Lothar Papula. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1

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1 Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1

2 Die drei Bände Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler werden durch eine Formelsammlung, ein Buch mit Klausur- und Übungsaufgaben sowie ein Buch mit Anwendungsbeispielen zu einem Lehr- und Lernsystem ergänzt: Lothar Papula Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler Mit zahlreichen Abbildungen und Rechenbeispielen und einer ausführlichen Integraltafel Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Klausur- und Übungsaufgaben Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Anwendungsbeispiele Aufgabenstellungen aus Naturwissenschaft und Technik mit ausführlichen Lösungen

3 Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band1 Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium 12., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 609 Abbildungen, zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie 352 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen STUDIUM

4 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. 1. Auflage , durchgesehene Auflage , durchgesehene Auflage , durchgesehene und erweiterte Auflage , verbesserte Auflage , verbesserte Auflage , überarbeitete und erweiterte Auflage , verbesserte Auflage , verbesserte Auflage , erweiterte Auflage Oktober , verbesserte und erweiterte Auflage 2007 unveränderter Nachdruck , überarbeitete und erweiterte Auflage 2009 Alle Rechte vorbehalten Vieweg+Teubner GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Thomas Zipsner Imke Zander Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Technische Redaktion: Gabriele McLemore, Wiesbaden Satz: Druckhaus Thomas Müntzer, Bad Langensalza Bilder: Graphik & Text Studio, Dr. Wolfgang Zettlmeier, Barbing Druck und buchbinderische Verarbeitung: Těšínská Tiskárna, a. s., Tschechien Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Czech Republic ISBN

5 V Vorwort Das dreibändige Werk Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler ist ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grund- und Hauptstudium der naturwissenschaftlich-technischen Disziplinen im Hochschulbereich. Es wird durch eine mathematische Formelsammlung, einen Klausurentrainer und ein Buch mit Anwendungsbeispielen zu einem kompakten Lehr- und Lernsystem ergänzt. Die Bände 1 und 2 lassen sich dem Grundstudium zuordnen, während der dritte Band spezielle Themen überwiegend aus dem Hauptstudium behandelt. Zur Stoffauswahl des ersten Bandes Die Erfahrungen der letzten Jahre zeigen, dass die Studienanfänger nach wie vor über sehr unterschiedliche und in der Regel nicht ausreichende mathematische Grundkenntnisse verfügen. Insbesondere in der Algebra bestehen große Defizite. Die Gründe hierfür liegen u. a. in der Verlagerung der Schwerpunkte in der Schulmathematik und der Abwahl des Faches Mathematik als Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe. Ein nahtloser und erfolgreicher Ûbergang von der Schule zur Hochschule ist daher ohne zusätzliche Hilfen kaum möglich. Dieser erste Band des Lehr- und Lernsystems leistet die dringend benötigte Hilfestellung durch Einbeziehung bestimmter Gebiete der Elementarmathematik in das Grundstudium und schafft somit die Voraussetzung für eine tragfähige Verbindung ( Brücke ) zwischen Schule und Hochschule, ein Konzept, das sich bereits in der Vergangenheit bestens bewährt hat und deshalb konsequent beibehalten wurde. Im vorliegenden ersten Band werden die folgenden Stoffgebiete behandelt: Allgemeine Grundlagen (u. a. Gleichungen und Ungleichungen, lineare Gleichungssysteme, binomischer Lehrsatz) Vektoralgebra (zunächst in der anschaulichen Ebene und dann im Raum) Funktionen und Kurven (als wichtigste Grundlage für die Differential- und Integralrechnung) Differentialrechnung (mit zahlreichen Anwendungen aus Naturwissenschaft Integralrechnung und Technik) Potenzreihenentwicklungen (Mac Laurinsche und Taylorsche Reihen) Komplexe Zahlen und Funktionen ffl{zffl} Eine Ûbersicht über die Inhalte der Bände 2 und 3 erfolgt im Anschluss an das.

6 VI Vorwort Zur Darstellung des Stoffes Bei der Darstellung der mathematischen Stoffgebiete wurde von den folgenden Ûberlegungen ausgegangen: Mathematische Methoden spielen zwar in den naturwissenschaftlich-technischen Disziplinen eine bedeutende Rolle, bleiben jedoch in erster Linie ein (unverzichtbares) Hilfsmittel. Aufgrund der veränderten Eingangsvoraussetzungen und der damit verbundenen Defizite sollte der Studienanfänger nicht überfordert werden. Es wurde daher eine anschauliche, anwendungsorientierte und leicht verständliche Darstellungsform des mathematischen Stoffes gewählt. Begriffe, Zusammenhänge, Sätze und Formeln werden durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und anhand vieler Abbildungen näher erläutert. Einen wesentlichen Bestandteil dieses Werkes bilden die Ûbungsaufgaben am Ende eines jeden Kapitels (nach Abschnitten geordnet). Sie dienen zum Einüben und Vertiefen des Stoffes. Die im Anhang dargestellten (und zum Teil ausführlich kommentierten) Lösungen ermöglichen dem Leser eine ständige Selbstkontrolle. Mit der Verbesserung von Bildern wurden die Beispiele noch verständlicher und optimiert. Dazu zählen auch zusätzlich aufgenommene Beispiele im Kapitel Potenzreihenentwicklung. Zur äußeren Form Zentrale Inhalte wie Definitionen, Sätze, Formeln, Tabellen, Zusammenfassungen und Beispiele sind besonders hervorgehoben: Definitionen, Sätze, Formeln, Tabellen und Zusammenfassungen sind gerahmt und grau unterlegt. Anfang und Ende von Beispielen sind durch das Symbol & gekennzeichnet. Bei der (bildlichen) Darstellung von Flächen und räumlichen Körpern wurden Grauraster unterschiedlicher Helligkeit verwendet, um besonders anschauliche und aussagekräftige Bilder zu erhalten. Zum Einsatz von Computeralgebra-Programmen In zunehmendem Maße werden leistungsfähige Computeralgebra-Programme wie z. B. MATLAB, MAPLE, MATHCAD oder MATHEMATICA bei der mathematischen Lösung naturwissenschaftlich-technischer Probleme in Praxis und Wissenschaft erfolgreich eingesetzt. Solche Programme können bereits im Grundstudium ein nützliches und sinnvolles Hilfsmittel sein und so z. B. als eine Art Kontrollinstanz beim Lösen von Ûbungsaufgaben verwendet werden (Ûberprüfung der von Hand ermittelten Lösungen mit Hilfe eines Computeralgebra-Programms auf einem PC). Die meisten der in diesem Werk gestellten Aufgaben lassen sich auf diese Weise problemlos lösen.

7 Vorwort VII Veränderungen gegenüber der 11. Auflage Der vorliegende Band wurde vollständig überarbeitet und erweitert. Neu aufgenommen wurde ein Kapitel über Komplexe Zahlen und Funktionen (bisher in Band 2). Eine Bitte des Autors Für Hinweise und Anregungen insbesondere auch aus dem Kreis der Studentenschaft bin ich stets sehr dankbar. Sie sind eine unverzichtbare Voraussetzung und Hilfe für die permanente Verbesserung dieses Lehrwerkes. Ein Wort des Dankes an alle Fachkollegen und Studenten, die durch Anregungen und Hinweise zur Verbesserung dieses Werkes beigetragen haben,... an die Mitarbeiter des Verlages, ganz besonders aber an Frau Gabriele McLemore und Herrn Thomas Zipsner, für die hervorragende Zusammenarbeit während der Entstehung und Drucklegung dieses Werkes,... an Frau Schulz vom Druck- und Satzhaus Thomas Müntzer für den ausgezeichneten mathematischen Satz. Wiesbaden, im Frühjahr 2009 Lothar Papula

8 IX I Allgemeine Grundlagen Einige grundlegende Begriffe über Mengen Definition und Darstellung einer Menge Mengenoperationen Die Menge der reellen Zahlen Darstellung der reellen Zahlen und ihrer Eigenschaften Anordnung der Zahlen, Ungleichung, Betrag Teilmengen und Intervalle Gleichungen Lineare Gleichungen Quadratische Gleichungen Gleichungen 3. und höheren Grades Allgemeine Vorbetrachtung Kubische Gleichungen vom speziellen Typ ax 3 þ bx 2 þ cx ¼ Bi-quadratische Gleichungen Wurzelgleichungen Betragsgleichungen Definition der Betragsfunktion Analytische Lösung einer Betragsgleichung durch Fallunterscheidung (Beispiel) Lösung einer Betragsgleichung auf halb-graphischem Wege (Beispiel) Ungleichungen Lineare Gleichungssysteme Ein einführendes Beispiel Der Gaußsche Algorithmus Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes Der Binomische Lehrsatz Ûbungsaufgaben Zu Abschnitt 1 und Zu Abschnitt

9 X Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt II Vektoralgebra Grundbegriffe Definition eines Vektors Gleichheit von Vektoren Parallele, anti-parallele und kollineare Vektoren Vektoroperationen Addition von Vektoren Subtraktion von Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Vektorrechnung in der Ebene Komponentendarstellung eines Vektors Darstellung der Vektoroperationen Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Addition und Subtraktion von Vektoren Skalarprodukt zweier Vektoren Definition und Berechnung eines Skalarproduktes Winkel zwischen zwei Vektoren Linear unabhängige Vektoren Ein Anwendungsbeispiel: Resultierende eines ebenen Kräftesystems Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum Komponentendarstellung eines Vektors Darstellung der Vektoroperationen Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Addition und Subtraktion von Vektoren Skalarprodukt zweier Vektoren Definition und Berechnung eines Skalarproduktes Winkel zwischen zwei Vektoren Richtungswinkel eines Vektors Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor Ein Anwendungsbeispiel: Arbeit einer Kraft Vektorprodukt zweier Vektoren Definition und Berechnung eines Vektorproduktes Anwendungsbeispiele Drehmoment (Moment einer Kraft) Bewegung von Ladungsträgern in einem Magnetfeld (Lorentz-Kraft) Spatprodukt (gemischtes Produkt) Linear unabhängige Vektoren

10 XI 4 Anwendungen in der Geometrie Vektorielle Darstellung einer Geraden Punkt-Richtungs-Form einer Geraden Zwei-Punkte-Form einer Geraden Abstand eines Punktes von einer Geraden Abstand zweier paralleler Geraden Abstand zweier windschiefer Geraden Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden Vektorielle Darstellung einer Ebene Punkt-Richtungs-Form einer Ebene Drei-Punkte-Form einer Ebene Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor Abstand eines Punktes von einer Ebene Abstand einer Geraden von einer Ebene Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene Abstand zweier paralleler Ebenen Schnittgerade und Schnittwinkel zweier Ebenen Ûbungsaufgaben Zu Abschnitt 2 und Zu Abschnitt III Funktionen und Kurven Definition und Darstellung einer Funktion Definition einer Funktion Darstellungsformen einer Funktion Analytische Darstellung Darstellung durch eine Wertetabelle (Funktionstafel) Graphische Darstellung Parameterdarstellung einer Funktion Allgemeine Funktionseigenschaften Nullstellen Symmetrieverhalten Monotonie Periodizität Umkehrfunktion oder inverse Funktion Koordinatentransformationen Ein einführendes Beispiel Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems Ûbergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten Definition der Polarkoordinaten Darstellung einer Kurve in Polarkoordinaten

11 XII 4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion Reelle Zahlenfolgen Definition und Darstellung einer reellen Zahlenfolge Grenzwert einer Folge Grenzwert einer Funktion Grenzwert einer Funktion für x! x Grenzwert einer Funktion für x! Rechenregeln für Grenzwerte Ein Anwendungsbeispiel: Erzwungene Schwingung eines mechanischen Systems Stetigkeit einer Funktion Unstetigkeiten (Lücken, Pole, Sprünge) Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) Definition einer ganzrationalen Funktion Konstante und lineare Funktionen Quadratische Funktionen Polynomfunktionen höheren Grades Horner-Schema und Nullstellenberechnung einer Polynomfunktion Interpolationspolynome Allgemeine Vorbetrachtung Interpolationspolynom von Newton Ein Anwendungsbeispiel: Biegelinie eines Balkens Gebrochenrationale Funktionen Definition einer gebrochenrationalen Funktion Nullstellen, Definitionslücken, Pole Asymptotisches Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion im Unendlichen Ein Anwendungsbeispiel: Kapazität eines Kugelkondensators Potenz- und Wurzelfunktionen Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten Wurzelfunktionen Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten Ein Anwendungsbeispiel: Beschleunigung eines Elektrons in einem elektrischen Feld Kegelschnitte Darstellung eines Kegelschnittes durch eine algebraische Gleichung 2. Grades mit konstanten Koeffizienten Gleichungen eines Kreises Gleichungen einer Ellipse Gleichungen einer Hyperbel Gleichungen einer Parabel Beispiele zu den Kegelschnitten

12 XIII 9 Trigonometrische Funktionen Grundbegriffe Sinus- und Kosinusfunktion Tangens- und Kotangensfunktion Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen Anwendungen in der Schwingungslehre Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen) Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion Harmonische Schwingung eines Federpendels (Feder-Masse-Schwinger) Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm Superposition (Ûberlagerung) gleichfrequenter Schwingungen Lissajous-Figuren Arkusfunktionen Das Problem der Umkehrung trigonometrischer Funktionen Arkussinusfunktion Arkuskosinusfunktion Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion Trigonometrische Gleichungen Exponentialfunktionen Grundbegriffe Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion Spezielle, in den Anwendungen häufig auftretende Funktionstypen mit e-funktionen Abklingfunktionen Sättigungsfunktionen Wachstumsfunktionen Gedämpfte Schwingungen Gauß-Funktionen Logarithmusfunktionen Grundbegriffe Definition und Eigenschaften einer Logarithmusfunktion Exponential- und Logarithmusgleichungen Hyperbel- und Areafunktionen Hyperbelfunktionen Definition der Hyperbelfunktionen Die Hyperbelfunktionen y ¼ sinh x und y ¼ cosh x Die Hyperbelfunktionen y ¼ tanh x und y ¼ coth x Wichtige Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen Areafunktionen Definition der Areafunktionen Die Areafunktionen y ¼ arsinh x und y ¼ arcosh x

13 XIV Die Areafunktionen y ¼ artanh x und y ¼ arcoth x Darstellung der Areafunktionen durch Logarithmusfunktionen Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes Ûbungsaufgaben Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt 9 und Zu Abschnitt 11, 12 und IV Differentialrechnung Differenzierbarkeit einer Funktion Das Tangentenproblem Ableitung einer Funktion Ableitung der elementaren Funktionen Ableitungsregeln Faktorregel Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln Logarithmische Ableitung Ableitung der Umkehrfunktion Implizite Differentiation Differential einer Funktion Höhere Ableitungen Ableitung einer in der Parameterform dargestellten Funktion (Kurve) Anstieg einer in Polarkoordinaten dargestellten Kurve Einfache Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik Bewegung eines Massenpunktes (Geschwindigkeit, Beschleunigung) Induktionsgesetz Elektrischer Schwingkreis

14 XV 3 Anwendungen der Differentialrechnung Tangente und Normale Linearisierung einer Funktion Monotonie und Krümmung einer Kurve Geometrische Vorbetrachtungen Monotonie Krümmung einer ebenen Kurve Charakteristische Kurvenpunkte Relative oder lokale Extremwerte Wendepunkte, Sattelpunkte Ergänzungen Extremwertaufgaben Kurvendiskussion Näherungsweise Lösung einer Gleichung nach dem Tangentenverfahren von Newton Iterationsverfahren Tangentenverfahren von Newton Ûbungsaufgaben Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt V Integralrechnung Integration als Umkehrung der Differentiation Das bestimmte Integral als Flächeninhalt Ein einführendes Beispiel Das bestimmte Integral Unbestimmtes Integral und Flächenfunktion Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung Grund- oder Stammintegrale Berechnung bestimmter Integrale unter Verwendung einer Stammfunktion Elementare Integrationsregeln Integrationsmethoden Integration durch Substitution Ein einführendes Beispiel Spezielle Integralsubstitutionen

15 XVI 8.2 Partielle Integration oder Produktintegration Integration einer echt gebrochenrationalen Funktion durch Partialbruchzerlegung des Integranden Partialbruchzerlegung Integration der Partialbrüche Numerische Integrationsmethoden Trapezformel Simpsonsche Formel Uneigentliche Integrale Unendliches Integrationsintervall Integrand mit einer Unendlichkeitsstelle (Pol) Anwendungen der Integralrechnung Einfache Beispiele aus Physik und Technik Integration der Bewegungsgleichung Biegelinie (elastische Linie) eines einseitig eingespannten Balkens Spannung zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes Flächeninhalt Bestimmtes Integral und Flächeninhalt (Ergänzungen) Flächeninhalt zwischen zwei Kurven Volumen eines Rotationskörpers (Rotationsvolumen) Bogenlänge einer ebenen Kurve Mantelfläche eines Rotationskörpers (Rotationsfläche) Arbeits- und Energiegrößen Lineare und quadratische Mittelwerte Schwerpunkt homogener Flächen und Körper Grundbegriffe Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers Massenträgheitsmomente Grundbegriffe und einfache Beispiele Satz von Steiner Massenträgheitsmoment eines homogenen Rotationskörpers Ûbungsaufgaben Zu Abschnitt 1 bis Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt

16 XVII VI Potenzreihenentwicklungen Unendliche Reihen Ein einführendes Beispiel Grundbegriffe Definition einer unendlichen Reihe Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe Ûber den Umgang mit unendlichen Reihen Konvergenzkriterien Quotientenkriterium Wurzelkriterium Vergleichskriterien Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen Eigenschaften konvergenter bzw. absolut konvergenter Reihen Potenzreihen Definition einer Potenzreihe Konvergenzverhalten einer Potenzreihe Eigenschaften der Potenzreihen Taylor-Reihen Ein einführendes Beispiel Potenzreihenentwicklung einer Funktion Mac Laurinsche Reihe Taylorsche Reihe Tabellarische Zusammenstellung wichtiger Potenzreihenentwicklungen Anwendungen der Potenzreihenentwicklungen Näherungspolynome einer Funktion Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden Grenzwertregel von Bernoulli und de L Hospital Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes Ûbungsaufgaben Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt VII Komplexe Zahlen und Funktionen Definition und Darstellung einer komplexen Zahl Definition einer komplexen Zahl Komplexe oder Gaußsche Zahlenebene Weitere Grundbegriffe

17 XVIII 1.4 Darstellungsformen einer komplexen Zahl Algebraische oder kartesische Form Trigonometrische Form Exponentialform Zusammenstellung der verschiedenen Darstellungsformen Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen Komplexe Rechnung Grundrechenarten für komplexe Zahlen Addition und Subtraktion komplexer Zahlen Multiplikation und Division komplexer Zahlen Grundgesetze für komplexe Zahlen (Zusammenfassung) Potenzieren Radizieren (Wurzelziehen) Natürlicher Logarithmus Anwendungen der komplexen Rechnung Symbolische Darstellung harmonischer Schwingungen im Zeigerdiagramm Darstellung einer Schwingung durch einen rotierenden Zeiger Ungestörte Ûberlagerung gleichfrequenter Schwingungen Ein Anwendungsbeispiel: Ûberlagerung gleichfrequenter Wechselspannungen Symbolische Berechnung eines Wechselstromkreises Das Ohmsche Gesetz der Wechselstromtechnik Komplexe Wechselstromwiderstände und Leitwerte Ein Anwendungsbeispiel: Der Wechselstromkreis in Reihenschaltung Ortskurven Ein einführendes Beispiel Ortskurve einer parameterabhängigen komplexen Größe Anwendungsbeispiele: Einfache Netzwerkfunktionen Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Induktivität (Widerstandsortskurve) Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Kapazität (Leitwertortskurve) Inversion einer Ortskurve Inversion einer komplexen Größe (Zahl) Inversionsregeln Ein Anwendungsbeispiel: Inversion einer Widerstandsortskurve Ûbungsaufgaben Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt

18 XIX Anhang: Lösungen der Ûbungsaufgaben I Allgemeine Grundlagen Abschnitt 1 und Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt II Vektoralgebra Abschnitt 2 und Abschnitt III Funktionen und Kurven Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt 9 und Abschnitt 11, 12 und IV Differentialrechnung Abschnitt Abschnitt Abschnitt V Integralrechnung Abschnitt 1 bis Abschnitt Abschnitt Abschnitt VI Potenzreihenentwicklungen Abschnitt Abschnitt Abschnitt

19 XX VII Komplexe Zahlen und Funktionen Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Literaturhinweise Sachwortverzeichnis

20 XXI Inhaltsübersicht Band 2 Kapitel I: Lineare Algebra 1 Vektoren 2 Reelle Matrizen 3 Determinanten 4 Ergänzungen 5 Lineare Gleichungssysteme 6 Komplexe Matrizen 7 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Kapitel II: Fourier-Reihen 1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion 2 Anwendungen Kapitel III: Differential- und Integralrechnung für Funktionen von mehreren Variablen 1 Funktionen von mehreren Variablen 2 Partielle Differentiation 3 Mehrfachintegrale Kapitel IV: Gewöhnliche Differentialgleichungen 1 Grundbegriffe 2 Differentialgleichungen 1. Ordnung 3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 4 Anwendungen in der Schwingungslehre 5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 6 Numerische Integration einer Differentialgleichung 7 Systeme linearer Differentialgleichungen

21 XXII Inhaltsübersicht Band 2 Kapitel V: Fourier-Transformationen 1 Grundbegriffe 2 Spezielle Fourier-Transformationen 3 Wichtige Hilfsfunktionen in den Anwendungen 4 Eigenschaften der Fourier-Transformation (Transformationssätze) 5 Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich 6 Anwendungen der Fourier-Transformation Kapitel VI: Laplace-Transformationen 1 Grundbegriffe 2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssätze) 3 Laplace-Transformierte einer periodischen Funktion 4 Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich 5 Anwendungen der Laplace-Transformation Anhang: Lösungen der Ûbungsaufgaben

22 XXIII Inhaltsübersicht Band 3 Kapitel I: Vektoranalysis 1 Ebene und räumliche Kurven 2 Flächen im Raum 3 Skalar- und Vektorfelder 4 Gradient eines Skalarfeldes 5 Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes 6 Spezielle ebene und räumliche Koordinatensysteme 7 Linien- oder Kurvenintegrale 8 Oberflächenintegrale 9 Integralsätze von Gauß und Stokes Kapitel II: Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 2 Grundbegriffe 3 Wahrscheinlichkeit 4 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen 5 Kennwerte oder Maßzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung 6 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen 7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen von mehreren Zufallsvariablen 8 Prüf- oder Testverteilungen Kapitel III: Grundlagen der mathematischen Statistik 1 Grundbegriffe 2 Kennwerte oder Maßzahlen einer Stichprobe 3 Statistische Schätzmethoden für die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ( Parameterschätzungen ) 4 Statistische Prüfverfahren für die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ( Parametertests ) 5 Statistische Prüfverfahren für die unbekannte Verteilungsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ( Anpassungs- oder Verteilungstests ) 6 Korrelation und Regression

23 XXIV Inhaltsübersicht Band 3 Kapitel IV: Fehler- und Ausgleichsrechnung 1 Fehlerarten (systematische und zufällige Messabweichungen). Aufgaben der Fehler- und Ausgleichsrechnung 2 Statistische Verteilung der Messwerte und Messabweichungen ( Messfehler ) 3 Auswertung einer Messreihe 4 Fehlerfortpflanzung nach Gauß 5 Ausgleichs- oder Regressionskurven Anhang: Teil A: Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Teil B: Lösungen der Ûbungsaufgaben