mathematik-abc for das Lehramt H.Junek Analysis

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1 mathematik-abc for das Lehramt H.Junek Analysis

2 mathematik-abc for das Lehramt Herausgegeben von Prof. Dr. Stefan Deschauer, Dresden Prof. Dr. Klaus Menzel, Schwabisch GmOnd Prof. Dr. Kurt Peter MOiler, Karlsruhe Die Mathematik-ABC-Reihe besteht aus thematisch in sich abgeschlossenen Einzelbanden zu den drei Schwerpunkten: Algebra und Analysis, Bilder und Geometrie, Computer und Anwendungen. In diesen drei Sereichen werden Standardthemen der mathematischen Grundbildung gut verstandlich behandelt, wobei Zielsetzung, Methoden und Schulbezug des behandelten Themas im Vordergrund der Darstellung stehen. Die einzelnen Sande sind nach einem "Zwei-Seiten-Konzept" aufgebaut: Der fachliche Inhalt wird fortlaufend auf den linken Seiten dargestellt, auf den gegenoberliegenden rechten Seiten finden sich im Sinne des "Ieaming by doing" jeweils zugehorige Seispiele, Aufgaben, stoffliche Erganzungen und Ausblicke. Die Seschrankung auf die wesentlichen fachlichen Inhalte und die Erlauterungen an hand von Seispielen und Aufgaben erleichtern es dem Leser, sich auch im Selbststudium neue Inhalte anzueignen oder sich zur PrOfungsvorbereitung konzentriert mit dem notwendigen ROstzeug zu versehen. Aufgrund ihrer Schulrelevanz eignet sich die Reihe auch zur Lehrerweiterbildung.

3 Analysis Funktionen - Folgen - Reihen Von Prof. Dr. Heinz Junek Universitat Potsdam B. G. Teubner Stuttgart. Leipzig 1998

4 Prof. Dr. Heinz Junek Geboren 1944 in Trautenau. Lehramtsstudium Mathematik und Physik von 1962 bis 1966, Promotion 1969 (Universelle Algebra) und Habilitation 1979 (Funktionalanalysis) an der Padagogischen Hochschule Potsdam; Dozent 1979, Professor Seit 1991 Professor an der Universitat Potsdam. Arbeitsgebiet: Funktionalanalysis Gadruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Junek, Heinz: Analysis: Funktionen - Foigen - Reihen / von Heinz Junek. - Stuttgart; leipzig: Teubner, 1998 (Mathematik-ABC for das lehramt) ISBN-13: e-isbn-13: DOl: / Das Werk einschlieblich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschotzt. Jade Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulassig und strafbar. Das gilt besonders for Vervielfahigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen B. G. Teubner Stuttgart leipzig

5 Vorwort Der vorliegende Band "Analysis" der Reihe "mathematik-abc fur das Lehramt" ist eine elementar gehaltene EinfUhrung in die Theorie und Anwendungen der eindimensionalen Analysis fur Studienanfiinger unter besonderer Berticksichtigung der Lehramtsstudenten. Dabei werden vor allem die folgenden Ziele verfolgt: Dem Leser wird erstens ein moglichst schlanker und leicht nachzuvollziehender Aufbau der Analysis prllsentiert, der sowohl die inneren Zusammenhiinge der Theorie, ihre wichtigsten Begriffe und Methoden, aber auch die vieifliltigen Anwendungen deutlich macht. Zu diesem Zweck ist der Stoff in kleine, gut tiberschaubare thematische Abschnitte unterteilt, die in der Regel auf jeweils zwei gegentiberliegenden Druckseiten behandelt werden: Dem Theorieteil auf der linken und den Aufgaben und Anwendungen zur Anregung und Selbstkontrolle des Lesers auf der rechten Seite. Zweitens so lite dem Leser deutlich werden, dab die reelle Analysis auf wenigen Grundannahmen, nlimlich den Axiomen des reellen Korpers, basiert. Philosophisch interpretiert bedeutet dies, dab jede mathematische Intelligenz, die diese wenigen Grundpostulate tiber den Korper der reellen Zahlen zum Ausgangspunkt nimmt, zwingend zur gleichen Analysis und zu den gleichen elementaren Funktionen gelangen wurde. Drittens werden, dem Anliegen der Lehramtsausbildung in besonderem MaBe entgegenkommend, die Theorie und die Anwendung der elementaren Funktionen mit unterschiedlichen Techniken (Ordnungsrelation und Monotonie einerseits, Konvergenz und Reihendarstellung andererseits) immer wieder aufgegriffen und vertieft. Das betrifft insbesondere die Potenz- und Wurzelfunktionen, die ganzrationalen Funktionen, die Exponential- und Logarithmusfunktionen, die besondere Rolle der Basis e und die trigonometrischen Funktionen. In einem abschliebenden Abschnitt wird die Ausdehnung dieser Funktionen auf den komplexen Korper vorgenommen, urn das Wechselspiel dieser Funktionen hervortreten zu lassen und den Fundamentalsatz der klassischen Algebra beweisen zu konnen. Aus dieser "komplexen AnhOhe" soli der Leser letztendlich ein tieferes Verstandnis fur die reellen Phanomene gewinnen. Dem Vorgehen in der Schule entsprechend werden hier beim Aufbau der Analysis zwei verschiedene Techniken demonstriert: Die ersten drei Kapitel sind bewubt auf die Werkzeuge der Ordnungsrelation und Monotonie beschrankt, also auf Hilfsmittel, die in der Schule in den Klassenstufen 1 bis 10 entwickelt werden, wabrend spilter der Betrag und die Konvergenzbegriffe das Hauptinstrument bilden. Durch dieses Vorgehen soli der Leser auch erkennen, dab der eigentliche Analysisunterricht in der Schule bereits mit der EinfUhrung der reellen Zahlen einsetzt und keineswegs erst mit der Definition des Grenzwertes beginnt. Es sei jedoch vor dem falschen Eindruck gewarnt, dab die auf der Ordnung beruhenden Techniken nur etwas Vorlaufiges oder Minderwertiges waren.

6 6 Vorwort Dem ist nicht so; be ide Methoden finden in der modemen Analysis ihre Fortsetzung, z.b. in Gestalt von Banachverbanden und von Banachraumen. Die im Buch verwendete Symbolik entspricht dem mathematischen Standard und bedarf keiner zusatzlichen Erlauterung. Wie ublich bezeichnen N, Z, Q, R und C die Bereiche der nattirlichen, der ganzen, der rationalen, der reellen bzw. der komplexen Zahlen. Durch N* und R" werden die entsprechenden Bereiche ohne die 0 bezeichnet, und Q+ bzw. R. stehen fur die Mengen der nichtnegativen rationalen bzw. nichtnegativen reellen Zahlen. Dezimalbruche sind meistens mit Dezimalpunkt statt Dezimalkomma geschrieben, da das die Lesbarkeit in Aufzahlungen verbessert. Definitionen, Satze, Beispiele und Aufgaben sind innerhalb eines Unterabschnittes durchlaufend numeriert. Das Ende von Beweisen wird mit dem fur diesen Zweck durch den ungarischen Mathematiker P. HALMOS popular gemachten Symbol _ angezeigt. Die zahlreichen Aufgaben fordem zu eigener mathematischer Beschaftigung auf und dienen der Anwendung und Festigung der Theorie. Ihre Bearbeitung hat wesentliche Bedeutung fur das Verstandnis der Analysis und wird daher nachdrucklich empfohlen. Etwas schwierigere Aufgaben werden durch Losungshinweise untersttitzt. Der Losungsteil enthalt die vollstandigen Losungen. Dort so lite man jedoch erst nach erfolgter Bearbeitung zur Kontrolle nachschlagen. Die didaktische Konzeption des Buches basiert auf wiederholt gehaltenen Anflingervorlesungen zur Analysis fur Lehramtskandidaten und hat sich entsprechend der oben genannten Zielstellungen mehrfach bewahrt. AbschlieBend gilt mein besonderer Dank den Herren Prof. Dr. S. Deschauer undprof. Dr. W. Schulz, die grobe Teile des Manuskriptes durchgesehen haben und denen ich wertvolle Hinweise verdanke. lch danke meinen Mitarbeitem Frau Dr. E. Fischer und Herrn Dr. A. BraunB fur sorgfliltiges Korrekturlesen, Frau H. Kirmse fur das Schreiben grober Teile des Manuskriptes und Herrn G. Teschke, der die Mehrzahl der Abbildungen anfertigte. SchlieBlich ist es mir ein BedUrfnis, Herrn J. WeiB yom Teubner-Verlag fur seine standige Aufmerksamkeit und Begleitung bei der Entstehung des vorliegenden Buches herzlich zu danken. Potsdam, Mai 1998 Heinz Junek

7 Inhalt 1 Der Korper der reellen Zahlen 1.1 Der geordnete Karper der reellen Zahlen Suprema und Infima, das Vollstfuldigkeitsaxiom Die Approximation reeller Zahlen durch rationale Zahlen Existenz und Eindeutigkeit n-ter Wurzeln in R Betrage und Betragsungleichungen, Intervalle Elementare Funktionen 2.1 Grundbegriffe Monotone Funktionen Exponential- und Logarithmusfunktionen Ganzrationale Funktionen Trigonometrische Funktionen Zahlenfolgen und Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Grenzwerte und Konvergenzkriterien Grenzwertslitze Monotone Zahlenfolgen und Intervallschachtelungen Die natilrliche Exponentialfunktion Haufungspunkte Das Cauchy-Kriterium Der Banachsche Fixpunktsatz Zahlenreihen 4.1 Grundbegriffe Grenzwertsatze und Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen Potenzreihen und Exponentialfunktion Stetigkeit 5.1 Der Stetigkeitsbegriff Grenzwerte und Stetigkeit Nullstellensatz und Zwischenwertsatz Der Satz vom Maximum und Minimum GleichmaBige Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit Differentialrechnung 6.1 Differenzierbarkeit Differentiationsregeln... 66

8 8 Inhalt 6.3 Differentiation elementarer Funktionen Mittelwertsatze der Differentialrechnung Kurvendiskussion Taylorentwicklung Rundungsfehler und Fehlerfortpflanzung Integralrechnung 7.1 Das Riemannsche Integral Integrabilitatskriterien Existenzsatze Eigenschaften des Integrals Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Integrationsmethoden Integration gebrochenrationaler Funktionen Uneigentliche Integrale Integration und Inhaltslehre Komplexe Zahlen und Anwendungen 8.1 Der Korper der komplex en Zahlen Die trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen Konvergenz und Grenzwerte in C Der Fundamentalsatz der klassischen Algebra Exponential- und Sinusfunktion im Komplexen Die logische Abhingigkeit der zentralen Sitze Losungen der Aufgaben Literatur Stichwortverzeichnis