6 Lösungen zu trigonometrischen Funktionen Lö 36. a = 1. Winkel im Gradmaß Winkel im Bogenmaß

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "6 Lösungen zu trigonometrischen Funktionen Lö 36. a = 1. Winkel im Gradmaß Winkel im Bogenmaß"

Fritz Becke
vor 5 Jahren
Abrufe

1 Lösungen zu trigonometrischen Funktionen Lö LLöössuunnggeenn zzuum 77.. Kaappi iteel l: : TTrri iggoonnoomeet trri isscchhee FFuunnkkt tioonneenn a a a h 0 0 a Mit Pythagoras olgt: d Mit Pythagoras olgt: a h + a d a + a a h + d h und damit h a sin 0 cos 0 sin cos a h sin 0 cos 0 a... α sin α 0 cos α α x / / / / / / Winkel im Gradmaß Winkel im Bogenmaß Der Winkel mit dem Bogenmaß rad hat α 7,...77 α x 0,7 0,9 0, 0,78 0,87,07,,7 Symmetriachsen der Sinuskurve: x k +, k /Z. Symmetriezentren der Sinuskurve: P( k I 0 ), k /Z.

2 Lösungen zu trigonometrischen Funktionen Lö 7.88 Die Sinuskurve bleibt ungeändert bei Verschiebungen um ganzzahlige Vielache von, d.h k, in x-richtung. Gegenüber Verschiebungen ( x x + k ;y y,k /Z) ist die Funktion mit (x) sin (x) trraannssl t laat tioonnssssyymmeet trri isscchh..99 Symmetriachsen der Cosinuskurve: x k, k /Z. Symmetriezentren der Cosinuskurve: P( + k I 0 ), k /Z..00 Die Cosinuskurve bleibt wie die Sinuskurve ungeändert bei Verschiebungen um ganzzahlige Vielache von, d.h k, in x- Richtung. Gegenüber Verschiebungen ( x x + k ;y y,k /Z) ist die Funktion mit (x) sin (x) trraannssl t laat tioonnssssyymmeet trri isscchh... GTTR a) sin 0,8 b) sin () 0,8 c) sin (,8) -0,00 d) sin (,7),00 e) sin() -0,90 ) sin(,) -0,978 g) cos(0),00 h) cos 0,8 i) cos (,) -,00 j) cos () 0,0 k) cos () -0, l) cos (,7) 0,0008. GTTR SSI IINN - 0. a) sin x 0,, x 0, b) sin x 0, x 0 c) sin x, x,7 d) sin x 0,77, x 0,879 e) sin x -, x -,7 ) sin x -0,7, x -0,7 g) sin x,, x nicht de. h) sin x -0,, x - 0,. Beispiele c, und c 0,7 Für c hat die Gleichung sin (x) c unendlich viele Lösungen. Für c > oder c < - hat die Gleichung sin (x) c keine Lösung.. Intervall 0 x : Am einachsten mit Menü Graph, G-Solve. Z.B. bei a) Nullstellen (Root) von bestimmen. a) sin (x) 0,7 x 0,77; x x, b) sin (x) -0, (x 0-0,0); x ; x x,; x x 0 +,978 c) sin (x) 0, x 0,7; x x,8 x 0,7; x, d) sin x 0,9 x,8; x, 99 x,9; x,987 e) sin (x +) 0, x + 0; x x, x -; x, ) sin (x ) 0,707 x - 0,78; x -, x,7; x,98

3 Lösungen zu trigonometrischen Funktionen Lö 8. a) sin (x) x ; x b) sin (x) x ; x c) sin (x) x 0 ; x ; x + d) sin (x) 0 x 0 ; x ; e) sin (x) IL ; IL ; IL ; IL 0; ; x { } Substitution: u x sin u, wie bei a) also u ; u Weitere Lösungen: u u + + ; u u + + Resubstitution: u x, also x u x, also x u x +, also x + 7 u x +, also x + 7 IL ; ; ; ) sin (x ) Substitution u x u ; u Resubstitution: u x, also x u x, also x + g) cos (x) - oder sin (x+ ) - 7 IL ; Substitution u x+ sin u -, u Resubstitution: x +, also x,

Lösungen zu trigonometrischen Funktionen Lö 9 h) sin ( x) Substitution: u x 9 sin u, also u ; u + ; u + Resubstitution: u x, also x u x, also x 9 u x, also x IL ; ; i) sin (x) +, es olgt sin(x).

Schritt: Amplitude A Höhe der ganzen Schwingung durch zwei, also (größter y-wert kleinster y-wert) /. Schritt: Nulllinie: y y 0, Gerade in der Mitte zwischen Hoch- und Tiepunkten.

4 Lösungen zu trigonometrischen Funktionen Lö 9 h) sin ( x) Substitution: u x 9 sin u, also u ; u + ; u + Resubstitution: u x, also x u x, also x 9 u x, also x IL ; ; i) sin (x) +, es olgt sin(x). Siehe a) IL ;. (x) sin (x), A g(x), sin (x), A, h(x) sin x, A,sin x, A, k(x) ( ).77 HI IIEERR ZZUUNNÄÄCCHHSSTT EEI IINN REEZZEEPPTT.Schritt: Amplitude A Höhe der ganzen Schwingung durch zwei, also (größter y-wert kleinster y-wert) /. Schritt: Nulllinie: y y 0, Gerade in der Mitte zwischen Hoch- und Tiepunkten.. Schritt: Einen Punkt P( x 0 I y 0 ) au der Nulllinie wählen: Die Koordinaten dieses Punktes geben die Verschiebung an: x 0 -Wert: Verschiebung in x-richtung. x ersetzen durch (x x 0 ) y 0 -Wert: Verschiebung in y-richtung, y 0 zum Term addieren. Schritt: Gleichung angeben: (x) A sin (x-x 0 ) + y 0. Schritt: Wenn die Kurve nach P einen Berg hat, ist die Gleichung ertig. Hat sie ein Tal, dann kommt ein Minus-Zeichen vor das A. Minus-Zeichen. a) Amplitude: A, da ymin, 0, Nullline: y,, da P(I,), + ( 0, ) ( ), P( I, ) Verschiebung: y 0, in y-richt. Verschiebung: x 0 in x-richt.: Nach P olgt zuerst ein Berg. (x) sin (x - ) +,

5 Lösungen zu trigonometrischen Funktionen Lö 0 Oder mit Spiegelung statt Rechtsverschiebung: (x) - sin (x) b) Amplitude: A,, da y y 0, (, ) P(/ /I -) max min, Nullline: y -, da 0, + (, ) P( /I - ) Verschiebung: y 0 - in y-richt. Verschiebung: x 0 in x-richt. Nach P olgt zuerst ein Tal. (x) -, sin (x - ) c) Amplitude: A, da ymin Nullline: y, da + P( 0 I ) Verschiebung: y 0 in y-richt. Keine Verschiebung in x-richt.. Nach P olgt zuerst ein Tal. (x) -, sin (x - ) d) Amplitude: A, da ymin ( ) Nullline: y, da P( / I ) Verschiebung: y 0 in y-richt. Verschiebung: x 0 / in x- Richt.: Nach P olgt zuerst ein Bergl. (x) sin (x - ) + e) Amplitude: A, da ymin ( ) Nullline: y 0, da 0 P( I 0 ) Keine Verschiebung in y-richt. Verschiebung: x 0 / in x-ri: Nach P olgt zuerst ein Berg. (x) sin (x - )

6 Lösungen zu trigonometrischen Funktionen Lö ) Amplitude: A,, da y y ( ) max min, Nullline: y, da, P( 0 I -, ) Verschiebung: y 0 -, in y-richt. Keine Verschiebung in x-richt.: Nach P olgt zuerst ein Bergl. (x) sin (x - ) +.88 a) ( x) sin( x) + b) ( x) sin x c) ( x) sin( x) d) ( x) sin( x ) +.99 (x) sin (x) - sin (x- ) sin(x- ) cos(x- /) g(x) - sin (x) sin (x- ) - sin(x- ) - cos(x- /)

7 Lösungen zu trigonometrischen Funktionen Lö AUUFFGGAABBEE Skizzen überlasse ich Ihnen. a) (x) sin (x ), P ; Verschiebung um nach rechts.. Gleichung: (x) cos(x- ). Achse: x, Zentrum P( 0 I 0 ) b) g(x) cos (x ) + ; P Spiegelung an der x-achse; Verschiebung um / nach rechts und nach oben. Achse: x, Zentrum P( 0 I ). Gleichung: g(x) - sin (x) + c) h(x) sin x sin x, k ; P k Streckung in x-richtung mit Kehrwert von k, also / Streckung mit / in y-richtung; Verschiebung um / nach rechts. Achtung: nicht um / (!), man muss zuerst k ausklammern. Achse: x 0, Zentrum P( I 0 ). Gleichung: h(x) cos x d) k(x) cos (x ) cos ( x ); k ; P Streckung in x-richtung mit Kehrwert von k, also / Streckung mit in y-richtung; Verschiebung um / nach rechts. Achtung: nicht um (!), man muss zuerst k ausklammern. Achse: x, Zentrum P( 0 I 0 ). Gleichung: k(x) sin (x /);. ( x ) sin(x ) P k ( x) sin x P k ( x) sin x P k ( x) sin( x) P k

8 Lösungen zu trigonometrischen Funktionen Lö ( x) sin x P k / ( x) sin x P k / ( x) sin( x) P k. h g k (x) cos( x) + h(x) sin(/ x) g(x) cos(x) k(x) cos(x). Bestimmen Sie alle Hochpunkte der Funktion mit a) (x) - sin (x-)+ H + k b) (x) sin (x-/)+ H + k. a) (x),8 sin (0,x-0,)+, A,8; P 0 0, b) (x) -, sin (-0,x)- A,; P 8 0, 7 c) ( x) sin x + A,; P /

9 Lösungen zu trigonometrischen Funktionen Lö. Ansatz: (x) sin(k x)- Punktprobe mit P( I -): () -, d.h. sin(k ) sin (k) sin (k), d.h. k. Die Periode muss also P sein. k. P 0 cm Aus P olgt k. k P 0 Gleichung der Bremswelle: y sin x, x in cm, wenn man die x- Achse passend legt. Anzahl der Wellen: 0 m/0 cm 0 m/0, m, Wellen.77 y 0sin x beschreiben lässt? 0 Furchentiee. 0 0 cm Furchbreite: Periode P 0, daher sind die Furchen 0 cm breit 0.88 Beim Wechselstrom ührt die Spannung je Sekunde 0 Schwingungen aus. P. Aus k Gib die Periode an und eine Gleichung ür die Spannung, wenn die Maximalspannung 0 Volt beträgt. 00 t Wechselstrom U 0 sin ( ) Die Lösungen zu Augabe 7.9 und 7.0 gibt es erst, wenn Sie eigene Versuche unternommen haben.

Ähnliche Dokumente

Mittels gleichseitigem Dreieck und gleichschenklig. rechtwinkligem Dreieck kann man die folgenden Werte berechnen. 1 =

Mittels gleichseitigem Dreieck und gleichschenklig. rechtwinkligem Dreieck kann man die folgenden Werte berechnen. 1 = Trriigonomettrriische Funkttiionen Bezeichnungen Das Wort Trigonometrie stammt aus dem Griechischen: τρι (tri) bedeutet drei und γονυ (gony) Winkel, insgesamt also Dreiwinkligkeit oder Dreiecksberechnung.