Über das Gramsche Gesetz bei der Riemannschen Zetafunktion

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1 Bayerische Julius-Maximilias-Uiversität Würzburg Diplomarbeit Über das Gramsche Gesetz bei der Riemasche Zetafuktio Nora Reiter März 01 Betreuer: Prof. Dr. Jör Steudig

2 Ihaltsverzeichis 1 Eiführug Motivatio Notatio Die Eigeschafte der Riemasche Zetafuktio Die approximative Fuktioalgleichug Riemas Arbeit Die Fuktioe Zt) ud θt) Die Fuktio St) Grampukte Das Gramsche Gesetz Das schwache Gramsche Gesetz Die Arbeit vo rudgia.1 Eiführug Der Satz vo Kai-Ma sag Ei Resultat über N G ) Misserfolg des schwache Gramsche Gesetzes Erfolg des schwache Gramsche Gesetzes Die Dedekidsche Zetafuktio Eiführug Eigeschafte vo ζ K s) Weitere Fuktioe ud Grampukte Zwei Hilfssätze Misserfolg des schwache Gramsche Gesetzes vo ζ K s) Erfolg des schwache Gramsche Gesetzes vo ζ K s) Quadratische Zahlkörper Eiführug Eigeschafte vo ζ Q d) s) Die Dirichletsche L Fuktio Die Fuktio St, χ) Die Aahme 3.6 ud 3.7 für ζ Q d) s) Die Aahme 3.10 ud 3.11 für ζ Q d) s) Kreisteilugskörper Eiführug

3 Ihaltsverzeichis 5. Eigeschafte vo Qζ ) Eigeschafte vo ζ Qζ)s) Die Aahme 3.6 ud 3.7 für ζ Qζ)s) Die Aahme 3.10 ud 3.11 für ζ Qζ)s) Ausblick 75 Literaturverzeichis 76 3

4 1 Eiführug 1.1 Motivatio Der deutsche Mathematiker Berhard Riema 186 bis 1866) schrieb im Jahr 1859 eie eizige Arbeit zur Zahletheorie, Über die Azahl der Primzahle uter eier gegebee Größe. I diesem achtseitige Artikel stellte er viele eue Idee zum Studium der Primzahle vor, die die Forschug auf diesem Gebiet auf Jahrzehte befruchte sollte. Ausgagspukt vo Riemas Arbeit war die Gleichug ζs) := 1 s = p =1 1 1 p s. Diese war bereits Euler 1707 bis 1783) bekat, der ζs) allerdigs ur als Fuktio eier reelle Veräderliche studierte. Riema fasste s als komplexe Variable auf ud kote mit Methode der Fuktioetheorie die Bedeutug der ach ihm beate Zetafuktio für die Verteilug der Primzahle aufzeige. Nebe dem Beweis, dass sich ζs) aalytisch ach C fortsetze lässt ud eier Fuktioalgleichug geügt, die das Argumet s auf 1 s bezieht, ethält die Arbeit Vermutuge ud Beweisskizze über de Zusammehag zwische der Zetafuktio ud der Verteilug der Primzahle. Uabhägig voeiader kote Hadamard ud de la Vallée Poussi im Jahre 1896, aufbaued auf de Idee Riemas de Primzahlsatz beweise. Dieser besagt, dass sich die Azahl πx) der Primzahle kleier gleich x asymptotisch wie x/ log x verhält. Eie herausragede Bedeutug spiele i diesem Zusammehag die Nullstelle der Zetafuktio. Riema gelag es, eie zu πx) verwadte Fuktio über die Nullstelle vo ζs) im Streife 0 < Res) < 1 auszudrücke ud stellte Vermutuge über die Azahl ud Lage dieser Nullstelle auf. Die berühmte Riemasche Vermutug besagt, ζs) besitze keie Nullstelle im Bereich Res) > 1. Währed die eie Mathematiker auch mehr als 150 Jahre ach Riemas Veröffetlichug och ach eiem Beweis dieser Behauptug suche, bereche adere Nullstelle vo ζs) explizit, um die Riemasche Vermutug zumidest für eie edliche Azahl a Nullstelle zu zeige oder auch um - bisher vergeblich - Gegebeispiele zu fide. Eier der Pioiere auf diesem Gebiet war der däische Mathematiker Jørge Gram, der im Jahre 1903 die erste 15 Nullstelle vo ζs) im Streife 0 < Res) < 1 berechete ud zeigte, dass diese auf der Gerade Res) = 1 liege. Gram machte darüber hiaus eie bedeutede Beobachtug, de die Nullstelle vo ζ 1 + it) ud vo Im ζ 1 + it) trate stets im Wechsel auf. Dieses heute als Gramsches Gesetz bekate Phäome ist zwar icht allgemei gültig, hat aber deoch wichtige Awedug bei der recherische Utersuchug der Riemasche Vermutug. Beweise der Riemasche Vermutug für 4

5 KAPIEL 1. EINFÜHRUNG bestimmte Nullstelle des Streifes 0 < Res) < 1 bestehe im Wesetliche auf der Verifikatio des Gramsche Gesetzes. I dieser Arbeit werde wir i Kapitel der Arbeit vo rudgia folge ud zeige, dass das Gramsche Gesetz bei eiem positive Ateil aller atürliche Zahle fehlschlägt. Des Weitere werde wir aufzeige, dass eie schwächere Versio, das sogeate schwache Gramsche Gesetz, für eie positive Ateil aller atürliche Zahle erfüllt wird. I Kapitel 3 werde wir versuche, die Ergebisse aus Kapitel auf Dedekische Zetafuktioe zu übertrage. Dabei werde wir eiige Aahme mache müsse. I de beide aschließede Kapitel spezialisiere wir us auf die Dedekidsche Zetafuktio zu quadratische Zahlkörper ud Kreisteilugskörper. 1. Notatio Wir werde i dieser Arbeit die gägige Bezeichuge aus der aalytische Zahletheorie verwede, dere Bedeutuge sich aus dem jeweilige Zusammehag erschließe sollte, deoch sei auf Folgedes higewiese. Positive Kostate werde mit c bezeichet, wobei sich die Werte vo c a verschiedee Stelle uterscheide köe. Beziehe wir us i eiem Kotext auf dieselbe Kostate, so werde wir diese mit c i bezeiche, wobei i = 1,, 3,.... Der Buchstabe p bezeiche stets eie Primzahl ud P sei die Mege aller Primzahle. Die Ladausymbole werde auf folgede Weise verwedet: Sei Ω C ud f, g zwei Fuktioe mit f : Ω C ud g : Ω [0, ). So bedeutet fx) = O gx)), dass es eie Kostate c mit fx) cgx) für alle x Ω gibt. Machmal werde wir auch die hadlichere Schreibweise fx) gx) statt fx) = O gx)) beutze. Schreibe wir fx) gx), so existiere positive Kostate c 1 ud c, die c 1 fx) < fx) gx) < c fx) erfülle. Für de Spezialfall lim x a gx) = 1 schreibe wir fx) gx). 1.3 Die Eigeschafte der Riemasche Zetafuktio Die Riemasche Zetafuktio ist i der Halbebee σ > 1 defiiert durch ζs) = s, 1.1) wobei wir der raditio vo Riema folge ud die komplexe Veräderliche mit =1 s = σ + it bezeiche. Die Dirichlet-Reihe 1.1) beschreibt ach dem Satz vo Weierstraß eie holomorphe Fuktio ud kovergiert ormal i σ > 1, bzw. absolut ud gleichmäßig i σ 1 + ε, für ei ε > 0. Die Riemasche Zetafuktio lässt sich meromorph ach C fortsetze, wobei sie eie eifache Pol i s = 1 mit Residuum 1 besitzt. 5

6 KAPIEL 1. EINFÜHRUNG Bereits Euler war 1737 die folgede Produktdarstellug bekat ζs) = p 1 p s ) 1, 1.) wobei σ > 1 ist ud das Produkt über alle Primzahle p erhobe wird. Die Idetität zwische der Dirichlet-Reihe 1.1) ud dem Euler-Produkt 1.) lässt sich mittels der eideutige Primfaktorzerlegug zeige. Da das Eulerprodukt absolut koverget ist, folgt dass ζs) keie Nullstelle mit σ > 1 besitzt. Riema fad heraus, dass ζs) der folgede Fuktioalgleichug geügt. mit ζs) = χs)ζ1 s), 1.3) sπ ) χs) = s π s 1 si Γ 1 s) Γ ) 1 s = π s 1 Γ s ). 1.4) Γs) ist dabei die Gammafuktio, die für σ > 0 folgedermaße defiiert ist Γs) = 0 u s 1 exp u) du. Ahad der Fuktioalgleichug 1.3), der Defiitio 1.4) vo χs) ud de Eigeschafte der Gammafuktio folgt, dass die eizige Nullstelle vo ζs) im Bereich σ < 0 a de Stelle s =, 4, 6,... liege. Diese Nullstelle sid eifach ud werde als triviale Nullstelle bezeichet. Vo u a befasse wir us ur och mit de sogeate ichttriviale Nullstelle vo ζs), die im Bereich 0 σ 1, dem kritische Streife, liege müsse. Zur Vereifachug werde wir diese vo u a eifach ur als Nullstelle bezeiche. Hadamard ud de la Vallée Poussi zeigte 1896 uabhägig voeiader, dass diese Nullstelle im Iere des kritische Streifes liege siehe dazu zum Beispiel Kapitel 4 i [5]). Ahad des Eulerproduktes 1.) sieht ma, dass ei Zusammehag zwische der Verteilug der Primzahle ud der Riemasche Zetafuktio existiert. Über die Azahl πx) aller Primzahle p x ka ma folgedes aussage: Satz 1.1. Primzahlsatz) Für x gilt πx) x log x. 6

7 KAPIEL 1. EINFÜHRUNG Mit Hilfe der Nullstelle der Riemasche Zetafuktio ka ma de Primzahlsatz auch mit eiem Fehlerterm agebe. Dafür wird ei ullstellefreier Bereich vo ζs) liks der Kovergezabszisse beötigt. Mit dem bisher beste Ergebis, erzielt vo Korobov ud Viogradov, erhält ma πx) = x du log u + O { x exp c log x) 3 5 log log x) 1 5 Eie Beweis obiger Aussage fidet ma i der Stadardliteratur zur Riemasche Zetafuktio, z.b. i [1] oder [5]. 1.4 Die approximative Fuktioalgleichug Zur Lokalisatio der Nullstelle vo ζs) auf der kritische Gerade s = 1 + ir muss ma die Riemasche Zetafuktio dort zumidest äherugsweise bestimme köe. Hardy ud Littlewood fade 191 eie Gleichug, die ζs) mit Hilfe vo zwei Summe approximiert. Aufgrud ihrer Ählichkeit zur Fuktioalgleichug 1.3) wird sie approximative Fuktioalgleichug geat. Satz 1.. approximative Fuktioalgleichug) Es sei 0 < σ < 1, πxy = t mit x, y 1. Da gilt ζs) = s + χs) { s 1 + O x σ + t 1 σ y σ 1}. x y )}. Für de Beweis der approximative Fuktioalgleichug beötige wir die folgede zwei Lemmata. Lemma 1.3. Es sei F : [a, b] R stetig differezierbar ud G : [a, b] R stetig, weiterhi gelte F x) 0 für alle x [a, b]. Außerdem sei die Fuktio G F x) mooto. Da gilt b exp if x)) Gx)dx 4 Ga) F a) + 4 Gb) F b). a Der Beweis erfolgt mittels geeigeter Substitutio ud Awedug des Mittelwertsatzes auf de Real- ud Imagiärteil. Für de ausführliche Beweis siehe Lemma i [3]. Dort fidet ma ebeso de Beweis der folgede Aussage siehe Satz i [3]). Satz 1.4. va der Corputsche Summeformel) Wir setzte e x) = exp πix). Sei η > 0 gegebe, da gibt es eie Kostate c = cη) 7

8 KAPIEL 1. EINFÜHRUNG mit der folgede Eigeschaft: Gegebe seie reelle Zahle a < b ud stetig differezierbare Fuktioe f : [a, b] R, g : [a, b] [0, ). Ferer seie f, g ud g mooto falled. Da gilt mit a< b g)e f)) = f b) η<h<f a)+η b a gρ)e fρ) hρ) dρ + R, R cη) g a) + ga) log f a) + f b) + )). Damit gelig us u der Beweis der approximative Fuktioalgleichug. Beweis vo Satz 1.. Aahme: Sei y gaz ud gerade. Mit der Wahl gρ) = ρ σ ud fρ) = t π log ρ i der va der Corputsche Summeformel 1.4 erhält ma: s = ) t σ e π log x< N = = x< N f x) η<h<f N)+η N t πn η<h<y+η x N x ) t ρ σ e log ρ hρ dρ + R π ρ s e hρ) dρ + R, wobei sich leicht bereche lässt, dass R die Gleichug { t R = O x σ log x + t )} N + erfüllt. Wir wähle u η = 1 4 ud setze N > t voraus. Da lautet die Summatiosbedigug a h: 0 h y 1. Mittels der Gleichug ζs) = { s + 1 s s 1 + O 1 + s ) } N σ σ N siehe Aussage 1.66) i [3]) folgt u ζs) = x s + N 1 s y 1 1 s + x1 s 1 s + y 1 N = s + x h=1 x h=1 N x ρ s e hρ) dρ + O { x σ log t } { } t + O σ N σ { } t ρ s e hρ) dρ + O σ N σ + x σ log t. 8

9 KAPIEL 1. EINFÜHRUNG Wir werde jetzt die Itegratio i de Fourier-Itegrale vo [x, N] auf [0, ) ausdehe. Nach Lemma 1.3 gilt für 1 h y 1 ρ s e hρ) dρ 4 N σ t N N + πh c N σ. h Außerdem erhält ma mittels partieller Itegratio x { } x 1 σ 0 ρ s e hρ) dρ = O t x 1 σ + h t h t πx Damit gelagt ma u ach eiige Recheschritte zu der Gleichug ζs) = s + x y 1 h=1 0 { } t ρ s e hρ) dρ + O σ N σ + x σ log t wobei jetzt ur och das Restglied vo ζs) vo N abhägig ist. Wege ergibt sich mit N die Beziehug ζs) = x 0 ρ s e hρ) dρ = πi) s 1 Γ1 s) s + πi) s 1 Γ1 s) h y h s 1 + O { x σ log t }.., Es verbleibt zu zeige, dass sich πi) s 1 Γ1 s) ur weig vo χs) uterscheidet: π) s χs) = cos ) πs s Γs) = π) s 1 πs ) si Γ1 s) = πi) s 1 Γ1 s) + πi) s 1 Γ1 s) + O {exp πt)}. Damit ergibt sich das gewüschte Resultat. Schließlich ist och die Aahme y sei gaz ud gerade zu elimiiere. Sei y x aber icht otwedig y N. Da sei y = y ud x durch πx y = t gegebe. Wede wir Satz 1. u mit x, y a so ädert sich die rechte Seite wege x x 1 ur um O x σ ). Damit gilt die approximative Fuktioalgleichug für alle y x. Ist u y < x so wede wir das bereits Bewiesee auf 1 s astelle vo s a ud erhalte ζ1 s) = s 1 + χ1 s) s + O { y σ 1 log t }. y x Mit χs)χ1 s) = 1, der Fuktioalgleichug 1.3) ud der Stirligsche Formel siehe zum Beispiel Satz 1.8) folgt u das gewüschte Edresultat. 9

10 KAPIEL 1. EINFÜHRUNG Etlag der kritische Gerade gilt für x y, dass die Fehlerterme i Satz 1. gleich sid. 1.5 Riemas Arbeit Eie der Vermutuge aus Riemas Arbeit wurde 1905 durch vo Magoldt bewiese. Bezeiche N ) die Azahl der Nullstelle vo ζs) mit 0 < σ < 1 ud 0 < t <. Da gilt: Satz 1.5. Riema-vo Magoldt-Formel) N ) = ) π log π π + O log ). Ei Beweis dieser Aussage fidet sich i [11], 1.4. Noch ugelöst ist die berühmte Riemasche Vermutug, auch we sie Gegestad vo viele mathematische Utersuchuge ist, siehe zum Beispiel X i [1]. Vermutug 1.6. Riema) Alle ichttriviale Nullstelle vo ζs) liege auf der kritische Gerade s = 1 + ir. Selberg zeigte als Erster, dass dies für eie positive Ateil aller Nullstelle gilt. Im Jahr 011 bewiese Bui, Corey ud Youg, dass mehr als 41% der Nullstelle auf der kritische Gerade liege siehe [4]). Aus der Riemasche Vermutug 1.6 ka ma die och offee Lidelöfsche Vermutug aus dem Jahr 1905 folger. Die Umkehrug gilt allerdigs icht. Vermutug 1.7. Lidelöf) Für jedes ε > 0 gilt ζ 1 + it) t ε bei t. Das bisher beste Resultat lieferte Huxley, der 005 zeigte, dass ζ 1 + it) t ɛ gilt. Riema führte i seier Arbeit die gaze Fuktio ξs) ei, welche die Schwierigkeite vo ζs) bei der Polstelle s = 1 umgeht. Ma schreibt ξs) = 1 s s 1) π s Γ 1 s ) ζs). 1.5) Mit Hilfe der Eigeschafte vo Γs) ud ζs) sieht ma, dass die Nullstelle vo ξs) mit de ichttriviale Nullstelle vo ζs) übereistimme. Aus der Fuktioalgleichug 1.3) ud der Defiitio 1.4) vo χs) ka ma leicht bereche, dass ) ) 1 1 ξ + it = ξ it 10

11 KAPIEL 1. EINFÜHRUNG gilt. Mit dem Spielgelugsprizip sieht ma somit, dass ξ 1 + it) reell ist. Diese Iformatioe verwede wir u um Nullstelle vo ξ 1 + it) zu bereche: Wir suche dabei ach eiem Itervall t 1, t ) i dem ξ 1 + it) das Vorzeiche wechselt. Nachdem es sich um eie stetige Fuktio hadelt, ist somit die Existez vo eier ugerade Nullstelle 1 vo ξ 1 + it) ud damit auch vo ζ 1 + it) garatiert. 1.6 Die Fuktioe Zt) ud θt) Wir werde u Fuktio ξs) aus 1.5) auf der kritische Gerade geauer betrachte. ) 1 1 ξ + it = exp log Γ + it )) π 1 +it 1 + it 1 + it) ) 1 ζ + it 1 = exp log Γ 4 + it )) π 1 4 it t 1 ) 4 1 ζ + it [ 1 = exp Re log Γ 4 + it )) ] π 1 t [ 1 exp i Im log Γ 4 + it )) )] π it 1 ζ + it [ )) ] 1 = exp Re log Γ π 1 t [ exp i Im 4 + it { log Γ it )} t )) log π ζ )] 1 + it Damit vereifacht sich die Suche ach eiem Vorzeichewechsel, da der Faktor i der erste Klammer eie egative reelle Zahl ist. Das Vorzeiche vo ξ 1 + it) ist also etgegegesetzt dem des Faktors i der zweite Klammer. Die Stadardotatio vo diesem Faktor ist Zt) i der Literatur wird diese als Riema-Siegel- oder auch Hardyfuktio beat). ) 1 Zt) = exp iθt)) ζ + it, 1.6) wobei θt) defiiert ist mittels θt) = Im { 1 log Γ 4 + it )} t log π. Abbildug 1.1 zeigt die Z Fuktio im Bereich 0 < t < das heißt etweder eie Nullstelle mit ugerader Multiplikativität oder eie ugerade Azahl a Nullstelle. 11

12 KAPIEL 1. EINFÜHRUNG Abbildug 1.1: Die Fuktio Zt) für 0 < t < 50. Mit Hilfe der Fuktioalgleichug 1.3) ud der Beobachtug χs)χ1 s) = 1 folgt für reelles t Im Zt) = 1 ) )) 1 1 exp iθt)) ζ i + it exp iθt)) ζ it = 1 ) )) 1 1 exp iθt)) ζ i + it exp iθt)) exp iθt)) ζ + it = 0. Deswege ist Zt) für t R reell. Die Fuktio Zt) besitzt für t > 0 bisher ei bekates egatives lokales Maximum bei t =,47, ei positives lokales Miimum ist icht bekat. Die Existez eies weitere egative lokale Maximums oder eies positive lokale Miimums vo Zt), für hireiched großes t, würde die Riemasche Vermutug 1.6 widerlege. Nach 1.6) gilt ζ 1 + it ) = Zt). Somit etspreche die Nullstelle vo Zt) also geau de Nullstelle der Riemasche Zetafuktio auf der kritische Gerade. Mit Hilfe vo Satz 1. ud y = x = t/π lässt sich die Fuktio Zt) umforme. ζ ) 1 + it = t π ) 1 1 it + χ + it t π ) 1 +it + O t

13 KAPIEL 1. EINFÜHRUNG Multiplikatio beider Seite mit exp iθt)) liefert u Zt) = t π 1 cos θt) t log ) + O t 1 4 ). 1.7) Wir wolle u de Faktor θt) weiter vereifache. Dafür werde wir die Reiheetwickluge log 1 + x) = 1) k+1 x k k, arcta x) = 1) k x k+1 k + 1 k=1 ud de folgede Satz beötige. Satz 1.8. Stirligsche Formel) Sei δ > 0. Für argz) π δ gilt log Γz) = z 1 ) log z z + 1 z log π) + O 1). k=0 Ei Beweis dieser Aussage fidet ma zum Beispiel i [3] Seite 55. Damit geligt u { 1 Im log Γ 4 + it )} { it = Im 1 ) it log ) it ) + 1 } 4 log π) + O t 1) = t Re {log + O t 1) = t t log + O t 1) = t log t it + 1 )} 14 { it 4 Im log + 1 )} t 4 ) + t4 log t ) π ) 1 4 arcta t t ) t 1 18t 3 ±... π t 1 96t 3 ±... t + O t 1) = t ) t log t π 8 + O t 1). Also erhält ma isgesamt θt) = t ) t log t π π 8 + O t 1). 1.8) 13

14 KAPIEL 1. EINFÜHRUNG Ebeso lässt sich für die Ableituge θ t) = 1 ) t log + O t ) 1.9) π ud bereche. θ t) 1 t Abbildug 1.: Die Fuktio θt) für 0 < t < 50. Ist t > 0 so fällt θt) streg mooto bis zu dem Miimum bei t = 6,9. Daach ist θt) eie streg mooto steigede Fuktio, wie ma i Abbildug 1. erkee ka. 1.7 Die Fuktio St) We t icht der Imagiärteil eier ζ Nullstelle ist, so defiiere wir St) = 1 ) 1 π arg ζ + it, wobei das Argumet mittels stetiger Variatio etlag der Liiesegmete [, + it] ud [ + it, 1 + it], mit S0) = 0 ermittelt wird. Ist t der Imagiärteil eier Nullstelle, so defiiere wir St) = 1 lim ε 0 {St ε) + St + ε)}. Es gilt ud St) = O log t) für t 0 St)dt = O log ). 14

15 KAPIEL 1. EINFÜHRUNG Die erste Aussage zeigt, dass St) ur lagsam wächst ud wurde durch vo Magoldt siehe [1], heorem 9.4) bewiese. Die zweite Aussage stammt vo Littlewood siehe [1], heorem 9.9) ud bedeutet, dass der Durchschittswert vo St) Null ist. Uter Aahme der Riemasche Vermutug 1.6 ka ma obige Resultate och verbesser. So gilt ) log t St) = O log log t ud 0 ) log St)dt = O log log ) Diese ud die folgede Resultate fidet ma uter aderem i [1], Kapitel XIV. Bohr ud Ladau zeigte, uter Aahme der Riemasche Vermutug, dass die Ugleichuge S ) > log ) 1 ε ud S ) < log ) 1 ε für ε > 0 beliebig große Lösuge besitze. Dabei geügt es sogar, ur azuehme, dass die Azahl der Nullstelle außerhalb der kritische Gerade edlich ist. Außerdem kote Selberg auch ohe Aahme der Riemasche Vermutug zeige, dass St) ubeschräkt ist. Der folgede Satz 1.9 zeigt, dass es sivoll ist, die Fuktio St) zu utersuche, da sie mit der Verteilug der Nullstelle vo ζs) zusammehägt. Satz 1.9. Es gilt N ) = 1 θ ) + S ) + 1. π. Ei Beweis dieser Aussage fidet sich zum Beispiel i [1] Seite Grampukte Gram bemerkte bei seie Berechuge, dass Re ζ 1 + it) die edez hat positiv zu sei, wohigege Im ζ 1 + it) zwische positive ud egative Werte oszilliert. Eie Auflistug dieser Werte bis zu der Höhe t = 50 fidet sich i [5] abelle IV. Außerdem stellte er fest, dass sich die Nullstelle des Imagiärteils mit de Nullstelle vo ζ 1 + it) abwechsel. Wir defiiere u die Grampukte g ν als die eideutige Lösuge folgeder Gleichug θg ν ) = νπ, 1.10) 15

16 KAPIEL 1. EINFÜHRUNG wobei ma zeige ka, dass diese Gleichug für ν N mit ν 1 Lösuge besitzt. Aufgrud der strege Mootoie der Fuktio θt) sid die Grampukte wohldefiiert. Für eie Grampukt gilt mit 1.6) folgedes ) 1 ζ + ig ν = exp iθg ν )) Zg ν ) = 1) ν Zg ν ). Gilt u ζ 1 + it) > 0 für aufeiaderfolgede Grampukte g ν ud g ν+1, da zeigt obige Gleichug, dass es eie Nullstelle vo Zt) im Itervall g ν, g ν+1 ] gebe muss ud somit auch eie vo ζ 1 + it). I Abbildug 1.3 erket ma, dass für 0 < t < 50 die Nullstelle vo Zt) geau zwische de Grampukte liege Abbildug 1.3: Die Fuktio Zt) mit de erste 10 Grampukte für 0 < t < 50. Betrachte wir Formel 1.7) mit t = g ν, so ergibt sich Zg ν ) = 1) ν gν π cos g ν log ) 1 ) + O g 1 4 ν wobei die Summe mit eier +1 begit. Daach oszilliere die erme ud werde immer kleier. Vorausgesetzt, dass es keie große Azahl a egative erme gibt,, 16

17 KAPIEL 1. EINFÜHRUNG würde diese erste +1 die Summe domiiere. Deshalb ka ma erwarte, dass häufig 1) ν Zg ν ) erfüllt ist. Geaueres dazu fidet ma i [18], Kapitel.. Betrachte wir u die Fuktio St) aus Kapitel 1.7 a de Grampukte g ν, so ergibt sich mit Satz 1.9 Sg ν ) = Ng ν ) ν 1. Also ist St) geau a de Grampukte eie gaze Zahl. Im Laufe dieser Arbeit werde wir das folgede Resultat vo rudgia Lemma i [18]) häufig beötige. Satz Sei N g ) die Azahl a Grampukte g ν i [0, ]. Da gilt N g ) = log + O ). π Also ) ν g ν = O log ν. Ist zusätzlich g ν, g µ [, ] erfüllt, so gilt g ν g µ πν µ) log ν πν µ) log. Beweis. Die erste Aussage folgt mittels der Defiitio der Grampukte 1.10) ud 1.8): Sei ν N ud g ν der größte Grampukt i [0, ]. Da gilt N g ) = ν + = 1 π θg ν) + = g ν π log gν ) g ) ν 1 π π + + O g ν = log + O ). π Für de Beweis der zweite Aussage beötige wir νπ = θg ν ) = g ν log gν π g ν log gν π ) ) g ν π ) O g ν, 1.11) Wir werde hier de Beweis etwas ausführlicher agebe, als er i rudgias Arbeit steht. 17

18 KAPIEL 1. EINFÜHRUNG wobei wir ereut die Defiitio der Grampukte 1.10) sowie Gleichug 1.8) verwedet habe. Logarithmiere vo 1.11) liefert u gν ) log ν log g ν log log π + log log, π woraus ma log ν log g ν schließe ka. Damit erhalte wir u aus 1.11) bzw. das gewüschte Resultat νπ g ν log ν ) ν g ν = O log ν. Die letzte Aussage folgt mit Hilfe des Mittelwertsatzes ud der Ableitug 1.9) vo θt) ν µ)π g ν g µ = θg ν) θg µ ) g ν g µ 1 log g ν. Damit ergibt sich u mittels log ν log g ν die gewüschte Aussage. 1.9 Das Gramsche Gesetz Gram [9] berechete 1903 die erste 15 Vorzeichewechsel der Fuktio Zt) ud somit die erste 15 Nullstelle vo ζ 1 + it). Mittels der Euler-Produktdarstellug zeigte er, dass dies die eizige Nullstelle vo ζs) im kritische Streife bis zu der Höhe t = 50 sid. Außerdem bemerkte er, dass jede dieser Nullstelle zwische aufeiaderfolgede Grampukte liegt. Seie Arbeit führte 1918 Backlud [1] weiter ud berechete die erste 79 Nullstelle. Außerdem zeigte er, dass die Riemasche Vermutug bis zu der Höhe t = 00 wahr ist. Hutchiso berechete siehe [10]) 195 die erste 138 Nullstelle vo ζ 1 + it) ud defiierte, wie folgt, das Gramsche Gesetz. Defiitio Gramsches Gesetz) Gegebe seie die Grampukte g ν, g ν+1. Das Gramsche Gesetzt besagt, dass es geau eie Nullstelle vo ζ 1 + it) für ei t im Itervall g ν, g ν+1 ] gibt. Wörtlich schrieb er i [10] roots α bezeiche die Nullstelle der Fuktio Zt), γ die Grampukte g ν ): Gram calculatet the first fiftee of the roots α ad called attetio to the fact that the α s ad the γ s separate each other. I will refer to this property of the roots as Gram s law. Gram expressed believe that this law is ot a geeral oe. 18

19 KAPIEL 1. EINFÜHRUNG I seiem Artikel zeigt Hutchiso da, dass das vo ihm defiierte Gramsche Gesetz zwei mal bis zu der Höhe t = 300 verletzt wird. Das Gramitervall g 15, g 16 ] ethält keie Nullstelle, dafür ethält das darauf folgede Gramitervall g 16, g 17 ] zwei Nullstelle. Ählich verhalte sich die Itervalle g 133, g 134 ] ud g 134, g 135 ]. Das erste ethält zwei Nullstelle, das zweite keie. Wie ma i Abbildug 1.4 sieht, liegt der Grampukt g 16 sehr ahe a der Nullstelle vo Zt). Es ist also es sehr kapp, dass das Gramsche Gesetze im Gramitervall g 15, g 16 ] verletzt wird. Besser erket ma eie Verletzug des Gramsche Gesetzes i Abbildug 1.5. Dort sieht ma deutlich, dass das Gramitervall g 10, g 11 ] zwei Nullstelle vo Zt) ud das darauffolgede Gramitervall g 1, g 13 ] dafür keie Nullstelle ethält Abbildug 1.4: Die Fuktio Zt) für 80,80 < t < 84,104, sowie die Grampukte g 15 bis g 17. Die Nameswahl Gramsches Gesetz ist also icht sehr glücklich gewese, hat sich aber im Laufe der Zeit durchgesetzt, auch we es kei Gesetz im mathematische Si ist. Ma beachte, dass Defiitio 1.11 sich icht mit evetuelle Nullstelle außerhalb der kritische Gerade im kritische Streife befasst. Ihre Existez würde icht dem Gramsche Gesetz widerspreche. Um die Riemasche Vermutug zu beweise muss ma also och gesodert zeige, dass die gefudee Nullstelle die eizige bis zu der gegebee Höhe im kritische Streife sid. Dies ka zum Beispiel dadurch geschehe, dass ma mit der Riemavo Magoldt-Formel 1.5 die Azahl der Nullstelle bis zu eiem gewisse berechet ud diese mit der Azahl der Nullstelle vo Zt) vergleicht. Stimme beide überei, hat ma die Riemasche Vermutug bis zu der gewisse Höhe bewiese. 19

20 KAPIEL 1. EINFÜHRUNG Abbildug 1.5: Die Fuktio Zt) für 414,10 < t < 40,09, sowie die Grampukte g 10 bis g 14. Wir betrache u die Fuktio St) aus Kapitel 1.7. Ageomme es gäbe geau eie Nullstelle vo ζ σ + it) für 0 < σ < 1 im Gramitervall g ν, g ν+1 ] ud es sei Sg ν ) = λ, da gilt Ebeso ka ma zeige, dass Sg ν+1 ) = Ng ν+1 ) 1 π θg ν+1) 1 = Ng ν ) ν 1 = λ. St) λ 1 im gesamte Itervall gilt. Also iduziert das Gramsche Gesetz eie gewisse Beschräktheit vo St). Uter der Aahme, dass das Gramsche Gesetz wahr ist ka ma u zeige, dass St) beschräkt sei muss. Dies steht im Widerspruch zu de Resultate über die S Fuktio vo Bohr ud Ladau bzw. Selberg. Somit ist das Gramsche Gesetz uedlich oft falsch. I Kapitel.4 werde wir zeige, dass das Gramsche Gesetz sogar für eie positive Ateil aller atürliche Zahle icht erfüllt wird Das schwache Gramsche Gesetz Es existiert eie abgeschwächte Versio vo Defiitio 1.11 die machmal i der Literatur auch als Gramsches Gesetz defiiert wird. Um Verwechsluge auszuschließe werde wir diese Versio als schwaches Gramsches Gesetz bezeiche. 0

21 KAPIEL 1. EINFÜHRUNG Defiitio 1.1. schwaches Gramsches Gesetz) Es seie g ν, g ν+1 aufeiaderfolgede Grampukte. Gilt 1) ν Zg ν ) > 0 ud 1) ν+1 Zg ν+1 ) > 0, so ist das schwache Gramsche Gesetz erfüllt. Im Gegesatz zum Gramsche Gesetz besagt das schwache Gramsche Gesetz, dass es i eiem Gramitervall g ν, g ν+1 ] eie ugerade Azahl a Nullstelle gibt. Also muss dort weigstes eie Nullstelle existiere. itchmarsh zeigte, dass 1) ν Zg ν ) im Durchschitt positiv ist siehe [1] Kapitel X, 6). Es gibt also uedlich viele Itervalle g ν, g ν+1 ], die eie ugerade Azahl a Nullstelle beihalte ud somit ist das schwache Gramsche Gesetz uedlich oft wahr. Ei Nebeprodukt vo diesem Beweis ist, dass es uedlich viele Nullstelle vo ζ 1 + it) gibt. atsächlich folgt mit deselbe Methode, die wir gege Ede vo Kapitel 1.9 agegebe habe, dass das schwache Gramsche Gesetz auch uedlich oft falsch ist. I Kapitel.4 werde wir zeige, dass das schwache Gramsche Gesetz für eie positive Ateil aller atürliche Zahle icht erfüllt wird. I Kapitel.5 werde wir us da mit dem Erfolg beschäftige ud beweise, dass das schwache Gramsche Gesetz i eiem positive Ateil aller atürliche Zahle erfüllt wird. Wie ma a obige Bemerkuge sieht ist es also leichter, Aussage über das schwache Gramsche Gesetz, als über das Gramsche Gesetz zu treffe. 1

22 Die Arbeit vo rudgia.1 Eiführug I seier Doktorarbeit [18] befasste sich rudgia mit dem schwache) Gramsche Gesetz. eile seier Arbeit vor allem Kapitel 3.5 ud 3.6) wolle wir i diesem Kapitel folge. Ihm gelag es, wie wir i Kapitel.4 zeige werde, zu beweise, dass für eie positive Ateil aller atürliche Zahle das schwache Gramsche Gesetz 1.1 verletzt ist. Dafür werde wir das folgede Kapitel. über ei Resultat vo Kai-Ma sag betreffed die Potezmomete der S Fuktio sowie Kapitel.3 beötige. Daach werde wir us mit dem Erfolg des schwache Gramsche Gesetzes 1.1 befasse ud i Kapitel.5 zeige, dass für eie positive Ateil aller atürliche Zahle das schwache Gramsche Gesetz wahr ist.. Der Satz vo Kai-Ma sag Im folgede Abschitt werde wir heorem 4 aus Kai-Ma sags Arbeit [19] beweise. Satz.1. Kai-Ma sag) Es sei a > 1, a < H ud 0 < h < 1. Für beliebiges k N gilt +H {St + h) St)} k dt = A k H log + h log ) k + O wobei c > 0 eie absolute Kostate ist ud A k = { )} H ck) k k k + log + h log ) k 1, k)! k π k k!..1) Der Beweis wird am Ede des Abschittes folge. Dafür beötige wir die folgede drei Lemmata.

23 KAPIEL. DIE ARBEI VON RUDGIAN Lemma.. Es gelte die Voraussetzuge aus Satz.1, ferer sei ε = a 1 ) /0. Für ei beliebiges k N gilt +H St) π 1 Im p ε/k p 1/ it ) k { dt = O Hck) k}. I A. Selbergs Artikel [16] Formel 5.3)) wird dieses Resultat ohe explizite Agabe der Kostate i der Form +H St) π 1 Im p ε/k p 1/ it ) k dt ck)h bewiese. Über die Jahre hat sich der Wert vo ck) immer weiter verbessert. Gosh bewies i [8], dass ck) ck) 4k gilt. Dieses Resultat folgt aalog zu dem Beweis vo Selberg. Durch wiederholtes Awede vo Selbergs Dichtesatz geauer Lemma 5. i [0]) gelag es sag i [19] die Ugleichug i Form vo Lemma. zu zeige. Lemma.3. Seie {a }, {b } Folge komplexer Zahle. Für beliebige, H R gilt: i) +H a it dt = H { } a + O a ii) +H ) a it b it ) dt = H a b ) 1 ) 1 + O a b. Beweis. eil i) folgt aus eier Verfeierug der Hilbertsche Ugleichug vo Motgomery ud Vaugha siehe S. 577 i [13]). Die Verallgemeierug i eil ii) ka ma wie folgt erhalte: Für beliebiges u, v C gilt uv = 1 4 u + v u v + i u + vi i u vi )..) 3

24 KAPIEL. DIE ARBEI VON RUDGIAN Wir setze u Ut) = a it ud V t) = Sei λ R mit λ > 0, da gilt mit.) b it. Ut)V t) = Ut) λ = 1 4 +i λv t) Ut) λ Ut) λ + λv t) + iλv t) Itegratio beider Seite bezüglich t liefert mittels eil i) +H Ut) λv t) λ i Ut) ) iλv t). λ Ut)V t)dt = H 1 a 4 λ + λb a λ λb +i a λ + iλb i a λ iλb ) + F a, b ) = H a b + F a, b ). Betrachtet ma de Fehlerterm F a, b ) geauer, so erhält ma mit / λ = a b ) 1 4 ud eil i): { a F a, b ) = O λ + λb + a λ λb + a λ + iλb + a λ iλb )} { = O a } λ + λ b ) 1 ) 1 = O a b. Isgesamt ergibt sich damit die Behauptug vo eil ii). Dieses Resultat beötige wir u für de Beweis des folgede Lemmas. 4

25 KAPIEL. DIE ARBEI VON RUDGIAN Lemma.4. Sei {a p } eie Folge komplexer Zahle, p P ud ft) der Real- oder Imagiärteil der Summe a p p it. Für beliebige, H R ud k N gilt +H ft) k dt = k k k p ) H ˆp aˆp P ˆp) + O kk p ) k p a p, wobei ˆp = p 1,..., p k ) mit p i p j für 1 i j k, aˆp = a p1... a pk ud P ˆp) = P p 1,..., p k ) sei die Azahl der Permutatioe vo p 1,..., p k. Nachdem i ˆp die p i für 1 i j k icht otwedigerweise verschiede sid, ka ma über die Azahl der Permutatioe vo ˆp ur aussage. P ˆp) k! Beweis. Wir betrachte de Fall ) ft) = Re a p p it ud setze t := ) a p p it. Damit ist ft) = 1 t + t. p Mit Hilfe des biomische Lehrsatzes folgt p ft) k = ) 1 k k ) k k m ) m. m t) t m=0 Somit erhalte wir mit I m := +H t) k m t ) m dt, m = 0, 1,..., k durch Vertauschug vo Summatio ud Itegratio +H ft) k dt = k k m=0 ) k I m..3) m 5

26 KAPIEL. DIE ARBEI VON RUDGIAN Für beliebiges τ, ν N ergibt sich ach eil ii) aus Lemma.3 +H τ ) ν +H ) τ ) ν = a t) p p it a p p it dt t p p +H ) ) = A it B it dt = H ) 1 ) 1 A B + O A B, wobei ud A := B := { a p1... a pτ P p 1,..., p τ ) für = p 1... p τ, 0 sost { a p1... a pν P p 1,..., p ν ) für = p 1... p ν, 0 sost. Mittels der eideutige Primfaktorzerlegug folgt a p1... a pτ P p 1,..., p τ ) für τ = ν, A B = p 1,...,p τ 0 sost. Außerdem gilt mit Hilfe vo A = 0 im Fall vo p 1... p τ ) Aalog ka ma schließe. A p 1... p τ a p1... a pτ P p 1,..., p τ ) p 1,...,p τ τ! p 1... p τ a p1... a pτ p 1,...,p τ ) τ = τ! p a p. p ) ν B ν! p a p p 6

27 KAPIEL. DIE ARBEI VON RUDGIAN Somit ergibt sich I m = = = +H k m ) m dt t) t ) 1 k m H ˆp ) m ) 1 aˆp P ˆp) + O k m)! p a p m! p a p p p ) 1 1 k m ) m ) 0 + O k m)! p a p m! p a p p p ) H ˆp k aˆp P ˆp) + O k! p a p für k = m, p ) k O k m)!m! p a p sost. p Eisetze vo I m i.3) liefert u das gewüschte Edergebis: +H ft) k dt = k k m=0 = k k k + k k ) k I m m ) H ˆp m=0 m k ) k m ) k aˆp P ˆp) + O k! p a p p ) k O k m)!m! p a p ) ) k = k H ˆp k aˆp P ˆp) + O k kk p a p p ) k k + O p a p k k)! p m=0 k m)!m! m k ) ) k = k H ˆp k aˆp P ˆp) + O k kk p a p. p ) Der Fall ft) = Im a p p it folgt aalog. p p 7

28 KAPIEL. DIE ARBEI VON RUDGIAN Mit Hilfe dieser Vorarbeit geligt us u der Beweis des Satzes vo Kai-Ma sag. Beweis vo Satz.1. Es gelte die Voraussetzuge aus Satz.1, ferer sei ε = a 1 ) / ε 0, x = k, Qt) = St) π 1 Im p 1/ it ud P t) = π 1 Im p 1/ it p ih 1). p x p x Mittels Lemma.4 folgt +H P t) k dt = k k k ) H ˆp x wobei a p := π 1 p 1/ p ih 1) für p x. aˆp P ˆp) + O kk k p a p p x,.4) Die Summe des Hauptterms vo.4) lässt sich folgedermaße umforme aˆp P ˆp) = ˆp x p 1,...,p k ) p j x = k! a p p x a p1... a pk P p 1,..., p k ) = k! a p p x = k! a p p x k k k O k! ˆp x p i =p j für i j o.b.d.a i=1,j= aˆp O k! a p p x p 3,...,p k ) x O k!k a p 4 a p p x p x a p3... a pk k..5) Mittels des Haupt- bzw. Fehlerterms uterscheide wir dabei, ob die p i für i = 1,..., k verschiede sid oder icht. 8

29 KAPIEL. DIE ARBEI VON RUDGIAN Wir wede us u der öfters auftauchede Summe p x a p zu: a p = π p 1 p ih 1 p x p x = π p 1 p ih ) ) Re p ih p x = π p 1 p 1 cos h log p)..6) p x p x Mit Hilfe des Primzahlsatzes 1.1 ud Abelscher eilsummatio ergibt die erste Summe i.6) p 1 = πx) 1 x x + πu) 1 u du p x = 1 [ log x + loglog u) = log log x) + O 1). ] x + O 1) Die zweite Summe vo.6) köe wir, wieder mit dem Primzahlsatz 1.1 ud Abelscher eilsummatio, wie folgt umforme: p 1 cos h log p) = 1 p ih 1 + p ih 1 p x p x p x = 1 = x ih log x + x ih x + 1 ih) ih) log x h log x = log h log mi cos v v dv + h { log x, 1 h u ih 1 log u du x u ih 1 ) log u du + O 1) h log x h log }) + O 1), si v dv + O 1) v wobei der letze Schritt mittels der Falluterscheidug h log x < 1, h log x 1 gewoe wird. Mit userer Wahl x = ε/k ergibt sich.6) schließlich zu a p =π loglog x) log p x mi { log x, 1 h })) + O 1) =π log + h log ) + O log k)..7) 9

30 KAPIEL. DIE ARBEI VON RUDGIAN Eisetze vo.5) ud.7) i.4) liefert +H ) k P t) k dt = k H k! k a p k p x O k!k a p 4 k a p p x p x + O kk k p a p p x = k)! k π k H log + h log )k { k! + O Hc 1 k) k log k = O log + h log ) k 1 + log k k 1)}.8) { Hc k) k log + h log ) k + log k k)}..9) Nach Lemma. gilt für Qt) +H Qt) k dt = O { Hc 3 k) k}. Wir setzte u Ut) = Qt + h) Qt), da ergibt sich +H Ut) k dt = = O +H O { Qt + h) k Qt) k} dt { Hc 4 k) k}..10) Für user gesuchtes Itegral über die Potezmomete der S Fuktio köe wir bis 30

31 KAPIEL. DIE ARBEI VON RUDGIAN jetzt folgedes aussage: +H {St + h) St)} k dt = = = +H +H +H + c k 6 {Qt + h) Qt) + P t)} k dt {Ut) + P t)} k dt P t) k dt + O +H ck 5 +H P t) k 1 Ut) dt Ut) k dt..11) Nach Awedug der Höldersche-Ugleichug,.9) ud.10) ist das erste Itegral im O-erm vo.11) gleich +H P t) k 1 Ut) dt = O = O = O +H P t) k dt k 1 k +H Ut) k dt 1 k { k 1 Hc k) k log + h log ) + log k k)) k Hc 4 k) k) } 1 k { )} Hc 7 k) k log + h log ) k 1 + log k k 1. Damit ergibt sich u mittels.1) ud.8) aus.11) das gesuchte Edergebis +H {St + h) St)} k dt = A k H log + h log ) k { + O Hc 1 k) k log k log + h log ) k 1 + log k k 1)} { ) + O c k 5Hc 7 k) k log + h log ) k 1 + log k k 1 + c k 6Hc 4 k) k} = A k H log + h log ) k { )} + O Hc 8 k) k k k + log + h log ) k 1. 31

32 KAPIEL. DIE ARBEI VON RUDGIAN.3 Ei Resultat über N G ) I diesem Abschitt werde wir ei Resultat vo rudgia heorem 3.5., [18]) über die Azahl der Gramitervalle, die keie oder mehr als eie Nullstelle vo ζs) beihalte, beweise. Dafür werde wir die folgede Abkürzuge beutze. Für j = 0, 1,,... ee wir ei Gramitervall ei F j Itervall, we es geau j Nullstelle vo ζs) ethält, wobei wir auch Nullstelle außerhalb der kritische Gerade mitzähle damit meie wir, dass das Gramitervall die Imagiärteile vo j Nullstelle vo ζs) ethält). N Fj ) bezeiche die Azahl der F j Itervalle zwische ud. Ei F 1 Itervall ethält also geau eie ζ-nullstelle ud damit ist auf diese Itervalle das Gramsche Gesetz erfüllt. Außerdem sei die Azahl der icht F 1 Itervalle zwische ud mit N G ) bezeichet, es gilt also N G ) = N F0 ) + N F ) + N F3 ) Satz.5. Für hireiched großes gilt log N G ). Beweis. Wir betrachte Satz.1 für de Fall k = 1 ud ehme H = a. Da ergibt sich 1 I ) = St + h) St) dt = π log + h log ) + O Mit h log folgt somit die asymptotische Beziehug I ) π log + h log ). { } log + h log ) 1..1) Wir wähle u h = c 0 log ) 1, wobei c o groß geug sei, um i.1) die Domiaz des Hauptterms über de Fehlerterm zu gewährleiste. Später werde wir och weitere Aforderuge a c 0 stelle, so dass der edgültige Wert vo c 0 och größer werde ka. Für ei δ = δc 0 ) > 0 gilt somit π δ ) log + h log ) I ) π + δ ) log + h log )..13) Wir ehme u a, dass [, + h] vollstädig mit F 1 Itervalle bedeckt ist. Da folgt für alle t [, + h], dass St + h) St) gilt dies erfolgt mit Hilfe 1 I rudgias Arbeit [18] steht astelle vo log + h log ) der erm log 3 + h log ). 3

33 KAPIEL. DIE ARBEI VON RUDGIAN der Bemerkug gege Ede vo Kapitel 1.9). Damit ergibt sich im Widerspruch zu.13) I ) = St + h) St) dt 4. Also war usere Aahme falsch ud es muss Verletzuge des Gramsche Gesetzes i [, + h] gebe. Die Folge {i }, {j } seie Idizes vo Grampukte, so dass g i, g j ] vo F 1 Itervalle bedeckt wird ud i g j, g i+1 ] keie F 1 Itervalle liege. Also ist k = i +1 j die Azahl a aufeiaderfolgede icht F 1 Itervalle ud es folgt k = N G ). Gilt g i t t + h g j, so ist ach obigem St + h) St). Dies führt zu der Defiitio J := { t [, ] : g i t t + h g j } ud es ergibt sich J St + h) St) dt 4. Wir defiiere u J als das Komplemet vo J i [, ]. Da liegt t i J we etweder t [g i, g j ] ud t + h g j oder t g j, g i+1 ] gilt. Der erste Fall impliziert g j h < t g j ud beide Fälle zusamme ergebe schließlich g j h < t g i+1. Diese Itervalle köe sich i [, ] überlappe ud es folgt J g j h, g i+1 ]. Mit Satz 1.10 erhalte wir J g j h, g i+1 ] ) h + gi+1 g j h + i ) +1 j log = N G ) h + 1 )..14) log 33

34 KAPIEL. DIE ARBEI VON RUDGIAN Isgesamt wolle wir eie Abschätzug für N G ) erreiche. Wir beötige also och eie Abschätzug vo.14) ach ute. Mit.13) ud de Defiitioe vo J ud J erhalte wir π δ ) log + h log ) I ) 4 + St + h) St) dt..15) Im Momet habe wir h = c 0 log ) 1 gewählt, mit eiem c 0 das groß geug ist um die Domiaz des Hauptterms i.1) zu gewährleiste. Wähle wir u zusätzlich c 0 so, dass die Größe π δ ) log + h log ) größer als 5 ist, da ergibt.15) J J St + h) St) dt..16) Mittels der Cauchy-Schwarzsche Ugleichug gilt für die rechte Seite J 1 St + h) St) dt J ) 1 1dt = J ) 1 J J ) 1 St + h) St) 4 dt St + h) St) 4 dt ) 1. Wir wede u ereut Satz.1, diesmal für k =, a ud erhalte mit = H Somit folgt aus.16) mit obigem J ) 1 St + h) St) 4 1 dt log + h log ). J ) 1 1 log + h log ) J ) 1 1, wobei die zweite Abschätzug vo userer Wahl h = c 0 log ) 1 kommt. Zusamme mit.14) liefert dies letztedlich user gesuchtes Resultat bzw. N G ) h + 1 )) 1 1, log log N G ). 34

35 KAPIEL. DIE ARBEI VON RUDGIAN.4 Misserfolg des schwache Gramsche Gesetzes rudgia [18] zeigt seiem i Kapitel 3.3 folged eiem Resultat vo itchmarsh), dass das Gramsche Gesetz uedlich oft icht erfüllt wird. Dies folgt somit auch für das schwache Gramsche Gesetz. Im folgede Abschitt wolle wir u die stärkere Behauptug, dass das schwache Gramsche Gesetz für eie positive Ateil aller atürliche Zahle verletzt wird, zeige. Dabei folge wir Kapitel vo rudgia [18]. Mit Satz 1.10 folgt N F0 ) + N F1 ) + N F ) +... = N g ) N g ) = log + O )..17) π Nachdem alle Nullstelle vo ζs) i [, ] ierhalb vo Gramitervalle liege folgt mittels Satz 1.9 N F1 ) + N F ) kn Fk ) +... = N ) N ) = ) π log π π + O log ) Subtrahiert ma u.17) vo.18) so erhält ma = log + O )..18) π O ) = N F0 ) + N F ) + N F3 ) k 1)N Fk ) +... N F0 ) + N F ) + N F3 ) N Fk ) Additio vo N F0 ) auf beide Seite ud Awede vo Satz.5 liefert N F0 ) + O ) N F0 ) + N F ) + N F3 ) N Fk ) +... = N G ) log N g ) N g ), wobei der letzte Schritt mittels Satz 1.10 erfolgt ist. Damit erhalte wir u N F0 ) N g ) N g ) c ) + O N g ) N g ) = c ) 1 + O. log Wir habe somit die folgede Aussage bewiese. 35

36 KAPIEL. DIE ARBEI VON RUDGIAN Satz.6. Für hireiched großes ethält ei positiver Ateil vo Gramitervalle zwische ud keie Nullstelle vo ζs). Daraus folgt umittelbar, dass das schwache Gramsche Gesetz zu eiem positive Ateil aller atürliche Zahle verletzt wird. Nach der Defiitio 1.11 gilt dieses da auch für das Gramsche Gesetz. Über die Azahl der F 0 Itervalle ka ma mit obigem folgedes aussage: N F0 ) log. Damit ist die Größeordug vo N F0 ) bestimmt. Wir wede us daher u de Gramitervalle zu, die eie oder mehr Nullstelle vo ζs) ethalte..5 Erfolg des schwache Gramsche Gesetzes itchmarsh zeigte i Kapitel 10.6 i [1], dass das schwache Gramsche Gesetz 1.1 uedlich oft erfüllt wird. Isbesodere zeigt er, dass es eie uedliche Azahl a Gramitervalle gibt, die eie ugerade Zahl a Nullstelle vo ζ 1 + it) ethalte. Wir wolle u folgedes Resultat heorem i [18]) zeige. Satz.7. Für hireiched große existiert ei M N, sodass es eie positive Ateil vo Gramitervalle zwische ud gibt, die weigstes eie ud icht mehr als M Nullstelle vo ζ 1 + it) ethalte. Beweis. Wir wähle h so klei, dass h log 1 gilt ud setzte H =. Da erhält ma aus Satz.1 St + h) St) k dt c 1 k) k..19) Ageomme, das Gramitervall g ν, g ν+1 ] ethält geau m Nullstelle ud Sg ν ) = λ. Nachdem St) ierhalb eies Gramitervalles icht mehr als um eis abehme ka folgt somit Sg ν 1 ) λ + 1, Sg ν+ ) λ + m ud Wir wähle u h = eies Gramitervalles. Sg ν+1 ) = m + Ng ν ) ν + 1) 1 = λ + m 1. 4π log. Nach Satz 1.10 etspricht h asymptotisch zwei mal der Läge 36

37 KAPIEL. DIE ARBEI VON RUDGIAN Also gilt St+h) St) > m über eiem Itervall [t, t+h] der Läge h log ) 1. Existiere also N Fm ) solcher Itervalle zwische ud, so folgt aus.19) bzw. c 1 k) k St + h) St) k dt m )k N Fm ) log N Fm ) log, ) c1 k k..0) m User Ziel ist es u, die rechte Seite vo.0) zu miimiere. Dazu wähle wir ei k > 0 i Abhägigkeit vo m ud schreibe zur Abkürzug Es lässt sich leicht bereche, dass F k) = F m, k) = ) c1 k k. m F k) = 0 k = k := m c 1 e ud F k ) > 0 gilt. Somit wird bei k ei echtes Miimum ageomme ud wir erhalte F k ) e c m. Nachdem Satz.1 ur für atürliche Zahle k gilt, betrachte wir {[ ] [ ] } m m k, + 1, c 1 e c 1 e wobei die Gaußklammer mittels [x] := max l l Z, l x defiiert ist. Wir wähle k u so, dass es vo k die maximale Differez 1 Formel.0) ergibt da F k ) e c 3m. hat ud erhalte N Fm ) log e c 4m..1) I rudgias Arbeit [18] hat sich ei kleier Rechefehler eigeschliche. So hat er astatt der eie 4 stehe. 37

38 KAPIEL. DIE ARBEI VON RUDGIAN Es sei j = 0, 1,,... ud wir bezeiche mit F j ei Gramitervall mit j Nullstelle vo ζs), vo dee weigstes eie auf der kritische Gerade liegt. Die Azahl a F j Itervalle i zwische ud sei N Fj ). Offesichtlich gilt da ach der Defiitio der F j N Fj ) N Fj )..) Die Azahl der Nullstelle vo ζs) auf der kritische Gerade bezeiche wir mit N 0 ), also { N 0 ) = ζs) = 0 σ = 1 }, 0 < t <. Nach heorem 10.7 i [1] gibt es eie positive Ateil vo Nullstelle auf der kritische Gerade 3. Es exisitert somit eie Kostate c 5, so dass 0 < c 5 < N 0 ) N 0 ) log 1 )..3) mn Fm log Mit Hilfe vo.1) ud.), sieht ma, dass die rechte Seite vo obiger Ugleichug koverget ist. Wir wähle u ε > 0 ud M so groß, dass 1 log m=m+1 gilt. Damit ergibt sich.3) schließlich zu 0 < ε < 1 log < M log m=1 mn Fm ) < c 5 ε. M m=1 M m=1 mn Fm ) N Fm ). Die Azahl der Gramitervalle zwische ud, die weigstes eie Nullstelle, aber icht mehr als M Nullstelle vo ζs) ethalte, ist somit weigstes vo der Form c log. Bis jetzt wurde och icht bewiese, ob das Gramsche Gesetz uedlich oft wahr ist oder icht. Die Schwierigkeit besteht dari, dass ma N Fm ) für kleie m utersuche müsste, allerdigs ist das zugehörige Verhalte der Fuktio St) icht klar erkebar. Beutzt ma die Potezmomete der S Fuktio so ka ma eie Mege vo 3 Nach [4] liege sogar mehr als 41% der Nullstelle auf der kritische Gerade. 38

39 KAPIEL. DIE ARBEI VON RUDGIAN F 1 Itervalle icht vo eier Mege vo alterierede F 0 ud F Itervalle uterscheide. Ma müsste die Mege N Fm ) also mit adere Methode utersuche. Der obige Beweis baut darauf auf zu zeige, dass F m Itervalle für große m expoetiell selte sid. Ituitiv würde ma aehme, dass der Wert vo N Fm ) mit wachsedem m sich städig verrigert. Köte ma solch ei Verhältis zeige, würde daraus folge, dass es eie positive Ateil vo Gramitervalle gibt, i dee das Gramsche Gesetz erfüllt ist. Jedoch ist bis jetzt och kei solcher Beweis bekat. 39

40 3 Die Dedekidsche Zetafuktio 3.1 Eiführug I diesem Kapitel werde wir die Arbeit vo rudgia [18] fortführe ud sie auf Dedekidsche Zetafuktioe erweiter. Dabei werde wir zeige, dass sich uter gewisse Aahme die Beweise aus de Kapitel.4 ud.5 auch auf de allgemeiere Fall übertrage lasse. Wir werde es icht besoders kezeiche, we die Kostate der O Abschätzuge vo Kostate des Zahlkörpers abhägig sid. 3. Eigeschafte vo ζ K s) Es sei K im Folgede stets ei Zahlkörper vom Grad N = [K : Q], also K := Qα) = { b N 1 α N b 1 α + b 0 b 0,..., b N 1 Q } mit eier algebraische Zahl α. Der Rig der gaze Zahle O K überimmt i K die Rolle, die Z i Q hat ud wird folgedermaße defiiert: Defiitio 3.1. Die Mege O K der gazalgebraische Zahle i K bildet eie Rig ud heißt Rig der gaze Zahle vo K. Die Dedekidsche Zetafuktio zum Zahlkörper K ist für σ > 1 defiiert durch die absolut kovergete Reihe ζ K s) = a Na) s = N a s, wobei die erste Summe über alle vo Null verschiedee gaze Ideale a vo O K erhobe wird ud Na) die Norm vo a sei. I der zweite Summe bezeiche a die Azahl aller solche Ideale mit Norm. Die Dedekidsche Zetafuktio besitzt wege der eideutige Primidealzerlegug ud der Multiplikativität der Norm für σ > 1 eie Darstellug als Eulerprodukt ζ K s) = P 1 NP) s ) 1. 40

41 KAPIEL 3. DIE DEDEKINDSCHE ZEAFUNKION Hierbei läuft das Produkt über alle Primideale P siehe [1], Satz 141). Nachdem kei erm des Eulerproduktes verschwide ka, gilt ζ K s) 0 i der Halbebee σ > 1. ζ K s) lässt sich aalytisch ach gaz C fortsetze mit eiem eifache Pol i s = 1 ud geügt der Fuktioalgleichug siehe [1], Satz 155, eil 1 ud ) wobei Λ K s) = Λ K 1 s), s ) ) s r1 Λ K s) = Γ Γs) r DK s ζ π N K s). 3.1) r Dabei bezeiche wir mit D K die Diskrimiate des Zahlkörpers. Die Azahl reeller Eibettuge sei r 1 ud r sei die Azahl vo Paare komplex kojugierter Eibettuge i K. Die Größe r 1, r ) heißt Sigatur des Zahlkörpers. Die Fuktio Λ K s) ist meromorph i gaz C ud besitzt zwei Polstelle i s = 0 ud s = 1. Mit de Eigeschafte der Gammafuktio ud obiger Fuktioalgleichug lasse sich u die sogeate triviale Nullstelle im Bereich σ < 0 bereche. Ihre geaue Lage ud Vielfachheit hägt vo der Sigatur des zugrudeliegede Zahlkörpers ab vergleiche hierzu [1], Satz 155, eil 3). Es sei r = r 1 + r 1. Für r = 0 hat ζ K i s = 0 keie Nullstelle. Ist r > 0 so existiert eie Nullstelle r ter Ordug. I de egative gerade Zahle besitzt ζ K s) Nullstelle r + 1) ter Ordug. I de egative ugerade Zahle existiere für r = 0 keie Nullstelle, für r > 0 Nullstelle r ter Ordug. Alle weitere Nullstelle liege ach [1], Satz 155, eil 4) im kritische Streife 0 σ 1 ud werde ichttriviale Nullstelle geat. Ahad der Fuktioalgleichug ka ma sehe, dass diese symmetrisch zur reelle Achse ud zur kritische Gerade σ = 1 liege müsse. Wie scho bei der Riemasche Zetafuktio werde wir im Weitere auf de Zusatz ichttrivial verzichte ud diese ur als Nullstelle bezeiche. Ma beachte, dass die Riemasche Zetafuktio der Dedekidsche zum Zahlkörper Q etspricht d.h. N = 1, r 1 = 1, r = 0, D Q = 1). Es existiert ei Aalogo zur Riemasche Vermutug 1.6 für die Dedekidsche Zetafuktio. Diese besagt ζ K s) 0 für σ > 1. ollis hat dies i seier Arbeit [17] für Zahlkörper vom Grad 3 bzw. 4) mit kleier Diskrimiate bis zu eier Höhe vo 9 bzw. 40) mit Hilfe vo Computer verifiziert. 41

42 KAPIEL 3. DIE DEDEKINDSCHE ZEAFUNKION 3.3 Weitere Fuktioe ud Grampukte Ist t icht Imagiärteil eier Nullstelle, so defiiere wir S K t) = 1 ) 1 π arg ζ K + it. 3.) Aderefalls setzte wir S K t) = 1 lim ε 0 {S K t + ε) + S K t ε)}. Das Argumet wird mittels stetiger Variatio etlag der Liiesegmete [, + it] ud [ + it, 1 + it] ermittelt, hierbei setzt ma S0) = 0. Will ma die Nullstelle der Dedekidsche Zetafuktio auf der kritische Gerade utersuche so bietet es sich a die Fuktio Λ K s) aus 3.1) zu betrachte. Die Nullstelle beider Fuktioe stimme überei, allerdigs gilt mit dem Spiegelugsprizip ud der Fuktioalgleichug: Λ 1 K + it) R für t R. Durch das Suche der Vorzeichewechsel der reelle, stetige Fuktio Λ K s) fide wir also die Nullstelle ugerader Ordug vo ζ K s) verlgeiche hierzu de Riemasche Fall i Kapitel 1.6). Aalog zu Kapitel 1.7 erhält ma durch Umforme ud Normiere vo Λ 1 K + it) : { 1 θ K t) = Im r 1 log Γ 4 + it ) )} 1 + r log Γ + it + t log Damit erhält ma die Fuktio Z K t) = exp iθ K t)) ζ K 1 + it ) ) DK. r π N. 3.3) Diese ist für t R reellwertig ud t 0 ist geau da eie Nullstelle vo Z K t), we 1 + it 0 eie Nullstelle vo ζ K s) ist. Die Fuktio θ K t) ka ach Lemma 4.4 i [17] wie folgt umgeformt werde Für ihre Ableitug gilt θ K t) = t log D K t π θ Kt) = 1 log D K ) N ) N t r π O ) ) t N ) 1 + O π t 1 t ). 3.4). 3.5) Sei N K ) die Azahl der Nullstelle vo ζ K s) der Form s = σ + it mit 0 σ 1 ud 0 t. Mit 3.) ud 3.4) ergibt sich N K ) = 1 π θ K ) + S K ) ) Aalog zu Satz 1.5 existiert auch für die Nullstellezählfuktio der Dedekidsche Zetafuktio eie Riema-vo Magoldt-Formel: N K ) = N π log + log D K N N log π) + O log ). 3.7) π 4

43 KAPIEL 3. DIE DEDEKINDSCHE ZEAFUNKION Für eie Beweis dieser Aussage siehe [1], Satz 171. De ν-te Grampukt der Dedekidsche Zetafuktio defiiere wir als die eideutige Lösug vo θ K g ν ) = νπ, 3.8) wobei ν 1 gilt. Aufgrud der strege Mootoie vo θ K t) siehe [17], Lemma 4.4) ist dies wohldefiiert. Gleichug 3.3) liefert a de Grampukte ) Z K g ν ) = 1) ν 1 ζ K + ig ν. Besitzt ζ K 1 + it) a zwei aufeiaderfolgede Grampukte t = g ν, g ν+1 dasselbe Vorzeiche, so muss eie Nullstelle vo Z K t) ud somit auch eie vo ζ K 1 + it) im Gramitervall g ν, g ν+1 ] liege. Wir defiiere u das schwache) Gramsche Gesetz für die Dedekidsche Zetafuktio. Defiitio 3.. Gramsches Gesetz für Dedekidsche Zetafuktioe) Gegebe seie die Grampukte g ν, g ν+1. Ma sagt das Itervall g ν, g ν+1 ] erfüllt das Gramsche Gesetz, we es geau eie Nullstelle vo ζ K 1 + it) ethält. Wie wir obe gesehe habe, fide wir Nullstelle vo ζ K 1 + it) i eiem Gramitervall, idem wir Z K t) dort auf Vorzeichewechsel utersuche. Umgekehrt köe wir aus eiem Vorzeichewechsel a de Itervallgreze lediglich schließe, dass eie ugerade Azahl a ζ K Nullstelle i diesem Gramitervall liegt. Deshalb liegt folgede Verallgemeierug ahe: Defiitio 3.3. schwaches Gramsches Gesetz für Dedekidsche Zetafuktioe) Gegebe seie die Grampukte g ν, g ν+1. Ma sagt das Itervall g ν, g ν+1 ] erfüllt das schwache Gramsche Gesetz, we es eie ugerade Azahl vo Nullstelle vo ζ K 1 + it) ethält. Wie scho im Riemasche Fall ist der Begriff Gesetz hier icht im strege mathematische Si zu sehe, soder mehr als eie Art Phäome. So zeigt M. Giegerich i seier Diplomarbeit [7], Kapitel 4.3), dass das schwache Gramsche Gesetz 3.3 uedlich oft falsch ist: Satz 3.4. Es gibt uedlich viele Gramitervalle g ν, g ν+1 ] die keie Nullstelle vo ζ K 1 + it) ethalte. 43