Die im nachfolgenden dargelegte Theorie bildet die denkbar weitgehenclste Verallgemeherung der heute allgemein als

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1 1916. x 7. ANNALEN DER PHYSIK. VIERTE FOME. BAND Die GrurtdZage dsr allgerndnm ReZat4&t&t8theor&; von A. EinsteBn. Die im nachfolgenden dargelegte Theorie bildet die denkbar weitgehenclste Verallgemeherung der heute allgemein als.,rela tivi ta ts t heorie '' bezeichne ten Theorie ; die le tztere nenne ich im folgenden zur Unterscheidnng von der ersteren,,spezielle RelativitHtstheorie" und setze sie als bekannt voraus. Die Versllgemeinerung der Relativitatstheorie wurde sehr erleichtert durch die Gestalt, welche der speziellen Relativitgtstheorie durch Min ko ws ki gegeben wurde, welcher Mathematiker zuerst die formale Gleichwertigkeit der raumlichen Koordinaten und der Zeitkoordinate klar erkannte und fiir den Aufbau der Theorie nutzbar machte. Die fiir die allgemeine Relativitatstheorie notigen mathematischen Hilfsmittel lagen fertig bereit in dem,,absoluten Differentialkalkiil", welcher auf den Forschungen von Gauss, Riemann und Chris toff el uber nichteuklidische Mannigfaltigkeiten ruht und von Ricci und Levi-Civita in ein System gebracht und bereits auf Probleme der theoretischen Physik angewendet wurde. Ich habe im Abschnitt B der vorliegenden Abhandlung alle fiir uns notigen, bei dem Physiker nicht als bekannt vorauszusetzenden mathematischen Rilfsmittel in moglichst einfacher uncl durchsichtiger Weise entwickelt, so das ein Studium nisthematischer Literatur fiir das Verstandnis der vorliegenden Abhandlung nicht erforderlich ist. Endlich sei an dieser Stelle dankbar meines Freundes, des Mathematikers Grossmann, gedacht, der rnir durch seine Hilfe nicht nur clas Studium der einschliigigen mathematischen Literatur ersparte, sondern mich auch beim Snchen nach den Feldgleichungen der Gravitat,ion unt'erstutzte. Annalen der Phyaik. IV. Folge

2 770 A. Einstein. A. Prinzipielle Ernllgungen zum Postulat der Relativitllt Bemerknngen au der epeziellen Relativitiitetheorie. Der speziellen Relativitatstheorie liegt folgendes Postulat zugrunde, welchem auch durch die Galilei-Newtonschr Mechanik Geniige geleistet wird : Wird ein Koordinatensystem Ii so gewiihlt, dab in bemg auf dasselbe die physikalischen Gesetze in her einfachsten Form gelten, so gelten dieselben Gesetze auch in bezug auf jedes andere Koordinatensystem K, das relativ zu K in gleichformiger Translationsbewegung begriffen ist. Dieses Postulat nennen wir,,spezielles Relativitatsprinzip". Durch das Wort,,speziell" sol1 angedeutet werden, dab das Prinzip auf den Fall beschriinkt ist, dab K' eine gzeichfiirmqe Translatwnsbewegung gegen K ausfiihrt, dab sich aber die Gleichwertigkeit von K' und K nicht auf den Fall ungleichformiger Bewegung von R' gegen K erstreckt. Die spezielle Relativitiitstheorie weicht also von der Hassischen Mechanik nicht durch das Relativitiitspostulat ab, sondern allein durch das Postulat von der Konstanz der Vakuum-Lichtgoschwindigkeit, aus welchem im Verein mit dem speziellen Relativitatsprinzip die Relativitat der Gleichzeitigkeit sowie die Lorentztransformation und die mit dieser verkniipften Gesetze uber das Verhalten bewegter starrer Korper und Uhren in bekannter Weise folgen. Die Modifikation, welche die Theorie von Ram und Zeit durch die spezielle Relativitiitstheorie erfahren bat, ist zwm eine tiefgehende; aber ein wichtiger Punkt blieb unangetastet. Auch gemab der speziellen Relativitiitstheorie sind namlich die Satze der Geometrie unmittelbar als die Gesetze iibpr die moglichen relativen Lagen (ruhender) fester Korper zu deuten, allgemeiner die SBtze der Kinematik als Siitze, welche das Verhalten von MeBkorpern und Uhren beschreiben. Zwei hervorgehobenen materiellen Punkten eines ruhenden (stai ren) Korpers entspricht hierbei stets eine Strecke von gana bestirnmter Lange, unabhangig von Ort und Orientierung cles Korpers sowie von der Zeit ; zwei hervorgehobenen Zeigeistellungen einer relativ zum (berechtigten) Bezugssystem ruhenden Uhr entspricht stets eine Zeitstrecke von bestimmtsr Lange, unabhiingig von Ort und Zeit. Es wird sich bald zeigen, dab die allgemeine Relativitiitstheorie an dieser einfachen physikalischen Deutung von Raum und Zeit nicht festhalten kanll.

3 Die Grundlage der allgeminen Relatiwitatstheorie. 771 Q 2. fiber die Griinde, welohe eine Erweiterung dee Relativitiitspostulates nahelegen. Der klassischen Mechanik und nicht minder der speziellen Rela tivi t ats theoi ie haf tet ein er kenntnistheoretischer Mangel an, der vielleicht zum ersten Male von E. Mach klar hervorgehoben wurde. Wir erlautern ihn am folgenden Beispiel. Zwei fliissige Korper von gleicher GroBe und Art schweben frei im Raume in so grober Entfernung voneinander (und von allen ubrigen Massen), da8 nur diejenigen Gravitationskriifte beriicksichtigt werden miissen, welche die Teile eines dieser KGrper aufeinander ausuben. Die Entfernung der Korper voneinander sei unveranderlich. Relative Bewegungen der Teile eines der Korper gegeneinander sollen nicht auftreten. Sber jede Masse sol1 - von einem relativ zu der anderen Masse ruhenclen Beobachter aus beurteilt - um die Verbindungslinie der Massen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotieren (es ist, dies eine konstat,ierbare Relstivbewegung beider Massen). Nun denken wir uns die Oberfliichen beider Korper (8, und 8,) mit, Hilfe (relativ ruhender) Maljstabe ausgemessen ; es ergebe sich, da13 die Oberflache von S, eine Kugel, die von S, ein Rotationsellipsoid sei. Wir fragen nun: Aus welchem Grunde verhalten sich die Korper S, und S, verschieden? Eine Antwort auf diese Frage kmn nur dann als erkenntnistheoretisch befriedigend l) anerkannt, werden, wenn die als Grund angegebene Sache eine beobachtbare Erfahrungstatsache ist ; denn das Kausalitatsgesetz hat nur dann den Sinn einer Aussage uber die Erfahrungswelt, wenn als Ursachen und Wirkungen letzten Endes nnr beobachtbare Tatsachen auftreten. Die Newtonsche Mechanik gibt auf diese Frage keine befriedigende Antwort. Sie sagt namlich folgendes. Die Gesetze der Mechanik gelten wohl fur einen Raum R,, gegen welchen der Korper S, in Ruhe ist, nicht aber gegenuber emem Raume R,, gegen welchen S, in Ruhe ist. Der berecht,igte Gthlileische Raum R,, der hierbei eingefiihrt wird, ist aber eine blob fingierte Ursache, keine beobachtbare Sache. Es id also klar, dab die Newtonsche Mechanik der Forderimg 1) Eine derartige erkenntnistheoretisch befriedigende Antwort kann natiirlich immer noch phy8ikalisch unzutreffend sein, falls sie mit anderen Erfahrungen im Widerspruch ist. 50 *

4 7 752 A. Einstein. der Kausalitiit in dem betracbteten Falle nicht wirklich, sondern nur scheinbar Geniige leistet, indem sie die blob fingierte Ursache R, fiir das beobachtbare verschiedene Verhalten der Korper S, und S, verantwortlich macht. Eine befriedigende Antwort auf die oben aufgeworfene Frage kann nur so lauten: Das aus S, und S, bestehende physikaliscbe System zeigt fiir sich allein kejne denkbare Ursache, auf welche das verschiedene Verhalten von S, und S2 euriickgefiihrt werden konnte. Die Ursache mub also aupeerhdb dieses Systems liegen. Man gelangt zu der Auffassung, dab die allgemeinen Bewegungsgesetze, welche im speziellen die Gestalten von S, und S, bestimmen, derart seh miissen, das das meohanische Verhalten von S, und S, ganz wesentlich durch ferne Massen mitbedingt werden mub, welche wir nicht zu dem betrachteten System gerechnet hatten. Diese fernen Massen (und ihre Relativbewegungen gegen die betrachteten Korper) sind dann als Triiger prinzipiell beobachtbarer Ursachen fiir das verschiedene Verhalten unserer betrachteten Korper anzusehen; sie ubernehmen die Rolle der fingierten Ursache R,. Voa allen denkbaren, relativ zueinander beliebig bewegten Rliumen R,, R, usw. darf a priori keiner als bevorzugt angesehen werden, wenn nicht der dargelegte erkenntnistheoretische Einwand wieder aufleben soll. Die Gesetze der Physik miissen so beschaffen sein, dap sie in bezug auf beliebig bewegk Bezugssysteme gelten. Wir gelangen also auf diesem Wege zu einer Erweiterung des Relativitiitspostulates. AuBer diesern schwerwiegenden erkenntnistheoretischen Argument spricht aber auch eine wohlbekannte physikalische Tatsache fiir eine Erweiterung dsr Relativitiitstheorie. Es sei K ein Galileisches Bezugssystem, d. h. ein solches, relativ zu welchem (mindestens b dem betrachteten vierdimensionalen Gebiete) eine von anderen hinliinglich entfernte Masse sich geradlinig und gleicbformig bewegt. ES sei K' ein meites Koordinatensgstem, welches relativ zu K in gkichfhig beschkunigter Translationsbewegung sei. Relatj J eu K' fiihrte dann eine von anderen hinreichend getrennte Mass eine beschleunigte Bewegung aus, derart, dab deren Beschleunigung und Beschleunigungsrichtung von ihrer stoff lichen Zusammensetzung und ihrem physikalischen Zustande unabhiingig ist. Kann ein relativ zu K' ruhender Beobachter hieraus

5 Die Grundlage der altgenzeinen Rehtivitatstheorie. 773 den SchluB ziehen, daf3 er sich auf einem,,wirklich" behchleunigten Bezugssystem befindet? Diese Frage ist zu verneinen ; denn das vorhin genannte Verhalten frei beweglicher Massen relativ zu K kann ebensogut auf folgende Weise gecleutet werden. Das Bezugssystem K' ist unbeschleunigt; in dem betrachteten zeitrliumlichen Gebiete herrscht aber ein Gravitationsfeld, welches die beschleunigte Bewegung der Korper relativ zu K erzeugt. Diese Auffassung wird dadurch ermoglicht, dab uns die Erfahrung die Existenz eines Kraftfeldes (niimlich des Gravitatjonsfeldes) gelehrt hat, welches die merkwiirdige Eigenschaft hat, allen Korpein dieselbe Beschleunigung zu erteilen.') Das mechanische Verhalten der Korper relativ zu K ist dasselhe, wie es gegeniiber Systemen sich der Erfahrung darbietet, die wir als,,ruhende" bzw. als,,berechtigte" Systeme anzusehen gewohnt sind; deshalb liegt es auch vom physilinlischen Standpunkt nahe, anzunehmen, dsb die Systeme K und $7 beide mjt demselben Recht als,,ruhend" angesehen werden kdnnen, bzw. dal3 sie ah Bezugssysteme fiir die physiknlische Beschreibung der Vorgiinge gleichberechtigt seien. Aus diesen Erwagungen sieht man, dab die Durchfihrung dw allgemeinen Relativitlitstbeorie zugleich zu einer Theorie der Gravitation fiihren mub; denn man kann ein Gravitationsfeld durch blose hierung des Koordinatensystems,,erzeugen". Ebenso sieht man unmittelbar, dal3 clas Prmzip von der Konhtana der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit eine Modifikation erfahren mul3. Denn man erkennt leicht, daf3 die Bahn eines Lichtstrahles in bezug auf K im allgemeinen eine kmmme sein mul3, wenn sich das Licht in bezug auf K geradlinig und mit bestimmter, konstanter Geschwindigkeit fortpflanzt. Q 3. Dae Raum-Beit-Kontinuum. Forderung der allgemeinen Kovariana fir die die allgemeinen Naturgeaetse auedriickenden Gleichungen. In der klassischen Mechanik sowie in der speziellen Relat'ivitiitstheorie haben die Koordinaten des Raumes und der &it eine unmitttlbare physikalische Bedeutung. Ein Punktweignis hat die X,-Koordinate xl. bedeutet: Die nach den 1) DaB das Gravitationsfeld diese Eigenschaft mit grober Genauighit beuitzt, hat Eotvos experimentell bewiesen.

6 774. A. Einstein. Regeln der Euklidischen Geometrie mittels starrer Stab8 81'- rnittelte Projektion des Punktereignisses auf die X,-Achse wird erhalten, indem man einen bestimmten Stab, den Einheitsmallstab, %,ma1 vom Anfangspunkt des Koordinatenkorpers auf der (positiven) XI-Achse abtragt. Ein Punkt hat die X,-Koordinate x4 = t, bedeutet: Eine re1at;v zunl Koordincltensystem ruhend angeordnete, mit dem Punlitereignis r&umlich (praktisch) zusammenfallende Einheitsuhr, welche nach bestimmten Vorschriften gerichtet ist, hat x4 = t Perioden zuriickgelegt beim Eintreten des Punktereignisses.1) Diese Auffassung von Raum und Zeit schwebte den Physikern stets, wenn auch meist unbewubt, vor, wie aus der Rolle klar erkennbar jst, welche diese Begriffe in der messenden Physik spielen; diese Auffassung mubte der Leser auch der zwciten Betrachtung des letzten Paragraphen zugrunde legen, um mit diesen Busfarungen einen Sinn verbinden zu konnen. Aber wir wollen nun zeigen, dab man sie fallen lassen und durch eine allgemeinere ersetzen mu13, um das Postulat der allgemeinen Relntivitlit durchfiihren zu komen, falls die spezielle Relativitlitstheorie fiir den Grenzfall des Fehlens eines Oravitationsfeldes zutrifft. Wir fiihren in einem Raume, der frei sei von Gravitationsfeldern, ein Gtblileisches Bezugssystem K (2, y, z, t) ein, und auberdem ein relativ zu K gleichformig rotierendes Koordinatensystem K' (d, y', 2' t'). Die Anfangspunkte beider Systeme sowie deren 2-Achsen mogen dauernd zusammenfallen. Wir wollen zeigen, da8 fiir eine Raum-Zeitmessung im System K' die obige Festsetzung fur die physikalische Ekdeutung von Liingen und Zeiten nicht aufrecht erhalten werden kann. Aus Symmetriegriinden ist klar, dab ein &eis um den Anfangspunkt in der X-Y-Ebene von K zugleich als Kreis in der X'-Y'-Ebene von E' aufgefa6t werden kann. Wir denken un~ nun Umfang und Durchmesser dieses Kreises mit einem (relativ zum Radius unendlich kleinen) EinheitsmaBstabe ausgemessen und den Quotienten beider MeSresultate gebildet. Wurde man dieses Experiment mit einem relativ zum Gctlileischen System 1) Die Konsfatierbrkeit der,,gleichzeitigkeit" fiir raumlich unmittelbar benachbarte Ereignisse, oder - praziser gesagt - fur das raumzeitliche unmittelbare Benachbartsein (Koinzidenz) nehmen wir an, oline fiir diesen fundamentalen Begriff eine Definition zu geben.

7 Die Grundlage der allgeminen Relativitatstheorie. 175 K ruhenden MaBstabe ausfiihren, so wiirde man als Quotienten die Zahl n erhalten. Das Resultat der mit einem relativ zu K' ruhenden MaBst,abe ausgefdxten Bestimmung wiirde eice Zahl sein, die grober ist als 76. Man erkennt dies leicht, wenn man den ganzen MeSprozeB vom,,ruhenden" System K aus beurteilt und beriicksichtigt, dab der peripherisch angelegte MaBstab eine Lorentzverkiirzung erleidet, der radial angelegte MeBstab aber nicht. Es gilt daher in bezug auf K nicht die Eu klidische Geometrie; der oben festgelegte Koordinatenbegriff, welcher die Giiltigkeit der Euklidischen Geometrie voraussetzt, versagt also mit Bezug auf das System K'. Ebensowmig kann man in K' eine den physikalischen Bediirfnissen entsprechende Zeit einfiihren, welche durch relat8iv zu K rnhende, gleich beschaffene Uhren angezeigt wird. Urn dies einzusehen, denke man sich im Koordinatenursprung und an der Peripherie des Kreises je eine von mei gleich beschaffenen Uhren angeordnet und vom,,ruhenden" System 6: aus betrachtet. Nach einem bekannten Resultat der speziellen Relativitatstheorie geht - von K aus beurteilt - die auf der Kreisperipherie angeordnete Uhr langssmer als die im Anfangspunkt angeordnete Uhr, weil erstere Uhr bewegt ist, letztere aber nicht. Ein im gemeinsamen Koordinatenursprung befindlicher Beobachter, welcher auch die an der Peripherie befindliche Uhr mittels des Lichtes zu beobachten fiihig wtire, wiirde also die an der Peripherie angeordnete Uhr langsamer gehen sehen als die neben ihm angeordnete Uhr. Da er sich nicht dazu entschliehn TVird, die Lichtgeschwindigkeit auf dem in Betracht kommenden Wege explizite von det Zeit abhangen zu lassen, wird er seine Beobachtnng dahh interpretieren, dab die Uhr an der Peripherie,,wirklich" langsamer gehe als die im Ursprung angeordnete. Er wird also nicht umhin konnen, die Zeit so zu definieren, dab die Ganpgeschwindigkeit einer Uhr vom Orte abhhgt. Wir gelangen also zu dem Ergebnis: In der allgemeinen Relativitatstheorie konnen Raum- und ZeitgroBen nicht so clefiniert werden, des rtiumliche Koordinatendifferenzen unrnittelbar mit dem EinheitsmaBst,ab, zeitliche mit einer Normaluhr gemessen werden konnten. Das bisherige Mittel, in das zeitriiumliche Kontinuum in bestimmter Weise Koordinaten zu legen, versagt also, uncl

8 776 A. Einstein. es scheint sich auch kein anderer Weg darzubieten, der gestatten wiirde, der vierdimensionalen Welt Koordinatensysteme so anzupassen, dab bei ihrer Verwendung eine besondem einfache Formulierung der Naturgesetze zu erwarten w&e. Es bleibt daher nichts andeies ubrig, als alle denkbaren 1) Koordinatensysteme als fiir die Naturbeschreibung prinzipieu gleichberecbtigt anzusehen. Dies konimt auf die Fordertmg hinsus : Die aug&nen Naturgesetze sind durch Gkichungen aus- zudeken, die fiir ah Ko0rdinatensystem.e gelten, d. h. die belidqen Substitutionen gegeniiber kouariant (allgemin. kovariant) sind. Ek ist klar, da13 eine Physik, welche diesem Postulat geniigt, dem allgemeinen Relativitatspostulat gerecht wird. Denn in auen Substitutionen sind jedenfalls auch diejenigen enthalten, welche allen Relativbewegungen der (dreidimensionalen) Koordinatensysteme entsprechen. DaB diese Forderung der allgemeinen Kovarianz, welche dem Ram und der Zeit den letztea- Best physiblischer Gegenstandlichkeit nehmen, eine natiirliche Forderung ist, geht aus folgender ifberlegung hervor. Alle unsere zeitriiumlichen Konstatierungen laufen stets suf die Bestimmung zeitriiumlicher Koinzidenzen hinauc. Bestande beispielsweise das Geschehen nur in der Bewegung materieller Punkte, so ware letzten Endes nichts beobachtbar als die Begegnungen zweier oder mebrerer dieser Punkte. Auch die Ekgebnisse unserer Messungen sind nichts anderes als die Konstatierung derartiger Begegnungen x~ateriellc-r Punkte unserer MaSstabe mit anderen materiellen Punkten bm. Koinzidenzen zwischen Uhrzeigern, Ziiferblattpunkten und iris Auge gefasten, am gleichen Orte und zur gleichen Zeit stattfindenden Punktereignissen. Die Einfiihrung ekes Bezugssystems dient zu nichts anderem als zur leichteren Beschreibung der Gesamtbeit solcher Koinzidenzen. Man ordnet der Welt Vier zeitrhu11:- liohe Variable xl, x2, 5, x4 zu, derart, dab jedem Punktereignis ein Wertesptem der Variablen 5,.... x4 entspricht. Zwei koinzidierenden Punktereignissen entspricht dassellw 1) Von gewissen Beschrllnkungen, welche der Fordemg der eindeutigen Zuordnung und dejenigen der Stetigkeit entsprechen, wollen wir mhier nicht sprechen.

9 Die Grundlage der allgemeinen Relatiwitatstheorie. 777 Wertesystem der Variablen x1.... x4; d. h. die Koinzidenz ist durch die Ubereinstimmung der Koordinaten charaktrrisiert. Fiihrt man statt der Variablen zl.... x4 beliebige Funktionen derselben, x;, zi, x3', xi als neues Koordinatensystem ein, so dab die Wertesysteme einander eindeutig zugeordnet sind, so ist die Gleichhelt aller vier Koordinaten auch im neuen System der Ausdruck fiir die raumzeitliche Koinzidenz zweier Punktereignisse. Da sich alle unsere physikalischen Erfahrungen letzten Ehdes auf solche Kojnzidenzen zuruckfiihren lassen, ist zunachst kein Grund vorhanden, gewisse Koordinatensysteme vor anderen zu bevorzugen, d. h. wir gelangen zu der Forderung der allgemeinen Kovarianz. $ 4. Beziehung der vier Koordinaten zu raumlichen und zeitlichen MeBergebnissen. Analytiecher Auedruolt fir das Gravitationsfeld. Es kommt mir in dieser Sbhandlung nicht darauf an, ciie allgemeine Relativitatstheorie als ein moglichst einfaches lugisches System mit einem Minimum von Axiomen darzustellen. Sondern es ist mein Hauptziel, diese Theorie so zu eiitwickeln, dab der Leser die psychologische Natiirlichkeit des eingeschlagenen Weges empfjndet und dab die zugrunde gelegten Voraussetzungen durch die Erfahrung moglichst gesichert erscheinen. In diesem Sinne sei nun die Voraussrtzung eingefiihrt : Fiir unendlich kleine vierdimensionale Gebiete ist die Ftelativitiitstheorie im engeren Sinne bei passender Koordinatenwahl zutreffend. Der Besehleunigungszustand des unendlich kleinen (,,ortlichen'') Koordinatensystems ist hierbei so zu wiihlen, daij ein Gravitationsfeld nicht auftritt ; dies ist fiir ein unendlich kleines Gebiet moglich. XI, X,, X, seien die raumlichen Koordinaten ; X4 die zugehorige, in geeignetem MaBstabe geniessene l) Zeitkoordinate. Diese Koordinaten haben, wenn pin starres Stabchen als EinheitsmaBstab gegeben gedacht wird, bei gegebener Orientierung des Koordinatensystenis rine unmittelbare physikalischr Bedeutung im Sinne der bpeziellen Relativitatstheorie. Drr Ausdruck (11 ds2= -ax2 I -ax,2 -dx,2+ax42 I) Die Zeiteinheit ist so zu wahlen, dab die Vakuum-Lichtgeschwindighit - in dem,,lokalm" Koordinstensystem gemessen - gleich 1 wid.

10 778 A. Einstein. hat dann nach der speziellen Relativitiitstheorie ehen von der Orientierung des lokalen Koordinatensystems unabhiingigen, durch Raum-Zeitmessung ermittelbaren Wert. Wir nemen ds die GroSe des zu den unendlich benachbarten Punkten des vierdimensionalen Raumes gehorigen Linienelenentes. Ist das zu dem Element (d X,.... d X,) gehorige d s2 positiv, so nennen wir mit Min ko ws ki ersteres zeitartig, im entgegengesetzten Falle raumartig. Zn dem betrachteten,,linienelement" bzw. m den beiden unendlich benachbarten Punktereignissen gehoren such 5estimmte Differentiale d z,.... d z4 der vierdimensionalen. Koordinaten des gewahlten Bezugssystems. 1st dieses sowie ein,,lokales" System obiger Art fiir die betrachtete Stelle gegeben, so werden sich hier die d X,. durch bestimmte lineare hoeogene Ausdrucke der d xo- darstellen lassen : (2) dx,,= Cccvadx0. Setzt man diese Ausdriicke in (1) ein, so erhalt man 0 (3) Ol wobei die gas Funktionen der xo sein werden, die nicht mehr von der Orientierung und dem Bewegungszustand des,,lokalen" Koordinatensystems abhiingen konnen; denn d sz ist eine durch Mahtab-Uhrenmessung ermittelbare, zu den betrachteten, zeitriiumlich unendlich benachbarten Punktereignissen gehorige, unabhangig von jeder besonderen Koordinatenwahl definierte GroBe. Die go7 sind hierbei so zu wiihlen, dab go7 = gra ist; die Summation ist uber alle Werte von u und z zu erstrecken, so dab die Summe aus 4 x 4 Summanden besteht, von denen 12 paarweise gleich sind. Der Fall der gewohnlichen Relativitiitstheorie geht aus dem hier Betrachteten hervor, falls es, vermoge des besonderen Verhaltens der gar in einem endlichen Gebiete, moglich ist, in diesem das Bezugssystem so zu wiihlen, dab die go, die konstanten Werte (4)

11 Die Gundlage deer allgemeinen Relatiuitiitsthewie. 779 annehmen. Wir werden spater sehen, dab die Wahl solcher Koordinaten fiir endliche Gebiete im allgemeinen nicht moglich ist. Aus den Betrachtungen der $$ 2 und 3 geht hervor, da8 die GroBen got vom physikalischen Standpunkte aus als diejenigen GroJ3en anzusehen sind, welche das Gravitationsfeld in bezug auf das gewahlte Bezugssystem beschreiben. Nehmen wir niimlich zuniichst an, es sei fiir ein gewisses betrachtet'es vierdimensionales Gebiet bei geeigneter Wahl der Koordinaten die spezielle Relativitatstheorie giiltig. Die gar haben dann die in (4) angegebenen Werte. Ein freier materieller Punkt bewegt sich dann beziiglich dieses Systems geradlinig gleichformig. Fiihrt man nun durch eine beliebige Substitution nme Raum-Zeitkoordinaten x1... x4 ein, so werden in diesem neuen System die g, nicht mehr Konstante, sondern Raum-Zeitfunktionen sein. Gleichzeitig wird sich die Bewegung des freien Messenpunktes in den neuen Koordinaten a18 eine krummlinige, nicht gleichformige, darstellen, wobei dies Bewegungsgesetz unabhangig sein wird von der Natur des bewegten Massenpunktes. Wir werden also diese Bewegung als eine solche unter dem EinfluB eines Gravitationsfelcles deuten. Wir sehen das Auftreten eines Gravitationsfrldes gekniipft an eine raumzeitliche Vergnderlichkeit der gar. duch in dem allgemeinen Falle, dal3 wir nicht in einem endlichen Gebiete bei passender Koordinatenwehl die Giiltigkeit cl~r speziellen Relativitatstheorie herbeifiihren konnen, werden wir an der Auffassung festzuhalten haben, dab die g,, das Gravitationsfeld beschreiben. Die Gravitation spielt also gemab der allgemeinen Re1;- tivitgtstheorie eine Ausnahrrerolle gegeniiber den ubrigen, insbesondere den elektromagnetischen Krlften, indem die das Gravitationsfeld darstellenden 10 Funktionen go, zugleich die riietrischen Eigenschaften des vierdimensionalen MeBraumes bes timmen. B. iuathematis&e Hilfsmittel iiir die Anletellung allgemein kovarianter Bleiohnngen. Nachdem wir im vorigen gesehen haben, dad das allgerneine Relativitatspostulat zu der Forderung fiihrt, dab die Gleichungssysteme der Physik beliebigen Substitutionen der Koordinaten x1... z4 gegeniiber kovariant sein miissen,

12 780 A. Einstein. haben wir zu iiberlegen, wie derartige allgemein kovariante Gleichungen gewonnen werden konnen. Dieser rein Bathematischen Aufgabe wenden wir uns jetzt zu; es wird sich dabei zeigen, das bei deren Losung die in Gleichung (3) angegebene Invariante d s eine fundamentale R~lle spielt, welche wir in Anlehnung an die Gausssche Fliichentheorie als,,linienelement" bezeichnet haben. Der Grundgedanke dieser allgemeinen Kovariantentheoric ist folgender. Es seien gewisse Dinge (,,Tensoren") mit hzug auf jedes Koordinatensystem definiert duch eine Anzaa Raumfunktionen, welche die,,komponenten" des Tensors genannt werden. Es gibt dann gewisse Regeln, nach welchen diem Komponenten fiir ein neues Koordinatensystem berechnet werden, wenn sie fiir das urspriingliche System behnnt sind, und wenn die beide Systeme verkniipfende Transformation bekannt ist. Die nachher als Tensoren bezeichneten Dinge sind ferner dadurch gekennzeichnet, dab die Transformationsgleichungen fiir ihre Komponenten linear und homogen sind. Demnach verschwinden samtliche Komponenten in1 neuen System, wenn sie im urspriinglichen System samtlich verschwinden. Wird also ein Naturgesetz durch das Nullsetzen aller Komponenten ekes Tensors formuliert, SO ist eb allgemein kovariant ; indem wir die Bildungsgesetze der Tensoren untersnchen, erlangen wir die Mittel zur Aufstellung allgemein kovarianter Gesetze. Q 5. Kontravsrianter und kovarianter Vierervektor. Kontratmrianter Vierervektor. Das Linienelement ist definiert durch die vier,,komponenten" ax,, deren Transformationsgesetz durch die Gleichung V ausgedriickt wird. Die d xo' driicken sich linear und homogen durch die d x, am ; Wir konnen diem Koordinatendifferentiale d 2, daher als die Komponenten eines,,tensors" ansehen, den wir speziell ah kontravarianteh Vierervektor bezeichnen. Jedes Ding, was beziiglich des Koordinatensystems durch vier GroSen 8' definiert ist, die sich nach demselben Gesetz (5 d

13 Die Gundlage der allgeminen Relativitatstheorie. 781 transformieren, bezeichnen wir ebenfalls als kontravarianten Vierervektor. Aus (5a) folgt sogleich, da8 die Summen (A" f B") ebenfalls Komponenten ekes Vierervektors sind, wenn A" und B" es sind. Entsprechendes gilt fiir alle spater als,,tensoren" einzufihrenden Systeme (Regel von der Addition und Subtmktion der Tensoren). Kovarianter Viereruektor. Vier GroBen AY nennen wir die Komponenten eines kovarianten Vierervektors, wenn fiir jede belie bige Wahl des kontravarianten Vierervektors B" (6; C BYBY = Invariante. Y Aub dieser Definition folgt das Transformationsgesetz des kovarianten Vierervektors. Ersetzt man niimlich auf der rrchten Seite der Gleichung, 2 A"' Bo' = C A" B. 0 Y R' clurch den aus der Umkehrung cler Gleichung (5a) folgenden Ausdruc k so erhllt man Hieraus folgt aber, well in dieser Gleichung die B"' unabhiingig 7 oneinander frei wahlbar aind, das Transformat,ionsgesetz Bemerkung zur Vereinf clchungder Schreibweise der Ausdriicke. Ein Blick auf die Gleichungen dieses Paragraphen zeigt, (La13 uber Indizes, die zweimal unter einem Summenzeichen anftreten [z. B. der Index v in (5)], stets summiert wird, und zwar nur uber zweimal auftretende Indizes. Es ist deshalb moglich, ohne die Klarheit zu beeintrachtigen, die Eurnnienzeichen wegzulassen. Dafiir fiihren wir die Vorschrift pin: Tritt ein Index in einem Term eines Ausdruckes zweimal iiuf. so ist uber ihn stets zu sumrnieren, wenn nicht ausdrucklich das Gegenteil bemerkt ist. Der Unterschied zwischen dem kovarianten und kontrav;~r ianten Vierervektor liegt in dem Transformationsgesetz

14 782 A. Eiwtein. [(7) bzw. (5)]. hide Gebilde sind Tensoren im She der obigen allgemeinen Bemerkung ; hierin liegt ihre Bedeutung, Im AnschluB an Ricci und Levi-Civita wird der kontravariante Charakter durch oberen, der kovariante durch Uteren Index bezeichnet. 6. Teneoren sweiten und hzheren Bangee. Kontravarianter Tensor. Bilden wir siimtliche 16 Produkte A,, der Komponenten A und I? zweier kontravarianten Viererve ktoren (8) Apv = A, BY, so erfiillt Apv gem513 (8) und (5a) das Transformationsgesetz Wir nennen ein Ding, das bezuglich ekes jeden Bezugssystems durch 16 GroBen (Funktionen) beschrieben wird, die das Transformationsgesetz (9) erfiillen, einen kontravarianten Tensor zweiten Ranges. Nicht jeder solcher Tensor labt sich gemiib (8) aus zwei Vierervektoren bilden. Aber es ist leicht zu beweisen, dab sich 16 beliebig gegebene A,* darstellen lassen als die Summe der ApP von vier geeignet gewiihltcn Paaren von Vierervektoren. Deshalb kann man beinahe alle Siitze, die fiir den durch (9) definierten Tensor zweiten Ranges gelten, am einfachsten dadurch beweisen, dab man sie fiir spezielle Tensoren vom Typus (8) dartut. Kontravarianter Tensor beliebigen Ranges. Es ist klar, dab man entsprechend (8) und (9) auch kontravariante Tensoren dritten und hijheren Ranges definieren kann mit 43 USW. Komponenten. Ebenso erhellt aus (8) und (9), dab man jn diesem Sinne den kontravarianten Vierervektor als kontrararianten Tensor ersten Ranges auffassen kann. Kovarianter Tensor. Bildet man andererseits die 16 Produkte A,, der Komponenten zweier kovarianter Vierervektoren A, und Bv 110) Apv = A, By, so gilt fiir diese das Transformationsgesetz

15 Die Grudlage der allgemeim Belatiwitatsthorie. 783 Durch dieses Transformationsgesetz wird der kovariantr Tensor zweiten Ranges definiert. Alle Bemerkungen, welchr vorher uber die kontravarianten Tensoren gemacht wurden, gelten auch fiir die kovarianten Tensoren. Bemerkung. Es ist bequem, den Skalar (Invariante) sowohl als kontravarianten wie als kovarianten Tensor vom Range Null zu behandeln. Gemischter Tensor. Man kann auch einen Tensor zweiten Ranges vom Typus (12) Apv = A, By definieren, der beziiglich des Index p kovariant, beziiglich des Index Y kontravariant ist. Sein Transformationsgesetz ist Natiirlich gibt es gemischte Tensoren mit beliebig vielen Indizes kovarianten und beliebig vielen Indizes kontravarianten Charakters. Der kovariante und der kontravariante Tensor konnen als spezielle Falle des geniischten angesehen werden. Symmetrische Tensoren. Ein kontravarianter bzw. kovarianter Tensor zweiten oder hoheren Ranges heibt symmetrisch, wenn zwei Komponenten, die durch Vertauschung irgend zweier Indizes auseinander hervorgehen, gleich sind. 1k.r Tensor AQ bzw. A,, ist also symmetrisch, wenn fiir jede Ihmbination der Indizes (14) A P = ~ AVP, bzu. (144 dpy = 4 I I ist. Es mu13 bewiesen werden, dab die SO clefinierte Symmetrie eine vom Bezugssystem unabhangige Eigenschaft ist. (Am (9) folgt in der Tat mit Rucksicht auf (14) L h vorletzte Gleichsetzung beruht auf der Vertauschnng der Surnmationsindizes p und Y (d. h. auf blol3er hderung der Bezeichnunqsweise). Antis ymmetrisch Tensoren. Em kontravarianter bzw. kovarianter Tenor zweiten, kitten oder vierten Ranges heibt

16 784 A. Einstein. antisymmetrisch, wenn zwei Komponenten, die durch Verteuschung irgend zweier Indizes auseinander hervorgehen, entgegengesetzt gleich sind. Der Tensor APv bzw. A,, ist also antisymmetrisch, wenn stets (15) bzw. APv = - AVP, (154 AllY = - Bvp ist. Von den 16 Komponenten Apv verschwinden die vier Komponenten A PP; die ubrigen sbd paarweise entgegengesetzt gleich, so da8 nur 6' numerisch verschiedene Komponenten vorhanden sind (Sechservektor). Ebenso sieht man, dab drr antisymmetrische Tensor APVu (dritten Ranges) nur vier numerisch verschiedene Komponenten hat, der antisymmetrische Tensor APvuT nur eine einzige. Symmetrische Tensoren hoheren als vierten Ranges gibt es in einem Kontinuum von vier Dimensionen nicht Multiplikation der Tensoren. Aupere Multiplikation der Tensoren. Man erhalt aus den Komponenten eines Tensors vom Range z iind eines solchen vom Range z' die Komponenten eines Tensors vom Range x + z', indem man alle Komponenten des ersten mit allen Komponenten des zweiten paarweise multipliziert. So entstehen beispielsweise die Tensoren T aus den Tensoren A und B verschiedener Art T,v, =ApvBd T~SY~ = AaS Bra, Tc: = AaBBy6. Der Beweis des Tensorcharakters der T ergibt sich unmittelbar aus den Drtrstellungen (8), (lo), (12) oder aus den Transformationsregeln (9), (ll), (13). Die Gleichungen (a), (lo), (12) sind selbst Beispiele auberer Multiplikation on Tensoren ersten Ranges).,, Verjungung" ekes gemischten Tensors. Aus jedem gemischten Tensor kann ein Tensor von einem um zwei kleineren Range gebildet werden, indem man einen Index kovarianten und einen Index kontravarianten Charakters gleichsetzt und

17 Die Grundlage der a1lgemevie)i Kelntirituitstheoric! iixh dieseni Index sumniiert (,3Verjiingung"). Man gewinnt8,<o z. B. aus deni gemischten Tensor x-iertrii Raqges -4;' cltm gemischt,en Tensor zweiten Ranges Ad # = /P",= ZB:;) a uiitl BUS dieseni, abermals dui~a~ Verjiingung, cirl) Ter~soI nullten Ranges A = A$ = A:$. Der Beweis dafiir, da8 dss Ergebnis (ley Veljiingung wirlilich Tensorcharakter besitzt, ergibt' sich entweder aus dei. Tensordarstellung gemii13 der Verallgek~einerung von (12) in Verbindung niit (6) oder aus der Verallgemeinerung von (13). Innere uncl gemischte Multiplakation der Tenswen. Diese hest,ehen in der Koiiibinattioil clvr liul3eren Multiplikation illit. clrr Verjiingung. Beispiele. - Aus dem kovarim t'en Tensor zweiten Ranges -4(,, und deiii liont,ravarianten Tensor ersten Ranges B" bilden n-ir (lurch aubere Multiplikation den geiiiischten Tensor B,:,, = dklv Bu. 1)urcli Verjunguiig nech den Indizrs s. CJ variante Viererwktor D = D!L V v =.~lpvbv. entstelit der ku- 1 hesen bezeichnc~n wir amh als inneres Plodulit del Tensown A,,, unti B". Analog bildet man aus den Tensoren untl B;'" durch GuBere Multiplikation untl zweimalige Verjiingung 11a~s innere Protlukt, AEIv BPy. Durch BuRere Produlrtbildung und einmalige Verjiingung erhalt man aus ALlv und Bar den gemischten Tensor zweiten Ra.nges D,: = R". Man kann tliese Operation passend als eine geinischt,o bezeichnen ; denn sie ist eine BuBere bezuglich rler Indizes p nnd z. eine innerr hezuglich der Indizes Y untl 0. Wir beweisen nun einen Satz, (ley Zuni Nachweis cles Tensorcharakters oft' verwendbar ist,. Xach dein sorben Darqelegten ist a4!lv BPv ein Skalar, wenn A,, und Bur Tensoren hd. Wir behaupten aber auch folgendes. Wenn A,,,, BPv fiir jede Wahl des Tensors BFLv eine 1nvaria.nt'e ist. so hat A,, Tensol.- charalrter. Beweis. - Es ist, nacli Vomussetzung fiir eine beliebipck Subst,itution A ' Bur' = B~J~. (ir Annalen der Physik. IV. Folge

18 78 6 A. Einstein. Nach der Umkehrung von (9) ist aber Dies, eingesetzt in obige Gleichung, liefert, : Dies kann bei beliebiger Wahl von P7 nur dann erfiiilt sein, wenn die Klammer verschwindet, woraus mit Riicksicht auf (11) die Behauptung folgt. Dieser Sate gilt entsprechend fiir Tensoren beliebigen Ranges und Charakters; der Beweis ist stets analog eu fijhren. Der Satz last sich ebenso beweisen in der Form: Sind B, und Cv beliebige Velitoren, und ist bei jeder Wahl derselben das innere Prodnkt A,, B, 0 ein Sbalar, so ist A,, ein kovarianter Tensor. Dieser letztere Satz gilt auch dann noch, wenn nur die speziellere Aussage zutrifft, dab bei beliebiger Wahl des Vierervektors B, das skalare Produkt ApvBpB* ein Skalar ist, falls man aul3erdem weil3, dab A,, der Spmetriebedingung A,, = A:!, geniigt. Denn auf dem vorhin angegebenen Wege beweist man den Tensorcharakter von (A,, + Avp), woraus dann wegen der Symmetrieeigenschaft der Tensorcbarakter von A,, selbst folgt. Auch dieser Satz labt sich leicht verallgemeinern auf den Fall kovarianter und kontravarianter Tensoren beliebigen Ranges. Endlich folgt aus dem Bewiesenen der ebenfalls auf beliebige Tensoren zu verallgemcinernde Satz: Wenn die GroBen A,, B bei beliebiger Wahl des Vierervektors B einen Tensor ersten Ranges bilden, so ist A,, ein Tensor zweiten Ranges. Ist namlich 0 ein beliebiger Vlerervektor, so ist wegen des Tensorcharakters A,, P das innere Produkt A,, Cf B* bei beliebiger Wahl der beiden Vierervektoren 0 und P ein Skalar, woraus die Behauptung folgt. $ 0. Einigee uber den Fundamentaltensor der g,. Der kouariante Fundamentaltensor. In dem invarianten Ausdrucli des Quadrates des Linienelementes ds2 = d.~!, d 2,

19 spielt d zp die Rolle eines belie big wiihlhren kontrararianten Vektors. Da ferner 'gpv= gyp, so folgt nach den Betrachtungen des letzten Paragraphen hieraus, dab g?, eiii kovarianter Tensor zweiten Ranges ist. Wir nennen ihn.,fundame4taltensor". In1 folgencien leiten wir einige Eigenschaften dieses Tensors ab, die zwar jedem Tensor zweiten Ranges eigen sind; aber die besondere Rolle des Fundamentaltensors in unserer Theorie, welche in der Besonderheit, der Cirayitationswirkungen ihren physikalischen Grund hat, bringt es init $ch, dab die zu entwickelnden Relationen nur bei dem Fundament,altensor fiir uns von Bedeutung sind. Der kontravariante Fundancentaltensor. Bildet inan in den1 Determinantenschema der g,, zu jedem yt, die Unterdeterininante und dividiert diese durch die Determinante g = lg,71 der gp7, so erhalt, man gewisse GroBen gp*'(= gyp), von denen wir beweisen wollen, dab sie eineii kontravarianten Tensor Mden. Nach Pinem bekannt,en I)et~~.itiin~ntensat.zr ist (16) 9"" 9'" = *!'v 7 wobei das Zeichen d,' 1 oder 0 bedeutet. je nachdeni p. = v oder pv ist,. St,att des obigen,411sdruckes fiir asa konnen wir auch oder nach (16) ilucli 9,, 8: dxii (/% 2 9,, 9,, Y"" *;1 d X" schreiben. Kun bilden abei mch den h~ultiylikation. des vorigen Paragraphen die CiroBen d Em = 9,, <* d x1 einen kovarianten Vierervektor, und zwar (wegen der willkurlichen Wiihlbarkeit der d zp) einen beliebig wahlbaren Vierervektor. Indem wir ihn in unseren Ausdruck einfiihren, erhalten wir 22 = 9"rd$~rd&. Da dies bei beliebiger Wahl des Vektors dl,, ein Skalai ist und g"' nach seiner Definition in den Indizes CT und z synimetrisch ist, folgt aus den Ergebnisseri des vorigen Paragraphen, dab $' ein kontravariant'er Tensor ist. Aus (16) folgt noch. dab aneh 8; ein Tensor ist. den wir den gerrlischten Fundanientaltensor nennen kiinnen. K1*

20 788 A. Einstein. Determinpnte des Fundamentaltettsors. Nach dem 3fult8iplikationssatz der Determinanten ist Andererseits ist Also folgt 19,,,.~ayI = 19pal9"'I. 19,,9"'1 = ir3p'l= 1. (17) 19pvl I9P'I = 1. Invariante des Volumens. Wir suchen zuerst das Transforniationsgesetz der Determinant'e g = Ig,,,l. GemaB (11) ist, Hieraus folgt durch zweimalige Anwendung des Multiplihtionssetzes der Determinanten oder Andererseits 1st das Gesetz der Transformation des Volumelemen tes dr' = j dzl dx2 dx8 dx, Iiach dem bekannten Ja ko bischen Sntze Durch Nultiplikation der beiden letzten Gleichungen erhalt man (18) 1/Fd t' = 1/Fd T. Statt vg wird im folgenden die GroBe 1/-s eingefiihrt, welche wegen des hyperbolischen Charakters des zeitrtiumlichen Kontinuums stets einen reellen Wert hat. Die Invariante 1/-9dz ist gleich der GroBe des im,,ortlichen Bezugssystem" uiit starren MaBstaben und Uhren im Sinne der speziellen Relativitatstheorie gemessenen vierdimensionalen Volumelementes. Bemerkung iiber den Chrakter des raumzeitlichen Kontinuums. Unsere Voraussetzung, dab im unendlich Kleinen stets die spezielle Relat'ivitatstheorie gelte, bringt es mit sich,