DIFFERENTIALRECHNUNG
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- Rolf Hansl Brandt
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1 Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie / vo 5 FHT Esslige DIFFERENTIALRECHNUNG I) GRENZWERTE VON ZAHLENFOLGEN Übug )? lim 3 3 Lösug lim Bemerkug Die folgede Gleichuge sid als Grezwerte zu verstehe: ud
2 Ergäzug: Die Zahl vo Euler Defiitio e lim Näherugswert e,7... Hausaufgabe: BzM 4, Seite, Aufgabe 7. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie / vo 5 FHT Esslige
3 Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 3/ vo 5 FHT Esslige Übug ) ( )? lim 3 Lösug: lim 3 ( ) lim 3 3 lim 3. ) ( 3 3
4 Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 4/ vo 5 FHT Esslige Übug 3) ( ) lim? Lösug: ( ) lim ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( lim ( ) 4 lim 4 lim [ ] lim
5 II) GRENZWERTE VON FUNKTIONEN Grezwertsätze ) lim[ f ( ) g( ) ] lim f ( ) lim g( ) ) f lim lim g lim ( ) ( ) f ( ) g( ) 3) lim[ f ( ) g( ) ] lim f ( ) lim g( ) g 4) ( ( )) ( lim f ) lim f ( ) lim g ( ) Ausahmefälle/ Spezialfälle: Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 5/ vo 5 FHT Esslige
6 5) Regel vo Beroulli ud L Hospital (BlH): lim f ( ) lim g( ), lim f g ( ) ( ) lim f g ( ) ( ) Awedbarkeit: Spezialfälle Beispiele:, ) lim 7 lim 7. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 6/ vo 5 FHT Esslige
7 Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 7/ vo 5 FHT Esslige Satz: ( )... a a a a P, ( )... b b b b Q m m m m m ( ) ( ) < > ± m m b a m Q P m m,,, lim )? lim ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( lim * lim B A B A B A 3) cos lim si lim BlH
8 Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 8/ vo 5 FHT Esslige 4)? lim lim lim Nicht vergesse: Spezialfälle köe jedes Ergebis liefer! 5) > lim < lim 6) lim 3 da im Zähler höhere Potez als im Neer!
9 7) lim e e e 8) ( l ) l lim > lim BlH lim lim lim. 9) lim? lim Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 9/ vo 5 FHT Esslige
10 III) STETIGKEIT Defiitio: a) f ist stetig a der Stelle D f lim f ( ) f ( ) b) f ist stetig, we f stetig ist für alle Df. Beispiel : f ( ),, > ( ) l, f ( ) Gr f G. f hat keie Grezwert i ( Sprugstelle). f ist icht stetig. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie / vo 5 FHT Esslige
11 Beispiel : f ( ) si,, lim f f ( ) ( ). si lim BlH lim cos. ( ) f ( ) f lim f ist stetig i Bemerkug: Zur Utersuchug der Stetigkeit ist keie Skizze otwedig. Die Rechug reicht. Stetigkeitssatz: Alle elemetare Fuktioe sid stetig auf ihre maimale Defiitiosbereiche. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie / vo 5 FHT Esslige
12 Arte vo Ustetigkeit: a)hebbare Ustetigkeite: ) Defiitioslücke (DL) ) lim f ( ) G Die stetige Erweiterug vo f f * ( ) f ( ) G,, Beispiel: f ( ) si G lim f si cos ( ) lim lim. BlH f * ( ) si,, Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie / vo 5 FHT Esslige
13 Übug: f ( ), f *( )? Hausaufgabe : BzM 4, Seite 3 Aufgabe -3 b) Ustetigkeite. Art Sprugstelle. c) Ustetigkeite.Art Sid Stelle für die gilt: ( ) G l f eistiert icht, oder ist ±, oder G r f ( ) eistiert icht, oder ist ±. c) Polstelle G r, G l ± Beispiel: f ( ) ; Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 3/ vo 5 FHT Esslige
14 c) Oszillatiosstelle π Beispiel: f ( ) si,. Grezwert π limsi eistiert icht! si(pi/) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 4/ vo 5 FHT Esslige
15 IV) DIFFERENZIERBARKEIT Geschichte: Leibitz, Newto (BzM 4) Defiitio: ) f ist differezierbar (diff) a der Stelle lim ( ) ( ) f f ) Die Ableitug vo f a der Stelle ist f '( ) lim ( ) ( ) f f Beispiele a b, < f( ) e, Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 5/ vo 5 FHT Esslige
16 Beispiel ) Sprugstelle. Skizze!, < f( ) e, icht stetig, icht diff. Beispiel ) Kickstelle. Skizze!, < f( ) e, stetig, icht diff. Beispiel 3) Glatter Übergag. Skizze!, < f( ) e, stetig, diff. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 6/ vo 5 FHT Esslige
17 Übug ) Utersuche Sie die Differezierbarkeit der f a der Stelle. Fuktio ( ) Lösug Die betragsfreie Darstellug: f ( ),, < ( ) ( ) f f f ( ) lim lim. < < ( ) ( ) f f f ( ) lim lim. ( ) f f ( ) > > Folglich ist f icht differezierbar a der Stelle. Skizze! Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 7/ vo 5 FHT Esslige
18 Übug ) Utersuche Sie die Differezierbarkeit der f a der Stelle 3. Fuktio ( ) Übug 3) Utersuche Sie die Differezierbarkeit der f a der Stelle. Fuktio ( ) Lösug ist ei Radpukt vo D (, ). f f ( ) lim lim > > lim lim Somit ist eie sekrechte Radtagete. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 8/ vo 5 FHT Esslige
19 Die Tagete a eie Fuktioskurve Satz ) Die Steigug m der Tagete a die Kurve y f( ) im Pukt P( / f( )) ist die Ableitug vo f( ) a der Stelle. ( ) def. m f lim ( ) ( ) f f. Satz ) Die Gleichug der Tagete a die Kurve y f( ) im Pukt P( / f( )) ist ( ) ( ) ( ) ( T ): y f f Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 9/ vo 5 FHT Esslige
20 Beispiel ) Gesucht ist die Gleichug der Tagete zu y i 3. Lösug 3; f( ) f(3) 9; f ( ) f (3) 6; ( ) ( T): y y 6 9. Beispiel ) Gegebe ist die Fuktio ( ) f 4. a) Utersuche sie die Differezierbarkeit vo f a de Stelle ±. b) Bestimme Sie die Gleichug der rechtsseitige ud liksseitige Tagete zu y f ( ) i. y f c) Skizziere sie die Kurve ( ) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie / vo 5 FHT Esslige
21 Satz: We f( ) die folgede Bediguge erfüllt ) f( ) ist stetig ) f( ) ist differezierbar für alle lim f 3) ( ) da ist f( ) differezierbar i ud ( ) f ( ) lim f. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie / vo 5 FHT Esslige
22 Methode zur Utersuchug der Differezierbarkeit abschittweise defiierter Fuktioe a der Nahtstelle. f ( ) ( ) ( ) f, f, > ) Berechuge: ( ) ( ) ( ) ( ) Gl f f G f f r ( ) ( ) ( ) ( ) ml f f m f f r ) We Gl Gr G ud ml mr m da ist f stetig ud differezierbar ud ( ) f, < f ( ) m, f ( ), > Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie / vo 5 FHT Esslige
23 Lösug des Beispiels ) f( ) f( ), somit Utersuchug für. ( ) f 4 i betragsfreier Darstellug: f ( ) 4, 4, > a) G f( ) f( ) G. l ( ) ( ) m ( ) 4. l f f ( ) ( ) m ( ) 4. r f f r f( ) ist icht differezierbar i, aber liksseitig ud rechtsseitig differezierbar! Hier liegt eie Kickstelle vor. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 3/ vo 5 FHT Esslige
24 b) Die Gleichuge der Kicktagete: ( ) ud ( T ): y 4( ) ( T ): y 4 l Die Richtugsvektore der Kicktagete: r l 4 ud r 4 Die Berechug des Kickwikels: l r 6 5 cosα α 7 l r 7 7 Skizze! Praisawedug Die Berechug des Drehwikels ϕ des Fräskopfes a Kickstelle des Profils: ϕ 8 α Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 4/ vo 5 FHT Esslige
25 Übuge Utersuche Sie die Stetigkeit ud Differezierbarkeit der folgede Fuktioe. ) Hausaufgabe f ( ) 3, ( 3 ), > Lösug: Stetigkeit: 3 ( ) Somit ist f( ) stetig. f 3 f ud ( ) ( ) Differezierbarkeit: 3, < f ( )?, 6, > f ( ) 3ud f ( ) 6 Somit ist f( ) icht differezierbar i. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 5/ vo 5 FHT Esslige
26 ) f ( ) Stetigkeit: cos,, > ( ) f ( ) f cos, Somit ist f( ) stetig i. Differezierbarkeit: si, f ( )?,, > ( ) f ( ) f si, f( ) i differezierbar ud si, < f ( ),, > si,, > Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 6/ vo 5 FHT Esslige
27 c) Die Skizze der Fuktioskurve: cos, y f ( ), > Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 7/ vo 5 FHT Esslige
28 3) Gegebe ist die Fuktio f ( ) si, < a b, Für welche Wert vo a ud b ist f ( ) ud differezierbar? Lösug: f ( ) ( ) ( ) si f a b b f stetig f( ) f( ) b. stetig ( ) cos, < f ( )?, a, > ( ) ( ) ( ) f cos, f a f diff f ( ) f ( ) a. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 8/ vo 5 FHT Esslige
29 V) ABLEITUNGSREGELN Ableituge elemetarer Fuktioe Tabelle Grudformel * Ableitugsformel -6 auswedig lere! Beispiel ) ) f ( ) 3, ( ) f? Lösug ( ) 3 ( ) ( ) f f ( ) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 9/ vo 5 FHT Esslige
30 Höhere Ableituge Defiitio ( ) d ( ( ) ( f f ) ( ) ),,,3,4,... d Bezeichug d f d ( ) ( f ) ( ), z.b.: d f ( ) f d ( ) Beispiel ) f ( ), f ( )? Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 3/ vo 5 FHT Esslige
31 Lösug, f ( ) 3 f ( ), f ( ), f ( ). 4 8 Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 3/ vo 5 FHT Esslige
32 Übug ) ( ) ( ) ( ) f ; f, f, f,..., f? ( N) Lösug: ( ) ( ) ( ) f, f, f ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) f...!! 3 def! Hausaufgabe f e, f? ) ( ) ) ( ) 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f si, f? f l, f? Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 3/ vo 5 FHT Esslige
33 Eie Awedug vo höhere Ableituge ud Fakultäte Die Potezreiheetwicklug der e-fuktio e !! 3!! Die Zahl vo Euler e lim Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 33/ vo 5 FHT Esslige
34 Allgemeie Ableitugsregel [ c f ] c f ( ) [ c f ] f ( ) ) ( ) ( ) ) ( f g) f g 3) ( f g) f g f g 4) f f g f g g g Beispiele l l l ) ( ) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 34/ vo 5 FHT Esslige
35 )? ( ) 4 ( ) ( ) ) ( ta )? si cos cos si ( si ) cos cos cos si. cos cos Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 35/ vo 5 FHT Esslige
36 Übug f ( ) l, f ( )? Tipp Logarithmegesetze awede; ableite. Die Ketteregel Satz ( ) ( ) f u( ) y verkettete Fuktio ( ) ( ) ( ) y f u u ( ) ( ) f u äußere Ableitug u iere Ableitug Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 36/ vo 5 FHT Esslige
37 Bemerkuge dy dy du ) d du d Formalismus mit Differeziale d, dy, du. ) ( ) y f u u Kurzform Beispiel ) y si ; y ( )? ( ) Lösug f u u, u si y ( u) cos si co si ( ) ( ) ( ) Beispiel ) Übug! y si, y ( )? ( ) Ergebis f u si u, u ; y ( ) cos ( ) ( ) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 37/ vo 5 FHT Esslige
38 Bemerkug ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) f u v v u v f u Übuge a) ( ) ( ) f l, f ( )? g l, g ( )? b) ( ) Tabelle Ketteregel ( ( )) ( ) ( ) f u f u u Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 38/ vo 5 FHT Esslige
39 Hausaufgabe Bereche Sie die erste ud zweite Ableitug der folgede Fuktioe: a) f ( ) arcta b) b) f ( ) c) f ( ) d) BzM: A-3 Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 39/ vo 5 FHT Esslige
40 Asätze: a) arcta ( ) ( )... Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 4/ vo 5 FHT Esslige
41 Die Ableitug der Umkehrfuktio y f f y Satz ( ) ( ) f ( ) f ( y) oder dy d d dy Beispiele ) f f ( ), ( ) ( ) ( ( )) f, f Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 4/ vo 5 FHT Esslige
42 ) (arcsi )? Lösug y arcsi si y ( ) d arcsi d d( si y) dy ( arcsi ) (si y) cos y cos arcsi ( ) si ( arcsi ) si arcsi ( ( ) ) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 4/ vo 5 FHT Esslige
43 Impliziertes Differeziere Beispiel Bestimme Sie die Gleichug der Tagete a P / /. de Eiheitskreis im Pukt ( ) Lösug Asatz: y y m( ) y m m? geht icht direkt durch Ableite! Ausweg: Impliziertes Differeziere (ID) m dy d Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 43/ vo 5 FHT Esslige
44 y d d ydy ydy d : y,: d dy y y m d Ergebis: m y Eisetze im Pukt P ( / /) : ( /) ( /) m y y y y Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 44/ vo 5 FHT Esslige
45 Übug Gegebe ist der Kreis mit der Gleichug 4 8 4y 4y. a) Bereche sie Mittelpukt ud Radius des Kreises. b) Welches ist die Gleichug der Tagete a dem Kreis im Pukt O ( )? c) Skizze. Lösug a) durch quadratische Ergäzug. M /, r 5/ ( ) b) 8d 8d 8ydy 4dy ( ) ( ) ( ) ( ) 8d 4dy y dy m d y. ( ) y y m y Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 45/ vo 5 FHT Esslige
46 Logarithmisches Differeziere Beispiel f, f? ( ) ( ) d y l y l d y y l l y y y y l l Grudregel ( α ) α α ( ) ( ) ( ) Epoet kostat ( a ) a l a Basis kostat ( ) l Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 46/ vo 5 FHT Esslige
47 VII) KURVENDISKUSSION (KD) Checkliste.) Defiitiosbereich.) Symmetrie 3.) Schittpukte mit de Achse 4.) Asymptote f 5.) ( ) 6.) f ( ) 7.) Variatiostabelle 8.) Schaubild (Skizze) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 47/ vo 5 FHT Esslige
48 () KD durch elemetare Trasformatioe Verschiebuge,Spiegluge,Skalieruge Beispiele f e ) ( ) ) f ( ) si 3) f ( ) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 48/ vo 5 FHT Esslige
49 () Polyomiale Fuktioe 3 Beispiel ) f ( ) 3 ) D f R 3 ) ( ) ( 3 f 3 3) f ( ) 3) ( ) y f S(/) y 3 3 ( 3) ( / ), N ( 3) S, ± 3 4) lim ( 3 ) keie Asymptote, f ± 5) ( ) ( ) 6) f ( ) ( ) f 6 6 7) Variatiostabelle 8) Skizze Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 49/ vo 5 FHT Esslige
50 (3) Gebroche ratioale Fuktioe Beispiel ) f ( ) ) f D R\{ ±} ) f ( ) f ( ) f S(/) lim 3) ( ) 4) f ( ) (VA) ± (HA) y bei ±, f ( ) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 5/ vo 5 FHT Esslige
51 5) f ( ) ( ) ( ) 4 ( ) keie Nullstelle 6) ( ) ( ) ( ) f icht zwiged ötig; die Krümmug wird mit adere Methode utersucht. 7) Variatiostabelle 8) Skizze Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 5/ vo 5 FHT Esslige
52 (4) Wurzelfuktioe Beispiel 3 ( ) ) D f [, ] f ) f ( ) ( ) f ( ) 3) ( ) S f ( ) ( ), ±, N, ( ± ) f 4) KeieDL, keie RP, keie Asymptote 5)-7) f ( ) ist differezierbar als Verkettug elemetarer Fuktioe ud y f ( ) muß aufgrud der Symmetrie eie Rechtskurve sei! 8)Skizze/ adere Lösug ( ) f y y y, y > Halbkreis mir Radius. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 5/ vo 5 FHT Esslige
53 (5) Epoetial- ud Logarithmusfuktioe Beispiel 4) f ( ) l ( ) ) Df (, ) ) keie Symmetrie 3) y S( / ) 4) Asymptote ( ) lim l( ) f ( ) l( ) ( ) ( ) (VA) ( ) lim l ( ) l ( ) f keie Asymptote Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 53/ vo 5 FHT Esslige
54 5) f ( ) l( ) f ( ) l( ) l ( ) (*) Die Lösug trazedete Gleichug (*) durch die grafische Methode. -/() Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 54/ vo 5 FHT Esslige
55 6) f ( ) ( ) ( ) ( ) ist eie eifache Nullstelle aber kei Wedepukt, da außerhalb vo D. 8) Skizze f Matlab ud WordBefehle zur KD M) ezplot( *log() ) M) prit dbitmap D:\bild W3) Word/Eifüge/Grafik/AusDatei... Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 55/ vo 5 FHT Esslige
56 (6) Trigoometrische Fuktioe Beispiel f( ) si si (Siehe auch BzM 4) MATLAB LÖSUNGEN ) ezplot( f() ) ) plot(,y) 3) help plot, ezplot Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 56/ vo 5 FHT Esslige
57 INTEGRALRECHNUNG I)DEFINITION UND BEISPIELE Ihalte Flächeberechug, bestimmtes Itegral, Stammfuktio, ubestimmtes Itegral, Satz vo Leibitz ud Newto. Problemstellug Berechug vo Fläche (,[, ]),, ud y f ( ) F F f a b Fläche zwische a b y Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 57/ vo 5 FHT Esslige
58 Die geometrische Idee ) Die Fläche wird i mehrere Abschitte uterteilt. ) Die Abschitte werde durch Rechtecke ageähert ud dere Fläche addiert. 3) Die Uterteilug wird verfeiert. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 58/ vo 5 FHT Esslige
59 Der Formalismus ) Die Uterteilug i Abschitte gleicher Breite mit der Schrittweite h ( b a)/ a, a h,..., a h ) Der Näherugswert ( ), R h f ( ),... ( ) R h f F R R R R... R R h f k 3 k ( k ) Riema Summe k F h f ( ) ( ) F f k k k k 3) Der Grezwert F lim F Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 59/ vo 5 FHT Esslige
60 Defiitio Bestimmtes Itegral b a ( ) lim ( ) ( ) f d f k k k k Satz Falls f ( ) [ a, b] b a ( ) lim ( ) ( ) F f d f k k k k Frage Welche praktische Methode gibt es für die Berechug des Grezwertes? Atwort Satz vo Leibitz ud Newto Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 6/ vo 5 FHT Esslige
61 Defiitio ( ) vo f ( ) ( ) ( ) F ist eie Stammfuktio F f, Satz vo Leibitz ud Newto (Hauptsatz der Differetial- ud Itegralrechug) ) Ist F( ) eie Stammfuktio vo ( ) b da gilt f ( ) d F( b) F( a). a f, ) Die Ableitug der Flächefuktio F( ) F( f,[ a, ]) ist die Fuktio der Begrezugskurve y f( ) d.h. d F ( ) f ( ). d Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 6/ vo 5 FHT Esslige
62 Die Flächeberechug wurde damit zurückgeführt auf das Problem der Berechug vo Stammfuktioe. Defiitio Das ubestimmte Itegral ist f ( ) d F( ) C wobei F( ) eie Stammfuktio vo f ( ) ist ud C. Bemerkug Das ubestimmte Itegral ist die Mege aller Stammfuktioe vo f. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 6/ vo 5 FHT Esslige
63 Beispiele ) f ( ) ( ) F, ( ) 5 F, ( ) F d C F ( ) C, C R. 3 ) f ( ). Bereche Sie a) das ubestimmte Itegral f ( ) b) das bestimmte Itegral f ( ) d. d. c) die Fläche F zwische,. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 63/ vo 5 FHT Esslige
64 Lösug 3 4 d C a) ( ) b) ( ) d ( ) ( ) ( ) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 64/ vo 5 FHT Esslige
65 c) F ( ) d 4 4 ( ) ( ) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 65/ vo 5 FHT Esslige
66 ( 3 ) ( 3) F d d oder ( 3 ) ( 3 ) F d d ( ) 3 4 F3 d ( 4 ) F F F F Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 66/ vo 5 FHT Esslige
67 Die Fläche zwische zwei Kurve b F f( ) g( ) d a Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 67/ vo 5 FHT Esslige
68 II) RECHENREGELN Itegrale elemetarer Fuktioe α α. d c, α α. d l c 3. si d cos c 4. cos d si c d 5. arcsi c d 6. arcta c 7. ad a c l a 8. ed e c Tipp: Gedächtistraiig! Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 68/ vo 5 FHT Esslige
69 Übuge ) d? d c c ) d? ( / 3/ d ) d 3 ( ) d d c c Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 69/ vo 5 FHT Esslige
70 3) e e sih ( d d e d e d) e ( ) e e e cosh c 4) ( ) 3 d? 3 3 ( 3 3 ) d c c 4 Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 7/ vo 5 FHT Esslige
71 Elemetare Itegratiosregel ) c f ( ) d c f ( ) d [ ] ( ) ( ) ) ( ) ( ) b f g d f d g d 3) ( ) ( ) a f d f d c b c 4) ( ) ( ) ( ) a a b a b f d f d f d b b b 5) f ( ) d f ( t) dt f ( u) du... a a a Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 7/ vo 5 FHT Esslige
72 d d 6) f () t dt f ( ) a d d 7) f ( ) d f ( ) d f d f c d 8) ( ) ( ) Bemerkug Übuge d d d d Itegratio ud Ableitug sid iverse Operatioe. 3 3 ) ( ) ( ) ) ( ) e d e 3 e d Jedes bestimmte Itegral ist eie Zahl ud die Ableitug eier Zahl ist Null. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 7/ vo 5 FHT Esslige
73 III) INTEGRATIONSMETHODEN A) Itegratio durch Substitutio ( ) d? Idee ) Substitutio: u du ) u du d d 3) u du u c 4) Rücksubstitutio: ( ) d ( ) c Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 73/ vo 5 FHT Esslige
74 Beispiel ) ( ) 5 d? ) u 5 du ) u, d du d 3) u du u du u c 4) ( ) 5 d ( 5) c Beispiel 3) si cos d? ) u cos du ) u si, d d du si 3) 3 si u du u du u c si 3 4) si cos cos 3 3 d c Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 74/ vo 5 FHT Esslige
75 Hausaufgabe. si cos d? si. d cos? 3. l d? 4. si si cos cos d? 5. Alte Prüfugsaufgabe Tipp Erfahrugswerte; Tabelle mit typische Substitutioe. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 75/ vo 5 FHT Esslige
76 Tabelle mit typische Substitutioe Nr Itegral Subst Neues It. f f d u f ( ) ) ( ) ( ) udu / u ) f ( ) d f( ) u f ( ) du du l u u 3) ( ( )) ( ) g f f d u f ( ) ( ) g u du Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 76/ vo 5 FHT Esslige
77 Übuge () l d? Lösug Bemerkug f ( ) u l, f ( ) l f ( ) f ( ) l Der Formalismus ) u f ( ) l ) du u d d du 3) 4) l d u du udu u l Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 77/ vo 5 FHT Esslige
78 () ( ) ( ) Lösug f f d? ) u f ( ) du d ) u f ( ) d du f ( ) 3) 4) du f ( ) f ( ) d u f ( ) f ( f ( ) ) u udu ( ) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 78/ vo 5 FHT Esslige
79 si (3) d cos? Lösug ) u cos du ) u si d du d si 3) 4) si si si d d du cos u u si u du ( ) u u u cos Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 79/ vo 5 FHT Esslige
80 (4) si cos d? Lösug ) u si du ) u cos, d d cos du 3) 4) si cos d u cos du cos u si udu Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 8/ vo 5 FHT Esslige
81 (5) si cos d? Lösug ) u cos du ) u si du si d 3) 4) d si cos d si ud u si d 3 u du u du u u u 3 3 ( cos ) cos 3 Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 8/ vo 5 FHT Esslige
82 Hausaufgabe e (6) d? e (7) ta? d Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 8/ vo 5 FHT Esslige
83 B) Partielle Itegratio (Produktitegratio) Die Herleitug ( uv)' u ' v uv' ( ) uv' uv ' u ' v uv' uv u ' v Beispiel Lösug e d? u u v e v e uv' uv u ' v e d e e d e e c Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 83/ vo 5 FHT Esslige
84 Beispiel si d? Beispiel 3 Lösug l d? Die Idee: l d ld u l u / v v l d l d l c Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 84/ vo 5 FHT Esslige
85 Beispiel 4 3 d? Lösug u u ( ) ( ) 3 v 3 Die Berechug vo v v d d ( 3) ( 3) d ( 3) ( 3) c ( 3) ( 3) c 3 5 ( ) 3 d ( 3) ( 3) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 85/ vo 5 FHT Esslige
86 Beispiel 5 si d? u si u cos v v si d cos cos d u cos u si v v si d cos cos d cos si si d ( )( ) cos si cos cos si cos c Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 86/ vo 5 FHT Esslige
87 C) Itegratio gebroche ratioaler Fuktioe durch Partialbruchzerlegug (PBZ) Das Problem P Q m ( ) ( ) d? ( ) m ( ) P Polyom vom Grad Q Polyom vom Grad m Das Verfahre. m Polyomdivisio. Partialbruchzerlegug (PBZ) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 87/ vo 5 FHT Esslige
88 Beispiel d? Lösug. Polyomdivisio D d R Q d Ählich wie: Itegratio d d l c Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 88/ vo 5 FHT Esslige
89 Satz Jedes Itegral eier gebroche ratioale Fuktio ka auf die folgede 3 Type zurückgeführt werde. Typ A: d l Typ B: d ( ) A B Typ C: l(...) arcta(...) d a b c für b 4ac< (Formelsammlug) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 89/ vo 5 FHT Esslige
90 Beispiel d? Lösug. Polyomdivisio etfällt.. Partialbruchzerlegug a) Faktorisierug des Neers ( )( ) b) Asatz für PBZ A B ( )( ) ( ) ( ) mit Koeffiziete A, B R. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 9/ vo 5 FHT Esslige
91 c) Berechug der Koeffiziete A B ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B Berechug durch die Grezwertmethode A A / B B / ( )( ) ( ) ( ) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 9/ vo 5 FHT Esslige
92 d) Itegratio d d ( )( ) d d l l l l c Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 9/ vo 5 FHT Esslige
93 Beispiel 3 d 3? Lösug a) Faktorisierug ( ) 3 b) Asatz für PBZ A B C ( ) A, BC, R. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 93/ vo 5 FHT Esslige
94 c) Berechug der Koeffiziete A B C ( ) ( ) ( ) A B C Berechug durch Koeffizietevergleich A A B C ( A B) C A, R ( ) A B C A A B, C, A. A, B, C. ( ) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 94/ vo 5 FHT Esslige
95 d) Itegratio d d d 3 ( ) d d l l( ) c l c Probe! Ableite; Matlab: it( /(^3) ) Detailrechug Das Itegral d (Typ C) ka mit der Substitutiosmethode berechet oder eier Formelsammlug etomme werde. z.b. BzM 5 Itegral Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 95/ vo 5 FHT Esslige
96 Die Awedug der Itegralformel Itegral d a b c b l d a b c a a a b c Itegral d a b arcta a b c Die Awedug der Itegralformel für a, b, c ; 4 < l d Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 96/ vo 5 FHT Esslige
97 Asätze für PBZ Nefaktor Asatz Bsp A,3 ( ) A B ( ) 4 a b c ( b 4ac< ) A B a b c 3 ( a b c) ( b 4ac< ) A B a b c C D ( a b c) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 97/ vo 5 FHT Esslige
98 Beispiel 4 d 3 Lösug a) Faktorisierug ( ) ( ) 3 ( )( ) ( ) ( ) Faktorisierug (Nullstelle, Polyomdivisio) b) Asatz für PBZ A B ( ) ( ) ( ) C Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 98/ vo 5 FHT Esslige
99 c) Berechug der Koeffiziete ( ) ( )( ) ( ) A B C ( ) ( ) ( ) A B C A A A B B C C ( A B) ( ) ( A B C) A C A B A C A - B - C Lösug des LGS z.b. mit dem Elimiatiosverfahre vo Gauß. Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 99/ vo 5 FHT Esslige
100 A 3/4 B 3/4 C / 3 3 ( ) ( ) 4 4 ( ) ( ) ( ) 3 l c d l l 4 4 Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie / vo 5 FHT Esslige
101 IV) ÜBUNGEN Übug e 3 e d e Lösug Substitutio PBZ u e du u d e d du du e u 3 u u du du u u u u u Polyomdivisio u u u u u u Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie / vo 5 FHT Esslige
102 u u du du u u u u u u du u u PBZ u A B ( u ) u ( u ) ( ) u A u B Au ( B A) u A B A B u ( u ) u ( u ) Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie / vo 5 FHT Esslige
103 u u du u u u du du u l u u ( u ) u Rücksubstitutio 3 e d e l e e e e Übug e e d Substitutio u e du u d e d du du e u Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 3/ vo 5 FHT Esslige
104 u du du du arcta u u u u u Rücksubstitutio e d arcta e e Übug 3 si ta d d? cos Substitutio u si du u cos d d du cos u du u du geht icht! cos cos cos Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 4/ vo 5 FHT Esslige
105 Substitutio u cos du u si d d du si si du du du l u u si u Rücksubstitutio ta si d d l cos cos Prof. Dr. Da Euge Ulmet Folie 5/ vo 5 FHT Esslige
FUNKTIONEN. a) Symmetrie. Beispiele. b) Monotonie. Beispiele I) ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN. = x x
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3.1 Kurveutersuchuge mittels der Differetialrechug 33 3. Aweduge der Differetialrechug 3.1 Kurveutersuchuge mittels der Differetialrechug I diesem Abschitt betrachte wir Fuktioe f: D, welche je ach Bedarf
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3 Funktion einer reellen Variablen
- - 3 Fuktio eier reelle Variable 3. Abbildugsbegriff ud Fuktiosbegriff Fuktioe diee zur Darstellug ud Beschreibug vo Zusammehäge ud Abhägigkeite zwische zwei phsikalisch-techische Meßgröße 3.. Abbildugsbegriff
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Nennenswertes zur Stetigkeit
Neeswertes zur Stetigkeit.) Puktweise Stetigkeit: Vo Floria Modler Defiitio der pukteweise Stetigkeit: Eie Fuktio f : D R ist geau da i x D stetig, we gilt: ε > δ >, so dass f ( x) f ( x ) < ε x D mit
1. Funktionen einer reellen Variablen
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Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr Christoph Schmoeger Dipl-Math Sebastia Schwarz WS 4/5 45 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zur Übugsklausur Aufgabe
Übungen zur Funktionentheorie
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50 KAPITEL 3. FUNKTIONEN 3.3 Grezwert ud Stetigkeit Wichtige Eigeschafte eier Fuktio f a eier Stelle 0 sid mit ihrem Verhalte bei beliebiger Aäherug a 0 verbude. Eier dieser Eigeschafte ist die Stetigkeit
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Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 04/05 5..04 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 9. Übugsblatt
Übungen zu Einführung in die Analysis, WS 2014
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Die Exponentialfunktion - Herleitung und einige Eigenschaften
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Übersicht Integralrechnung
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Recheregel für Poteze ud Logarithme a x = e xla log a x = lx la a x+y = a x a y log a (x y) = log a x+log a y (a x ) y = a x y log a (x y ) = y log a x Hyperbel- ud Areafuktioe coshx = ex +e x sihx = ex
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Scheiklausur Aalysis 1 WS 2007 / 2008 08.02.2008 Es gibt 11 Aufgabe ud 1 Zusatzaufgabe. Die jeweilige Puktzahl steht am like Rad. Die Gesamtpuktzahl ist 40 Pukte plus 4 Zusatzpukte. Zum Bestehe der Klausur
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Talorsche Formel ud Mittelwertsatz 4 Aweduge der Differetialrechug Talorsche Formel ud Mittelwertsatz Die Gleichug der Tagete = f ( ( a die Kurve = f( im Pukt (, liefert eie grobe Näherug für die Fuktio
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Kapitel 9 Aufgabe Verstädisfrage Aufgabe 9. Hadelt es sich bei de folgede für z C defiierte Reihe um Potezreihe? Falls ja, wie lautet die Koeffizietefolge ud wie der Etwicklugspukt? a c 3! j0 x! j x j
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TEIL B Lösuge zu de Aufgabe zu Mathematik I.. Logik... A B A B A B A B A B w w w f f f f w f f w f w w f w f w w f w f f f w w w w A B A B B A B [ ] ( A B) ( A B) A ( ) ( ) A B A B A w w w f f f f w w
8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen
8. Die Expoetialfuktio ud die trigoometrische Fuktioe 8.1 Defiitio der Expoetialfuktio Fudametallemma: Für jede Folge w mit dem Grezwert w gilt: lim 1 w k 0 k w. k! Defiitio der Expoetialfuktio : k 2 3
8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen. 8.1 Definition der Exponentialfunktion
8. Die Expoetialfuktio ud die trigoometrische Fuktioe 8. Defiitio der Expoetialfuktio Fudametallemma: Für jede Folge w mit dem Grezwert w gilt: w lim + = k = 0 k w. k! Defiitio der Expoetialfuktio : k
1.2. Taylor-Reihen und endliche Taylorpolynome
1.. aylor-reihe ud edliche aylorpolyome 1..1 aylor-reihe Wir köe eie Fuktio f() i eier Umgebug eies Puktes o gut durch ihre agete i o: t o () = f(o) + f (o) (-o) aäher: Wir sehe: Je weiter wir vo o weg
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6. Übug - Differezegleichuge Beispiel 00 Gesucht sid alle Lösuge vo a) x + 3x + = 0 ud b) x + x + 7 = 0, jeweils für 0. Um diese lieare Differezegleichug erster Ordug zu löse, verwede wir die im Buch auf
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Uterrichtsmaterialie i digitaler ud i gedruckter Form Auszug aus: Vo Kurve ud Fläche Das komplette Material fide Sie hier: School-Scout.de Das bestimmte Itegral ach Riema Eizelstude 69 Klasse 11 ud 12
Funktionenreihen. 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Fuktioereihe Erst durch Newto wurde die Theorie uedlicher Reihe zu eiem eigestädige Forschugsgebiet i der Mathematik, das da i Britaie besodere Beachtug ud weitere Etwicklug durch Brook Taylor ud Coli
Anhang A: Die Gamma-Funktion
O. Forster: Zetafuktio ud Riemasche Vermutug Ahag A: Die Gamma-Fuktio A.. Defiitio. Die Gamma-Fuktio ist für eie komplee Variable z mit Rez > durch das Euler-Itegral Γz := t z e t defiiert. Da mit := Rez
Analysis II für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fchbereich Mthemtik der Uiversität Hmburg SoSe 2015 Dr. K. Rothe Alysis II für Studierede der Igeieurwisseschfte Hörslübug mit Beispielufgbe zu Bltt 3 Recheregel für Potezreihe Stz: Die Potezreihe g(z
Ableitungsregeln. Produkte- und Quotientenregel. Ableitung einiger wichtiger Funktionen. Kettenregel. Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION
Vorkurs Mthemtik DIFFERENTIATION Ableitugsregel (f + g) = f + g (cf) = c f, c R ( ) = (c) =, c R Dmit köe wir Polyome bleite: Beispiel. ( 5 + 3 + ) = ( 5 ) + 3( ) + () = 5 4 + 3 = 5 4 + 6 Produkte- ud
1 Funktionen und Flächen
Fuktioe ud Fläche. Fläche Defiitio: Die Ebee R ist defiiert als Mege aller geordete Paare vo reelle Zahle: R = {(,, R} Der erste Eitrag heißt da auch Koordiate ud der zweite Koordiate. Für zwei Pukte (,,
Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Eperte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge
AT AB., so bezeichnet man dies als innere Teilung von
Teilverhältisse Aus der Geometrie der Dreiecke ket ma die Aussage, dass der Schwerpukt T eies Dreiecks die Seitehalbierede im Verhältis : teilt. Für die Strecke AT ud TM gilt gemäß der Abbildug AT : TM
6. Differentialrechnung in mehreren Variablen
6. Grudbegriffe 6 6. Differetialrechug i mehrere Variable 6. Grudbegriffe I diesem Abschitt werde reelle Fuktioe i Variable betrachtet, d.s. Fuktioe f: D R mit D R, welche jedem Vektor (,..., vo Eiflussgröße
Kapitel VII: Der Körper der komplexen Zahlen
Lieare Algebra II SS 011 - Prof Dr Mafred Leit 3 Der Körper der komplexe Zahle 3 Der Körper der komplexe Zahle A Die Mege der komplexe Zahle B Grudrechearte im Bereich der komplexe Zahle C Realteil Imagiärteil
Resultate: Vertauschbarkeit von Grenzprozessen, Konvergenzverhalten von Potenzreihen
26 Gleichmäßige Kovergez ud Potezreihe 129 26 Gleichmäßige Kovergez ud Potezreihe Lerziele: Kozepte: Puktweise ud gleichmäßige Kovergez Resultate: Vertauschbarkeit vo Grezprozesse, Kovergezverhalte vo
Langrange-Multiplikators und Hinreichende Bedingungen
Albert Ludwigs Uiversität Freiburg Abteilug Empirische Forschug ud Ökoometrie Mathematik für Wirtschaftswisseschaftler Dr. Sevtap Kestel Witer 008 10. November 008 14.-4 Lagrage-Multiplikators ud Hireichede
Aufgaben zu Kapitel 9
Aufgabe zu Kapitel 9 Aufgabe zu Kapitel 9 Verstädisfrage Aufgabe 9. Hadelt es sich bei de folgede für z C defiierte Reihe um Potezreihe? Falls ja, wie lautet die Koeffizietefolge ud wie der Etwicklugspukt?
Lösungen Mathe 2 Repetitorium
Lösuge Mathe Repetitorium SoSe Ableitug. d dx = x x + + x e x d. dx = x x +x+ xx + six x + cosx partielle Ableitug. a f x = x y yz f y = xy z xz f z = yz xy b g x = x + x + y sixy x cosxy g y = y y + +
+ a 3 cos (3ωt) + b 3 sin (3ωt)
Fourier-Reihe Wir gehe aus vo eier gegebee periodische Fuktio f (t). Die Fuktio hat die Fudametalperiode ( Schwigugsdauer ) ud damit die Grud-Kreisfrequez ω = π. Zeit t Periode Die Fuktio f (t) soll zerlegt
Konvergenz von Fourier-Reihen
Kovergez vo Fourier-Reihe Ausarbeitug zum Semiar zur Fourieraalysis, 3..27 obias Reimes Diese Ausarbeitug beschäftigt sich mit der Kovergez vo Fourier-Reihe. Hierzu werde im erste Abschitt eiige Vorbemerkuge
LGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2017/2018
LGÖ Ks VMa Schuljahr 7/8 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Experte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge
Taylorentwicklung. Manfred Hörz. Polynomfunktionen sind sehr leicht zu differenzieren und zu integrieren und sind wieder Polynomfunktionen: k a k
Tayloretwiclug Mafred Hörz Die Liearombiatio vo Potezfutioe et ma Polyomfutioe oder gazratioale Futioe P ( : P (=a +a +a +...+a = a, heißt der Grad der Polyomfutio, a die Koeffiziete der Polyomfutio. Beispiel
Mathematik Abiturwissen. Script von Michael Telgkamp Vorlesung Dr. Bruder
Mathematik Abiturwisse Script vo Michael Telgkamp Vorlesug Dr. Bruder . Eiführug Abiturwisse Mathematik / 9. Zahlebereiche: N atürliche Zahle Z gaze Zahle Q ratioale Zahle R reelle Zahle C komplee Zahle
1.3 Funktionen. Seien M und N Mengen. f : M N x M : 1 y N : y = f(x) nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig.
1.3 Fuktioe Seie M ud N Mege f : M N x M : 1 y N : y fx et ma Fuktio oder Abbildug. Beachte: Zuordug ist eideutig. Bezeichuge: M : Defiitiosbereich N : Bildbereich Zielmege vo f Der Graph eier Fuktio:
Analysis II für M, LaG und Ph, WS07/08 Übung 2, Lösungsskizze
Gruppeübug Aalysis II für M, LaG ud Ph, WS7/8 Übug, Lösugsskizze G 4 (Zum warm werde). Begrüde die vo Physiker beliebte Näheruge si(x) x, cos(x) ud ta(x) x für kleie x R. Dies folgt direkt aus der Tayloretwicklug
Lösungen zu Kapitel 4
Lösuge zu Kapitel 4 Lösug zu Aufgabe : Die folgede Grezwerte köe aalog zu Beispiel 4.(c bestimmt werde: (a lim + = 3 3. (b Die Folge a ist diverget. (c lim + = 0. 3 (d lim ( + 3 = 0. (e lim ( + = 0. Lösug