2. Mathematikschulaufgabe

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1 . Mathematikschulaugabe Klasse. Gegeben ist die Funktion mit () = D = a) Bestimme die Nullstellen von! b) Ermittle diejenigen Intervalle, in denen G unterhalb der -Achse verläut!. Gegeben ist die Funktion g mit g () = + 4 a) Bestimme die maimale Deinitionsmenge D g und die Nullstelle(n) von g! b) Gib die Grenzwerte a, = lim g() an und berechne eine geeignete Schwellenzahl ± s ε zu ε = 0,, so dass g() a < ε ür alle > s ε! c) Untersuche das Verhalten von g bei Annäherung an die Deinitionslücken! 3. Berechne olgende Grenzwerte (die Anwendung entsprechender Grenzwertsätze soll deutlich erkennbar sein): a) b) lim cos + lim + 3 n 3 3 in Abhängigkeit von n N GM_A007 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L007)

2 . Mathematikschulaugabe Klasse Ininitesimalrechnung. Bestimme olgende Grenzwerte bzw. erläutere kurz ein unbestimmtes Verhalten: a) d) lim 3 0 cos lim 9 b) e) lim 3 cos lim + 3 cos c) ) lim + lim cos Untersuche mit der h-methode, ob die Funktion 3 ür ƒ: ür > an der Stelle 0 = dierenzierbar ist und zeichne den Graphen von ƒ im Bereich - 3 mit den beiden Halbtangenten an der Nahtstelle 0 =. Komplee Zahlen Alle Ergebnisse sind in Normalorm anzugeben. 3. Berechne z - ür z = ( - 3i) (4 + i). 4. Gegeben ist die komplee quadratische Gleichung z - 4 z+ a = 0 mit a. i Welche Lösungen hat die Gleichung ür a = -3? 5. Führe die angegebenen Operationen in durch: 4i a) 5+ 7i b) ( + i)( + 3i)( 4 i) ( + i) ( i) GM_A0039 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L0039)

3 . Mathematikschulaugabe Klasse. Untersuche olgende Grenzwerte: a) c) lim 4 + 3(sin) 3 5 lim + cos3 0 4 b) lim 4 d) ( ) lim sin. Berechne die Gleichung der Normalen im Punkt P 0 ( /?) des Graphen der Funktion ƒ mit der Gleichung ƒ() = Gegeben ist eine Funktion ƒ durch ƒ() = + + > 6 ür a a 3 ür mit a R. Bestimme a so, dass ƒ an der Stelle 0 = dierenzierbar ist. 4. Gegeben sind die kompleen Zahlen z = 3 + i und z = - + 6i. z Wandle beide Zahlen in die Polarorm um und berechne damit z. Überühre das Ergebnis dann wieder in die Normalorm. Hinweis: Ableitungen müssen als Grenzwerte berechnet werden. Rechne möglichst eakt! GM_A0045 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L0045)

4 . Mathematikschulaugabe Klasse. Untersuche mit Hile geeigneter Urbildolgen, ob olgende Grenzwerte eistieren. a) lim b) lim 0 +. Bestimme olgende Grenzwerte a) lim b) lim c) lim a) Formuliere den Grenzwertsatz ür Quotientenunktionen. u() b) Gib ein Beispiel daür an, dass lim ür v() 0 eistiert, obgleich a v () und lim v() = 0 ist. a lim u() = 0 Wieso liegt kein Widerspruch zu dem Grenzwertsatz ür Quotientenunktionen vor? a 4. Untersuche, ob die Funktion an der Stelle a stetig ist. a) () = b) () = 3 ür < 3 + ür ür > a = ür a = 5. An welcher Stelle ist die Funktion stetig, unstetig, weder stetig noch unstetig? () = + ür 0 + ür > 0 GM_A009 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L009)

5 . Mathematikschulaugabe Klasse. Untersuche das Verhalten der Funktionen ür + und -! a) () = b) () = c) () = d) () = + e) () = ) () = g) () = h) () = + i) () = +. Gegeben sei die Funktion durch () = ( ). + 5 a) Untersuche den Graphen von au Asymptoten und Polgeraden! b) Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von mit der -Achse und der y-achse! c) Skizziere den Graphen von unter Verwendung der Ergebnisse aus a) und b)! 3. Zeichne in ein Koordinatensystem die Graphen der Funktionen () = + cos() und g() =. Konstruiere aus diesen Graphen den Graphen zu der Funktion h() = + cos() ( + )( + 3) 4. Untersuche () = au Asymptoten und Polgeraden! GM_A0093 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L0093) ()

6 . Mathematikschulaugabe Klasse. Bestimme die ersten vier Glieder jeder Folge: a) a ;a b) a+ ( ) a + ; a a!. Bestimme den Grenzwert: n 5n + 3n+ 6 lim nn ( + ) 3. In ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge cm wird ein zweites Dreieck eingezeichnet, indem die Seitenmitten des ersten Dreiecks verbunden werden. Durch Verbinden der Seitenmitten wird in das zweite Dreieck ein drittes Dreieck eingezeichnet und so weiter. a) Berechne die Umänge der ersten vier Dreiecke. b) Wie groß ist die Summe der Umänge der ersten 5 bzw. der ersten 0 Dreiecke? Gegen welchen Wert strebt die Summe dieser Umänge? 4. Bestimme den Grenzwert der Folge (a n ) durch Anwendung der Grenzwertsätze. a) a n = n + n n b) a n = n + n n 4 3n 5. Zeige, dass ür jede geometrische Folge (a n ) die Gleichung a n = a n -. a n+ gilt. GM_A0094 **** Lösungen Seiten (GM_L0094)

7 . Mathematikschulaugabe Klasse. Skizziere zum Graphen von den qualitativen Verlau des Graphen von. Hinweis: Qualitativen Verlau des Graphen darstellen bedeutet den Graph ohne Wertetabelle aber evtl. mit markanten Punkten (Nullstellen, Hoch-, Tiepunkte usw.) skizzieren.. Gegeben sei die Funktion mit der Funktionsgleichung () = ür. 4 a) Untersuche au Nullstellen, Etremstellen und Wendestellen! Gib die Art der Etremstellen an! b) Gib das Verhalten der Funktion ür ± an! c) Zeichne den Graphen von ür -,5 4,5! d) Für welches a > 0 berührt der Graph der Funktion g mit g() = a den Graphen von in genau zwei Punkten? 3. Bestimme die Intervalle, in denen der Graph der Funktion mit () = eine Linkskurve bzw. eine Rechtskurve bildet! 4 4. Untersuche die Funktion mit () = + au Etremstellen. Verwende hierbei das Vorzeichenkriterium! GM_A0095 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L0095)

8 . Mathematikschulaugabe Klasse. Gegeben ist die Funktion () = a) Berechne die Nullstellen von! b) Berechne die Koordinaten der Punkte mit horizontaler Tangente! c) In welchen Kurvenpunkten ist die Tangente parallel zur Geraden mit der Gleichung g() = - 9 +? d) Zeichne den Graphen von im Intervall [-; 3]!. Gegeben ist der Graph der Ableitungsunktion einer Funktion. Welche Aussagen kann man über den Graphen von treen? Welche Inormationen lassen sich nicht ablesen? Skizziere (sauber!!) einen möglichen Verlau des Graphen von. 3. Gegeben ist die Funktion () = + 3 Die Tangente im Ursprung an die Parabel wird von einer Geraden g dort senkrecht geschnitten. In welchem weiteren Punkt schneidet die Gerade g die Parabel? (Zur Kontrolle: s = 7,5) Berechne auch den Schnittwinkel der Parabel mit der Geraden g in diesem Punkt! 4. a) Berechne die Ableitung der Funktion () = Grenzwertverahrens! + an der Stelle 0 = mit Hile des b) Besitzt die Funktion () = 3 + ( 0) Punkte mit horizontaler Tangente? Begründe die Antwort! GM_A0098 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0098)

9 . Mathematikschulaugabe Klasse,5. Gegeben ist die gebrochen rationale Funktion () = + 3,75 a) Bestimme den Deinitionsbereich der Funktion! b) Wo schneidet der Graph die -Achse? c) Welche Deinitionslücke ist behebbar? Welche mathematische Beobachtung macht man an dieser Stelle? Gib auch die stetige Fortsetzung von an und erläutere sie mit einem Satz! d) Bestimme das Verhalten von in der Umgebung der Polstelle! e) Untersuche das Verhalten von ür ±! ) Zeichne den Graphen im Intervall [-3,5; 4,5]!. a) Untersuche olgende Funktionen au Symmetrie: () = ,5 () = Der Lösungsweg soll dabei erkennbar sein! b) Gib olgenden Grenzwert an: lim (3 ) ( + 6) Für diese Augabe ist etwas mathematisches Geühl erorderlich. Zunächst sind zwei möglichst einache gebrochen rationale Funktionen gesucht! a) Eigenschaten von g: - Deinitionsbereich D = \ {-,5} - Nullstelle ür = - lim g() = 4 b) Eigenschaten von h: - Polstelle ür = 3 - Die Funktion besitzt keine Nullstellen, der Zähler ist aber nicht konstant! - lim h() = c) Vier Angaben über den Verlau des Graphen der olgenden Funktion sollen der Funktionsgleichung entnommen werden, ohne eine Wertetabelle zu erstellen! Skizziere au dieser Basis den Graphen qualitativ! Hinweis: Qualitativen Verlau des Graphen darstellen bedeutet den Graph ohne Wertetabelle aber evtl. mit markanten Punkten (Nullstellen, Hoch-, Tiepunkte usw.) skizzieren ƒ() = 3 + GM_A0099 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L0099)

10 . Mathematikschulaugabe Klasse Gegeben ist die Funktion () = 9 3 a) Bestimme die maimale Deinitionsmenge! b) Bestimme die Nullstelle(n)! c) Bestimme das Verhalten von () an den Deinitionslücken! Gib, alls es möglich ist, eine stetige Fortsetzung der Funktion an der / den Deinitionslücke(n) an! d) Bestimme das Verhalten von () ür und ür! e) Berechne (- 4) und ()! ) Skizziere mit Hile der obigen Ergebnisse den Graphen der Funktion ()!. Es sei () = ( sin3). Bestimme lim () 0 und lim ()! 3. In der kompleen Zahlenebene bilden die Punkte z = - - i, z = - + i und z 3 = 3 + i ein Dreieck. Berechne die Seitenlängen des Dreiecks! 4. Berechne die Lösungen der Gleichung z 4 + i8 3 = - 8 und gib die Ergebnisse in Polarorm und in der Form a + bi mit a, b an. GM_A000 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L000)

11 . Mathematikschulaugabe Klasse. Gegeben ist die ganzrationale Funktion 3. Grades () = a) Bestimme die Nullstellen der Funktion! b) Welchen -Werten ordnet die Funktion den y - Wert - 4 zu? (Lösung durch Rechnung!) c) Zeichne in ein Koordinatensystem den Graphen der Funktion sowie die Gerade mit der Gleichung y = - 4 im Intervall ] -,5; 3,5 [! d) Für welche y - Werte gibt es drei, zwei bzw. nur einen zugehörigen -Wert?. Gegeben: () = 4 + Bestimme den Deinitionsbereich von (Begründung!), die Schnittstellen mit der -Achse, den Grenzwert ür ± und untersuche die Funktion au Symmetrieeigenschaten! Zeichne den Graphen der Funktion im Intervall [ - 4; 4]! 3. a) Untersuche olgende Funktionen au Symmetrie: () = () = b) Bestimme olgenden Grenzwert: lim ( 5)( + ) Bei dieser Augabe sind zwei (möglichst einache) gebrochen rationale Funktionen gesucht! a) Eigenschaten von g: - Nullstelle bei = - Polstelle bei = -,5 - lim g() = b) Eigenschaten von h: - Deinitionsbereich D = \ {} - h besitzt keine Nullstellen, der Zähler ist aber nicht konstant - lim h() = 5 GM_A00 **** Lösungen 6 Seiten (GM_L00)

12 . Mathematikschulaugabe Klasse. a) Die Zahl 5 + i ist das Quadrat einer kompleen Zahl z = a + i b. Bestimme diese Zahl. Ist die Lösung eindeutig? b) Stelle olgende komplee Zahl in Polarorm dar: z = 3 i π c) Führe olgende komplee Zahl in die Normalorm a + i b über: 3 E 3 z z* 4 i Re(z) Im(z). Zeige dass ür eine beliebige komplee Zahl z = a + i b gilt: = z* z z 3. Für die Multiplikation kompleer Einheitsvektoren E(α) und E(β) gilt: E(α). E(β) = E(α + β). Beweise diese Aussage! Anleitung: Verwandle dazu zunächst die Einheitsvektoren mit Hile der Gleichung E(ϕ) = cosϕ + i sinϕ. Durch die anschließende Multiplikation erhält man einen komplizierten Term mit vielen Sinus- und Kosinusausdrücken. Diesen Term kann man mit Hile der Additionstheoreme ür Sinus und Kosinus vereinachen. Benutze die Formelsammlung! 4. a) Untersuche ohne den Graphen zu zeichnen die Funktion au ihr Monotonieverhalten. + ; [0; ] : ; ]; [ b) Begründe, warum umkehrbar ist und bestimme die Umkehrunktion, ihre Deinitions- und Wertemenge! : ; ]0; [ + c) Zeichne ohne Rechnung und nur mit Hile der Sinus-Schablone die Funktionsgraphen der Funktionen sin() und sin( + ) + in ein 4 4; y 3. Koordinatensystem ein [ ] d) Welche der beiden Aussagen ist richtig, welche ist alsch? Begründe die Antwort kurz in Worten (Tipp: Überlegung anhand zweier geeigneter Skizzen!) () Gilt ür eine Funktion (-) = (), so ist ihr Graph achsensymmetrisch zur y-achse! () Gilt ür eine Funktion (-) = -(), so ist ihr Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung! GM_A00 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L00) ()

13 . Mathematikschulaugabe Klasse. Schreibe die Funktion ( ) = um in Betragsschreibweise! Gib () abschnittsweise ohne Absolutstriche an mit den entsprechenden Teilbereichen von ld und zeichne den Graphen!. ( ) = ( )( 4) Bestimme den maimalen Deinitionsbereich, die Nullstellen und die Unendlichkeitsstellen und skizziere den qualitativen Verlau des Graphen! ( Einheit au beiden Achsen: 0,5 cm ) Wie verhält sich der Graph ür große Beträge von? 3. Eine Folge ist gegeben in der rekursiven Form a = 4; a = 36; aγ+ = aγ+ aγ ( γ ) a) Berechne die ersten 5 Glieder der Folge! b) Gib eine nur von γ abhängige Darstellung der Folge an! Wir betrachten nun eine neue geometrische Folge mit lauter positiven Gliedern b γ. Das 3. Glied hat den Wert 6, das 5. Glied den Wert 30. c) Löse ür diese neue Folge die Augabe b)! d) Gibt es eine geometrische Folge mit b 3 = 6 und b 5 = - 30? Begründung! GM_A04 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L04)

14 . Mathematikschulaugabe Klasse. Wann heißt eine Funktion stetig an der Stelle 0 D? Geben Sie die Deinition an! Wie lautet diese Deinition in der ausührlichen Formulierung mit ε und δ?. Bestimmen Sie soern vorhanden die olgenden Grenzwerte. a) ( 3) sin() lim b) 8 + lim c) 3 5 lim cos( π ) d) lim cos 0 3. Für welche Werte der Parameter a und b ist die Funktion g stetig? a b ; < = + b ; < 0 g() ( a) ( ) ; 0 4. Die olgende Gleichung soll in C gelöst werden. 3 z + ( 4 + 6i) z (0 + i) z (6 + 48i) = 0 a) Wie viele Lösungen hat diese Gleichung? Begründen Sie, dass z = eine Lösung dieser Gleichung ist. b) Berechnen Sie alle weiteren Lösungen der Gleichung! GM_A033 **** Lösungen Seiten (GM_L033)

15 . Mathematikschulaugabe Klasse. Berechnen Sie alls vorhanden olgende Grenzwerte. Nennen Sie gegebenenalls den links- und rechtsseitigen Grenzwert! a) c) (3 + ) lim lim b) ( + ) d) lim ( ) sin(4) lim Zeigen Sie mit eaktem Nachweis ( ε δ Methode ), dass die Funktion stetig ist. () = 3 3. Gegeben ist die Funktion mit () = ( + b + c) sgn( ) + 4 a) Geben Sie den Deinitionsbereich der Funktion an und schreiben Sie () abschnittsweise ohne Verwendung der sgn-funktion. b) Zunächst soll die Funktion ür b = c = untersucht werden. Zeigen Sie, dass nicht stetig ist! Geben Sie dazu alle Stellen an, an denen nicht stetig ist und begründen Sie dies. c) Bestimmen Sie die Werte der Parameter b und c so, dass nicht nur stetig wird sondern sich sogar noch stetig au R ortsetzen lässt. Geben Sie diese stetige Fortsetzung von an.. 4. Das Polynom werden. a) Zeigen Sie, dass z 3 p(z) = z 3i z + 3 z 5i mit Koeizienten aus C soll aktorisiert = i eine Nullstelle des Polynoms p ist. b) Bestimmen Sie alle restlichen Nullstellen des Polynoms und aktorisieren Sie dann p(z) vollständig. GM_A034 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L034)

16 . Mathematikschulaugabe Teil A ohne TR / CAS ANALYSIS. Berechnen Sie jeweils die Ableitung und vereinachen Sie diese soweit wie möglich. a) () < ln 5 ( b) g() < e e, a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion, () < e in das Koordinatensystem. 4 3 y b) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion und skizzieren Sie ihren Graphen ebenalls in das Koordinatensystem GEOMETRIE 3. Gegeben ist der abgebildete Würel ABCDEFGH in einem räumlichen Koordinatensystem. Der Schnittpunkt θ τττθ θ der τττθ Raumdiagonalen θ τττθ sei M und a < AB, b < AD, c < AE. Geben Sie CM τττθ in Abhängigkeit von a θ, b θ und c θ an. 4. Gegeben sind die Punkte M (, A, ( und ( B 3 b. a) Geben Sie die Koordinatengleichung der Kugel K um M mit Radius an und prüen Sie durch Rechnung, ob der Punkt A genau au, oder außerhalb oder innerhalb der Kugel liegt. b) Für welche reellen Zahlen b liegt der Punkt B au der Kugel? GM_A39 **** Lösungen 7 Seiten (GM_L39) ()

17 . Mathematikschulaugabe Teil B mit TR / CAS Die Lösungswege müssen auch bei Verwendung eines CAS klar ersichtlich sein. Geben Sie alle zur Lösung notwendigen Zwischenschritte an. ANALYSIS 5. Gegeben ist die Funktion () < mit D ma. e a) Geben Sie die maimale Deinitionsmenge und die Schnittpunkte von G mit den Koordinatenachsen an. b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von und geben Sie Art und Lage aller Etrempunkte von G an. c) Bestimmen Sie die Variablen a und b so, dass F() < a b eine Stammunktion von e ist. 6. Gegeben ist der Graph einer Funktion () < ln g() ( mit D < \ Ζ, ; G ist achsensymmetrisch und hat eine Nullstelle in N ( Funktion. Grades. Bestimmen Sie den Funktionsterm von g() g() ist eine GEOMETRIE das Parallelogramm ABCD mit ( ( C 3 8 ( und D (. 7. Gegeben ist im 3 A 3 0 5, B 6 4 3, a) Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalt des Parallelogramms. b) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes M der Diagonalen. c) Bestimme einen Einheitsvektor, der au dem Parallelogramm senkrecht steht. d) Das Parallelogramm ABCD als Grundläche bildet zusammen mit der Spitze S eine gerade Pyramide mit einem Volumen von 80 [VE]. Bestimmen Sie die Koordinaten der Spitze S. GM_A39 **** Lösungen 7 Seiten (GM_L39) ()

18 . Mathematikschulaugabe. Gegeben ist die Funktion () < sin mit D <. a) Es gilt: () < h(g()) Geben Sie die Funktionen h() und g() an. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von () im Punkt A ο y A ( 4. c) Begründen Sie, dass () nicht umkehrbar ist.. Gegeben ist die Funktion : (5, ). a) Geben Sie den maimalen Deinitionsbereich und die Nullstellen der Funktion () an. b) Berechnen Sie alle vorkommenden Hochpunkte. c) Bestimmen Sie die Wertemenge und skizzieren Sie den Graphen von (). d) Begründen Sie durch Rechnung, dass der gegebene Funktionsterm die Gleichung eines Kreises ist. Geben Sie den Mittelpunkt M und den Radius r des Kreises an. e) Bestimmen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des kleineren Flächenstücks, das von der - Achse, der Geraden g: y <,,5 und der Kreislinie eingeschlossen wird. 3. Die Punkte A 7, (, B 3, 5 9(, D 6, 5( und C sind Eckpunkte eines Parallelogramms ABCD. Der Punkt S 3 7k 4k, k( mit k= 0 ist die Spitze einer Pyramide ABCDS. a) Bestimmen Sie die Koordinaten von C. b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts M der Parallelogrammdiagonalen. c) Drücken Sie SC τττθ allgemein durch die Vektoren θ τττθ θ τττθ θ τττθ a < AB, b < AD, c < AS aus. d) Gibt es ein k > 0, ür das das Dreieck ADS bei S einen rechten Winkel besitzt? e) Berechnen Sie ür k < das Volumen der Pyramide ABCDS. GM_A40 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L40) ()

19 . Mathematikschulaugabe 4. Im Punkt F ( stand ein 30 m hoher Mast senkrecht zur, Ebene. Bei einem Gewittersturm knickte der Mast nach Blitzeinschlag im Punkt H 7 5 h ( und tra eine angrenzende Lagerhalle im Punkt A 5 4 0,5 (. In welcher Höhe h ist der Mast abgeknickt? Für die Rechnung: LE entspricht 0 m. GM_A40 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L40) ()

20 . Mathematikschulaugabe Arbeitszeit 90 min Als Hilsmittel sind nur ein Taschenrechner und die Formelsammlung erlaubt ANALYSIS. Berechnen Sie jeweils die Ableitung '(). a) () < sin(3) b) 3 () < sin c) ( ( () < sin cos. Zeigen Sie, dass die Funktion Bestimmen Sie die Umkehrunktion () < mit = 0 8, () umkehrbar ist. ; geben Sie D, und W, an. 3. An welchen Stellen hat der Graph von () < sin dieselbe Steigung, wie die Gerade mit der Gleichung y <,? 4. Bestimmen Sie den maimalen Deinitionsbereich olgender Funktion. () < ln, 5. Gegeben ist die in deinierte Funktion mit () e 5,5 ( <,,. a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion. b) Zeigen Sie, dass die in deinierte Funktion F mit Stammunktion von ist. F() 5 e <, eine 6. Gegeben ist die in deinierte Funktion h mit h() < e. a) Bestimmen Sie die maimal mögliche Deinitionsmenge von h und untersuchen Sie das Verhalten von h ür. b) Ermitteln Sie Art und Lage des Etrempunktes des Graphen G h. GM_A4 **** Lösungen 7 Seiten (GM_L4) ()

21 . Mathematikschulaugabe GEOMETRIE 7. Gegeben ist im R 3 das Dreieck ABC mit den Punkten A 5, 3, B 6, 3 und C, 6 0, 3. ( ( ( a) Begründen Sie rechnerisch: Das Dreieck hat bei B einen rechten Winkel. b) Berechnen Sie die beiden anderen Winkel des Dreiecks. (Au Stelle nach dem Komma gerundet). c) Berechnen Sie die Koordinaten des Umkreismittelpunktes des Dreiecks ABC. (Tipp: Nutzen Sie die Rechtwinkligkeit des Dreiecks Thaleskreis!) d) Das Dreieck ABC kann durch einen weiteren Punkt D zum zum Rechteck ABCD erweitert werden. Bestimmen Sie die Koordinaten von D. e) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks ABCD. 8. Vom Spat ABCDEFGH sind gegeben: τττθ 0 τττθ, 6 τττθ, 3 der Punkt A (, die Vektoren AB < 8, AD <, AE <. 0 4 a) Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte B bis H an und zeichnen Sie das Schrägbild des Spats in ein 3D-Koordinatensystem (Einheit: cm) Für die Punkte b) bis d): Runden Sie die Ergebnisse au Stelle nach dem Komma b) Berechnen Sie die Innenwinkel des Parallelogramms ABCD. c) Berechnen Sie die Maßzahl ür den Oberlächeninhalt des Spats. d) Berechnen Sie die Maßzahl ür das Volumen des Spats. GM_A4 **** Lösungen 7 Seiten (GM_L4) ()

22 . Mathematikschulaugabe GEOMETRIE. Gegeben ist ein Quader ABCDEFGH mit den Eckpunkten A 3,, ( C 0 5,, ( G 0 5 4( ; die Fläche ABCD ist parallel zur die Fläche DCGH ist parallel zur 3, Ebene., Ebene, a) Geben Sie die Koordinaten der ehlenden Eckpunkte an. und zeichnen Sie den Quader in ein kartesisches Koordinatensystem R 3. b) Geben Sie die Vektoren AC τττθ und CG τττθ an und berechnen Sie jeweils deren Betrag. c) Berechnen Sie die Länge der Raumdiagonalen AG τττθ.. Gegeben sind die Punkte A, 3, (, B (, C 3 5, ( in einem kartesischen Koordinatensystem. a) Zeigen Sie, dass die Punkte A, B und C ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis AB bilden. b) Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke AB. 3. Eine dreiseitige Pyramide hat als Grundläche das Dreieck PQR mit P 0 0, 6(, Q 4 0, 6(, R 0 3, 6( und die Spitze S (. a) Zeichnen Sie die Pyramide in ein Koordinatensystem. b) Berechnen Sie Fläche des Dreiecks PQR und das Volumen der Pyramide. c) Berechnen Sie die Größe des Winkels Ρ PSQ <ι. d) Warum lässt sich das Dreieck PQR durch einen Punkt T zu einem Rechteck ergänzen? Bestimmen Sie die Koordinaten von T. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide PQTRS. 4. Beweisen Sie olgenden Satz: Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aueinander. (Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten.) GM_A4 **** Lösungen 6 Seiten (GM_L4) ()

23 . Mathematikschulaugabe ANALYSIS 3 5. a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion mit () 7( e 5( b) Bestimmen Sie den Term der Ableitungsunktion h von h mit <,,. c) Gegeben ist die Funktion g mit ln g() <, D <. Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von g im Schnittpunkt mit der - Achse. h() < sin() e 4 6. Die Gleichung, e, 0 e < 0 hat nur eine einzige Lösung. Bestimmen Sie den eakten Wert dieser Lösung. 7. Gegeben ist die Funktion h mit h() < 3e (,, D h <. a) Welche der vier Abbildungen A bis D zeigt den Graphen der Funktion h? Geben Sie jeweils eine Begründung, warum die drei anderen Graphen nicht zur gegebenen Funktion gehören können. Der TR dar nicht verwendet werden. b) Skizzieren Sie in derjenigen Abbildung, die den gesuchten Graphen zeigt, den Graphen der Ableitungsunktion. GM_A4 **** Lösungen 6 Seiten (GM_L4) ()

24 . Mathematikschulaugabe. Gegeben ist die Funktion () < 9, mit G<. a) Bestimmen Sie die Deinitionsmenge, die Nullstellen und die Symmetrieeigenschaten der Funktion. b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion und geben Sie die Etrema an.. Bestimmen Sie jeweils die maimale Deinitionsmenge und die Ableitung der Funktion. a) () cos < b) g() < ln 6, ( 3. Geben Sie den Term einer Stammunktion von 3 () <, 4 0,5, an. 4. Nebenstehendes Koordinatensystem stellt die Graphen der Funktionen und g mit () < und 0,4 e g() < e, dar. ( 0,4 a) Bestimmen Sie rechnerisch alle Hoch- und Tiepunkte des Graphen von. b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von mit g. 5. Ma besucht einen Taucherlehrgang mit Unterrichtseinheiten in Tauchtheorie. Die Erahrung bei diesem Kurs zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit daür, dass Ma zu einer Unterrichtsstunde erscheint, bei 80% liegt. a) Wenn Ma anwesend ist, hat er mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% auch seine schritlichen Hausaugaben erledigt. Insgesamt bearbeitet er jedoch nur jede zweite Hausarbeit. Erstellen Sie ein vollständig beschritetes Baumdiagramm und geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass Ma seine Hausarbeiten erledigt hat, obwohl er nicht zum Unterricht erscheint. b) Ma ist im Theorie-Unterricht anwesend. Die Wahrscheinlichkeit, dass er seine Hausarbeit und seine Schulungsunterlagen vergessen hat, beträgt 5%. Insgesamt hat er in 7 von 0 Unterrichtseinheiten, an denen er teilnimmt, seine Unterlagen dabei. Erstellen Sie eine vollständig ausgeüllte Viereldertael und geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass Ma in einer zuällig ausgewählten Unterrichtseinheit sowohl seine Unterlagen als auch seine Hausarbeit dabei hat. GM_A43 **** Lösungen 6 Seiten (GM_L43) ()

25 . Mathematikschulaugabe 6. Gegeben sind die Punkte A 4 3 (, B 6 5,, ( C 8, 7( und S 5 8 8( in einem kartesischen Koordinatensystem R 3. A, B und C legen die Ebene E est. a) Zeigen Sie: das Dreieck ABC ist gleichschenklig mit der Basis BC. b) Das Dreieck kann zu einer Raute ergänzt werden. Berechnen Sie die Koordinaten des Rautenpunktes D. c) Bestimmen Sie den Schnittpunkt M der Diagonalen der Raute. d) Berechnen Sie den Winkel <Ρ CAB. e) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Raute ABCD. ) Die Raute ABCD bildet zusammen mit dem Punkt S ( eine Pyramide. Zeigen Sie: die Pyramidenhöhe [MS] steht senkrecht au der Grundläche. g) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS. GM_A43 **** Lösungen 6 Seiten (GM_L43) ()

26 . Mathematikschulaugabe ANALYSIS. a) Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion mit () cos 5 ( <. b) Geben Sie eine Stammunktion G() an zur Funktion g() < 3 3 e. ( ln 9 c) Gegeben ist die Funktion h() <. Bestimmen Sie die maimale, 7 Deinitionsmenge D und berechnen Sie die Nullstelle(n) von h. h. Gegeben ist die Funktion mit () < 8 5 mit 4 a) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen der Graph monoton steigt und in denen der Graph monoton ällt. b) In welchen Intervallen ist die Funktion umkehrbar? 3. Gegeben ist die Funktion mit () < ln 3, (. a) Zeigen Sie, dass im Intervall I < 4; Ζ umkehrbar ist. b) Bestimmen Sie einen Funktionsterm der Umkehrunktion,. 4. Gegeben ist die Funktion mit () <, undg<. 0,5 e a) Geben Sie die maimale Deinitionsmenge und die Schnittpunkte von G mit den Koordinatenachsen an. b) Untersuchen Sie das Verhalten von ür und geben Sie die Gleichung der Asymptote an. c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten des Graphen von G und geben Sie Art und Lage aller Etrempunkte von G an. d) Berechnen Sie die Werte (, ), (3), (8) und skizzieren Sie - auch mit Hile Ihrer bisher berechneten Werte den Graph von in ein Koordinatensystem. Für das KOS:, 3 0;, 3 y 6 GM_A44 **** Lösungen 7 Seiten (GM_L44) ()

27 . Mathematikschulaugabe GEOMETRIE θ κ 5. Bestimmen Sie den Parameter κ so, dass die Vektoren u< 0 einen Winkel von 60 einschließen ( Lösungen). und θ 4 v < Die EckpunkteA (, B 0 4 ( und C ( Dreiecks ABC. Durch das Dreieck ist die Ebene E estgelegt., sind die Eckpunkte eines a) Zeigen Sie durch Rechnung: das Dreieck ABC ist bei A rechtwinklig. b) Bestimmen Sie den Winkel φ<ρ ACB. c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. d) Das Dreieck ABC ist die Grundläche einer dreiseitigen Pyramide mit der Spitze S 4 5, (. Der Punkt S liegt nicht in der Ebene E. θ τττθ τττθ τττθ Weisen Sie nach, dass der Vektor n < AB AC zu AS parallel ist. Nutzen Sie dann diese Aussage zur Berechnung des Volumens der Pyramide. e) Die Seitenmitte M von [AB] ist der Mittelpunkt einer Kugel K. Der Eckpunkt C des Dreiecks ABC liegt genau au dieser Kugel. Berechnen Sie den Radius r der Kugel K (Ergebnis nicht gerundet) und untersuchen Sie, ob die Spitze S der Pyramide im Inneren, oder au der Oberläche oder außerhalb der Kugel K liegt. GM_A44 **** Lösungen 7 Seiten (GM_L44) ()

28 . Mathematikschulaugabe GEOMETRIE. Gegeben sind im 3 die Punkte A 4, (, B 0, 5( und C 6( Dreiecks ABC. a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. b) Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks ABC., eines. Gesucht ist ein Vektor n θ, der au den beiden Vektoren senkrecht steht. θ a <, 4 6 und θ 0 b <, 3 3. Gegeben sind die Punkte A, 6, 6 (, B, 5 4, (, C, 0 0( im 3. a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist. Welche Dreiecksseite ist die Hypotenuse? b) Zeigen Sie, dass sich das Dreieck ABC zu einem Quadrat ABCD ergänzen lässt. Ermitteln Sie die Koordinaten von D und den Flächeninhalt dieses Quadrates. c) Das Quadrat ABCD ist die Grundläche einer S 7. geraden Pyramide mit der Spitze ( M ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats. Die Höhe der Pyramide ist die Strecke [MS]. Alle Seitenkanten der Pyramide sind mit demselben Winkel ι gegen die Grundläche geneigt. Berechnen Sie das Maß des Winkels ι. d) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BCS. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Prognosen sind schwierig, besonders wenn sie die Zukunt betreen. (Karl Valentin) 4. Ein Laplace-Glücksrad hat 8 Felder in den Farben schwarz, weiß, rot, gelb, grün, blau, gold und silber. Emma setzt au die Farben rot, blau und gold während Nurya au die Farben silber und gold setzt. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt mindestens eine der Spielerinnen? b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dass Nurya gewinnt unter der Bedingung, dass Emma gewinnt. c) Sind die beiden Ereignisse Nurya gewinnt und Emma gewinnt unabhängig voneinander? GM_A45 **** Lösungen 7 Seiten (GM_L45) ()

29 . Mathematikschulaugabe ANALYSIS 5. Gegeben ist die Funktion : ln(, ln (. a) Geben Sie den maimalen Deinitionsbereich von an. b) Berechnen Sie alle Nullstellen von. c) Bestimmen Sie die Etrema von. < 4 6. Bestimmen Sie die. Ableitung der Funktion mit () 4 ( ln und vereinachen Sie '(). 7. Wie lautet die Gleichung der Tangente t an den Graph der Funktion mit () e, A 0 des Graphen verläut? <,, die durch den Punkt ( 8. Gegeben ist die Funktion mit () < sin, 3 cos in D < Ζ0; ο (Beachten Sie bei allen Teilaugaben den gegebenen Deinitionsbereich) a) Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion. b) Geben Sie die Ableitungsunktion an. c) Unter welchem Winkel schneidet der Graph G die - Achse? d) In welchem Punkt hat der Graph G eine waagerechte Tangente? e) Geben Sie den Wertebereich W der Funktion an. ) Skizzieren Sie den Graph der Funktion. GM_A45 **** Lösungen 7 Seiten (GM_L45) ()

30 . Mathematikschulaugabe ANALYSIS. Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion hat den Graph G (siehe Abb. rechts). ' Welche der olgenden Aussagen sind richtig und welche sind alsch? Begründen Sie in jedem Fall Ihre Antworten. a) Der Graph G der Funktion hat an der Stelle < 3 eine horizontale Tangente. b) An der Stelle < hat die Funktion eine dreiache Nullstelle. c) d) G hat mehr als drei Stellen mit einer horizontalen Kurventangente. G steigt im Bereich 3 ; ; 4,5. e) Für ällt, G an jeder Stelle. y G ' Gegeben ist die Funktion mit () ln ( <, D < Dma Wo hat der Graph von () eine horizontale Tangente? Zeigen Sie nur mithile der. Ableitung, dass () im Deinitionsbereich keinen Etremwert (Minimum / Maimum) hat. 3. Dierenzieren Sie () < e,. e Bestimmen Sie die maimale Deinitions- und Wertemenge von (). 4. Gegeben ist die Funktion mit () <,5( e, mit D <. Der Graph der Funktion ist G. a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von G mit den Achsen des Koordinatensystems und geben Sie das Verhalten von ür an. b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten und bestimmen Sie Lage und Art des Etrempunktes von G. c) Zeichnen Sie den Graphen G in ein Koordinatensystem.,, 0 5 () GM_A46 **** Lösungen 7 Seiten (GM_L46) ()

31 . Mathematikschulaugabe WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 5. Zu einem Zuallseperiment mit den Ereignissen R (rot) und S (schwarz) gehört das olgende Baumdiagramm. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(S). b) Weisen Sie nach, dass die Ereignisse R und S stochastisch voneinander abhängig sind. c) Damit die Ereignisse voneinander unabhängig sind, soll im Baumdiagramm nur der Zahlenwert 0,06 geändert werden. Bestimmen Sie den geänderten Wert. GEOMETRIE 6. Gegeben sind im 3 die Punkte P 3 0 (, Q, 4, 3 8( und ( R a) Zeigen Sie, dass die drei Punkte P, Q und R nicht au einer gemeinsamen Geraden liegen. b) Berechnen Sie den Abstand des Punktes R von der Geraden PQ. sind die Punkte A 3 (, B 5 0, ( und D 6 ( 7. Im 3,, gegeben. τττθ τττθ a) Die Vektoren AB und AD sind gleich lang und stehen aueinander senkrecht. Zeigen Sie dies durch Rechnung. b) Das Dreieck ABD kann durch einen weiteren Punkt C zu einem Quadrat ergänzt werden. Bestimmen Sie seine Koordinaten. c) Das Quadrat ABCD ist Grundläche einer vierseitigen Pyramide mit der Spitze S 7 8 (. Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide. d) Zeichnen Sie die Pyramide ABCDS in ein Koordinatensystem. 8. Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Punkte E 0 (, F 0, (, G 0, 4 4( au einer Kugel mit dem Mittelpunkt M 0 0 4,5 ( liegen. Geben Sie eine Koordinatengleichung dieser Kugel an. GM_A46 **** Lösungen 7 Seiten (GM_L46) ()

32 . Mathematikschulaugabe ANALYSIS 3 3. Gegeben ist die Funktion a() a a a ( <,,, G < 8 a) Zeigen sie, dass die Funktion an der Stelle < a eine Nullstelle besitzt. Untersuchen Sie, ob weitere Nullstellen in Abhängigkeit von a vorhanden sind. b) Geben sie die Ableitungsunktion a '() an. c) An welchen Stellen haben die Graphen G a waagerechte Tangenten? d) Für welche Werte von a haben die Graphen G a im Ursprung die Steigung, 9?. Gegeben ist die Funktion mit () 3sin ( <,. Berechnen Sie die Steigung des Graphen G an der Stelle < 3. Gegeben ist die Funktion mit () <. ln a) Hat die Funktion eine waagerechte Asymptote? b) Untersuchen Sie, ob die Funktion Etremwerte besitzt und berechnen Sie diese gegebenenalls. 4. Gegeben ist die Funktion mit a) Bestimmen Sie die Grenzwerte ür. () < 5 e, mit maimalem Deinitionsbereich. b) Berechnen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und die Punkte mit horizontalen Tangenten. 5. Gegeben sind die Graphen von ün Eponentialunktionen. Ordnen Sie die Graphen A - E den olgenden Funktionsgleichungen zu. 4 3 y (C) (A) (B) Funktion, () < e, Graph (D) (E) 0,5 () < e,, () <, e () < 0,5e,, 0,5 () < e, GM_A47 **** Lösungen 8 Seiten (GM_L47) ()

33 . Mathematikschulaugabe GEOMETRIE θ θ 6. Das Vektorprodukt ab der Vektoren Bestimmen Sie a 3 und b 3. θ 6 a < 6 a 3 und θ 9 b <, b 3 ist parallel zu, Gegeben sind die Punkte A, 5( und T 3 0 4(,. Bestimmen Sie B so, dass T die Strecke AB im Verhältnis 4 : teilt. 8. Gegeben sind die Punkte A, (, B 6 4, (, C (, ( F ( und H, 5 7( eines schieen Prismas im Vektorraum 3. a) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte E und G. b) Weisen Sie nach, dass die Grundläche ABCD des Prismas ein Rechteck ist. c) Welche der beiden Seitenlächen ABFE oder BCGF hat den größeren Flächeninhalt? D 3, d) Untersuchen Sie, ob sich alle Raumdiagonalen des Prismas in genau einem Punkt schneiden. Falls es nur einen Schnittpunkt gibt, dann berechnen Sie seine Koordinaten. e) Berechnen Sie das Volumen des Prismas. GM_A47 **** Lösungen 8 Seiten (GM_L47) ()

34 . Mathematikschulaugabe ANALYSIS. a) Wie kann man an der Ableitungsunktion erkennen, ob eine in ganz deinierte Funktion umkehrbar ist? (Kurze Begründung!) b) Bestimmen Sie den Term der Umkehrunktion von 3 () < e,. c) Geben Sie zur Funktion mit () < cos den Term einer Stammunktion F an. d) Ermitteln Sie ür die Funktion g mit g() < ln die Gleichung der Tangente an den Graphen G g an der Stelle <.. Gegeben ist die Funktion mit () <, ln, ( ; D <. a) Bestimmen Sie die Ableitungsunktion '() und vereinachen Sie soweit wie möglich. b) Welcher der drei Funktionsgraphen A, B oder C ist der Graph der Ableitungsunktion? Begründen Sie Ihre Wahl. A B C 3. Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der olgenden Gleichungen. a) b) 3, 4 3 < 0 4 e, 4 e 3 < 0 4. Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion mit () < 3 e ; zwei Punkte mit waagerechter Tangente hat. Berechnen Sie den Abstand dieser Punkte. 5. Gegeben ist die Kurvenschar a() a 8 <,, ; a. Bestimmen Sie a so, dass a genau eine Nullstelle hat. GM_A48 **** Lösungen 7 Seiten (GM_L48) ()

35 . Mathematikschulaugabe GEOMETRIE 6. Gegeben sind im 3 die Punkte R, 3(, S, 5( und X 4 5 (,. Berechnen Sie den senkrechten Abstand des Punktes X von der Geraden RS. 7. Das Viereck ABCD mit den Punkten A 5 4, (, B 8 (, C 4 5( D ( liegt in der Ebene E. a) Untersuchen Sie um welche Art Viereck es sich handelt., und b) Berechnen Sie den Schnittpunkt M der Diagonalen des Vierecks ABCD. c) Das Viereck ABCD ist Grundläche einer geraden Pyramide mit der Spitze S. Berechnen Sie die Koordinaten von S so, dass die Pyramide die Höhe h < 6 [LE] hat (zwei Möglichkeiten)., 5, 5 < 5 im Gegeben ist eine Kugel mit der Gleichung ( 3 ( a) Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M der Kugel an. Welche besondere Lage haben M und damit die Kugel im Koordinatensystem? b) Welche Werte sind ür k zulässig, damit der Punkt P 3 5 k ( im Inneren der Kugel liegt? GM_A48 **** Lösungen 7 Seiten (GM_L48) ()

36 . Mathematikschulaugabe ANALYSIS. a) Geben Sie zwei benachbarte Nullstellen der Funktion g mit g() < sin(5) an. b) Bestimmen Sie den Term einer quadratischen Funktion mit olgenden Eigenschaten: Maimum der Funktion an der Stelle <. Der Graph G schneidet die y- Achse an der Stelle y <, und hat dort die Steigung.. Im nebenstehenden Bild ist der Graph einer 3 der beiden Funktionen () <, oder g() <, 7 3, dargestellt. 6 a) Begründen Sie, welche der Funktionen dargestellt ist. b) Skizzieren Sie den Graph der Ableitungsunktion der dargestellten Funktion in dasselbe Koordinatensystem. 3. Gegeben ist die Funktion mit () < ln mit maimalem Deinitionsbereich. a) Geben Sie ür die Funktion den größtmöglichen Deinitionsbereich an. b) Bestimmen Sie die Nullstellen und die Asymptoten von. Ermitteln Sie die lokalen Etrempunkte. c) Zeichnen Sie den Graph der Funktion im Intervall 0, 5 F() < ln ln eine d) Weisen Sie nach, dass die Funktion F mit ( Stammunktion der Funktion ist. Ermitteln Sie eine Gleichung derjenigen Stammunktion G, ür die gilt. G(e ) < 4. Gegeben ist die Funktion mit 3 () < 3, D <. sowie ihre Deinitions- a) Zeigen Sie, dass au D umkehrbar ist. Geben Sie die Gleichung der Umkehrunktion und Wertemenge an. b) Ermitteln Sie eine Stammunktion F von. c) Zeigen Sie, dass g() < 5 3 au D g < umkehrbar ist. e, GM_A49 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L49) ()

37 . Mathematikschulaugabe GEOMETRIE 5. Gegeben sind die Punkte A 0 3 (, B 6 (, C ( und S 4 4 s 3 s( einer dreiseitigen Pyramide mit der Spitze S und dem Dreieck ABC als Grundläche. Bestimmen Sie s so, dass das Pyramidenvolumen 7 VE beträgt. 6. Ein Quader ABCDEFGH hat die Kantenlängen AB < 6 cm, BC < 6 cm, AE < 3 cm. Berechnen Sie mit Hile der Vektorrechnung die Größe des Winkels zwischen den Raumdiagonalen d < AG und d < CE. GM_A49 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L49) ()

38 . Mathematikschulaugabe ANALYSIS. Diskutieren Sie die Funktion () <. Untersuchen Sie () dabei au a) ihr Symmetrieverhalten b) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen c) Polstellen (senkrechte Asymptoten) d) Verhalten im Unendlichen; waagerechte Asymptote (Gleichung angeben) e) Etrempunkte ) Wendepunkte (ohne Nachweis); nicht im bayer. Lehrplan. Nebenstehendes Bild zeigt den Graph der Funktion mit () < 8,, 0 8. P y ( mit = 0 ist ein Punkt au diesem Graph. P' 0 ( mit = 0 ist Fußpunkt des Lotes von P au die - Achse. Die Fläche des Dreiecks OP'P soll maimal werden. Berechnen Sie ür diesen Fall die Abszisse des Punktes P' Geben Sie den Wert des maimalen Flächeninhaltes an. 3. Bestimmen Sie jeweils die Deinitions- und Lösungsmenge. a) ln ( ln < 6 b) ( e ln, 3, e < 0 4. Gegeben ist die Funktion mit () < ln, ( a) Geben Sie die maimale Deinitionsmenge an. b) Bestimmen Sie die. und. Ableitung. c) Lösen Sie die Gleichung '() < Weisen Sie nach, dass ( () < 5 3, ( ist. 8 F() <,, 5 eine Stammunktion von GM_A50 **** Lösungen 7 Seiten (GM_L50) ()

39 . Mathematikschulaugabe GEOMETRIE τττθ 6. Im 3 sind die Punkte A,, (, D, 4, 4 0( sowie AB < 6 gegeben. a) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B. b) Das Dreieck ABD ist gleichschenklig. Weisen Sie dies nach. Berechnen Sie einen der Innenwinkel des Dreiecks ABD. c) Durch einen Punkt C kann das Dreieck ABD zu einem Parallelogramm erweitert werden. Berechnen Sie die Koordinaten von C. d) Das Parallelogramm ABCD ist Grundläche einer Pyramide mit der Spitze O (. Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide. e) Zeichnen Sie die Pyramide in ein dreidimensionales Koordinatensystem. ) Die Diagonalen des Parallelogramms ABCD schneiden sich im Mittelpunkt M. M ist gleichzeitig auch Mittelpunkt einer Kugel k. Der Punkt A liegt genau au der Kugeloberläche. Geben Sie die Kugelgleichung an und berechnen Sie das Volumen der Kugel k. GM_A50 **** Lösungen 7 Seiten (GM_L50) ()

40 . Mathematikschulaugabe ANALYSIS. Gegeben ist der Graph einer Funktion (): A B C D Welcher der nebenstehenden Graphen A bis D gehört zur Ableitungsunktion '()? Begründen Sie Ihre Auswahl.. Gegeben sind die Funktionen und g mit () < 3e, und g() < e,. a) Zeichnen Sie die Graphen der beiden Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem. Für die Zeichnung:, 4 6 ;, y 7 b) Ermitteln Sie den Schnittpunkt der beiden Graphen. c) Berechnen Sie den Winkel, unter dem sich die Graphen schneiden. 3. Gegeben ist die Funktion mit, () < 4e ;. Das Bild zeigt den Graph G von. a) Ist der Graph symmetrisch? Begründen Sie Ihre Aussage. b) Bestimmen Sie den Hoch- und den Tiepunkt der Kurve. c) Zeichnen Sie den Graph der Ableitungsunktion in das KOS Die wesentlichen Merkmale müssen klar erkennbar sein. d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an (). G im Punkt ( GM_A5 **** Lösungen 6 Seiten (GM_L5) ()

41 . Mathematikschulaugabe 4. Gegeben ist die Funktion mit () < 3, 5 a) Bestimmen Sie eine Stammunktion von (). b) Welche Stammunktion von () schneidet die - Achse bei <? 5. Bei leichtem Gegenwind wird ein Ball geworen. Seine Flugbahn ist durch die Gleichung () < 5, annähernd beschrieben. a) Berechnen Sie den höchsten Punkt der Flugbahn b) Berechnen Sie den Abwurwinkel. GEOMETRIE 6. Gegeben sind die Punkte A (, B, 3 4 6( und C ( a 0 a mita. a) Welche besondere Lage im KOS haben die Punkte A und B zueinander? b) Welche besondere Lage im KOS haben alle Punkte C a? c) Zeigen Sie, dass alle Dreiecke ABC a gleichschenklig sind. d) Für welche Werte von a ist das Dreieck bei C rechtwinklig? Für die olgenden Augaben sei nun a < 3. e) Das Dreieck wird durch einen weiteren Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD ergänzt. Bestimmen Sie die Koordinaten von D. ) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms. 7. Eine Kugel hat den Mittelpunkt M 3, 6( und den Radius r < 0. Liegt der Punkt P, 3( innerhalb oder außerhalb oder genau au der Kugel? (rechnerischer Nachweis). GM_A5 **** Lösungen 6 Seiten (GM_L5) ()

42 . Mathematikschulaugabe ANALYSIS. Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen der Funktion den Graph der Funktion g() <,5, e,. () < e,. Über die schiee Rampe wird eine Kugel beschleunigt. Nach Verlassen der Rampe beschreibt die Kugel nebenstehend abgebildete parabelörmige Flugbahn. a) Stellen Sie eine ganzrationale Funktion au, deren Graph näherungsweise dem Bahnverlau entspricht. b) Berechnen Sie den höchsten Punkt der Flugbahn. c) Berechnen Sie den Abwurwinkel. 3. Gegeben ist die Funktion mit () ln 4 ( <,. a) Geben Sie die maimal mögliche Deinitionsmenge und das Symmetrieverhalten des Graphen an. b) Untersuchen Sie das Verhalten von an den Rändern des Deinitionsbereichs. c) Bestimmen Sie alle Nullstellen (nur -Werte). d) Fertigen Sie eine Skizze des Graphen G an (CAS erlaubt). e) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an im Punkt A 3 (3) (. ) Bestimmen Sie die Koordinaten des lokalen Etrempunktes. GM_A5 **** Lösungen 6 Seiten (GM_L5) ()

43 . Mathematikschulaugabe 4. Für die Herstellung von zylinderörmigen Konservendosen soll möglichst wenig Blech verwendet werden. a) Berechnen Sie den Durchmesser und die Höhe einer 3 Dose mit dem Inhalt 0,5 dm und minimaler Oberläche. b) Wie verhält sich bei der Dose mit minimaler Oberläche der Durchmesser zur Höhe? GEOMETRIE 5. Bestimmen Sie die Menge aller Vektoren θ, die sowohl zu θ a < 3 4 als auch zu θ 4 b <, orthogonal sind. 6. Beweisen Sie ür ein Dreieck ABC den Satz des Pythagoras mit Hile des Skalarprodukts. 7. Ein Dreieck ABC im 3 ist durch den Punkt C 3 0 ( und die Vektoren τττθ, τττθ 5 OA <,, AB < gegeben (O = Koordinatenursprung). 0 0 a) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes B. b) Berechnen Sie den Winkel des Dreiecks ABC. b) Berechnen Sie das Volumen einer Pyramide ABCS mit der Spitze S (. GM_A5 **** Lösungen 6 Seiten (GM_L5) ()