Die Group Method of Data Handling eine Verwandte der neuronalen Netze?

Transkript

1 Die Group Method of Dt Hndling eine Verwndte der neuronlen Netze? Fchhochschule Merseburg

2 Beispiele für Anwendungen der GMDH : 2

3 Beispiele für Anwendungen der GMDH (2): 3

4 Beispiele für Anwendungen der GMDH (3): 4

5 5

6 y k j Regressionsfläche 6

7 Systemeingänge; Systemeingngsgrößen δ Meßstelle i Meßstelle m.. System y + beeinflußte Größe, Ausgngsgröße Meßstelle y δ Meßstelle Eingngsgrößen für die Modellbildung Modelleingngsgrößen t. t q y - y-q t. t q. t. t q. t. t q,-,-q i i,- i,-q m m,- m,-q Modell 7

8 Meßdten (Beispiel): k,, k, k 2..., k q... mk, mk, mk, 2... mk, q Nr y k y k y k 2... y k q ( 0) ( ) ( 2)... m ( 0) m ( ) m ( 2) 0 y(0) y(-) y(-2) () ( 0) ( )... m () m ( 0) m ( ) y y(0) y(-) ( 2) () ( 0)... m ( 2) m () m ( 0) 2 y(2) y y(0) ( 0) ( 9) () 8... m ( 0) m ( 9) m () 8 0 y(0) y(9) y(8) Meßdten (t) X m (t) Meßdten y Meßdten Etrpoltionsbereich Etrpoltionsbereich Etrpoltionsbereich (Vorhersge)

9 Alle beobchtbren Größen, die uf die interessierende Größe Einfluß hben können, sollen nchfolgend Systemeingngsgrößen gennnt werden. Die Größe, die von ihnen beeinflußt wird und die zu steuern oder zu prognostizieren ist, soll ls Ausgngsgröße bezeichnet werden. Auch diese Größe sei beobchtbr. Dem betrchteten System steht nun ds Modell gegenüber, ds Modelleingngsgrößen mit der Ausgngsgröße verbindet. Im einfchsten Fll sind die Systemeingngsgrößen und die Modelleingngsgrößen identisch. Um die Anwendbrkeit der Modellierungsmethode zu erweitern, ist es jedoch sinnvoll, zunächst die Modelleingngsgrößen von den Systemeingngsgrößen zu unterscheiden. Verllgemeinert können dnn diese Modelleingngsgrößen us m System ufgenom-menen Meßreihen der Systemeingngsgrößen und der Ausgngsgröße unterschiedlich gebildet werden (s. unten). Einen möglichen Anstz dfür zeigt Abb..4.. Im llgemeinen wird uch der Begriff Einflußgrößen verwendet. Drunter sollen lle uf ds System einwirkende Größen verstnden werden, lso uch die, die nicht gemessen werden können und die, die nicht beknnt oder nicht beobchtbr sind. Es seien nun drei prktische Anwendungsgruppen betrchtet, bei denen die m System gemessenen Eingngsgrößen (Systemeingngsgrößen) uf unterschiedliche Art und Weise uf die Eingngsgrößen für die Modellbildung (Modelleingngsgrößen) bgebildet werden. 9

10 Erste Gruppe: Die Modelleingngsgrößen spiegeln nur die unmittelbre Wirkung der Systemeingngsgrößen uf die interessierende, zu prognostizierende Größe (Ausgngs-größe, beeinflußte Größe) wider. Etwige verzögerte oder sich im System träge uswirkende Systemeingngsgrößen werden nicht berücksichtigt. In diesem Fll sind Modelleingngsgrößen und Systemeingngsgrößen identisch. Die Abhängigkeit, die durch die Regression drgestellt wird, ist in diesem Fll eine sttische Chrkteristik (bzw. sttische Kennlinie), die keine Zeitverzögerungen berücksichtigt. Sttische Kennlinien werden für die Beschreibung von Systemen mit kleinen Speichern (Energie-, Stoffspeicher u.ä.) verwendet, deren Kpzität bei der Berechnung vernchlässigt werden knn (sttische Systeme, d.h. Systeme ohne Trägheit). Meßdten, die für die Rekonstruktion sttischer Kennlinien mit Hilfe der Regression notwendig sind, sind in diesem Fll Meßreihen der Systemeingngsgrößen und der beeinflußten Größe (Systemusgngsgröße). Bei der Rekonstruktion der sttischen Kennlinie von dynmischer Systemen werden Meßreihen der gleichen Größen wie im Fll sttischer Systeme benötigt, die jedoch erst nch Abklingen der Übergngsprozesse ufgenommen werden dürfen. 0

11 Zweite Gruppe: Die Modelleingngsgrößen spiegeln sowohl die unmittelbre Wirkung ls uch die verzögerte Wirkung von Systemeingngsgrößen uf die zu prognostizierende Größe wider sowie die Wirkung der zu prognostizierenden Größe (Ausgngsgröße) uf sich selbst. Die Modelleingngsgrößen spiegeln lso uch die Trägheit im System wider, die etw durch große Speicher im System verurscht wird. Die Abhängigkeit y f ( y, y,..., y,,,...,, k = k k 2 k q, k, k, k q,...,,...,,..., ) 2, k 2, k q m, k m, k q die durch die Regression drgestellt wird, ist in diesem Fll eine dynmische Chrkteristik (dynmische Kennlinie), d.h. die Lösung der Differentil- bzw. Differenzengleichungen, die ds System beschreiben, für ds entsprechende Eingngssignl (Meßreihe der Werte der Systemeingngsgrößen). Dritte Gruppe. Die Modelleingngsgrößen spiegeln nur die Verzögerung des zu prognostizierenden Prozesses (der Ausgngsgröße) wider. Die Abhängigkeit, die durch die Regression beschrieben wird, ist in diesem Fll eine Autoregression. In Abhängigkeit dvon, zu welcher Gruppe die Anwendungsufgbe gehört, erfolgt die Bildung der Eingngsmtri für die Modellierung us den vorhndenen Meßdten (s. Tb..4. und Abb..4.b).

12 Sttische und dynmische Ein-/Ausgngsmodelle 2

13 Teilmodelle. Selektionsstufe Teilmodelle 2. Selektionsstufe 2 P v v v 2 v v v P z z 2 P 2 v 2 v v v 2 P 2 z 2 i j k P n v n S v i v j v k P n z n S 2 usw. y m m m m P r v r v F v F v F v F P r z r z F P n v n S I ŷ - n-tes Teilmodell uf der jeweiligen Stufe; Grundform (s.g. Stützfunktion): v=a i +B j k bzw. z=cv i +Dv j v k - uf Bsis des Teilmodells P n geschätzter Ausgng - Selektion der F besten Zwischenmodelle us r Teilmodellen - geschätzter Ausgng des endgültigen Modells (usgng des besten Modells uf der letzten Itertionsstufe) 3

14 Beispiel: Modelle mit nichtlinerer Stützfunktion Die Eingngsmtri X enthält 4 Vrible. Stufe: v2 = v = f (, 2 ) = v3 = v2 = f (, 3 ) = v3 = v3 = f (, 4 ) = v = v4 = f ( 2, 3 ) = v24 = v5 = f ( 2, 4 ) = v34 = v6 = f ( 3, 4 ) = (2) (2) 2. Stufe: z2 = z = f ( v, v3 ) = v + 2 vv3 (2) (2) z3 = z2 = f ( v, v6 ) = 2 v + 22 vv6 (2) (2) z3 = z3 = f ( v3, v6 ) = 3 v3 + v3v6 usw. 4

15 Rückrechnung der Koeffizienten: Es soll ngenommen werden, dss ds Abbruchkriterium gezeigt ht, dss sich ds optimle Modell uf der 2 ten Stufe befindet und ds Modell Modell z 3 ist. z 3 = = = + (2) 3 (2) 3 v (2) 3 (2) ( + ) + ( + )( + ) v 3 + (2) 6 v v 4 6 = (2) v v (2) (2) = z + 3 = A + A2 4 + A3 3 + A4 4 3 A mit A A A A A = = = = = (2) 3 3 (2) (2) (2) (2) wurde durch die Konkurrenz der prtiellen Modelle eliminiert! 5

16 Problem der Prognosefähigkeit bei der Modellierung mit NN vgl. GMDH y gestörte Dten Interpoltionsbereich (Aussteuerungsbereich) echte Modellstruktur Vergleich einer echten und einer übermodellierten Struktur Etrpoltionsbereich Etrpoltionsbereich übermodellierte Struktur 6

17 y k j Regressionsfläche y k j Beispiel einer Regressionsfläche bei untermodellierter Struktur 7

18 Wirkung der Whl des Kriteriums uf die Prognosefähigkeit: ŷ Interpoltionsbereich Etrpoltionsbereich ŷ bei Struktur ŷ bei Struktur 4 ŷ bei Struktur 2 ŷ bei Struktur 3 8

19 Teilung der Dten in eine Lehrfolge und eine Prüffolge l 2... m y Lehr- oder Triningsfolge Prüffolge Die Modelle werden bis zur Erreichung des Minimums des gewählten Selektionskriteriums immer komplizierter. Ds endgültige Modell könnte beispielsweise folgende Form hben: 3 5 y = A0 + A 7 + A Ai Q Wert des Selektionskriteriums S Zhl der Stufen 9

20 y m A y y 2 y 2 m 2m m y 2 m- y m A z A z 2 A z n Z A A z m A z 2m A z nm B y y B z B z 2 Z B B z m B z 2m 2 m y n n nm m- B z n z nm B 20

21 Q Q Q Q 0 j j k j+ Grphische Drstellung der gesuchten Lösung im Prmeterrum 2

22 Schritt Schritt 2 Allgemeine Meßdtenufbereitung in Abhägigkeit vom Zweck der Modellierung Bildung von Modelleingngsgruppen für die konkurrierenden Teilmodelle der Selektionstufe Schritt 9 Überprüfung der Selektionsstufe: Verbesserung d. Abbruchkrit.? nein Schritt 3 Schritt 4 Schritt 5 Schritt 6 Schritt 7 Dtenufbereitung für die Teilmodelle der lufenden Stufe Dtenteilung Berechnung der Koeffizienten der Teilmodelle für die lufende Stufe Berechnung der geschätzten Ausgänge der Teilmodelle Berechnung und Rngierung der Werte der Strukturselektionskriterien der Teilmodelle für die lufende Stufe Schritt 0 Schritt Schritt 2 Neue Schätzung der Koeffizienten der F besten Teilmodelle uf dem vollständigen Dtenbereich t+c Übergbe der F besten Teilmodelle ls Eingänge n die nächste Selektionsstufe j Abbruch und Rückrechnung: Modellvorschlg (Modellvorschläge) lufende Selektionsstufe Schritt 8 Auswhl der entsprechend dem Strukturselektionskriterium F besten Teilmodelle für die nächste Selektionsstufe Stop 22

23 Gemeinsme Probleme der GMDH und der neuronlen Netze bei der Modellierung

24 Q Q Q Q 0 j j k j+ 24

25 Q Q I Q II Q= Q I Q II Q I Q II k(ii) k(i) (I) j(i) (II) j(ii) j k Mß für den Vergleich zweier Strukturen 25

26 Q Q II Q I ρ(q I, Q II ) Q I Q II j(i) j(ii) j+(ii) j+(i) I ρ M+ (, I II ) II j j+ Abstnd zwischen zwei us unterschiedlichen Stichproben gebildeten Modellen (Nähe der Modelle bezüglich ihres Ausgngs y) 26

27 Q Q I Q I Q II ρ(q I, Q II) Q II = j(ii) j(i) II j I ρ M+ (, I II ) j+ Abstnd zwischen zwei us unterschiedlichen Stichproben gebildeten Modellen (Nähe der Modelle bezüglich der Koeffizienten ) 27

28 Q Q I Q II ρ(q I, Q II ) Q I Q II II j I ρ M+ (, I II ) j+ Abstnd zwischen zwei us unterschiedlichen Stichproben gebildeten Modellen (vollständige Nähe der Modelle) 28

29 Q B B' A j A' k Instbiles Funktionl 29

30 Q Q= Q I Q II Q I Q II Instbilität der Lösung bei etrem flchen Funktionlen Q I j(i) Q II j(ii) k(ii) k(i) (II) j (I) k j Projektion der Niveulinien des Gebildes des Prmeterkriteriums (Funktionls) im Fll einer instbilen Lösung k 30