Qualitätsmanagement: Wichtige Begriffe und Formeln aus der Statistik

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1 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 1 von 50 Qualitätsmanagement: Wichtige Begriffe und Formeln aus der Statistik Quellen: Diverse Online UNI- & FH-Skripten Inhaltsverzeichnis EINLEITUNG... 3 Definition beschreibende / schließende Statistik 3 DARSTELLUNG VON DATEN... 3 Messen von Merkmale 3 Skalierung und Typisierung statistischer Merkmale 3 Erfassung in Urlisten 3 Klassierung statistischer Werte 3 Absolute & relative Häufigkeiten 3 Grafische Darstellungen von Häufigkeiten 3 Statistische Kennwerte 3 Kennzahlen der zentralen Tendenz 3 Typen von Häufigkeitsverteilungen 3 Kennzahlen der Dispersion / Streuung 3 Vergleich von Messwerten aus verschiedenen Messungen 3 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG... 3 Das Gesetz der großen Zahl 3 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 3 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff. 3 Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses 3 Wahrscheinlichkeit zusammengesetzter Ereignisse 3 Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses 3 KOMBINATORIK... 3 Grundbegriffe der Kombinatorik 3 HÄUFIGKEITSVERTEILUNGEN... 3 Binomialverteilung 3 Die hypergeometrische Verteilung 3 Poisson-Verteilung 3

2 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 2 von 50 Gauß oder Normalverteilung: 3 Was bedeutet die Normalverteilung? 3 VERTRAUENSBEREICHE... 3 Vertrauensbereich (Konfidenzintervall) für den Mittelwert 3 Vertrauensbereich für den Mittelwert, wenn σ nicht bekannt ist: 3 Vertrauensbereich für die Standardabweichung: 3 ZUSAMMENHÄNGE ZWISCHEN MEHREREN MERKMALEN... 3 Zusammenhangmaße 3 Regressionsanalyse 3 Zeitreihen und Indexzahlen 3 QUELLEN... 3

3 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 3 von 50 Einleitung Statistik ist ein Gebiet, das mit vielen Vorbehalten und Vorurteilen behaftet ist. Sei dies die Sorge vor zu viel Mathematik, Formeln und anderem schwer verständlichem. Oder seien es Redensarten, die ein unbedarftes Herangehen an dieses Gebiet erschweren, wie der berühmte Ausspruch von Winston Churchill Ich traue keiner Statistik, die ich nicht selbst gefälscht habe oder der beliebten Steigerung Lüge gemeine Lüge Statistik. Trotzdem begegnet uns Statistik an vielen Stellen des täglichen (betrieblichen) Lebens und es ist wichtig, damit umgehen zu können. Viele Ereignisse des täglichen Lebens unterliegen dem Zufall. Ein Extrembeispiel ist das Würfeln. Das Ergebnis eines bestimmten Wurfes ist nicht vorhersagbar. Trotzdem gelten bestimmte Gesetzmäßigkeiten: Es ist intuitiv klar, dass etwa bei 1/6 der Würfe eine 1 auftritt, wenn man sehr oft würfelt. Statistik befasst sich mit diesen Gesetzmäßigkeiten des Zufalls. Auch bei der Untersuchung technischer Probleme treten zufällige Unterschiede auf, die richtig verstanden und interpretiert werden sollten. Aber nicht nur die Situation, vorgelegte statistische Auswertungen verstehen und (kritisch) interpretieren zu müssen, kann in der täglichen Praxis auftauchen, sondern auch der Wunsch, vorhandene Daten selbst auszuwerten und anschaulich darzustellen. Dies kann die (grafische) Aufbereitung zur Präsentation der Daten sein, aber auch die Analyse von statistischen Zusammenhängen bzw. Unterschieden von Daten oder Sachverhalten. Definition beschreibende / schließende Statistik Statistik ist ein Hilfsmittel, ein Werkzeug zur systematischen Darstellung und Auswertung von Zahlenmaterial, meist kurz als Daten bezeichnet. Mit statistischen Methoden werden Kennzahlen gebildet, die dabei helfen, vorliegendes Datenmaterial - vor allem aber die entsprechenden Sachverhalte - möglichst objektiv zu bewerten. Es gibt zwei grundlegende Ziele statistischer Analysen: Beschreibung vorhandener Daten Beschreibende oder Deskriptive Statistik Es liegen Daten (Zahlen) vor, die ausgewertet werden sollen: z.b. Alter und Einkommen von 20 Mitarbeitern oder 100 Gewichtsangaben von Werkstücken oder Umsatzzahlen in 16 Quartalen,... usw. Ableiten allgemeiner Aussagen aus einer kleinen Auswahl von Daten Schließende oder Induktive Statistik (auch Inferenzstatistik) Es liegt nur eine (kleine) Stichprobe von Daten vor, aus diesen sollen allgemeingültige Schlüsse über die Grundgesamtheit aller Daten gezogen werden: z.b.: Aus den Angaben über Alter, Geschlecht und Provision von 50 Angestellten soll auf die entsprechenden Werte aller 800 Mitarbeiter geschlossen werden oder aus den Umsatzentwicklungen von 20 Betrieben soll die Branchenentwicklung abgeschätzt werden.

4 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 4 von 50 Darstellung von Daten Entscheidungen werden in immer stärkeren Ausmaß durch statistische Methoden abgesichert: z.b. Meinungsforschung, Erhebung von Marktanteilen, Reichweiten etc. Am sichersten wäre es natürlich, jedes Mitglied der betreffenden Zielgruppe zu befragen. Für die meisten Anlässe ist diese Vorgangsweise viel zu aufwendig. Es wird daher nur eine repräsentative Stichprobe untersucht. Definitionen: Die Fragestellung einer empirischen Untersuchung bezieht sich auf ein oder mehrere Merkmale in einer Gruppe von Untersuchungseinheiten. Ein Merkmal ist eine Eigenschaft, welche einem Objekt oder einer Person zugeordnet werden kann. Es wird versucht, diese Merkmale durch eine Messung in Zahlen zu überführen. (Beispiele: Geschlecht, Alter, IQ, Parteizugehörigkeit, Noten, Bildungsniveau, Einkommen, Persönlichkeitsmerkmale, Blutdruck, Cholesterin, ) Die Gruppe aller Untersuchungseinheiten, in denen Merkmale von Interessen sind, nennt man Grundgesamtheit oder Population. Da man nicht alle Elemente der Population untersuchen kann, befasst man sich mit einer Auswahl aus der Grundgesamtheit, einer Stichprobe. Die Elemente der untersuchten Stichprobe werden auch Merkmalsträger oder Fälle genannt. Die Merkmale, die verschiedene Ausprägungen annehmen, nennt man Variablen; die Merkmalsausprägungen werden auch Variablenwerte oder Kategorien genannt. Beispiel: Aus der Ergebnisliste einer Übungsgruppe entnehmen wir folgende Daten: Diese Daten bilden eine Stichprobe vom Umfang n = 12 aus der Grundgesamtheit aller Hörer der Übungsgruppe. Allgemein setzt sich eine Grundgesamtheit aus Versuchseinheiten, hier die Studierenden, zusammen. Die Versuchseinheiten sind Träger von Merkmalen: das Geschlecht, die Semesterzahl und die Beurteilung. Jedes dieser Merkmale kommt in verschiedenen Ausprägungen vor: für das Geschlecht männlich und weiblich, die Semesterzahl kann theoretisch jede natürliche Zahl sein, die Beurteilung benutzt eine 5 stufige Skala.

5 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 5 von 50 Messen von Merkmale Das Beispiel zeigt die drei wesentlichsten Merkmalstypen: qualitative (nominale) Merkmale ordinale Merkmale quantitative (metrische) Merkmale Qualitative Merkmale sind beispielsweise Geschlecht, Staatsangehörigkeit, Blutgruppe, Beruf, Familienstand, etc. Manchmal verwendet man einen Zahlenschlüssel, etwa 0 = weiblich, 1 = männlich. Da die Wahl des Schlüssels vollkommen beliebig ist, ist eine weitere numerische Verarbeitung, etwa die Berechnung eines Mittelwertes, dieser Daten nicht sinnvoll. Ordinale Merkmale haben als Ausprägungen Ränge, die sich anordnen lassen, beispielsweise Noten, Interesse für Mathematik, Engagement für die Umwelt, Platzierung beim Wettkampf, etc. Für manche ordinalen Merkmale gibt es standardisierte Zahlenskalen, etwa 1 5 für die Benotung, jedoch kann man diese ohne Informationsverlust stets einer streng monotonen Transformation unterwerfen. Eine Notenskala 10, 20,...,50 leistet dieselben Dienste. Rechnungen mit ordinalen Daten werden gelegentlich durchgeführt (Notendurchschnitt), sie können aber durch sinnvollere Kenngrößen ersetzt werden. Quantitative Merkmale können (zumindest prinzipiell) gemessen werden: Semesterzahl eines Studierenden, Entfernung Wohnung Arbeitsplatz, Frequenz der öffentlichen Verkehrsmittel, Knochendichte, etc. Die Ausprägungen werden durch geeignete Teilmengen der reellen Zahlen beschrieben. Quantitative Daten können daher numerisch bearbeitet werden. Der numerische Wert einer Ausprägung ist eindeutig bis auf die Wahl einer Einheit und birgt mehr Information als der eines ordinalen Merkmals: eine 2 Liter Fasche enthält die doppelte Menge einer 1 Liter Fasche, ein Schüler mit der Note 2 ist aber nicht unbedingt doppelt so tüchtig wie ein Schüler mit der Note 4. Beim Messen wird jedem Merkmalsträger der Stichprobe genau ein Messwert zugeordnet und zwar dergestalt, dass die Verhältnisse zwischen den Messwerten untereinander das Verhältnis der Merkmalsträger bezüglich der Merkmalsausprägungen wiedergibt. Messen heißt also: Zuordnen von Werte, normalerweise von Zahlen, zu Merkmalsträgern nach bestimmten Regeln. Definition: Messen ist eine Zuordnung von Zahlen zu Merkmalsträgern, bei der die Relationen der Merkmalsträger bezüglich ihrer Merkmalsausprägungen durch die ihnen zugeordneten Zahlen wiedergegeben werden. Diskontinuierliche / diskrete Variablen besitzen eine begrenzte Anzahl von Variablenwerten. In jedem Messwertintervall liegen nur endlich viele Messwerte. Kontinuierliche / stetige Variablen haben eine unbegrenzte Anzahl von Variablenwerten (z.b. physikalische Maße: Dauern, Längen usw.) In jedem Intervall zwischen zwei Messwerten liegen unendlich viele Messwerte.

6 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 6 von 50 Skalierung und Typisierung statistischer Merkmale Unter einer Skala verstehen wir die Menge von Messwerten einer Variablen, die durch den Messvorgang den Merkmalsträgern zugeordnet werden können. Dabei wird jedem Merkmalsausprägung ein Skalenwert zugewiesen. Natürlich muss nicht jeder denkbare Skalenwert / jede Merkmalsausprägung in der gegebenen Stichprobe auch tatsächlich auftreten. Je nach der Qualität der Beziehungen zwischen den Merkmalsträgern bezüglich ihrer Merkmalsausprägungen kann die Messung der Variablen auf unterschiedliche Weise erfolgen: (1) Feststellung der Gleichheit oder Ungleichheit: A = B oder A B (Nominalskala). (2) Beziehung einer Rangordnung: A < B < C (Ordinalskala). (3) Rangordnungsbeziehung (A < B < C), bei der auch die Größen der Unterschiede zwischen den einzelnen Rängen miteinander verglichen werden können: B - A = C B (Intervallskala). Typologie der Skalenniveaus Bei Nominalskalen können nur Aussagen darüber getroffen werden, ob die Messwerte eines Merkmals gleich oder ungleich sind. Bei nominal skalierten Variablen ist die Zuordnung von Merkmalsausprägungen (Variablenwerte, Kategorien) zu Zahlen willkürlich (Bsp. Geschlecht). Die Skalenwerte müssten nicht unbedingt durch Zahlen, sondern könnten genauso gut andere durch Symbole bezeichnet werden. Dichotome Skalen besitzen zwei Skalenwerte. Trichotome Skalen besitzen drei Skalenwerte; Mehrkategoriale Skalen besitzen mehr als drei Skalenwerte.

7 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 7 von 50 Bei Ordinalskalen (oder: Rangskalen) kann darüber hinaus bestimmt werden, ob ein Messwert größer, kleiner oder gleich einem anderen ist. Alle Messwerte können in eine Rangordnung gebracht werden. Sind die Messwerte zweier Fälle innerhalb einer Stichprobe identisch, so spricht man von verbundenen Rängen. Bei Intervallskalen kann darüber hinaus ausgesagt werden, ob der Unterschied zweier Messwerte größer, gleich oder kleiner als der Unterschied zweier anderer Messwerte ist. Erst auf dem Skalenniveau der Intervallskalen können Skalenwerte bezüglich ihres Abstandes zueinander, also bezüglich ihrer Differenz (und ihrer Summe), miteinander verglichen werden erst hier ist die Addition oder Subtraktion von Messwerten zulässig. In einer Intervallskala können der Nullpunkt und die absolute Größe der Abstände oder Intervalle frei gewählt werden. Die auf diese Weise entstandenen Skalen lassen sich durch einfache mathematische Transformationen ineinander überführen. Daraus folgt jedoch: o Es können keine Aussagen über die absoluten Beträge eines Skalenintervalls bzw. des Unterschieds zweier Messwerte getroffen werden. o Es können keine Aussagen über das Verhältnis zweier Messwerte (= Prozente, Anteilwerte) getroffen werden, weil hierzu ein Nullpunkt als Ausgangspunkt notwendig wäre. Anmerkung: Eine in der Marktforschung häufig verwendete Skala ist die Bewertungs- oder Ratingskala. Diese kann zur Messung von Geschmack bzw. Einschätzungen durch die Befragten dienen. Eine Ratingskala wird in der Regel als intervallskaliert angesehen. Beispiel: Das Produkt erfüllt meine Ja, sehr gut Nein, überhaupt nicht Anforderung Ratioskalen (Verhältnisskalen) besitzen zudem einen natürlichen Nullpunkt. Diese erlaubt ein Multiplizieren und Dividieren von Skalenwerten miteinander. Bsp.: physikalische Maße: Länge, Gewicht usw. Verhältnisskalierte Daten beinhalten die meiste Information, nominal skalierte die wenigste. Entsprechend stehen mehr oder weniger statistische Methoden zur Auswertung der Daten zur Verfügung. Verhältnisskalierte Merkmale können in diskreter oder stetiger Form vorliegen. o Diskrete Merkmale können nur abzählbar viele Ausprägungen annehmen, wie z.b. oben der Berufsstatus, das Geschlecht oder Farben. o Stetige Merkmale hingegen können beliebig viele Ausprägungen annehmen, oft werden sie in Dezimalzahlen gemessen, z.b. Geldbeträge, Gewichte oder Mengen.

8 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 8 von 50 Streuung stetiger Merkmale Ergebnisse von Messungen streuen grundsätzlich. Es gibt in der Technik keinen Prozess, dessen Ergebnisse nicht in einem gewissen Ausmaß schwanken. Die Ursachen dieser Streuung kann sein: 1. Systematische Abweichungen auf Grund kontrollierbarer Einflüsse (z.b. Temperatur). Durch geeignete Maßnahmen kann man diese Einflüsse kontrollieren. 2. Zufällige Abweichungen auf Grund nicht bekannter oder nicht kontrollierbarer Einflüsse (z.b. menschliche Einflüsse) 3. Fehler oder spezielle Ursachen. Ausreißer wegen falscher Ablesung oder Einstellung des Messinstruments. Diese werden in der Messreihe in der Regel nicht berücksichtigt. Als Ursachen können auch die 5 (7) M betrachtet werden: Mensch bedient und regelt den Prozess Maschine Schwingungen, Werkzeugabnutzung, Unwucht, etc. Methode Unterschiedliche Messvorrichtungen, unterschiedliche Messablauforganisation, etc. Material unterschiedliche chemische Zusammensetzung oder physikalische Eigenschaften Milieu Umgebungseinflüsse wie Erschütterung, Wärme, Staub, etc. Messbarkeit ist das untersuchte Produktmerkmal überhaupt direkt messbar? Management ist der Produktions- und Prüfungsprozess optimal geplant, kontrolliert und gesteuert? Übung: Ordnen Sie die nachstehenden Merkmale der zugehörigen Messwertskala zu: a) Tachostand b) Einkommen c) Schulnote d) Uhrzeit e) Gewicht f) Ligatabelle g) Religion h) Alter i) Familienstand j) Getreidesorte k) Handygebühren l) Güteklassen m) Temperatur n) Haarfarbe o) soziale Stellung p) Körpergröße q) Abweichungen von der Norm r) Geschlecht bei Fertigungsprozessen s) Beruf t) Schultypen u) Anzahl von Kindern v) Raucher / Nichtraucher w) Altersklassen x) in Schulklassen Typen Skala nominal ordinal metrisch Diskret Stetig

9 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 9 von 50 Erfassung in Urlisten Messungen werden in der Regel bei einer Stichprobe (Teil der Grundgesamtheit, bzw. des Prüfloses) durchgeführt. Nach einer Datenerhebung liegen die Messwerte eines Merkmals zunächst in Form einer sog. Urliste vor. In dieser Zahlenliste werden die Messwerte der einzelnen Untersuchungseinheiten hintereinander aufgelistet. In einer Datenmatrix werden die Messwerte von mehreren Variablen in Spalten nebeneinander zusammengefasst. Eine Untersuchungseinheit (Fall) bildet mit ihren Messwerten jeweils eine Zeile der Matrix. Alle Messwerte einer bestimmte Variable stehen untereinander in einer Spalte. Bisweilen ist es sinnvoll, vor der statistischen Auswertung der Daten o durch Indexbildung mehrere Variablen zu neuen Variablen (Indices) zusammenzufassen; o durch Klassenbildung mehrere Kategorien in eine Klasse zusammenzufassen; o durch Klassenbildung eine stetige in eine diskrete Variable (mit einer endlichen Anzahl von Klassen/Messwertintervallen) zu transformieren. Auch unser zuvor erwähntes Beispiel der Ergebnisliste einer Vorlesung ist eine solche Urliste. Einige konventionelle Abkürzungen und Bezeichnungen in der deskriptiven Statistik: n = die Anzahl der Versuche (Elemente) bei Stichprobenuntersuchungen, Umfang der Messung/Untersuchung. Die Größe der Grundgesamtheit wird mit N bezeichnet. Die Variable, die bei der Stichprobe bzw. Untersuchung gemessen wurde, wird x genannt. Die einzelnen Untersuchungselemente werden durchnummeriert: 1, 2, 3,... i... bis n. ( i bedeutet irgendeine beliebiges Element). Mit x i wird der Messwert bezeichnet, der bei dem i-ten Versuch/Messung bezüglich einer Variablen x gemessen wurde. Die Urliste ist die Auflistung aller Messwerte x i in der Reihenfolge 1, 2, 3,... i... bis n.

10 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 10 von 50 Klassierung statistischer Werte Treten in einer Stichprobe sehr viele verschiedene Ausprägungen eines Merkmals auf, ist es vor allem bei stetigen Variablen (insbesondere bei physikalischen Messungen) zweckmäßig, die Stichprobe zu vereinfachen, indem man verschiedene Ausprägungen jeweils in einer Messwertklasse (Intervalle, Kategorien) zusammenfasst. Man spricht dann von gruppierten Daten. Auch durch das Runden der Urwerte kann man den Rechenaufwand bei der Aufbereitung von Daten reduzieren und die Übersichtlichkeit der Darstellung erhöhen. Diese Rundung entspricht eigentlich ebenfalls einer Klassenbildung. Die Klassenbildung sollte so erfolgen, dass nur unwesentliche Einzelheiten ausgeschieden werden. Durch Klassenbildung geht allerdings Information verloren: die einzelnen Stichprobenwerte einer Klasse treten nicht mehr auf. Die Anzahl k der Klassen / Kategorien sollte unter 20 liegen. Faustformel: k n k Anzahl Klassen, n Anzahl der Messwerte Prinzipiell kann jede Skala von Messwerten durch Klassenbildung verändert werden. Damit das Skalenniveau erhalten bleibt, sind folgende Regeln zu beachten: 1. Bei Nominalskalen sollte die Klassenbildung inhaltlich begründet sein. Die Kategorien können beliebig zusammengefasst werden, insofern die Zuordnung der Messwerte eindeutig bleibt. 2. Ordinalskalen können durch Zusammenlegen benachbarter Ränge vergröbert werden. Je größer die Variationsbreite der Messwerte ist, desto größer können die Klassen sein. 3. Bei der Vergröberung von Intervallskalen ist darauf zu achten, dass die Klassenbreiten aller Klassen / Intervalle gleich sind. Die neu gebildete Klasse wird durch die Klassenmitte bezeichnet, das ist das arithmetische Mittel der unteren und der oberen Intervallgrenze. 4. Insbesondere bei Skalen von physikalischen Messungen, die nur selten über den gesamten theoretisch möglichen Bereich Messwerte liefern, kann es sinnvoll sein, am oberen und unteren Rand der Skala offene Messwertklassen zu bilden, in die alle Messwert bis bzw. ab einem bestimmten Messwert fallen. Bei einer statistischen Beschreibung dieser Skalen muss jedoch berücksichtigt werden, dass bei Einbeziehung der offenen Klassen kein Intervallskalenniveau mehr gegeben ist. Bei der weiteren Verarbeitung der Stichprobe nimmt man daher bei einem quantitativen Merkmal häufig an, dass alle Werte einer Klasse in der jeweiligen Klassenmitte konzentriert sind. Die absolute Häufigkeit einer Klasse ist die Summe der absoluten Häufigkeiten aller Ausprägungen, welche zu dieser Klasse gehören. Dividiert man die absoluten Klassenhäufigkeiten durch den Stichprobenumfang, ergeben sich die relativen Klassenhäufigkeiten.

11 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 11 von 50 Absolute & relative Häufigkeiten Unser eigentliches Interesse gilt aber nicht den Eigenschaften jedes einzelnen Individuums, sondern vielmehr der Verteilung der Merkmale in der Grundgesamtheit. Da Informationen nur über die Stichprobe zur Verfügung stehen, betrachten wir die Verteilung der Merkmale in der Stichprobe und stellen zuerst fest, wie oft die einzelnen Ausprägungen eines jeden Merkmals in der Stichprobe auftreten. Dies ergibt die absolute Häufigkeit h a (x) einer Merkmalsausprägung x. n i = h a (x i ) Anzahl der Werte mit der Merkmalsausprägung x i und damit ist: k i= 1 n i = n, d.h. die Addition aller Einzelhäufigkeiten ergibt die Summe der Beobachtungen. Die Verteilung der Messwerte (x i ) einer Variable (x) werden Häufigkeitsverteilung (oder einfach: Verteilung) genannt. Bezieht man h a (x) auf den Stichprobenumfang n, erhält man die relative Häufigkeit h r (x) der Ausprägung x: ha ( x) ni hr ( x) = = = f ( x) n n Mit f(x l ) (oder auch h r (x i )) wird die Häufigkeit bezeichnet, mit der ein Wert x l innerhalb der Stichprobe als Messwert auftritt (f steht hier für englisch frequency, Häufigkeit). Unmittelbar einsichtig ist die Ungleichung: 0 h r ( x) 1 und h ( x) = 1 k i= 1 r Die relative Häufigkeit wird daher meist in % (Prozent) angegeben. Absolute und relative Häufigkeiten der Semesterzahl unseres Beispiels

12 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 12 von 50 In einer Häufigkeitstabelle werden jedem Skalenwert x l bzw. jeder Klasse k l (1. Spalte) in der zweiten (und dritten) Spalte ein entsprechender absoluter (und relativer) Häufigkeitswert f(x l ) bzw. f(k l ) (genauer: h a (x) bzw. h r (x)) zugeordnet. Manchmal möchte man wissen, wie viele Messwerte gerade bis zu einem bestimmten Skalenwert vorliegen. Die Verteilung dieser bis zu einem Skalenwert angehäuften Messwerte nennt man kumulierte Häufigkeitsverteilung f kum (x l ) bzw. f kum (k l ) (auch: f c (x) oder F(x)). Vielfach wird die kumulierte Häufigkeitsverteilung der Häufigkeitstabelle als eine weitere (vierte) Spalte angefügt. Die relativen und kummulativen Häufigkeitswerte werden häufig als Prozentwerte ausgedrückt. Eindimensionale und mehrdimensionale Häufigkeitsdarstellungen Sehen wir uns ein weiteres Beispiel an (Ausschnitt aus der Urliste): Die einfachste Verdichtung von Daten ist die Angabe von Häufigkeiten, oft ebenfalls in tabellarischer Form, wie nachstehender Tabelle für den Fall einer einfachen Häufigkeitstabelle für das Merkmal Berufsstatus zeigt. Interessanter ist die Aufbereitung mehrerer Dimensionen, etwa die Auszählung der Anzahl der Beschäftigten, diesmal nach Alter und Geschlecht, wie sie in nachstehender Tabelle vorgenommen wird.

13 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 13 von 50 In dieser Tabelle sind zum einen die Einzelhäufigkeiten für die Kombinationen bestimmter Eigenschaften (z.b. haben 40 Männer eine Betriebszugehörigkeit unter 10 Jahren), aber auch - in den Randsummen die Häufigkeitsauszählungen für die einzelnen Merkmale (z.b. insgesamt gibt es 180 Personen mit einer Betriebszugehörigkeit zwischen 10 und 20 Jahren). Für das Merkmal Betriebszugehörigkeit wurden Klassen (von... bis...) gebildet. Grafische Darstellungen von Häufigkeiten Diese Häufigkeitsdarstellungen, ob in absoluten Zahlen oder relativen Anteilen gemessen, werden oft grafisch dargestellt. So lassen sich die Zahlen aus obigen Tabelle z.b. in einem Balken- oder Säulendiagramm darstellen. Zweidimensionalen Auswertungen können in Zeilen- oder Spaltenprozent angegeben werden. Auch diese zweidimensionalen Häufigkeiten lassen sich grafisch veranschaulichen.

14 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 14 von 50 An einem weiteren Beispiel seien die wichtigsten Diagrammtypen nochmals erläutert: o Histogramme werden verwendet, wenn die Ausprägungen wie oben in Klassen eingeteilt werden und diese unterschiedlich breit sind. Säulendiagramme würden in diesem Fall falsche Häufigkeiten vermuten lassen, so dass die Häufigkeiten als Fläche dargestellt werden. o Summenhäufigkeitsfunktionen zeigen, wieviel (Prozent der) Ausprägungen höchstens einem bestimmten Wert annehmen (bis zu...). Die nachstehende Abbildung zeigt dieses Häufigkeitskonzept neben einem einfachen Säulendiagramm. Hinweis: Wenn die Klassenbreite unterschiedlich gewählt wird, repräsentiert die Säulenfläche den darzustellenden Messwert.

15 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 15 von 50 Statistische Kennwerte Im vorigen Kapitel haben wir erkannt, dass alle Messdaten, die z.b. das Ergebnis von Fertigungsprozessen erfassen sollen, streuen und dass diese Streuung mehrere Ursachen haben kann. Die Darstellung der Messwerte in einem Histogramm liefert ein anschauliches Bild der Verteilung. Um die Ergebnisse weiter auswerten zu können, charakterisiert man sie durch Kennwerte. Besonders wichtig sind die Maßzahlen der zentralen Tendenz einer Verteilung (Lagemaße) sowie Maßzahlen, die über die Unterschiedlichkeit (Variabilität) der Merkmalsausprägungen informieren (Dispersions- oder Streuungsmaße). Viele dieser Kennwerte / Maßzahlen sind speziell für bestimmte Skalenniveaus entwickelt worden; einige wichtige Kennwerte (z.b. Mittelwert und Standardabweichung) sind nur für Ratio- und Intervallskalen zulässig und nur bei stetigen Messwerten sinnvoll! Kennzahlen der zentralen Tendenz Maße der zentralen Tendenz (Lagemaße) sind Skalenwerte, durch welche die zentrale Tendenz von Häufigkeitsverteilungen am besten ausgedrückt werden kann bzw. die Skalenwerte, welche die Merkmalsausprägungen in einer Stichprobe am besten repräsentieren. Abhängig vom Skalenniveau gibt es dabei verschiedene Möglichkeiten: Modalwert oder Modus Der Modalwert (Mod) ist jener Wert einer Messreihe, der am häufigsten vorkommt. Das klingt etwas banal, ist aber im Falle der Nominalskala der einzig zulässige Mittelwert. Etwas statistischer ausgedrückt handelt es sich um die Ausprägung x i mit der größten Häufigkeit f i. Gesucht wird also dasjenige i, welchem das maximale f i zugeordnet ist. Es kann auch zwei oder mehrere Modi geben (mehrere Gipfel im Polygonzug). Man spricht dann von bimodalen und polymodalen Verteilungen. Wenn mehrere Skalenwerte zu Klassen zusammengefasst wurden, gilt die Klassenmitte der häufigsten Klasse als Modalwert der Verteilung. Bei breitgipfligen Verteilungen (auf Ordinal- oder Intervallskalenniveau), bei denen mehrere Skalenwerte mit gleicher Häufigkeit nebeneinander liegen, entspricht der Modus der Mitte zwischen diesen Intervallen. Median Der Median (Md, Mdn) oder Zentralwert (ZW) einer Verteilung ist derjenige Wert einer Skala, welcher die der Größe nach geordneten Messwerte einer Stichprobe in genau zwei gleich große Hälften teilt. Die Bestimmung des Medians ist dann möglich, wenn alle Messwerte in eine Rangfolge gebracht werden können. Der Median ist daher ein Maß der zentralen Tendenz auf Ordinalskalenniveau.

16 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 16 von 50 Bei einer ungeraden Anzahl von Untersuchungseinheiten ist der Median genau der Messwert der Untersuchungseinheit, die in der Mitte liegt, wenn man alle Untersuchungseinheiten der Größe nach anordnet. Bei einer geraden Anzahl von Untersuchungseinheiten ist es die Mitte zwischen den beiden mittleren Fällen. x(( n ~ x = ( x( + 1) / 2) n / 2) + x 2 ( n / 2+ 1) ) für n ungerade für n gerade Der Median kann auch mit Hilfe der Prozentränge ermittelt werden; er ist der Wert x l, für den gilt: f kum ( xl ) % kum (x l ) = 100% = 50 % n Bei Intervallskalen mit extremen Messwerten auf einer Seite der Skala (Ausreißer) ist der Median meist eine bessere Maßzahl zur Kennzeichnung der zentralen Tendenz als das arithmetische Mittel. Percentile / Quantile Gesucht wird diejenige Merkmalsausprägung, die von p Prozent der Merkmalsträger nicht überschritten wird. Diese wird al p-percentile oder p-quartile beweichnet x Hier wird dasselbe Vorgehen wie bei der Ermittlung des Zentralwertes gewählt: Alle Werte werden der Größe nach sortiert und die jeweilige Position bzw. ihr Index i gesucht. Im Prinzip können für p beliebige Werte eingesetzt werden. Geläufig sind 25 % und 10 % - Schritte. Im ersten Fall heißen diese Quartile im zweiten Percentile. 1. Quartil Q x, 25 0, 2. Quartil Q x, 5 0 und 3. Quartil Der Median ist daher letztlich das 2. Quartil. Q x 0, 75 Von den Quantilen in 10-Prozent-Schritten werden oft das erste Q x, 1 0 und das letzte Q x 0, 9 betrachtet, um beurteilen zu können, wie stark die Ausprägungen eines Merkmales an den Rändern der Verteilung angesiedelt sind. Die Position der Quantile lässt sich am einfachsten mit Hilfe der Summenhäufigkeitsfunktion F(x i ) ermitteln. Der Index i, bei dem F(x i ) den gesuchten Quantilswert erreicht, zeigt das jeweilige Quantil x i. Formal: x = x wenn F( x i ) > p und F x i < p Q p i ( 1 ) Q p

17 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 17 von 50 Arithmetisches Mittel Das arithmetische Mittel ( x, AM) ist das gebräuchlichste Maß zur Kennzeichnung der zentralen Tendenz einer Verteilung auf Intervall- oder Rationalskalenniveau. Es wird zumeist einfach Mittelwert genannt. Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Messwerte x i (also vom n ersten Messwert i = 1 bis zum letzten Messwert i = n, vgl. xi i= 1 Summenzeichen) geteilt durch die Anzahl der Messwerte bzw. den AM = x = Umfang der Stichprobe n. n Falls bereits Häufigkeitsverteilungen für die einzelnen m Skalenwerte vorliegt, können auch die mit ihrer Häufigkeit f(x l ) xl f ( xl ) l= 1 multiplizierten Skalenwerte x l addiert und anschließend durch AM = x = n die Anzahl der Merkmalsträger n geteilt werden. Das arithmetische Mittel ( Mittelwert ) ist die Summe der Messwerte bzw. der mit ihren Häufigkeiten multiplizierten Skalenwerte geteilt durch den Umfang der Stichprobe. Je größer bei Stichproben die Anzahl der Werte (n) ist, um so besser wird der arithmetische Mittelwert ( x ) eine gute Schätzung für den wahren Mittelwert des Prozesses (μ). Geometrisches Mittel Das Geometrische Mittel muss beim Wachstumsprozessen verwendet werden, z.b. bei Wachstumsraten (Umsatzwachstum, Veränderung des Sozialproduktes,...) oder Verzinsungen. In diesem Fall sind die x i -Werte hier Wachstumsfaktoren eines y j (andern) Merkmals Y, z.b.: x j = y und der Mittelwert ist GM n = n i= 1 x j 1 i = n Endniveau Anfangsniveau Dabei stellt i den Zeitindex dar. Anfangsniveau bezieht sich dann auf den Absolutwert vor dem ersten Wachstum bzw. der ersten Verzinsung. Typen von Häufigkeitsverteilungen Aus der graphischen Darstellung einer Häufigkeitsverteilung lassen sich Aussagen über den jeweils vorliegenden Typ der Verteilung ablesen: Modalität der Verteilung - ohne Gipfel = Gleichverteilung - eingipflig = unimodal - zweigipflig = bimodal (Mehrgipflige Verteilungen weisen mitunter auf Fehler bei der Stichprobenauswahl hin. Man hat u.u. aus zwei Gruppen von Merkmalsträgern z.b. einer 5. und einer 12. Schulklasse eine gemeinsame Stichprobe hergestellt, obwohl sich beide Gruppen bezüglich einer Variable stark voneinander unterscheiden.) = n y y n 1

18 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 18 von 50 Lage der Verteilung: Symmetrie und Schiefe - symmetrisch (der Gipfel liegt in der Mitte; auf beiden Seiten des Gipfels gleich steil) - linksschief / rechtssteil (Gipfel rechts von der Mitte) - rechtsschief / linkssteil (Gipfel links von der Mitte) - J-Verteilung, abfallend (Gipfel sehr stark nach einer Seite verschoben) - U-Verteilung (entsteht durch Polarisierung) Die Position von arithmetischem Mittel (AM), Median (Md, ZW) und Modus (Mod) gibt Auskunft darüber, ob eine Verteilung rechtssteil, linkssteil oder symmetrisch ist: o rechtssteil/linksschief: AM < Md (ZW) < Mod o linkssteil/rechtsschief: AM > Md (ZW) > Mod o symmetrisch: AM = Md (ZW) = Mod Der Unterschied von Modus, Median und AM ist also ein Kennwert für die Schiefe der Verteilung. Bei Verteilungen mit extremen Messwerten ( Ausreißer ) werden mitunter nur die mittleren der Messwerte zur Bildung des Mittelwertes verwendet (z.b. nur die mittleren 80 %). Die restlichen Messwerte werden entweder nicht in die Berechnung einbezogen oder aber durch den Skalenwert, der den Ausreißern am nächsten liegt, ersetzt ( x 10%, 10%-Winsorisiertes AM). Normalverteilung Die wahrscheinlich häufigste Verteilung in der empirischen Wissenschaft ist die sog. Normalverteilung oder Gauß sche Glockenkurve. Die Normalverteilung ist das mathematische Modell einer symmetrischen, unimodalen Verteilung, wobei die Häufigkeiten zum Gipfel hin stärker zu- bzw. abnehmen als bei den Rändern (Glockenform).

19 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 19 von 50 Kennzahlen der Dispersion / Streuung Auch wenn sich die zentralen Tendenzen zweier Häufigkeitsverteilungen ähneln, können die Häufigkeiten der einzelnen Skalenwerte stark voneinander abweichen. Die Maßzahlen der Dispersion, Variation oder Streuung beschreiben diese Unterschiedlichkeit der Häufigkeitsverteilungen von Stichproben, auch wenn diese Stichproben dieselbe zentrale Tendenz (und dieselbe Größe) besitzen. Neben der Lage einer Verteilung ist diese durch ihr Aussehen, etwa ihre Breite bezeichnet: Wie verteilen sich die Ausprägungen des Merkmals um den Mittelwert?. Statistisch wird hier von Schwankung oder Streuung der Werte gesprochen, so dass die entsprechenden Kennzahlen als Streuungsmaße bezeichnet werden. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel für 3 verschiedene Verteilungen (Häufigkeitsauszählungen als Säulendiagramm). In allen drei Fällen wurden 50 Personen (aus drei Abteilungen) befragt: Bewerten Sie die Arbeitszeitregelung im Betrieb. Die Antworten in allen drei Abteilungen ergaben denselben arithmetischen Mittelwert von 4,0 aufweisen, die Verteilungen sehen aber unterschiedlich aus. Mit Streuungsmaßen kann das unterschiedliche Aussehen dieser drei Verteilungen, statistisch gesagt die unterschiedliche Schwankung gemessen werden. Spannweite / Range Das einfachste Streuungsmaß ist die Spannweite. Sie wird ermittelt, indem die kleinste Ausprägung von der größten abgezogen wird (Abt.1: 6 2= 4; Abt.2: 7 1= 6; Abt.3: 6 1= 5) und spiegelt damit die Breite der Verteilung wider. Der Range (Spannweite, Variationsbreite) ist die Differenz zwischen größten und kleinstem Messwert und gibt somit die Größe des Skalenbereichs an, in dem alle Messwerte liegen. Range = x max - x min Nachteil: Einzelne extreme Messwerte ( Ausreißer ) erhalten unverhältnismäßig großes Gewicht. Deshalb bestimmt man die Spannweite mitunter abzüglich der Extremwerte an beiden Enden der Verteilung - z.b. nur der mittleren 90 % der Werte, abzüglich der ersten fünf (0-5%) und der letzen fünf Perzentile (95-100%). Anmerkung: Für diskrete Daten ist Range = x max - x min +1

20 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 20 von 50 Mittlerer Quartilabstand Mit Hilfe der kumulierten Häufigkeiten bzw. Prozentränge lässt sich eine Verteilung leicht in vier Quartile (25%-Gruppen) aufteilen. Man bestimmte den mittleren Quartilabstand als die Hälfte der Differenz zwischen dem Skalenwert nach 25% (P 25 ) und nach 75% (P 75 ) der Merkmalsträger. Da sich die folgenden beiden Dispersionsmaße auf die Abstände von Messwerten zum arithmetischen Mittel beziehen, sind sie nur bei Intervallskalen sinnvoll, denn nur bei Intervallskalen lassen sich die Abstände zwischen Messwerten überhaupt bestimmen. Durchschnittliche (mittlere) Abweichung (AD) (average/mean deviation) Die mittlere/durchschnittliche Abweichung (AD) ist die Summe der Abstände aller Messwerte zum arithmetischen Mittel x geteilt durch die Anzahl der Messwerte n. Die Abstände von Messwerte x i und Mittelwert werden als Betrag, d.h. mit positivem Vorzeichen, geschrieben. Jeder einzelne Messwert geht in das Streuungsmaß ein! n xi x i= AD = 1 n Liegen die Häufigkeiten der einzelnen Messwerte x l vor, so kann man die mittlere Abweichung auch auf folgende Weise ermitteln (m bezieht sich auf die Anzahl der Skalenwerte x l ): m f ( xl ) xl x l= AD = 1 n Varianz (quadratische Abweichung) und Standardabweichung Üblichere Streuungsmaße messen die Abweichung der einzelnen Werte vom Mittelwert, was in der folgenden Abbildung veranschaulicht wird (am Beispiel von drei Personen aus Abt. 1). Als statistische Kennzahl dient wiederum ein Mittelwert dieser Abweichungen. Da es mitunter wünschenswert ist, besonders große Abweichungen der Messwerte vom Mittelwert besonders stark gewichtet in das Streuungsmaß einzubringen, kann man auf die Quadrate der Abweichungen zurückgreifen. Durch die Quadrierung bekommen größere Abweichungen ein größeres Gewicht. Außerdem werden durch die Quadrierung automatisch alle Abstände positiv, d.h. man muss nicht wie beim AD die Beträge der Abstände addieren.

21 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 21 von 50 Die Varianz σ 2 (quadratische Abweichung) ist die Summe der Quadrate aller Abstände zwischen den Messwerten und dem Mittelwert geteilt durch die Anzahl der Messwerte n. Dies entspricht dem arithmetische Mittel der Summe aller quadrierten Abstände zwischen Messwerten und Mittelwert der Messwerte. 2 σ n i= = 1 ( x x) i n 2 Auch hier kann natürlich auf die Häufigkeiten der Skalenwerte x l zurückgegriffen werden: m ( x x) 2 l f ( xl ) 2 l= σ = 1 n Die Standardabweichung σ (standard deviation, SD) ist die Wurzel aus der Varianz. σ = 2 σ = n i= 1 ( x x) i n 2 Auch hier kann natürlich auf die Häufigkeiten der Skalenwerte x l zurückgegriffen werden: m ( x x) 2 l f ( xl ) 2 l= 1 σ = σ = n Die Varianz und die Standardabweichung sind die gebräuchlichsten Kennwerte zur Beschreibung für die Streuung einer Häufigkeitsverteilung in der empirischen Forschung. Die Standardabweichung σ ist das handlichere Maß, weil sie auf derselben Einheit wie die Messwerte - und nicht auf deren Quadrate - beruht. Allerdings sind Varianz und Standardabweichung nur bei unimodalen und (zumindest annährend) symmetrischen Verteilungen wirklich aussagekräftig. Anmerkungen: Bei den obigen Formeln wird die Standardabweichung in zwei Rechenschritten bestimmt: Zunächst muss für jeden Messwert die Abweichung zum Mittelwert berechnet und erst anschließend kann der SD-Wert selbst bestimmt werden. Dies lässt sich durch folgende Formel vereinfachen (zur Herleitung vgl. Bortz 1999, S. 44). σ = n i= 1 n x 2 i x 2 In den Formeln für Varianz und Standardabweichung, wie sie sich in vielen Statistik- Lehrbüchern finden, wird nicht durch n sondern durch (n-1) geteilt: s 2 = n i= 1 ( x x) i n 1 2 und s = s 2 = n i= 1 ( x x) i n 1 2

22 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 22 von 50 Dies wird jedoch erst in der Inferenzstatistik notwendig, um erwartungstreue Kennwerte für die Schätzung der Streuung in unbekannten Grundgesamtheiten zu erhalten. Hierbei wird versucht, Aussagen über die Population (Grundgesamtheit) zu machen. Aber meistens kann man nicht die ganze Population erheben (aus Zeit- und Kostengründen). Also versucht man durch die Stichprobe eine Schätzung auf die Populationswerte zu machen. In der Notation der Statistik unterscheidet man dann zwischen Population und Stichprobe durch die Verwendung von griechischen (für Mittelwert und Standardabweichung der Population) und lateinischen Buchstaben(für ebendiese in der Stichprobe). Bedeutung der Standardabweichung Für eine Normalverteilung gilt, dass zwischen den Skalenwerten x + s und x - s genau 68,26 % (also ca. zwei Drittel) aller Merkmalsträger liegen. Im Bereich von x ± 2s befinden sich 95,44 % der Merkmalsträger. Diesen Umstand macht man sich in der Inferenzstatistik zunutze. Vergleich von Messwerten aus verschiedenen Messungen Wenn Merkmalsträger, die aus verschiedenen Stichproben stammen (z.b. Schüler aus verschiedenen Schulklassen), miteinander bezüglich der Position ihrer Merkmalsausprägung (z.b. einer Testnote) innerhalb der jeweiligen Stichprobe verglichen werden sollen, ist es sinnvoll, die Messwerte der Merkmalsträger auf alle Werte der betreffenden Messung (im Beispiel: der jeweiligen Schulklasse, aus der ein Schüler stammt) zu beziehen. Individuelle Ausprägungen (z.b. schulische Leistungen) werden also vor dem direkten Vergleich am jeweiligen Kollektiv relativiert. Hierbei gibt es zwei Möglichkeiten: 1. Durch einen Vergleich der Prozentränge der Merkmalsträger: Auf welchem Platz in der Rangordnung befindet sich die Person innerhalb des Kollektivs / der Stichprobe? 2. Oder durch eine Relativierung der Messwerte an der Standardabweichung im jeweiligen Kollektiv. Die Abweichung des jeweiligen Messwerts zum Mittelwert x wird durch die Standardabweichung der betreffenden Stichprobe dividiert. Führt man diese Transformation an allen Messwerten durch, so erhält man xi die sog. z-transformierten, z-standardisierten oder z-standardwerte zi = einer Verteilung. s Die z-standardwerte sind nichts anderes als in Standardabweichungen gemessene Abweichungseinheiten unter bzw. über dem Mittelwert. z-standardardwerte informieren über die relative Position eines Individuums in einem Kollektiv. Werden alle Messwerte einer normalverteilten Stichprobe z-transformiert, so erhalten wir eine sog. Standard-Normalverteilung, bei der gilt: Eine z-transformierte Verteilung hat einen Mittelwert x = 0 und eine Standardabweichung von s = 1. Beachte: 1. Die Varianz bzw. Standardabweichung ist nur bei normalverteilten Stichproben voll aussagekräftig. Diese Einschränkung gilt deshalb auch für die Vergleichbarkeit von z- Standardwerten aus verschiedenen Stichproben! 2. Messungen, die sich aus inhaltlichen Gründen nicht vergleichen lassen, sind natürlich auch nach einer z-transformation nicht miteinander vergleichbar! x

23 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 23 von 50 Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeitsrechnung dient der Beurteilung von Zähl- und Messergebnissen und bietet das Rüstzeug für die Erfassung von so genannten Zufallsvorgängen. Diese sind dadurch gekennzeichnet, dass bei ihrer Durchführung das Ergebnis nicht oder nur in gewissen Grenzen vorhersagbar ist (z.b. Wartezeiten, Reperaturdauer, Ausschussanteil oder das Werfen eines Würfels oder einer Münze). Das Gesetz der großen Zahl Dieses Gesetz besagt einfach ausgedrückt, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses bei vielen Versuchen, zum Beispiel beim mehrfachen Werfen einer Münze, der Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis annähert. Allerdings wird dieses Gesetz oft falsch interpretiert. So verlor beispielsweise ein Mathematiker in Frankfurt seinen Führerschein, weil er nicht mit zwei Kontrollen an einem Abend rechnete. Bei der ersten Kontrolle machten die Beamten noch vor dem Einsteigen den Mathematiker darauf aufmerksam, dass er in seinem alkoholisierten Zustand nicht fahren dürfte. Als der Mathematiker versicherte, dass er sich von seiner Frau nach Hause fahren lassen würde und sein Auto abschloss, fuhren die beiden Polizisten weiter. Als sie aber wenige Minuten später an derselben Stelle vorbeikamen, sahen sie ihn davonfahren. Mit einer solchen Kontrolle hatte ich nicht gerechnet, entschuldigte sich der Mathematiker. Vorhin wurde ich zum allerersten Mal überhaupt kontrolliert, und nach der Wahrscheinlichkeitsrechnung findet die nächste Kontrolle erst in hundert Jahren statt... Die Wahrscheinlichkeit, ein zweites Mal kontrolliert zu werden, ist allerdings statistisch gesehen genauso hoch wie die normale Wahrscheinlichkeit für die einfache Kontrolle. Es hat auch keinen Zweck, eine Bombe mit in das Flugzeug zu nehmen, weil die Wahrscheinlichkeit für zwei Bomben in einem Flugzeug sehr gering ist. Auch kann der Blitz zweimal in denselben Baum einschlagen. Und beim Lottospielen muss keine Zahl aufholen, weil sie weniger oft gezogen wurde und deshalb hinter den anderen Zahlen zurückliegt. Bei der falschen Anwendung dieses Satzes wird immer vergessen, dass die Kugeln beim Lotto nur bei unendlich vielen Ziehungen gleich oft fallen. Und was sind schon zehntausend Lottoziehungen gegen die Unendlichkeit. Nach dem französischen Mathematiker Joseph Bertrand haben Würfel und Lottokugeln weder Gewissen noch Gedächtnis, sie fallen immer mit der gleichen Wahrscheinlichkeit, egal ob zuvor im Spielkasino 4 mal Rot, 20 mal Rot oder 17 mal Schwarz gefallen ist.

24 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 24 von 50 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsexperiment, Ereignis Das klassische Beispiel eines Zufallsexperimentes oder einer Zufallsbeobachtung ist das Werfen einer Münze: der Vorgang kann beliebig oft wiederholt werden, alle möglichen Ausgänge sind bekannt (Kopf oder Zahl), aber es ist unmöglich, das konkrete Ergebnis einer Durchführung des Experimentes vorherzusagen. Die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißen Elementarereignisse. Die Menge aller Elementarereignisse nennt man Ereignisraum, Ω. Beispiele: Werfen einer Münze: Ω = {K,Z} Werfen von 2 Münzen: Ω = {KK, ZK, KZ, ZZ} Dies beschreibt auch das zweimalige Werfen derselben Münze. Werfen eines Würfels: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Werfen von 2 Würfeln: Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 5), (6, 6)} Messen der Länge eines zufällig gewählten Pfostens: Ω = [L s, L + s]. Es bezeichnet L den Sollwert und s ein Maß für die Ungenauigkeit der Säge. Lebensdauer einer zufällig gewählten Glühbirne: Ω = [0, ). Die Teilmengen von Ω nennt man Ereignisse (bei unendlichen Ereignisräumen führt aber nicht jede Teilmenge von Ω zu einem sinnvollen Ereignis). Beim zweimaligen Werfen einer Münze steht A = {KK, KZ} für das Ereignis, dass die zuerst geworfene Münze Kopf zeigt. Nicht immer sind die Elementarereignisse selbst interessant: es ist beispielsweise unmöglich festzustellen, ob die Länge eines Pfostens exakt L Meter beträgt. In der Praxis genügt es zu wissen, dass die Abweichungen vom Sollwert gewisse Toleranzen α nicht überschreiten. Man interessiert sich also für das Ereignis A = {l Є Ω: l Є [L α, L + α]}. Führt man das Zufallsexperiment durch, tritt das Ereignis A genau dann ein, wenn für das Ergebnis ω des Zufallsexperimentes ω Є A gilt. Ist das Ereignis A nicht eingetreten, dann ist das Gegenereignis Ā= Ω \ A (Omega ohne A) eingetreten. Bei einem Zufallsexperiment mit Ereignisraum Ω bezeichnet Ω das sichere Ereignis und Ø das unmögliche Ereignis. Wenn A und B Ereignisse sind, dann sind auch A U B und A B wieder Ereignisse. A U B (A vereinigt B) tritt genau dann ein, wenn mindestens eines der Ereignisse A oder B eintritt. A B (A geschnitten B) tritt genau dann ein, wenn beide Ereignisse A und B eintreten. Induktion folgt, dass man auf diese Weise endlich viele Ereignisse verknüpfen kann.

25 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 25 von 50 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff. Es gibt viele Ansätze, den Begriff der Wahrscheinlichkeit zu definieren. Manche davon sind zu speziell, andere führen schließlich auf ernste mathematische Schwierigkeiten. Erst die axiomatische Betrachtungsweise brachte ein befriedigendes theoretisches Fundament. Ausgehend von unserer intuitiven Vorstellung von Wahrscheinlichkeit, wollen wir uns jene Eigenschaften plausibel machen, welche die axiomatische Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung ausmachen. Betrachten wir den Wurf einer fairen Münze: fair bedeutet, dass das Ergebnis Kopf bzw. Zahl gleich wahrscheinlich ist. Damit meinen wir nicht, dass etwa bei einer Serie von 10 Würfen 5 mal Kopf und 5 mal Zahl fällt. Vielmehr stellen wir uns vor, dass die relative Häufigkeit des Ereignisses K bzw. Z sich immer weniger vom Wert ½ unterscheidet und drücken dies mit P(K) = P(Z) = ½ aus. Etwas allgemeiner: P(A) = α soll lim h r n ( A, n) = α zum Ausdruck bringen. Dabei bezeichnet h r (A, n) die relative Häufigkeit des Eintreffens des Ereignisses A bei einer n maligen Wiederholung des Zufallsexperimentes. Den genauen Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit können wir erst später mit dem Gesetz der großen Zahlen klären. Die nachstehende Abbildung zeigt eine Computersimulation einer Serie von Würfen einer Münze, bei der die relative Häufigkeit des Ereignisses Kopf verfolgt wurde. Wie erwartet, stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten sehr rasch beim Wert ½. Im Folgenden betrachten wir eine feste Anzahl von Wiederholungen des Zufallsexperimentes und schreiben daher h r (A) anstelle von h r (A, n). Unmittelbar einsichtig ist 0 h r (A) 1. Da A = Ω immer eintritt, gilt h r (Ω) = 1. Es seien nun A und B Ereignisse, welche in der Versuchsreihe mit den relativen Häufigkeiten h r (A) und h r (B) aufgetreten sind. Für einen endlichen Ereignisraum Ω gilt dann h r (A U B) = h r (A) + h r (B) h r (A B).

26 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 26 von 50 Dies ist eine unmittelbare Konsequenz der disjunkten Zerlegungen A U B = (A \ B) U (B \ A) U (A B) A = (A \ B) U (A B) B = (B \ A) U (A B) indem man auf die Anzahl der Elemente übergeht und durch n dividiert. Insbesondere gilt für Ereignisse, welche sich gegenseitig ausschließen, für welche also A B = zutrifft h r (A B) = h r (A) + h r (B). Es ist erstaunlich, dass diese wenigen Sätze ausreichen, um eine so reichhaltige Disziplin wie die Wahrscheinlichkeitsrechnung zu begründen. Es ist lediglich notwendig, die Addidivität auf abzählbar unendliche Systeme paarweise disjunkter (sich gegenseitig ausschließender) Mengensysteme auszudehnen. Eine Familie A i, i Є N, heißt paarweise disjunkt, wenn für jedes Paar (i, j), i j, A i A j = zutrifft. Definition: Kolmogorov sches Axiomensystem. Es sei E eine σ Algebra von Ereignissen in Ω und p eine Abbildung p: E R. P heißt Wahrscheinlichkeitsmaß (auch Wahrscheinlichkeitsverteilung), wenn folgende Axiome erfüllt sind: P(A) 0 für alle A Є E P(Ω) = 1 P ist σ additiv: D.h. für alle paarweise disjunkten Ereignisse A i, i Є N gilt Das Tripel (Ω, E, P) heißt Wahrscheinlicheitsraum. Berücksichtigt man noch, dass k die Anzahl genau jener Ergebnisse des Zufallsexperimentes sind, bei welchen das Ereignis A eintritt, welche also günstig für A sind, und dass n die Anzahl aller möglichen Ausgänge angibt, erhält man den Wahrscheinlichkeitsbegriff von Laplace P(A) = Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl der möglichen Fälle Es gibt allerdings auch Situationen, für welche ein endlicher Ereignisraum nicht geeignet ist. Man denke z.b. an die Brenndauer von Glühbirnen in Stunden, die Anzahl der Tippfehler pro Seite in diesem Skriptum, Anzahl der Blattläuse auf einem Apfelbaum einer Apfelplantage,...

27 Qualitätsmanagement: Begriffe und Formeln aus der Statistik 27 von 50 Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Ein Zufallsvorgang (z.b. das Werfen eines 6-seitigen Würfels) wird n mal durchgeführt, dabei tritt k mal das Ereignis A (z.b. die Augenzahl 6) ein. Nähert sich mit steigender Anzahl n der Anteil k/n einer festen Zahl, so heißt diese Zahl die Wahrscheinlichkeit von A. Man kann also sagen, die Wahrscheinlichkeit (Probability) von A (notiert als W(A) bzw. P(A)) ist der erwartete Anteil des Ereignisses A and der Gesamtzahl der Versuche. Anzahl der für A günstigen Fälle Günstige Es gilt somit W ( A) = P( A) = = Anzahl aller möglichen Fälle Mögliche Das so genannte sichere Ereignis (z.b. "Würfel zeigt eine Augenzahl") besitzt die Wahrscheinlichkeit 1 bzw. 100%. Das so genannte unmögliche Ereignis (z.b. "Würfeln der Augenzahl '7' auf einem 6-seitigen Würfel") besitzt die Wahrscheinlichkeit 0. Beispiel: Ein idealer Würfel (= ein Würfel bei dem jede Zahl gleich wahrscheinlich erscheint, d.h. also ein nicht gezinkter Würfel) wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (a) eine "6" (b) eine gerade Augenzahl zu werfen? Zu (a): Günstige = 1; Mögliche = 6 daher P(Wurf der Augenzahl "6") = 1/6 bzw. 16,67 % Zu (b): Günstige = 3 (nämlich die Augenzahlen "2", "4" und "6"); Mögliche = 6 daher P(gerade Augenzahl) = 3/6 = 1/2 bzw. 50%. Beispiel: Zwei ideale Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (a) wenigsten einmal "6" zu werfen (b) die Augensumme 8 zu werfen? Wir listen zunächst alle Möglichkeiten auf und zählen dann die jeweils Günstigen ab Günstige für (a) Mögliche (a) und Günstige für (b) Zu (a): P(wenigsten einmal "6") = 11/36 bzw. 30,56% Zu (b): P(Augensumme gleich 8) = 5/36 bzw. 13,89%. Beispiel: Das 2-malige Würfeln von 3 Würfeln hat 6 6 = mögliche Ausgänge, nämlich: 1.Wurf 2.Wurf Möglichkeit 1.Würfel 2. Würfel 3. Würfel 1.Würfel 2. Würfel 3. Würfel