Mathematische Randbemerkungen 8: Einige q-hankeldeterminanten und damit verknüpfte Identitäten

Transkript

1 Mathematische Radbemeruge 8: Eiige -Haeldetermiate ud damit verüpfte Idetitäte Joha Cigler Der Ausgagsput der folgede Bemeruge war der Versuch, die Haeldetermiate i+ + m det m für m zu bereche Ich suchte zuächst ach Gesetzmäßigeite, i, sah aber eie, außer dass diese Determiate für > m+ verschwide ud eifache Produtdarstelluge habe Da die Utersuchug allgemeierer Fälle oft mehr Eisicht m+ + m brigt, habe ich es da statt mit m mit Produte der Gestalt a c+ d ( c+ e ( probiert Aufgrud der zusätzliche Parameter ließe sich dere Haeldetermiate ziemlich leicht errate Durch das Errate eiiger weiterer Details wurde ei eifacher Idutiosbeweis möglich Zusätzlich ergabe sich ei paar Resultate über die Catalazahle vo George Adrews sowie ei iteressates Aalogo der zetrale Biomialoeffiziete ud eiige damit zusammehägede Idetitäte Im Nachhiei habe ich erfahre, dass mei Ausgagsproblem scho lage gelöst war ud dass die betreffede Idetitäte als Spezialfälle der termiierede 6 φ 5 Summatiosformel aus der Theorie der hypergeometrische Reihe iterpretiert werde öe Diese Hiweise verdae ich Michael Schlosser, dem ich sehr herzlich dafür dae möchte Dieser Artiel hat wie meie adere mathematische Radbemeruge icht das Ziel, eue Resultate abzuleite, soder möchte ur eiige Aspete betoe, die mich besoders fasziiere I diesem spezielle Fall möchte ich darüber hiaus zeige, wie weit ma mit rei experimetelle Methode omme a Daher hat mich die Tatsache, dass diese Determiate scho beat sid, icht weiter gestört Es war sogar gut, dass ich das vorher icht gewusst hatte, de sost hätte ich mich mit derartige Frage gar icht beschäftigt Haeldetermiate ud zugeordete orthogoale Polyome I diesem Abschitt möchte ich eiige wohlbeate Resultate sizziere, auf welche ich aufbaue werde: Sei ( a eie Folge vo Elemete eies Körpers mit a ( Ist det( ai ( + i, für alle, da sid die Polyome a( a( a( a( a( a x px (, det a( a(3 a( + x ( det( ai ( + i, a a ( + a( x (

2 beatlich orthogoal bezüglich des lieare Futioals F, das durch F( x a defiiert ist Geauer gilt det( ai ( + i, F( p(, x p(, x F( x p(, x [ ] det( ai ( + i, (3 De i a( a( a( F( x + ( ( a a a F x + F( x p(, x det a( a(3 a( + F( x det( ai ( + i, + a a ( + a( Fx det( ai ( + i, sid für < zwei Spalte gleich ud für steht rechts det( ai ( + i, Nach dem Satz vo Favard erfülle sie daher eie Reursio der Gestalt p( x, ( xs ( p (, x t ( p (, x (4 Wir defiiere u Koeffiziete a (, durch x a (, px (, (5 Aus a (, px (, x x a (, xpx (, a (, p ( +, x + s px (, + t ( p (, x px (, a (, + sa (, + ta (, + ergibt sich a(, [ ] a (, s( a (, + t( a (, a (, a (, + sa (, + ta (, + (6 Dabei ist a (, Fx a

3 Ma überlegt sich leicht, dass x p(, x a (, F t ( t ( t ( ist De aus x p(, x x p( +, x + s p(, x + t( p(, x t( t( x p(, x x p(, x x p( +, x + s + t t( t( t( ergibt sich, dass F x p(, x t ( t ( t ( die Reursioe (6 erfüllt ud daher mit a (, übereistimmt Speziell ist x p(, x F a(,, t( t( t( dh Schreibt ma x a (, b ( x,, ud somit ( (, t( F p x p( x, b (, x, so gilt ach (5 (7 a (, b (, [ ] (8 Die Matrize ( ai (, ud ( bi (, sid also ivers zueiader Eie weitere iteressate Formel ist aam (, (, t( am ( +, (9 De m am ( +, am ( + F( x x Fam (, p ( x, a (, px (,, amaf( px am (, af (, p( xpx, (, (, (, (, 3

4 Aus ( folgt, dass die etsprechede Polyome beim Übergag zur Folge ( ua x durch u p gegebe sid Dabei geht s i us(, t i u ut ud a (, i u a(, über Alles wird och eifacher, we ma vo eier Folge ( a ausgeht, die abwechseld Nulle hat, dh vo der Form a c ud a(+ ist Da sid alle s ud die a (, durch die Werte ( t eideutig festgelegt Wir betrachte da außer de Determiate det ( ai ( de Folge ud gehöre ( a ( ( c ( ( a (, + auch die Determiate, die zu ( ( a ( ( a (, + ( Ma rechet leicht ach, dass für die zu diese Folge gehörede Werte s( t(, s t( + t, t( t( t(, t t t(+ ( sowie s( t( + t(, s t + t(+, t( t( t(, t t(+ t(+ (3 gilt ergibt sich weiters Aus a (, b (, [ ] ud b (, b (, (4 b (, b ( +, + (5 Eie iteressate Folgerug ist ( a(, t( [ ] (6 Das ergibt sich umittelbar aus ( De we wir t( setze ud beachte, dass a(, a(,+ a(,+ ist, so folgt 4

5 + ( a(+, t( + ( a(, + t( + t a(, + t t( + a(, + t( ( a(, t( t( + t t t( Für die ugerade Werte ergibt sich aalog für > ( a(+, + t( + t( a(, (7 Die Idetität (9 a auch i Matrixform geschriebe werde: Sei A ( a(, i, i, i i D [ i ] t( die Diagoalmatrix mit Eiträge t(, i,,,,, ud i, H ( (, a i+, i Da gilt ADA H t Geht ma zu de Determiate über, so ergibt sich sofort, dass gilt i d (, det H t (8 i Sei u d ( ai+ + die Haeldetermiate vo ( a+ (, det, da folgt aus i, (, dass d (, ( b (, d (9 ist Durch die Folge ( d (, ud ( d (, ist die Folge ( a eideutig charaterisiert Aus de Eigeschafte der Determiate ist lar, dass die te Haeldetermiate vo d (, x bzw d (, x besitze ( ax de Wert 5

6 Der allgemeie Fall Die folgede Resultate habe ich durch systematisches Rate gefude Ich möchte urz sizziere, wie ich dabei vorgegage bi Ich verwede die übliche Notatio ud schreibe ( a ( a ; ( a ; für ( a ; Wie scho erwäht habe ich zuerst Folge ( utersucht mit ersetzt durch c ; ( a ud a mit a c ud a(+ c+ d ( Aufgrud der erhaltee Resultate habe ich das später c+ e ( ( b ( b ; cab (,,, ( a ; ( a Das ist eie Spur allgemeier ud vereifacht die Formel Ich habe da mit Hilfe vo Mathematica die erste paar Polyome p( x, mit Formel ( berechet Aus der Tatsache, dass p( x, xp (, x t ( p (, x gilt, ote ich daraus der Reihe ach die t bereche ud ihre allgemeie Gestalt errate Es ergab sich ( t(, a, b, ( b( a ( a( a ( ud + ( ( b a t(+, a, b, + ( a( a Für vereifacht sich ( zu (3 b t(, a, b, (4 a 6

7 Daraus folgt ud ( b ; t(, a, b, (5 ( ; ( a ; ( a; t( +, a, b, ( b a (6 Ich habe u mit diese Werte die etsprechede Matrix ( a (, gebildet durch a(,, a, b, [ ] a (,, ab,, t(, aba,, (,, ab,, aab (,,,, a (,, ab,, + taba (,,, (, +, ab,, Glüclicherweise habe sich die a (, wieder leicht errate lasse Es ergibt sich ( b ; ( a; a ab c ab (,,,, (,,, (7 ud + ( b; + ( a; a + + ab c a b + + (,,,, (,,, (8 Damit hatte ich geug Iformatioe, um die bisherige Aussage zu beweise Es geügt ämlich zu verifiziere, dass mit diese Werte (6 erfüllt ist Das lässt sich aber leicht mit Idutio zeige: a(, t( a(, t( t( a(, ( b ; ( ; ( ; b b b b ba a ; a a ; ( a( a( a ( a ; ; ( ( b b b b a, ( a ; a a ( a ( a weil b b ( ( ba ( b ( a ( b( a ( ( ba a a ( a a ( a a ist 7

8 a(, a(, t + t( a(, t t( + a(, + ( b ; ( b ; ( a; ( a; ( ( ( ( ( a( a ( a( a + ( b( a ( ( a + b a a + ( b ; ( a; + ( b; + + a a a a a; Eie leichte, aber etwas lagwierige Rechug zeigt, dass die Summe verschwidet Aalog geht ma für a(+, + vor Ebeso habe ich die allgemeie Gestalt der Koeffiziete bab (,,,, der orthogoale Polyome errate Es ergibt sich b(,, a, b, ( b ; + ( ; a (9 ud ( b + ( ; + ; b(+, +, a, b, ( a ( Zum Beweis, dass ich richtig gerate hatte, musste ich ur verifiziere, dass damit (4 erfüllt ist Ei Blic i das Stadardwer The Asey-scheme of hypergeometric orthogoal polyomials ad its -aalogue vo R Koeoe ud RF Swarttouw ( zeigt, dass p( x, die ormierte Versio der b a Little -Jacobi Polyome p( x;, ist b Die Tatsache (8, dass die Matrize ( a(, ud ( (, ergibt die Idetität oder ( b ; ( b ; + ( ; ( ; ( a a [ ] ( b ; + ( ; b zueiader ivers sid, ( a [ ] ( a + 8

9 Diese lässt sich och ei weig umforme zu [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( b ; +!! + [ ] ( a!!!! a; oder we ma setzt ud beachtet, dass die vo uabhägige Terme [ ]!! ( ; b für de Wert liefer, [ ] ud a + + [ ] ( a; + ud we ma durch + ud a durch a ersetzt, ( ( a [ ] ( a ; + ( Kurioserweise erhält ma dieselbe Idetität aus (6 bedeutet hier De ( a(,, a, b, t(, a, b, [ ] ( b ( b ; ; ( a; ( a; ud das ist ichts aderes als [ ] a(,, a, b, b(,, a, b, [ ] De we ma (5 ud (9 miteiader vergleicht, bemert ma, dass b(,, a, b, t(, a, b, gilt Setzt ma τ ( ab,,, t( ab,,,, (3 9

10 da ergibt ei Vergleich vo (5 ud (9 b ab ab τ (,,,, (,,, ud b + + a b a b τ + + (,,,, (,,, Die Idetität a(,, a, b, a( m,, a, b, t(, a, b, a(m+,, a, b, ist ach eier leichte Rechug äuivalet mit der folgede Idetität: m m ( b ; ( a ; m ( b ; ( a ; ( a ; ( ; ( a ( b a m ( b ; ( a ; ( a ; (4 Lässt ma i (4 m gehe, so ergibt sich ( a ( a ; ; ( a ( b a (5 ( b ; ( a ; ( b ; Nu wolle wir och die Haeldetermiate (,,,, det (,,, d m a b c i+ + m a b i, bereche Aus (5 ud (6 ergibt sich ( b ( ; ; ( a; ( a ; Tab (,,, : t( ab,,, t( +, ab,, ( ba Daher ist ach (8 ( b ( ( a ; 3 ; ; ( a; d (,, a, b, ( b a 3 + ( b( ( b a ( a ; a +

11 Daraus ergibt sich ach leichter Rechug ( b ; d(,, a, b, a d (,, a, b, b a; Daher ist ( b ; b d(,, ab,, d(,, ab,, d(,, ab,, a a; (6 Dasselbe Ergebis folgt auch aus (9, da ( b ; b(,, a, b, ist Nu ist aber lar, wie ma allgemei d (,,,, m a b bereche a: ( b ; ( b ; + ( a; m m m m m a ; a; m d (, m, a, b, d (,, a, b, d (,, a, b, (7 3 Eiige Spezialfälle Es gibt viele iteressate Spezialfälle der ebe sizzierte Theorie Ich möchte hier ur eiige weige äher utersuche 3 Ei -Aalogo vo! ud /! Wir betrachte zuerst de eifachste Fall, wo a durch a c ( c ; ( ud die Folge ud a(+ defiiert ist Aus ( ud ( ergibt sich t (, t(+ ( Aus (7 ud (8 folgt ebeso + a(, ( ; + a(+, + ( ; Aus (9 ud ( folgt schließlich + (, ; b + ( +, + ( ( ; b (3 (3

12 Für die Haeldetermiate der Folge a [ ] sich somit aus (8 ud (7! ergibt ( ( 6 ([ ] ([ ] d (,,,, (! (! ud m m + d (, m,,, ; d (,,,, Daraus ergibt sich weiters, dass ( ( 6 ([ i ] ([ ] det +!! (33 i, ud 6 ([ i m] ([ ] i, [ + ] [ ]! ( ( + 3 m m! det!! + + (34 Die Formel (9 reduziert sich i diesem Fall auf die Vadermode sche Formel m m+ Für die Folge [ ]! ergibt sich aalog ( m+ i, [ ]! det ( [ i m] (35 + +! [ + m+ ]! 3 Haeldetermiate der Folge + m m Um user Ausgagsproblem zu löse, betrachte wir ud schaue us die Folge ( aus de obige Formel + d ( c ( d + ( ; ( ; a mit a c ud a(+ a Dabei ergibt sich d + ( t(,, d,, ( (36

13 t(,, d, ( + + d ( + + d ( ( ( + + ( ( ( + ( (37 ud + + d + d ( ( ( t(+,, d, ( ( ( ( + (38 Für die Folge ( c ergibt sich aus ( + d d ( ( t(, d t(,, d, t(,, d, ( ( ( + ud für > + ( + + d d ( ( t(, d t(,, d, t(+,, d, + + ( + ( ( + Daraus folgt + + ( ; ( ; ; ( (, d d t i d i + Daher gilt für die Haeldetermiate Für d m reduziert sich das auf + + ( ; ( ; ; ( d (, d (39 d d ( ( 6 + m+ ( i m + + d(, m det m (3, i Es ist lar, dass für > m+ die rechte Seite verschwidet Das schaut auf de erste Blic so aus, als ob usere Ableituge hier icht awedbar wäre, weil die Grudvoraussetzug, dass alle Haeldetermiate sid, icht erfüllt ist Es ist edoch lar, dass beide Seite vo (39 stetig vo d abhäge ud dass daher der Grezübergag für die Haeldetermiate orret ist, obwohl zb (8 icht mehr gilt Wie scho eigags erwäht wurde Formel (3 scho vo L Carlitz ( Some determiats of -biomial coefficiets, J reie agew Math 6 (967, 6- bewiese Weitergehede Resultate fide sich auch im Artiel "Advaced Determiat Calculus" vo Christia Krattethaler ( speziell i Theorem 6 3

14 33 Ei iteressates -Aalogo der zetrale Biomialoeffiziete Als ächstes Beispiel betrachte wir ( ( ; ; c ( + (3 Hier ergibt sich aus (4, ( ud (3 t(,,, + ud für > + ( ( t(,,, ( ( ( + ( + ( ( ( ( ( + ( + ( + ( + + ( +,,,, (+ (+ + + t also für > t Für die Haeldetermiate ergibt sich + ( + ( + 3 d ( + (3 (33 Weiters ist t(,,, ( + ( + ud für 4+ t(,,, + + ( + ( + ( + Das ergibt t(, i,, ud daher i ( + ( + 4

15 Aus (7 folgt ( (45 6 d(,,,, t( i,,, i ( + (34 + ( ; + ( ; d (,,,, d (,,,, (35 Nu ist + ( ; [ + i+ ] [ + ]! + ; + i [ ] [ + ] [ ] [ ][ ] [ ] [ + ] [ + ] [][] [ ] i! ! [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] Das a och etwas vereifacht werde: [ ][ ] [ ] [][] [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] ( + ( + 3! Daher ist [ ] [ ] [][] [ ] [ + ] [ + ] [ ] [ ] 3 ( + ( + ( + ( + ( + ( + [ + ] [ ] ( + ( + ( i ( + ( + ( + [ + ] [ ] ; [ + i] Somit ergibt sich schließlich [ + + i] i [ ] + ; i [ + i] (36 d (,,,, d (,,,, Für geht i+ det i+ d (,,,, i i, über Daher ergibt sich das wohlbeate Resultat 5

16 Allgemei ergibt sich aus (36 i+ + + i + + det i ( i + i i, Setzt ma f(, i ud bildet die erzeugede Futio + i i x F ( x f(,, da führe Computerexperimete zur Vermutug, dass für p ( x F ( x + ( x ist, wobei p ( x ei symmetrisches ormiertes Polyom vom Grad + mit gazzahlige Koeffiziete ist Die erste Werte sid 3 4 p ( x, p ( x + x, p ( x + 6 x+ x, p ( x + 8x+ 7x + 8 x + x, 3 4 p x + x+ x + x + x + x + x + x , ( ; Wir öe ( ; schreibe auch i der Gestalt ( ; ( ; ( (38 Aus der Vadermode sche Formel ergibt sich ( + ( ( ( Das bedeutet für die erzeugede Futio ( ; ( ; (39 f ( z z ( z 6

17 die Idetität f( z f( z z (3 Für ist das äuivalet mit der Formel z 4z 34 Die -Catalazahle vo George Adrews Betrachte wir u ( ; 4 ( ; c (,,, C Für strebt c, wobei 4 C + die Catalazahle sid Im lassische Fall spielt die Folge (,,,,,,5,,4,,, wo die Catalazahle ur a gerade Stelle auftrete, eie große Rolle Wir betrachte daher wieder die Folge ( a mit a c, a(+ Hier ergibt sich für alle t + + ( + ( + (3 Die Haeldetermiate ergibt sich zu (,, 4,, 3 + d ( + ( + Für die Haeldetermiate vo ( c ergibt sich ( ( d (,,,, ( + ( + (3 7

18 Aus (7 folgt + ( ; + + ( ; 4 4 d(,,,, d(,,,, (33 Geau so wie im letzte Abschitt ergibt sich hier [ + + i] ; i [ + i] (34 d(,,,, d(,,,, Speziell ist ( ( d (,,,, ( + ( + (35 Setzt ma 4 ( ; [ ] ; + ( C ( ( +, ( + so erhält ma ei Aalogo der Catalazahle, welches zuerst vo George Adrews (J Comb Th A 44, (987 betrachtet wurde Für folgt aus (3 C det 4 4 i+ i+ i, ud daher das wohlbeate Resultat ( C Aalog folgt aus (34 det i+ i, i i + + i Ci+ det i+ + i+ i, i + i i + i i, C det Daraus ergibt sich schließlich das ebefalls beate Resultat (C Krattethaler, Advaced determiat calculus: A complemet, Theorem i det ( Ci+ + i, (36 + i i 8

19 + + i Setzt ma g (, ud bildet G ( x g(, x, i + i da ergibt sich aalog wie vorhi die Vermutug, dass r ( x G ( x + ( x ist, wobei r ( x ei symmetrisches ormiertes Polyom mit gazzahlige Koeffiziete vom Grad ist Die Folge begit mit ( r ( x (,, + x, + 7x + 7 x + x, + 3x + 87x + 33x + 87x + 3 x + x, Aus der Vadermode sche Formel ergibt sich i diesem Fall ( ( Defiiert ma hz z, (37 so gilt also hzhz + z (38 Für die erzeugede Futio f ( z C ( z dieser Catalazahle ergibt sich + + f ( z 4z h( 4 z 4z 4z + ( + ( + + (39 4 z Für reduziert sich das auf die Formel Cz z Aus 4z 4 z f ( z f ( z 4z + + ergibt sich f( z + f( z 4 + zf ( z f ( z + ( + (33 9

20 Koeffizietevergleich gibt ei Aalogo der beate Reursiosformel für die Catalazahle 4 C( C C ( + ( + ( + mit C ( 4 Eiige iteressate Idetitäte I Mathematische Radbemeruge 7 habe ich eiige beate Idetitäte für Catalazahle ud verwadte Zahlefolge gesammelt Ich möchte hier ur eiige wiederhole Sei a(, C, a(+, ud ( a (, die zugehörige Matrix Da sid alle etsprechede t Es ist da a(, + + ud a(+, Es gilt ( a(, [ ], (4 a(,, (4 ( a(+, + C (43 ud + a(+, + (44 Wir wolle u diese Idetitäte auf die hier betrachtete Situatio übertrage Als Verallgemeierug vo (4 zeige wir oder etwas allgemeier ( b ; ( ; a(,, a, b, t(, a, b, (45 ( a ; ( b ; ( ; ( ; a(,, a, b, (, a, b, τ a (46

21 Das bedeutet oret ( b ; ( ; ; ; b b + a; a; a; ud reduziert sich auf ( ; a; a; a; + oder we ma + ud setzt + ( + ( a ; a; a; + Ersetzt ma schließlich ist a durch a, so sieht ma, dass (46 äuivalet mit der Idetität + ( ; ( a (47 a ; a ; Die Formel (47 a mit Hilfe des Zeilbergeralgorithmus leicht bewiese werde ZB liefert Zeil Zeil@ ^Biomial@, D Biomial@,, D H a^h LL ê Pochhammer@^a,, + D Pochhammer@ a,^,d, 8,, <,,D SUM@D H + + L SUM@ + D Ich möchte och zwei adere Beweise gebe: a Sei ε der lieare Operator auf de formale Potezreihe, der durch ε f ( x f( x defiiert ist Aus ( x; x folgt + ( ; ( ; x ( ; ( ; ε ε x x ( ( ( ( ; ( ; ε x ( ; ( ( ( + + ( ; ( ( ( x ( ; ( ( ; Geau so ergibt sich + + ( + ( x

22 x x + + ( ; ( ; x ( ; ( ; ε ε x x ( ( ( + ( ; ( ; ε x ( ; ( ( ( ( ; ( ( ( x ( ; ( ( ( ( ( + ( ; x ( ; x Schließlich erhalte wir + + x + + ( ; ( ; x + + ( + ( ; x ( ; ( x + x ud somit (47 b Der zweite Beweis verwedet eie Idee vo Victor J W Guo ud Jiag Zeg (Short proofs of summatio ad trasformatio formulas for basic hypergeometric series, arxiv:math CO/557 Sei ( a, F a ( a ; + (48 Da folgt aus der triviale Relatio + ( a ( a ( a +, dass F, ( a F, ( a F, ( a + a a (49 gilt De ma verifiziert sofort, dass ( a F, ( a ( a a ; gilt Für die rechte Seite gilt dieselbe Reursio ( ; ( ; ( ; + 3 ( a; a ( a; a ( a; +,

23 de sie reduziert sich auf ( + ( a a+ ( a Da (47 für trivialerweise erfüllt ist, ist alles bewiese Für ergibt sich aus (47 ( a ; ( ; ( ( a ; a; Beachtet ma die Euler sche Idetität so reduziert sich diese Idetität für m+ ( ; ( ; 3 5 ( ( ( a + + m+ m auf ( ; m ( ( (, Michael Schlosser hat mir mitgeteilt, dass sich die Formel (47 auch als Spezialfall der termiierede 6 φ 5 Summatiosformel ergibt Als Spezialfall ergibt sich im Fall der Adrews sche Catalazahle a 4 (,,,, ud 4 (,,, + ( ( ; [ + ] [ ] ; + + ( ( + ( + t ( ; Daher gilt die folgede Darstellug, welche die Aalogie zum Fall besoders deutlich zeigt: 4 4 a(,,,, t(,,, + [ + ] [ + + ] + ( ; ( ; ( + a (,,,, (4 (4 ist ei schöes Aalogo vo (4, da rechts das Aalogo der zetrale Biomialoeffiziete steht Für diese ergibt sich eie ähliche Formel Es gilt 3

24 ( ; ( ; ( ; a(,,,, ud (,,, t ( ; + Daher ist ( ; ( ; ( ; ( ; a(,,,, t(,,, + ( ; ( ; ( ; ( ; ( ; ( ; + (4 Im Fall reduziere sich die Werte auf a(, 4 Die Formel (4 wird da ud t( 4 Die rechte Seite vo (4 ist ei Aalogo der ostate Folge a, Sie etspricht de Parameterwerte ( ab,, (,, We wir die etsprechede a (, betrachte, so ergibt sich ; a(,,,, 4 + Das ist ei Aalogo vo ; Hier ist t(,,, ( ; ( ; wieder ei Aalogo vo I diesem Fall ist daher a(,,,, t(,,, ei Aalogo vo Dieses lautet 4

25 ( ; ( ; 4 ( ; ; ; ; ; ; ; ; Das reduziert sich auf die eifachere Idetität die wiederum eie direte Folge vo (47 ist ( ; ( ( ; ; +, (43 Wir wisse bereits, dass + ( b; ( ; + ( a; ( a ; a(+, +, a, b, t( +, a, b, ( b a gilt Aus (7 folgt ( b ; ( a ; ( a(+, +, ab,, t( +, ab,, t(, aba,, (,, ab,, (44 Dagege scheit + ( a; a( +, +, a, b, t( +, a, b, + + ( a; b; ; ( b a bei beliebigem b ur für a ei schöes Resultat zu liefer Es gilt da Die Idetität + ( ; ( ; + b; + ; ( b ( b; ( ; ( b b + ( ; + ; ( (45 5

26 + + ( b; + ( b; ( b ( ; + ( ; (46 + lässt sich wieder sehr eifach mit Zeil beweise Wir erhalte Zeil@ ^Biomial@ +, D Biomial@,, D Pochhammer@^H + L b,, D Pochhammer@,, DH ^H + LL b^ Pochhammer@ ê b,, DêPochhammer@,,+ + D, 8,, <,, D SUM@D H + b L SUM@ + D + Als Zertifiat ergibt sich c@, D + Hb + LH + + LH + + LH + L H + + LH + LH + LH + b + L Um sich davo zu überzeuge, dass das wirlich stimmt, muss ma ur achreche, dass b f (, f (, + c (, c (, + f(, f(, ist, we ( ; + f (, b ; ( b bedeutet Setzt ma wab (,,,, a(+,+, ab,, t(+, ab,, ( b; ( ; ( a ( b a, ( a; + + (47 da ist (44 äuivalet mit Im Fall der zetrale Biomialoeffiziete ist ( b; ( a; ( wab (,,,, ( ( ; ( ( ; ( ; ; ; + + a(+, +,,, ud + + 6

27 (,,, t + ( ; Hier ergibt sich + ( a(+, + t( + ( ; ( ; (49 ud ( ; ( ; + + ( + ( a(+, + t( + ( ( ; ( ; + + (4 Lässt ma i (49 gehe, so ergibt sich ( ; ; ; ; ( + ; ; ; + ; ( ; ud daher die Gauß sche Formel ; ; Für die Catalazahle erhalte wir ud [ ] [ ] + 3 ( ; 4+ 6 ( ; 4 a(+, +,,, ( + ( ( +,,, t ( ; + (4 Hier ergibt sich das Aalogo vo (44 [ ] 4 4 a(+, +,,, t( +,,, ( + [ + + ] ( ; ( ; (

28 Weiters ist i Aalogie zu ( [ + + ] ( + ( ; ( ; ( ; [ + ] ( ; ( ; 4 4 ( a(+, +,,, t(+,,, + [ ] + + ( + ( Im Fall a habe ich außer dem ebe betrachtete ur ei paar weitere spezielle Fälle mit schöe Summe gefude Jeder davo a mit Zeil automatisch bewiese werde Betrachte wir zuächst für positive gaze Zahle m m m + w (,,,, + m + m+ Hier ergibt sich Für ergibt sich daraus m + ( ; (4 + m m+ + m+ + ( ; ( ; m+ ( ; + + m ; ( m Eie weitere geschlossee Summatio ist auch w 5 4 ( + ( ; ( + ( ; 3 4 (,,,, Michael Schlosser hat mich darauf aufmersam gemacht, dass Formel (46 aus der termiierede 6 φ 5 Summatiosformel a ; b ; c ; ( ; + a ( ; ( / ; a a a bc + ( a ( ; ( / ; ( / ; ( ; bc a b a c a ( a/ b; ( a/ c; (vgl G Gasper- M Rahma, Basic hypergeometric series, Secod Editio, Ecyclopedia of Mathematics ad its Applicatios 96, Cambridge Uiversity Press 4, Appedix II, (II folgt Dazu defiiere ma wie obe 8

29 ( ( b; ( ; wab (,,,, ( a ( b a ( a; + + b a b a b a ( + b + ; + / ; ; ( a ; ( a ; ; ud außerdem ( a; ( c; vac (,,, c ( ; ( a / c ; Aus der termiierede 6 φ 5 Summatiosformel folgt da ( b ; ( a ; ( b/ c ; ( b/ c ; wabvac (,,,, (,,, (43 a ; b ; a/ c ; a/ c ; Die betrachtete Spezialfälle ergebe sich daraus aus de folgede leicht zu verifizierede Idetitäte: va (,,, (, v (,,,, 3 ( ; 3 w (,,,, w (,,,, v (,,,, 4 ; 5 4 ( ; 6 4 ( ; w w v (,,, 3, 4 (,,,, 4 (,, 5, 4 ud ( ; ( a ; wa wa a va a (,,,, (,,,, (,,, Aus (43 ergibt sich da ud ( b; ( a; ( b; ( ; wab (,,,, (, w (,,, b,, 3 3 ; ( ; ; + (,,,,, w w 3 4 (,,,, ( ( ; ; ( + ; ; ; ; ( ; ; ( + ; ( ( ; ; ; 4 4 (,,,, 4 4 wa a ; a ; ( + a ; 9