c Swiss Mathematical Society, 2008 Lösungen sind bis zum 10. Februar 2009 erbeten. Sie können auf postalischem Weg (bevorzugt)

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1 Elem Math ) /08/ c Swiss Mathematical Society, 008 Elemete der Mathematik Aufgabe Neue Aufgabe Lösuge sid bis zum 10 Februar 009 erbete Sie köe auf postalischem Weg bevorzugt) a Dr Hasruedi Widmer, Boldistrasse 5, Riede, CH-5415 Nussbaume gesadt werde I eiem gägige Format abgefasste Lösuge köe auch als Attachmet über die -Adresse hwidmer@alumiethzch eigereichtwerde Mometa herrscht ei gewisser Magel a eue Aufgabe Aufgabevorschläge köe ebefalls über die obige Adresse eigesadt werde Aufgabe 157: k Kugel werde uabhägig ud zufällig i Behälter gelegt Die Zufallsvariable X zähle die ichtleere Behälter Bestimme de Erwartugswert EX) ud die spektrale Wahrscheilichkeitsverteilug PX = x) vo X N, k N, x {0, 1,,}) Fritz Siegerist, Küsacht, CH Aufgabe 158: Gegebe seie die drei Summe s 1 = ) 1 3k 1) k k 1 s = ) ) k, k k ) 3 ) k k s 3 = 3 k k k ), ) Beweise, dass s 1 = s = s 3 1) Jay C Biz, Bollige, CH

2 146 Aufgabe Aufgabe 159 Die eifache dritte Aufgabe): Bestimme alle Lösuge x, y) N N der Gleichug x 3 y 3 = xy Sefket Arslaagić, Sarajevo, BA Lösuge zu de Aufgabe i Heft 3, 007 Aufgabe 145 Beweise, dass für N,, ud positive Zahle x, y, z mit x + y +z = 1 folgede Ugleichug gilt: ) ) ) 1+ xy) yz) zx) 1 < ) 3 Oleh Fayshtey, Leipzig, D Auswertug der eigesadte Lösuge Es sid 11 Lösuge zu dieser Aufgabe eigetroffe, ämlich vo Gheorghe Bercea Müche, D), Peter Budschuh Köl, D), Walter Burgherr Rotheburg, CH), Frieder Grupp Schweifurt, D), Walther Jaous Isbruck, A), Kee-Wai Lau Hogkog, CN), Beat Schweigruber Zürich, CH), Fraçois Sigrist Neuchâtel, CH), Albert Stadler Dübedorf, CH), Michael Vowe Therwil, CH) ud Paul Weisehor Fautebach, D) Wir folge Gheorge Bercea, der mit elemetare Mittel auskommt: Die Ugleichug 1) zwische dem arithmetische ud dem geometrische Mittel ud die Ugleichug ) vo Beroulli liefer xy) 1 xy) 1 x + y xy) 1 ) x + y, 1) 1 + t) r 1 + rt 0 < r 1, t 1) ) ) ) x + y 1 z = = z )) z ) = 1 1 z < 1 1 Es gilt somit xy) = xy)xy) < xy 1 1 ), 3) yz) = yz)yz) < yz 1 1 ), 4) zx) = zx)zx) < zx 1 1 ) 5)

3 Aufgabe 147 Durch Addiere der drei Ugleichuge 3), 4) ud 5) erhält ma xy) yz) zx) 1+ 1 <xy + yz + zx) 1 1 ) Zur Vervollstädigug des Beweises bedarf es och des Nachweises, dass xy + yz + zx 1 3 Dies wird aber aus xy + yz + zx = sofort klar x + y + z) x y) + y z) + z x) 3 6 x + y + z) = Aufgabe 146 Welches ist die kleiste Zahl mit der Eigeschaft, dass, we ma die letzte Ziffer a de Afag trasferiert, die eue Zahl ei echtes Vielfaches der ursprügliche ist? Peter Hohler, Aarburg, CH Auswertug der eigesadte Lösuge Es sid 0 Lösuge eigegage, ämlich vo Gheorghe Bercea Müche, D), Jay C Biz Bollige, CH), Peter Budschuh Köl, D), Adré Calame St-Aubi-Sauges, CH), Paagiotis Cheilaris Athe, GR), Has Egli Zürich, CH), Albert Ghezi Zürich, CH), Frieder Grupp Schweifurt, D), Walther Jaous Isbruck, A), Joachim Klose Bo, D), Dieter Koller Zürich, CH), Igace Morad Prévereges, CH), Beat Schweigruber Zürich, CH), Fritz Siegerist Küsacht, CH), Fraçois Sigrist Neuchâtel,CH), AlbertStadler Dübedorf,CH), HasHeierStorrer Greifesee, CH), Walter Vetsch St Galle, CH), Michael Vowe Therwil, CH) ud Paul Weisehor Fautebach, D) Walter Burgherr eriert sich a eie Artikel aus userer Zeitschrift [1], i welchem gezeigt wird, dass Vielfache der Zahl durch zyklisches Vertausche der Ziffer hervorgehe Wege = geügt es, ach kleiere Zahle mit der gewüschte Eigeschaft zu fahde Die gesuchte stellige Zahl z setze sich aus a Zeher ud b Eier zusamme, wobei aus der Aufgabestellug sofort b = 1 folgt: z = 10a + b, b 9, 10 a < 10 1, Die Zahl z 10 l z = 10 ist ei reiperiodischer Dezimalbruch mit Periodeläge ud somit auch als gekürzter Bruch p darstellbar: 1 l=1 z 10 1 = p

4 148 Aufgabe Aus ud z = 10a + b = 10 1)p k z = a b = 10 1)kp, k {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, fidet ma 10k 1)p b = Der Neer muss also sowohl Teiler vo 10k 1 als auch vo 10 1 sei Mit de Faktorzerleguge 99 = = = = = ud 19, 9, 39, 49, 59, 69, 79, 89 als Möglichkeite für 10k 1 komme für 6 ur 3, 7, 13 ud 39 als Werte für i Frage, wobei 3 wege der eistellige Periode sofort wieder etfällt Tatsächlich fidet ma = 14857, = 71485, k,, p, ) = 5, 6, 1, 7) = , = , k,, p, ) = 4, 6,, 13) = 30769, = 93076, k,, p, ) = 4, 6, 3, 13) = 10564, = 41056, k,, p, ) = 4, 6, 4, 39) = 1805, = 5180, k,, p, ) = 4, 6, 5, 39) = , = , k,, p, ) = 4, 6, 7, 39) Die kleiste eischlägige Zahl ist also [1] Koch, H: Periodische Positiosbrüche ud elemetare Zahletheorie Elem Math ), 1 9 Aufgabe 147 Die eifache dritte Aufgabe) I seie 5 Waderuge beschreibt Fraz Hohler eie Rudgag um de Pfäffikersee ud wie er dabei verschiedee adere Rudgäger ei zweites Mal begeget Für diese Aufgabe treffe wir die folgede vereifachede Aahme: Waderer komme zu zufällige gemeit ist: gleichverteilte) Zeite a zufällige Orte a de See, gehe eimal herum ud verschwi- de da wieder Jeder Rudgäger hat seie eigee kostate Geschwidigkeit Zeige: Höchstes 5% der Leute, die Fraz Hohler auf seiem Rudgag kreuzt, kreuzt er i diesem Momet zum zweite Mal Christia Blatter, Greifesee, CH

5 Aufgabe 149 Auswertug der eigesadte Lösuge Es sid Beiträge vo 5 Löser eigetroffe: Has Egli Zürich, CH), Fritz Siegerist Küsacht, CH), Albert Stadler Dübedorf, CH), Michael Vowe Therwil, CH) ud Paul Weisehor Fautebach, D) Wir folge Has Egli: Die Umrudugszeit vo Fraz Hohler sei t, die Umrudugszeit eies Etgegekommede sei x t Die Zeit zwische zwei aufeiaderfolgede Kreuzuge beträgt da τ = 1+x x t Damit eie Kreuzug eie zweite Kreuzug sei ka, müsse beide Waderer bei der Kreuzug midestes die Zeit τ uterwegs gewese sei Die Wahrscheilichkeit dafür beträgt Px) = t τ t xt τ xt = x 1 + x) Das Maximum der Fuktio P im Itervall 0, ) wird für x = 1 erreicht ud hat de Wert 1 4, womit alles klar ist