Elementare q-identitäten

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1 Elemetare -Idetitäte Joha Cigler Grudlage I diesem Kapitel werde die Grudlage der Aalysis, des so geate Quatum Calculus gelegt Es geht dabei um ei disretes Aalogo der Differetialrechug, bei dem die formale Aalogie zur Differetialrechug wesetlich eger ist als bei der lassische Differezerechug Wir beschräe us dabei auf de Vetorraum [ x] der Polyome i x Dieser stellt eie ideale Spielwiese dar, weil auf ihm die Differetiatio ud die Multipliatio mit x ohe Eischräuge defiiert sid ud als lieare Operatore iterpretiert werde öe, die außerdem bezüglich eies iere Produts adjugiert zueiader sid Weiters sid dort die Tayloretwiclug ud der biomische Lehrsatz äuivalet Dasselbe gilt auch für ihre Aaloga Sei [ x] der Vetorraum der Polyome i x über dem Körper der omplexe Zahle Eier der wichtigste Begriffe der Aalysis ist der Differetiatiosoperator D, dh der f ( y) f( x) lieare Operator auf [ x], der durch Df ( x) = lim für f [ x] defiiert ist Er y x y x ist auf [ x] charaterisiert durch Dx = x für alle = {0,,2,} Es gibt im wesetliche zwei disrete Aaloga des Differetiatiosoperators D Das sid der Differezeoperator Differetiatiosoperator + für \ { } h, defiiert durch D, defiiert durch f ( x+ h) f( x) h f( x) = für h \{ 0} ud der h f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) D f( x) = =, x x ( ) x Diese Operatore öe ebefalls durch ihre Wirug auf eie Basis vo [ x] charaterisiert werde Für h sid das die Polyome ( x) h, = xx ( h)( x 2 h) ( x ( ) h) Hier gilt h( x), h = ( x), h Für de Differetiatiosoperator sid es wieder die Moome x, welche u () ( x) x Dx = = x = [ x ] ( ) x (2) erfülle Dabei ist 2 [ ] = = (3) ei so geates Aalogo der atürliche Zahl, weil dieser Ausdruc für = mit zusammefällt

2 Es ist lar, dass lim h = lim D = D auf [ x] ist h 0 Der Operator h führt auf die lassische Differezerechug, die i meiem Sriptum Korete Aalysis behadelt wird, das ma vo meier Homepage heruter lade a Der Operator D erweist sich überraschederweise als wesetlich schöeres disretes Aalogo des Differetiatiosoperators, weil die formale Aalogie zur Differetialrechug och eger ud iteressater ist als bei der Differezerechug ud führt zur Aalysis, dem so geate Quatum Calculus, da sie auch i der Quatetheorie eie große Rolle spielt Hier gibt es auch iteressate Querverbiduge zur Theorie der Partitioe atürlicher Zahle ud zu verschiedeste Idetitäte der lassische Mathemati Es ist a priori schwer zu sage, warum das so ist Es scheit ei glüclicher Zufall zu sei, der durch mehrere schöe Resultate zustade ommt, wie wir och sehe werde I der Differetialrechug spielt die Produtformel ( fg) = fg + fg eie wichtige Rolle Diese a auf [ x] folgedermaße iterpretiert werde: Sei D der Differetiatiosoperator, der durch D ( g( x)) = g ( x) für gx ( ) [ x] defiiert ist Für festes f ( x) [ x] sei f (oder f ( x )) der Multipliatiosoperator mit f ( x ), der durch f ( gx ( )) = f( xgx ) ( ) gegebe ist Da lässt sich die Produtformel auch i der Gestalt Df = f + fd schreibe Aus ihr ist ersichtlich, dass die lieare Operatore D ud f icht ommutiere, soder dass ihre Differez durch Df ( x) f( xd ) = f ( x) gegebe ist Speziell ist also Dx xd = I, wobei I die Idetität bedeutet Ma a ohe Übertreibug sage, dass diese Idetität eie der Grudlage der Aalysis bildet Sie ist auch (fortgesetzt auf uadratisch itegrierbare Futioe) i der Quatemechai uetbehrlich Ma dee ur a die Heiseberg sche Uschärferelatio, die aus ihr folgt Ihre Aaloga werde daher im Folgede eie wichtige Rolle spiele Für de Differetiatiosoperator lautet die Produtformel D( f( xgx ) ( )) = f( xdgx ) ( ) + gxdf ( ) ( x) = gxdf ( ) ( x) + f( xdgx ) ( ) (4) Sie ergibt sich aus f ( x) g( x) f ( x) g( x) f ( x) g( x) f ( x) g( x) + f ( x) g( x) f ( x) g( x) D ( f( x) g( x)) = = ( ) x ( ) x = gxdf ( ) ( x) + f( xdgx ) ( ) = f( xdgx ) ( ) + gxdf ( ) ( x) + ( ) xdf( x) Dgx ( ) ud der Symmetrie zwische f ( x ) ud gx ( ) Wir formuliere sie ebefalls mit Hilfe liearer Operatore auf [ x] Sei ε der lieare Operator, der durch ε gx ( ) = gx ( ) für alle g [ x] defiiert ist Da schreibt sich (4) i der folgede Form: D f( x) = f( x) D + ( D f )( x) (5) bzw D f( x) = f( x) D + ( D f )( x) ε (6) 2

3 Für f ( x) bzw = x ergibt das Dx xd = I (7) Dx xd = ε (8) Für reduziert sich das auf Dx xd = I Ma sieht scho hier, dass sich i der Aalysis lassische Idetitäte meistes i doppelter Versio spiegel Um die Formulierug der Formel icht zu umstädlich zu mache, wolle wir im Folgede meistes D statt D, f ( x) statt D ( f( x )) ud urz f ( x ) statt f ( x ) für de etsprechede Multipliatiosoperator schreibe Um zwische der Ableitug f ( x) ud der Hitereiaderausführug vo D ud f lar zu uterscheide, schreibe wir f ( x) = D( f( x)) mit Klammer ud Df = Df = Df ( x) ohe Klammer Wir schreibe also (5) i der Form Df ( x) f ( x) D = f ( x) ud (6) i der Form Df ( x) f ( x) D = f ( x) ε Beachtet ma, dass ( x ) Dx ( ) [ ] x = = ist, so folgt aus (5) ud (6), dass Dx x D x = [ ] bzw Dx x D [ ] x ε = gilt Wede wir diese Formel auf x [ x] a, so ergibt sich [ + ] [ ] = [ ] bzw [ + ] [ ] = [ ], was atürlich auch diret aus der Defiitio vo [ ] folgt Bemerug Die allgemeie Formel (5) folgt bereits ohe zusätzliche Iformatioe aus (7) De zuächst gilt Dx x D = [ ] x für beliebige mit Idutio De für = ist das (7) Ist es für bereits bewiese, da folgt Dx x D = ( Dx x D) x + x ( Dx xd) = [ ] x x + x = [ + ] x We die Formel für alle bereits bewiese ist, da gilt sie auch für alle Liearombiatioe f ( x) = a x De [ ] Df ( x) f ( x) D = a( Dx x D) = a x = f ( x) Wir ee diese Argumetatio das Liearisierugsprizip Wir werde es im Folgede och öfter awede I der lassische Aalysis liefert das Liearisierugsprizip, dass im Vetorraum [ x] der biomische Lehrsatz ud der Taylor sche Lehrsatz äuivalet sid Der Taylor sche Lehrsatz besagt, dass jedes Polyom eie eideutige (abbrechede) Darstellug der Gestalt ( ) f ( a) f ( x) = ( x a) (9) 0 besitzt Wedet ma diese Formel auf f ( x) = x a, so erhält ma eie Versio des biomische Lehrsatzes, ämlich x = a ( x a) (0) 3

4 Aus dieser folgt mit dem Liearisierugsprizip wieder der Taylor sche Lehrsatz De ( ) ( x ) (0) bedeutet, dass z = La ( z a) gilt, wobei a ( ) ( ) L f x = f a bedeutet, dass also der Taylor sche Lehrsatz für f ( x) = x gilt Da L a ei lieares Futioal ist, ergibt sich alles wie obe Wir beötige im Folgede auch die Fatorielle [ ] = [][2] [ ] ud die Biomialoeffiziete [ ] = [ ] [ ] für 0 Diese reduziere sich atürlich für = auf die übliche Biomialoeffiziete Für < 0 ud > setzt ma = 0 Es ist zwecmäßig, auf [ x] ei bilieares ieres Produt durch () [ ] [ ] x, x = = (2) eizuführe Dieses lässt sich auch folgedermaße beschreibe: Sei L das lieare Futioal auf dem Vetorraum der Polyome, das durch Lf ( x) = f (0) defiiert ist Da gilt x, x x, x LD = = ( x ) (3) Ist a f ( x) = x, da ergibt sich [ ] a = f x x = LD f x = f ( ) ( ), ( ( )) (0) Aders ausgedrüct: für jedes Polyom f ( x) gilt die -Taylor-Formel ( f ) (0) f ( x) = x [ ] Bemerug Für = hat die Fortsetzug des iere Produts auf [ x] die explizite Darstellug 2 z f ( x), g( x) = f ( z) g( z) e dxdy, π we ma wie üblich die omplexe Zahl z i der 2 Form z = x+ iy schreibt Die Vervollstädigug bezüglich dieses iere Produtes ist ei Hilbertraum aalytischer Futioe, der i der Physi als Focraum bezeichet wird Die Moome x bilde dort eie orthoormale Basis Mit Hilfe des iere Produtes öe wir jedem lieare Operator A eie adjugierte t Operator A zuorde durch Ax, x = x, A t x für alle, Dieser ist ach dem t t ebe Gezeigte dadurch eideutig bestimmt ud erfüllt atürlich ( A ) = A 4

5 Für de Multipliatiosoperator A = x ergibt sich t t x = DD, = x (4) De x x, x + = LD ( x ) = = + = = = = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] = x, x = x, D( x ) t Weiters ist ε = ε Allgemei gilt ( αa+ βb) t = αa t + βb t,( AB) t = B t A t Ist also f ( x) = a x mit reelle Koeffiziete, so ist der zum Multipliatiosoperator f ( x ) adjugierte Operator gegebe durch f ( D) = a D Speziell ist Lf ( D)( g( x)) = f ( x), g( x) = g( x), f ( x) = Lg( D)( f ( x)) Zum Beispiel ist Lf ( D)( x) = LD( f ( x)) = Lf ( x) = f (0) Jede Operatoridetität geht durch Traspositio wieder i eie Operatoridetität über Beispielsweise folgt aus (5) ud (6) ud f ( Dx ) = xf( D) + f ( D) (5) f ( Dx ) = xf( D) + ε f ( D) (6) Speziell ist also Dx xd [ D ] = ( ) + Wedet ma diese Idetität auf x dass D = x [ ] ist, so erhält ma eie Reursiosformel für die - Biomialoeffiziete: + = + x a ud beachtet, (7) Geau so erhält ma aus Dx xd ε [ D ] = + eie weitere Reursiosformel + + = + (8) Bemerug Ma hätte diese Reursioe atürlich auch diret aus der Defiitio der Biomialoeffiziete erhalte öe Wir wolle im Folgede oft eie Formel der Gestalt a = 0 i der Form a 0 oder a schreibe Das ist möglich, weil wir = 0 setze, we icht zwische 0 ud liegt Außerdem gelte die Reursiosformel (7) ud (8) für alle Das erspart bei Koeffizietevergleich viele lästige Ausahmefälle am Rad des Itervalls Beachtet ma =, so folgt (8) sofort aus (7), we ma durch + ersetzt 5

6 Umgeehrt a ma aus (7) ud (8) sofort die Formel für ableite Wir formuliere das als Satz Sei c, eie Folge, welche c, = c, + c, ud c, = c, + c, erfüllt Da gilt c, = c,0 Beweis Aus beide Gleichuge a ma c, elimiiere ud erhält c c = c c Das bedeutet,,,, [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] + c = c = c,,0,0 [ ] [ ] c = c = c,,, Somit ist Ma beachte, dass das hier so eifach geht, weil ma zwei Reursiosformel zur Verfügug hat Die Situatio für Biomialoeffiziete ist also eifacher als für die gewöhliche Biomialoeffiziete, wo ma aus der Reursiosformel die explizite Formel icht so diret ableite a Aalog zum Fall der Biomialoeffiziete a ma die Biomialoeffiziete i Matrixform schreibe ud erhält da die -Pascal sche Matrix Wir wolle u ei Aalogo des Taylor sche Lehrsatzes (9) suche Dazu beötige wir ei Aalogo der Polyome ( x a) Wir schaue also, ob es Polyome p ( xa, ) gibt, so dass jedes f ( x) [ x] eie eideutige Darstellug We es solche Polyome gibt, da muss speziell ( f ) ( a) f ( x) = p ( x, a) hat [ ] Aus der Eideutigeit der Darstellug ergibt sich daraus p aa [ ] [ ] ( + ) p [ ][ ( a, a) + = ] p ( xa, ) = p( xa, ) = p( xa, ) [ ] p ( xa, ) [ ] = [ ] [ ] ( p ) ( a, a) p ( xa, ) = p( xa, ) gelte ( ) (, ) = = Weiters ist 6

7 Es erhebt sich also die Frage, ob es auch für beliebige eie Polyomfolge gibt, welche [ ] D( p( x, a)) = p ( x, a) ud p( a, a) = [ = 0] erfüllt Wir wolle schaue, wie so eie Folge ausschaue müsste [ ] D( p( x, a)) = p ( x, a) bedeutet, dass p( x, a) p( x, a) = ( ) xp ( x, a) gilt j Daraus folgt p( a, a ) = 0 für > ud daher mit Idutio p( a, a ) = 0 für > j Das Polyom p( xa, ) hat also die Nullstelle aa,,, a Da Dp 0 = 0 ist, muss p 0 ostat sei ud wege p ( a, a ) = ist also p ( x, a ) = Daraus 0 0 folgt, dass p( xa, ) ei Polyom vom Grad sei muss Da dieses Nullstelle hat, folgt p( xa, ) = cx ( a)( x a) ( x a) mit eier Kostate c, die sich mit Idutio als ergibt Ma überprüft u sofort, dass diese Polyome tatsächlich alle gewüschte Eigeschafte besitze Um die Aalogie zum lassische Fall hervorzuhebe, bezeiche wir sie mit p ( xa, ) = ( x a) Es gilt also der Satz 2 Die eideutig bestimmte Polyome p( x, a ) mit p( a, a) = [ = 0] ud D( p ( x, a)) = p ( x, a) sid gegebe durch [ ] 2 p( x, a) = ( x a) = ( x a)( x a) ( x a) = ( ) a x = 0 (9) Es ist ur mehr die letzte Idetität zu zeige Diese folgt jedoch sofort aus der Taylorformel De setzt ma ( x a) = a, x, so ist 2 D (( x a) ) a, = L = (0 a) ( ) a [ ] = Mit de Polyome ( x a beweise ) a ma also de Taylor sche Lehrsatz für Polyome Satz 3 (-Taylor scher Lehrsatz für Polyome) Für jedes a ist die Taylor-Etwiclug des Polyoms f ( x ) um a gegebe durch ( f ) ( a) f ( x) = ( x a) [ ] Beweis Die Polyome ( x a),, bilde eie Basis des Vetorraums [ x] Daher gibt es eie Etwiclug der Gestalt f ( x) = a ( x a) ( Wege f D (( x a) ) x= a= [ ] [ = ] ) ( a) ist a = 7

8 Wählt ma f ( x) = ( x b), so ergibt sich daraus ( x b) = ( a b) ( x a) (20) Für b = 0 ergibt sich speziell x = a ( x a) (2) Wählt ma i (20) x=, b= z, a= 0, so erhält ma 2 f( z) = ( + z)( + z) ( + z) = z (22) Das ist ei schöes Aalogo des biomische Lehrsatzes ( ) + z = z Wir schreibe auch f ( z) = ( + z), wobei jedoch auf die Reihefolge der Summade zu achte ist So gilt etwa ( ) [ ] D ( x+ ) = ( x+ ), Für die Biomialoeffiziete gilt auch die -Vadermode sche Formel r+ s r s = währed (( ) D + x ) = [ ] ( + x) ist r ( r )( ) = 0 (23) r+ s r r s Sie ergibt sich durch Koeffizietevergleich aus der Idetität ( + z) = ( + z) ( + z) Ei wichtiger Spezialfall ist für r = s = die Formel 2 ( ) = = Die Formel (22) ist ur ei Aalogo des biomische Lehrsatzes Es gibt viele adere Formel, die sich für auf de biomische Lehrsatz reduziere Eie abstrate Versio des biomische Lehrsatzes ist Satz 4 (Allgemeier -biomischer Lehrsatz) Seie A, B Elemete eier Algebra über, welche die -Kommutativitätsrelatio BA= AB (24) erfülle Da gilt ( A+ B) = A B = 0 (25) 8

9 Beweis Rechet ma ( A+ B) aus, so ergibt sich eie Summe vo Terme der Gestalt C C mit icht-egative gazzahlige Koeffiziete, wo jedes C i ei A oder B ist Wege der i Kommutativität ist jeder dieser Ausdrüce vo der Gestalt AB Dabei gibt a, wie oft A i diesem Produt auftritt Wir öe daher schreibe ( A+ B) = c, A B, wobei c, ei Polyom i mit icht-egative gazzahlige Koeffiziete ist Aus ( A+ B) = ( A+ B)( A+ B) ergibt sich Durch Koeffizietevergleich folgt c, A B = ( A+ B) c, A B, =, +,, weil BA c c c Aalog folgt aus = A B ist ( ) A B ( A B) ( A B), + = + + dass ist Daraus ergibt Koeffizietevergleich c, = c, + c, c A B c A B A B, =, ( + ) Aus Satz ergibt sich c, = c,0 Wege c,0 = für alle ist alles bewiese Bemerug Die Summe der Wörter w= C C mit de Buchstabe AB,, welche geau mal de Buchstabe A ethalte, ergibt ach (25) geau AB Bezeichet ma mit iv( w ) die Azahl der Iversioe des Wortes w, dh die Azahl, wie oft ei Buchstabe B lis vor eiem Buchstabe A steht, so gilt also für ei Wort w der Läge, das aus Buchstabe iv( w) A ud Buchstabe B besteht, w= A B Das ergibt Satz 5 Sei W, die Mege der Wörter w= C C der Läge, die mal de Buchstabe A ethalte Da gilt iv( w) = w W (26) Zum Beispiel ist W { AABB ABAB ABBA BAAB BABA BBAA}, 4,2 =,,,,, mit iw( AABB) = 0, iv( ABAB) =, iv( ABBA) = 2, iv( BAAB) = 2, iv( BABA) = 3, iv( BBAA) = Daher ist =

10 Es ist istrutiv, aus dieser Darstellug die Reursiosformel für die Biomialoeffiziete abzuleite: Jedes Wort w W +, begit etweder mit A, dh ist vo der Form w= Au, u W,, mit iv( w) = iv( u), oder es begit mit B, ist also vo der Form w= Bv, v W,, mit iv( w) = + iv( v) Daher gilt + iv( w) iv( u) iv( v) = = + = + ww uw vw +,,, Die zweite Reursiosformel ergibt sich, we ma de letzte Buchstabe betrachtet Jedes Wort w W +, edet etweder mit A, dh ist vo der Form w= ua, u W,, mit iv( w) = + + iv( u), oder es edet mit B, ist also vo der Form w= vb, v W,, mit iv( w) = iv( v) Daher gilt + iv( w) + iv( u) iv( v) + = = + = + ww uw vw +,,, Mit derselbe Methode a ma och eimal die Vadermode sche Formel ableite Hier betrachtet ma die Mege W m +, ud zerlegt jedes Wort ach dem m te Buchstabe i der Form w= uv mit u Wm, j, v W, j, für ei j mit 0 j Da ist iv( w) = iv( u) + ( m j)( j) + iv( v) Daher erhalte wir m+ m = j j j ( m j)( j ) 2 Wir öe ei Wort w W, ombiatorisch als eie Gitterweg im iterpretiere, der vo (0,0) ach (, ) geht ud aus vertiale Aufstiege der Läge ud iv( w) horizotale Stüce der Läge besteht Jedem solche Weg w ist als Gewicht zugeordet Das Gesamtgewicht aller Gitterwege i W,, dh die Summe der Gewichte aller solche Gitterwege ist also Wählt ma =, so ergibt sich als Azahl Das ist atürlich trivial, de ma a aus Wegstüce geau auswähle, die Aufstiege besitze iv( w) Das Gewicht des Gitterweges w a geometrisch als Flächeihalt des Teiles des Rechteces mit Höhe ud Läge gedeutet werde, der über dem Weg w liegt De für jedes horizotale Stüc ist die Azahl der vertiale Stüce, die rechts davo liege, dasselbe wie der Flächeihalt über dem horizotale Stüc 0

11 Eie eg damit verwadte ombiatorische Deutug vo ist als erzeugede Futio der Mege P, aller Partitioe λ mit Teile, wobei der größte Teil λ ist Zur Erierug: Eie Partitio λ eier Zahl N mit Läge ist eie Darstellug vo N der Gestalt N = λ+ λ2 + + λ mit λ λ2 λ > 0 Ma et λ i die Teile vo λ ud schreibt N = λ Es gilt also Satz 6 Die erzeugede Futio der Mege P, aller Partitioe mit höchstes Teile, wobei jeder höchste ist, ist gegebe durch λ = λ (27) P, Diese Aussage wird sofort lar, we ma bedet, dass die horizotale Stüce des Teiles des Rechteces mit Höhe ud Läge eie Partitio aus P, bilde ud dass jede solche Partitio eie Gitterweg w als utere Rad besitzt Zum Beispiel etspricht dem Wort AABABBBAABBBAB W4,6 mit iv( w ) = 6 die Partitio λ = (7,4,4,) P 6,8 ud umgeehrt Dieser Gitterweg ud die zugehörige Partitio schaue folgedermaße aus: Durch spezielle Wahl vo AB, erhält ma wichtige Aaloga des biomische Lehrsatzes a b c d Die lieare Operatore A= x ε ud B = x ε auf dem Vetorraum der Polyome erfülle die Kommutativitätsrelatio, falls ad bc = ist De a b c d a b+ d ad a+ c b+ d BAf ( x) = Bx f ( x) = x ( x) f ( x) = x f ( x) ud c c a b c b+ d bc a+ c b+ d ABf ( x) = Ax f ( x) = x ( x) f ( x) = x f ( x) Daraus folgt die Behauptug d c Geht ma zu de Traspoierte über, so habe auch A= ε D ud b a B = ε D diese Eigeschaft Als Beispiel betrachte wir ( A, B) = ( xε, aε ) für a Hier gilt ( xε + aε) = ( xε) ( aε)

12 Nu ist ud x + a = x+ a x+ a x+ a = x+ a x+ a x+ a ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ε ε ε ε ε ) ε 2 ( xε ) = xεxε xε = x ε Also schreibt sich usere Idetität i der Form 2 ( x+ a)( x+ a) ( x+ a) ε = x a ε Wedet ma diese Idetität auf das ostate Polyom a, so erhält ma schließlich 2 ( a+ x) = ( x+ a)( x+ a) ( x+ a) = x a Durch geeigete Wahl vo x ud a erhält ma die obige Aaloga des biomische Lehrsatzes Wählt ma dagege ( A, B) = ( x, aε ), so ergibt sich ( x+ aε) = x ( aε) Damit erhält ma r ( x, a) = ( x+ aε ) = x a (28) Das sid die sogeate Rogers-Szegö Polyome Die rechte Seite ist das atürlichste Aalogo des biomische Lehrsatzes Allerdigs gibt es für die lie Seite eie explizite Formel Stattdesse öe wir eie Reurrez ableite Statt r ( x, a ) wolle wir wieder eie suggestivere Notatio eiführe Wir schreibe hier r ( x, a) = ( x+ a) Hier sid die beide Summade symmetrisch, dh es gilt ( x + a) = ( a+ x) Satz 7 Die Rogers-Szegö Polyome r (, ) ( ) x a = x+ a sid die eideutig bestimmte Polyome ( ) p ( x) = p ( x) ud p (0) = a erfülle p x welche [ ] Beweis We es solche Polyome gibt, so ist p ( x) = a, x mit ( ) p (0) a, = L = p (0) a [ ] = [ ] Das ist aber wege = [ ] lar Wir müsse also ur zeige, dass x a = [ ] x a gilt 2

13 Satz 8 Die Rogers-Szegö Polyome ( x + a) geüge der Reurrez Beweis (29) 2 ( x+ a) = ( x+ a)( x+ a) + ( ) ax( x+ a) Das folgt aus ( ) ( )( ) ( )( ) x aε x aε x aε x a x aε ( aε a)( x aε) + = + + = De ε = ( ) xd ud daher ergibt sich durch Awede der obige Gleichug auf das ostate Polyom 2 ( x+ a) = ( x+ a)( x+ a) + ( ) axd( x+ a) = ( x+ a)( x+ a) + ( ) ax( x+ a) Für = reduziert sich atürlich alles auf die triviale Reurrez ( ) x+ a = ( x+ a)( x+ a) Wir erwähe zwei Spezialfälle: Für x = a = ergibt sich für G = die Reurrez G = 2 G + ( ) G 2 Für = reduziert sich das atürlich auf 2 Für x=, a= ergibt sich Satz 9 (Gauß sche Idetität) 2+ = 0 2 = ( ) 0 = 2 = 3 2 ( ) ( )( ) ( ) Beweis Das folgt sofort aus r = r ud r 0 (,) =, r (,) = 0 (,) ( ) 2(,) Eie leie Verallgemeierug ist Satz 0 x = x = x ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (30) Beweis Es existiert eie Darstellug r( x, ) = c, ( x ) Dabei ist c D r ( x, ) = = (, ) [ ], x= r 3

14 Satz Für die Ableituge eies Produtes gilt die Leibiz sche Formel i der Gestalt D ( f( x) g( x)) = ( D ( f))( x) D ( g( x)) = 0 (3) Das a ma mit Idutio beweise Allerdigs zeigt ei solcher Beweis icht, warum die Formel dem biomische Lehrsatz ählich sieht Das sieht ma aus der folgede Überlegug Wir schreibe die obige Formel für = i der Form D ( f( x) g( x)) = [( D f( x)) g( y) + ( f( x)) D g( y)] (32) x x ε x y y= x Hier betrachte wir Dx, Dy, ε x als Operatore auf dem Vetorraum der Polyome hxy (, ) vo zwei Variable x, y ud deute durch eie Idex a, auf welche Variable der Operator wire soll Diese Operatore erfülle D ( ε D ) = ( ε D ) D, wie ma sofort durch Awedug auf Polyome x x y x y x m x y sieht Daher ist ach dem biomische Lehrsatz ( Dx + εxdy) = εxdydx = 0 Wede wir das auf f ( xgy ) ( ) a ud setze da im Resultat y = x, so ergibt sich die Leibiz sche Formel Etwas pedatischer formuliert habe wir folgedes gemacht: Sei A: = Dx + ε xdy ud µ : [ x, y] [ x] die Abbildug vo der Algebra der Polyome i zwei Ubestimmte i die Algebra der Polyome i eier Ubestimmte, die durch µ ( f ( xy, )) = f( xx, ) defiiert ist Da bedeutet (32), dass das Diagramm ommutiert [ x, y] [ x] A µ D [ x, y] [ x] µ Daher ist D µ = µ A ud das ist die gewüschte Formel I Operatorform lautet die Leibiz sche Formel ( ) D f( x) = ( ε f ( x)) D (33) 4

15 Wählt ma hier f ( x) = x, so ergibt sich [ ] ( Dx = [ ] )( ) x D (34) Wir erhalte also eie Formel, die agibt, wie die Poteze vo D ud x ommutiere Diese a ma auch diret mit der Vadermode Formel beweise, idem ma beide j Seite auf x für alle j awedet De da ergibt sich ach leichter Umformug + j j ( )( = ) Wedet ma (34) auf Liearombiatioe cx a, so ergibt sich wieder die allgemeie Leibiz sche Formel 5