Skript zur Vorlesung Physik III: Optik 1

Transkript

1 Skipt zu Volesung Physik III: Optik 1 I. Einfühung Im ditten Semeste weden die Gundlagen de Optik bespochen. Volesungsbegleitend gibt es ein Skipt, das eine kuze Zusammenfassung de Volesungsinhalte wiedegibt. Das Skipt wid im Intenet zu Vefügung stehen, kann abe nicht das eigene Studium von Lehbüchen esetzen. Auf unsee Webpage finden Sie neben dem Skipt auch jeweils die Übungsblätte und im Anschluss an die Übungen Lösungsvoschläge zu den Aufgaben. Beachten Sie, dass innehalb des Textes in de Regel auf Vektosymbole etc. vezichtet wude. Liteatu zum ditten Semeste: Eugene Hecht, Optics, Addison Wesley Publishing (übesetzt im Oldenbug Velag). Wolfgang Stößel, Fouieoptik, Spinge Velag. Pete Gosse, Feie Elektonen in Festköpen, Spinge Velag. Wolfgang Demtöde, Expeimentalphysik : Elektizität und Optik, Spinge Velag. Miles V. Klein, Thomas E. Futak, Optics, John Wiley Velag. II. Wiedeholung: Maxwell-Gleichungen und elektomagnetische Wellen im Vakuum In de Volesung Physik II haben Sie gelent, dass elektomagnetische Wellen eine Lösung de Maxwell schen Gleichungen dastellen. Da das Semeste beeits einige Monate zuück liegt, scheint es geechtfetigt noch einmal kuz die wesentlichen Gundzüge de Maxwell schen Gleichungen zu wiedeholen. Elektische Feldgößen sind das elektische Feld E, die elektische Veschiebung D, die Polaisation P, sowie die feie und gebundene (stuktubedingte) Ladungsdichte ρ fei und ρ gebunden. Das elektische Feld sieht sowohl die feie als auch die gebundene Ladungsdichte, dies dückt sich in de Quellengleichung aus: 1 E = ( ρ fei + ρ gebunden ) (II.1) ε Die elektische Veschiebung D ist festgelegt duch: D = ε E + P (II.) Die elektische Veschiebung beinhaltet die Polaisation, die mit de gebundenen Ladung (stuktubedingten Ladung, d.h. Ladungen die Bestandteile de Atome ode Moleküle des Dielektikums sind) veknüpft ist: P = ρ gebunden (II.3) Die Quellgleichung lautet dahe fü die elektische Veschiebung: D = ρ fei (II.4) 1 Alle Rechte vobehalten. 1

2 In einem Dielektikum hängt die elektische Veschiebung in einfachste Näheung linea vom elektischen Feld ab: t D = ε ε E (II.5) wobei die elative dielektische Funktion ε ein Tenso zweite Stufe ist. Magnetische Feldgößen sind das magnetische Feld B, die magnetische Eegung H, die Magnetisieung M, sowie die feien und gebundenen Stomdichten j fei und j gebunden. Die gebundene Stomdichte steht mit den molekulaen ode atomaen magnetischen Momenten einschließlich de inneen magnetischen Momente (Spin) in Zusammenhang. Fü das Magnetfeld B gibt es keine magnetischen Ladungen, so dass das Magnetfeld B stets quellfei ist: B = Das Magnetfeld B sieht sowohl die gebundenen als auch die feien Stöme, dies wid ausgedückt duch das Ampee sche Gesetz: B = µ ( j fei + j gebunden ) (II.6) Die magnetische Eegung H ist übe die Magnetisieung mit dem Magnetfeld B veknüpft: B µ (II.7) = ( H + M ) wobei die Magnetisieung M mit den gebundenen Stömen übe: M = µ (II.8) j gebunden zusammenhängt. In einfachste Näheung scheibt man fü den Zusammenhang zwischen dem Magnetfeld B und de magnetischen Eegung: t B = µ µ H (II.9) wobei µ de elative magnetische Pemeabilitätstenso ist. Fü die Existenz elektomagnetische Wellen ist es nun besondes wichtig zu beachten, dass ein zeitlich veändeliches magnetisches Feld ein elektisches Wibelfeld hevouft. Dies wid im Faaday schen Induktionsgesetz zum Ausduck gebacht: B E = (II.1)

3 Die Wikung des Faaday schen Induktionsgesetzes ist in eine Skizze veanschaulicht, die aufzeigt, dass ein zeitlich veändeliches magnetisches Feld zu einem elektischen Wibelfeld füht. Im Ampee schen Gesetz muss jetzt noch beücksichtigt weden, dass ein zeitlich veändeliches elektisches Feld ebenfalls eine Quelle fü das magnetische Feld dastellt. Als Beispiel zu Veanschaulichung dient ein (leee) Kondensato, de duch einen Stom I aufgeladen wid. Im Innenbeeich des Kondensatos findet man ein zeitlich veändeliches elektisches Feld, das Anlass zu einem magnetischen Wibelfeld gibt: Um die Beziehung zwischen den zeitlich veändelichen elektischen und magnetischen Felden im Ampee schen Gesetz unabhängig vom Medium zu fomulieen, vewendet man die von de Mateie unabhängigen D-und H-Felde: H = j fei D + (II.11) Veanschaulicht ist de Zusammenhang mit einem zeitlich veändelichen elektischen Feld das Anlass zu einem magnetischen Wibelfeld gibt. 3

4 Zusammen mit de Kaftbeziehung auf eine bewegte Ladung: F = q (II.1) ( E + v B) weden alle elektomagnetischen Phänomene beschieben. In de Optik weden wi uns deshalb im folgenden ausfühlich mit den Konsequenzen de Gleichungen (II.1) bis (II.1) befassen um die faszinieenden optischen Eigenschaften de Mateie besse kennen zu lenen. Im Vakuum kann aus den Maxwell schen Gleichungen die Wellengleichung fü das elektische Feld E abgeleitet weden: B E E E = = B = ε µ E = ε µ (II.13) Eine analoge Gleichung folgt fü das magnetische Feld B. In de Optik echnet man gene mit komplexen Exponentialfunktionen. Dabei hat de Realteil physikalische Bedeutung. Solange man nu lineae Opeationen ausfüht, lässt man de Einfachheit halbe das Realteilsymbol weg. Das geht abe nicht meh, wenn man mit nichtlineaen Opeationen abeitet (z.b. Quadieen bei de Intensität des elektischen und magnetischen Feldes), hie sollte man zuest den Realteil bilden und mit diesem abeiten (siehe III). De fü die Optik wichtigste Wellentyp ist die ebene Welle. Wenn die Feldstäken nu von de Zeit und de Ausbeitungsichtung ab, nicht hingegen von den Koodinaten senkecht zu Ausbeitungsichtung nennt man die Welle homogen. Eine besondes einfache Welle ist die ebene, monochomatische Welle. Als Beispiel wid eine Welle angegeben, die sich in de z- Richtung ausbeitet, wähend das elektische Feld in de x- und das magnetische Feld in de y- Richtung schwingt: 4

5 E E( = exp { i( ωt kz) } (II.14) und: B( = E cexp ω { i( t kz) } (II.15) Die ebene elektomagnetische Welle ist ebenfalls gaphisch veanschaulicht, zu beachten ist, dass sowohl das elektische als auch das magnetische Feld in allen Punkten des Raumes in Phase schwingen. Ebene elektomagnetische Wellen sind natülich nicht die einzigen Lösungen de Maxwell-Gleichungen in Mateie, weitee Beispiele sind zylindische Wellen und Kugelwellen. In Gleichung (II.14) und (II.15) änden die elektischen und magnetischen Felde E und H ihe Richtung nicht, eine solche Welle heißt linea polaisiet. Wenn man zwei senkecht zueinande linea polaisiete Wellen E 1 und E übelaget: Ex E ( 1 = cos{ kz ω t} E( = E y cos{ kz ωt + ϕ} (II.16) kann man damit neben linea polaisieten Wellen auch zikula und elliptisch polaisiete Wellen bescheiben: { kz ωt} { kz ωt + } Ex cos E( = E1( + E( = E y cos ϕ (II.17) Wenn die Phasenveschiebung ϕ zwischen den Wellen Null ode ein ganzzahliges Vielfaches von ± π ist, sind die Wellen in Phase. Die esultieende Welle hat dann einen äumlich festen 5

6 elektischen und damit auch einen äumlich festen magnetischen Feldvekto. Die Welle ist also wiedeum linea polaisiet. π Wenn die beiden Wellen eine Phasenveschiebung von ± mπ aufweisen, ehält man fü die esultieende Welle: Ex cos{ kz ωt} E( = E1( + E( = E y sin{ kz ωt} (II.18) In diese elliptisch polaisieten Welle sind sowohl de elektische (als auch de magnetische) Feldvekto nicht meh äumlich konstant. Die Endpunkte de Feldvektoen bescheiben in diesem Fall Schaubenlinien. De Betag des elektischen Feldvektos ist zeitlich und äumlich nicht konstant, e vaiiet zwischen den Amplituden E x und E y de einzelnen Teilwellen. Fü den Spezialfall, dass beide Wellen gleiche Amplituden haben, bescheibt (II.18) zikula polaisietes Licht. Fü zikula polaisietes Licht ist de Betag des elektischen (und ebenso auch des magnetischen) Feldvektos zeitlich und äumlich konstant. Veanschaulicht ist in eine Abbildung die Schaubenlinie des elektischen Feldes fü echtszikula polaisietes Licht. 6

7 Duch Wahl de Phasenveschiebung ϕ kann man unteschiedliche Polaisationszustände hestellen, dies ist ebenfalls mit eine Gaphik veanschaulicht. Fü mathematisch Inteessiete: Polaisetes Licht wid seh gene mit Jones Vektoen beschieben. Die Technik kann auf kohäentes, polaisietes Licht angewendet weden und hilft bei de Duchechnung von polaisationsoptischen Stahlengängen. In de Bescheibung wid angenommen, dass sich das Licht entlang de z-achse bewegt. De elektische Feldvekto hat dann Komponenten in de x- und y- Ebene, die zu einem zweikomponentigen Vekto zusammengefasst weden: E E = E x y ( ( (II.19) Wenn man den Vekto E kennt, hat man alle Infomation übe den Polaisationszustand de Welle. Zwischen den beiden Feldamplituden kann es natülich eine Phasenveschiebung geben. Hoizontal und vetikal polaisiete Zustände sind duch die folgenden Vektoen bestimmt: E h E = E iϕ x xe = Ev iϕ y ye (II.) In nomiete Fom wid die hoizontale und vetikale Polaisationsichtung duch Einheitsvektoen beschieben. Eine unte 45 polaisiete Welle wid dann in nomiete Fom duch folgenden Vekto beschieben E 45 = (II.1) Solche nomieten Vektoen weden Jones Vektoen genannt. Bei echtszikula polaisietem Licht läuft die y-komponente um 9 de x-komponente voaus. In nomiete Fom weden echts- bzw. linkszikula polaisietes Licht duch komplexe Vektoen beschieben E R = 1 1 E i L = 1 1 i (II.) 7

8 Man nennt zwei Polaisationszustände, fü die das Skalapodukt ihe Jones-Vektoen veschwindet othogonal. Mit zweien solche Vektoen hat man ein othonomales Set an Vektoen, die man benutzen kann um beliebig polaisietes Licht in othogonale Polaisationszustände zu zelegen. Othogonal polaisiete Zustände sind z.b. vetikal und hoizontal linea polaisietes Licht, abe auch echts- und linkszikula polaisietes Licht. Inteessant wid es nun, wenn man Licht duch ein optisches Bauelement schickt. In einem solchen Bauelement kommt Licht mit einem bestimmten Polaisationszustand an (chaakteisiet duch den Jones Vekto E i ) und es velässt das Bauelement in einem i.a. andeen Polaisationszustand (beschieben mit dem Jones Vekto E t ). Das optische Bauelement hat also E i in E t tansfomiet, ein Pozess de mit eine x Matix beschieben wid: a E = a 11 1 t E t a13 a14 (II.3) Das paktische an de Jones-Dastellung von polaisietem Licht ist nun, dass ein polaisationsoptische Aufbau vollständig mit Matixmultiplikationen beschieben weden kann. Fü veschiedene optische Bauelemente, die wi im einzelnen im weiteen Velauf de Volesung nähe kennen lenen weden, sind deen Jones Matizen in eine Tabelle aufgelistet. 8