Mathematische Randbemerkungen 9. Die Binomialidentität von N.H. Abel und einige q-analoga.

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1 Mathematische Radbemeruge 9 Die Biomialidetität vo NH Abel ud eiige -Aaloga Joha Cigler 0 Eileitug NH Abel hat i [] folgede schöe Formel bewiese: x y x x a y a (0) ( ) ( ) ( ) 2 Die dabei auftretede Polyome, xxx, ( 2 a), xx ( 3 a),, also a (, ) ( ) x a x x a (02) für, werde seither Abelpolyome geat Er gab allerdigs eie Hiweis darauf, wie er sie gefude hat, soder ließ sie sozusage vom Himmel falle ud verifizierte sie da mittels vollstädiger Idutio Derartige Situatioe trifft ma i der Mathemati immer wieder a: Schöe Resultate tauche plötzlich auf ud ma eret erst im Nachhiei, was da eigetlich dahiter stect Ich möchte im Folgede versuche, eiige eifache Resultate über die Abel sche Polyome ud ihre Aaloga aus de Arbeite [] - [0] so darzustelle, dass ihre Strutur deutlich erebar wird Für ützliche Hiweise möchte ich mich bei Michael Schlosser bedae Mit Hilfe der Abel sche Polyome schreibt sich die Abel sche Idetität i der Gestalt ( x y) a ( x, a)( ya) (03) Für a 0 reduziert sie sich auf de biomische Lehrsatz ud für y x auf die Tatsache, dass die te Differez eies Polyoms ( ) te Grades idetisch 0 ist Beweis der Abel sche Idetität Ei möglicher Weg, die Formel zu beweise, besteht dari, dass ma die lie Seite bei festem x als Polyom te Grades i y auffasst ud versucht, dieses Polyom durch die Polyome ( y a), 0, die eie Basis für de Vetorraum aller Polyome vom Grad bilde, darzustelle

2 Es gibt da Koeffiziete bax (,,, ), so dass ( x y) b(,, a, x)( ya) gilt Berechet ma diese für leie, so sieht ma sofort, dass bax (,,, ) cax (,,, ) ist, wobei cax (,,, ) uabhägig vo ist ud mit a ( x, a ) übereistimmt Um diese Tatsache zu beweise, mache wir de Asatz ( x y) c(,, a, x)( ya) () Durch Differetiatio ach y ergibt sich x ( y) ( cax ) (,,, )( ya) Adererseits ist ( x y) c(,, a, x)( ya) Vergleicht ma die Koeffiziete, so ergibt sich cax (,,, ) c (, ax,, ) Die Koeffiziete sid also wirlich uabhägig vo Es muss also (03) mit gewisse Polyome a ( x, a ) gelte Um diese zu bereche, gehe wir folgedermaße vor Wir betrachte die Formel für de Wert, multipliziere mit c, wobei c eie och zu bestimmede Kostate sei, c( ) c( y x) a ( x, a)( y a) 0 ya c ( ) a ( x, a)( ya) y a (2) ud vergleiche mit der Formel für de Wert ( y x) a ( x, a)( ya) (3) c ( ) We wir y ud c so wähle öe, dass ist, da ergibt sich y a a( x, a) ( y x) c( y x) ( y xc)( y x) Die Gleichug ya c( ) hat die Lösug c a, y a Daher erhalte wir a x a x a a x a x x a (, ) ( ) ( ) ( ) Das ist im wesetliche der ursprügliche Beweis vo NH Abel 2

3 2 Eie Verallgemeierug Allerdigs gibt dieser Beweis eie Atwort auf die Frage, warum ma gerade ach de Polyome ( y a) etwicel soll Was passiert, we ma stattdesse Polyome ( ) y a für eie beliebig vorgegebee Folge a betrachtet? Sei also ( y x) g( x; a0,, a )( ya) (2) Hier liefert dieselbe Überlegug, dass g uabhägig vo ist Diese Polyome heiße Gotscharoff-Polyome (vgl zb [8]) Die Folge begit mit g0( x), g( x; a0) xa0, g2( x; a0, a) ( xa0)( xa0 2 a), Um diese Polyome explizit zu bereche, setze ma i (2) y 0 Da ergibt sich Daraus folgt g( x; a0,, a ) x g( x; a0,, a ) a x g( x; a0,, a ) a 0 (22) Wir imitiere de obige Beweis ud frage, ob die Gleichug y a c( ) eie Lösug besitzt Da muss also a c uabhägig vo, also eie Kostate sei Wir sehe daher, dass der obige Beweis ur für a a b mit Kostate ab, futioiert Wir erhalte i diesem Fall g( x; a0,, a ) ( xab) a( xab) ( xb)( xab) a( xb, a) Das ergibt die Formel ( x y) a ( xb, a)( yba) (23) Diese folgt atürlich auch sofort aus (0), we ma x xb, y y b setzt Das scheit übriges der eizige Fall zu sei, wo die Gotscharoff-Polyome eie Produtdarstellug besitze 3

4 3 Etwiclug ach Abel sche Polyome Für y 0 ergibt sich aus der Abel sche Formel x a ( x, a)( a) (3) Das a ma auch folgedermaße formuliere: a ( x, a) d x z za! dz Durch Liearombiatio ergibt sich für edes Polyom ( p ) ( a) p( x) a ( x, a) (32)! Das ergibt eie ützliche Iterpretatio der Abel sche Formel: Sie gibt die Etwiclug vo Polyome ach de Abel sche Polyome a Wählt ma p( y) ( x y a), so erhält ma ( x ya) a ( x, a)( y( ) a) (33) Diese Sichtweise führt zu eiem weitere Beweis der Abel sche Formel: Wir gehe vo a (, ) ( ) x a x x a aus ud utersuche Etwicluge ach diese Polyome d a Sei x der Differetiatiosoperator ud E der Verschiebugsoperator dx a Ex ( x a) auf dem Vetorraum der Polyome Der biomische Lehrsatz besagt, a a a dass Ex ( xa) ax x e x 0 0!, a a dh E e ist Ma verifiziert sehr leicht, dass 2 xx ( a) x ( a)( x a) ist Das lässt sich auch i der Gestalt oder xx ( a) E xx ( ( ) a) a 2 a e a ( x, a) a ( x, a) (34) schreibe a Daher ist e a( x, a) ( ) ( ) a( x, a) ( ) a( x, a) oder a xx ( a) ( ) e xx ( ( a ) ) ( ) ( xa)( x a) Speziell gilt also ( A ) ( a, a )! (35) 4

5 Ist also f ( x ) ei beliebiges Polyom ud etwicelt ma f ( x) c(, a) a ( x, a), da ist f ( x) c(, a) a ( x, a) ud daher ( ) ( ) f ( a) c(, a) a ( a, a)! c(, a) ( ) ( ) ( f ) ( a) Ma erhält also wieder f ( x) a ( x, a) ud damit auch wieder die Abel sche! Formel Diese lässt sich auch i der Gestalt x a (, ) y x a ay e p( y) e y p( y)! für alle Polyome p( y ) schreibe oder, was auf dasselbe hiausläuft, als die Idetität für formale Potezreihe xz a (, ) x a az e e z (36)! De ede formale Potezreihe az a mit dem lieare Operator a auf dem 0 0 Vetorraum der Polyome idetifiziert werde Diese Zuordug ist ei Algebraisomorphismus, führt also die algebraische Operatioe ieiader über Vergleicht ma die Koeffiziete auf beide Seite vo (36), so ergibt sich x a ( x, a) ( a),! 0! ( )! also wieder (3) 4 Die Biomialeigeschaft Aus (36) ergibt sich wege Biomialeigeschaft e e e durch Koeffizietevergleich die ( x y) z xz yz a( x y, a) a( x, a) a( y, a) (4) Gia-Carlo Rota [9] hat gezeigt, dass sich die Biomialeigeschaft durch eie Reihe aderer Eigeschafte charaterisiere lässt Eie Folge p ( ) x vo Polyome mit deg p heißt Polyomfolge vom Biomialtyp, we für alle gilt p( x y) p( x) p( y) 0 5

6 Das ist gleichbedeuted damit, dass es eie formale Potezreihe ( z) mit (0) 0 gibt, so dass gilt xz p ( x) e z ( z) (42)! 0 Ud das bedeutet wieder, dass ud p (0) 0 (43) Qp ( x) p ( x) (44) gilt, wobei Q ( ) ist Der Prototyp eier Folge vom Biomialtyp ist p ( x) x Im Fall der Abelpolyome p ( x) a ( x, a) ist Q e a Hier ist e xz x ud Q z 0! Bei diesem Zugag a ma also die Abel-Polyome als die Folge vom Biomialtyp a charaterisiere, die dem Abel-Operator Q e etspreche Rota hat eiige orete Formel für die zu eiem Operator Q gehörige Polyome vom Biomialtyp agegebe Schreibt ma Q f( ), da gilt p x xf x f x f x f f x Das liefert für die ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Abelpolyome x( x a) ( xa) a( xa) ( a)( x a) Es ist also a (, ) ( )( ) x a a x a (45) oder ( ) ( x a) a( x, a) ( ) a a ( x, a) ( ) a ( ) a( x a, a) a 0 0 (46) Die Folge der Polyome p ( x) a ( x, a) ist die eideutig bestimmte Folge vo Polyome, welche p ( ), 0 x p(0) 0 für 0 ud Qp( x) p ( x) erfüllt, wobei Q der lieare a Operator ist, der durch Q e defiiert ist Daraus ergibt sich ach (34) die reursive Defiitio x (47) 0 a ( x, a) a ( t a) dt mit Afagswert A ( x, a) 0 6

7 5 Zusammehag mit der Formel vo Lagrage Aus Formel (36) lässt sich beatlich sofort die zu formale Potezreihe gz ( ) bereche De es gilt az ze xg( z) a ( x, a) e z! Differeziert ma ach x ud setzt da x 0, ergibt sich a (0, a) ( a) gz ( ) z z!! bezüglich der Kompositio iverse (5) Eie adere damit zusammehägede Formel ist xz e ( x a) az ze (52) az! Sie a folgedermaße erhalte werde: Aus (46) ergibt sich b e a( x, a) ( xab) a We ma i (0) y a b setzt, erhält ma ( x a b) a( x, a)( a( ) b) ( a b) a( x, a) 0 0 oder damit äuivalet ( a b) ( x a b) Q a( x, a)! Ei Vergleich der beide Formel ergibt (52) 0 Oder ma setzt i (0) y x a ud x y a Da ergibt sich ( x y) ( xa( )) ( y( ) a) ( ya) 0 Mit ud a a schreibt sie sich ( x y) ( x a) ( y a) ( y a) ( x a) ( a y )( y a) 0 0 Das bedeutet x ( ) y x a ay e y ( ay) ye y 0! oder xz ( x a) az e ( az) ze, 0! dh (52) 7

8 Ma a (52) auch folgedermaße formuliere ( x a)! ( ax) z ze (53) az 0 ( ) We ma a x z e i eie Potezreihe etwicelt ud Koeffiziete vo z vergleicht, sieht ma, dass das äuivalet mit a! ( ) ( xa) ist Führt ma de Differezeoperator e ei, so gilt ( ) e Nu ist lar, dass m x! m (54) m m m m m m für m gilt De x ( x) x x ist ei Polyom vom Grad m mit höchstem Koeffiziete m Daher ist ( x a) x ( a)! a 0 Formel (53) ist also mit (54) für m äuivalet Ma a (53) aber auch folgedermaße beweise: Sei ( x a) ( ax) z (,, ) z e 0! f x a z Da ist wege (36) xx ( a) ( ax) z ( xa) ( ax) z f( x, a, z) z e a z e 0! 0 ( )! xz A ( x, a) az ( xa( )) ( a( ) x) z e z e az z e azf( xa, a, z) 0! 0! Iteriert ma das, so erhält ma 2 2 f ( xaz,, ) az az a z az f( xaaz,, ) Das impliziert f( x, a, z) az Die Formel (5) ud (52) werde üblicherweise mit der Formel vo Lagrage bzw der Formel vo Lagrage-Bürma bewiese Im Spezialfall der Abel sche Polyome reduziert sich das auf das folgede Problem: Sei f ( z ) eie formale Potezreihe Ma bestimme die Koeffiziete i der Etwiclug c az f( z) ze! We wir wieder de Isomorphismus z betrachte, ergibt sich c a f ( ) a( x, a) e a( x, a) ca( x, a)! 0 8

9 Sei u L das lieare Futioal auf de Polyome, das durch Lp p(0) defiiert ist Da ergibt sich wege La ( x, a ) 0 c Lf( ) a( x, a) Lf( ) x( x a) Nu ergibt sich aus L( x )! L( x ), dass L( f( ) p( x)) L( p( ) f( x)) gilt, we p( x ) ei beliebiges Polyom ist Außerdem ergibt die Picherle-Ableitug (vgl [9]) f( ) x xf( ) f( ), we x der Multipliatiosoperator mit x bedeutet De wege x x f( x) ( xf( x)) xf( x) f( x) gilt x x ud daraus mit Idutio x x De ( ) x x x x x x ( ) Isgesamt erhalte wir also ax L e f x c Lf( ) x( xa) L xf( ) f( ) ( xa) Lf( )( xa) Lf( ) e x ( ) a az Das ist der Spezialfall der Formel vo Lagrage für die Etwiclug ach ze uz ax yx Im Fall f ( z) e ergibt sich also c L e ye y( y a) Auch das ist ei Zugag, wo die Abel-Polyome auf atürliche Weise auftrete De Spezialfall der Formel vo Lagrage-Bürma erhält ma, we ma die Koeffiziete vo f( z) c az ze az! berechet Hier ergibt sich aus (45) aalog wie obe f ( ) f ( )( xa) a( x, a) ca( x, a) a Daraus folgt a ax c Lf( )( xa) Lf( ) e x L e f( x) 9

10 6 Gotscharoff-Polyome Eie direte Verallgemeierug der Abel sche Polyome bilde, wie bereits erwäht, die Gotscharoff-Polyome (vgl zb [8]) Zu eder Folge reeller Zahle a0, a, a2, defiiert ma Polyome g( x; a0,, a ) durch (22) Sie sid daher die Koeffiziete i der formale Potezreihe Für a Aus xz g( x; a0,, a ) e z e! a reduziert sich das auf (36) az (6) e g ( a ; a,, a ) z e! az az folgt g( a0; a0,, a ) az 0 ze! ud durch Vergleich der Koeffiziete vo Das etspricht im Fall a a der Eigeschaft (43) ist z, dass g( a0; a0,, a ) 0 Koeffizietevergleich liefert Das ist das Aalogo vo (3) Diese Formel ist wieder äuivalet mit dem Aalogo vo (32) ( ) p ( a ) px ( ) g( xa ; 0,, a ) (63)! ( Hier sieht ma also, wie p( x ) aus de Ableituge p ) ( a ) reostruiert werde a x g( x; a0,, a ) a 0 (62) Differeziert ma (6) ach x ud dividiert da durch z, so ergibt sich durch Koeffizietevergleich g ( x; a,, a ) g ( x; a,, a ) (64) Daraus ergibt sich die Reursiosformel mit g ( x) a0 Weiters folgt aus (64) die Biorthogoalitätsrelatio x g ( x; a,, a ) g ( t; a,, a ) (65) 0 g ( a ; a,, a )! (66) 0

11 Der eizige Fall, wo eie geschlossee Formel für die Gotscharoff-Polyome beat ist, etspricht de arithmetische Folge y, ya, y2 a, y3 a, ( xy) z a ( x, a) ( ya) z Hier ergibt sich aus e z e, we ma x x y setzt,! xz a ( x y, a) ( ya) z e z e ud daher! g x y y a y a y a x y x y a a x y a (67) ( ;,, 2,, ( ) ) ( )( ) (, ) Die Formel (62) lautet i diesem Fall x ( y a) ( x y)( x y a) 0 Aus (64) ergibt sich sofort ( )! a ( x, a) ( xa)( xa) ( )! 7 -Aaloga der Abel sche Idetität Im Folgede sei D oder D x immer der Differetiatiosoperator, defiiert durch f ( x) f( x) Df ( x) ( x ) Weiters verwede wir die übliche Notatioe der Aalysis, wie sie i meiem Sriptum Elemetare Idetitäte defiiert sid, wir setze also speziell [ ]! [ ],[ ]! [ ] ud für 0 Die beide Aaloga der [ ]![ ]! x Expoetialfutio seie ex ( ) ud Ex 0 [ ]! exe ( ) ( x) 2 x ( ) 0 [ ]! Sie erfülle Um die folgede Formel übersichtlicher zu gestalte, setze ich ( y x) : ( y x) ud aalog 0 ( y x) : ( y x) Es gilt da beatlich 0 ( x y) e( xz) [ z ud EaDy ya y a ]! e( yz) ( ) ( ) ( ) 0 Wir suche u ei Aalogo der Abel sche Idetität Wir suche also eie Formel der Gestalt f( yx, ) G( xa ; 0,, a ) f( ya, ), 0 wobei alle vorommede Polyome eie schöe Produtdarstellug besitze solle

12 Dabei soll (, ) f yx die Eigeschaft y D f ( y, x) f ( y, x) besitze, damit dabei die Biomialoeffiziete auftrete ud G uabhägig vo ist Die eizige derartige Futio, die eie explizite Produtetwiclug besitzt, ist f ( yx, ) ( yx) Um sich vo der Uabhägigeit vo zu überzeuge, wedet ma auf beide Seite de Differetiatiosoperator D Dy a Es ergibt sich wege D( y x) ( y x) ( y x) G( x) ( ya) 0 Daher ist G( x)( y a) ( y x) G( x)( y a), 0 0 [ ] woraus die Uabhägigeit vo ersichtlich ist Wir suche also Polyome G( x) G( x; a0,, a ), welche ( y x) G( x; a0,, a )( ya) 0 (7) erfülle Diese Polyome sid ei Aalogo der Gotscharoff-Polyome Nu gehe wir aalog zum Fall vor: Wir multipliziere die Formel (7) für de Wert c mit eier geeiget zu wählede Kostate c Das ergibt mit 2 c c ( yx) G( x) ( y a) y a Nu vergleiche wir mit Formel (7) ud sehe, dass die erste Terme übereistimme, c falls ist y a c Nu versuche wir wieder die Gleichug zu löse Dabei muss sich a für y a auf a b reduziere Eie aheliegede Wahl ist a a b c( ) ( ) a Das ergibt y c a b b Damit das uabhägig vo ist, muss c a 0 sei, dh a c 2

13 Mit dieser Wahl vo c ergibt sich a ( ) ( ) a y b b Isgesamt erhalte wir also beim Vergleich mit (7) 2 2 G ( x) ( y x) c[ ] ( y x) ( xb) ( y x) für diese Werte, ergibt schließlich, we wir u A ( x, a, b ) a Stelle vo G( x ) schreibe, a y c Das 2 (72) A ( x, a, b) x b x b x b x a b 0 für 0 ud A ( x, a, b) 0 Für b 0 ergibt sich als Aalogo der Abel-Polyome a ( x, a ) für 0 ud A ( x, a) 0 A ( x, a) A ( x, a,0) x x a Es gilt also die vo FH Jacso [5] gefudee Idetität Für beliebiges b ergibt sich (73) ( y x) A ( xa, ) ( ya ) (74) ( y x) A ( xab,, ) ( ya b) (75) We ma aa( ) b überführt, erhält ma G( x, a, b) H( x, a( ) b, b) ( xb) ( x[ ] ab) (76) Im Folgede werde wir im Fall b 0 immer ee Polyome A ( x, a, b ) oder G ( x, a, b ) verwede, welche die eifachste Formel liefer Die (75) etsprechede Idetität für G ( x, a, b ) lautet Als Aalogo vo (45) erhält ma ( y x) G ( xab,, ) ( ya b) (77) G( x, a, b) ( ad) x[ ] ab (78) 3

14 Die Polyome G ( x, a, b ) wurde zuerst vo J Hofbauer i [4] betrachtet, sie sid auch der Spezialfall h 0 der Polyome a( x; b, h, w, ), die WP Johso i [6] betrachtet hat Die Formel (77) ist auch implizit i [7] (84) ethalte Die dortige Formel lautet 2 ( ab) (; c) () c a b ; ca ( b); 0 ( ) a b Dabei bedeutet ( ; ) ( )( ) ( x x x x) ( ) We ma hier b a a, b a übergehe lässt, ergibt sich ( x ) ( x ) b 2 ( a b) 2 ( b [ ] a) a b; x ( a b) ( b [ ] a) 0 x x Setzt ma etzt x c, so ergibt sich y 2 ( ab) ( ) c ab ; ( xb) x ( b [ a ] ) G ( xab,, ) ( a b) y y ud ca ( b); y x( b a y 0 Isgesamt ergibt sich ( y x) G( xab,, ) ( y a b) Wie J Hofbauer ([4]) bemert hat, ergibt sich daraus für x x, y y, b ei Aalogo der Gould-Rothe-Idetität x y ya x xa 0 x a Für y 0 ergibt sich aus (74) 2 2 x A ( x, a) a (79) Die Formel (74) ist wieder mit eier Idetität für formale Potezreihe äuivalet Aus EaDy ( ) ( ya) ( y a) ergibt sich A ( x, a) ExD ( y) y E( ad y) Dy y! 4

15 oder damit äuivalet A ( x, a) Exz ( ) E( azz ) (70)! Geauso ist (75) äuivalet mit ud (76) mit A ( x, a, b) Exz ( ) E(( a bzz ) ) (7)! G ( x, a, b) Exz ( ) E(( a bzz ) ) (72)! Diese Formel wurde i [4] bewiese ud ist auch äuivalet mit Formel (74) aus [7] De a b we (72) für x gilt, da ersetze ma z xz, a, b x x ud erhält die Formel für beliebige x 8 Etwiclug ach -Abel-Polyome Durch Differetiatio vo (72) ergibt sich DG( x, a, b) ze( xz) DE( xz) z E(( b [ ] a) z)! oder Exz DG ( x, a, b) ze! b az ( ) (( [ ] ) )) 0 Ei Vergleich mit (72) liefert G( x, a, b a) Exz ( ) ze(( b[ ] az ) )),! 0 woraus sich DG (,, ) (,, ) x a b G x a b a ergibt Daraus folgt mit Idutio 2 DG( xab,, ) [ ]! ud für 2 [ ]! 2 [ ]! (,, ) (,, [ ] ) [ ] [ ] [ ]! [ ]! DG xab G xab a x a b x a b Als Aalogo vo (46) ergibt sich aus (78) 5

16 2 x[ a ] b ( a) [ ]! G( xab,, [ a ] ) (8) 0 0 Weiters ist b a 2 (,, ) [ ]![ ] ( ) [ ] G a b (82) Ist also f ( x ) ei beliebiges Polyom, so ergibt sich Für 0 ( ) f ( ( b [ ] a)) 2 ( ) (,, ) [ ]! f x G x a b (83) f ( x) ( y x) ergibt sich wieder (77) We ma f ( x) G ( x, a, y b) wählt, ergibt sich G( x, a, yb) G( x, a, b) y y ( ) b ([ ] [ ]) a 0 Das ist der Spezialfall h 0 vo Theorem 4 i [6] (84) 9 - Lagrage Formel 2 Sei V der lieare Operator, der durch V x x Da ist mit defiiert ist 2 VA ( x, a) V ( ) a x B ( x, a) 0 (9) mit B ( x, a) 0 Es gilt da Setzt ma wie obe z ez ( ) B ( xa, ) ( ) ax [ ] 0 (92) y x B ( x, a) ( y a) (93) 0 0 0, da ist (93) mit! B ( x, a) exz ( ) ze( az ) (94)! äuivalet 6

17 Die Polyome B ( xa, ) x ( ) ax [ ] xe( [ adx ] ) 0 (95) a a( x, a) xe x wurde i [3] betrachtet ud sid das aheliegedste Aalogo vo Ei Nachteil ist allerdigs, dass sie eie eifache Produtdarstellug besitze Aus B ( x, a) B( xa, ) LexD y ( y) B( ya, ) LE( addb ) ( ya, ) 0! ergibt sich wege der lieare Uabhägigeit der B ( ya, ) Daraus ergibt sich die folgede Lagrageformel: LE( ad) D B ( y, a)! (96) Die Koeffiziete c i der Reiheetwiclug c f ( x) x E( ax) (97)! sid gegebe durch c Lf( D) e( ad) x LD e( ax) f( x) (98) De ach (96) ist c Lf( D) B ( x, a) Lf( D) xe( ad) x Das a geau so wie obe begrüdet werde: Aus LDx ( ) [ ]! LDx ( ) ergibt sich, dass L( f( D) p( x)) L( p( D) f( x)) gilt, we p( x ) ei beliebiges Polyom ist Außerdem gilt das Aalogo der Picherle-Ableitug De wege daraus mit Idutio f ( Dx ) xf( D) f( D) (99) gilt Dx xd Dx xd x Dx xdx x x Dx xd D De ud ( ) [ ] D x x D D D x x D Dx xd D D D D [ ] D Zur Probe bereche wir die Koeffiziete i der Etwiclug c Ext ( ) xe( ax ) Es ergibt sich! e( [ ] ax) ( [ ] a t) c tld e( [ ] ax) E( tx) tld tld x e( tx) [ ]! t at A t ( [ ] ) ( ) 7

18 Diese Überleguge öe auch auf de Fall b 0 erweitert werde Sei B ( xab,, ) VA( xab,, ) Da sid die Koeffiziete der Etwiclug c f ( z) z E a b z (90)! gegebe durch [ a ] b c Lf( D) B ( x, a, b) Lf( D) xe[ ] a bdx blf( D) e Dx [ a ] b LD e[ ] a bxf ( x) bld e x f ( x) Zum Beweis bemere wir, dass wie obe gilt ud dass (,, )! LE b a D D B x a b (9) B ( x, a, b) VA ( x, a, b) V( x b) ( ) [ ] a b x V ( ) [ ] a b x bv ( ) [ ] a b x 0 0 [ a ] b 0 ( ) [ a ] b x b ( ) x 0 [ a ] b xe[ ] a bdx be Dx gilt B (,, ) xab a auch i der Gestalt B ( xab,, ) ( ) x ( b[ a ] ) ( b[ a ] ) geschriebe werde Aalog ist 2 A ( x, a, b) ( ) x ( b[ ] a) ( b[ ] a) 0 (92) Aus (9) ergibt sich die folgede Determiatedarstellug vo B ( xab,, ) : Sei ( i,, x ) folgedermaße defiiert: Für i sei ( i,, x ) 0 für i ud i 2 i i b [] i a x (, i, x) Für i sei (,, x) [ i]! [ ]! 8

19 Da gilt B ( x, a, b) [ ]!det ( i,, x) De wedet ma, 0 i LE b a D D auf die ( ) te Zeile der Matrix i x, 0 (,, ) a, so ergibt sich die ( ) Zeile ud daher verschwidet die Determiate Wedet ma LE b a D D a, so ergibt sich [ ]! als Wert der Determiate i Daraus ergibt sich auch eie Determiatedarstellug vo A ( x, a, b ) :, 0 A ( x, a, b) [ ]!det ( i,, x), (93) i 2 we ma für i (, i, x) (, i, x) ud (,, x) (,, x) setzt Z B ergibt sich A 4 x, a, b 4 Det b b2 0 a b b ab 2 b ab b 2 a b 2 a b 3 a 2 x x2 3 x x Aus der Determiatedarstellug ist lar, dass DA( x, a, b) [ ] A ( x, a, a b) gilt Nu prüft ma leicht ach, dass G( x, a, ba) A( x, a( ) b, b a) gilt Daher ergibt sich wieder DG ( x, a, b) DA ( x, a( ) b, b) [ ] A ( x, a( ) b, a( ) bb) [ ] G ( x, a, a b) Um ei Aalogo der Formel vo Lagrage-Bürma zu fide, betrachte wir a a R( xa, ) r( x, ) e( Dx ) (94) Da gilt wieder i Aalogie zu (45) a D R ( x, a ) B ( x, a ) (95) 9

20 De das bedeutet a a D e D x xe ad x oder a a a e Dx xe adx e Dx was ach (99) lar ist (, Für die Koeffiziete vo f( z) c ze ( az ) az (96)! ergibt sich a c LD e( x) f( x) (97) De es ist a a c Lf( D) B( x, a, ) Lf( D) R( x, a, ) Lf( D) e( D) x LD e( x) f( x) ad Für f ( z) E( xz) ergibt sich a E( xz) ( x) az! ze( az) Das ist äuivalet mit Exz ( ) ( a x) z E( az) (98) az! Das ist ei Aalogo vo (52) We ma wieder z D überführt ud die Idetität auf y awedet, ergibt sich y ( y x) [ ] a x v(,, a, y), 0 wobei vay (,,, ) ya [ ] ( y[ a ] ) für ud vay (,,, ) ist Auch dieses Resultat a auf de Fall 0 b erweitert werde Als Verallgemeierug vo (95) ergibt sich 20

21 a b a D e ( D ) x xe a b D x B ( x, a, b) Das folgt wieder aus der Picherle Ableitug [ a ] b [ ] be Dx b a b a b a e D x xe ba D x e D x ( ( ) Somit ergibt sich die folgede Formel vom - Lagrage - Bürma Typ: (99) Die Koeffiziete vo sid gegebe durch f( z) c ze b a z az (920)! b a c LD e( x) f( x) (92) Das folgt aus ba ba c Lf ( D) B( x, a, b) Lf ( D) e( D) x LD e( x) f ( x) ad Für f ( z) E( yz) erhalte wir b a e( x) ba ba c LD e( x) E( xy) LD y e( xy) Das ist äuivalet mit Exz ( ) ( b a x) ze( b ( az ) ) (922) az! Dieses Aalogo vo (52) wurde vo C Krattethaler ad M Schlosser ( vgl [7] ud [9], (54)) i aderem Zusammehag gefude 2

22 0 Adere Beweismethode Wir wolle u och zwei adere Beweismethode für Formel (922) agebe Wir betrachte zuerst de Spezialfall x 0 0 ( b a) ze ( b ( az ) ) (0) az! Das ist im wesetliche Formel (34)) aus [0] We wir i (7) x 0 setze ud a a überführe, ergibt sich bb ( [ a ] ) ze( ( baz ) ) (02)! Das ist ei Aalogo vo (36) Ei eifacher Beweis vo (0) uter Verwedug vo (02) wurde mir vo M Schlosser ( ba) mitgeteilt: Sei gabz (,, ) ze( b ( az ) ) Da gilt 0! bb ( a) gabz (,, ) ze( b ( az ) ) 0! a( b a) ze( b ( az ) ) 0! bb ( a) ( z) E( ( b a)( z)) 0! ( b a) az z E( ( b a) z) 0! ( ( ba) a) az z E( ( ( b a) a) z) azg( a, b a, z)! 0 Es ist also 2 g( a, b, z) azg( a, b a, z) az azg( a, b a a, z) 2 2 azaz a z azgab (, az, ) az Zum Beweis des allgemeie Falles (922) bezeiche wir die rechte Seite mit f ( abxz,,, ), also ( b a x) f ( a, b, x, z ) ze ( ( b a) z )! Da ist 22

23 ! [ ]( b ax) Dx f( a, b, x, z)! ze( b ( az ) ) ( b ax) z z E( ( b a) z) zf( a, b a, x, z) Schreibt ma f ( abxz,,, ) c ( abxz,, ), da gilt also für die Polyome c ( a, b, x ) Dc( abx,, ) c ( ab, ax, ) x ud daher 2 x (,, ) (,, ) D c a b x c a b a x Nach dem Taylor sche Lehrsatz ergibt sich daraus ( ) c ( a, b,0) c ( a, b a,0) 2 (,, ) 0 [ ]! 0 [ ]! c a b x x x Nu ist aber ach (0) f( a, b,0, z) g( a, b, z), also c ( a, b,0) a az Daraus folgt E( xz) f( a, b, x, z) c ( a, b, x) z z x a x z a z [ ]! [ ]! az Ersetzt ma i (922) aa( ) b so erhält ma Exz ( ) ( b a x) ze( b ( az ) ) (03) a( ) b z! Setzt ma i (77) y 0, x x b, so erhält ma ( ( xb)) G ( xb, a, b) ( a b) We wir wieder b y setze, so erhalte wir Idetitäte, die mit Formel (43) i der Arbeit vo M Schlosser [0] äuivalet sid: mit ( x y) C ( x, y) ( y[ ] a) (04) 23

24 Das ist wieder äuivalet mit C( x, y) x ( ) y xa[ ] (05) C ( x, y) E(( x y) z) z E(( y[ ] a) z) (06) [ ]! Abschließed gebe wir och eie weitere Beweis vo (922), der de i Aschluss a (53) betrachtete Sachverhalt verallgemeiert Dazu betrachte wir das folgede Aalogo des Differezeoperators Sei U der lieare Operator auf de Polyome i, defiiert durch i i( ) U (07) m m für alle i Da ist speziell U [ ] [ ] Sei weiters ( U ) ( U ) (08) ei Aalogo des fache Differezeoperators Da ist für i 0 ud i 0 (09) ( ) [ ]! (00) De für i 0 ist ( ) ( U i ) i i i i 0 Wir behaupte, dass als Aalogo vo (54) für m ud m [ ]!( ) m (0) m 0 i (02) für m i gilt, falls i 0 ist Die zweite Aussage folgt sofort aus (09) ud (0) ergibt sich aus m m m ( ) [ ]! ( ) ( ) m m m m ( ) ( ) ( ) ( ) Daraus folgt weiter für 0 ud ( x[ ] a) 0 (03) ( x [ a ] ) [ ]! a (04) Daraus ergibt sich auch 24

25 ( ) b [ ] a x x ( b [ ] a) [ ]! a 0 De ( ) b a x x ( b a ) ( ) ba x ( ) x b a x ba ba a [ ]! (05) Durch Koeffizietevergleich verifiziert ma sofort, dass (05) äuivalet mit ( b a x) x( a[ ] b) z ( z ) az! [ ]! ( b a x) e( xz) z! e( ( b a) z) ist Ud das ist wieder äuivalet mit (922) Schlussbemeruge a a Der Operator Q e erfüllt Qa( x, a) a( x, a) a ( x, a) für alle! Das ist äuivalet mit a( x, a) a a( x( ) a, a) Im allgemeie Fall ist der etsprechede Operator vo abhägig Der eideutig bestimmte Operator Q cd mit 0 QG( xab,, ) [ G ] ( xab,, ) ist Q ([ ] [ ]) a( ) b 0 D 0 [ ]! () Das ist äuivalet mit der Formel G ( x, a, b) ([ ] [ ]) ( ) (,, [ ] ) a b G x a b a 0 0 ( ) 2 (2) 25

26 Zum Beweis schreibe wir 2 G( xab,, ) cabg (,,, ) ( x, ab, [ ] a) 0 (3) Wede wir darauf de Differetiatiosoperator a, so ergibt sich [ ] G ( x, a, b a) c(,, a, b) [ ] G ( x, a, b [ 2] a) oder we wir durch [ ] dividiere G ( xab,, a) cabg (,,, ) ( x, ab, [ 2] a) Nu setze wir i (3), xx, a a, bb a ud erhalte G ( xab,, a) c (, ab,, ag ) ( x, ab, [ 2] a) Koeffizietevergleich ergibt c (, ab,, a) cab (,,, ) (4) ( ) Wir behaupte u, dass ([ ] [ ]) a( ) b 0 cab (,,, ) (5) ( ) für gilt Aus c(0,0, a, b) folgt also c (,0, ab, ) Für ergibt sich G( xab,, ) ( xb) G( xab,, a) c(,, ab, ) a( ) b a( ) b Daher ist c(,, a, b) ud somit c (,, ab, ) für 2 2 We wir die Formel (5) scho für ud alle bewiese habe, da setze [ ] ab wir i (3) ud x Da ergibt sich [ ] ab 2 2 G (, ab, ) a [ c ] (,, ab, ) cab (,,, ) Nu ist 26

27 [ ] a( ) b G a b a b [ ] ab (,, ) ([ ] [ ]) ( ) 2 2 a b c a b [ ] ( ) (,,, ) De für ist [ ] ab [ ] a b ( ) b([ ] [ ]) a x[ ] ab Weiters ethält [ ] ab G (, a, b[ ] a) de Fator [ ] ab [ ] a ( b [ ] a) [ ] a b [ ] a b 0 für 0 [ ] ab Für ist G(, a, b[ ] a) [ ] ab( b[ ] a) a Somit ist 2 2 c(,, a, b) [ ] a( ) b a[ ] c(,, a, b) Das ergibt schließlich [ ] [ ] a( ) b cab (,,, ) c (,, ab, ) Aus (4) folgt u (5) De (5) stimmt für We es für stimmt, da folgt c (, ab,, a) cab (,,, ) 0 ([ ] [ ]) ( ) a b ( ) ([ ] [ ]) a( )( ba) 0 ( ) Die Formel () lässt sich auch mit Hilfe der Expoetialfutio beschreibe Dazu beachte ma, dass ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ud daher ([ ] [ ]) ( ) ([ ] [ ]) ( ) ([ ] ] [ ] a b a b ab a b ist Somit ist 27

28 a b ab ab 0 ([ ] [ ]) ( ) [ ] [ ] Daher ist [ a ] b ([ ] [ ]) a( ) b e D 0 D D Q 0 [ ]! (6) [ ] ab e D 2 Daraus ergibt sich weiter [ a ] b m m e D 2 D QQ Qm [ m] ab e D m ([ m] [ ]) a( b) m m m 2 0 D 0 [ ]! (7) Aus (6) ergibt sich, dass die Idetität erfüllt Es zeigt sich, dass gilt Dazu geügt es zu zeige, dass 2 2 [ a ] b (,, ) (,, ) S x a b e D G x a b (8) DS ( x, a, b) [ ] S ( x, a, b) (9) S ( x, a, b) x [ ] ax (0) 2 [ ] [ ] ab x ax (,, [ ] ) G x a b a () ist Zum Beweis schreibe wir x [ ] ax c(,, a, b) G ( x, a, b[ ] a) (2) Wede wir darauf de Differetiatiosoperator a, so ergibt sich ach Divisio durch [ ] x [ ] ax c(,, a, b) G ( x, a, b[ ] a) 28

29 Nu setze wir i (3), xx, aa, bb a ud erhalte x [ ] ax c(,, a, b a) G ( x, a, b [ ] a) Koeffizietevergleich ergibt c (, ab,, a) cab (,,, ) (3) Wir behaupte u, dass [ a ] b cab (,,, ) (4) für gilt Aus c(0,0, a, b) folgt also c (,0, ab, ) Für ergibt sich x a ( xb) c(,, a, b), dh c(,, a, b) a b [ a ] b Daher ist c (,, ab, ) für We wir die Formel (5) scho für ud alle bewiese habe, da setze [ a ] b wir i (3) ud x Da ergibt sich wie obe 2 [ a ] b 2 [ a ] b 2 2 [ a ] a [ c ] (,, ab, ) cab (,,, ) (5) Nu ist [ a ] b ab c (,,, ) Daher folgt aus (5) ach Idutiosvoraussetzug [ a ] b cab (,,, ) Daraus folgt u (5) De (5) stimmt für We es für stimmt, da folgt c (, ab,, a) [ ] aba [ a ] b cab (,,, ) 2 Damit ist () bewiese 29

30 We ma scho weiß, was ma zeige soll, da ergibt sich ei eifacherer Beweis aus (78) Sei 2 w ( xab,, ) x[ a ] b( ) [ a ] b x [ a ] b 0 ( ) x Da ist ach (78) 2 2[ a ] b (,, ) ( ) (,, ) ( ) [ ] G xab adw xab x ax 2 2 [ a ] b 2 [ a ] b ( ) [ ] [ ] 0 [ ]! D x ax E D x ax Daraus folgt [ a ] b e D [ ] a b e D 2 D D [ ] a b 2 G (,, ) (,, ) x a b E D S 2 x a b 2 [ ] ab E D [ ] S 2 ( x, a, b) [ ] G ( x, a, b), dh wir erhalte wieder (6) Literatur [] N H Abel, Beweis eies Ausdruces, vo welchem die Biomialformel ei eizeler Fall ist, Joural für die reie ud agewadte Mathemati (826), [2] B Bhatagar ud St C Mile, Geeralized bibasic hypergeometric series ad their U() extesios, Advaces i Math 3 (997), [3] J Cigler, Operatormethode für -Idetitäte III: Umbrale Iversio ud die Lagragesche Formel, Archiv Math 35 (980), [4] J Hofbauer, A -aalog of the Lagrage expasio, Arch Math 42(984), [5] FH Jacso, A -geeralizatio of Abel s series, Redicoti Palermo 29 (90), [6] WP Johso, -extesios of idetities of Abel-Rothe type, Discr Math 59(996),

31 [7] C Krattethaler ud M Schlosser, A ew multidimesioal matrix iverse with applicatios to multiple series, Discr Math 204 (999), [8] JPS Kug ud C Ya, Goarov polyomials ad parig fuctios, J Comb Th A 02 (2003), 6-37 [9] G-C Rota, Fiite Operator Calculus, Academic Press 975 [0] M Schlosser, Some ew applicatios of matrix iversios i, r A Ramaua J 3(999),