Bernd Kuppinger. Finanzmathematik. WlLEY

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1 Bernd Kuppinger Finanzmathematik WlLEY

2 5 Inhalt Einleitung 13 1 Es geht ums Geld Zeit und Geld Inflation und Deflation Barwert und Endwert Nominalwert und Äquivalenzprinzip 22 Teil I: Einzelne Zahlungen 25 2 Zinsrechnung über ganze Jahre Definition wichtiger Begriffe Zinsberechnung über eine Periode/ein Jahr Vom Endwert zum Barwert Einfache Verzinsung über mehrere Perioden/mehrere Jahre Zinsanteil und Kapitalendwert Vom Endwert zum Barwert Unterschiedliche Zinssätze Vom Endwert zum Barwert bei unterschiedlichen Zinssätzen Zinseszinsrechnung über mehrere Perioden/Jahre Kapitalendwertberechnung mit Zinseszinsen Der Barwert in der Zinseszinsrechnung Zinseszinsrechnung mit unterschiedlichen Periodenzinssätzen Durchschnittliche Verzinsung Durchschnittliche Verzinsung bei einfacher Verzinsung Durchschnittszins bei exponentieller Verzinsung Die Ungleichheit von geometrischem und arithmetischem Mittel Anwendungsbeispiele für die lineare und die exponentielle Verzinsung Formelübersicht zu den Kapitel Unterjährliche Zinsrechnung Zum Unterschied zwischen Nominal-und Effektivzinssatz Unterjährlich lineare Verzinsung Der linear proportionale Zinssatz Konformer Zinssatz Konformer Zinssatz bei unterjährlicher Zinseszinsrechnung 46

3 6 Inhalt Linear proportionaler Zinssatz nicht mehr konform Der exponentiell proportionale Zinssatz Effektivzinssatz bei unterjährlicher Verzinsung - Effektivzins zum Ersten Zinsberechnungsmethoden Deutsche kaufmännische Methode (30/360) Französische Methode (act/360) Effektivzinsmethode (act/act) Anwendungsbeispiel Lieferantenkredit Stetige Verzinsung Grenzwert der stetigen Verzinsung Anwendungen der stetigen Verzinsung Unterjährliche Zinseszinsrechnung über mehrere Jahre Verwendung des linear proportionalen Zinssatzes Extremfall stetige Verzinsung Verwendung des exponentiell proportionalen Zinssatzes Gebrochene Exponenten in der Zinseszinsrechnung Gemischte Verzinsung Berechnung des Kontostandes bei unterjährlichen Ein- und Auszahlungen Barwert bei gemischter Verzinsung Die Ungerechtigkeit der gemischten Verzinsung Formelübersicht zu den Kapiteln 2 und 3 67 Teil II: Mehrere Zahlungen 71 4 Zahlungsströme Einleitung Finanzmathematische Bewertung von Zahlungsströmen Endwertberechnung Der Kalkulationszinssatz Kriterien für den Kalkulationszinssatz Zahlungsströme mit unterjährlichen Zahlungen Unterj ährliche Zinseszinsen Unterjährlich lineare Verzinsung Vergleich der beiden unterj ährlichen Varianten Formelübersicht 80 5 Rentenrechnung Zahlungsempfang oder Zahlungsleistung - kommt es darauf an? Rentenwert bei konstanter Rate und konstantem Zinssatz 84

4 5.2.1 Nachschüssige Zahlungsweise Anwendung der geometrischen Reihe Vorschüssige Zahlungsweise Unterjährliche Rentenzahlungen Unterjährliche Zinseszinsrechnung Gemischte Verzinsung Rentenwert bei unterschiedlichen Raten und Zinssätzen Unterschiedliche Zinssätze - Teilrenten Unterschiedliche Raten - Dynamische Renten Arithmetische Änderung der Rate Geometrische Änderung der Rate Formelübersicht 98 6 Kapitalaufbau und Kapitalverbrauch 6.1 Kapitalaufbau Nachschüssiger Kapitalverbrauch Berechnung der möglichen Entnahmerate Berechnung des benötigten Anfangskapitals Berechnung der möglichen Entnahmedauer Entnahme ohne Verbrauch - Ewige Rente Kapitalaufbau trotz Entnahme Unterjährliche Raten Vorschüssiger Kapitalverbrauch Kapitalverbrauch mit geometrischer Rate Bar-und Endwertberechnung Berechnung der möglichen Entnahmedauer Kombination von Kapitalaufbau und-verbrauch Jährliche Raten Unterjährliche Entnahme Unterbrechung zwischen Aufbau und Verbrauch Unterbrechungen innerhalb der Anspar- oder Verbrauchsphase Anfangs- und Endkapital ungleich null Formelübersicht Tilgungsrechnung 7.1 Begriffe Endfällige Darlehen Jährlich geleistete Zinszahlungen Zinszahlung am Ende der Laufzeit Tilgung in jährlichen Raten Ratentilgung 124

5 8 - Inhalt Annuitätentilgung Vergleich von Raten- und Annuitätentilgung Ein anderer Weg zur gleichen Erkenntnis Bestimmung der Laufzeit bei Raten- und Annuitätentilgung Tilgung in unterjährlichen Raten Unterjährlich lineare Verzinsung Unterjährlich exponentielle Verzinsung Effektivzinssatz von Krediten - Effektivzins zum Zweiten Zwei Ideen zur Effektivzinsbestimmung Tilgungspläne zur Effektivzinsbestimmung Vorgehensweise zur richtigen Effektivzinsermittlung Vergleich mit dem Effektivzins der unterjährlichen Zinseszinsrechnung Formelübersicht Wertpapiere - Kauf und Verkauf von Zahlungsansprüchen Allgemeines zu Kurs und Rendite Der Kurs als Werteverhältnis Die Rendite als Zinssatz Wertpapiere und Anleihen - Begriffe Zahlungsstrom einer festverzinslichen Anleihe Kurs einer Anleihe bei ganzjähriger Restlaufzeit Warum nicht lineare Diskontierung? Rendite einer festverzinslichen Anleihe Rendite mit Nominalwerten Rendite allgemein Negative Rendite = Verlust Rendite bei vorzeitigem Verkauf Erster Fall, Zinssatz gefallen Zweiter Fall, Zinssatz gestiegen Die Perspektive des Käufers Kursberechnung bei beliebiger Restlaufzeit Stückzins-und Kursberechnung Formelübersicht 159 Teil III: Investitionsrechnung Einzelne Investitionsprojekte Voraussetzungen und Begriffe Investition und Normalinvestition 162

6 Inhalt Umgang mit Unsicherheit - Modellcharakter der Investitionsrechnung Planungszeitraum, Abschreibungen und Steuern Finanzierungsarten Zahlungen während des Investitionsprozesses Ein kurzer Blick auf statische Verfahren Gewinnrechnung Dynamische Verfahren Die Wahl des Kalkulationszinssatzes Beispiel für die Investitionsrechnung Kapitalwertmethode Interpretation des Ergebnisses Der Endwert ist die anschaulichere Größe Zurück zum Barwert Deutung eines negativen Barwertes Fazit Kapitalwertmethode Exkurs - Kreditvergabe als Investition Amortisationsdauer Die Amortisationsdauer als Beurteilungskriterium Der innere Zins - Effektivzins zum Dritten Grafische Darstellung des inneren Zinssatzes Einfache Fälle Vermögensendwertmethode Kontenausgleichsverbot Kontenausgleichsgebot Methodenvergleich Steuerliche Effekte Veränderung des Kalkulationszinssatzes Anwendung auf das Einführungsbeispiel Erörterung des Ergebnisses Nicht-Normalinvestitionen Formelübersicht Vergleich von Investitionsprojekten Beispiel für die Vergleichsrechnung Vergleich der Kapitalwerte - Vorteil Investition Voraussetzungen für die Vergleichbarkeit Unterschiedliche Anfangsauszahlung Differenzinvestition Unterschiedliche Nutzungsdauer Einspruch - beim inneren Zins gewinnt Investition 2! Bestimmung des Schnittpunktes der Barwertkurven 194

7 10 Inhalt 10.4 Und was sagt die Amortisationsdauer? Fazit Ausschlussverfahren ohne Rechnung Formelübersicht Weg mit der Kristallkugel - Unsicherheiten bei Investitionsentscheidungen Unsichere Größen im Investitionsprozess Anwendung auf das Beispiel Einheitlicher Korrekturfaktor für die Rückflüsse Periodenbezogener Korrekturfaktor für die Rückflüsse Unsicherheit des Kalkulationszinssatzes Sensitivitätsanalysen Sensitivitätsanalyse eines Parameters Sensitivitätsanalyse mit zwei Parametern Wie Sie den vorteilhaften Bereich erkennen Alternativrechnungen Simultane Alternativrechnungen mit zwei Parametern Tabellarische Ergebnisübersicht Grafische Ergebnisaufbereitung - Risikoprofil Interpretation der Rechteck-Flächen Viele Parameter - Simulation mit Excel Auswahl der Parameter und Wahrscheinlichkeitsannahmen Idee der Simulation Zufall per Computer Umsetzung mit Excel Zuordnung von Parameterwerten Berechnung der Barwerte Klasseneinteilung und Häufigkeitszählung Darstellung als Risikoprofil Der Zufall im Zufall - Beweglichkeit" der Kurven Und was ist mit den Erwartungswerten? Formelübersicht 221 Teil IV Mathematische Grundlagen 12.1 Mathe? Konnte ich noch nie (leiden)! Hantieren mit einfachen Gleichungen Umstellen von Gleichungen

8 Inhalt Einseitige Operationen - Ausklammern und Erweitern Auflösungserscheinungen Hoch- und Tiefbau - Potenzen und Wurzeln Potenzgesetze Positiver ganzzahliger Exponent Negativer ganzzahliger Exponent Potenzierung von Potenzen Wurzeln - Bruchzahlen als Exponent Negative gebrochene Exponenten - Wurzeln im Nenner Einschränkungen beim Wurzelziehen Abhängigkeitsverhältnisse - Die Funktionen Darstellung von Funktionen Die Potenzfunktion Rollentausch - Die Exponentialfunktion Kommando zurück - Der Logarithmus Die Bauweise der Logarithmusfunktion Die verschiedenen Logarithmusfunktionen Verlauf der e- und der ln-funktion Anwendungen der Logarithmusfunktion Umkehrung der e-funktion Logarithmen von Produkten und Quotienten Logarithmen von Potenzen Umrechnung in eine andere Basis Spezielle Gleichungen Quadratische Gleichungen Die Lösungen einer quadratischen Gleichung Polynomiale Gleichungen und die Regula falsi Die Regula falsi Zweite Näherung Der Excel-Solver Aktivierung des Solvers Aufruf des Solvers Wurzelgleichungen Folgen, Reihen und Summen Das diskrete Pendant der Funktionen - die Folgen Die arithmetische Folge Die geometrische Folge Summen und Reihen Summenschreibweise Rechenregeln für Summen Berechnung einzelner Summen Summenberechnung mit der arithmetischen Reihe Summenberechnung mit der geometrischen Reihe 259

9 12 Inhalt Herleitung von Formel Unendliche Reihen Prozente und Prozentpunkte Prozentuale Änderungen berechnen Prozentangabe in absoluten Wert umrechnen Neuen Wert berechnen Zurück zum bisherigen Wert rechnen Prozentpunkte - Änderung von prozentual angegebenen Werten 266 Lösungen zu den Übungsaufgaben 269 Literaturverzeichnis 299 Index 301

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