Die Mikrofundierung der Neu- Keynesianischen Phillips-Kurve: Eine empirische Untersuchung

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1 Die Mikrofundierung der Neu- Keynesianischen Phillips-Kurve: Eine empirische Unersuchung Disseraion Zur Erlangung des Dokorgrades Dr. rer. pol. im Fach Volkswirschafslehre uner der Leiung von Professor Dr. Michael Funke Eingereich an der Universiä Hamburg Fachbereich Volkswirschafslehre (VWL) Von Diplom-Volkswir Sebasian Weber Hamburg, 28

2 Angenommen vom Fachbereich Volkswirschafslehre (VWL) der Universiä Hamburg Prüfungsausschussvorsizender: Prof. Dr. Bernd Lucke. Guacher: Professor Dr. Michael Funke 2. Guacher: Professor Dr. Hasenkamp Daum der Prüfung: 5. November 28

3 Inhalsverzeichnis Einleiung... 2 Neu-Keynesianische Enwicklungen Die Neu-Keynesianische Theorie räger Preise Allgemeine Gleichgewichsmodelle in der Makroökonomie Das Neu-Keynesianische Modell Darsellung der Haushale Log-Linearisierung des Modells Verhalen der Zenralbank Lösungsansaz für das lineare Gleichungssysem Simulaionsergebnisse Kalibrierung Ergebnisse für die Vereilung der realen Umsäze Zusammenfassung Dynamik der Vereilung der Wachsumsraen von Unernehmen im Zeiablauf Einleiung Daen Die zyklischen Muser der Momene der Querschnis-Vereilung Regression der Perzenile Die Dynamik der Firmen innerhalb der Vereilung Empirische Mehode Einleiung Übergangswahrscheinlichkeien und Markov-Keen Das mulinomiale Logi-Modell Das Logi-Modell zur Unersuchung der absoluen Veränderung der Übergangswahrscheinlichkeien I

4 5..5 Die sochasische Kerndiche-Schäzung Definiion der Zusände Ergebnisse für den Querschni Einfluss des BIP-Wachsums auf die Mobiliä innerhalb der Vereilung Verwendung eines Mobiliäsindexes Das Logi-Modell Das mulinomiale Logi-Modell Die sochasische Kerndicheschäzung Zusammenfassung Simulaionsergebnisse für die Übergangswahrschein-lichkeien Schlussberachung Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Lieraurverzeichnis II

5 Einleiung Das Neu-Keynesianische Modell gil als das Arbeisier uner den makroökonomischen Modellen (McCallum 2, S. 258). Diese Klasse von Modellen wird insbesondere zur Analyse geldpoliischer Aspeke (z.b. Roemberg und Woodford 998 und 999, Clarida e al. 999 und 2), aber auch für andere makroökonomische Fragesellung, wie z.b. Fiskalpoliik (z.b. Woodford 997) oder Fragen der moneären Außenwirschafsheorie (z.b. Bowman und Doyle 23) verwende. Hierbei werden in dynamischen, sochasischen Allgemeinengleichgewichsmodellen (dynamic sochasic general equilibrium, DSGE) Rigidiäen eingebau. Diese Rigidiäen verfügen dank des Neu-Keynesianischen Forschungsprogramms über eine ensprechende Mikrofundierung und sind nich mehr reine Annahmen. Die wohl bekannese und am häufigsen verwendee Rigidiä sind sarre Preise, die dann zur Ableiung der Neu-Keynesianischen Phillips-Kurve führen. In der Neu- Keynesianischen Phillips-Kurve häng die gegenwärige Inflaionsrae von der heuigen Oupu-Lücke und im Gegensaz zur alen Phillips-Kurve von der Erwarung über die zukünfige Inflaionsrae ab. Die Abhängigkei der gegenwärigen Inflaion von der zukünfigen erwareen Inflaionsrae is ein Ergebnis der Verknüpfung raionaler Erwarungen, die Haushale und Unernehmen in diesen Modellen bilden, und den rigiden Preisen. Bei flexiblen Preisen würde ein raionales Unernehmen in jeder Periode den gewinnmaximalen Preis sezen können und müsse sich keine Gedanken über die Zukunf machen, da bei einer Änderung der Rahmenbedingung der Preis auch wieder ensprechend angepass werden könne. Ers dadurch, dass die Preise nich jederzei angepass werden können, muss sich das Unernehmen Gedanken über die zukünfige Enwicklung machen, um einen Preis zu sezen, der nich für die gegenwärige Periode, sondern über mehrere Perioden opimal is. Der so geseze Preis is dann nich in jeder einzelnen Periode opimal, sondern über den erwareen Zeiraum, für den dieser Preis gil. Hierdurch enseh eine Abhängigkei der gegenwärig gesezen Preise und dami der gegenwärigen Inflaionsrae von der zukünfigen erwareen Inflaionsrae. Da rigide Preise somi eine zenrale Rolle für die Neu-Keynesianische Phillips-Kurve spielen, muss die Hypohese empirisch überprüf werden. Dies kann dadurch geschehen, dass die Neu- Keynesianische Phillips-Kurve mi Hilfe geeigneer ökonomerischer Mehoden geschäz wird (z.b. Galí und Gerler 999, Guay und Pelgrin 24, Tillmann 25, Nason und Smih 25). Die Ergebnisse dieser Unersuchungen sind gemisch. Probleme bereien vor allen

6 Dingen das Finden eines geeigneen Proxies für die erwaree Inflaionsrae und die Verwendung der korreken Schäzmehode. Darüber hinaus wäre die Besäigung, dass die Neu-Keynesianische Phillips-Kurve empirisch relevan is, keine Besäigung für das Vorliegen von räger Preisanpassung, da der Zusammenhang von gegenwäriger Inflaion und erwareer Inflaion auch aus anderen heoreischen Überlegungen abgeleie werden kann. Zur Überprüfung der empirischen Relevanz von Preisrigidiäen aug die Schäzung der Phillips-Kurve also nur insofern, als dass eine Ablehnung der Phillips-Kurve auch eine Ablehnung der rägen Preise implizier. Eine weiere Möglichkei zur Überprüfung der These der rigiden Preise beseh darin, die Preisanpassung der Unernehmen direk zu erfassen. Eine Möglichkei, die von Blinder (994) genuz wurde, is, die Unernehmen direk nach der Häufigkei ihrer Preisanpassung zu befragen. Der Nacheil dieser Mehode beseh, wie bei allen Befragungen von Beroffenen, darin, dass womöglich Angaben gemach werden, die mi dem asächlichen Verhalen der Befragen nichs zu un haben. Das Problem dürfe in diesem Zusammenhang eher klein sein, da es aus Sich der Unernehmen keinen Grund geben dürfe, vorsäzlich falsche Angaben zu machen, wie es z.b. der Fall wäre, wenn nach der Seuerehrlichkei gefrag würde. Dennoch dürfe es eine gewisse Diskrepanz zwischen Angaben und asächlichem Verhalen geben. Genauer sind Unersuchungen, wie die von Cechei (986), Carlon (986) oder Kashyap (995), die Daensäze mi den asächlichen Preisen verwenden. Die Berechnung von Durchschniszeien für die Konsanz von Preisen is allerdings nur ein Hinweis auf die Richigkei der These. Auch wenn Preise völlig flexibel sind, können sie über einen längeren Zeiraum hinweg konsan sein, wenn sich an den Rahmenbedingungen nichs veränder ha. Die Theorie räger Preise besag ja, dass Preise auch dann nich veränder werden, wenn es eigenlich gewinnmaximierend wäre, dies zu un. In zwei Arikeln haben Higson e al. (22, 24) die Veränderung der Vereilung der Wachsumsrae der realen Umsäze bei sich änderndem BIP-Wachsum unersuch. Dazu wurden die Bilanzen von briischen und amerikanischen börsennoieren Unernehmen verwende. Die Unersuchungen ergeben besimme Muser für die Enwicklung der höheren Momene der Vereilung. Diese Muser ermöglichen eine alernaive Mehode zur Überprüfung der These der rägen Preisanpassung. Der reale Umsaz der Unernehmen häng von der Nachfrage der Haushale ab. Die Höhe der Nachfrage häng wiederum vom Preis des Produkes ab. Unerschiedliche Änderungen in den Preisen einzelner Unernehmen aufgrund der rägen Preisanpassung würden zu unerschiedlichen Veränderungen in den realen 2

7 Umsäzen führen. Die These der rägen Preise ließe sich durch einen Vergleich der Simulaionsergebnisse für den realen Umsaz in einem Neu-Keynesianischen Modell mi den empirischen Ergebnissen für die höheren Momene der Vereilung der Wachsumsraen überprüfen. Hierbei wird nich nur anhand des asächlichen Verhalens der Unernehmen geprüf, sondern auch anhand einer veränderen Siuaion für die Unernehmen, da z.b. ein Rückgang der Nachfrage, also sinkender realer Umsaz, eine Veränderung des gewinnmaximalen Preises induzier. In Kapiel zwei wird ein kurzer Überblick über die Enwicklung der Neu-Keynesianischen Theorie räger Preise und die Einbindung in DSGE-Modelle gegeben. Anhand einer vereinfachen Version eines Modells von Woodford (997) und Roemberg und Woodford (998) wird in Kapiel drei die Vereilung der realen Umsazwachsumsraen simulier. Das in dieser Arbei verwendee Modell enhäl räge Preisanpassung als einzige Rigidiä und auch von auokorrelieren Schocks wird abgesehen. Modelle mi mehreren Quellen für Rigidiäen und auokorrelieren Schocks verfügen über einen höheren Erklärungsgehal für die asächliche konjunkurelle Dynamik und sind für Prognosen oder zur Ableiung von Poliikempfehlungen vorzuziehen. Die Vereinfachung soll aber sichersellen, dass in dem Modell eindeuig die räge Preisanpassung als Ursache für das Ergebnis idenifizier werden kann. Nachdem in Kapiel drei die heoreischen Ergebnisse abgeleie wurden, wird in Kapiel vier ein Arikel von Döpke e al. (25) vorgesell. Der Arikel führ mi einem deuschen Daensaz die gleiche Unersuchung durch, die Higson e al. (22, 24) für briische und amerikanische Daensäze durchführen. Der Voreil der Unersuchung von Döpke a al. (25) beseh in der Verwendung eines größeren Daensazes, der im Durchschni 6. Firmen umfass, während die englischen und amerikanischen Daensäze auf maximal 5. Firmen kommen. Darüber hinaus enhalen die Daensäze für die USA und Großbriannien im Gegensaz zum deuschen nur Akiengesellschafen. Higson e al. geben in ihren Arikeln auch einen Erklärungsansaz für besimme Muser der höheren Momene, die mi der These der rigiden Preise nich kompaibel is. Döpke e al. zeigen, dass diese Erklärung nich sichhalig is. Dies is Ausgangspunk für eine Unersuchung der Mobiliä innerhalb der Vereilung durch Döpke und Weber (26), die in Kapiel fünf vorgesell wird. In Kapiel sechs werden weiergehende Simulaionen des Modells zur Dynamik innerhalb der Vereilung präsenier und mi den empirischen Ergebnissen aus Kapiel fünf verglichen. Kapiel sieben fass die Ergebnisse der vorliegenden Arbei zusammen. 3

8 2 Neu-Keynesianische Enwicklungen 2. Die Neu-Keynesianische Theorie räger Preise Im Jahr 98 schrieb Rober Lucas: One canno find good, under-fory economiss who idenify hemselves or heir work as Keynesian. Indeed, people even ake offense if referred o as Keynesian. A research seminars, people don ake Keynesian heorizing seriously anymore; he audience sars o whisper and giggle o one anoher. Die Tasache, dass Mankiw diese Passage 992 in einem Arikel mi der Überschrif The Reincarnaion of Keynesian economics ziier, zeig eindrucksvoll, dass Togesage länger leben. Einer der Haupkriikpunke der Neo-Klassiker an den Pos-Keynesianischen Modellen war, dass rigide Preise und Löhne als ad hoc Annahmen in die Modelle eingeführ wurden (Friedman und Summers 99, S. X). Da diese Annahme enscheidend für die konjunkurelle Dynamik in den damaligen Modellen war, wurde die Frage aufgeworfen, wie räge Preise und Löhne Ergebnis raionaler Enscheidungen sein können, wenn die konjunkurellen Schwankungen negaiv für alle Enscheidungsräger sind (Romer 993, S. 6). Ausgangspunk zur Beanworung dieses Problems war die Theorie der gesaffelen (saggered) Preisanpassungen. Die beiden grundlegenden Arbeien dazu sammen von Fischer (977) und Taylor (98). Fischer beschreib eine Ökonomie, in der langfrisige Verräge, in seinem Modell für zwei Perioden, über Löhne abgeschlossen werden. Dadurch, dass die Löhne über mehrere Perioden fesgeleg sind, haben Änderungen nominaler Größen, z.b. eine Änderungen der Geldpoliik, Auswirkungen auf die Realwirschaf. Zusäzlich wird analog zu einem overlapping generaion model angenommen, dass immer nur ein Teil der Wirschafssubjeke in dem Modell einen neuen Verrag abschließen kann. In Fischers Modell befinden sich in jeder Periode die Hälfe der Wirschafssubjeke im ersen Jahr des Verrags und die andere Hälfe im zweien Jahr. Das ha zur Folge, dass nominale Änderungen auch asächlich in jeder Periode einen realen Effek haben. Würden alle Subjeke zum gleichen Zeipunk neue Verräge schließen, so wären zu diesem Zeipunk die Preise flexibel. Dauern die Verräge zwei Perioden, würde eine Periode von komple inflexiblen Preisen von einer Periode komple flexibler Preise gefolg. Durch die Saffelung der Verräge is die Preisanpassung räge. In dem Arikel von Taylor (98) wird das Modell von Fischer dahingehend erweier, dass bei einem neuen Verrag auch das zukünfige Verhalen der anderen Wirschafssubjeke, die noch keine neuen Verräge schließen, berücksichig wird. Komm es zum Zeipunk zu 4

9 einem Schock und is es opimal die Löhne aufgrund dieses Schocks anzupassen, so is klar, dass die Wirschafssubjeke, die in keinen neuen Verrag abschließen, auf diesen Schock in der Zukunf reagieren werden. Die Reakion häng aber wiederum davon ab, wie der gegenwärige Verrag aussieh. Wäre der opimale Lohn nach dem Schock in x Einheien, so häng die zukünfige Reakion davon ab, ob der Lohn, der vor verraglich geregel wurde, größer oder kleiner als x is. Dadurch spiel nich nur die zukünfige Enwicklung, sondern auch die Vergangenhei eine Rolle. Die Vergangenheisbezogenhei wird durch die gesaffelen Verräge vergrößer, so dass Verräge aus Perioden noch vor der Periode des am längsen laufenden Verrags einen Einfluss auf die gegenwärigen Verräge haben. Dadurch komm es zu einer höheren, und dami den empirischen Faken besser ensprechenden, Auokorrelaion der Variablen Arbeislosigkei und Inflaion in dem Modell. Taylor (98, S. 2) sprich hier von einem conrac muliplier. Uner der Annahme, dass keine größeren Sprünge in den relaiven Preisen erwünsch sind und eine Anpassung seig erfolg, zeig Blanchard (983), dass bereis ein kleines Maß an asynchronen Preisen zu erheblicher Preissarrhei führ. Während in den vorangegangenen Arikeln unersuch wurde, welche Auswirkungen gesaffele Verräge haben, uner der Annahme, dass diese Safflung exisier, unersuchen Fehke und Policiano (984 und 986) uner welchen Bedingungen uniform gesaffele Verräge das Ergebnis eines nichkooperaiven Spiels sind. Ball und Cecchei (988) geben eine alernaive Erklärung für die gesaffelen Verräge ab. Hier gewinnen die Wirschafssubjeke durch die Beobachung der Verragsabschlüsse Anderer Informaionen, so dass ein Anreiz beseh, den Verrag möglichs spä abzuschließen. Gesaffele Verräge sind ein mögliches Gleichgewich, das sogar wohlfahrsopimal sein kann. Calvo (983) modifizier die Theorie gesaffeler Preise, so dass eine Preisanpassung nich mehr zeiabhängig, sondern sochasisch is. Dies vereinfach die Verwendung gesaffeler Preise insbesondere im Rahmen von DSGE-Modellen. Während die Lieraur zu den gesaffelen Preisanpassungen die Saffelung und die Auswirkung der Saffelung erklär, wurde, wie Fischer (977, S. 94) selbs fesselle, nich unersuch, warum überhaup langfrisige Verräge abgeschlossen werden. Fischer (977, S. 94) vermuee, dass Transakionskosen bei häufigen Preis oder Lohnanpassungen eine Rolle spielen müssen. Mankiw (985) folg der Anregung von Fischer und unersuch die Wohlfahrsverluse, die in einem Monopol durch menu coss ensehen. Die menu coss ensehen bei einer Änderung der Preise z. B. durch das Drucken neuer Preislisen, aber auch 5

10 indirek durch Verlus der Repuaion bei den Käufern. Mankiw zeig, dass die Wohlfahrsverluse im Vergleich zur Höhe der menu coss bei einem negaiven Nachfrageschock sehr groß sind. Bei einem posiiven Nachfrageschock sind die Wohlfahrsverluse kleiner als die menu coss. Es können sogar Wohlfahrsgewinne ensehen. Dies lieg daran, dass in einem Monopol der Preis von vornherein höher, als es gesamwirschaflich opimal is, gesez wird, um den Unernehmensgewinn zu maximieren. In einer Rezession sink der gesamwirschaflich opimale Preis. Die Ineffizienz des Monopols wird hier versärk, wenn die Menükosen eine Preissenkung verhindern. Im Boom seig der opimale Preis hingegen. Wird eine Preisanpassung durch die Menükosen verhinder, nähern sich der wohlfahrsopimale und der geseze Preis an und die Wohlfahrsverluse verringern sich. Mankiw (985, S. 536) inerpreier das dahingehend, dass die Preisanpassung in Rezessionen und Booms asymmerisch verläuf; in Rezessionen komm es zu einer ineffizienen Unerprodukion, in Boomphasen aber nich zu einer ineffizienen Überprodukion. Während Mankiw (985) auf reale Ursachen, die Menükosen, absell, präsenieren Akerlof und Yellen (985) einen Ansaz, der auf dem Verhalen der Wirschafssubjeke beruh. Es wird angenommen, dass ein Teil der beracheen Wirschafssubjeke ihre Preise bzw. Löhne nich anpassen. Ausgehend von einem langfrisigen Gleichgewich wird die Reakion auf einen Schock unersuch. Akerlof und Yellen zeigen, dass die aggregiere Auswirkung groß is, während die Verluse, die bei den nich opimal reagierenden Wirschafssubjeken einreen, klein sind. Sie bezeichnen dann ein Verhalen, bei dem die Wirschafssubjeke nich opimal reagieren, aber die Verluse des nich-opimalen Verhalens gering sind, als near raional. Wie bei dem Ansaz von Mankiw (985) wird in dem Ansaz von Akerlof und Yellen (985) gezeig, dass kleine Ursachen auf der Ebene der Individuen große aggregiere Auswirkungen haben können. Ball und Romer (99) merken an, dass reale Rigidiäen, wie z. B. Effizienzlöhne oder implizie Verräge, keine Erklärung für die Auswirkung von nominalen Schocks auf reale Variablen liefern. Sie können aber die Effeke von nominalen Rigidiäen versärken, so dass auch hier gezeig werden kann, dass kleine nominale Rigidiäen erhebliche gesamwirschafliche Auswirkungen haben können. Uner dem Begriff Neu-Keynesianische Theorie sind nich nur Theorien zu nominalen Rigidiäen zusammengefass, sondern z. B. auch Arbeien zu Unvollkommenheien auf dem Kredimark (z. B. Sigliz und Weiss 98), Effizienzlohnheorien (z. B. Shapiro und Sigliz 6

11 984) oder Theorien über Koordinaionsversagen (z. B. Diamond 982 oder Cooper und John 988). Für die vorliegende Arbei spielen diese Theorien allerdings keine Rolle, weshalb an dieser Selle auf eine weiergehende Erörerung verziche wird. 2.2 Allgemeine Gleichgewichsmodelle in der Makroökonomie Prinzipiell lassen sich alle Bauseine der heuigen Neu-Keynesianischen Modelle einzeln ableien. So zeig z.b. Roemberg (987, S. 93), dass die Neu-Keynesianische Phillips-Kurve aus dem Calvo-Preisanpassungsmechanismus abgeleie werden kann. Dies führe zu der berechigen Kriik, dass in der Neu-Keynesianischen Theorie eine Gleichung nach der anderen enwickel würde, ohne einen gemeinsamen heoreischen Hinergrund (Wallace 2, S. 933). Der gemeinsame heoreische Rahmen ergab sich aus den DSGE-Modellen. Die Verwendung von allgemeinen Gleichgewichsmodellen geh auf Walras (874) zurück. In der Makroökonomie wurden allgemeine Gleichgewichsmodelle von Hicks (936) in Form des IS-LM-Modells noch in saischer Weise verwende. In Hicks (939) bahnbrechendem Werk Value and Capial wurde dann der Grundsein für die Verwendung von dynamischen allgemeinen Gleichgewichsmodellen geleg. Die Berücksichigung von Unsicherhei, ein wichiges Elemen für sochasische Umgebungen, konne zum ersen Mal durch Arrow und Debreu (954) realisier werden. Die Weierenwicklung der allgemeinen Gleichgewichsmodelle führe zur Konsrukion von mehrere Gleichungen umfassenden makroökonomerischen Modellen, wie z. B. das Federal Reserve Bank-MIT-Penn-Modell für die USA. Die makroökonomischen Modelle, die in den 6er und 7er Jahren verwende wurden, verfügen über keine Mikrofundierung, erfüllen somi nur durch Zufall ineremporale Budgebeschränkungen und behandelen Erwarungen in eher rudimenärer Weise (Chumacero und Schmid-Hebbel 25, S. 5). Insbesondere die Wiederendeckung des Arikels über raionale Erwarungen von Muh (96) durch Lucas (972) und Sargen (973) führe zur sogenannen Lucas-Kriik (Lucas 976). Diese führe zum Niedergang der alen Makroökonomerischen Modelle, da diese einen möglichen feedback wirschafspoliischer Maßnahmen auf das Verhalen raionaler Wirschafsubjeke nich berücksichigen. Bei einer ensprechenden Mikrofundierung lassen sich die Zusammenhänge auf die zugrundeliegenden Für einen guen Überblick über die Enwicklung von Allgemeinen Gleichgewichsmodellen vgl. Chumacero und Schmid-Hebbel (25). 7

12 Präferenz- und Technologieparameer runerbrechen. Hierdurch soll die Lucas-Kriik umgangen werden 2. Die Anforderungen einer gründlichen Mikrofundierung und die Berücksichigung von raionalen Erwarungen führe dann zur Enwicklung der DSGE-Modelle im Rahmen der realbusiness cycle (RBC) Theorie durch Kydland und Presco (982) und Long und Plosser (983). In diese Klasse von Modellen wurden dann die nominalen und realen Rigidiäen der Neu-Keynesianischen Theorie eingebau. Roemberg und Woodford (995) gehen von seigenden Skalenerrägen und unvollsändigem Webewerb aus, halen sich aber ansonsen noch sark an den vorgegebenen Rahmen der RBC-Lieraur. Insbesondere sind echnologische Schocks die reibende Kraf der konjunkurellen Schwankungen. Die Lösung des Modells enhäl noch keine Phillipskurve. Dies ändere sich mi Woodford (997). Neben monopolisischer Konkurrenz nach Dixi und Sigliz (977), enhäl das Modell räge Preisanpassung durch gesaffele Verräge in Form der Calvo-Preisanpassung. Die Lösung des Modells ergib eine Neu-Keynesianische Phillipskurve. Woodford analysier mi diesem Modell die Auswirkung des Sabiliäs- und Wachsumspakes in der Europäischen Währungsunion. Yun (996) nuz ebenfalls den Modelrahmen von Dixi und Sigliz, sowie Calvo-Preisanpassung in einem RBC-Modellrahmen. Yun zeig, dass Calvo-Preisanpassung die empirisch beobachee Korrelaion zwischen Oupu und Inflaion besser erklär, als ein Modell mi flexiblen Preisen. Goodfriend und King (997) geben eine Einführung in die, von ihnen als Neu-Neoklassische Synhese bezeichnee, Modellklasse der DSGE-Modelle mi nominalen Preisrigidiäen. Goodfriend und King zeigen, dass langfrisig die Neu- Keynesianischen DSGE-Modelle über klassische Eigenschafen verfügen, während sie kurzfrisig nachfragegeriebene konjunkurelle Schwankungen zulassen, also über keynesianische Elemene verfügen. Die Verbindung von langfrisig klassischen mi kurzfrisig keynesianischen Elemenen war der Kern der von Samuelson vorgeschlagenen Neoklassischen Synhese. Insofern is der Namensvorschlag von Goodfriend und King 2 Ob das asächlich der Fall is, is fraglich, da auch Präferenzen und Technologien durch ensprechende Poliikmaßnahmen beeinfluss werden. Eine komplee Ausschalung der Beeinflussung is aufgrund von Inerdependenzen wohl niemals zu erreichen. Allerdings muss die Beeinflussung auch nich komple ausgeschale werden, sondern nur möglichs klein sein (Harley 997, S ). Da die Neu-Keynesianischen Modelle kurzfrisige Zusammenhänge unersuchen, kann davon ausgegangen werden, dass die wirschafspoliischen Maßnahmen nur einen geringen Einfluss auf die Präferenz- und Technologieparameer haben. 8

13 konsequen 3. Roemberg und Woodford (998) sellen ein Modell analog dem Modell von Woodford (997) auf, bauen aber ad hoc lags in das Modell ein, um eine bessere Anpassung der heoreischen Impulsanworfunkionen an die empirischen zu erhalen. Während in den ersen DSGE-Modellen relaiv wenige Rigidiäen aufauchen, in erser Linie monopolisischer Webewerb und Calvo-Preismechanismen, werden in neueren Neu- Keynesianischen DSGE-Modellen viele verschiedene Rigidiäen eingebau, um eine bessere Anpassung der Modelle an die Daen zu ermöglichen. So verwenden Smes und Wouers (23, 24a,b und 27) DSGE-Modelle mi Calvo-Preisanpassung und Calvo-Lohnsezung zusammen mi der Berücksichigung von Gewohnheien im Konsumverhalen (habi formaion), Anpassungskosen beim Kapialsock und variablem Auslasungsgrad des Kapialsocks. Dies führ dazu, dass die aus diesen Modellen abgeleieen Phillips-Kurven neben der erwareen Inflaionsrae wieder die verzögere Inflaionsrae enhalen. Diese hybriden Phillips-Kurven verfügen über bessere empirische Eigenschafen. Für die isoliere Berachung der Auswirkungen von räger Preisanpassung in einem DSGE-Modell wird auf diese weierführenden Modelle verziche und sadessen ein einfaches Modell verwende. 3 Die Beonung der Geldpoliik und der Regelgebundenhei der Geldpoliik führ dazu, dass von manchen Auoren vorgeschlagen wurde, von neo-monearisischen Modellen zu sprechen (De Long 2). 9

14 3 Das Neu-Keynesianische Modell 3. Darsellung der Haushale Das im Folgenden vorgeselle DSGE-Modell mi räger Preisanpassung is eine vereinfache Version des Modells von Woodford (997) bzw. Roemberg und Woodford (998). Es handel sich dabei um ein einfaches allgemeines Gleichgewichsmodell, in dem Rigidiäen im nominalen Preissezungsverhalen der Unernehmen berücksichig werden. Die Preisrigidiäen werden analog dem Calvo-Modell inegrier. In dem Modell von Calvo (983) wird angenommen, dass jedes Unernehmen in jeder Periode mi einer Wahrscheinlichkei von -α seinen Preis anpassen kann. Mi der Wahrscheinlichkei α gil der Preis der Vorperiode weier. Im Gegensaz zu dem ursprünglichen Modell von Calvo wird hier ein Modell in diskreer Zei berache. Voreil des Calvo Modells is, dass die Theorien über verzögere Preisanpassung, die auf Fischer (977) und Taylor (98) zurückgehen, im Modell abgebilde werden, die Preisanpassung selbs aber unabhängig von der Vergangenhei is. In der ursprünglichen Formulierung von Fischer und Taylor hing die Preisanpassung von der versrichenen Zei ab, die Vergangenhei spiele hier eine wichige Rolle. Die Formulierung von Calvo führ so zu einer Vereinfachung der mahemaischen Berachung (Clarida, Galí und Gerler 999, S. 666). Die Modellökonomie beseh aus einem Koninuum aus idenischen Haushalen, die unendlich lange leben. Jeder dieser Haushale [,] j is monopolisischer Herseller eines Gues, wodurch es ebenfalls ein Koninuum von Güern gib. Die Berachung der monopolisischen Produzenen geh auf das Modell von Dixi und Sigliz (977) zurück. Jeder Haushal j maximier seine Lebenszeinuzenfunkion über alle Perioden : [ ( ) ( ( ))] j u C v y j E β () = u is eine konkave und v eine konvexe Nuzenfunkion, deren erse Ableiungen jeweils größer als Null sind, β is der Diskonierungsfakor, y (j) is die produziere Menge des eigenen Produkes und j C is der Konsumindex des Haushals j definier als: θ θ θ θ j j C c ( z) dz (2)

15 Hier sell c j ( z) den Konsum des Gues z durch Haushal j zum Zeipunk dar. θ > is die Subsiuionselasiziä zwischen den einzelnen Güern. Hieraus ergib sich als Preisindex: θ θ P p ( z) dz (3) wobei p ( z) der Preis des Gues z zum Zeipunk is. Der Preisindex is hier so definier, dass das Minimum der Ausgaben, die benöig werden, um einen besimmen Indexwer j C zu konsumieren, durch P gegeben is. C j Die Nebenbedingung bei der Maximierung der Lebenszeinuzenfunkion () für jeden Haushal sell die Budgebeschränkung dar, die für jeden Zeipunk erfüll sein muss: j j j ( z) c ( z) dz B + i B p ( j) y ( j) p + + ( ) + (4) Auf der linken Seie der Ungleichung seh als erser Term die Ausgaben für alle Konsumgüer des Haushales j in der Periode. Der zweie Term j B + sell das Vermögen des Haushales am Ende der Periode dar. Auf der rechen Seie der Ungleichung seh das Vermögen des Haushales j zum Beginn der Periode. Dieses Vermögen erbring am Ende der Periode - einen Zinserrag in Höhe von j i B, der dem Haushal am Anfang der Periode zur Verfügung seh. Hierbei is i der Nominalzins. Der leze Term sell die Einnahmen des Haushales j aus der Produkion des Gues j dar. j Durch Minimierung der Ausgaben p ( z) c ( z) dz uner Berücksichigung der Nebenbedingung, dass der Konsumindex (2) ein gegebenes Konsumniveau erreichen soll, ergib sich für jede Periode die Dixi-Sigliz-Nachfragefunkion für jedes einzelne Gu z: Zur Besimmung des Konsumniveaus ( z) θ j j p c ( z) = C (5) P j C für jede einzelne Periode wird die ineremporale Nuzenfunkion () uner der Nebenbedingung der ineremporalen Budgebeschränkung, die sich aus (4) ergib:

16 j j PC B + = + i = + i p ( j) y ( j) (6) maximier. Als Lösung des Opimierungsproblems ergib sich die bekanne Eulergleichung: j ( C+ ) P + = j ( C ) + i P u β (7) u Nimm man an, dass ein vollkommener Kapialmark exisier und die Haushale alle idenisch hinsichlich ihrer Nuzenfunkion und ihres Anfangsvermögens sind, so gil die Gleichung (7) nich nur für einen einzelnen Haushal, sondern auch für die gesame Ökonomie. Da die Haushale prinzipiell idenisch sind, würden sie in einer frikionslosen Ökonomie für alle Variablen j C, ec. idenische Were wählen. Durch die räge Preisanpassung unerscheiden sich aber die Einkommen der einzelnen Haushale im Zeiablauf. Die Haushale können sich nun über den vollkommenen Kapialmark gegen diese Schwankungen versichern, so dass auch in der Ökonomie mi Rigidiäen der Pfad aller Variablen für alle Haushale gleich is. Der Index j kann also hier und auch im folgenden weggelassen werden (Woodford 997). Abgesehen von dem Zinssaz i, der von der Zenralbank durch eine Zinsregel fesgeleg wird, is durch (5) und (7) die Nachfrageseie der Modellökonomie erklär. Auf der Angebosseie der Ökonomie muss die räge Preisanpassung berücksichig werden. In jeder Periode beräg die Wahrscheinlichkei, dass ein Haushal seinen Preis anpassen kann, -α. Kann der Haushal am Anfang der Periode seinen Preis sezen, so gil dieser Preis in, mi Wahrscheinlichkei α in +, mi Wahrscheinlichkei α 2 in Periode +2 und so weier. Der Haushal j sez nun den Preis für das Gu so, dass der Nuzen aus dem Gegenwarswer der zukünfigen Einnahmen abzüglich des Nuzenverluss, der aus der aufgewendeen Arbei zur Produkion des Gues beseh, maximier wird: Der Ausdruck k k α p ( j) y+ k ( j) β E [ v( y+ k ( j) )] (8) + i k Λ E k= Λ is dabei der Grenznuzen, der dem Haushal aus einer zusäzlichen Einhei nominalen Einkommens zum Zeipunk enseh. Da der Erlös für das Gu j nur einen infiniesimalen Beirag in der ineremporalen Budgeresrikion (6) des Haushales ha, kann der Grenznuzen für die folgende Analyse als konsan berache werden und fäll weg 2

17 (Woodford 997). Die Nachfragefunkion für das Gu y ( j) is gegeben durch (5) und is abhängig vom Preis p ( j). Ableiung nach ( j) * den opimalen Preis p ( j) : p ergib als Bedingung erser Ordnung für k= ( j) k * θ k p α E C+ k µ + i P + k * [ p ( j) S ] = + k, (9) θ wobei µ > gil. µ is dami der Fakor, um den der Preis die Grenzkosen S + k, θ überseig. Der Fakor is also Ausdruck der Monopolmach der Haushale. Die Grenzkosen S k, + sind die Kosen der Produkion zum Zeipunk +k, wenn der Preis des Gues zum Zeipunk gesez wurde: 3 ( j) * θ p v C P + k S + k = P + u + k k ( C ), () Gleichung () ergib sich uner Verwendung der Opimaliäsbedingung für den ineremporalen Konsum uner Berücksichigung der Konsanz von Λ. Zu beachen is, dass (5) in den obigen Gleichungen ohne Index j verwende wurde, da für die Besimmung der Nachfrage nach Gu j die gesamwirschafliche Nachfrage relevan is. Aus beiden Gleichungen ergib sich, dass der opimale Preis, der in Periode gesez wird, ein gewichees Miel aus den Erwarungen über den zukünfigen Zusand der Wirschaf, genauer der zukünfigen Nachfrage C + k und dem Preisniveau P + k, darsell. Da alle Haushale, die zum Zeipunk ihren Preis sezen können, den gleichen Preis wählen, folg mi (3), dass der Preisindex * P für alle Preise, die in veränder wurden, gleich p ( j) * Ebenfalls aus (3) ergib sich dami der Preisindex für die gesame Ökonomie als: θ * θ [ αp + α P ] θ P () = ( ) also als mi den Wahrscheinlichkeien gewichees Miel des Preisniveaus der vorigen Periode und dem Preisindex für die Preisänderungen der gegenwärigen Periode. Die Gleichungen (9), () und () beschreiben die Angebosseie der Ökonomie. Als lezer Bausein des Modells fehl die Zinsregel der Zenralbank, dami die Nachfrageseie geschlossen is. Im folgenden Abschni sollen aber ers die Angebos- und Nachfrageseie is.

18 log-linearisier werden, da diese Form der Darsellung zur Simulaion des Modells benöig wird. Die Zinsregel der Zenralbank wird in dem dann folgenden Abschni schon in der Form angegeben, die für die Modellsimulaion nowendig is. 3.2 Log-Linearisierung des Modells Zur Log-Linearisierung von Gleichung (7) wird als Nuzenfunkion u ( C ) eine iso-elasische Nuzenfunkion unersell: σ C u ( C ) = (2) σ wobei σ > angenommen wird. Aus der Form der Nuzenfunkion folg, dass die (konsane) ineremporale Subsiuionselasiziä gleich σ is. Mi (2) ergib sich aus (7) in logarihmierer Form approximaiv: ln C = ln β + E ln C+ ( i Eπ + ) (3) σ wobei π die Inflaionsrae darsell. Da es sich bei dem vorliegenden Modell um eine geschlossene Volkswirschaf ohne Saa und ohne Kapialakkumulaion handel, gil, dass die Konsumnachfrage gleich der gesamwirschaflichen Nachfrage is (Roemberg und Woodford 998). C in (3) kann also durch Y für das BIP ersez werden: ln Y = ln β + E lny+ ( i Eπ + ) (4) σ Gleichung (4) sell eine forward-looking IS-Kurve dar (King 2, S. 5). Der Klammerausdruck auf der rechen Seie der Gleichung is gemäß der Fisher-Gleichung der Realzins. Somi häng die gegenwärige Nachfrage, wie in der klassischen IS-Kurve, negaiv vom Realzins ab. Der erse Term auf der rechen Seie sell die Neuerung gegenüber der klassischen IS-Kurve dar, da die Nachfrage von dem erwareen zukünfigen Einkommen abhäng und nich vom gegenwärigen Einkommen. Zieh man von (4) die gleichgewichigen Were ab, so ergib sich: Yˆ = E Yˆ + σ ( i E π r) + (5) wobei Were, die mi einem Dach gekennzeichne sind, prozenuale Abweichungen vom Gleichgewich und r den gleichgewichigen Realzins angib. 4

19 Für die Log-Linearisierung der Gleichungen (9), () und () ergeben sich analog: Pˆ * = + k k αβ E sˆ + k, k + ˆ π s (6) k= s= + ( ) ( αβ ) sˆ k * ( + σ ) Yˆ θ / ω Pˆ π = + ω s (7) s= + + k, ˆ und wobei ( Y ) α ˆ * ˆ π = P (8) α v ω gesez wurde. Y ohne Zeiindex gib dabei den gleichgewichigen Wer v ( Y )Y an. P ˆ* gib die prozenuale Abweichung von P / P * vom gleichgewichigen Wer an. Der gleichgewichige Wer beräg hierbei genau eins, da im Gleichgewich der opimale Preis konsan is und somi der Preisindex der opimalen Preise, dem gesamen Preisindex ensprich. In gleicher Weise gil für k, s ˆ + k, S + / P vom gleichgewichigen Wer handel., dass es sich um die prozenuale Abweichung von Einsezen von (7) in (6) und Umsellung der Gleichung ergib: Pˆ * κα = α + k + k= k= k ( αβ ) E Yˆ ( αβ ) k E ˆ π + k (9) mi κ ( α )( αβ ) α ω + σ σ ( ω + θ ) (2) * Gleichung (9) besag, dass die Abweichung des opimalen relaiven Preises ( P / P ) von seinem gleichgewichigen Wer abhäng von den gewicheen Erwarungen über die zukünfige Oupu-Gap ( ihrem Gleichgewich ( πˆ ˆ Y + k + k ) und der zukünfigen erwareen Abweichung der Inflaion von ). Mi Hilfe von Gleichung (9) kann der opimale Preis für jedes einzelne Unernehmen besimm werden. Eingesez in Gleichung (5) ergib das den Oupu für jedes Unernehmen. (9) kann auch dargesell werden als: 5

20 Pˆ * ˆ κα αβ ˆ αβ ˆ π (2) α * = E P + + Y + E + Daraus ergib sich mi Gleichung (8): ˆ π = βe ˆ π Yˆ + + κ (22) die Neu-Keynesianische Phillips-Kurve. Die Abweichung der Inflaion vom Gleichgewich häng ab von der Oupu-Gap und der erwareen zukünfigen Inflaion. 3.3 Verhalen der Zenralbank Prinzipiell läss sich das Verhalen der Zenralbank aus der Minimierung einer quadraischen Verlusfunkion des Typs: [ ˆ + ] 2 2 α π = i L E β Y+ i + i (23) 2 i= uner Berücksichigung von (5) und (22) ableien. Dabei zeigen Woodford (999) und Roemberg und Woodford (999), dass die Verlusfunkion als Approximaion aus einer Wohlfahrsfunkion abgeleie, also lezendlich die Funkion auch im Rahmen eines generellen Gleichgewichsmodells behandel werden kann. Für die Ableiung der Zinsregel der Zenralbank spielen dann verschiedene Annahmen über das Verhalen der Zenralbank, aber auch über die zugrundeliegende Nuzenfunkion der Haushale eine Rolle. Ein wichiger Einflussfakor wäre z.b., ob die Zenralbank diskreionäre oder Regel-gebundene Geldpoliik bereib (vgl. z.b. Clarida, Galí und Gerler 999). Da bei der vorliegenden Unersuchung nich das Verhalen der Zenralbank im Vordergrund seh, sondern dass Verhalen von einzelnen Unernehmen während des Konjunkurzyklus, kann auf eine iefergehende modellheoreische Unersuchung der Geldpoliik verziche werden. Im Folgenden soll eine Zinsregel für die Zenralbank unersell werden, die sich empirisch bewähr ha. Die wohl bekannese Zinsregel is die Taylor-Regel (993). Taylor zeig, dass eine einfache Gleichung des Typs: i = b Yˆ ˆ + b π (24) Y π die Zinspoliik der amerikanischen Zenralbank überraschend gu beschreib. Zinsregeln im Geise der Regel (24) lassen sich approximaiv aus der Verlusfunkion (23) ableien und sind demnach heoreisch fundier (vgl. z.b. Svensson 996, 997; Bernanke und Woodford 997 oder Ball 999). Die Were, die Taylor für die Parameer angib, sind,5 für by ˆ und,5 für 6

21 b π. In neueren Papern wird allerdings eine komplizierere Form der Zinsregel verwende. Insbesondere wurde berücksichig, dass der von der Zenralbank geseze Zins empirisch sehr viel räger is, als z.b. die aus den Modellen abgeleiee opimale Zinsregel implizier (Roemberg und Woodford 998). Gründe für dieses als ineres rae smoohing bezeichnee Verhalen der Zenralbank können uner anderem das vorausschauende Verhalen der Markeilnehmer (vgl. z.b. Williams 23), Messfehler bei wichigen makroökonomischen Größen (vgl. z. B. Orphanides 23) oder auch Unsicherhei über die srukurellen Parameer (vgl. z. B. Södersröm 999 oder Wieland 2) sein. Goodfriend (99) zeig, dass eine volaile Geldpoliik zu Insabiliä an den Finanzmärken führen kann. Berücksichig man ineres rae smoohing in der Zinsregel, so ergib sich: i ( )( γ + b ˆ ˆ Y + b π ) + ρ i ρ π (25) = Y γ seh dabei für den gleichgewichigen Zinssaz und ρ is der Parameer, der angib, wie sark das ineres rae smoohing berieben wird (Clarida, Galí und Gerler 999, S. 687). Svensson (997) zeig, dass (25) auch als opimale Regel aus einer quadraischen Verlusfunkion, ähnlich der Funkion (23) abgeleie werden kann, wenn sie die Lücke zwischen akuellem und verzögerem Zinssaz beinhale 4. Neuere Unersuchungen berücksichigen nich mehr die gegenwärige Oupu-Lücke oder die gegenwärige Differenz zwischen Inflaionsrae und Zielinflaionsrae, sondern die Erwarungen über die zukünfige Oupu-Lücke und die zukünfige Differenz zwischen Inflaionsrae und Zielinflaion (vgl. z. B. Clarida, Galí und Gerler 2): i ( )( γ + b ˆ ˆ EY + b Eπ ) ρi ρ π (26) = Y Diese Erweierung is durch die Gleichungen (5) und (22) implizi in (25) berücksichig. Die gegenwärige Oupu-Lücke häng über (5) sowohl von der erwareen zukünfigen Oupu- Lücke als auch von der erwareen zukünfigen Inflaion ab. Über (22) erfolg die 4 Gerberding, Seiz und Worms (27) zeigen, dass aus einer Poliik der Geldmengenseuerung eine ensprechende Zinsregel abgeleie werden kann. Allerdings berücksichig die Zenralbank dann nich mehr die Oupu-Lücke, sondern die Abweichung des Oupu-Wachsums vom Wachsum des Produkionspoenials. Ineressanerweise implizier die Ableiung der Zinsregel aus einer Geldmengenseuerung, dass auomaisch ineres rae smoohing safinde (Gerberding, Seiz und Worms 27, S. 7). 7

22 Verknüpfung von gegenwäriger Inflaionsrae mi zukünfiger erwareer Inflaionsrae. Seze man (5) und (22) in (25) ein, ergäbe sich: i = π π Y ( ρ ) γ + { b + b κ} E Yˆ ˆ + ( E π + r) Yˆ π + ρ + b σ b βσ + b κ + b Yˆ + σ κ b σ ( ρ ) π + + ρi (27) Die Gleichung (25) ha gegenüber (26) den Voreil, dass nur die Zeipunke und - berücksichig werden. In Gleichung (26) müsse zusäzlich + einbezogen werden. Da Lösungsalgorihmen für lineare Differenzengleichungssyseme mi raionalen Erwarungen nur für die.ordnung verfügbar sind, müsse (26) somi ohnehin in (25) ransformier werden, so dass im Folgenden zur Vereinfachung (25) verwende wird. Mi der Spezifizierung der Zinsregel is das Modell geschlossen und repräsenier mi seinen drei Gleichungen (5), (22) und (25) den grundlegenden Rahmen für moderne moneäre Analysen (McCallum 2). 3.4 Lösungsansaz für das lineare Gleichungssysem Die drei Gleichungen ergeben umgesell ein lineares Gleichungssysem der Form: E Yˆ σ π + + E + i σ = Yˆ ε βe π = π κyˆ χ + (28) i ( ρ )( b Yˆ ˆ + bπ π ) + ρ i + = Y η Zur Vereinfachung wurde der gleichgewichige Realzins r auf Null gesez. Zusammen mi der Zielinflaionsrae von Null ergib das einen gleichgewichigen Nominalzins γ in Gleichung (25) von ebenfalls Null. Diese Normierung ha keinen Einfluss auf das Ergebnis, bewirk aber, dass aus den Gleichungen (5) und (25) die Konsanen verschwinden, wodurch die Lösung und Simulaion des Gleichungssysems (28) erleicher wird. Bei ε, 8 χ und handel es sich um normalvereile, unabhängige Sörerme mi Erwarungswer Null und zeiinvariaer Sandardabweichung. Das negaive Vorzeichen von ε und χ resulier daher, dass die Sörerme addiiv mi der ursprünglichen Form der Gleichungen verknüpf sind. Da ε addiiv mi der IS-Kurve verknüpf is, kann er als Nachfrageschock inerpreier werden. χ is der Schock an der Neu-Keynesianischen Phillips-Kurve, seh also für einen η

23 Angebosschock, während geldpoliischen Schock seh. In Marixschreibweise laue das Sysem (28): Dabei gil: η durch die Verknüpfung mi der Zinsregel für einen AE x υ + = Bx + CE (29) Yˆ x = π, i ε υ = χ, η σ σ A = β, B = κ ( ) ( ) ρ b ρ ρ Yˆ b π und C =. Blanchard und Kahn (98) zeigen, dass, wenn A nich-singulär is, eine eindeuige und sabile Lösung für das Sysem exisier, wenn die Anzahl der Eigenwere des Gleichungssysems gleich der Anzahl der vorherbesimmen Variablen is. King und Wason (998) verallgemeinern den Lösungsansaz von Blanchard und Kahn, so dass anselle der Nich-Singulariä von A die Bedingung Az B erfüll sein muss. Für β is die Marix A nich-singulär, so dass das Resula von King und Wason nich unmielbar relevan is, allerdings präsenieren sie auf Grundlage des Papers von 998 in King und Wason (22) einen Lösungsalgorihmus, der für das vorliegende Problem verwende wurde. Bei einem einfachen Differenzengleichungssysem, also ohne Schocks und dami auch ohne raionale Erwarungen, is die Lösung rech einfach. Da aber das Prinzip das gleiche is, wie bei der kompliziereren Variane mi raionalen Erwarungen, soll es hier kurz vorgesell werden. Ausgangspunk is ein homogenes Differenzengleichungssysem. Ordnung: Mi x als n Vekor und A als n n Marix der Parameer. x + = Ax (3) Die Schwierigkei bei der Besimmung der Lösung beseh darin, dass die einzelnen Differenzengleichungen inerdependen sind. Der Lösungsansaz sieh vor, dass das Sysem so ransformier wird, dass diese Inerdependenzen nich mehr besehen. Man ha es dann nur 9

24 noch mi n verschiedenen einfachen Differenzengleichungen zu un, die einzeln gelös werden können. Dazu muss das Sysem diagonalisier werden, d.h. es wird so ransformier, dass die Marix A nur noch auf der Haupdiagonalen von Null verschiedene Elemene besiz. Dazu müssen die charakerisischen Wurzeln oder Eigenwere λ der Marix A berechne werden. Die Eigenwere sind die Lösungen der Gleichung: A λ I = (3) wobei I die Einheisvekor n n Einheismarix is. Für jede Einheiswurzel λ i exisier ein n p i, der sich als Lösung von Ap = λ (32) i p i i ergib. Die n Einheisvekoren können nun in einer Marix P mi der Dimension angeordne werden. Die Marix P ha die Eigenschaf n n Hier is Λ eine P AP = Λ (33) n n Marix mi den n Eigenweren auf der Haupdiagonalen und Null sons. Somi kann (3) umgeform werden zu: P x = P APP (34) + x bzw. mi u = P x : u+ = Λu (35) Das Sysem kann nun anhand der einzelnen nun nich mehr inerdependenen Differenzengleichungen gelös werden. Durch Rückransformaion, in dem die Lösung mi P muliplizier wird, erhäl man die Lösung für (3). = Die Lösung für eine einfache Differenzengleichung x ax durch Rückwärsieraion nimm dann folgende allgemeine Form an: x = a x (36) Die Lösung konvergier genau dann gegen einen Wer (in diesem einfachen Beispiel Null), wenn a < erfüll is. Da in (35) der Parameer a gleich dem Eigenwer is, sprich man von einem sabilen Eigenwer, wenn der Eigenwer innerhalb des Einheiskreises lieg. 2

25 Bei raionalen Erwarungen is die Lösung schwieriger. In dem bekannen Arikel von Muh (96), in dem die Verwendung von raionalen Erwarungen das erse Mal vorgeschlagen wurde, auch das Problem allerdings noch nich auf. Muh führe in einem Cob-Webb-Modell raionale Erwarungen über den gegenwärigen Preis ein. Dadurch wurden die Schweinezyklen, die in dem Modell mi adapiven Erwarungen aufauchen, vermieden und es kam zu einer eindeuigen Lösung. Dies is nich nowendigerweise der Fall, wenn die raionalen Erwarungen sich auf zukünfige Perioden beziehen (Shiller 978). Ha man es mi einer Differenzengleichung des Typs E x = + ax, wie in dem Gleichungssysem (28) zu un, so ergib sich die Lösung durch Vorwärsieraion als: n x E x+ n = (37) a Dieser Wer ha genau dann eine Lösung, wenn a > erfüll is. Die Lösung für Differenzengleichungen, die raionale Erwarungen über zukünfige Variablen haben, müssen also über unsabile Eigenwere verfügen. Dies is genau die Bedingung, die Blanchard und Kahn (98, S. 38) für die Eindeuigkei der Lösung von (28) aufgesell haben. Die Gleichung (29) läss sich aufeilen in einen Vekor vorherbesimmer Variablen v und einen weieren Vekor w, der die Variablen mi raionalen Erwarungen über zukünfige Were enhäl. Das Gleichungssysem sieh dann wie folg aus: v+ Ew + = v A w (38) Zur Lösung des Problems überführen Blanchard und Kahn (98) A in die Jordan sche kanonische Form: A = C JC (39) Hierbei sind die diagonalen Elemene der Marix J die aufseigend angeordneen absoluen Eigenwere der Marix A. Zusäzlich wird J weier aufgeeil in: J J = (4) J 2 die Marix J enhäl die absoluen Eigenwere, die innerhalb des Einheiskreises liegen, während die Marix J 2 die Eigenwere außerhalb des Einheiskreises beinhale. Die Marix C 2

26 wird ensprechend aufgeeil. Mi Hilfe der Jordan schen kanonischen Form können dann die unerschiedlichen Lösungen für die vorherbesimmen Variablen bzw. die Variablen mi Erwarungsweren besimm werden. Die Formeln für die Lösungen sind relaiv komplizier und können bei Blanchard und Kahn (98, S. 38) nachgelesen werden. Auf Grund der Komplexiä des Lösungsansazes von Blanchard und Kahn schlagen King und Wason (22) eine Vereinfachung der Berechnung vor, die besonders für größere Syseme eine deuliche Reduzierung des Rechenaufwands bewirken. Hierbei wird das dynamische Sysem (29) aufgeeil in zwei Variablen. Die dynamische Variable d enwickel sich im Zeiverlauf wie folg: E d + = Wd + Ψd Eυ (4) Die anderen Variablen f enwickeln sich dann gemäß der Gleichung: f = Kd Ψ E υ (42) f King und Wason zeigen, dass, wenn die Blanchard-Kahn Bedingungen für die Lösbarkei und Eindeuigkei von (29) erfüll sind, das Sysem (29) in das Sysem (4) und (42) überführ werden kann und die gleiche Lösung liefer, wie die Blanchard-Kahn Lösung für das Ursprungssysem. Der Algorihmus von King und Wason (22) sieh dann als ersen Schri vor, Zeilen mi Nullen in der Marix A des Gleichungssysems (29) zu finden bzw. durch geeignee Transformaionen zu erzeugen. Die Zeilen mi Nullen in A sellen dann Ideniäsgleichungen dar, die Variablen zum Zeipunk mieinander verknüpfen. Diese Gleichungen sind dann das Sysem (42) (King und Wason 22, S. 66). Das vereinfache Gleichungssysem (4) kann dann mi Hilfe der Blanchard-Kahn Mehodik gelös werden (King und Wason 22, S. 72). Mi der Lösung für das Gleichungssysem (29) kann die Ökonomie für n Perioden simulier werden. Man erhäl für jeden Zeipunk die Were für Yˆ, π und i. Um das Verhalen der einzelnen Unernehmen j hinsichlich des realen Umsazes zum Zeipunk, also der Variablen y ( j), zu unersuchen, muss die Enwicklung der Gesamwirschaf auf die Unernehmen runer gerechne werden. Dies geschieh über Gleichung (9). Hier wird der opimale relaive Preis des Unernehmens j zum Zeipunk als Abweichung vom gleichgewichigen relaiven Preis berechne. Aus Vereinfachungsgründen wird der gleichgewichige Preis auf eins normier. Zur Berechnung des opimalen Preises für das 22

27 Unernehmen müssen die Erwarungen über die zukünfige Oupu-Gap und die zukünfige Inflaionsrae für das Unernehmen besimm werden. Da die Unernehmen raionale Erwarungen bilden, ensprechen ihre Erwarungen der asächlichen Enwicklung des Modells, wenn keine weieren zukünfigen Schocks aufreen. Abbildung : Berechnung des Umsazes; Quelle: Eigene Darsellung. B e r e c h n u n g v o n Yˆ, π u n d i ü b e r d e n A lg o r ih m u s v o n K in g u n d W a s o n ( 2 2 ) B e s im m u n g d e s o p im a l e n r e l a iv e n P r e is e s ; d ie E r w a r u n g e n ü b e r O u p u - G a p u n d In f la io n w e r d e n ü b e r d i e Im p u l s - A n w o r - F u n k io n m i i a l s Z u s a n d b e s im m E r m ilu n g d e r F i r m e n, d i e d e n P r e i s a n p a s s e n d ü r f e n B e r e c h n u n g d e s r e a le n U m s a z e s y ( j ) ü b e r d e n r e l a iv e n P r e is d e r je w e i lig e n F i r m a u n d ü b e r Yˆ Die zukünfige Enwicklung des Modells ohne weiere Schocks ergib sich aus der Berechnung der Impuls-Anwor-Funkion für die Variabeln Oupu-Lücke und Inflaion. Dabei muss allerdings berücksichig werden, dass sich das Modell zum Zeipunk aller Voraussich nach nich im Gleichgewich befinde, da die Realisaionen von Yˆ, π und i das Ergebnis eines Zufallsprozesses sind. Deshalb muss bei der Berechnung der Impuls-Anwor- Funkion der Zusand der Modellökonomie berücksichig werden. Dies geschieh durch die Einbeziehung des jeweiligen Weres der Zusandsvariable. Dies is in dem vorliegenden Modell der Zinssaz, dessen Wer zum Zeipunk durch die Simulaion bekann is. Is der opimale relaive Preis zum Zeipunk berechne, so muss für jedes Unernehmen überprüf werden, ob es den Preis anpassen darf. Dazu wird für jedes Unernehmen eine 23

28 Sequenz der Länge n, also der Länge der Simulaion ensprechend, von Realisaionen q einer seigen gleichvereilen Zufallsvariablen ~ U (,) Q erzeug. Zu jedem Zeipunk gil dann: p P ( j) ˆ * P + = für q α p ( ) > j für q α P (43) Die Addiion von eins im oberen Teil der offenen Klammer resulier aus der Normierung des gleichgewichigen relaiven Preises auf eben eins. Nach Berechnung des relaiven Preises für jedes Unernehmen j, kann mi der Nachfragefunkion (5) der reale Umsaz y ( j) berechne werden. Dabei is zu berücksichigen, dass durch die Vernachlässigung des Saaes und der Invesiionsäigkei der Unernehmen sowie durch die Annahme einer geschlossenen Volkswirschaf der Konsumindex C gleich dem Oupu Y is. Durch die Simulaion von (28) erhäl man die Oupu-Gap Yˆ. Normier man nun den gleichgewichigen Oupu zur Vereinfachung auf eins, so kann man aus den Weren der Simulaion den Oupu und dami auch den realen Umsaz jedes Unernehmens berechnen. In Abbildung sind die einzelnen Schrie zur Besimmung des realen Umsazes y ( j) noch einmal zusammengefass. 3.5 Simulaionsergebnisse 3.5. Kalibrierung Ein wichiger Parameer in dem vorliegenden Modell is die Wahrscheinlichkei α, die angib mi welcher Wahrscheinlichkei ein Unernehmen seinen Preis in der Periode nich anpass. α seuer maßgeblich die Heerogeniä der Unernehmen und dami auch die Vereilung der realen Umsäze. Die Auswirkung von α auf die Heerogeniä kann an den beiden Exremen α= und α= verdeulich werden. Im ersen Fall sezen alle Unernehmen in jeder Periode ihre Preise neu, die Preise sind also vollkommen flexibel. In diesem Fall brauchen nich mal mehr Erwarungen gebilde werden, da auf verändere Rahmenbedingungen sofor reagier werden kann. Da alle Unernehmen annahmegemäß gleich sind, sezen auch alle Unernehmen den gleichen relaiven Preis und haben demnach nach Gleichung (5) auch alle den gleichen realen Umsaz. Es läge also Homogeniä vor. Ähnliches gil für den Fall α=. In 24