Prof. Dr. U. Motschmann

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1 Institut für Theoretische Physik der Technischen Universität Braunschweig Plasmaphysik Skriptum zur Vorlesung Prof. Dr. U. Motschmann Braunschweig, 2015

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3 Inhaltsverzeichnis I Charakteristik des Plasmas 5 I.1 Quasineutralität und Ladungstrennung I.2 Plasmafrequenz I.3 Debye-Länge I.4 Definition eines Plasmas I.5 Polarisation des Plasmas I.6 Leitfähigkeit des Plasmas I.7 Teilchenstöße I.8 Kinetische und potentielle Energie des Plasmas I.9 Thermodynamische Größen im Plasma I.10 Ionisationsgleichgewicht II Kinetische Plasmatheorie 27 II.1 Ableitung der kinetischen Grundgleichung II.2 Interpretation der Mittelwerte höherer Ordnung II.3 Coulomb-Wechselwirkungen II.4 Vlasov-Plasmen III Mehrflüssigkeitsbeschreibung und MHD 37 III.1 Momente der Verteilungsfunktion III.2 Momentenbildung mit der Vlasov-Gleichung III.3 Grundgleichungen der MHD IV Lineare Wellen im Plasma 51 IV.1 MHD-Wellen

4 4. INHALTSVERZEICHNIS IV.2 Linearisierung des Maxwell-Vlasov-Systems IV.2.1 Wellen im isotropen Plasma IV.3 Landau-Dämpfung IV.4 Wellen im anisotropen Plasma V Stoßwellen und Diskontinuitäten 75 V.1 Grundgleichungen V.2 Rankine-Hugonoit-Relationen V.3 Koplanaritätstheorem V.4 de Hoffman-Teller-Koordinatensystem V.5 Lösung des Rankine-Hugonoit-Systems V.5.1 Klassifikation der Lösungen VI Grundlagen der Dynamotheorie 95 VI.1 Dynamo-Prinzip VI.2 Mathematische Beschreibung des Dynamo-Problems VI.3 Scaling der Dynamo-Gleichung VI.4 Theorem des eingefrorenen Flusses VI.5 Poloidale und toroidale Felder VI.6 Lösung der Dynamo-Gleichung VI.7 Zwei Grundtypen von Dynamos VI Instabilitätstheorie 111 VII.1Quellen instabiler Prozesse im Plasma VII.2Ausgezeichnete Rolle der Maxwell-Verteilung VII.3Beispiele für Plasmainstabilitäten VII.3.1 Beam-Plasma-Instabilität Zwei-Strom-Instabilität im stoßfreien Plasma. 116 Satz und Bilder: Hendrik L A TEX2ε MiKTeX 2.7e & WinEdt 5.3, Kile, Xfig Fehler melden an: Willi Exner w.exnerattu-bs.de Braunschweig, 23. März 2015 Uwe Motschmann

5 Kapitel I Charakteristik des Plasmas I.1 Quasineutralität und Ladungstrennung Vorläufige Definition: Ein Plasma ist ein System von Teilchen oder Quasiteilchen, die frei beweglich sind, und dessen Eigenschaften wesentlich durch die Ladungsträger bestimmt sind. Die Gesamtheit des Teilchensystems ist neutral. Als Teilchen oder Quasiteilchen können auftreten: Ionen, Elektronen, Moleküle, Quarks, Gluonen, Löcher, geladene Staubteilchen etc. Die Teilchensysteme können unter sehr unterschiedlichen Bedingungen vorliegen. Die Teilchendichten und -energien überstreichen Bereiche von m ev Wichtige Erscheinungsformen von Plasmen sind in der Abbildung I.1 dargestellt. Als Orientierungspunkt für die Dichte betrachten wie die Anzahl der Atome in 1m 3 Eisen: ρ F e = 7850 kg/m kg/m 3 m F e = 56 amu = kg Fe-Atome /m 3 Vorkommen von Plasmen exotisch unter irdischen Bedingungen, 4.Aggregatzustand, Gasentladung, Flammen, Elektronen in Metallen normal unter außerirdischen Bedinungen: > 99 % der sichtbaren Materie des Universums im Plasmazustand: Sterne, Raum zwischen den Sternen, etc. Ausnahmen: Kometen, Asteroiden, Planeten Man bezeichnet ein Plasma als quasineutral, da es nur im Mittel elektrisch neutral ist. Die Mittelung ist sowohl zeitlich als auch räumlich vorzunehmen. Die Größe des Mittelungsvolumens bestimmt eine charakteristische Länge und die des Mittelungsintervalls eine charakteristische Zeit. Unterhalb dieser charakteristischen Länge bzw. Zeit kann Ladungstrennung vorliegen.

6 6 I. Charakteristik des Plasmas I.2 Plasmafrequenz Die charakteristische Zeit der Ladungstrennung ist äquivalent einer reziproken Frequenz, die Plasmafrequenz genannt wird. Zur Ableitung dieser Frequenz betrachten wir folgendes Modell: Wir legen zunächst ein Standardplasma fest, das im Rahmen der ganzen Vorlesung beibehalten wird. Es besteht aus Elektronen Index e und q-fach positiv geladenen Ionen Index i. Modell: In einem großräumig neutralen Plasma werde eine lokale Ladungstrennung herbeigeführt. Wegen der höheren Beweglichkeit der Elektronen wird angenommen, dass nur die Elektronen verschoben werden und die Ionen unbeweglich verharren E Ursprünglich beträgt die Ladungsdichte der Elektronen gleich der der Ionen: n e 0 = q i n i0. I.1 Nach Herbeiführung der Ladungstrennung verändert sich die Ladungsdichte der Elektronen zu n e = n e 0 + δn e I.2 während weiterhin n i = n i0 gilt. δn e sei klein: δn e << n e0. Durch die Ladungstrennung bildet sich ein elektrisches Feld E gemäß dem Gaußschen Gesetz x E = 1 eq i n i n e = e q i n i n e0 δn ε 0 ε 0 } {{ } e = e δn e ε 0 =0 heraus. Das elektrische Feld führt zu einer rücktreibenden Kraftdichte auf die Elektronen gemäß I.3 I.4 m e t v e = ee. I.5 Elektronen werden bei diesem Prozeß aber nicht erzeugt oder vernichtet, so dass für sie eine Kontinuitätsgleichung gilt: t n e + x n e v e = 0. I.6 Daraus ergibt sich t δn e + n e0 x v e + x δn e v e = 0. I.7 In linearer Näherung kann der dritte Summand gegen den zweiten vernachlässigt werden. Es folgt m e t x v e = e x E = e eδn e ε 0 m e t tδn e = e2 δn e n e0 ε 0 I.8 I.9

7 I.3 Debye-Länge 7 bzw. 2 t δn e + e2 n e0 ε 0 m e δn e = 0. I.10 Diese Schwingungsgleichung zeigt, dass die elektronische Ladungsdichtestörung δn e mit der charakteristischen Frequenz e ω pe = 2 n e0 Plasmafrequenz I.11 ε 0 m e schwingt. ω pe heißt auch Langmuir-Plasmafrequenz. Sie hängt nur von der Plasmadichte n e0 ab. Die Plasmafrequenz ist eine fundamentale Größe zur Charakterisierung eines Plasmas. Beispiele für Plasmafrequenzen sind in der Tabelle I.1 angegeben. Bei Mittelung über Zeiten τ mit τ >> ωpe 1 I.12 ist von der Ladungstrennung offensichtlich nichts zu spüren. Die Schwingung des Plasmas mit der Plasmafrequenz hängt von der Gesamtheit der Teilchen ab, ausgedrückt durch die Dichteabhängigkeit der Plasmafrequenz. Der Effekt ist damit typisch kollektiv. I.3 Debye-Länge Nach der charakteristischen Zeitskala für Ladungstrennungen sollen nun charakteristischen Längenskalen untersucht werden. In unmittelbarer Nähe eines geladenen Teilchens ist logischerweise keine Neutralität vorhanden; diese stellt sich erst ein bei Mittelung über ein Volumen gewisser Ausdehnung. Wir betrachten dazu ein einzelnes Teilchen der Ladungszahl q. Für Elektronen ist q = 1; für Ionen gilt q = q i. Im Vakuum bildet das Teilchen das Potential Φ C Coulomb-Potential Φ C = 1 q e 4πε 0 r I.13 aus. Im Plasma jedoch wird das Teilchen eine Wolke entgegengesetzt geladener Teilchen anziehen. Es findet eine Polarisation des Plasmas statt und das Potential des betrachteten Teilchen wird abgeschirmt. Das abgeschirmte Potential Φ soll nun berechnet werden. Die Überlegungen gehen auf Debye zurück und wurden ursprünglich für starke Elektrolyte entwickelt. Zur Berechnung des selbstkonsistenten Potentials Φ gilt zum Einen die Poisson-Gleichung mit der Ladungsdichte für das Standardplasma oder xφ 2 = 1 ρ ε 0 ρ = eq i n i n e ρ = eq n I.14 I.15 I.16 für ein Plasma beliebiger Komposition. Für Elektronen gilt q = 1. Die Ladungsdichte ist nun vom Abstand r vom betrachteten Teilchen abhängig. Jede Teilchensorte kann nun als thermodynamisches System aufgefasst werden, das jeweils an ein Reservoir der Temperatur T thermisch

8 8 I. Charakteristik des Plasmas gekoppelt ist. Das Reservoir wird durch den Plasmahintergrund gebildet. Die umgebenden Teilchen befinden sich nun im Potential Φ des betrachteten Teilchens und ihre Anzahldichte n folgt einer Boltzmann-Verteilung: n = n 0 exp q eφ I.17 k B T n 0 sind die mittleren Dichten, für die eq n 0 = 0 I.18 gilt. k B ist die Boltzmann-Konstante. Somit gilt xφ 2 = 1 eq n 0 exp q eφ. I.19 ε 0 k B T Da Φ mit zunehmendem r abfällt, lassen sich immer Bedingungen mit q e Φ << k B T I.20 finden, so dass approximiert werden kann exp q eφ k B T = 1 q eφ k B T. I.21 Dann ergibt sich unter Benutzung von I.18 2 xφ = 1 ε 0 xφ 2 = 1 λ 2 Φ D eq n 0 q eφ k B T I.22 I.23 mit 1 λ 2 D λ D = = e 2 q 2 n 0 ε 0 k B T ε 0 k B T e 2 q 2 n 0 = 1 λ 2 D, I.24 I.25 λ D ist die Debye-Länge der Plasmakomponente. Wir suchen kugelsymmetrische Lösungen und schreiben deshalb 1 r 2 d rr 2 d r Φ = 1 λ 2 Φ, D I.26 d 2 rφ + 2 r d rφ 1 λ 2 Φ = 0. D I.27 Die allgemeine Form der Lösung lautet Φ = A 1 r exp r + B 1 r λ D r exp λ D I.28 Wegen Φr = 0 gilt B = 0. Für r 0 muss die Vakuum-Lösung folgen, so dass sich Φ = 1 q e 4πε 0 r exp r I.29 λ D

9 I.4 Definition eines Plasmas 9 ergibt. Selbstkonsistente Lösung ist also ein abgeschirmtes Potential. Abschirmlänge ist die Debye- Länge λ D. Das Potential dringt weniger weit in den Raum als das Coulombpotential. Für r >> λ D verschwindet das Potential exponentiell; von der Ladung des ausgewählten Teilchens ist nichts mehr zu spüren. Die Abschirmung des Potentials ist wiederum ein typisch kollektiver Prozess. Kollektive Abschirmeffekte können natürlich nur vorhanden sein, wenn die Debye-Länge sehr viel größer als der mittlere Teilchenabstand d ist. Es gilt d = n 1/3 I.30 und folglich ist zu fordern λ D >> n 1/3 I.31 Beziehen wir uns auf Elektronen, so folgt ε0 k B T e 2 n 1/3 e0 >> 1. I.32 n e 0 Mit Λ = 4π 3 λ3 De n e0 I.33 führen wie die Teilchenzahl Λ in der Debye-Kugel ein und schreiben obige Ungleichung vermittels 3 ε0 k B T e 2 n e0 = λ 3 n Den e0 = 3 e 0 4π Λ I.34 als Λ >> 1. Der Vorfaktor 3/4π ist von der Größenordnung 1. Betrachten wir die Ungleichung energetisch, so führt quadrieren auf I.35 ε 0 k B T e 2 n 2/3 e0 >> 1 I.36 n e 0 bzw. k B T e 2 >> 1. I.37 ε 0 n 1/3 e0 Diese Forderung beinhaltet, dass die kinetische Energie k B T sehr viel größer sein muss als die potentielle Energie 1 ε 0 e 2 n 1/3 e0, damit eine kolletive Abschirmung möglich wird und ein typisches Plasmaverhalten vorliegt. Die umgekehrte Situation ist typisch für einen festen Körper. Betrachten wir die Temperatur T als vorgegeben und die Dichte n e0 als variabel, so ergibt sich die Ungleichung ε0 k B T n 1/3 e0 ε0 k B T e 2 = n 1/2 e 2 n 1/6 e0 >> 1. I.38 e0 D.h die Teilchendichte muss hinreichend klein sein, um von einem Plasma sprechen zu können. I.4 Definition eines Plasmas Ein Plasma ist ein ionisiertes Gas bestehend aus frei beweglichen Ladungsträgern beider Vorzeichen und eventuellen Neutralteilchen, dessen Debye-Länge groß ist verglichen mit dem mittleren Abstand zwischen den Teilchen. Andererseits muss die Debye- Länge klein sein, verglichen mit der räumlichen Ausdehnung des Gases. Die charakteristischen Zeitskalen im System sind groß gegenüber der inversen Plasmafrequenz.

10 10 I. Charakteristik des Plasmas Plasma Dichte Plasmafrequenz korrespond. Position im elm. n [cm 3 ] ω p [s 1 ] Wellenlänge Spektrum Interstellares Gas cm langwellig HF Dichte Ionosphäre, cm Mikrowellen Obere Sternatmosphäre UHF Laborplasma, cm Mikrowellen, untere Sternatmosphäre fernes Infrarot Dichtes Laborplasma cm Infrarot Sterneninneres, Å sichtbar Metalle fernes UV Tabelle I.1: Vorkommen und Kenndaten wichtiger Plasmen Abbildung I.1: Verteilung der verschiedenen vorkommenden Plasmen über Dichte- und Temperaturbereiche Insbesondere gilt dies auch für die typische Zeit zwischen Kollisionen. In einem Plasma zeigen die Teilchen kollektives Verhalten. I.5 Polarisation des Plasmas Plasmafrequenz und Debye-Länge geben eine charakteristische Zeit und Länge für die Ladungstrennung im Plasma an. Die Ladungstrennung auf diesen Skalen bezeichnet man auch als Polarisation des Plasmas. Setzt man die charakteristische Länge der Ladungstrennung zur charakteritistischen Zeit ins Verhältnis gelangt man zu einer Geschwindigkeit. Setzen wir voraus, dass die Ladungstrennung vorrangig auf der Beweglichkeit der Elektronen beruht, dann ergibt sich λ De ε0 k B T e ωpe 1 = e 2 2 n e0 kb T =. n e0 ε 0 m e m e I.39

11 I.5 Polarisation des Plasmas 11 Die ermittelte Geschwindigkeit ist der thermischen Bewegung der Elektronen zuzuordnen. Über kb T v te = I.40 wird die thermische Elektronengeschwindigkeit eingeführt und es ergibt sich m e λ De = v te /ω pe I.41 Je heißer das Plasma ist, desto größer ist die Debye-Länge, die einer Polarisationslänge im Plasma entspricht, und desto kürzer die Zeit der Ladungstrennung, die einer Polarisationszeit entspricht. Wir betrachten noch einmal das Potential eines Teilchens im Plasma: Φ = 1 qe r 4πε 0 r e λ D. Davon spalten wir das Coulomb-Potential Φ C = 1 qe 4πε 0 r I.42 I.43 ab und schreiben Φ = Φ C + 1 qe 4πε 0 r exp r 1. I.44 λ D Der zweite Term ist gerade für die Abschirmung verantwortlich, und er wird als Plasmapotential Φ p bezeichnet: Mit diesem Potential ist über Φ p = 1 qe 4πε 0 r exp r 1. λ D 2 xφ p = 1 ε 0 ρ p eine Polarisationsladungsdichte ρ p verbunden. Die entsprechende Gesamtladung ist q p e = ρ p dv = 4π ρ p r 2 dr q p e = 4πε 0 xφ 2 p r 2 dr 0 1 exp = qe 0 r 2 r r 2 r exp r = qe r 2 λ D 1 r r = qe 0 r 2 1 λ D exp r λ D r r λ D 1 r 0 exp r 2 dr r λ D 1 I.45 I.46 I.47 r 0 q p e = qe 1 I.48 Offensichtlich erzeugt das Plasmapotential eine Polarisationsladung gerade von umgekehrten Vorzeichen als Ladungswolke mit einer Ausdehnung von der Debye-Länge. Bemerkung: Erinnerung an Elektrostatik, einem + metallischen Halbraum qe Ladung vor

12 12 I. Charakteristik des Plasmas I.6 Leitfähigkeit des Plasmas Da ein Plasma reichlich freie Ladungsträger enthält, sollte es eine gute elektrische Leitfähigkeit aufzeigen. Zugang zur elektrischen Leitfähigkeit wollen wir uns wiederum durch ein Gedankenexperiment verschaffen. Es wird sich herausstellen, dass ein vorhandenes oder nicht vorhandenes Magnetfeld zu deutlichen Unterschieden führt. Deshalb betrachten wir beide Fälle getrennt. 1. Unmagnetisiertes Plasma Wir gehen vom Standardplasma aus und legen über zwei Elektroden eine Spannung an. Das sich ausbildende elektrische Feld E wird über die Coulomb-Kraft die Ladungsträger in E Bewegung versetzen. Die Elektronen werden schneller reagieren, da sie durch ihre wesentlich geringere Trägheit leicher beweglich sind. Wir wollen zur Vereinfachung die Situation wiederum extrem betrachten und annehmen, dass sich nur die Elektronen bewegen und die Ionen in Ruhe verharren. Neben der Coulomb-Kraft werden die Elektronen noch durch einen weiteren Einfluss beschleunigt. Durch ihre Relativbewegung wird es zu Zusammenstößen mit den Ionen kommen und die Elektronen verlieren dadurch Impuls. Das ist sicher ein statistischer Prozess. Wir wollen hier zunächst nur den Mittelwert dieses Prozesses betrachten und annehmen, dass im Mittel ein Elektron nach der Zeit τ c gegen ein Ion stößt. Im Mittel gilt dann für jedes Elektron die Impulsbilanz τ c Stoßzeit I.49 ν c = 1 τ c Stoßfrequenz I.50 m e d t v e = e E m e ν c v e. I.51 Wenn die Beschleunigungsphase zu Ende ist, werden sich stationäre Verhältnisse einstellen; dann gilt E = m e ν c v e e I.52 Mit der Bewegung der Elektronen ist ein Stromfluss verbunden: j = e n e0 v e. I.53 Wir können davon ausgehen, dass die Dichte n e während des Prozesses nicht gestört wird und verbleibt wie am Anfang; also haben wir n e = n e 0 I.54 gesetzt. Elimination von v e liefert bereits das Ohmsche Gesetz j = e2 n e0 m e ν c E I.55

13 I.6 Leitfähigkeit des Plasmas 13 Als Leitfähigkeit σ 0 lesen wir σ 0 = e2 n e0 m e ν c I.56 ab. Bei der Diskussion der Abhängigkeit der Leitfähigkeit von n e0 ist Vorsicht geboten. Intuitiv ist zu erwarten, dass ν c auch von der Dichte abhängt. Es ist sicher nicht allgemeingültig, dass σ 0 um so größer ist, je größer n e0 wird. Mit Sicherheit können wir aber sagen, dass σ 0 νc 0 I.57 Wenn keine Stöße im Plasma auftreten, ist seine Leitfähigkeit unendlich gut. Resistivität η 0 = 1 σ 0 I Magnetisiertes Plasma Das Gedankenexperiment wird jetzt in einem homogenen und statischen Magnetfeld B wiederholt. Wir führen ein kartesisches Koordinatensystem ein und orientieren es so, dass B e z B = 0 0 B + E gilt. Als Kraftwirkung auf die Elektronen kommt jetzt die Lorentzkraft hinzu. Die Impulsbilanz lautet dann m e d t v e = ee + v e B m e ν c v e. I.59 Wiederum unter stationären Bedingungen und Elimination von v e über folgt j = e n e0 v e j = e2 n e0 E 1 j B m e ν c e n e0 I.60 I.61 Die explizite Auflösung dieser Gleichung nach j ist etwas aufwändiger: Wir führen die Elektronen-Gyrofrequenz j + e j B m e ν c = σ 0 E I.62 j + e B j e m e ν z c = σ 0 E I.63 ein. Folglich entsteht Ω e = e B m e j + Ω e ν c j e z = σ 0 E. I.64 I.65

14 14 I. Charakteristik des Plasmas Umschrift mit I + Ω e ν c I + Ω e ν c mit dem Leitfähigkeitstensor σ = I = = j = σ 0 E 1 1+Ω e /ν c Ω e/ν c 2 1+Ω e /ν c 0 2 Ω e /ν c 1+Ω e /ν c Ω e /ν c I.66 I.67 I.68 j = σe I.69 σ P σ H 0 σ H σ P σ I.70 wobei σ P = Ω e /ν c 2 σ 0 Pedersen-Leitfähigkeit I.71 σ H = Ω e /ν c 1 + Ω e /ν c 2 σ 0 Hall-Leitfähigkeit I.72 σ = σ 0 Parallele Leitfähigkeit I.73 Grenzfälle: Stoßbestimmtes Plasma: ν c >> Ω e σ P = σ = σ 0, σ H 0 I.74 σ = Iσ 0 Isotropie I.75 Stoßfreies Plasma: ν c << Ω e σ = σ 0 I.76 σ P σ H 0 I.77 j = 0 0 j z Strom fließt nur entlang des Magnetfeldes. Quer hält das starke B die Teilchen fest. I.78 I.7 Teilchenstöße Wenn zwei oder mehrere Teilchen in eine Stoßwechselwirkung geraten, handelt es sich dabei um individuelle Effekte im Unterschied zu den kollektiven Schwingungen mit der Plasmafrequenz und der kollektiven Abschirmung auf der Skala der Debye-Länge. Es können sowohl elastische als auch

15 I.7 Teilchenstöße 15 inelastische Stöße zwischen den Plasmateilchen auftreten. Es kann dabei zu Elektron-Elektron- Stößen, Elektron-Ion-Stößen, Elektron-Neutralgas-Stößen usw. kommen. Wir wollen nun die charakteristische Stoßzeit bzw. Stoßfrequenz für einen individuellen Effekt abschätzen und diese dann mit der Plasmafrequenz als typischen kollektiven Effekt vergleichen. Die maximale effektive Wechselwirkungslänge wird dabei durch die Debye-Länge approximiert. Wegen der geringen potentiellen Energie im Vergleich zur kinetischen spricht man von schwachen Stößen; allerdings finden in der Debye-Zone sehr viel, d.h. Λ solch schwacher Stöße statt. Zur Behandlung des Problems knüpfen wir an die Rutherford-Streuung an. Wegen m i m e werden die Ionen als unbeweglich betrachtet und die Elektronen an ihnen gestreut. p 0 v 0 p x m e r p v Θ 0 x p Stoßparameter; ohne Wechselwirkung würde e im senkrechten Abstand am Ion vorbeifliegen. v 0 Anfangsgeschwindigkeit bei t = = Θ = 0 Zentralkraft, Drehimpulserhaltung: L = x m e v I.79 Polarkoordinaten x = r e r I.80 v = ṙ e r + r Θ e Θ I.81 L = L = m e r 2 Θ = me p v 0 = const I.82 dt = r2 v 0 p dθ I.83 Ein Maß für den Stoß ist hauptsächlich die senkrechte Ablenkung des Elektrons und damit seine senkrechte Geschwindigkeitskomponente, die sich aus m e v = F F v 0 I.84 zu v = v t = 1 F tdt m e I.85

16 16 I. Charakteristik des Plasmas berechnet. Dazu F t = e2 4πε 0 1 r 2 t F t = e2 4πε 0 1 r 2 sinθ v = 1 m e v = v = v = e2 e 2 π 1 4πε 0 m e 0 e 2 4πε 0 m e v 0 p e 2 2πε 0 m e v 0 p 1 4πε 0 r 2 sinθdt r2 sinθ r2 v 0 p dθ π 0 sinθdθ I.86 I.87 I.88 Wir wollen nun signifikante Stoßwirkungen betrachten. Diese wollen wir so benennen, wenn erzielt wird. Dann gilt bzw. v > v 0 bzw. v /v 0 > 1 I.89 v e 2 = v 0 2πε 0 m e v0 2 p > 1 e 2 p < 2πε 0 m e v0 2 p 0, I.90 I.91 d.h der Stoßparameter senkrechter Vorbeiflugabstand muss hinreichend klein sein, damit es zu einer signifikanten WW =Stoß kommt. Bemerkung: Streng genommen kann v > v 0 in unserem Modell nicht auftreten, denn das Kraftfeld ist konservativ. Für t nimmt das Teilchen wieder die Geschwindigkeit v 0 an. Wir wollen jedoch das Model verletzende Ungleichheitszeichen beibehalten, um einzufangen wie v möglichst gross wird. Stoßquerschnitt Q: Q = πp p m e v dx dx dt = v 0 Bei seiner Bewegung durch das Plasma kommt es immer dann zu einem signifikanten Stoß, wenn sich dem Elektron ein Ion in den Weg stellt, dass von Q überstrichen wird. Diese Ereignisse werden ausgezählt. Die in der Zeit dt eingetretenen Stöße ds ergeben die Stoßfrequenz ν c = ds dt. I.92 Andererseits hängt die Anzahl der Stöße ds davon ab, welches Volumen π p 2 0 dx während dt überstrichen wird und wie dicht das Plasma ist. Die Anzahl ist offensichtlich ds = π p 2 0 dx n 0. I.93

17 I.8 Kinetische und potentielle Energie des Plasmas 17 Folglich v 0 wird durch abgeschätzt und man erhält ν c = π p 2 dx 0 n 0 dt = π p2 0 n 0 v 0 ν c = π n 0 e 4 n 0 e 4 4π 2 ε 0 m e v0 3 = 2π 2 ε 0 m e v0 3 v 0 v te = λ De ω pe I.94 I.95 I.96 ν c = ν c = ω pe 3 1 n 2 0 e 4 4 π n 0 m 2 e ε 2 = 0 } {{ } =ωpe π λ 3 De n 0 1 λ 3 De ω3 pe I.97 = ω pe 3 Λ. I.98 Da für ein Plasma Λ 1 gelten muss, gilt für das Verhältnis von individuellen zu kollektiven Effekten ν c 1. I.99 ω pe I.8 Kinetische und potentielle Energie des Plasmas Ein Plasma befinde sich im thermodynamischen Gleichgewicht bei der Temperatur T. Für das Standardplasma ergibt sich dann entsprechend dem Gleichverteilungssatz die kinetische oder Wärmeenergiedichte u kin zu U kin = 3 2 N e + N i k B T, u kin = U kin /V, n = N V I.100 u kin = 3 2 n e + n i k B T. I.101 Wäre das Plasma ein ideales Gas, kämen keine anderen Anteile zur inneren Energie hinzu. Im Plasma kommt jedoch die Energie der elektrostatischen Wechselwirkung - die potentielle Energie - hinzu. Zur Berechnung dieser potentiellen Energie transportieren wir gedanklich ein Teilchen nach dem anderen aus dem Unendlichen ins Plasma. Es ist zu erwarten, dass die potentielle Energie negativ ist, da sie einer Bindungsenergie entspricht. Andernfalls würden die Teilchen ja spontan aus dem Plasma ins Unendliche katapultiert. Wir betrachten ein Teilchen A der Ladungszahl q A bei x A. Dann ist das Potential Φ A in der Umgebung von A Φ A x = 1 q A e x x A 4 π ε 0 x x A e λ D. I.102 Ein Teilchen B mit q B werde nun aus dem Unendlichen an die Position x B ins Plasma gebracht.

18 18 I. Charakteristik des Plasmas Die notwendige Energie dazu ist ϕ A q A > 0 mit x A x B x xb UAB = K B dx K B x = q B e x Φ A. I.103 I.104 Das Vorzeichen der Energie wird so festgesetzt, dass beim Auseinanderbewegen gleichgeladener Teilchen die Energie abnimmt s.u.! Eingesetzt folgt Wir substituieren benutzen U AB = + q A q B e 2 4 π ε 0 xb r = x x A, exp x x A x x x A λ D dx I.105 I.106 x fr = r f x r = r f x x A, I.107 r x x A dx = x x A dx x A = r dr I.108 und erhalten U AB = + q A q B e 2 4 π ε 0 x xa exp r r r λ D dr, I.109 U AB = + q A q B e 2 e x B x A λ D 4 π ε 0 x B x A. I.110 Diese Überlegung gilt für einen determinierten Prozess. Nun ist die Mittelung über die möglichen Positionen x B vorzunehmen. Dazu ist zunächst die konditionierte Wahrscheinlichkeitsdichte P x B x A zu bestimmen, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich das Teilchen B bei x B befindet unter der Bedingung, dass bei x A ein Teilchen A vorliegt. Wir greifen zurück auf die Boltzmannverteilung von Teilchen B im Potential Φ A, was gerade nx B = n 0 exp q B e Φ A x B I.111 k B T ergab. Die mittlere Dichte n 0 ist aber n 0 = N V, I.112 wobei N die Gesamtzahl der Teilchen im Volumen V ist. nx B dv ist die Teilchenzahl bei x B in dv. Somit folgt nx B dv = exp q B e Φ A x B. I.113 n 0 dv k B T

19 I.8 Kinetische und potentielle Energie des Plasmas 19 Dies ist proportional zur Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen bei x B in dv zu finden. Diese Größe entspricht bis auf Division durch V aber gerade der gesuchten konditionierten Wahrscheinlichkeitsdichte: P x B x A = 1 V exp q B e Φ A x B. I.114 k B T Zur plausiblen Überprüfung, dass 1/V die korrekte Normierung darstellt, schalte man Φ A vorübergehend ab. Die mittlere Energie < U AB > ist dann < U AB >= U AB P x B x A dv I.115 Zur Auswertung des Integrals benutzen wir, dass in einem Plasma die potentielle Energie viel kleiner als die kinetische Energie ist und somit approximiert werden kann zu P x B x A = 1 1 q BeΦ A = 1 1 q A q B e 2 exp x B x A λ D. I.116 V k B T V 4 π ε 0 k B T x B x A Es verbleibt < U AB >= 1 V q A q B e 2 4 π ε 0 exp x B x A λ D x B x A 1 q A q B e 2 4 π ε 0 k B T exp x B x A λ D x B x A dv. I.117 Wir substituieren r = x B x A und integrieren in Kugelkoordinaten, was < U AB >= 1 q A q B e 2 exp r λ D 1 q A q B e 2 exp r λ D r 2 dr 4π V 4 π ε 0 r 4 π ε 0 k B T r 0 I.118 ergibt. Wir benutzen und und erhalten 0 exp r 0 r < U AB > = 1 V < U AB > = 1 V λ D r 2 dr = λ 2 D e 2 r λ D dr = λ D e r r dr = λ 2 D e r dr = λ D 2 q A q B e 2 4π λ 2 D λ D 4 π ε 0 2 q A q B e 2 4 π ε 0 λ 2 D 1 1 8π I.119 I.120 q A q B e 2, I π ε 0 k B T q A q B e 2 4 π ε 0 k B T 1 λ D. I.122 Nun sind diese Einzelbeiträge für alle Teilchen im Volumen V aufzusummieren. Zum einen ist über alle Teilchen B zu summieren. Zum anderen spielen alle Teilchen B auch die Rolle von A, so dass auch über die Teilchen A zu summieren ist. Dieses Verfahren zählt allerdings jeden Wechselwirkungsanteil doppelt, so dass noch durch 2 zu dividieren ist. Es ergibt sich die potentielle Energie U pot zu U pot = 1 < U AB >. I A B Da die < U AB > Mittelwerte darstellen, sind sie für gleiche Teilchensorten gleich. Wir wollen annehmen, dass gerade N N β Teilchen der Sorte β vorliegen. Dann formulieren wir den Summationsprozess um zu U pot = 1 N N β < U β >. I β

20 20 I. Charakteristik des Plasmas Es ergibt sich U pot = e2 N q N β q β λ 2 D 2V ε 0 β 1 1 8π q q β e 2 4 π ε 0 k B T 1 λ D. I.125 Die Energiedichte folgt zu u pot = U pot V = e2 n 0 q n β0 q β λ 2 D 2ε 0 β 1 1 8π q q β e 2 4 π ε 0 k B T 1 λ D. I.126 Im neutralen Plasma gilt n 0 q = 0 und der erste Term der rechten Seite verschwindet. Es verbleibt I.127 u pot = 1 n 0qe π ε 0 k B T } {{ } 1 = λ 2 D β n β0q 2 β e2 } ε 0 k B T {{ } 1 = λ 2 D λ D k B T I.128 u pot = 1 k B T 16π λ 3. I.129 D Diese Beziehung können wir noch etwas umschreiben. Wir führen dazu die Gesamtzahl Λ tot der Teilchen in der Debye-Kugel ein: Λ tot = 4π N 3 λ3 D V, N = N. I.130 Dann folgt u pot = 1 k B T N V = 1 u kin. 12 Λ tot 18 Λ tot Die potentielle Energie ist also immer negativ; ein neutrales Plasma hält deshalb zusammen. Im Vergleich zur kinetischen Energie ist der Anteil jedoch klein, da Λ tot 1. I.131 Da im neutralen Plasma der reine Coulomb-Anteil im Mittel verschwindet, wird obiger Anteil auch als Coulomb-Korrektur bezeichnet. Die Gesamtenergie ist U = U kin + U pot = 3 2 Nk BT 1 1. I Λ tot Wir diskutieren an dieser Stelle auch den Fall eines nicht neutralen Plasmas. Zum Beispiel mögen alle Teilchen einer Sorte angehören. Dann ist und die potentielle Energiedichte ergibt sich zu n 0 q e = ρ 0 I.133 u pot = 1 ρ 2 λ 2 D 1 k B T 2ε 0 16π λ 3. I.134 D Jetzt überwiegt i.a. der erste Term. Die positive potentielle Energiedichte treibt das Plasma auseinander, ähnlich wie es von der Coulomb-Abstoßung gleicher Ladungen bekannt ist.

21 I.9 Thermodynamische Größen im Plasma 21 I.9 Thermodynamische Größen im Plasma Ausgehend von der inneren Energie UT,N,V im Plasma lassen sich durch Anwendung der bekannten thermodynamischen Transformationen andere thermodynamsiche Potentiale und Größen berechnen. Für die Freie Energie F gilt F = U T S. I.135 Mit folgt die Helmholtz-Gleichung bzw. F S = T N,V U = F T U T 2 = F T 2 1 F T T N,V F T N,V I.136 I.137 = F. I.138 T T N,V Integration liefert F UT, N, V T = T 2 dt + S 0 N, V. I.139 Die Integrationskonstante S 0 von der Dimension einer Entropie tritt zunächst auf, da UT,N,V in diesen Koordinaten kein thermodynamisches Potential darstellt und F deshalb auch nicht vollständig berechnet werden kann. Um uns die Überlegungen zur Integrationskonstanten S 0 zu sparen, greifen wir zum einen auf die bekannte Beziehung zur Freien Energie des Idealen Gases zurück, die die Form F IG = N k B T N ln 1 I.140 V n Q mit der Quantenkonzentration 3 m k B T n Q = 2πħ 2 I.141 hat, und berechnen zum anderen aus der Coulomb-Korrektur der Energie die Coulomb-Korrektur der Freien Energie. Dann gilt Upot T, N, V F = F IG T T 2 dt. I.142 Die T-Abhängigkeit von u pot ergibt sich wie folgt: Folglich ergibt sich u pot = 1 k B T 16π λ 3 D u pot = 1 16π k B T upot = 1 16π k BT e 2 q 2 n 0 ε 0 k B 1 dt = +T T 2 16π k B e 2 q 2 n 0 ε 0 k B T 3, I T 1/2. I = T 1 16π k B = π k 3 B T 1/2 T 5/2 dt T 3/2 = 2 3 u pot. I.145

22 22 I. Charakteristik des Plasmas Somit erhalten wir für die Freie Energie des Plasmas F = F IG U pot. I.146 Da sowohl F IG als auch U pot explizit in den Koordinaten T,N,V gegeben sind, handelt es sich bei FT,N,V sogar um ein thermodynamisches Potential. Weitere thermodynamische Größen sind durch Differentiation zu bestimmen. Betrachten wir den Druck, der sich aus F p = I.147 V N,T berechnet. Dazu präparieren wir zunächst die V-Abhängigkeit aus der Coulomb-Korrektur heraus. Mit n 0 = N I.148 V finden wir Es folgt u pot = 1 16π k BT e 2 q 2 N ε 0 k B T p = k B T N 1 V π k BT 3 V 5/2, p = k B T N 1 V 4 U pot 9 V, p = k BT N V Λ tot 3 V 3/2. I.149. I.150 Die Coulomb-Korrektur des Druckes ist somit stets negativ. Die Summation über die Komponenten wurde hier unterdrückt. I.10 Ionisationsgleichgewicht Bisher hatten wir die Existenz des Plasmas, also eines stabilen Ionisationszustandes des Gases, einfach vorausgesetzt. Besteht nicht die Möglichkeit des schnellen Rekombinierens der geladenen Teilchen und damit des Übergangs in ein ganz normales Gas? Wir betrachten das Standardplasma aus Elektronen und einfach geladenen Ionen sowie dazugehörigen Neutralteilchen. O.B.d.A. handle es sich bei der Ionenkomponente um Wasserstoff. Das Ionisieren und Rekombinieren wird durch folgende chemische Reaktion beschrieben: Es ist vorteilhafter umzustellen, so dass die Reaktionsgleichung ν A = 0 mit und den stöchiometrischen Koeffizienten H + + e H. I.151 I.152 A 1 = H +, A 2 = e, A 3 = H I.153 ν 1 = 1, ν 2 = 1, ν 3 = 1 I.154

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