Einführung in die Statistik

Transkript

1 Eiführug i die Statistik Dr. C.J. Luchsiger 5 (Kovergez, LLN, CLT) Literatur Kapitel 5 * Statistik i Cartoos: Kapitel 5, Seite 4 i Kapitel 6 * Kregel: 3.6 i 3, 5 ud (Hoours Program) 2 * Storrer: 49 Awedug vo LLN: Schätze vo Parameter; siehe auch Kapitel 7 CLT: Approximative Berechuge, zum Beispiel für Tests; siehe auch Kapitel 6 Wir repetiere: E[ X i ] = E[X i ] Liearität des Erwartugswerts, V [ax] = a 2 V [X] kostater Faktor kommt bei der Variaz quadratisch raus ud V [ X i ] = V [X i ] bei Uabhägigkeit (es reicht scho die Ukorreliertheit, vgl. Bemerkug 6 zu Defiitio 3.9) gilt: Variaz der Summe ist Summe der Variaze. 5. Ugleichug vo Bieayme-Tschebyschew Wir begie dieses Kapitel mit eier wichtige Ugleichug, welche auch ohe grosse Bedeutug (z.b. i der Qualitätskotrolle) hat. 84

2 Satz 5. [Ugleichug vo Bieayme-Tschebyschew] Sei X eie Zufallsgrösse mit E[ X ] <. Da gilt für ɛ > 0: P [ X ɛ] ɛ E[ X ]. Beweis vo Satz 5.: E[ X ] E[ X I { X ɛ} ] ɛe[i { X ɛ} ] = ɛp [ X ɛ]. Der praktische Vorteil der Ugleichug vo Bieayme-Tschebyschew ist der, dass mit Erwartugswerte (Liearität) eifacher gerechet werde ka als mit Wahrscheilichkeite. Obwohl i der Ugleichug vo Bieayme-Tschebyschew ei ɛ > 0 vorkommt, muss darauf higewiese werde, dass dieses ɛ i de Aweduge icht ubedigt ziemlich klei sei wird. Im Gegeteil wird ma mit dieser Ugleichug evetuell die Variabilität eier Zufallsgrösse uter Kotrolle habe wolle. Dazu müsse wir diese Ugleichug ei weig umforme: X ist ziemlich allgemei gewählt. Es gilt sicher P [ X µ ɛ] E[ X µ ], ɛ wo µ beliebig ud kostat. Also auch µ := E[X]. Weiter gilt auch (falls E[X 2 ] < ) P [ X µ 2 ɛ 2 ] ɛ 2 E[ X µ 2 ], oder aalog P [ X µ ɛ] V [X]. (5.) ɛ2 Damit habe wir aber folgedes Resultat: Wir habe eie Abschätzug für die Wahrscheilichkeit erhalte, dass die Zufallsgrösse X Werte aimmt, die mehr als ɛ vom Erwartugswert etfert sid. Dieses Resultat ist zudem verteilugsfrei hergeleitet worde ud gilt somit für alle Zufallsgrösse mit edlicher Variaz! Auf Übugsblatt 0 sid dazu eiige Aufgabe zu löse. 85

3 5.2 LLN (Law of Large Numbers; Gesetz der grosse Zahle) Fragestellug: Was geschieht mit dem Ausdruck falls ud welche Voraussetzuge werde wir sivollerweise mache? k= X k 5.2. Motivatio für LLN Sei (X i ) i eie Folge vo iid Zufallsgrösse mit Verteilug P [X = ] = P [X = ] = 0.5 (Beroulli). Wir defiiere S 0 := 0 ud S := X i (sog. Radom Walk, besoffe!). Vo Aufgabeblatt 7 wisse wir, dass E[X ] = E[S ] = 0, V [X ] = ud V [S ] =. S wird sich also zum Beispiel folgedermasse etwickel (vgl. Aufgabe dazu auf Blatt 0): Die Variaz vo S wird immer grösser, je grösser. S selber ist für us icht weiter vo Iteresse. 86

4 Wir habe aber im Teil 3.3 über Stichprobe ud bei Berechuge i R (mit adere Verteiluge) immer wieder das arithmetische Mittel vo Realisatioe x := x i (5.2) utersucht. Der Ausdruck X := X i (5.3) ist offebar das Pedat auf der Ebee der Zufallsgrösse, vor der Realisatio. I x habe wir reelle Zahle, da ist kei Zufall mehr dri. We wir aber ereut eie (uabhägige) Stichprobe ehme, wird x bei stetige Zufallsgrösse sicher aders aussehe (bei diskrete Zufallsgrösse ka es je ach kokreter Situatio ( ud kokrete Parameter) zufällig auch de gleiche Wert gebe). Idem wir X utersuche, lere wir auch viel über x, z.b. über die Schwakugsbreite (Variaz) oder um welche Wert x etwa zu liege kommt (Erwartugswert). Auf Aufgabeblatt 7 musste ma mit verschiedee (ud der Expoetialverteilug) de Ausdruck x utersuche. I der Tat kovergiert i diesem Settig x gege de Erwartugswert vo X; mehr dazu i beim Gesetz der grosse Zahle. Idem wir aber Erwartugswert ud Variaz vo X bereche, köe wir scho gut abschätze, was mit x passiere muss, we : ud V [ [ E ] X i = 0 ] X i = 2 V [ ] X i = 2 V [ X i ] = 2 =. Das heisst, x wird um 0 herum schwake, mit immer kleierer Schwakug (vgl. Aufgabe auf Blatt 0): 87

5 Wir wolle eie Aussage der Art mache: X i kovergiert gege de Erwartugswert vo X. Wie solle wir dies mathematisch exakt formalisiere? Es ist icht auszuschliesse, dass X i = ist für alle i. Warum ud wie soll X i 0 (= E[X ] i diesem Beispiel)? Brauche wir die Uabhägigkeit? Eie Möglichkeit ist die folgede: Wir fixiere ei ɛ > 0, ehme ei grosses ud frage us, wie gross die Wahrscheilichkeit ist, dass der absolute Uterschied vo X i ud 0 (= E[X ]) mehr als ɛ ist: [ P X i 0 ]. > ɛ We verlage wir, dass dieser Ausdruck gege 0 geht. Bildlich: X i/ wird eie vorgegebee ɛ-schlauch um 0 mit immer kleier werdeder Wahrscheilichkeit verlasse, we : 88

6 5.2.2 LLN Nach diesem motivierede Beispiel des Radom Walks wolle wir jetzt allgemei das Gesetz der grosse Zahle herleite. Das Gesetz der grosse Zahle ist streg geomme kei Theorem, soder eie Eigeschaft eier Folge (das Theorem folgt da i Theorem 5.3). Defiitio 5.2 [Gesetz der grosse Zahle] Sei X i, i, eie Folge vo idetisch verteilte Zufallsgrösse mit E[ X ] <. Wir defiiere µ := E[X ]. Wir sage, dass die Folge vo Zufallsgrösse X i, i, dem Gesetz der grosse Zahle geügt, we für jedes ɛ > 0 gilt: [ lim P ] X i µ > ɛ = 0. Bemerkuge zu Defiitio 5.2:. Diese Defiitio ist eigetlich ei Spezialfall des Gesetzes der grosse Zahle. Es ist ur das sogeate schwache Gesetz der grosse Zahle im Fall vo idetisch verteilte Zufallsgrösse ud die Kovergez ist bei us ausschliesslich gege eie kostate Zahl (de Erwartugswert). Dies reicht jedoch für diese Vorlesug. 2. Aschaulich sagt die Defiitio, dass das arithmetische Mittel immer äher ud äher zum Erwartugswert der Zufallsgrösse kommt. Wir wisse och icht, wa eie Folge diesem Gesetz der grosse Zahle geügt. Ei schöes Resultat dazu ist Theorem 5.3, welches icht die Existez der Variaz fordert. Theorem 5.3 [Satz vo Kolmogoroff] Sei X i, i, eie Folge vo paarweise uabhägige, idetisch verteilte Zufallsgrösse mit E[ X ] <. Wir defiiere µ := E[X ]. ɛ > 0: Da geügt diese Folge dem Gesetz der grosse Zahle; es gilt also für jedes [ lim P ] X i µ > ɛ = 0. 89

7 Beweis vo Theorem 5.3: Wir werde de Beweis ur zeige für de Fall edlicher Variaz. Dafür werde wir wege Bemerkug 6 vo Defiitio 3.9 ur Ukorreliertheit forder. Vo (5.) habe wir P [ X µ ɛ] ɛ 2 V [X], wobei X eie Zufallsgrösse mit V [X] < ud E[X] = µ sei. Sei jetzt X := X i/. Wir habe [ P ] X i µ > ɛ [ ɛ 2 V X ] i = (ɛ) 2 V [ X i ] = (ɛ) 2 V [X i ] = (ɛ) 2 V [X ] = ɛ 2 V [X ]. Mit kovergiert dieser Ausdruck gege Wichtige Aweduge des LLN; Relative Häufigkeite, Atomzerfall. Arithmetisches Mittel Wir habe i 5.2., Motivatio für LLN, folgede Situatio gehabt: Sei (X i ) i eie Folge vo iid Zufallsgrösse mit Verteilug P [X = ] = P [X = ] = 0.5. kovergiert wege Theorem 5.3 im Sie vo Defiitio 5.2 gege 0, de a) aus Uabhägigkeit folgt paarweise Uabhägigkeit, b) E[ X ] = <. 90 X i

8 2. R-Aufgabe auf Blatt 7 Wir hatte dort uabhägige Realisatioe vo expoetialverteilte Zufallsgrösse mit Parameter λ > 0. Der Erwartugswert ist /λ < ud die Variaz /λ 2 < (Aufgabeblatt 6). Wieder habe wir mit der Uabhägigkeit auch die paarweise Uabhägigkeit ud der Erwartugswert der X i s ist auch hier mit /λ <. Damit gilt wege Theorem 5.3, dass das arithmetische Mittel der Stichprobe im Sie vo Defiitio 5.2 gege /λ kovergiert. Wir habe i eier R-Aufgabe auf Blatt 7 auch die Stichprobevariaz berechet. Auch sie kovergierte offesichtlich gege /λ 2 <. Köe wir das auch mit Theorem 5.3 begrüde (wir spreche dort ja vo eiem Erwartugswert ud icht vo der Variaz)? Es gilt aber ach Lemma 3.7 b): V [X] = E[X 2 ] (E[X]) 2. Die Stichprobe-Variaz s 2 ist (Aufgabeblatt 7) ( ) ( s 2 = x 2 i ) 2 x i. Damit köe wir aber folgedermasse fortfahre (Kovergeze jeweils im Sie vo Defiitio 5.2): * Sid (X i ) i uabhägig voeiader, da auch (Xi 2) i (kleie Übug auf Blatt 0). E[ X 2 ] <. Zusamme kovergiert also wege Theorem 5.3 mit auch Xi 2 E[X 2 ]. * Im Hoours-Teil auf Blatt 0 ist zu zeige: We mit X i E[X ], da auch ( ) 2 X i (E[X ]) 2. * Im Hoours-Teil auf Blatt 0 ist weiter och zu zeige, dass wir hier eifach die Summe bilde köe: S 2 V [X ]. 9

9 3. Relative Häufigkeite Relative Häufigkeite werde im tägliche Lebe oft beutzt, ohe dass ma sich im Klare ist, welcher mathematische Apparat hierbei eigetlich eigesetzt wird. Wir wolle das jetzt achhole: User Utersuchugsobjekt sei eie Müze, welche geworfe wird. Wir wolle herausfide, wie gross die Wahrscheilichkeit für Kopf ist (sollte ugefähr 0.5 sei). Ituitiv wird jeder die Müze möglichst oft werfe ud die relative Häufigkeit vo Kopf zähle. Bei Würfe wird dies vielleicht mal Kopf sei (50 00 = Bad Liar, zzz.). Mathematisch wird dies folgedermasse formalisiert: X k = falls Kopf ud X k = 0 falls Zahl im k-te Wurf. Also habe wir die relative Häufigkeit vo Kopf, ämlich X k (5.4) k= zu utersuche (bei obige Zahle hätte wir also erhalte). Wichtige Nebebemerkug: Wir forder Uabhägigkeit ud gleiche Verteilug der Würfe (keie Abützug a der Müze, Widverhältisse immer gleich etc.)! Wege des Satzes vo Kolmogoroff (Theorem 5.3) folgt jetzt, dass (5.4) im Sie vo Defiitio 5.2 gege E[X ] kovergiert (also dem Gesetz der grosse Zahle geügt). Das reicht us och icht gaz: Es gilt: E[X ] = 0P [X = 0] + P [X = ] = P [X = ]. Dies ist aber geau die Wahrscheilichkeit für Kopf. Also habe wir hiermit die mathematische Rechtfertigug für ei Vorgehe, welches permaet auch vo Laie agewadt wird, erarbeitet. Laie sage wege des Gesetzes der grosse Zahle. Eiwad gege diese Formulierug ist, dass dies ja eie Eigeschaft eier Folge ist (Defiitio 5.2) ud icht wirklich ei Gesetz. Das Gesetz ist Theorem Atomzerfall (vgl. Aufgabeblatt 9) Wir habe bereits mehrmals gesagt, dass wir die Zeit bis zum Atomzerfall (ohe Kettereaktio!) mit eier expoetialverteilte Zufallsgrösse X modelliere köe (ma ka es auch mit eier Uiform-Zufallsgrösse probiere - es passt eifach sehr schlecht). 4. Fall mit ur eiem eizele Atom/Isotop: Bei Parameter λ (uterschiedlich vo Isotop zu Isotop) ist der Erwartugswert gleich /λ. Die Dichte ist ur auf de 92

10 ichtegative Zahle ugleich ull ud zwar dort gleich f(t) = λe λt. Es gilt: P [X > t] = e λt. (5.5) Auf Blatt 9 wird berechet, dass P [X > (l 2)/λ] = 0.5. Also mit 50 % Wahrscheilichkeit ist ach dieser Zeit (m := (l 2)/λ) ei Atom zerfalle. Das ist offebar der Media. I Diskussioe um radioaktive Abfälle spricht ma machmal vo der Halbwertszeit, ud meit damit, dass ach so eier Halbwertszeit die Hälfte aller Atome zerfalle ist. Damit komme wir zu 4.2 Fall mit Isotope vom gleiche Typ: Ist der Media ( ei eizeles Atom mit W keit 50 % zerfalle ) auch gleich der Halbwertszeit ( Hälfte aller Atome )? Das LLN gibt zustimmede Atwort: Dazu ummeriere wir die zu utersuchede Atome vo i. Wir defiiere folgede Idikatorfuktio: I i =, falls Atom i bis Zeit m zerfalle ist ud I i = 0, falls Atom i zur Zeit m och icht zerfalle ist. Die Atome zerfalle (im Modell) uabhägig voeiader. E[ I i ] = P [Atom i bis zur Zeit m zerfalle] = 0.5 <. Damit sid die Voraussetzuge vo Theorem 5.3 erfüllt. Deshalb muss gege 0.5 kovergiere (im Sie vo Defiitio 5.2). I Worte: Der Ateil der Atome, welche bis Zeit m zerfalle sid, ist 50 %. Das sehr Schöe a diesem Beispiel ist, dass wir ebe sehr viele Atome habe. I i Beim Zerfall radioaktiver Abfälle ist also extrem geau berechebar, wieviel wa och vorhade sei wird (ohe ukleare Itervetioe). Wir köe also auch Formel (5.5) für alle Atome zusamme ehme, um de Ateil der ach Zeit t och vorhadee Atome zu bereche. We wir alle Atome zusamme betrachte, habe wir übriges auch wieder Gedächtislosigkeit ; sost köte ma icht eifach vo Halbwertszeit spreche, soder müsste sage, wa ach Begi der Zerfälle mit Messe eigesetzt wird. 93

11 4.3 Verschiedee Isotope: Bei der Berechug der Zerfallszeit radioaktiver Abfälle ist och zu berücksichtige, dass es dort gaze Zerfallsreihe gibt (Ura-Radium, Ura- Aktiium, Thorium, Neptuium) ud ei gazer Zoo vo Isotope ursprüglich vorhade ist. Damit gibt es immer wieder Nachschub vo obe ud die Atome zerfalle erst am Schluss i eie relativ stabile Zustad (z.b. zu Blei). Dies macht die Rechuge etspreched schwieriger ud gibt keie schöe Kurve der Art e λt. Zusammefassed habe wir also i 4. ud 4.2 folgede Voraussetzuge gemacht: * uabhägige Zerfälle * Zeit bis zum Zerfall ist expoetialverteilt * keie Zerfallsreihe (kei Nachschub; wir betrachte ur eie vorgegebee Mege) 5. fehlede Uabhägigkeit ud die mögliche Folge I Theorem 5.3 habe wir (zumidest paarweise) Uabhägigkeit ud gleiche Verteilug gefordert. Schaue wir eimal, was alles passiere ka, we die Uabhägigkeit aufgegebe wird. I der Klasse zu löse: Suche Sie ei eifaches Beispiel (icht reche!) eier Folge vo idetisch verteilte Zufallsgrösse, welche jedoch icht uabhägig sid, sodass die Folge dem Gesetz der grosse Zahle icht geügt. 6. E[ X ] = ud die mögliche Folge Wie steht es mit eier Zufallsgrösse, dere Erwartugswert icht existiert (Cauchy; vgl. Aufgabeblatt 0)? 94

12 5.3 CLT (Cetral Limit Theorem; Zetraler Grezwertsatz) Fragestellug: Was geschieht mit dem Ausdruck k= X k µ σ, (5.6) eifacherer Fall (µ = 0, σ = ) falls ud welche Voraussetzuge werde wir sivollerweise mache? k= X k, 5.3. Motivatio für CLT Wir habe i 5.2 i Graphike die Realisatioe vo S := X i ud vo S / ageschaut. I eiem Fall gig die Variaz mit gege uedlich, im adere Fall gege 0. I Aufgabeblatt 7 musste ma eie Fuktio g() fide, sodass die Variaz vo S g() kostat ist für alle (isbesodere für ). Wir habe V [ g() ] X i = g() 2 V [ ] X i = g() 2 V [X i ] = g() 2 =, we wir g() := wähle. X i(ω ), X i(ω 2 ), etc. sehe da folgedermasse aus (vgl. Aufgabeblatt 0): Der Ausdruck X i kovergiert mit gege eie N (0, ) -Zufallsgrösse. Geauer: 95

13 5.3.2 CLT Der zetrale Grezwertsatz (eglisch Cetral Limit Theorem CLT) uterstreicht die grosse Bedeutug der Normalverteilug: Theorem 5.4 [Zetraler Grezwertsatz] Sei X k, k, eie Folge vo iid Zufallsgrösse mit E[X ] =: µ ud 0 < V [X ] =: σ 2 <. Da gilt für a R beliebig: [ k= P X k µ σ ] a P [N (0, ) a] we. Mit P [N (0, ) a] meie wir die Wahrscheilichkeit, dass eie Stadard-Normalverteilte Zufallsgrösse Werte kleier oder gleich a aimmt. Die Verteilugsfuktio der zetrierte ud ormierte Summe (5.6) kovergiert also i jedem Pukt gege die Verteilugsfuktio der Stadard-Normal-Verteilug. Beweis vo Theorem 5.4 Der Beweis folgt i Kapitel 2 i der Vorlesug Statistische Methode. Bemerkuge zu Theorem 5.4:. We wir µ = 0, σ 2 = habe, sid wir i Situatio Auf Beiblätter zu diesem Kapitel fide Sie ei paar Plots, welche ahad des klassische Falls der Biomialverteilug de CLT illustriere. Auf CLT wird bei kostatem p das erhöht; auf CLT2 wird bei = 50 das p variiert. 3. Vorsicht: Ma darf die Zetrierug ud Normierug icht auf die adere Seite ehme i der Form: k= X k kovergiert mit i Verteilug gege eie Zufallsgrösse mit Verteilug N (µ, σ 2 ). Dies ist ja icht stabil, das darf ma i der Aalysis bei der Kovergez vo Folge ja auch icht. I der Statistik wird dies jedoch als approximative Methode beutzt. 96

14 4. Ausdruck (5.6) eriert zu Recht a die Z-Trasform aus Kapitel 4. Betrachte wir dazu de Ausdruck etwas geauer: mit k= X k µ σ X k µ k= habe wir i eiem erste Schritt offebar eifach zetriert (de Erwartugswert abgezoge - er ist jetzt 0), da i eiem zweite Schritt mit σ ormiert ud dabei k= X k µ σ erhalte. Die Variaz ist jetzt. Zusamme et ma diese beide Schritte stadardisiere. Ad the a miracle occurs..., de das Dig hat am Schluss (bei = ) eie Normalverteilug N (0, ). Das Überraschede am CLT ist, dass mit weige Voraussetzuge (v.a. keie über die Verteilug der X k s) immer eie Normalverteilug als Limesverteilug resultiert. 5. Ab welchem darf ma die Normalverteilug brauche? Nichttriviale, allgemeie Fehler-Abschätzuge, welche ur vo abhäge ud für alle Verteiluge gelte, existiere icht. We die X k s aber Be(p)-Zufallsgrösse sid, so sagt eie Praktikerregel, dass p( p) 9 gelte sollte, damit ma mit gutem Gewisse die Normalverteilug beutze darf. Seie Sie sich bewusst, dass dies vo der kokrete Awedug abhägt ud mathematisch upräzise ist (was we p( p) = 8.9?). We p ahe bei 0 oder ahe bei ist, wedet ma besser Satz 5.6 a. Eie kleie Verbesserug der Approximatio erreicht ma im Fall vo Summe diskreter Zufallsgrösse (also zum Beispiel Beroulli/Biomial) mit der sogeate Diskretisierugs-Korrektur (eglisch: Cotiuity-Correctio), siehe Statistik i Cartoos Kapitel 5 oder Stahel 6. i. Reche wir zum CLT ei Beispiel: Sie werde vo Räuber im Wald zu eiem Müzwurfspiel eigelade. We i 00 Würfe mehr Kopf als Zahl kommt, dürfe Sie vo de 97

15 Räuber ausgeraubt werde (Merke: Trasparez ist sehr wichtig für das Fuktioiere vo Märkte). Das Resultat ist ach 00 Würfe 65 zu Ihre Uguste. Sie frage sich jetzt (bissche spät), ob die Müze fair war oder icht. Dazu überlege Sie sich, wie gross bei eier faire Müze wohl die Wahrscheilichkeit ist, 65 mal (oder mehr) Kopf zu werfe. Leider habe Sie keie Bi(00, 0.5)-Verteilugstabelle dabei. Rettug aht: Sie erier sich ämlich Gott sei Dak a de CLT: Beachte Sie bitte:. Wir mache diese Rechuge uter der Aahme p = Wir bereche die Wahrscheilichkeit, 65 mal oder mehr Kopf zu werfe. Diese Dekweise wird i Kapitel 6 ud i der Vorlesug Statistische Methode kultiviert werde. 98

16 5.4 Zusammehäge bei Verteiluge II: Stetiges Aalogo eier diskrete Verteilug ud Limesverteiluge I 4.4 Zusammehäge bei Verteiluge I, habe wir us gefragt, wie Summe vo uabhägige Zufallsgrösse verteilt sid. Jetzt wolle wir Paare vo diskrete ud stetige Verteiluge fide, welche etwas miteiader zu tu habe (5.4. ud 5.4.2) ud utersuche, ob gewisse Verteiluge zu adere Verteiluge werde, we wir gezielt eie Parameter gege gehe lasse (5.4.3 ud 5.4.4) Stetiges Aalogo vo geometrisch ist expoetial (mehr i Vlsg AS) Bereits i der Aalysis sieht ma, dass geometrisches Wachstum c, N, ud expoetielles Wachstum c t, t R +, diskrete ud stetige Pedats sid. Je ach Modellierugsgegestad wird ma das eie oder das adere wähle. Auf Aufgabeblatt 9 ist zu zeige, dass geometrische ud expoetielle Zufallsgrösse eie wichtige Eigeschaft teile, ämlich die Gedächtislosigkeit. Es drägt sich also fast auf, zu frage, ob icht ei tieferer Zusammehag zwische diese beide Verteiluge besteht. Das ist der Fall; wir präzisiere das i folgedem: Satz 5.5 [Kovergez der geometrische Verteilug gege die Expoetialverteilug] Sei T eie Exp()-Zufallsgrösse. Sei X, 2, eie Folge vo Ge(/)- Zufallsgrösse, d.h. X habe eie Ge(/)-Verteilug. Da gilt für a R + : für. [ ] P X a P [T a] Bemerkug zu Satz 5.5 Der Erwartugswert vo T ist. Der Erwartugswert vo X / ist auch. Dies ist allgemei ei wichtiges Prizip, we ma solche Zusammehäge formuliere will (vgl. auch 5.4.3): ma ormiert ud/oder zetriert midestes derart, dass die Erwartugswerte der Limeszufallsgrösse (hier T ) ud der kovergierede Zufallsgrösse (hier X ) gleich sid (oder zumidest asymptotisch gleich werde). 99

17 Beweis vo Satz 5.5 Wir schaue die Gegewahrscheilichkeite a: [ ] [ ] P X a = P X > a [ ] [ ] = P X > a = P X > a = ( ) a ( ) e a = P [T > a] = P [T a] Stetiges Aalogo vo Negativ Biomial ist Gamma I Kapitel 4 habe wir gesehe, dass bei Uabhägigkeit der Summade Ge(p) = NB(, p) ud Exp(λ) = Γ(, λ). Deshalb ist es ach 5.4. icht überrasched, dass das stetige Aalogo vo NB eie Gamma-Zufallsgrösse ist. Wir verzichte hier aus Zeitgrüde auf Satz ud etsprechede Beweis Vo Biomial zu Poisso (mehr i Vlsg AS) We ma die Wahrscheilichkeitsfuktio (die Werte vo P [X = k], k 0) eier Biomial- ud eier Poissoverteilug mit gleichem Erwartugswert vergleicht, so sieht ma, dass der Uterschied immer kleier wird, je grösser i der Biomial-Verteilug ist: Satz 5.6 [Kovergez der Biomial- gege die Poisso-Verteilug] Sei X eie Folge vo Bi(, p )-Zufallsgrösse. Es gelte geüged gross: p = λ > 0 (Erwartugswerte jeweils gleich). λ ist kostat! Da gilt für r N 0 fest: λ λr P [X = r] e r! für. Damit habe wir im Limes eie Poisso-Verteilug mit Parameter λ. 00

18 Beweis vo Satz 5.6 P [X = r] = = = ( ) p r r ( p ) r! ( r)!r! pr ( p ) r! ( r)!r! (λ/)r ( (λ/)) r r λ r ( (λ/)) r r!r = λr r! exp[ ( r) l( (λ/)) ] λr r! exp[ ( r)(λ/) + O(p 2 ) ] λr r! e λ we. Wir habe beim zweite eie Taylor-Approximatio gemacht Vo t zu N (0, ) Wir habe bereits i Kapitel 4 bei der t-verteilug kurz darauf higewiese, dass die t- Verteilug mit Freiheitsgrade ( t -Verteilug) immer äher a eie Normalverteilug kommt, je grösser ist. Präzise: für T eie t -verteilte Zufallsgrösse ud a R beliebig: P [ T a ] P [N (0, ) a] we. aschaue. Wir werde im Statistik-Teil (Kapitel 6-7) diese Sachverhalt geauer 0

19 5.5 Mid-Mappig Verteiluge 02