird nur ufgebrcht gilt nlog und und für ergibt sich und
Werden lle drei Normlspnnungen gleicheitig ufgebrcht, ergeben sich die Dehnungen des räumlichen Spnnungsustndes durch Überlgerung der ineldehnungen. Für die Dehnung in -Richtung gilt [ ( ] und entsprechend ( [ ( ] [ ] D die Dehnungen durch Überlgerung hergeleitet wurden, gelten die Gleichungen nur für isotropes, liner-elstisches Mterilverhlten und kleine Verformungen. Werden die Huptspnnungen eingesett, erhält mn die ugehörigen Huptdehnungen. 3
Auflösung der Gleichungen nch den Spnnungen liefert ds llgemeine Hook sche Geset für den räumlichen Dehnungsustnd [( ( ] ( ( [( ( ] ( ( ( ( ( ( [ ] Die Gleichungen beschreiben ds liner-elstisches Verhlten isotroper Werkstoffe für beliebige Spnnungsebenen. Bei isotropen Mteril bewirken Normlspnnungen nur Dehnungen und Schubspnnungen nur Winkeländerungen, so dss beide Spnnungsrten für sich betrchtet werden können. 4
Beispiel: Block unter dreichsiger Benspruchung Gegeben: L mm, B 7,5 mm, H 5 mm, N/mm,,3 F kn, F 3 kn, F kn Gesucht: Spnnungen, und, Dehnungen, und L H B F F F 5
Übung: Gegeben: Block unter dreichsiger Benspruchung L mm, B 7,5 mm, H 5 mm, L,4 mm, B,6 mm, H,5 mm, N/mm,,3 Gesucht: Dehnungen, und und Spnnungen, und L H B B H L 6
7. Spnnungs-Verformungs-Reltion Nch dem Hook schen Geset für Schubbenspruchung erhält mn in den einelnen benen den Zusmmenhng wischen Schubspnnung τ und Gleitwinkel γ τ τ τ τ τ γ, γ und γ G G G bw. nch den Spnnungen ufgelöst τ 9 -γ τ Gγ, τ Gγ und τ Gγ τ mit dem Schubmodul G und der Querdehnhl. Im Gegenst u den Dehnungen sind die Gleitwinkel in den einelnen benen unbhängig von einnder. Normlspnnungen hben Volumenänderungen ur Folge, Schubspnnungen bewirken Gestltänderungen. 7
8 γ γ γ τ τ τ,5,5,5 ( ( Mit der lstiitätsmtri [] ergibt sich in kompkter Form: [ ] r r Fsst mn die Spnnungen u einem Vektor und die Vererrungen u einem Vektor usmmen, lässt sich ds llgemeine Hook sche Geset in Mtritenform drstellen: r r
9 mit der Nchgiebigkeitsmtri [] - bilden Umgekehrt lssen sich die Dehnungen us τ τ τ γ γ γ ( ( ( [ ] r r Dbei ist [] - die Inverse (Kehrwert ur lstiitätsmtri [].
Für den Sonderfll des ebenen Spnnungsustndes lässt sich drus ds Hook sche Geset bleiten, wenn gesett und dmit τ τ wird. ( ( τ γ τ τ G! in ebener Spnnungsustnd bewirkt einen räumlichen Dehnungsustnd! Beispiele für den ebenen Spnnungsustnd sind Schlen, Scheiben, Behälterwände, lstfreie Oberflächen. (
Beispiel: Verformungsmessung über Messmrken Gegeben: b 8, mm, h 6, mm, b 8, mm, h 5,99 mm β 89,7,,3, 7 N/mm Gesucht: Dehnungen, und γ Spnnungen, und τ b h h β b
Übung: Dehnungen uf der Oberfläche eines Buteils Gegeben: N/mm, - N/mm und τ 9 N/mm,3, N/mm Gesucht: Dehnungen, und γ F i τ
3 Wird in Buteilen die Querdehnung teilweise oder gn behindert,. B. durch strre inspnnungen, Führungen oder Mterilwängungen, so liegt eine Dehnungsbehinderung vor, die im llgemeinen u einer rhöhung der Spnnungen führt. Wird die Dehnung in eine Richtung behindert, ergibt sich mit der ebene Dehnungsustnd: 7.3 Dehnungsbehinderung Beispiele für einen ebenen Dehnungsustnd sind Stumuern, Dichtungsringe, Kerben ( ( ( ( ( [ ] ( ( ( [ ] ( ( (! (
Wird die Querdehnung in wei Richtungen ( behindert, liegt ein einchsiger Dehnungsustnd vor: ( ( (! ( ( ( ( ( Ds Verhältnis us Längs- und Querspnnung bei vollkommener Querdehnungsbehinderung ergibt sich für Sthl mit,3 q L,3,43,3 Dehnungsbehinderungen wie sie. B im Bereich von Kerben uftreten, führen dher u größeren Spnnungen (Spnnungsüberhöhung. Beispiele für einchsigen Dehnungsustnd sind Pssungen, Bolen und Stempel. 4
Beispiel: Alublock wischen strren Wänden Gegeben: Gesucht: L 5 mm, B H 3 mm, L -, mm, 7 N/mm,,33 Dehnung und, Spnnungen und Kräfte F und F H L L B 5
Übung: Gegeben: Gesucht: Alu-Stempel in strrer Mtrie d 5 mm, F kn, 7 N/mm,,35 Spnnungen,, und Dehnung F 6
7.4 Dehnungstrnsformtion in der bene Spnnungen und Dehnungen sind über ds llgemeine Hook sche Geset miteinnder verbunden. Anlog u der Spnnungstrnsformtion lssen sich Gleichungen ur Bestimmung der Dehnungen für beliebige Schnittwinkel α entwickeln. s gilt ξ ( ( cosα sin α η ( ( cosα sin α ( sin α cosα ξη ηξ mit den hlben Gleitwinkeln γ und ξη γ ξη 7
Die Richtung der Huptdehnungen ergeben sich nlog mit tn α H mit den Dehnungsinvrinten und die ugehörigen Huptdehnungen erhält mn us, ± ( ξ const. η γ Bei homogenen, isotropen Werkstoffen stimmen die Richtungen der Huptdehnungen mit den Richtungen der Huptspnnungen überein. 8
Beispiel: Dehnungen uf der Buteiloberfläche Gegeben:,7 %,,3 % und γ,8 Gesucht: ξ, η und γ ξη für α 3 Übung: Huptdehnungen, und Huptdehnungswinkel α H 9
7.5 Dehnmeßstreifen Die eperimentelle Spnnungsermittlung erfolgt vorwiegend mittels Dehnmessstreifen (DMS. in Dehnmessstreifen besteht us einem feinen, mehrfch gewundenen Drht, der uf einem elstischen Kunststoff- oder Kermikträger ppliiert ist. Träger Lötpunkt Drht Die Verformungen n der Oberfläche eines belsteten Buteils übertrgen sich uf den Dehnmeßstreifen. Der elektrische Widerstnd des Drhtes ändert sich infolge seiner Längen- und Querschnittänderung und lässt sich mit einem Messgerät (. B. Whetston-Brücke ls Mß für die Dehnungen bestimmen.
Umwelt-Cmpus Birkenfeld Werden mehrere Dehnmessstreifen uf einem Träger ngeordnet, hndelt es sich um eine sog. DMS-Rosette. Rechtwinkel- und Delt-Rosetten können funktionell gleichwertig, ber geometrisch unterschiedlich ngeordnet werden. Bei beengten Verhältnissen lssen sich die Gitter einer Rosette uch übereinnder (gekreut nordnen.
Umwelt-Cmpus Birkenfeld Bei beknnter Huptspnnungsrichtung genügen wei voneinnder unbhängige Dehnungsmessungen ur Bestimmung der Huptspnnungen. Kennt mn die Huptrichtungen nicht, sind drei in verschiedene Richtungen ngeordnete Dehnmessstreifen erforderlich, um den Spnnungsustnd in einem Punkt u ermitteln. Mn unterscheidet: b c T-Rosetten mit wei senkrecht ueinnder stehenden Gittern b 45 -Rechtwinkel-Rosette mit drei jeweils um 45 gedrehten Gittern und c 6 -Delt-Rosette mit drei Gittern, die jedoch um 6 gedreht sind
7.5. Rechtwinkel-Dehnungsrosette Die Gleichungen ur Bestimmung der Huptdehnungen werden us den Beiehungen der Dehnungstrnsformtion bgeleitet. Die Berechnung der Spnnungen erfolgt über ds Hook sche Geset des ebenen Spnnungsustndes. b c 45 45 b c Mit α 45 folgt us b ( c ( ccos( 45 c sin( 45 ( c der Scherwinkel γ/ γ c c b c c 3
4 inseten des Scherwinkels liefert über mit den Huptdehnungsrichtungen, ± c b c c, ( ( c b b c ± c c b c c H γ α tn die Huptdehnungen Die Huptspnnungen lssen sich für den ebenen Spnnungsustnd us den gemessenen Dehnungen direkt bestimmen ±, ( ( c b b c
Beispiel: DMS uf Buteiloberfläche Gegeben: 7, -4, b,5-4, c -, -4, Gesucht: N/mm,,3 Huptdehnungen, und Winkel α H Huptspnnungen, c b 5
Die Normlspnnungen lssen sich in Richtung der senkrecht ufeinnder stehenden Achsen und c der DMS-Rosette mit den Gleichungen des ebenen Spnnungsustndes herleiten. c ( c ( c Die Schubspnnungen ergeben sich us τc Gγ c G ( b c ( b ( c mit dem Schubmodul G, dem lstiitätsmodul und der Querkontrktionshl. Diese Beiehungen werden ur Bestimmung der Ail- und Tngentilspnnungen in druckbelsteten Behältern verwendet. 6
Übung: Rechtwinkel DMS uf Behälterwnd Gegeben: 7, -4, b,5-4, c -, -4, N/mm,,3 Gesucht: Spnnungen, c, τ c, und c b 7
Umwelt-Cmpus Birkenfeld 7.5. Delt-Dehnungsrosette Die Gleichungen für die Delt-Dehnungsrosette werden ohne Herleitung b ngegeben. c 6 6 b c Die Huptdehnungen sind gegeben durch ( b ( b c ( c 3 3 und die Huptdehnungsrichtung folgen us: b c tn α H 3 b c Auch hier lssen sich die Huptspnnungen direkt ngeben:,, b c ± b c ± 3 ( b ( b c ( c 8
Beispiel: Delt-DMS uf Buteiloberfläche Gegeben:,8e-4, b,e-4, c -,4e-4 N/mm,,3 c b Gesucht: Dehnungen, und Spnnungen, 9