Kapitel 2 KONVERGENZ

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1 Kapitel 2 KONVERGENZ Fassung vom. Juni 2005 Mathematik II 37

2 2. Grenzwerte 2. Grenzwerte Dies ist der zentrale Begriff der Analysis. BEISPIEL Sei f := id : R + R : x 7 x Ist x nahe bei 0, so ist f (x) nahe bei undistx nahe bei, so ist f (x) nahe bei 0. Wie sollen wir diesen Begriff nahe bei präzisieren? DEFINITION Es sei r R + gegeben. Für x R deþniert man U r (x) :=[x r, x + r] und U r ( ) :=[r, ], U r ( ) :=[, r]. (a) Wir sagen, daß y R liegt r-nahe bei x R, falls gilt y U r (x), d.h. für (i) x R, falls x r 6 y 6 x + r, 38 KONVERGENZ

3 Grenzwerte 2. (ii) x =,falls r 6 y, (iii) x =,falls y 6 r. (b) Eine Menge V R heißt Umgebung von x R, falls r R + existiert, so daß V U r (x). (c) Ist A R, soseia der Abschluß von A die Menge aller x R, so daß für jede Umgebung V von x gilt A V 6= oder für alle r R + gilt A U r (x) 6=. BEMERKUNG Wichtig sind kleine Umgebungen. Wenn man in R arbeitet, benutzt man ε statt r. In diesem Fall sind die ε-umgebungen klein für kleine ε > 0. Für ± sind die r-umgebungen klein für große r. BEMERKUNG 2 Es gilt immer A A. BEISPIEL 2 Sind V und V 2 Umgebungen von x R,soistV V 2 eine Umgebung von x. Seien für j =, 2 reelle Zahlen r j > 0,sodaßU rj (x) V j. Ist x R,sodeÞniere r := min (r, r 2 ). Dann gilt [x r, x + r] =[x r,x+] [x r 2,x+ r 2 ] V V 2. Ist x =,sodeþniere r := max (r, r 2 ).Danngilt [r, ] =[r, ] [r 2, ] V V 2. Analog für x =. BEISPIEL 3 Es ist ]0, [ = [0, ]. Denn : Ist x>,soistu x (x) =[, 2x ] disjunkt von ]0, [,alsox/ ]0, [.Analog für x<0. Schließlich für alle r R + ist U r () ]0, [ 3 min r, 2,also ]0, [.Analog für 0. DEFINITION 2 Sei D R, f : D R eine Funktion und a R mit a D.Dannheißt b R Grenzwert oder Limes von f für x gegen a, wenn gilt : Zu jeder Umgebung V von b existiert eine Umgebung U von a mit x D U = f (x) V, KONVERGENZ 39

4 2. Grenzwerte d.h. f (D U) V, oder für jedes r>0 existiert ein s>0 mit x D U s (a) = f (x) U r (b), d.h. f (D U s (a)) U r (b). Man schreibt dann b = lim D3x a f (x) = lim x a f (x) oder f (x) b für x a ( x D ). BEMERKUNG 3 Die erste Formulierung hat eher geometrischen Charakter, während die zweite eine analytische Interpretation liefert. BEISPIEL 4 Für die Funktion + sin id für x gegen : sin x : x 7 + : R x + R konvergiert + sin x x gegen ε =0, und r > 0 ε =0, 05 und r > ε =0, 0 und r > KONVERGENZ

5 Grenzwerte ε =0, 00 und r > 000 BEISPIEL 5 Seien D ]0, [ mit 0, D und id : D R : x 7 x. Es gilt lim x id (x) = lim x x =0 und lim x 0 id (x) = lim x 0 x =. Für die erste Aussage sei ε > 0 gegeben. Gesucht ist ein r>0 mit x D U r ( ) = id (x) U ε (0). > 0 für alle x D, sind folgende Aussagen sukzessiv äquivalent : Da x id (x) U ε (0) x 6 ε x > ε. Für r = ε folgt aus x D U r ( ),d.h.x > ε,daß id (x) U ε (0). Man beachte, daß r von ε abhängt. Für die zweite Aussage sei jetzt r>0 gegeben. Gesucht ist ein ε > 0 mit Da x x D U ε (0) = id (x) U r ( ). > 0 für alle x D, sind folgende Aussagen sukzessiv äquivalent : id (x) U r ( ) x > r KONVERGENZ 4

6 2. Grenzwerte x 6 r. Für ε = r folgt aus x D U ε (0),d.h.x 6 r,daß id (x) U r ( ). Man beachte, daß ε von r abhängt. 42 KONVERGENZ

7 Rechenregeln für Grenzwerte Rechenregeln für Grenzwerte DEFINITION (Rechenregeln in R ) Für c R sei c + = falls c 6=, c = falls c 6=, c = falls c>0, c = falls c<0, Die Fälle sind nicht deþniert. c =0 falls c 6= ±. ± = +( ), ± 0, c 0, ± Man beachte, daß R kein Körper ist! HAUPTSATZ Seien D R, f,g : D K, α K und a D f. Existieren lim x a f (x) und lim x a g (x) und ist die rechte Seite in R oder C deþniert, so gilt : (i) (ii) (iii) (iv) Faktorregel Summenregel Produktregel Quotientenregel lim x a (α f (x)) = α lim x a f (x). lim x a (f (x)+g (x)) = lim x a f (x)+lim x a g (x). lim x a (f (x) g (x)) = lim x a f (x) lim x a g (x). f (x) lim x a g (x) = lim x a f (x),falls lim x a g (x) 6= 0. lim x a g (x) Falls lim x a g (x) =0,aberg>0 in einer Umgebung von a,bzw. g<0 in einer Umgebung V von a,sogilt f (x) lim x a g (x) = ± lim x a f (x),falls lim x a f (x) 6= 0. (v) Einsetzungsregel Seien C R, h : C R und c C,sodaßh(C) D,d.h. f h ist deþniert. Falls lim u c h (u) =a, KONVERGENZ 43

8 2.2 Rechenregeln für Grenzwerte so gilt lim u c f (h (u)) = lim x a f (x). Man sagt auch, daß man die Variablenänderung x = h (u) durchgeführt hat. Exemplarisch werden die Beweise für (ii) und (iii) in manchen Fälle durchgeführt. Beweis von (ii) für b := lim x a f (x) R und lim x a g (x) = In diesem Fall ist lim x a f (x) + lim x a g (x) = deþniert. Sei V eine Umgebung von, z.b. V =[r, ], gegeben. Gesucht ist eine Umgebung U von a,sodaß x U = f (x)+g (x) V. Da f (x) gegen b := lim x a f (x) für x gegen a konvergiert, existiert (zu ε =) eine Umgebung U f, von a,sodaß x U f, = b 6 f (x) 6 b +. Da g (x) gegen für x gegen a konvergiert, existiert (zu max (r, r b +)> 0 ) eine Umgebung U g,r von a,sodaß x U g,r = g (x) > max (r, r b +). Sei jetzt U := U f, U g,r. Diese Menge ist eine Umgebung von a nach Beispiel 2..2 und es folgt x U = f (x)+g (x) > b +max(r, r b +)> r. Beweis von (iii) für b := lim x a f (x) und c := lim x a g (x) in R Mit Hilfe der Dreiecksungleichung Satz.4 gilt : f (x) g (x) b c = f (x) g (x) f (x) c + f (x) c b c 6 6 f (x) g (x) f (x) c + f (x) c b c 6 6 f (x) g (x) c + f (x) b c. Da b c R,seiε > 0 gegeben und V =[b c ε,b c + ε]. Gesucht wird eine Umgebung U von a,sodaß x U = f (x) g (x) [b c ε,b c + ε]. Zuerst existiert eine Ungebung U f, von a mit x U f, = b 6 f (x) 6 b +. Für diese x gilt dann f (x) 6 b +. DeÞniere d := max ( b +, c ). Dann existieren Umgebungen U f,ε,d und U g,ε,d von a mit x U f,ε,d = f (x) b 6 ε 2d. und x U g,ε,d = g (x) c 6 ε 2d. 44 KONVERGENZ

9 Rechenregeln für Grenzwerte 2.2 Für x U := U f, U f,ε,d U g,ε,d gilt dann f (x) g (x) b c 6 b + ε 2d + ε 2d c 6 ε. BEISPIEL Seien D R, a D und c R. Für konstante Funktionen gilt Diese Funktion wird auch mit c bezeichnet. f : x 7 c : D R lim x a f (x) = lim x a c = c. Man kann hier zu der gegebene Umgebung V von c die Umgebung U beliebig wählen! BEISPIEL 2 Seien D R und a D. Für die identische Funktion id : D R : x 7 x gilt lim x a id (x) = lim x a x = a. Hier braucht man nur zu der gegebene Umgebung V von a die Umgebung U := V zu wählen. BEISPIEL 3 und Beispiel 2..5 kann man wieder nachrechnen : Nach Hauptsatz (iv) gilt lim x x = lim x lim x x = =0 lim x 0 x = lim x 0 lim x 0 x = =. BEISPIEL 4 Die Rechnung geht nicht auf! Nach vorigem Beispiel und Hauptsatz (ii) gilt lim x +x x lim x +x x = lim x x +=0+=. = lim x ( + x) lim x x = undeþniert KONVERGENZ 45

10 2.2 Rechenregeln für Grenzwerte BEISPIEL 5 Sei f : Rr{2} R : x 7 4x4 +3x 2 2x + (x +2) 2 (x 2) 2. Wie im vorigen Beispiel soll man durch die höchste Potenz dividieren : 4x 4 +3x 2 2x + lim x (x +2) 2 (x 2) 2 =lim 4+3x 2 2x 3 + x 4 x ( + 2x ) 2 ( 2x ) 2 = = lim x (lim x x ) 2 2 (lim x x ) 3 +(lim x x ) 4 ( + 2 lim x x ) 2 ( 2lim x x ) 2 = = ( + 2 0) 2 ( 2 0) 2 =4. BEISPIEL 6 Seien D R + mit 0, D und id : x 7 x : D R. Es gilt lim x x = und limx 0 x =0. Denn : Für eine gegebene Umgebung V =[r, ] von sei U := [r 2, ].Ausx D U folgt x > r 2,also x > r aus Bemerkung.4.6, d.h. x V. Analog ist V =[ ε, ε] eine Umgebung von 0 so deþniert man U := [ ε 2, ε 2 ].Ausx D U folgt x 6 ε 2,also x 6 ε aus Bemerkung.4.6, d.h. x V. Man hätte auch rechnen können lim x 0 x = limx 0 q x = y= x lim y y = lim y y = =0, da lim x 0 = nach Beispiel x BEISPIEL 7 Sei r x2 + x 7 x : R + R. q x Um lim 2 + x zu berechnen führt man die Variablenänderung y = x2 + und rechnet zuerst x x lim x x 2 + x =lim x µ x + x Mit Satz (v) und dem vorigen Beispiel folgt = lim x x +lim x x = +0=. lim x r x2 + x = lim y y =. 46 KONVERGENZ

11 Rechenregeln für Grenzwerte 2.2 DEFINITION 2 Sei f : D f C eine komplexwertige Funktion mit DeÞnitionsbereich D f R. Man betrachte die reellwertigen Funktionen Re f : D f R : x 7 Re f (x) und Im f : D f R : x 7 Im f (x). Man sagt, daß f einen Grenzwert oder ein Limes für x gegen a D f in C hat, falls Re f und Im f Grenzwerte in R haben. Dieser Grenzwert ist lim x a f (x) := lim x a Re f (x)+i lim x a Im f (x). Die Rechenregeln sind noch gültig für Funktionen f,g : D C und α C, so lange die rechte einen Sinn in C hat. KONVERGENZ 47

12 2.3 Folgen 2.3 Folgen DEFINITION Eine Folge in K = R oder C ist eine Abbildung N K : k 7 a (k) =:a k. Üblicherweise schreibt man (a k ) k N =(a 0,a,...). Der erste Index kann auch oder eine beliebige ganze Zahl sein. BEMERKUNG Achtung : Die Folge (a k ) k N ist eine Abbildung und ist verschieden von Z.B. gilt für die Folge ³( ) k k N {a k k N} = a (N).,daß n( ) o k k N = {±}. BEISPIEL Die Folge der Primzahlen (p k ) k N fängt an mit (p k ) k N =(2, 3, 5, 7,, 3,...), aber es gibt keine explizite Formel für die k-te Primzahl p k! BEMERKUNG 2 Oft werden Folgen rekursiv deþniert in der folgenden Form. Seien gegeben a K, eine Teilmenge D Φ K und eine Abbildung Φ : D Φ D Φ. Man deþniert dann : a 0 := a und a k+ := Φ (a k ). BEISPIEL 2 Eine wichtige Folge ist µ k Sie ist rekursiv deþnierbar durch da k+ = k + k. k N = µ k k> a := und a k+ = a k. +a k, BEISPIEL 3 Seien a, b K. Die Folgen in arithmetischer und geometrischer Progression sind deþniert durch a 0 := a, a k+ := a k + b und a 0 := a, a k+ := a k b. 48 KONVERGENZ

13 Folgen 2.3 Die erste ist die zweite (a + k b) k N, a b k k N. Z.B. ist die arithmetische Progression für a =0und b =die Folge id = (k) k N der natürlichen Zahlen und die geometrische Progression für a =die Folge der Potenzen von b. BEISPIEL 4 Seien x, a R + gegeben. Durch a 0 := a und a k+ := 2 µa k + xak ist eine Folge (a k ) k N R + deþniert. Dies folgt durch Induktion, da aus a k > 0 folgt a k+ = ³a 2 k + xak > 0. DEFINITION 2 Für alle x R sei bxc := max {z Z z 6 x}. Diese ganze Zahl nennt man die (untere) Gaußklammer von x.dieobere Gaußklammer ist dxe := min {z Z z > x}. Diese Zahlen existieren nach Beispiel.5.2. LEMMA Es gilt N = N { }. Für jedes x RrNist das Intervall x + bxc 2 h i x+bxc, x++bxc eine Umgebung von x und 2 2, x ++bxc 2 N =. Das Intervall [, ] ist eine Umgebung von und [, ] N =. Dagegen für jedes r>0 gilt [r, ] N 3brc +. DEFINITION 3 Eine Folge a =(a k ) k N R heißt konvergent wenn lim k a k =lim k a (k) existiert und in R liegt, d.h. für jedes ε > 0 existiert ein N ε N mit a k lim k a k 6 ε für alle k N mit k > N ε. Falls lim k a k = ±, so sagt man, daß (a k ) k N bestimmt divergent ist, ansonsten daß sie divergent ist. Eine Folge (z k ) k N C heißt konvergent, wenn die Folgen (Re z k ) k N, (Im z k ) k N in R konvergent sind und man schreibt lim k z k := lim k Re z k + i lim k Im z k. KONVERGENZ 49

14 2.3 Folgen Gilt lim k z k =0,soheißt(z k ) k N eine Nullfolge. BEMERKUNG 3 d.h. wenn ( a k a ) k N eine Nullfolge ist. Ist (z k ) k N C konvergent, so gilt Genau dann konvergiert (a k ) k N R gegen a := lim k a k,wenn lim k a k a =0, Re (lim k z k ) = lim k Re z k und Im (lim k z k )=lim k Im z k. BEMERKUNG 4 Da eine Folge eine spezielle Funktion ist (sie ist auf N R deþniert), gelten die Rechenregeln aus Hauptsatz 2.. Zusätzlich gilt LEMMA Sei (z k ) k N eine Folge in K. (i) Ist (a k ) k N eine Nullfolge in R + und (b k ) k N eine Folge in R + mit b k 6 a k für alle k N, so ist (b k ) k N eine Nullfolge. (ii) Genau dann konvergiert (z k ) k N gegen z K,wenn( z k z ) k N eine Nullfolge ist. In diesem Fall gilt lim k z k = z = lim k z k. (iii) Ist (z k ) k N eine Nullfolge in K und (w k ) k N eine Folge in K,sodaß w k 6 z k für alle k N,soist(w k ) k N eine Nullfolge. Beweis von (i). Ist ε > 0 gegeben, so existiert N ε N mit a k 6 ε für alle k > N ε. Für alle diese n gilt nach Voraussetzung trivialerweise b k 6 ε ; damit ist bewiesen, daß lim k b k =0 gilt. Beweis von (ii). ( ) Nach DeÞnition gilt Re z = lim k Re z k und Im z = lim k Im z k, also lim k z k z 2 = lim k (Re [zk z ]) 2 +(Im[z k z ]) 2 = =(lim k Re z k Re z ) 2 + (lim k Im z k Im z ) 2 =0. Man betrachte jetzt die Variablenänderung y = z k z 2 oder präziser f : N D := z k z 2 k N ª : k 7 z k z 2. Wir haben eben bewiesen, daß lim k f (k) =0ist, also 0 D. Mit Hauptsatz 2.2.v folgt dann lim k z k z =lim k q z k z 2 = lim k p f (k) = y=f(k) lim D3y 0 y =0. ( ) Da für alle k N gilt Re z k Re z, Im z k Im z 6 z k z 50 KONVERGENZ

15 Folgen 2.3 folgt mit (i), daß ( Re z k Re z ) k N und ( Im z k Im z ) k N Nullfolgen sind. Mit der Bemerkung 3 folgt, daß Re z = lim k Re z k und Im z =lim k Im z k,d.h. z = lim k z k. Die Vierecksungleichung zeigt, daß z k z 6 z k z für alle k N. Konvergiert (z k ) k N gegen z zeigt die Implikation ( ),daß( z k z ) k N eine Nullfolge ist. Aus (i) folgt somit, daß ³ zk z auch eine ist. Mit Hilfe der Implikation ( ) ergibt sich die Behauptung. k N Beweis von (iii). Dies ergibt sich sofort aus (i) und (ii). BEISPIEL 5 Es gilt lim k k = und lim k =0,d.h. ist eine Nullfolge. k k k> Die erste Aussage folgt aus Beispiel Für die zweite wendet man Hauptsatz 2.2.iv an. BEISPIEL 6 Für z C wollen wir das Konvergenzverhalten von z k k N untersuchen. Fall z =0 Die Folge ist konstant 0, also konvergiert gegen 0. Fall 0 < z < Es gilt lim k z k =0. Es ist >,also =+x für ein x R z z +. Mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung.4 folgt und somit z k =(+x)k > +k x > k x z k 0 = z k 6 x k. Nach Beispiel 5, Hauptsatz 2..i und Lemma (i) ist z k 0 k N eine Nullfolge, d.h. lim k z k =0 nach dem Lemma (ii). Die Konvergenz dieser Folge gegen 0 ist sehr schnell. KONVERGENZ 5

16 2.3 Folgen Die Folge 2 k N k Fall z = Die Folge ist konstant, also konvergiert gegen. Fall z = Die Folge ³( ) k ist divergent. Da k N ± / kann 0 nicht Limes sein. Für x R ist 2, = U (0) 2 2 signum (x) / [x,x+]=u (x), also kann auch x nicht Limes sein. Fall z ], [ Die Folge ist bestimmt divergent (gegen ). sonst Die Folge ist divergent. DEFINITION 4 Eine Folge (a k ) k N R heißt monoton wachsend bzw. monoton fallend, wenn für alle k N a k 6 a k+ bzw. a k > a k+. Sie heißt beschränkt, wenn sie nach oben wie nach unten beschränkt ist, d.h. wenn es m, M R gibt mit m 6 a k 6 M für alle k N. Eine komplexe Folge (z k ) k N C heißt beschränkt, wenn ( z k ) k N beschränkt, d.h. nach oben beschränkt. SATZ (i) Ist (z k ) k N C konvergent, so ist sie beschränkt. 52 KONVERGENZ

17 Folgen 2.3 (ii) Ist (a k ) k N R konvergent und beschränkt nach unten durch m undnachobendurchm, so gilt m 6 lim k a k 6 M. Beweis von (i). Sei z := lim k z k. Nach dem Lemma (ii) ist z =lim k z k.esgibt N N mit z k U ( z )=[ z, z +] für alle k > N, d.h. 0 6 z k 6 z + für alle k > N. Die Menge { z k k N,k<N } { z +} ist endlich, also existiert M := max { z k k N,k<N } { z +} R. Dies beweist man sofort durch Induktion. Somit ist bewiesen : d.h. ( z k ) k N ist beschränkt. 0 6 z k 6 M für alle k > N, Beweis von (ii). Wäre a := lim k a k >M, so würde ein N 2 (a M) N existieren, so daß a N U 2 (a M) 2 (a M) (a )= a 2 (a M),a + 2 (a M), insbesondere hätte man M > a N 2 (a M) > a 2 (a M) = 2 a + 2 M>M, ein Widerspruch. Die andere Ungleichung beweist man analog. BEMERKUNG 5 Die Umkehrung ist falsch, wie das Beispiel 6 : Es gilt aber ³( ) k k N zeigt. HAUPTSATZ Jede monotone und beschränkte Folge (a k ) k N R ist konvergent. Ist (a k ) k N monoton wachsend, so gilt lim k a k =sup{a k k N}. Sei (a k ) k N monoton wachsend. Nach dem Satz von Dedekind.5.ii existiert a := sup {a k k N} R. Für jedes ε > 0 gibt es nach der Approximationseigenschaft.5.i ein k ε N,sodaßa kε > a ε.aber(a k ) k N ist monoton wachsend, also gilt und somit a + ε > a > a k > a kε > a ε a k U ε (x ) für alle k > k ε. für alle k > k ε KONVERGENZ 53

18 2.3 Folgen Dies zeigt, daß (a k ) k N gegen x konvergiert. BEISPIEL 7 Wir kehren zum Beispiel 4 zurück. Die Folge (a k ) k N R + ist für x, a R + rekursiv deþniert durch a 0 := a und a k+ := µa 2 k + xak. Für alle k N gilt also µ a 2 k+ = a 2 k a k+ = a k + x µ a2 k = a k + x a2 k, 2a k 2a 2 k + x a2 k 2a 2 k 2 = a 2 k à + x a2 k a 2 k µ! x a k > 2a 2 k und somit µ > a 2 k + x a2 k = x a 2 k a k+ a k = x a2 k 6 0, 2a k d.h. (a k ) k N ist monoton fallend und durch 0 nach unten beschränkt, also beschränkt. Damit ist (a k ) k N konvergent. Sei a := lim k a k =inf{a k k N} R +. Es gilt auch a := lim k a k+ und aus dem Hauptsatz 2.2 ergibt sich = 2 a = lim k a k+ =lim k 2 µ lim k a k + x = lim k a k 2 µa k + xak = µ a + x a Wäre a =0,sohätteman a = µ 2 a + x = a 2 (a + x) =, ein Widerspruch. Also ist a > 0 und es folgt oder a = x. 2 a 2 = a 2 + x,d.h. x = a 2,. BEMERKUNG 6 schnell. Die Konvergenz dieses Verfahrens um eine Wurzel zu berechnen ist sehr 54 KONVERGENZ

19 Folgen 2.3 BEMERKUNG 7 deþniert durch so konvergiert (a k ) k N gegen p x. Ähnlich folgt : Ist p N mit p > 2, x, a R + und (a k ) k N rekursiv a 0 := a und a k+ := p µ (p ) a k + x a p k, KONVERGENZ 55

20 2.4 Reihen 2.4 Reihen Aus Folgen durch Summation enstehen Reihen. DEFINITION Sei (z k ) k N eine Folge K. Für alle k N deþniert man die k-te Partialsumme s k := k z l = z l. l=0 Statt der Folge (s k ) k N schreibt man P z k und ist die Folge (s k ) k N konvergent, so heißt die Reihe P z k konvergent. Man schreibt dann z k := lim k s k =lim k und nennt diese Zahle die Summe der Reihe.Ist(s k ) k N divergent, so heißt die Reihe P z k divergent. Das Symbol P z k hat also bei Konvergenz zwei Bedeutungen : die Reihe selbst und die Summe dieser Reihe. z l BEISPIEL(DiegeometrischeReihe P zk ) Für z C mit z < ist die geometrische Reihe konvergent und ihre Summe ist z k = z. Für z >, z 6= ist diese Reihe divergent. Für z =ist sie bestimmt divergent. Für z Cr{} sind die Partialsumme dieser Reihe gegeben durch s k = z l = zk z (vgl. Beispiel.3.). Nach Beispiel gilt lim k z k =0 für z <, also folgt aus Hauptsatz 2.2, daß die Folge (s k ) k N konvergent ist, d.h. die Reihe P zk ist konvergent und ihre Summe ist z k = lim k s k =lim k z k z = lim k z k z = z. Für z >, z 6= ist (z k ) k N divergent, also auch (s k ) k N : würde diese letzte Folge konvergieren, dann aus z k =+( z) s k 56 KONVERGENZ

21 Reihen 2.4 würde man schließen, daß (z k ) k N konvergent ist. Für z =ist s k = k und (k) k N divergiert bestimmt gegen. BEMERKUNG Formales rechnen kann zu Fehlern führen : Man darf z.b. nicht schreiben ( ) k = = =( ) + ( ) +...= =0 =+( +)+( +)...= = Nur die Betrachtung der Partialsummen s k = 0 k gerade ( ) l = falls = ³ k k ungerade 2 ( ) macht Sinn. BEISPIEL 2 Es gilt l= k= k (k +) =. Die Berechnung der Partialsummen liefert eine Teleskopsumme k k µ s k = l (l +) = l = l + l= Daraus folgt k= = k l= k+ l l=2 k (k +) =lim k s k = lim k l = k +. µ = lim k k + k + =. BEISPIEL 3 (Die harmonische Reihe P k= ) k Für alle m N ist s 2 m = 2 m l= l =+ 2 + µ 3 + µ µ > m 2 = m Diese Reihe ist bestimmt divergent. 2 m m > KONVERGENZ 57

22 2.4 Reihen =+m 2. Daraus folgt die bestimmte Divergenz gegen von (s k ) k> :Zur R + existiert eine m N mit + 2 m > r.deþniert man N ε := 2 m, so gilt für alle k > N ε s k > s 2 m > +m 2 > r. BEMERKUNG 2 Ist (z k ) k N eine Nullfolge, so folgt i.a. nicht, daß P z k konvergiert, wie das Beispiel der harmonischen Reihe zeigt. SATZ (i) (ii) Die Umkehrung gilt aber : Seien P z k und P w k konvergente Reihen und α K.Danngilt (z k ) k N ist eine Nullfolge. P (α z k) und P (z k + w k ) sind konvergent und (α z k )=α z k, (z k + w k )= Beweis von (i). z k + w k. Ist z := P z k, so folgt mit der Dreiecksungleichung z k = s k+ s k = s k+ z + z s k 6 s k+ z + z s k und da lim k ( s k+ z + z s k )= lim k s k+ z + z lim k s k =0nach Lemma 2.3.ii, ist die rechte Seite eine Nullfolge, also auch (z k ) k N nach Lemma 2.3.iii. Beweis von (ii). (ii), folgt α Aus den Körper-Gesetze für die Partialsummen und Haupsatz 2.2, (i) und z k = α lim k z k = lim k (α z k )= (α z k ) z k + w k = lim k z l +lim k w l = Ã = lim k z l +! w l =lim k (z l + w l )= (z k + w k ). BEMERKUNG 3 FürProduktesiehe 2.5. DEFINITION 2 ist. Die Reihe P z k heißt absolut konvergent,wenn P z k konvergent 58 KONVERGENZ

23 Reihen 2.4 LEMMA Ist P z k absolut konvergent, so ist P z k auch konvergent. Durch Übergang zum Reell- und Imaginär-Teil der z k, kann man annehmen, daß (z k ) k N R.Ist(s k ) k N die Folge der Partialsummen, so gilt s k = z 6 z l l 6 z k =: R, d.h. (s k ) k N [ R, R]. Für alle m N existiert also I m := inf k>m s k nach dem Satz von Dedekind.5.ii und (I m ) m N [ R, R]. Wiederum existiert s := sup m N I m. Nach der Approximationseigenschaft Satz.5.i existiert zu jedem ε > 0 ein M ε N mit s > I Mε >s ε, d.h. s k > I Mε >s ε für alle k > M ε. Analog folgt durch Vertauchung von inf und sup die Existenz eines N ε N mit Für alle k > max (M ε,n ε ) gilt somit s k <s+ ε für alle k > N ε. s k [s ε,s+ ε], d.h. s =lim k s k = P z k. BEMERKUNG 4 Es gibt Reihen die konvergent sind, aber nicht absolut konvergent, wie z.b. die alternierende harmonische Reihe P Hilfe des sogennanten Konvergenzkriterium von Leibniz, das wir nicht betrachten werden. Man kann zeigen, daß P ( ) k k+ =ln2. ( ) k k+. Die Konvergenz dieser Reihe folgt mit BEMERKUNG 5 Aus dem Lemma erhalten wir zentrale Konvergenzkriterien, die unabhängig von der Berechnung des Grenzwertes sind! Dies sind also reine Existenzaussagen. HAUPTSATZ Die Reihe P z k ist absolut konvergent, also auch konvergent, wenn einen der folgenden Kriterien gilt : (i) Majoranten-Kriterium Es gibt eine konvergente Reihe P a k mit positiven Termen und k 0 N,sodaß z k 6 a k für alle k > k 0. In diesem Fall gilt k 0 z 6 z k l + a k. l=0 l=k 0 KONVERGENZ 59

24 2.4 Reihen (ii) Quotienten-Kriterium Es gibt q [0, [ und k 0 N, so daß z k+ z k 6 q für alle k > k 0. z (iii) Limes-Quotienten-Kriterium Die Folge ³ k+ z k ist konvergent und k N Beweis von (i). Für alle k > k 0 gilt z l = k 0 l=0 z l + k lim k l=k 0 z l 6 z k+ z k k 0 l=0 <. z l + k l=k 0 a l 6 k 0 und die Behauptung folgt aus dem Hauptsatz 2.3 und dem Satz 2.3.ii. Beweis von (ii). Für alle k > k 0 gilt l=0 z l + z k 6 q z k 6 q 2 z k q k k0 z k0 = z k 0 q k 0 l=k 0 a l Da nach Beispiel 2.4. die geometrische Reihe z k0 P q k 0 qk konvergent ist folgt die Behauptung mit (i). z Beweis von (iii). Sei ε > 0,sodaßq := lim k k+ z k + ε <.Esgibtalsok0 := N ε N mit d.h. z k+ z k lim k z k+ z k ε, lim k z k+ z k q k. ε + =[q 2ε,q] für alle k > k 0, zk+ z k 6 q für alle k > k0, und die Behauptung folgt aus (ii). BEISPIEL 4 Die Reihe P k= k 2 ist konvergent. Man kann zeigen, daß P k= k 2 = π2 6. Da für alle k > gilt k k (k +) (dies ist äquivalent zu k +6 2k!), schließt man mit Beispiel und Hauptsatz (i). BEMERKUNG 6 Das Quotienten-Kriterium liefert keine Entscheidung, da lim k (k+) 2 d.h. es gibt kein q [0, [ mit = lim k2 k k (k +) 2 =lim k 2 + k 2 =, (k+) 2 k 2 6 q für alle k > k 0 und dies unabhängig von k 0 N. 60 KONVERGENZ

25 Reihen 2.4 BEISPIEL 5 Für jedes z C ist P z k absolut konvergent. Im Kapitel 4 werden wir die k! Exponential- und die trigonometrischen Funktionen mit Hilfe dieser Reihe deþnieren. Wir können annehmen, daß z 6= 0.Soist z lim k k+ (k+!) = lim k z k k! µ k + z =0 und die Behauptung folgt aus dem Hauptsatz (iii). KONVERGENZ 6

26 2.5 Cauchy-Produkt von zwei Reihen 2.5 Cauchy-Produkt von zwei Reihen Sind P z k und P w k zwei konvergente Reihen, so kann man mit Hauptsatz 2.2.iii nur folgendes rechnen : Ã! Ã! Ã! Ã! z k w k = lim k z p lim k w q = p k Ã! Ã! = lim k z p w q = lim k p k q k (p,q) k k q k z p w q = k = lim k Man summiert nach dem folgenden Schemata : p,q=0 z p w q. z 0 w 0 z 0 w z 0 w 2 z 0 w 3... z w 0 z w z w 2 z w 3... z 2 w 0 z 2 w z 2 w 2 z 2 w 3... z 3 w 0 z 3 w z 3 w 2 z 3 w Diese Resultat ist aber nicht hilfreich. Man zieht vor diagonalweise zu summieren : z 0. w 0 z 0. w z 0. w 2 z 0. w 3... z. w 0 z. w z. w 2 z. w 3... z 2. w 0 z 2. w z 2. w 2 z 2. w 3... z.b. um bei Potenzreihen die Termen gleicher Potenz zusammenfassen zu können. 62 KONVERGENZ

27 Cauchy-Produkt von zwei Reihen 2.5 Es gilt folgender HAUPTSATZ Reihe P Es gilt Seien P z k und P ³ Pk j=0 z k j w j w k zwei absolut konvergente Reihen. Dann ist die absolut konvergent und es gilt Ã! Ã! à k! z k w k = z k j w j. p k l z l j w 6 l z j l j w j 6 z p w q = j=0 j=0 (p,q) k k Ã! Ã! Ã! Ã! = z p w q 6 z p w q. DieabsoluteKonvergenzvon P j=0 z k j w j folgt somit aus Hauptsatz 2.3. Trivialer- auch (absolut) konvergent. weise ist die Reihe P Weiter gilt q k ³ Pk ³ Pk j=0 z k j w j p=0 j=0 Ã! Ã! z l w l à l z l j w j 6! j=0 6 2k 2 l=k à l! z l j w j 6 j=0 q=0 (p,q) k k p+q>k à l! z l j w j = l=k j=0 z p w q 6 à k! = z k j w j à l! z l j w j j=0 j=0 ³ Pl und da lim k P j=0 z l j w j = P ³ Pk j=0 z k j w j ist die rechte Seite eine Nullfolge, also auch die linke nach Lemma 2.3.iii. Schließlich folgt à l! lim k z l j w j = j=0 "Ã! Ã!# "Ã! Ã! = lim k z l w l lim k z l w l à l!# z l j w j = j=0 Ã! Ã! Ã! Ã! = lim k z l lim k w l = z k w k und somit die Behauptung. KONVERGENZ 63

28 2.5 Cauchy-Produkt von zwei Reihen BEMERKUNG Dieser Satz ist Konsequenz des Umordnungssatzes : Ist P z k eine absolut konvergente Reihe, so kann man diese in beliebiger Odnung summieren, d.h. ist σ : N N eine Bijektion, so gilt z k = z σ(j). Er ist z.b. auf der alternierende harmonische Reihe nicht anwendbar. zeigen, daß für jedes x R eine Bijektion σ : N N mit ( ) σ(j) x = σ (j) existiert. j=0 j=0 Man kann sogar 64 KONVERGENZ

29 Potenzreihen Potenzreihen DEFINITION Ist (c k ) k N eine Folge in C,soheißt P c k id k eine Potenzreihe und ( ) R := sup w w C und c k w k ist konvergent R + der Konvergenzradius dieser Potenzreihe. SATZ Sei P c k id k c eine Potenzreihe. Existiert lim k k+ c k R+, so ist der Konvergenzradius R durch R = c lim k k+ c k gegeben (hier mit 0 = ). Die Voraussetzung beinhalte, daß für alle k groß genug gilt c k 6=0. Sei z C. Falls 0 < z <,sofolgt lim k c k+ c k lim k c k+ z k+ c k z k = lim k c k+ c k z < und das Limes-Quotienten-Kriterium Hauptsatz 2.4.iii zeigt, daß P c k z k konvergent ist. Damit ist Falls z > lim k c k+ c k, so folgt lim k R > c k+ z k+ c k z k lim k c k+ c k = lim k. c k+ c k und es existiert ein N N mit c k+ z k+ c k z k > für alle k > N. z > Für alle k > N gilt also c k+ z k+ > c k z k und durch Induktion c k z k > c N z N. Damit ist c k z k kein Nullfolge, also konvergiert P k N c k z k nicht nach Satz 2.4. Damit ist R 6. c lim k k+ c k KONVERGENZ 65

30 2.6 Potenzreihen Wir haben schon folgende Beispiele untersucht. BEISPIEL Reihe P DiegeometrischeReihe P idk (vgl. Beispiel 2.4.) und die Exponential- id k k! (vgl. Beispiel 2.4.5) haben Konvergenzradien bzw.. Dies folgt aus der DeÞnition, da die erste für z < konvergiert und für z > divergiert, die zweite für alle z C konvergiert. Den Satz kann man auch anwenden : es ist c k+ lim k c k = lim k = bzw. lim k c k+ c k =lim k (k+)! k! =lim k k + =0. BEISPIEL 2 Es gilt Sei n Z. Die Reihe P k= kn id k hat Konvergenzradius. c k+ lim k c k = lim (k +) n µ n k + k = lim k n k = k µ = lim k + n =. k LEMMA Für jedes n Z und ρ [0, [ ist k n ρ k k N eine Nullfolge. Die Aussage folgt für n<0 aus Beispiel 2.3.6, da k n ρ k 6 ρ k.esist >,alsox ρ R + mit =+x. Mit Hilfe der binomischen Formel (Beispiel.3.3) folgt für k > n + ρ k µ µ k k ρ k =(+x)k = x j > x n+, j n + also k n ρ k 6 k n k n+ j=0 x n+ = k n k! x n+ (n+)! (k n )! = k n (n +)! = (k n)...(k ) k x n+ (n +)! = x n+ n k... k. k Da die rechte Seite eine Nullfolge ist, ergibt sich die Behauptung aus Lemma 2.3.iii. HAUPTSATZ n Z.Danngilt (i) Seien P c k id k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R R + und Für alle z C mit z <Rist die Reihe P k= c k k n z k absolut konvergent. 66 KONVERGENZ

31 Potenzreihen 2.6 (ii) Für alle z C mit z >Rist die Reihe P k= c k k n z k divergent. Insbesondere hat die Reihe P k= c k k n id k auch den Konvergenzradius R. Beweis von (i). Da z <Rexistiert nach der DeÞnition des Konvergenzradius und die Approximationseigenschaft Hauptsatz.5.i ein w C,sodaß z < w <Rund P c k w k konvergent ist. Nach Satz 2.4.i ist c k w k eine Nullfolge. Wir wählen noch ein ρ R k N µ + mit z < ρ < w und nach dem Lemma ist k n auch eine Nullfolge. Diese Folgen k z ρ k N sind also nach Satz 2.3.i durch ein M R + beschränkt. Es folgt c k k n z k = c k w k k n z k ρ ρ k 6 M 2 ρ w w k mit ρ < w und die Behauptung ergibt sich aus dem Majoranten-Kriterium Hauptsatz 2.4.i, da die geometrische Reihe konvergent ist (Beispiel 2.4.). Beweis von (ii). Wäre P k= c k k n z k konvergent, so hätte P k= c k k n id k einen Kovergenzradius > z, also würde für ρ R + mit R<ρ < z die Reihe P k= c k k n ρ k nach (i) auch konvergent sein. Durch das Majoranten-Kriterium wäre dann auch P k= c k ρ k konvergent. Dies ist ein Widerspruch zur DeÞnition des Konvergenzradius R von P k= c k id k. BEMERKUNG Für z = R sind keine allgemeine Aussagen möglich : Die Reihen P idk, P id k und P id k k haben alle den Konvergenzradius nach obigem Beispiel k 2 2. Aber z k divergiert für z = ± (vgl. Beispiel 2.4.), z k k divergiert für z =und konvergiert für z = (vgl. Beispiel und Bemerkung 2.4.4), z k konvergiert für z = ± k 2 (vgl. Beispiel 2.4.4). KONVERGENZ 67