Wichtige Systemstrukturen und deren Differenzialgleichungen (DGL):
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- Lioba Fleischer
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1 Hochschule für Technik und Wirtschft Dresden Prof. Hns-Dieter Seelig, Ph.D. Fkultät Elektrotechnik Lehrvernstltung Systemtheorie 3 Systeme im Zeitbereich ( t ) 3. Allgemeines Wichtige Systemstrukturen und deren Differenzilgleichungen (DGL): ) Bsp.: OPV x e : u e x : u K p : V u = R 2 /R b) Bsp.: Vriometer im Flugzeug (Anzeige der Steig- und Sink-Geschwindigkeit) x e : Flugzeug-Höhe x : Zeigeruschlg
2 Hochschule für Technik und Wirtschft Dresden Prof. Hns-Dieter Seelig, Ph.D. Fkultät Elektrotechnik Lehrvernstltung Systemtheorie c) Bsp.: Wsser-Tnk x e : q = einströmende Wssermenge x : h = Füllhöhe im Tnk d) Bsp.: RC - Tiefpssfilter T = R C 2
3 Hochschule für Technik und Wirtschft Dresden Prof. Hns-Dieter Seelig, Ph.D. Fkultät Elektrotechnik Lehrvernstltung Systemtheorie e) Bsp.: RC - Hochpssfilter T = R C f) Bsp.: RLC - Glied 3
4 Hochschule für Technik und Wirtschft Dresden Prof. Hns-Dieter Seelig, Ph.D. Fkultät Elektrotechnik Lehrvernstltung Systemtheorie Generelles zu DGL:.) x (t), und dessen Ableitungen, befinden sich stets uf der.. Seite der DGL. x e (t), und dessen Ableitungen, befinden sich stets uf der.. Seite der DGL. 2.) Ableitungen von x (t), d.h. uf der linken Seite der DGL, kennzeichnen. (die dzu führen, dss der zu einem x e gehörende sttionäre Endwert für t zeitverzögert eintritt. Dies kennzeichnet Trägheit bzw. Speicherwirkung). 3.) Die höchste vorkommende Ableitung von x (t) kennzeichnet die Anzhl von..... im System. Die höchste vorkommende Ableitung von x (t) kennzeichnet die Anzhl von..... im System. Die höchste vorkommende Ableitung von x (t) kennzeichnet die... der DGL. Bsp. f): x ( t) DGL 2. Ordnung 2 Energiespeicher im System 2 Zeitkonstnten (T und T 2 ) 4.) llgemeine Form einer DGL, für ein System n-ter Ordnung: [ b jetzt: (t) weggelssen für Klrheit ] n n d x... 3 x 2 x x 0 x = b 0 x e b x e... b m d m x e * einzelne Terme können fehlen (dnn werden die entsprechenden Koeffizienten = 0 gesetzt) * für die korrekte Drstellung von Zeitkonstnten und Verstärkungsfktoren muss der 0 Koeffizient = sein! * für ndere Zwecke, z.b. der Überführung einer DGL in die Zustndsrumdrstellung, muss der - Koeffizient der höchsten vorkommenden Ableitung von x = sein. 4
5 Hochschule für Technik und Wirtschft Dresden Prof. Hns-Dieter Seelig, Ph.D. Fkultät Elektrotechnik Lehrvernstltung Systemtheorie 3.2 Aufstellen von DGL Prozedur in elektrischen Netzwerken: (im Bsp. mit Mschenstz, nur Msche).) Mschenstz ufstellen. 2.) Eingngsgröße ( u e ) uf die rechte Seite, lle nderen Terme uf die linke Seite der DGL. 3.) u über welchem Element entspricht der Ausgngsgröße ( u )? Diese u umbenennen in u. 4.) Generell: sobld in den folgenden Schritten Integrle uftuchen: gesmte DGL (lle Terme) differenzieren. 5.) Die u's über llen nderen Elementen müssen nun ls Funktion von u drgestellt werden. Die Gemeinsmkeit zwischen dem Element, über dem die u bfällt, und llen nderen Elementen in der Msche, ist der Strom in dieser Msche, denn dieser ist in llen Elementen der Msche gleich. Über diesen (gleichen) Mschenstrom knn die u, die über llen nderen Elementen bfällt, uf u umgeformt werden. Dzu: 5.) Die u über einem nderen Element so usdrücken, dss der i durch dieses Element sichtbr wird: u t uc = ic ul = L i R = R i R L C 0 5.b) Ersetze i (durch ds ndere Element) durch i welcher durch ds Element fließt, über dem u bfällt. z.b. RC-Tiefpss (C m Ausgng): ersetze i R durch i C 5.c) Stelle i durch ds u -Element so dr, dss u sichtbr wird. z.b. RC-Tiefpss: i C = C d uc = C u c = C u 5.d) 5. bis 5.c für lle nderen Elemente usführen (wenn noch ndere Elemente vorhnden sind). 6.) Zur korrekten Drstellung von Zeitkonstnten und Verstärkungsfktoren: DGL so umformen, dss der 0 Fktor = wird, d.h. lle Terme durch 0 dividieren. Formeln wichtigster elektrischer Buelemente: - für Widerstände: u = R R i R - für Kondenstoren: und uc = ic C t 0 i = C C u C - für Spulen: und ul = L i L i L = L t 0 u L 5
6 Hochschule für Technik und Wirtschft Dresden Prof. Hns-Dieter Seelig, Ph.D. Fkultät Elektrotechnik Lehrvernstltung Systemtheorie Beispiel zum Aufstellen einer DGL: gegebenes System: RC Tiefpssfilter 6
7 Hochschule für Technik und Wirtschft Dresden Prof. Hns-Dieter Seelig, Ph.D. Fkultät Elektrotechnik Lehrvernstltung Systemtheorie 3.3 Lösen einer DGL Die Lösung einer DGL ist der. der Ausgngsgröße x für t 0. Unterscheidung: * die Lösung einer homogenen DGL: x _h * die prtikuläre Lösung einer DGL: x _p * die gesmte Lösung einer DGL: x = x _h x _p ) die Lösung einer homogenen DGL Beschreibt ds Zeitverhlten des x llein ufgrund von... des Systems, nicht jedoch ufgrund eines Eingngssignls. Andere Bezeichnungen: - Eigenvorgng (us einem Anfngszustnd) -.. b) die prtikuläre Lösung einer DGL Beschreibt ds Zeitverhlten des x llein ufgrund eines spezifischen (prtikulären) (x e ), nicht jedoch ufgrund von Anfngsbedingungen. Anderen Bezeichnungen: - Erzwungener Vorgng (bei Erregung us dem Nullzustnd) -. c) die gesmte Lösung einer DGL Ergibt sich us der Überlgerung (d.h. der Addition) der Lösungen der homogenen DGL und der prtikulären Lösung der DGL: Denn, beides knn zugleich vorliegen: - eine Anfngsbedingung und - ein Eingngssignl x = x_h x_p 7
8 Hochschule für Technik und Wirtschft Dresden Prof. Hns-Dieter Seelig, Ph.D. Fkultät Elektrotechnik Lehrvernstltung Systemtheorie Beispiel zum Lösen einer DGL: gegebenes System: RC Tiefpssfilter.) Die Lösung der homogenen DGL: u _h =? 8
9 Hochschule für Technik und Wirtschft Dresden Prof. Hns-Dieter Seelig, Ph.D. Fkultät Elektrotechnik Lehrvernstltung Systemtheorie 2.) Die prtikuläre Lösung der DGL: u _p =? 9
10 Hochschule für Technik und Wirtschft Dresden Prof. Hns-Dieter Seelig, Ph.D. Fkultät Elektrotechnik Lehrvernstltung Systemtheorie 3.) Die gesmte Lösung der DGL: u =? 0
x x x Eine solche Verzweigung ist als Verzweigung der vom Signal getragenen Information
73 3.4.4 Signlflußplndrstellung Neben dem bisher behndelten rein mthemtischen Modellen in Gleichungsform zur Beschreibung des Signlübertrgungsverhltens dynmischer Systeme eistiert noch eine bildliche und
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