Gamblers Rationality in Parimutuel Soccer Betting: Strategisches Spielverhalten bei Totalisatorspielen mit nichtgleichwahrscheinlichen

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1 87 Reihe Ökonomie Economics Series Gamblers Rationality in Parimutuel Soccer Betting: Strategisches Spielverhalten bei otalisatorspielen mit nichtgleichwahrscheinlichen Spielausgängen wie oto und orwette Ursula Hauser, Ulrich König, Elizaveta Krylova

2 87 Reihe Ökonomie Economics Series Gamblers Rationality in Parimutuel Soccer Betting: Strategisches Spielverhalten bei otalisatorspielen mit nichtgleichwahrscheinlichen Spielausgängen wie oto und orwette Ursula Hauser, Ulrich König, Elizaveta Krylova October 2000 Institut für Höhere Studien (IHS), Wien Institute for Advanced Studies, Vienna

3 Contact: Ursula Hauser : +43/1/ hauser@ihs.ac.at Ulrich König Department of Economics University of Vienna : +43/1/ Ulrich.koenig@univie.ac.at Elizaveta Krylova : +43/1/ krylova@ihs.ac.at Founded in 1963 by two prominent Austrians living in exile the sociologist Paul F. Lazarsfeld and the economist Oskar Morgenstern with the financial support from the Ford Foundation, the Austrian Federal Ministry of Education and the City of Vienna, the Institute for Advanced Studies (IHS) is the first institution for postgraduate education and research in economics and the social sciences in Austria. he Economics Series presents research done at the Department of Economics and Finance and aims to share work in progress in a timely way before formal publication. As usual, authors bear full responsibility for the content of their contributions. Das Institut für Höhere Studien (IHS) wurde im Jahr 1963 von zwei prominenten Exilösterreichern dem Soziologen Paul F. Lazarsfeld und dem Ökonomen Oskar Morgenstern mit Hilfe der Ford- Stiftung, des Österreichischen Bundesministeriums für Unterricht und der Stadt Wien gegründet und ist somit die erste nachuniversitäre Lehr- und Forschungsstätte für die Sozial- und Wirtschaftswissenschaften in Österreich. Die Reihe Ökonomie bietet Einblick in die Forschungsarbeit der Abteilung für Ökonomie und Finanzwirtschaft und verfolgt das Ziel, abteilungsinterne Diskussionsbeiträge einer breiteren fachinternen Öffentlichkeit zugänglich zu machen. Die inhaltliche Verantwortung für die veröffentlichten Beiträge liegt bei den Autoren und Autorinnen.

4 Abstract A model for strategic behaviour in parimutuel gambles with unequal winning-probabilities is developed and applied to gambles based on soccer results. Assuming that the bookmakers' quotas reflect the true probability of each possible result of a soccer game, we are able to derive a formula for the expected payoff of a betting strategy (ipp). Using recent ( ) data from the Austrian games oto and orwette we are able to calculate the optimal strategies for 90 oto and orwette rounds. It turns out that given the relatively high probability of a rollover, it is optimal to overbet favourite outcomes (as compared to the probability of their occurrence). Comparing optimal with actual gamblers' behaviour we find that overbetting is even more pronounced than predicted by the model. his means that gamblers bet too frequently on relatively probable results whereas less probable results are too infrequently chosen relatively to the optimal strategy. Zusammenfassung Wir entwickeln ein Modell für strategisches Spielverhalten bei Glücksspielen nach dem otalisatorprinzip und wenden es auf die Fußballwettspiele oto und orwette an. Unter der Annahme, dass Buchmacherquoten die wahren Ausgangswahrscheinlichkeiten der betreffenden Fußballspiele reflektieren, können wir die Formel zur Berechnung des erwarteten Payoffs einer Wettstrategie (ipp) herleiten. Mit den Daten der österreichischen Spiele oto und orwette für die Jahre können wir die optimale Spielstrategie für 90 oto- bzw. orwetterunden berechnen. Das wesentliche Ergebnis dieser Untersuchung ist, dass aufgrund der hohen Wahrscheinlichkeit, dass es zu einem Jackpot kommt, die optimale Spielstrategie darin besteht, Favoriten relativ zu ihrer Gewinnwahrscheinlichkeit zu überwetten. Ein Vergleich der optimalen Spielstrategie mit dem empirisch beobachteten Spielerverhalten zeigt, dass die Favoriten sogar noch stärker überwettet werden als dies vom Modell vorhergesagt wird. Keywords Decision making under risk and uncertainty, parimutuel betting, sports, gambling Schlagwörter otalisatorwetten, angewandte Spieltheorie, Glücksspiel JEL Classifications L83, D12

5 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Rationales Spielverhalten ein einfaches Beispiel 2 3 Payo im oto 5 4 Optimale Spielstrategie im symmetrischen Gleichgewicht 8 5 Berechnung der Eintrittswahrscheinlichkeiten 9 6 Berechnung und quantitative Analyse optimaler Spielstrategien 11 7 Spezielle Probleme in der orwette Ermittlung der Auftrittswahrscheinlichkeiten Optimale Spielstrategien f r die orwette Empirische Strategiewahl von oto- und orwettespielerinnen im Vergleich zum theoretischen Modell 21 9 Detailbetrachtungen zur empirischen Strategiewahl sind systematische Prote erzielbar? Rundenselektion ippselektion Schlussfolgerungen und Diskussion 31 Literaturverzeichnis 33

6 1 Einleitung In diesem Artikel entwickeln wir ein Modell f r optimales Spielverhalten bei Sportwetten nach dem otalisatorprinzip. Sportwetten nach dem otalisatorprinzip unterscheiden sich von reinen Gl cksspielen nach demotalisatorprinzip wie z. B. Lotto in zwei Dimensionen. Erstens sind die Gewinnereignisse (eam A gewinnt/verliert gegen eam B) nicht gleich wahrscheinlich. Zweitens sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Gewinnereignisse von Runde zu Runde unterschiedlich. Das bedeutet, dass die optimale Spielstrategie jede Runde eine andere ist. Weiters bedeutet dies, dass die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes Gewinnereignisses zuerst bestimmt werden muss. In diesem Artikel untersuchen wir die beiden sterreichischen Spiele oto und orwette. Wir leiten die optimale Strategie eines Spielers in einem symmetrischen gemischten Gleichgewicht her. Ein Vergleich mit den empirischen ippverteilungen in 93 oto- und eine Reihe von orwette-runden zeigt, dass die SpielerInnen nicht die optimale Strategie w hlen. Abschlie end gehen wir der Frage nach, ob es f r einen Spieler m glich ist, durch gezielte Rundenselektion oder ippselektion systematische Prote zu erzielen. Rundenselektion bedeutet, dass nur in Runden mit hinreichend hohem Payo aufgrund eines Mehrfachjackpots gespielt wird. ippselektion bedeutet, dass ippreihen, die von den SpielerInnen relativ zur optimalen Strategie untergewichtet werden, identiziert und gezielt getippt werden. Unsere Berechnungen zeigen, dass eine Strategie der Rundenselektion, die sich auf wenige Runden mit hohem Payo beschr nkt, in der Vergangenheit einen positiven Payo gebracht h tte. Betreend die ippselektion, k nnen wir ex-post ippreihen identizieren, deren Bruttopayo ber dem Einsatz liegt. Zuletzt werden die Grenzen der Anwendbarkeit solcher Strategien kurz diskutiert. Das Spieldesign von oto und orwette Bei oto gilt es, die Ausg nge von 12 Fu ballspielen richtig vorherzusagen, wobei der Spieler zwischen drei M glichkeiten w hlen kann: eam 1 gewinnt, das Spiel endet unentschieden, eam 1verliert. Eine Vorhersage f r die 12 Spiele des Spielprogrammes wird als ipp bezeichnet. Das Gewinnereignis ist folgenderma en deniert: Alle ipps mit 12 korrekten Vorhersagen gewinnen im 1. Rang, alle ipps mit genau 11 korrekten Vorhersagen gewinnen im 2. Rang und alle ipps mit genau 10 richtigen Vorhersagen gewinnen im 3. Rang. Die H he des Gewinns eines ipps wird auf folgende Weise berechnet: Alle Wetteins tze werden gepoolt und der Anteil des Veranstalters (take-out) wird abgezogen. 50% des verbleibenden Pools werden zu gleichen eilen an die Gewinner im 1. Rang ausbezahlt. Auf die Gewinner im 2. und 3. Rang werden je 25% des Pools zu gleichen eilen aufgeteilt. Bei der orwette besteht ein ipp aus der Prognose der pr zisen Resultate, wie z.b. 2:1, von4vom Veranstalter vorgegebenen Fu ballspielen. Ein ipp gewinnt, wenn 3 oder 4 der 4 pr zisen Resultate korrekt vorhergesagt wurden. Die Gewinnh he wird analog zum oto folgenderma en berechnet: Alle Wetteins tze werden gepoolt und der Anteil des Veranstalters wird abgezogen. 60% der verbleibenden Gewinnsumme werden zu gleichen eilen an die Gewinner im 1. Rang (4 korrekte Vorhersagen) ausbezahlt, 30% an die Gewinner im 2. Rang (3 korrekte Vorhersagen). Die verbleibenden 10% werden an die Gewinner des Hattricks ausbezahlt. Der Hattrick wird dann gewonnen, wenn alle vier Spielresultate richtig prognostiziert wurden und gleichzeitig auf dem Wettschein ein ototipp mit 12 richtigen Vorhersagen vorliegt. Da dieses Gewinnereignis sehr selten eintrit, werden wir es in unserer Analyse unber cksichtigt lassen. Gibt es in einem Rang keinen einzigen Gewinner, kommt es bei beiden Spielen zu einem Jackpot. In diesem Fall wird die nicht ausgesch ttete Gewinnsumme den Gewinnern der folgenden Runde im selben Rang zugeschlagen. Daten F r die Analyse wurden uns von den sterreichischen Lotterien die Daten ber alle ipps von 166 Runden von J nner 1996 bis M rz 1999 zur Verf gung gestellt. Unsere Berechnungen beruhen somit auf 145 Mio. Einzeltipps. Zur Bestimmung der objektiven Spielausgangswahrscheinlichkeiten verwendeten wir die Gewinnquoten verschiedener sterreichischer Buchmacher, die w chentlich in der Sport Zeitung publiziert werden. F r 93 der 166 otorunden und f r 419 orwette-spiele gab es die entsprechenden Gewinnquoten der Buchmacher. Es wurden somit f r 93 otorunden die 1

7 objektiven und die optimalen Spielstrategien berechnet und mit den tats chlich gespielten ipps verglichen. Der Artikel ist folgenderma en aufgebaut: Im Abschnitt 2 f hren wir anhand eines einfachen Modells in die Problematik von otalisatorspielen mit ungleichen Spielausgangswahrscheinlichkeiten und die entsprechende Notation ein. Weiters wird das Ph nomen des rationalen berwettens der Favoriten demonstriert. Danach entwickeln wir eine Formel f r den Payo im oto, aus der dann die Formel f r die optimale Spielstrategie im symmetrischen Gleichgewicht hergeleitet wird. In Abschnitt 5 werden die objektiven Wahrscheinlichkeiten aus den Buchmacherdaten berechnet. Damit werden in Abschnitt 6 die optimalen Spielstrategien berechnet und einem Vergleich mit den objektiven Wahrscheinlichkeiten unterzogen. Eine optimale Spielstrategie ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ber alle der beim oto m glichen ippkombinationen, die sich am besten mit einer kumulierten Wahrscheinlichkeitsfunktion darstellen l t. Anschlie end werden objektive und optimale Wahrscheinlichkeiten f r einige orwette-runden berechnet. Der Vergleich mit den empirischen Spielstrategien und berlegungen zu den M glichkeiten, strategische Gewinne zu erzielen sind in den Abschnitten 8 und 9 zu nden. Eine Diskussion der Ergebnisse schlie t den Artikel ab. 2 Rationales Spielverhalten ein einfaches Beispiel Wir wollen die strategische Situation von eilnehmern einer Ausspielung nach dem otalisatorprinzip, bei der die einzelnen Spielausg nge nicht gleichwahrscheinlich sind, untersuchen. Die hier gew hlten Spiele oto und orwette sind Beispiele f r solche Spiele 1, hnliche Prinzipien gelten etwa aber auch f r(otalisator-)pferdewetten. Wir m chten ein einfaches Beispiel, welches die Charakteristika derartiger toto hnlicher Spiele verdeutlicht, an den Anfang der Betrachtungen stellen. Beispiel: Der Spielleiter zieht eine Kugel aus einer Urne, welche mit n schwarzen und m roten Kugeln gef llt ist. Es gibt zwei risikoneutrale Normalspieler (Spieler 1 bzw. 2), die je genau einen ipp abgeben. Bei der Abgabe des ipps ist ein Einsatz von einer Geldeinheit (GE) zu leisten und die Farbe der gezogenen Kugel vorherzusagen. Den Spielern ist bei der ippabgabe bekannt, wieviele schwarze bzw. rote Kugeln sich in der Urne benden, nicht jedoch, welche Farbe der andere Spieler vorhergesagt hat. Stimmt die vorhergesagte Farbe mit der Farbe der letztlich gezogenen Kugel berein, tritt der Gewinnfall ein: Jener Spieler erh lt die Gewinnquote, welche dem insgesamt geleisteten Einsatz dividiert durch die Zahl der Gewinner entspricht. Wir betrachten also ein Spiel mit einer Auszahlungsquote von 100%. Bei zwei Spielern sind in diesem Fall nur die Gewinnquoten 1GEund 2GEm glich. Falls kein Spieler die gezogene Farbe vorhersagt, gehen die geleisteten Eins tze in den Jackpot und gelten f r die Spieler als verloren. Im Spezialfall n = m reduziert sich das Beispiel auf den M nzwurf-fall, der in Boss et al. (1998) und Hauser und K nig (1999) behandelt wurde. Sei p r m=(m+n) die objektive Wahrscheinlichkeit der Ziehung einer roten Kugel und p s n=(m+n) analog die Wahrscheinlichkeit, dass eine schwarze Kugel gezogen wird. Beide Spieler 1 und 2 verf gen ber je zwei Strategien: R (Vorhersage von Rot) und S (Vorhersage von Schwarz). 1 Eine grundlegende Beschreibung der Prinzipien von otalisatorspielen sowie die Analyse des wesentlich einfacheren Falles gleicher Erfolgswahrscheinlichkeiten einzelner Spielstrategien (d.h. ipps), wie sie etwa beim Lotto 6 aus 45 vorliegen, sind Boss et al.(1998) sowie Hauser und K nig (1999) zu entnehmen. 2

8 Die Normalform des vorliegenden Spieles kann wie folgt dargestellt werden: 1 R S 2 R p r ; 1 2p r ; 1 p r ; 1 2p s ; 1 S 2p s ; 1 p s ; 1 2p r ; 1 p s ; 1 Abbildung 1: Normalform eines toto hnlichen Spiels. F r die Strategiewahl ist der Einsatz von einer Geldeinheit, der stets geleistet werden muss, unerheblich, weiters gilt p s =1; p r. Wir vereinfachen daher zu: 1 R S 2 R p r 2p r p r 2(1 ; p r ) S 2(1 ; p r ) (1 ; p r ) 2p r (1 ; p r ) Abbildung 2: Normalform mit Bruttogewinnen (Parameter p r ). Jeder der beiden Spieler w hlt seine Strategie aus einer f r beide identischen Strategiemenge (R S), wobei (R S) alle m glichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ber die Vorhersagen R und S bezeichnet. Ein Element aus (R S) kann in dem vorliegenden einfachen Fall durch eine Wahrscheinlichkeit 0 q r 1 beschrieben werden, da die Gegenwahrscheinlichkeit (1 ; q r ) genau der Wahrscheinlichkeit der Wahl von Schwarz, q s,entspricht. Der Payo von Spieler i, u i (qr 1 q2 r ) bei Wahl der Strategiekombination (qr 1 q2 r ) ergibt sich als Erwartungswert aus den Eintr gen der Normalform. Wir denieren das L sungskonzept f r obiges Spiel: 2 Denition 1. Eine Strategiekombination b q 1 r b q 2 r 2 (R S) (R S) hei t Nash-Gleichgewicht, wenn f r beide Spieler i =1 2 gilt: bq r i 2 argmax c qr i 2(R S)u i( q r ;i qr i ) (1) wobei q ;i die Strategiewahl des jeweils anderen Spielers bezeichnet. Wie schon in Hauser und K nig (1999) bemerkt, existieren im Spezialfall p r =0:5 drei Gleichgewichte, von denen zwei asymmetrische Gleichgewichte in reinen Strategien sind (beide Spieler w hlen unterschiedliche Farben mit einer Wahrscheinlichkeit von 1) und ein symmetrisches Gleichgewicht in gemischten Strategien. Symmetrische Gleichgewichte sind aufgrund des Charakters des untersuchten Spiels von besonderem Interesse. Die Payostruktur erfordert Koordination der Spieler - n mlich unterschiedliche Farbenwahl. In einem Spiel wie oto mit hunderttausenden Mitspielern und ber m glichen Ziehungsresultaten ist eine solche Koordination undenkbar. Eine Gleichgewichtsselektion in dem Sinne, dass nur symmetrische Gleichgewichte betrachtet werden, erscheint daher sinnvoll. Man ist versucht, das Resultat p r = q i r f r alle Spieler i, welches im gemischten Gleichgewicht des Spezialfalls p r = 0 5 G ltigkeit besitzt, auf den Fall q r 6= q s zu verallgemeinern. Die Intuition, dass jeder Spieler optimalerweise seine individuelle Wahrscheinlichkeitsverteilung q nach 2 Die Denition kann auf wesentlich allgemeinere F lle erweitert werden, insbesondere auf den Fall von I Spielern und n m glichen reinen Strategien. Siehe z.b. Myerson (1991). 3

9 den Ziehungswahrscheinlichkeiten p richtet, ist jedoch falsch. Wir beobachten zuerst, dass im Fall p r 2 (2=3 1) die Strategie R (Prognose der Ziehung von Rot) eine dominante Strategie f r beide Spieler ist d.h. der Payo der Wahl von R ist immer, unabh ngig von der Aktion des Mitspielers, h her. Es kann daher kein Gleichgewicht in(echt) gemischten Strategien existieren, und das einzige Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien ist durch (R R) gegeben. Entsprechendes gilt f r p r 2 (0 1=3), inwelchem Fall (S S) das einzige Gleichgewicht ist. Man beachte, dass es sich um symmetrische Gleichgewichte handelt! Weiters wird in beiden F llen trotz der atsache, dass beide Farben in der Urne vorhanden sind, von beiden Spielern die h uger vorhandene Farbe mit Wahrscheinlichkeit 1 gew hlt. Es verbleibt der Bereich p r 2 (1=3 2=3), welcher dem Fall entspricht, in der die Zahlen der roten bzw. schwarzen Kugeln in der Urne nicht zu stark voneinander abweichen. Betrachten wir exemplarisch denfall p r =0 4 (4 rote und 6 schwarze Kugeln): 1 R S 2 R 0,4 0,8 0,4 1,2 S 1,2 0,6 0,8 0,6 Abbildung 3: Spezialfall p r =0 4. Hier existiert au er den Gleichgewichten in reinen Strategien (R S) und (S R), welche Koordination erfordern, ein Gleichgewicht in gemischten Strategien. Damit ein Spieler im Optimum eine Strategie mit 0 <q r < 1 w hlt, muss der Payo f r beide reinen Strategien R und S gleich sein. Wir betrachten also zum Beispiel Spieler 2 und erhalten u 2 (R) =0 4q 1 r +0 8(1 ; q1 r )=1 2q1 r +0 6(1 ; q1 r )=u2 (S) (2) u i bezeichnet hier und im Folgenden den Payo von Spieler i. Au sen der Gleichung ergibt qr 1 =0 2, das ist jene Wahrscheinlichkeit, mit der Spieler 1 Rot vorhersagen muss, damit Spieler 2 zwischen der Wahl von Rot und Schwarz indierent ist. In der at erhalten wir qr 2 =0 2, wenn Spieler 1 betrachtet wird. Die Strategienkombination ( ) stellt also ein symmetrisches Nash- Gleichgewicht dar. F r allgemeines p r 2 (1=3 2=3) erhalten wir auf die gleiche Weise qr i =3p r ; 1 f r i =1 2. In Abbildung 4 wird das gleichgewichtige q r als Funktion von p r dargestellt ipwahrscheinlichkeit Identität Abbildung 4: ippwahrscheinlichkeit q r und Ziehungswahrscheinlichkeit p r im symmetrischen Gleich-gewicht. 4

10 Wir erkennen, dass die individuelle ippwahrscheinlichkeit nur an drei Stellen mit der objektiven Ziehungswahrscheinlichkeit bereinstimmt: bei p r =0, p r =1(triviale F lle) sowie p r =0 5. Sobald von einer Farbe mehr Kugeln in der Urne enthalten sind als von der anderen, werden die Spieler die h ugere Farbe fter vorhersagen, als dies durch die Ziehungswahrscheinlichkeit gerechtfertigt erscheint. Wir bezeichnen dieses Ph nomen als berwetten der Favoriten in einem otalisatorspiel. Wir erhalten den Payo im Gleichgewicht durch Einsetzen der optimalen Strategie q i r =3p r ;1. Da der Payo f r beide reinen Strategien und beide Spieler gleich ist,w hlen wir z.b. den Payo von Spieler 1 bei der Wahl von R, welcher q 2 r p r +(1; q 2 r )2p r betr gt. Einsetzen und umformen ergibt ;3(p r ) 2 +3p r. Die Payo-Funktion ist in Abbildung 5 dargestellt, wobei zu beachten ist, dass im Bereich p r < 1=3 bzw. p r > 2=3 reine Strategien gespielt werden, deren Payo einfach max(p r 1 ; p r ) ist Payoff( p) p Payoff Abbildung 5: Gleichgewichtspayo bei variierendem p r. Der hier dargestellte Brutto-Payo erreicht lediglich in den degenerierten F llen p r = 1 und p r = 0 (nur rote bzw. schwarze Kugeln vorhanden) die Einsatzh he von 1, obwohl die takeout Rate bei Null angesetzt wurde. Dies ist intuitiv dadurch zu begr nden, dass ansonsten die Gefahr eines Jackpots besteht, in welchem Fall die Spieler ihren Einsatz verlieren. Ein lokales Maximum liegt bei p r =0 5, da bei diesem Wert die eziente Strategie der Anwendung objektiver Ziehungswahrscheinlichkeiten bei der Bestimmung der eigenen Vorhersage auch ein Gleichgewicht darstellt. 3 Payo im oto Obiges Beispiel l sst vermuten, dass hnliche Gesetzm igkeiten die ippabgabe eines rationalen oto-(oder orwette-)spielers bestimmen. Wir treen folgende Annahme: Annahme 1. Jeder otospieler nimmt entweder nur mit einem Einzeltip an der Ausspielung teil oder w hlt mehrere Einzeltips so, als ob er nicht w sste, dass er auch andere ipps abgegeben hat. Diese Annahme wird ben tigt, um Komplikationen auszuschlie en, die dadurch entstehen, dass ein einzelner Spieler ber die abgegebenen ipps nicht vollst ndig uninformiert ist, sondern in Wirklichkeit einen kleinen eil der ipps kennt (n mlich seine eigenen). Wie schon in Hauser und K nig (1999) f r den Fall von Lotto 6 aus 45 ausgef hrt, wird eine Ausnutzung dieser Information jedoch den Payo solange nicht wesentlich beeinussen, wie der Einsatz des Einzelspielers im Vergleich zum gesamten Pool klein ist. Adaptionen w ren allenfalls bei berschreiten eines Einsatzes von AS , durch einen Spieler erforderlich. 5

11 Sei Z die Menge aller m glichen ipps (siehe dazu auch Abschnitt 5). Betrachten wir nun eine ippreihe z 2 Z, deren objektive Auftrittswahrscheinlichkeit mit p(z) gegeben ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass diese ippreihe von Spieler i gew hlt wird, sei q i (z). Wegen der Symmetrie gilt q i (z) =q j (z) q(z) f r alle Spieler i j und alle z 2 Z. Der Payo von Spieler i bei der Wahl von ippreihe z, u i (z) ist dann X;1 u i ; 1 (z) =p(z) q(z) t (1 ; q(z)) b(1 ; ;t;1 h)s1 + J 1 + t=0 P y2z ;1 p(y) P y2z ;2 p(y) P ;1 t=0 P ;1 t=0 t ; 1 t ; 1 t P y2z;1 q(y) t P y2z ;2 q(y) t t +1 1 ; P y2z ;1 q(y) ;t;1 b(1;h)s2 +J 2 t+1 1 ; P y2z ;2 q(y) ;t;1 b(1;h)s3 +J 3 t+1 wobei die Gesamtzahl der gespielten ipps in der betrachteten Runde ist. b steht f r den Einsatz pro ipp, h f r die take-out Rate des Veranstalters und s steht f r die Rangdotation. Beispielsweise gibt die Rangdotation s 1 den Anteil an der Gewinnsumme an, der an die Gewinner im 1. Rang ausbezahlt wird. Die Jackpotterme J 1 J 2 J 3 enthalten auch allf llige Sonderdotationen. Z ;1 Z denieren wir als die Menge von ippreihen, in der, verglichen mit Reihe z, genau ein Spiel falsch getippt ist. Analog sei Z ;2 Z die Menge von ippreihen, bei denen genau zwei Spiele falsch sind. Die erste Zeile der Payo-Formel bezieht sich auf den 1. Rang, d.h. den Zw lfer. b(1;h)s1 +J1 Die Zw lferquote bei t anderen Gewinnern ergibt sich zu, und die Zufallsvariable t+1 Zahl der anderen Gewinner folgt einer Binomialverteilung mit Parametern ; 1 und q(z). Durch Multiplikation mit der Auftrittswahrscheinlichkeit von ippreihe z, p(z), erh lt man den erwarteten Ergebnisbeitrag aus der M glichkeit eines Zw lfergewinns. Analog wird mit Elfer und Zehner (zweite und dritte Zeile) verfahren. Zwecks Vereinfachung der Payo-Formel k nnen wir hnlich wie in Boss et al. (1998), S.54/55, die Binomialverteilung durch diepoissonverteilung approximieren und erhalten nach Herausheben und Zusammenfassen von ermen f r den Ergebnisbeitrag des Zw lfers u 12 : u i 12 (z) =p(z)e;(q(z)( ;1)) (b(1 ; h)s 1 + J 1 ) X;1 t=0 (q(z)( ; 1)) t (t + 1)! F r gro es, wie es bei oto gegeben ist, k nnen wir nicht nur ;1 = setzen (Vernachl ssigung des Eekts des eigenen ipps), sondern auch den Grenzwert X;1 (q(z)( ; 1)) t lim = e (q(z)( ;1)) ; 1 (4)!1 (t + 1)! t=0 + (3) zur weiteren Vereinfachung einsetzen, sodass wir f r den Zw lferbeitrag schlie lich u i 12 (z) = p(z) q(z) 1 ; e ;q(z) b(1 ; h)s 1 + J 1 (5) erhalten. Mit Elfer- P P und Zehnerbeitrag wird genauso verfahren. Wir schreiben p(z ;r ) y2z ;r p(y) bzw. q(z ;r ) y2z ;r q(y) f r r =1 2 zur Verk rzung. Somit: u i p(z) (z) = q(z) (1 ; e;q(z) ) b(1 ; h)s 1 + J 1 + p(z;1 ) q(z ;1 ) (1 ; e;q(z;1) ) b(1 ; h)s 2 + J 2 + p(z;2 ) q(z ;2 ) (1 ; e;q(z;2) ) b(1 ; h)s 3 + J 3 (6) 6

12 Diese Formel besitzt eine einleuchtende Interpretation. Die Ausdr cke aufder rechten Seite entsprechen der Rangdotation pro ipp f r die R nge 1 bis 3. W re p() = q(), d.h. die Wahrscheinlichkeit der Auswahl bestimmter ippreihen entspr che ihrer Auftrittswahrscheinlichkeit, ergibt sich der Payo aus der Summe der Rangdotationen pro ipp abz glich eines f r jeden Rang zu berechnenden Jackpotgefahrfaktors e ;q(z). Dieser erm spiegelt die Gefahr wieder, dass die Rangdotation in der gegebenen Runde wegen eines Jackpots gar nicht zur Auszahlung kommt. In einem symmetrischen Gleichgewicht ist die M glichkeit eines Jackpots immer gegeben. Jackpots aus Vorrunden erh hen den Payo, die M glichkeit des Auftretens von Jackpots in der gegebenen Runde verringern ihn (im Erwartungswert). Man beachte jedoch, dass der Jackpot-gefahrfaktor f r steigendes q(z) gegen Null geht. Zur Verdeutlichung k nnen wir das Farbenspiel aus unserem Beispiel mit der Modikation betrachten, dass es nicht zwei, sondern etwa tausend Spieler gibt. F r den Fall q(r) =q(s) =0 5 etwa w re dann e ;q(r) = e ;q(s) =7 1(10 ;218 ), also f r alle praktischen Zwecke gleich Null. Umgekehrt erg be sich f r ein Spiel wie oto mit einem typischen q(z) =(1=500000) und (nur) 1000 Spielern ein Faktor von e ;(1=500) = In einem solchen Fall w re die Jackpotgefahr so gro, dass das Spiel selbst bei einer niedrigen take-out Rate oder hohen akkumulierten Jackpots aus Vorrunden unattraktiv sein kann. Auf diese Problematik werden wir im Rahmen der Besprechung der orwette noch zur ckkommen. Wir werden die erme J 2 und J 3 gleich Null setzen, da (mit einer Ausnahme) im Betrachtungszeitraum lediglich Jackpots im Zw lfer vorkamen. Konsequenterweise setzen wir die Jackpotgefahr-Faktoren f r den zweiten und dritten Rang ebenfalls auf Null. Da q(z ;1 ) wesentlich gr er als q(z) ist, wird der Faktor f r den Elfer (bei konstantem ) bereits sehr klein sein. F r den Zehner liegt der Faktor praktisch bei Null. Um eine weitere rechentechnische Schwierigkeit zu beseitigen, f hren wir eine zus tzliche Annahme ein: Annahme 2. Wir setzen p(z;1) q(z ;1) = p(z;2) q(z ;2) = p(z) q(z). Obige Annahme ist jedenfalls dann gerechtfertigt, wenn die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer ippreihe, die hnlich zu z ist, sich von der Wahrscheinlichkeit des Auftretens von z nur geringf gig unterscheidet. Dabei w ren zwei ippreihen hnlich, wenn sie sich in maximal zwei Positionen unterscheiden. W ren die Wahrscheinlichkeiten gleich, w rden wir erhalten p(z ;1 )=#Z ;1 p(z) bzw. q(z ;1 )=#Z ;1 q(z) (7) q(z ;2 )=#Z ;2 p(z) bzw. q(z ;2 )=#Z ;2 q(z) (8) Hier gibt #Z ;r die M chtigkeit der Menge Z ;r an. Da es zw lf Spiele gibt, die m glicherweise falsch getippt werden k nnen, und zweim glichkeiten eines falschen ipps pro Spiel, ergibt sich #Z ;1 = ImFalle des Zehners gibt es =66M glichkeiten, zwei falsche ipps abzugeben, und 2 insgesamt 4 falsche ipps (z.b., wenn der korrekte ipp in den beiden Spielen 1 und X lautet, so sind die vier falschen ipps, welche zu einem Zehner f hren, X/1, X/2, 2/1 und 2/2). Damit ist #Z ;2 = 264. Diese Faktoren w rden sich im Verh ltnis p(z;r) q(z ;r) nicht niederschlagen, da sie sich herausk rzen. Die Gleichungen (7) und (8) sind jedoch keine notwendige Voraussetzung daf r, dass Annahme 2 zumindest n herungsweise erf llt ist. Bei G ltigkeit von Annahme 2 und Vernachl ssigung der Jackpotgefahr-Faktoren f r den zweiten und dritten Rang erhalten wir als Payo u i (z) = p(z) q(z) (1 ; e;q(z) ) b(1 ; h)s 1 + J 1 + p(z) q(z) (b(1 ; h)s 2)+ p(z) q(z) (b(1 ; h)s 3) (9) oder u i (z) = p(z) b(1 ; h) + J 1 ; p(z) b(1 ; h)s 1 + J 1 e ;q(z) (10) q(z) q(z) Es ist zu sehen, dass nun nur mehr der aus der Dotation des ersten Ranges stammende Payo-Anteil durch den Jackpotgefahr-Faktor geschm lert wird. 7

13 4 Optimale Spielstrategie im symmetrischen Gleichgewicht Nachdem wir die Payo-Funktion f r oto ermittelt haben, wenden wir uns nun der Ermittlung der optimalen q i (z) zu. Genau so wie in dem eingangs beschriebenen Beispiel muss in einem echt gemischten symmetrischen Gleichgewicht f r jeden Spieler gelten, dass der Payo jeder ippreihe gleich ist (ansonsten w re q i (z 0 )=0f r alle z 0 mit z 0 < max Z fzg). Hier muss also f r beliebige z z 0 gelten: p(z) q(z) b(1 ; h) + J 1 p(z 0 ) q(z 0 ) ; p(z) q(z) b(1 ; h) + J 1 ; p(z0 ) q(z 0 ) b(1 ; h)s 1 + J 1 b(1 ; h)s 1 + J 1 e ;q(z) = e ;q(z0 ) wobei q(z) bzw. q(z 0 ) die Unbekannten sind. Im Beispiel am Anfang dieses Abschnittes haben wir gesehen, dass auch der Fall q(z) =0f r bestimmte z ein symmetrisches Gleichgewicht darstellen kann. Dieser Fall tritt ein, wenn f r die Gleichung u i (z) =u i (z 0 ) keine L sung mit q(z) > 0 q(z 0 ) > 0 existiert. Eine derartige Randl sung ist nat rlich auchimfall von oto m glich. Mit der hier verwendeten Payo-Funktion l t er sich allerdings nicht identizieren, da (11) lim u i (z)!1 (12) q(z)!0 Dieses unbefriedigende Resultat ist eine Folge der zahlreichen Approximationen, die erforderlich waren, um die numerische Berechnung von q(z) f r ein Spiel mit #Z > 500:000 erst zu erm glichen. 3 Wir m ssen uns daher auf echt gemischte Gleichgewichte beschr nken. Mit (11) werden #Z ; 1 = 531:440 Gleichungen zur Bestimmung der unbekannten Werte von q(z) z 2 Z deniert. Die ste Gleichung, welche das System vervollst ndigt, lautet X z2z q(z) =1 (13) da es sich um Wahrscheinlichkeiten handelt. Dieses System von nichtlinearen Gleichungen d rfte wegen (12) eine L sung mit q(z) > 0 8z 2 Z besitzen. Bevor wir zur tats chlichen Berechnung von q(z) gelangen, sind einige qualitative Aussagen notwendig. Satz 1. (Erhalt der Ordnung) Im gemischten symmetrischen Gleichgewicht eines durch (b h s 1 J 1 p Z) beschriebenen otospiels gilt f r die Strategiewahl q(:): (a) Wenn p(y) p(y 0 ), y y 0 2 Z, soq(y) q(y 0 ). (b) Wenn p(y) =p(y 0 ), dann und nur dann q(y) =q(y 0 ). Beweis: Sei P 1 b(1 ; h)s 1 + J 1 jener eil des Pools, welcher in den 1. Rang ie t und P ;1 b(1 ; h)(1 ; s 1 ) der Rest, welcher den R ngen 2 und 3 zugute kommt. F r alle z 2 Z gilt nun P ;1 P q(z) + 1 q(z) (1 ; e;q(z) )= const p(z) Aus (14) folgt sofort die eine Richtung von (b). Man betrachte y und y 0 mit p(y) p(y 0 ). Da die rechte Seite von (14) beim bergang von y auf y 0 nicht f llt, kann auch die linke Seite nicht fallen. Sei q(y) <q(y 0 ). Da dann jedenfalls gilt P;1 q(y) > P;1 q(y 0 ),m te auch P1 q(y) (1 ; e;q(y) ) < 3 Erstens m te bei fallender Wahrscheinlichkeit q die Zahl der ipps gegen unendlich gehen, um die Approximation der Binomialverteilung durch die Poissonverteilung zu erlauben. Zweitens wird durch das Weglassen der Jackpotgefahr-Faktoren ein Fehler eingef hrt, der f r sehr unwahrscheinliche ippreihen gr er wird. Da dies nur f r Reihen, welche hinreichend unwahrscheinlich sind, sodass selbst ein Elferjackpot (bzw. Zehnerjackpot) generiert wird, eine Rolle spielt, wird der empirisch festgestellte relevante Bereich davon nicht ber hrt. (14) 8

14 P 1 q(y 0 ) (1 ; e;q(y0 ) ) gelten, damit die Gleichung g ltig bleibt. Betrachten wir die dierenzierbare Funktion f (x) = a x (1 ; e;x ) (15) Wir zeigen, dass f (x) > 0 im ganzen Bereich x>0 monoton f llt. Sei g(x) =ln(x) und h(x) g(f (x)). Dann und h(x) ln(f (x)) = ln(a) ; ln(x) +ln(1 ; e ;x ) (16) e;x h 0 (x) =; 1 x + 1 ; e ;x (17) Aufgrund der Kettenregel gilt h 0 (x) =g 0 (f 0 (x)) bzw. h 0 (x) = f 0 (x) f. Somit (x) f 0 1x e;x (x) =f (x) ; + 1 ; e ;x (18) Wenn x< 1;e;x e so ist f 0 (x) negativ. Dies gilt aber da x<(e x ; 1). Daf (x) also monoton f llt, ;x kann f (q(y)) <f(q(y 0 )) f r q(y) <q(y 0 ) nicht gelten, was Aussage (a) beweist. Ebenso folgt aus der strikten Monotonie der linken Seite von (18), dass, falls p(y) 6= p(y 0 ),soistq(y) 6= q(y 0 ),was die zweite Richtung von (b) beweist. Satz 2. ( berwetten von Favoriten) Unter den gleichen Voraussetzungen wie in Satz 1 gilt: Wenn p(y) >p(y 0 ), dann und nur dann p(y) q(y) < p(y0 ) q(y. 0 ) Beweis: Sei P der gesamte Pool. Es gilt f r alle z 2 Z: p(z) q(z) P ; P 1 e;q(z) = const (19) Aus der Kombination von Aussagen (a) und (b) aus Satz 1 folgt p(y) > p(y 0 )! q(y) > q(y 0 ). Daher wird der Klammerausdruck aus (19) beim bergang von y auf y 0 kleiner, weswegen p(y) q(y) < zwingend ist. Die Umkehrung l t sich durch Vertauschen von y und y0 verizieren wenn p(y 0 ) q(y 0 ) p(y) =p(y 0 ), so auch p(y) q(y) = p(y0 ) q(y wegen Satz 1 (b). 0 ) Mit steigender objektiver Wahrscheinlichkeit einer ippreihe wird diese also berproportional st rker gewettet. Wenn also Aussagen ber Anomalien im Spielerverhalten gemacht werden (etwa: es wird h uger auf Heimsiege gewettet, als dies durch die Auftrittsh ugkeit von Heimsiegen gerechtfertigt erscheint), muss dieser Aspekt stets beachtet werden, solange ein otalisatorspiel mit nicht vernachl ssigbarer Jackpotwahrscheinlichkeit betrachtet wird. Aus (19) ist auch ersichtlich, dass das Ph nomen des berwettens von Favoriten umso st rker wird, je niedriger die Beteiligung an dem Spiel ( ) ist h her der Anteil des Pools ist, welcher auf R nge entf llt, in denen h ug Jackpots entstehen. Inwieweit sich diese Ergebnisse in den Daten zu oto und orwette widerspiegeln, wird in Abschnitt 8 beleuchtet. Wir kommen nun zur numerischen Berechnung der Werte f r q(z). 5 Berechnung der Eintrittswahrscheinlichkeiten Wir gehen davon aus, dass es f r jedes im Programm enthaltene Fu ballspiel eine objektive Wahrscheinlichkeitsverteilung ber die Ausg nge gibt, die jedem eilnehmer bekannt ist und die 9

15 Grundlage der Strategiewahl bildet. Diese Wahrscheinlichkeiten sollen mit pe m (y) bezeichnet werden, wobei y ein Element der Menge aller m glichen Resultate Y ist 4 und m 2f1 2 ::: 12g 5 die Programmzahl des Spieles angibt. Spieler A aus dem obigen Beispiel w rde in diesem Sinne Rapid gegen Austria als Ziehung einer Kugel aus einer Urne mit 10 Kugeln, von denen 5 mit 1, 2 mit X und 3 mit 2 beschriftet sind, betrachten. Diese Vorstellung k nnte man mit Recht auchals Lottomodell bezeichnen, da der einzige wesentliche Unterschied zum Lotto darin besteht, dass die einzelnen Ausg nge nicht notwendigerweise gleichwahrscheinlich sind. Sei nun Z die Menge aller m glichen ipps, sodass etwa (1 1 2 X X X 1) oder allgemein z =(z 1 z 2 ::: z 12 ) ein Element von Z ist und z m 2 Y f r m = f1 2 ::: 12g. Z hat, wie zuvor bemerkt, eine M chtigkeit von #Z =531:441, aber die Auftrittswahrscheinlichkeiten der einzelnen Elemente sind im Unterschied zum Lotto nicht gleich. Gegeben die Wahrscheinlichkeiten pe m f r alle m lassen sich die ippreihenwahrscheinlichkeiten, also die objektive Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte ippreihe z auch tats chlich auftritt, p(z) leicht bestimmen. Da die Ausg nge der einzelnen Spiele voneinander unabh ngig sind, gilt der Multiplikationssatz: p(z) = 12Y m=1 pe m (z m ) (20) Analoges gilt f r die orwette. Das Problem reduziert sich also darauf, Daten ber die Spielausgangswahrscheinlichkeiten pe m zu erhalten. In sterreich besteht wie in vielen anderen Staaten die M glichkeit, Wetten auf den Ausgang von Fu ballspielen bei privaten Firmen, die als Buchmacher bezeichnet werden, zu platzieren. Vom Wettgegenstand her steht dieses Gewerbe, das in den letzten zehn Jahren einen starken Aufschwung erlebt hat, daher in direkter Konkurrenz zum oto. Die technische Durchf hrung der Ausspielung ist allerdings eine v llig andere. Da es m glich ist, auf beliebige einzelne Spiele aus einem breiten Programm zu wetten, ist das otalisatorprinzip schlecht anzuwenden. Die Wetten sind daher Fixquotenspiele, womit der Buchmacher ein zus tzliches Risiko zu tragen hat. Der Buchmacher erstellt also ein Wettprogramm, in dem erfahrungsgem popul re Fu ballspiele enthalten sind. Jedes wettbare Spiel erh lt Quoten, also beispielsweise Austria - Rapid Die erste Zahl bezieht sich auf den Ausgang 1, hier also ein Sieg von Austria. Der Wetter erh lt AS 270 f r einen Einsatz von AS 100. Jeder Einsatz von t Schilling gewinnt also einen Betrag von 270t=100 Schilling, wobei typischerweise nur Vielfache von AS 50 oder AS 100 zul ssig sind. Analog gilt die Quote 280 f r den Ausgang X (Unentschieden) und die Quote 210 f r 2 (Sieg Rapid). Im gegebenen Beispiel ist sofort ersichtlich, dass es sich, wie zu erwarten, um eine unfaire Wette in dem Sinne handelt, dass eine gewinnbringende Strategie unm glich ist, falls dem Buchmacher die tats chlichen Spielausgangswahrscheinlichkeiten bekannt sind und er diese bei der Quotenfestsetzung verwendet. Wir interessieren uns nun f r die take-out Rate. Darunter verstehen wir den Anteil der insgesamt gewetteten Summe, welcher von der Gesamtheit der Wetter im Erwartungswert verloren wird, falls den Quoten korrekte Spielausgangswahrscheinlichkeiten zugrunde liegen. Gegeben Spielausgangswahrscheinlichkeiten pe(y) m ssen faire Quoten FQ(y) folgende Bedingung erf llen: FQ(y) = pe(y) (21) Unter fairen Quoten werden solche verstanden, bei denen die take-out Rate h gleich Null ist. Entsprechend sind unfaire Quoten UQ(y) zu der take-out Rate h mit UQ(y) =(1; h)100 1 pe(y) (22) 4 Im Fall von oto gilt Y = f1 2 Xg, bei orwette w re Y = f0 :0 1:0 ::: +:+g. +steht f r mehr als 4 ore. 5 orwette: m 2f g. 10

16 beschrieben. Da y bei der einfachen Fu ballwette die Werte 1, X und 2 annehmen kann, liegen uns somit 3 Gleichungen in 4 Unbekannten vor. Allerdings gilt ausserdem X y2y da es sich bei den pe(y) um Wahrscheinlichkeiten handelt. Durch Substitution ergibt sich pe(y) =1 (23) bzw. 100(1 ; h) 100(1 ; h) 100(1 ; h) + + =1 (24) UQ(1) UQ(X) UQ(2) (1 ; h) = 100 UQ(1) UQ(X) ;1 (25) UQ(2) sodass sich etwa f r obiges Beispiel (1 ; h) =0 831 ergibt. ber die Beziehungen 100(1 ; h) = pe(y) (26) UQ(y) ergeben sich Wahrscheinlichkeiten von 0,308 f r Sieg Austria, 0,297 f r Unentschieden und 0,396 f r Sieg Rapid (Summe 1,001 durch Rundungsdierenz). Die so ermittelten Wahrscheinlichkeiten werden in unserer Analyse als die tats chlichen Ausgangswahrscheinlichkeiten der im otoprogramm gelisteten Fu ballspiele verwendet und als objektive Wahrscheinlichkeiten bezeichnet. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass jede Abweichung der verwendeten von den tats chlichen Wahrscheinlichkeiten zu einer Reduktion des erwarteten Prots des Buchmachers f hrt. Da also ein vitales Interesse an der korrekten Einsch tzung der Mannschaftsst rken besteht, kann davon ausgegangen werden, dass die Buchmacher Investitionen in die Informationsbeschaung t tigen und die verwendeten Wahrscheinlichkeiten somit hinreichend akkurat sind, obwohl trotzdem betont werden muss, dass es sich nicht um objektive Wahrscheinlichkeiten im strengen Sinn handelt. 6 Berechnung und quantitative Analyse optimaler Spielstrategien Gleichungssystem (11) ist analytisch nicht ohne weiteres l sbar. Die Werte f r q(z) m ssen daher in jedem einzelnen Fall numerisch approximiert werden. Die verwendeten Daten sind b (Einsatz pro ipp), h (ake-out Rate), J 1 (vorgetragener Jackpot oder Sonderaktion im ersten Rang), (Zahl der abgegebenen ippreihen) und p(z) (Wahrscheinlichkeitsverteilung). b und h sind im Sample konstant und bed rfen keines weiteren Kommentars. J 1 und sind ebenso leicht aus den Daten der Gewinnermittlung f r jede Runde zu ermitteln. p(z) wird wie im vorherigen Abschnitt beschrieben aus Buchmacherquoten errechnet. Obwohl die Berechnung von p(z) trivial ist, handelt es sich dennoch f r jede Runde um ber Werte, wir ben tigen also aggregierte Ma zahlen zur Kurzbeschreibung. Eine in diesem Zusammenhang besonders wichtige Eigenschaft der Verteilung von p(z) ist ihre Konzentration. Die Konzentration eines Merkmaltr gers kann grasch durch die Lorenz-Kurve veranschaulichtwerden. Die Lorenz-Kurve wird folgenderma en konstruiert: Auf der Abszisse werden die einzelnen ippm glichkeiten z 2 Z, aufsteigend nach ihrer Auftrittswahrscheinlichkeit p(z) geordnet, aufgetragen, wobei die L nge des Diagramms auf 1 normalisiert wird. Auf der Ordinate wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit aufgetragen, d.h. ein Punkt (x y) liegt genau dann auf der Lorenz-Kurve, wenn gilt y = P z:p(z)p(x) p(z). Wegen der Anordnung der ippreihen auf der x-achse verl uft die Lorenz-Kurve stetsunterhalb der 45-Grad-Geraden. Die Extremf lle sind (i) ein Zusammenfallen mit der 45-Grad-Gerade 11

17 (Gleichverteilung, minimale Konzentration) und (ii) ein Zusammenfallen mit der x-achse (vollst ndige Ungleichverteilung, maximale Konzentration). Konzentrationsma e sind in unserem Zusammenhang von besonderer Bedeutung, weil wir davon ausgehen k nnen, dass das Ausma der Abweichung im Verhalten der Spieler von den Auftrittswahrscheinlichkeiten p(z) in einem (im relevanten Bereich) positiven Zusammenhang mit der Konzentration des betrachteten Spiels steht. Beispielsweise ist Lotto 6 aus 45 per denitionem ein minimal konzentriertes Spiel, da die Auftrittswahrscheinlichkeiten der einzelnen Zahlenkombinationen gleich sind. F r diesen Fall wurde schon in Hauser und K nig (1999) gezeigt, dass die gleichgewichtigen Strategien den Auftrittswahrscheinlichkeiten entsprechen. Ein maximal konzentriertes Spiel ist degeneriert, da genau eine Vorhersage die Wahrscheinlichkeit 1 h tte und alle anderen unm glich w ren. oto und orwette liegen zwischen diesen Extremf llen es gibt ippreihen die wahrscheinlicher sind als andere, keine weist jedoch eine Wahrscheinlichkeit von Null auf. In Abbildung 6 wird die Lorenzkurve f r eine otorunde dargestellt..0 Runde objektive Wahrscheinlichkeit Abbildung 6: Lorenz-Kurve f r oto, otorunde vom Die Fl che zwischen der 45-Grad-Kurve und der Lorenz-Kurve ist ein Ma stab f r das Ausma der Konzentration des betrachteten Spiels. Die Fl che unterhalb der Lorenz-Kurve l tsich mit F ; = 1 k(0) + k(1) k(1) + k(2) + + :::+ #Z 2 2 k(#z ; 1) + k(#z) 1 #Z 2 X#Z z=1 k(z) ; 1 2 P berechnen, wobei k(x) = z:p(z)p(x) p(z) die kumulierte Wahrscheinlichkeit bis ippreihe x angibt (k(0) wird als Null deniert k(#z) = 1). Die Fl che zwischen der 45-Grad-Kurve und Lorenz-Kurve ist dann =! (27) F + = 1 2 ; F ; (28) Wenn wir diese Ma zahl so normieren, dass f r maximale Konzentration der Wert 1 und f r minimale Konzentration der Wert 0 angenommen wird, erhalten wir das Konzentrationsma nach 12

18 Lorenz-M nzner p : p = F + 2#Z #Z ; 1 Diese Werte sind in Abbildung 7 f r die untersuchten otorunden zusammengestellt: (29) 0,900 0,800 0,700 Konzentration 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 Runden Abbildung 7: Lorenz-M nzner Konzentrationsma e f r diverse otorunden. Wir erkennen, dass oto keineswegs eine Ausspielung mit konstanter Konzentration ist. Zwar ist davon auszugehen, dass sich der Veranstalter bem ht, Spiele, deren Ausg nge m glichst gleiche Wahrscheinlichkeiten aufweisen, ins Programm aufzunehmen, 6 jedoch gelingt dies oenbar nicht immer im gleichen Ausma. Dies ist auf zwei Ursachen zur ckzuf hren: Erstens kommt es gelegentlich zu einem saisonal bedingten Mangel an Fu ballspielen, wobei vor allem die Sommerpause in den in- und ausl ndischen Ligen zu erw hnen ist. Die beiden Spitzen in obiger Grak ( und zwei weitere Juliwochen 1996 sowie und weitere aus Juli 1997) mit Konzentrationswerten von mehr als 0,8 stammen aus Runden in denen ausschlie lich Intertoto-Spiele das Programm bildeten. Aufgrund des relativen Mangels wurden hier selbst Paarungen aufgenommen, in denen ein Spielausgang eine Wahrscheinlichkeit von mehr als 75% aufwies (Buchmacherquote 110 f r 100). Zweitens ist oenbar die Bereitschaft vorhanden, auch Spiele von Mannschaften ungleicher St rke aufzunehmen, falls diese Begegnungen besonders attraktiv erscheinen (z.b. sterreichische Bundesliga). Ausgeglichene Spielprogramme kommen vor allem in Zeiten vor, in denen in sterreich kein Fu ball gespielt wird, im Ausland aber ein ausreichendes Angebot besteht. Ausgehend von p(z) und den restlichen Daten berechnen wir die optimalen Gewichte q(z) durch numerische Approximation. Das Hauptproblem bei der Au sung des Gleichungssystems (11-13) liegt darin, dass die unbekannten q(z) auch in den Exponenten, d.h. in den Ausdr cken e ;q(z) auftreten. Wir f hren daher Wahrscheinlichkeitsverteilungen ~q i (z) ein, wobei ~q 0 (z) p(z) f r alle z. Bei Iterationsschritt i ist nun folgendes Gleichungssystem zu betrachten (8z z 0 2 Z): p(z) ~q i (z) b(1 ; h) + J 1 p(z 0 ) ~q i (z 0 ) ; p(z) ~q i (z) b(1 ; h) + J 1 Wir xieren ein z 2Z und erhalten ; p(z0 ) ~q i (z 0 ) b(1 ; h)s 1 + J 1 b(1 ; h)s 1 + J 1 e ;~qi;1(z) = e ;~qi;1(z0 ) (30) ~q i (z) ;1 f (~q i;1 (z)) = ~q i (z) ;1 f (~q i;1 (z)) 8z (31) 6 Man beobachtet etwa, dass Spiele des abellenersten gegen den abellenletzten allenfalls dann Aufnahme ins otoprogramm nden, wenn die vermeintlich st rkere Mannschaft ausw rts antritt. 13

19 wobei f ((~q i;1 (z)) = p(z) b(1 ; h) + J 1 ; b(1 ; h)s 1 + J 1 e ;~qi;1(z) (32) Bei jedem Iterationsschritt i ist ~q i;1 (z) bereits bekannt und wir k nnen somit relative Wahrscheinlichkeiten ermitteln. Unter Ausnutzung von P z2z ~q i;1(z) =1erhalten wir die Vorschrift f r die Iteration ~q i (z) = f (~qi;1(z)) f (~qi;1(z)) P z2z f (~qi;1(z)) f (~qi;1(z)) (33) Es sollte nun gelten lim i!1 ~q i(z)! q(z) (34) und in der at konvergiert der Prozess f r die betrachteten F lle relativ rasch (< 20 Iterationen), was durch Vergleich der Werte von u(z) sofort berpr fbar ist. Die resultierende optimale Wahrscheinlichkeitsverteilung q(z) kann analog zu p(z) veranschaulicht und mit dieser verglichen werden..0 Runde objektive W. optimale W. Abbildung 8: Lorenz-Kurven der objektiven und optimalen Wahrscheinlichkeiten, otorunde vom In Abbildung 8 erkennen wir deutlich den Eekt des rationalen berwettens der Favoriten. ippreihen mit geringer Auftrittswahrscheinlichkeit sollten von den Spielern untergewichtet werden. Man beachte, dass die gleichzeitige Darstellung in einem Diagramm kein Problem darstellt, weil durch Satz 1 der Erhalt der Ordnung (Reihenfolge der ippreihen auf der x-achse) sichergestellt ist. 14

20 Um zu zeigen, dass rationales berwetten nicht auf diese eine Runde beschr nkt ist, berechnen wir f r jede Runde das Lorenz-M nzner Konzentrationsma bez glich q(z) (welches als q bezeichnet wird) und vergleichen es mit dem entsprechenden p (Abbildung 9). 0,9 0,8 0,7 optimal 0,6 0,5 0,4 0,3 0,30 0,50 0,70 0,90 objektiv Abbildung 9: Beziehung zwischen q (optimal) und p (objektiv) (93 otorunden). Wiederum sehen wir, dass q in jeder Runde h her als p war, d.h. die Konzentration der q-verteilung ist h her als die der p-verteilung. Wie der relativ konstante Abstand zur 45-Grad- Kurve zeigt, ist die Dierenz der beiden Werte nahezu unabh ngig von p. Das wiederum impliziert, dass diese Dierenz, gemessen in Prozent der Rest che ( 100(q;p) ) mit der Konzentration der 1;p betrachteten Runde steigt. Dieser Zusammenhang wird in Abbildung 10 dargestellt. Zuwachs Konzentration (% der Restfläche) 30,0% 25,0% 20,0% 15,0% 10,0% 5,0% 0,0% 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 Konzentration (objektiv) Abbildung 10: H here Konzentration bewirkt relativ st rkeres Favoriten- berwetten. Der Grund f r die Abweichungen von der rendlinie liegt darin, dass das Ausma des berwettens auch von anderen rundenspezischen Faktoren abh ngt, insbesondere von der Zahl der 15

21 abgegebenen ipps. Je gr er der Pool wird, desto geringer wird auch die Jackpotgefahr, und daher kommt es zu einer rationalen berbetonung von ippreihen mit hoher Wahrscheinlichkeit. So lag die relative Dierenz in der Runde vom 17. M rz 1996 lediglich bei 3,6%, w hrend bei anderen hnlich konzentrierten Runden 10% typisch sind. Daf r war ein Doppeljackpot verantwortlich, der zu einer un blich hohen Zahl von abgegebenen ipps f hrte. In einer alternativen Darstellung wird der Unterschied zwischen p(z) und q(z) noch klarer. In Abbildung 11 wird q(z)=p(z) gegen das aufsteigend nach Wahrscheinlichkeiten geordnete z abgetragen..2.1 Runde q(z)/p(z) r* Abbildung 11: Verh ltnis q(z)=p(z), geordnet nach Auftrittswahrscheinlichkeiten, otorunde vom Alle ippreihen, welche mit geringerer Wahrscheinlichkeit auftreten als r, werden untergewichtet. Die unwahrscheinlichsten ippreihen werden im Gleichgewicht nur etwas mehr als halb so oft gespielt, wie dies aufgrund ihrer objektiven Wahrscheinlichkeit erwartet werden k nnte. Dagegen werden im Gleichgewicht diewahrscheinlichsten ippreihen um mehr als 30% h uger gespielt. 7 Spezielle Probleme in der orwette Wir wollen die orwette nach denselben Prinzipien wie oto abhandeln, sto en dabei jedoch auf eine Reihe von Problemen. Diese umfassen im wesentlichen: 1. Jackpots im zweiten Rang sind m glich. W hrend im oto ein Jackpot im Elferrang oder gar im Zehnerrang eher eine theoretische M glichkeit ist, treten in der orwette Jackpots im zweiten Rang (3 richtige Spiele) h uger auf - in insgesamt 516 Runden von 1989 bis mal (4,2%). Da die Beteiligung an der orwette eine sinkende endenz aufweist, steigt auch hier die Bedeutung der Jackpots. Es erscheint daher erforderlich, den Jackpotgefahr-Faktor in der Payo-Funktion auch im zweiten Rang zu erhalten. 2. Behandlung des Hattricks 7 Notwendigkeit der Abgabe zumindest eines ototipps als eilnahmevoraussetzung. 3. Ermittlung der Auftrittswahrscheinlichkeiten p(z). 4. Randl sungen bei der Ermittlung der optimalen q(z). 7 Die Problematik des Hattricks wird in Hauser et al genauer untersucht. 16

22 7.1 Ermittlung der Auftrittswahrscheinlichkeiten Im Fall von oto wurden Buchmacherquoten zur Ermittlung der objektiven Eintrittswahrscheinlichkeiten von ippreihen herangezogen. Um dies auch bei der orwette durchf hren zu k nnen, w rden entsprechende Quoten f r Wetten auf exakte Resultate bei Fu ballspielen ben tigt. Bedauerlicherweise liegen uns derartige Daten nicht vor. Wir verf gen lediglich ber einige wenige Quotentabellen f r Resultatswetten, auf die wir uns jedoch nicht verlassen wollen. Wir haben daher die empirischen H ugkeiten des Auftretens bestimmter Resultate betrachtet. Diese werden f r insgesamt Fu ballspiele in der folgenden abelle 1 dargestellt. 8 Dabei werden, entsprechend der Vorgangsweise in der Gewinnermittlung der orwette, alle Resultate mit f nf oder mehr oren f r eine Mannschaft zusammengefasst. Man k nnte die in abelle 1 aufgelisteten relativen H ugkeiten zur Berechnung von Auftrittswahrscheinlichkeiten bestimmter orwette-ippreihen verwenden. Es w re dann z.b. die Wahrscheinlichkeit der Reihe 1:2, 0:0, 1:0, 2:0 gleich = , d.h. etwa 1: Es w re allerdings naiv anzunehmen, dass die Ausgangswahrscheinlichkeiten nicht von den involvierten Mannschaften abh ngig sind. So tritt etwa das Resultat 2:0 in etwa so h ug auf wie das Resultat 0:1. rotzdem wird ersteres Ergebnis vermutlich deutlich wahrscheinlicher sein, wenn der abellenf hrer daheim gegen den abellenletzten antritt. Um das Problem zu vereinfachen, treen wir folgende plausible Annahme (sei d die ordierenz, d.h. die ore von Mannschaft 1 abz glich der ore, welche Mannschaft 2 erzielt Resultate mit + oren werden wie 5 ore behandelt): Annahme 3. Man betrachte ein beliebiges Spiel, welches mit einer ordierenz von d 2 [;5 ;4 ::: 5] endet. Dann sei die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Mannschaft 1 x 2 [0 1 ::: 5] ore erzielt, unabh ngig von den beteiligten Mannschaften bzw. deren Spielst rken. Es erscheint plausibel, dass, gegeben ein Spiel endet etwa mit einer ordierenz von +2, die Wahrscheinlichkeiten der dann m glichen Resultate 2:0, 3:1, 4:2 oder +:3 nicht von den ex-ante gegebenen Spielst rken, wie sie u.a. durch die Quoten bei den Buchmachern zum Ausdruck kommen, abh ngen. Mit dieser Annahme k nnen f r alle unentschiedenen Resultate (0:0, 1:1, 2:2, 3:3, 4:4 und +:+), also Resultate mit einer ordierenz von Null, unbedingte Wahrscheinlichkeiten abgeleitet werden. Dabei werden die H ugkeiten aus abelle 1 zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten herangezogen. Multiplikation mit der zuvor ermittelten Wahrscheinlichkeit eines unentschiedenen Spielausgangs liefert die entsprechende objektive Wahrscheinlichkeit. Annahme 3 gen gt allerdings nicht, um diese Prozedur auch f r nicht unentschiedene Spiele durchf hren zu k nnen, da die Zufallsvariable ordierenz nicht von der Spielst rke der beteiligten Mannschaften unabh ngig zu sein braucht. Man w rde erwarten, dass ein hoher Sieg, etwa 3:0 oder 4:0, umso h uger eintritt, je h her die Einsch tzung der siegenden Mannschaft war (bzw. je niedriger die Quote f r einen Heimsieg war). Wir haben daher den Zusammenhang zwischen der (aus den Buchmacherquoten berechneten) Erfolgswahrscheinlichkeit einer Mannschaft mit der erzielten ordierenz untersucht. Betrachtet wurden 419 Spiele, welche (i) im orwetteprogramm enthalten waren, (ii) f r die Buchmacherquoten vorlagen und (iii) die nicht unentschieden endeten. 9 Sei p i die ex-ante Erfolgswahrscheinlichkeit der Mannschaft, welche Spiel i f r sichentschieden hat (es wird dabei kein Unterschied gemacht, ob es sich um einen Heim- oder Ausw rtssieg gehandelt hat). d i ist die ordierenz im Absolutbetrag. Die simple lineare Regression d i = a + bp i + u i (35) f hrt zu einem Sch tzer ^b =0 666 mit einem Standardfehler von 0,304. Der positive Zusammenhang zwischen der ex-ante Erfolgswahrscheinlichkeit und der erzielten ordierenz liegt damit an 8 Die Spiele stammen aus den ersten 595 orwette-runden von , wobei zwei Resultate eliminiert wurden, da sie als Ersatztipps gekennzeichnet waren. 9 Diese Spiele ereigneten sich im Zeitraum