10.1 Zinsperioden und effektive Raten

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1 Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik: Zinsraten und Barwerte Dann hättest du mein Geld zu den Wechslern bringen sollen, und wenn ich gekommen wäre, hätte ich das Meine wiederbekommen mit Zinsen. Das Evangelium nach Matthäus, Kapitel 25, Vers 27 Dieses Kapitel behandelt einige grundlegende Themen aus der Finanzmathematik. Das Hauptinteresse ist, wie die Werte von Kapitalanlagen und Krediten zu verschiedenen Zeiten durch Zinsraten beeinflusst werden. Kap. 1.2 und 4.9 haben bereits einige elementare Berechnungen mit Zinsraten erörtert. Dieses Kapitel geht einen Schritt weiter und betrachtet verschiedene Zinsperioden. Es wird auch das Konzept des effektiven Zinssatzes, des stetig angehäuften Zinses, des gegenwärtigen Wertes zukünftiger Ansprüche, Annuitäten, Hypothekenzahlungen und der internen Ertragsrate bei Investitionsprojekten betrachtet. Die notwendigen Berechnungen benötigen die Summenformel für geometrische Reihen, die wir deshalb herleiten Zinsperioden und effektive Raten In einer Werbung, die Sparkonten oder Kredite anbietet, wird der Zins gewöhnlich als jährliche Rate, auch nominale Rate genannt, angegeben, auch dann, wenn die aktuelle Zinsperiode verschieden davon ist. Diese Zinsperiode ist die Zeit, die zwischen zwei aufeinander folgenden Zeitpunkten liegt, zu denen die Zinszahlungen fällig sind. Für einige Sparkonten ist die Zinsperiode ein Jahr, aber es wird neuerdings mehr und mehr üblich für Finanzinstitute, andere Zinsperioden anzubieten. So werden z. B. bei vielen U. S.-Sparkonten, die Zinsen täglich gutgeschrieben, bei anderen wenigstens monatlich. Falls eine Bank eine jährliche Zinsrate von 9 % mit monatlicher Zinsgutschrift anbietet, so werden (1/12)9% = 0.75% des Kapitals am Ende jeden Monats dem Konto hinzugefügt. Die jährliche Rate muss dividiert werden durch die Anzahl der Zinsperioden, um die periodische Rate, das ist der Zinssatz pro Periode, zu erhalten. Nehmen Sie an, dass eine Kapitalanlage von S 0 Euro p % Zinsen pro Periode (z. B. ein Jahr) einbringt. Wie in Kap. 1.2 erklärt, wird es nach t Perioden angewachsen sein auf den Betrag S t = S 0 (1 + r) t wobei r = p/100 In jeder Periode wächst das Kapital um den Faktor 1 + r. Beachten Sie: p % bedeutet p/100 und wir sagen, dass der Zins(satz) p % ist oder dass die Zinsrate r ist.

2 432 Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik: Zinsraten und Barwerte Die Formel verlangt, dass der Zins dem Kapital am Ende jeder Periode gutgeschrieben wird. Nehmen Sie an, dass der jährliche Zinssatz p % ist, dass uns aber halbjährliche Zinszahlungen angeboten wurden zur Rate p/2 %. Dann ist das Kapital nach einem halben Jahr angewachsen auf ( p/2 S 0 + S = S r ) 2 In jedem Halbjahr wächst das Kapital um den Faktor 1 + r/2. Nach 2 Perioden (d. h. nach einem Jahr) wird es angewachsen sein auf S 0 (1 + r/2) 2 und nach t Jahren auf ( S r ) 2t 2 Es ist offensichtlich, dass eine halbjährliche Zinszahlung zur Rate 1 2r für einen Geldanleger besser ist als eine jährliche Zinszahlung zur Rate r. Dies folgt aus der Tatsache, dass (1 + r/2) 2 = 1 + r + r 2 /4 > 1 + r. Nehmen Sie noch allgemeiner an, dass Zinsen zur Rate p/n % dem Kapital zu n verschiedenen Zeitpunkten, die mehr oder weniger gleichmäßig über das Jahr verteilt sind, gutgeschrieben werden. So ist z. B. n = 4, falls die Zinsen vierteljährlich gutgeschrieben werden; es ist n = 12, falls sie monatlich gutgeschrieben werden, usw. Dann wird das Kapital jedes Jahr mit einem Faktor (1 + r/n) n multipliziert. Nach t Jahren ist das Kapital angewachsen auf S 0 ( 1 + r n ) nt (1) Je größer n ist, desto schneller häufen sich die Zinsen beim Anleger an. (Siehe Aufgabe ) Beispiel 1 Ein Guthaben von 5000 Euro wird auf einem Konto angelegt zu einem jährlichen Zinssatz von 9 %, wobei die Zinsen vierteljährlich gutgeschrieben werden. Wie viel wird nach 8 Jahren auf dem Konto sein? Lösung: Die periodische Rate r/n ist 0.09/4 = und die Anzahl der Perioden nt ist 4 8 = 32, so dass nach Formel (1): 5000( ) Beispiel 2 Wie lange wird es dauern, bis die 5000 Euro in Beispiel 1 (mit jährlicher Zinsrate 9 % und vierteljährlicher Zinsgutschrift) auf Euro angewachsen sind?

3 10.1 Zinsperioden und effektive Raten 433 Lösung: Nach n (vierteljährlichen) Perioden wird das Guthaben anwachsen auf 5000( ) n. Somit muss gelten 5000( ) n = oder n = 3 Um n zu finden, bilden wir auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus: n ln = ln 3 (weil ln a p = p ln a) n = ln 3 ln Somit dauert es ungefähr (vierteljährliche) Perioden, d. h. ungefähr 12 Jahre und vier Monate, bis das Guthaben auf Euro angewachsen ist. Effektiver Zinssatz Ein Verbraucher, der einen Kredit aufnehmen möchte, steht möglicherweise vor mehreren Angeboten konkurrierender Geldinstitute. Es ist daher von großer Bedeutung, die verschiedenen Angebote zu vergleichen. Das Konzept des effektiven Zinssatzes wird häufig bei solchen Vergleichen verwendet. Betrachten Sie ein Angebot mit einem jährlichen Zinssatz von 9 %, wobei Zinsen zur Rate 0.75 % monatlich, also 12-mal im Jahr gutgeschrieben werden. Nach 1 Jahr wird dann ein Kapitalbetrag S 0 anwachsen auf S 0 ( /12) 12 S , und die gezahlten Zinsen sind ungefähr 1.094S 0 S 0 = 0.094S 0. Dies bedeutet, dass die entsprechenden jährlichen Zinsen ungefähr 9.4 % betragen. Wir nennen 9.4 den effektiven jährlichen Zinssatz. Allgemeiner definieren wir: Effektiver jährlicher Zinssatz Wenn die Zinsen n-mal im Jahr zum Zinssatz r/n pro Periode gutgeschrieben werden, dann ist der effektive jährliche Zinssatz R definiert durch ( R = 1 + r ) n 1 n (2) Der effektive jährliche Zinssatz ist unabhängig vom Betrag S 0. Für einen gegebenen Wert von r > 0 ist er wachsend in n. (Siehe Aufgabe ) Beispiel 3 Welches ist der effektive jährliche Zinssatz R, der zu einem jährlichen Zinsatz von 9 % gehört, wenn die Zinsen (i) vierteljährlich oder (ii) monatlich gutgeschrieben werden?

4 434 Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik: Zinsraten und Barwerte Lösung: (i) Nach Formel (2) ist mit r = 0.09 und n = 4 der effektive Zinssatz gleich R = ( /4 ) 4 1 = ( ) oder 9.31% (ii) In diesem Fall ist r = 0.09 und n = 12, so dass der effektive Zinssatz gegeben ist durch: R = ( /12 ) 12 1 = ( ) oder 9.38% Ein typischer Fall, in dem wir den effektiven Zinssatz verwenden können, um verschiedene finanzielle Angebote zu vergleichen, ist der folgende. Beispiel 4 Welches Angebot ist besser, wenn Geld auf einem Sparkonto angelegt werden soll: 5.9 % mit vierteljährlicher Zinsgutschrift oder 6 % mit halbjährlicher Zinsgutschrift? Lösung: Nach (2) sind die effektiven Zinssätze für die zwei Angebote R = ( /4 ) , R = ( /2 ) 2 1 = Das zweite Angebot ist deshalb besser für den Sparer. Anmerkung In vielen Ländern gibt es eine offizielle gesetzliche Definition eines effektiven Zinssatzes, die verschiedene Formen fixer Kosten, die bei Aufnahme eines Kredits entstehen, in Betracht ziehen. Der effektive Zinssatz ist dann definiert als derjenige Zinssatz, bei dem der gesamte gegenwärtige Wert aller Kosten gleich der Höhe des Kredits ist. (Gegenwärtige Werte werden in Kap erörtert.) Aufgaben für Kapitel (a) Wie hoch ist das Guthaben nach 5 Jahren, wenn 8000 Euro zu einem jährlichen Zinssatz von 5 % angelegt werden, die (i) monatlich; (ii) täglich (mit 365 Tagen in einem Jahr) gutgeschrieben werden? (b) Wie lange dauert es, bis sich die 8000 Euro bei monatlicher Zinsgutschrift verdoppelt haben? 2. (a) Ein Betrag von 5000 Euro wird mit 3 % pro Jahr verzinst. Auf welche Höhe ist dieser Betrag nach 10 Jahren angewachsen? (b) Wie lange dauert es, bis die 5000 Euro sich verdreifacht haben?

5 10.2 Stetige Verzinsung Welche jährliche prozentuale Wachstumsrate ist nötig, damit das BSP eines Landes nach 100 Jahren 100-mal so groß ist? ( ) 4. (a) Ein Betrag von 2000 Euro wird zu 7 % pro Jahr angelegt. Wie hoch ist das Guthaben auf dem Konto nach (i) 2 Jahren; (ii) 10 Jahren? (b) Wie lange dauert es ungefähr, bis das Guthaben 6000 Euro erreicht? 5. Berechnen Sie den effektiven jährlichen Zinsatz, wenn der nominale Zinssatz 17 % ist und die Zinsen (i) halbjährlich; (ii) vierteljährlich; (iii) monatlich gutgeschrieben werden. 6. Was ist vorteilhafter für den Kreditnehmer: (i) einen Kredit mit einer jährlichen Zinsrate von 21.5 % mit jährlicher Zinszahlung aufzunehmen; oder (ii) einen Kredit mit einer jährlichen Zinsrate von 20 % mit vierteljährlicher Zinszahlung aufzunehmen? 7. (a) Die Summe von Euro wird zu 12 % jährlichem Zins angelegt. Auf welche Höhe ist dieser Betrag nach 15 Jahren angewachsen? (b) Wie viel hätten Sie vor 5 Jahren auf einem Sparkonto anlegen müssen, um heute Euro zu haben, wenn der Zinssatz über den ganzen Zeitraum 5 % gewesen wäre? (c) Eine Kreditkarte wird angeboten, wobei die Zinsen auf die Außenstände mit 2 % pro Monat berechnet werden. Wie hoch ist der effektive jährliche Zinssatz? 8. Wie hoch ist der nominale jährliche Zinssatz, wenn der effektive jährliche Zinssatz 28 % bei vierteljährlicher Zinsberechnung ist? 10.2 Stetige Verzinsung Wir haben im vorhergehenden Unterkapitel gesehen, dass das Kapital jedes Jahr mit einem Faktor (1 + r/n) n multipliziert wird, wenn die Zinsen mit der Rate r/n dem Anfangskapital S 0 an n verschiedenen Zeitpunkten des Jahres gutgeschrieben werden. Nach t Jahren ist das Kapital angewachsen auf S 0 (1 + r/n) nt. In der Realität gibt es eine Grenze, wie oft die Zinsen dem Konto gutgeschrieben werden können. Wir wollen

6 436 Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik: Zinsraten und Barwerte jedoch untersuchen, was mit dem Ausdruck geschieht, wenn n gegen Unendlich strebt. Wir setzen r/n = 1/m. Dann ist n = mr und somit ( S r ) nt ( = S ) mrt [( = S ) m ] rt (1) n m m Wenn n (bei festem r) folgt m = n/r und nach Beispiel haben wir (1+1/m) m e. Daher strebt der Ausdruck in (1) gegen S 0 e rt, wenn n gegen Unendlich strebt, wobei impliziert wird, dass die Zinsen immer häufiger gutgeschrieben werden. Im Grenzfall sprechen wir von stetiger Verzinsung: Stetige Verzinsung Die Formel S(t) = S 0 e rt gibt an, auf welchen Betrag ein Kapital S 0 nach t Jahren bei stetiger Verzinsung angewachsen ist, wenn der jährliche Zinssatz r ist. (2) Beispiel 1 Nehmen Sie an, dass eine Summe von 5000 Euro auf einem Sparkonto angelegt wird bei einem jährlichem Zinssatz von 9 %. Wie hoch ist das Guthaben nach 8 Jahren bei stetiger Verzinsung? Lösung: Mit Hilfe von Formel (2) mit r = 9/100 = 0.09 sehen wir, dass das Guthaben 5000e = 5000e ist. (Vergleichen Sie dies mit dem Resultat in Beispiel 1 des vorangehenden Unterkapitels.) Wenn S(t) = S 0 e rt, dann ist S (t) = S 0 re rt = rs(t) (nach Formel (2) in Kap. 6.10) und somit S (t)/s(t) = r. Mit der in Kap. 6.4 eingeführten Terminologie gilt also: Bei stetiger Verzinsung zur Rate r wächst das Kapital mit der konstanten relativen Rate r, so dass S (t)/s(t) = r. Aus (2) folgern wir, dass S(1) = S 0 e r, so dass das Kapital im ersten Jahr um den Faktor e r wächst. Allgemein ist S(t + 1) = S 0 e r(t+1) = S 0 e rt e r = S(t)e r. Daher gilt: Bei stetiger Verzinsung wächst das Kapital jedes Jahr um einen festen Faktor e r.

7 10.2 Stetige Verzinsung 437 Vergleich verschiedener Zinsperioden Bei einem Zinssatz von p % (= 100r) pro Jahr ist stetige Verzinsung am besten für den Geldgeber. (Siehe Aufgabe 5.) Jedoch ist für vergleichsweise niedrige Zinssätze der Unterschied zwischen jährlicher und stetiger Verzinsung ziemlich gering. Beispiel 2 Finden Sie den Betrag K, um den 1 Euro im Laufe eines Jahres wächst, wenn der Zinssatz 8 % pro Jahr ist und die Zinsen (a) jährlich; (b) halbjährlich; (c) stetig gutgeschrieben werden. Lösung: In diesem Fall ist r = 8/100 = 0.08 und wir erhalten (a) K = ( ) = 1.08 (b) K = ( /2) 2 = (c) K = e Wenn wir entweder den Zinssatz oder die Anzahl der Jahre erhöhen, über die die Zinsen angesammelt werden, dann wächst die Differenz zwischen jährlicher und stetiger Verzinsung. In Kap wurde der effektive jährliche Zinssatz definiert durch die Formel (1 + r/n) n 1, wenn der Zins n-mal im Jahr mit der Rate r/n pro Periode gutgeschrieben wird. Wenn wir in dieser Formel n gegen Unendlich gehen lassen, sehen wir, dass der Ausdruck gegen e r 1 (3) konvergiert. Dies wird der effektive Zinssatz bei stetiger Verzinsung zur jährlichen Rate r genannt. Aufgaben für Kapitel (a) Auf welchen Betrag wachsen 8000 Euro nach 5 Jahren bei stetiger Verzinsung, falls die jährliche Zinsrate 5 % ist? (b) Wie lange dauert es, bis die 8000 Euro sich verdoppelt haben? 2. Ein Betrag von 1000 Euro wird mit 5 % pro Jahr verzinst. Auf welche Summe ist dieser Betrag nach (a) 10 Jahren und (b) nach 50 Jahren angewachsen, wenn die Zinsen (i) jährlich; (ii) monatlich; (iii) stetig gutgeschrieben werden?

8 438 Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik: Zinsraten und Barwerte 3. (a) Bestimmen Sie den effektiven Zinsatz, der zu einem jährlichen Zinssatz von 10 % bei stetiger Verzinsung gehört. (b) Welches ist der maximale Zinssatz, der bei einem jährlichen Zinssatz von 10 % erzielt werden kann? 4. Der Wert einer Maschine nimmt stetig ab mit einer jährlichen Rate von 6 %. Wie viele Jahre dauert es, bis sich der Wert der Maschine halbiert hat? Anspruchsvollere Aufgabe 5. Wir haben gezeigt, dass (1+r/n) n e r für n. Wir behaupten, dass (1+r/n) n für jedes feste r > 0 strikt monoton wachsend in n ist. (1 + r/n) n < e r für n = 1, 2,... ( ) Dies zeigt, dass stetige Verzinsung zur Zinsrate r für den Geldgeber profitabler ist als n Zinszahlungen im Jahr zur Rate r/n. Um dieses Resultat zu bestätigen, definieren Sie für ein gegebenes r > 0 die Funktion g(x) = (1 + r/x) x für alle x > 0. Verwenden Sie logarithmisches Differenzieren, um zu zeigen, dass [ ( g (x) = g(x) ln 1 + r ) r/x ] x 1 + r/x Setzen Sie dann h(u) = ln(1 + u) u/(1 + u). Dann ist h(0) = 0. Zeigen Sie, dass h (u) >0 für u > 0 und damit g (x) >0 für alle x > 0. Welche Schlussfolgerungen können Sie ziehen? 10.3 Barwert Die Summe von 1000 Euro heute bar in Ihrer Hand ist mehr wert als 1000 Euro, die Sie zu einem zukünftigen Zeitpunkt erhalten sollen. Ein wichtiger Grund ist, dass Sie die 1000 Euro investieren könnten und hoffen, damit Zinsen oder andere positive Erträge zu erzielen. 1 Wenn der Zinssatz 11 % pro Jahr ist, werden die ursprünglichen 1000 Euro nach 1 Jahr angewachsen sein auf den Betrag 1000(1 + 11/100) = 1110, und nach 6 Jahren werden sie auf 1000(1 + 11/100) 6 = 1000 (1.11) angewachsen sein. Dies zeigt, dass bei einem Zinssatz von 11 % pro Jahr 1000 Euro heute denselben 1 Falls es zu erwarten ist, dass die Preise steigen, ist Inflation ein anderer Grund, um 1000 Euro heute zu bevorzugen, da 1000 Euro zu einem zukünftigen Zeitpunkt weniger Kaufkraft haben als 1000 Euro heute.

9 10.3 Barwert 439 Wert haben wie 1110 nächstes Jahr oder 1870 Euro in 6 Jahren. Dementsprechend gilt: Wenn der Betrag von 1110 Euro in 1 Jahr zur Zahlung fällig ist und der Zinssatz 11 % pro Jahr ist, dann ist der Barwert (oder der gegenwärtige Wert) dieses Betrages 1000 Euro. Da 1000 Euro weniger sind als 1110 Euro, sprechen wir oft von 1000 Euro als dem gegenwärtigen diskontierten Wert (oder PDV von present discounted value ) von 1110 Euro im nächsten Jahr. Der Quotient 1000/1110 = 1/(1 + 11/100) wird der jährliche Diskontierungsfaktor genannt. Dessen Reziprokes 1.11 ist eins plus die Diskontierungsrate, so dass die Diskontierungsrate gleich dem Zinssatz von 11 % wird. Ähnlich: Wenn der Zinssatz 11 % pro Jahr ist, dann ist der PDV von 1870 Euro, die von heute an in 6 Jahren fällig sind, gleich 1000 Euro. Wieder wird der Quotient 1000/ Diskontierungsfaktor genannt. Nehmen Sie an, dass ein Betrag K nach t Jahren, vom gegenwärtigen Datum aus gerechnet, zur Zahlung fällig ist. Welches ist der Barwert, wenn der Zinssatz p % pro Jahr ist? Äquivalent: Wie viel müsste heute bei einem jährlichen Zinssatz von p % angelegt werden, um nach t Jahren den Betrag K zur Verfügung zu haben? Wenn die Zinsen jährlich gezahlt werden, wird ein Betrag A nach t Jahren auf A(1 + p/100) t angewachsen sein, so dass gelten muss A(1 + p/100) t = K. Damit ist A = K (1 + p/100) t = K (1 + r) t, wobei r = p/100. Hier ist der jährliche Diskontierungsfaktor gleich (1 + r) 1 und (1 + r) t ist der Diskontierungsfaktor für t Jahre. Wenn die Zinsen stetig berechnet werden, dann wird der Betrag A nach t Jahren angewachsen sein auf Ae rt. Daher muss gelten Ae rt = K oder A = Ke rt. Hier ist e rt der Diskontierungsfaktor. Zusammengefasst gilt: Gegenwärtiger diskontierter Wert Falls der Zinssatz oder die Diskontierungsrate p % pro Jahr ist und r = p/100 ist, so hat ein Betrag K, der in t Jahren zur Zahlung fällig ist, den Barwert (oder gegenwärtigen diskontierten Wert oder PDV): K (1 + r) t Ke rt bei jährlicher Verzinsung bei stetiger Verzinsung (1) Beispiel 1 Bestimmen Sie den Barwert von Euro, die nach 15 Jahren zur Zahlung fällig sind, falls der Zinssatz 6 % pro Jahr ist bei (i) jährlicher oder (ii) stetiger Verzinsung.

10 440 Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik: Zinsraten und Barwerte Lösung: (i) Nach (1) ist der Barwert ( ) (ii) Nach (1) ist der Barwert e = e Wie erwartet ist der Barwert bei stetiger Verzinsung der kleinere, weil das Kapital bei stetiger Verzinsung am schnellsten wächst. Beispiel 2 (Wann sollte man einen Baum fällen?) Betrachten Sie einen Baum, der zur Zeit t = 0 gepflanzt wurde und P(t) sei sein gegenwärtiger Marktwert zur Zeit t, wobei P(t) differenzierbar sei. Wann sollte dieser Baum gefällt werden, wenn man seinen gegenwärtigen diskontierten Wert maximieren möchte. Nehmen Sie an, dass der Zinssatz 100r % pro Jahr ist und nehmen Sie stetige Verzinsung an. Lösung: Der Barwert ist f (t) = P(t)e rt und die Ableitung ist f (t) = P (t)e rt + P(t)( r)e rt = e rt[ P (t) rp(t) ] Eine notwendige Bedingung, damit t > 0 den Barwert f (t) maximiert, ist f (t ) = 0. Wir sehen, dass dies eintritt, wenn P (t ) = rp(t ) Der Baum sollte deshalb genau zu der Zeit t gefällt werden, zu der die relative Wachstumsrate des Wertes des Baumes gleich der Zinsrate ist. Natürlich müssen einige Bedingungen an f gestellt werden, damit t ein Maximumpunkt ist. Es genügt, wenn P (t)/p(t) r für t < t und P (t)/p(t) r für t > t. Indem man die Maximierung des gegenwärtigen diskontierten Wertes als ein vernünftiges Kriterium dafür akzeptiert, wann ein Baum gefällt werden sollte, gibt man automatisch die naive Lösung des Problems auf: Fälle den Baum zu der Zeit, zu der der aktuelle Marktwert am größten ist. Stattdessen wird der Baum typischerweise ein wenig früher gefällt wegen der mit der Diskontierung verbundenen Ungeduld. In dem Beispiel haben wir nicht berücksichtigt, wie der Grund, auf dem der Baum gewachsen ist, nach dem Fällen genutzt werden kann z. B. durch Pflanzung eines neuen Baumes. (Siehe Aufgabe ) Aufgaben für Kapitel Bestimmen Sie den gegenwärtigen Wert von Euro, die nach 10 Jahren fällig sind, wenn der Zinssatz 8 % pro Jahr ist bei (i) jährlicher oder (ii) stetiger Verzinsung. 2. Bestimmen Sie den Barwert von Euro, die nach 5 Jahren fällig sind, wenn der jährliche Zinssatz 5.75 % ist, bei (i) jährlicher oder (ii) stetiger Verzinsung.

11 10.4 Geometrische Reihen Betrachten Sie mit Bezug auf das Baumfäll-Problem in Beispiel den Fall, in dem f (t) = (t + 5) 2 e 0.05t t 0 (a) Bestimmen Sie den Wert von t, der f (t) maximiert. (Untersuchen Sie die Variation des Vorzeichens von f (t).) (b) Bestimmen Sie lim t f (t) und zeichnen Sie den Graphen von f Geometrische Reihen Dieses Unterkapitel untersucht endliche und unendliche geometrische Reihen. Diese haben viele Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften und der Finanzmathemathematik, wie z. B. in der Berechnung von Annuitäten oder Hypothekenzahlungen. Endliche geometrische Reihen Beispiel 1 In diesem Jahr hat ein Unternehmen Jahreseinnahmen von 100 Millionen Euro. Es wird erwartet, dass diese Einnahmen pro Jahr um 16 % während der nächsten Dekade gesteigert werden können. Wie hoch sind die erwarteten Einnahmen im zehnten Jahr und wie groß sind die Gesamteinnahmen, die über die gesamte Periode erwartet werden? Lösung: Die erwarteten Einnahmen im zweiten Jahr sind (in Millionen Euro) 100 (1 + 16/100) = und im dritten Jahr 100 (1.16) 2. Im zehnten Jahr sind die erwarteten Einnahmen 100 (1.16) 9. Die erwarteten Gesamteinnahmen in der Dekade sind daher (1.16) (1.16) 9 Mit einem Rechner finden wir heraus, dass diese Summe ungefähr 2132 Millionen Euro ist. Wir haben die Summe in Beispiel 1 gefunden, indem wir 10 verschiedene Zahlen mit einem Rechner addiert haben. Diese Methode ist mühsam. Wenn es unendlich viele Terme gibt, ist diese Methode offensichtlich unmöglich. Es gibt eine einfachere Methode, solche Summen zu bestimmen, wie jetzt erklärt werden soll. Betrachten Sie n Zahlen a, ak, ak 2,...,ak n 1. Jeder Term entsteht, indem der vorausgehende mit einer Konstanten k multipliziert wird. Wir wollen die Summe s n = a + ak + ak 2 + +ak n 2 + ak n 1 (1)

12 442 Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik: Zinsraten und Barwerte dieser Zahlen bestimmen. Wir nennen diese Summe eine (endliche) geometrische Reihe mit dem Quotienten k. Die Summe in Beispiel 1 tritt in dem Fall auf, in dem a = 100, k = 1.16 und n = 10. Um die Summe s n der Reihe zu bestimmen, verwenden wir einen Trick. Multiplizieren Sie zunächst beide Seiten von (1) mit k. Sie erhalten dann ks n = ak + ak 2 + ak 3 + +ak n 1 + ak n Subtraktion dieser Gleichung von (1) ergibt s n ks n = a ak n (2) weil alle anderen Terme herausfallen. Dies ist der entscheidende Punkt des Tricks. (Falls k = 1, dann sind alle Terme in (1) gleich a, und die Summe ist gleich s n = an.) Für k 1 folgt wegen s n ks n = (1 k)s n aus (2), dass s n = a akn 1 k = a kn 1 k 1 Schließlich gilt: Summenformel für eine endliche geometrische Reihe a + ak + ak 2 + +ak n 1 = a kn 1 k 1 (k 1) (3) Beispiel 2 Für die Summe in Beispiel 1 haben wir a = 100, k = 1.16 und n = 10. Daher ergibt (3) (1.16) 9 = 100 (1.16) Es sind weniger Operationen auf dem Rechner nötig als in Beispiel 1, um zu zeigen, dass die Summe ungefähr 2132 ist. Unendliche geometrische Reihen Betrachten Sie die unendliche Folge von Zahlen 1, 1 2, 1 4, 1 8, 1 16, 1 32,...

13 10.4 Geometrische Reihen 443 Jeder Term in der Folge wird durch Halbieren seines Vorgängers gebildet, so dass der n-te Term gleich 1/2 n 1 ist. Die Summe der n ersten Terme ist eine endliche geometrische Reihe mit dem Quotienten k = 1/2 und der erste Term ist a = 1. Daher ergibt (3) n 1 = 1 ( 1 n 2) Wir fragen uns nun, was gemeint ist mit der unendlichen Summe = n 1 ( ) ( ) 2n 1 Weil alle Terme positiv sind und es unendlich viele Terme gibt, neigen Sie vielleicht dazu zu denken, dass die Summe unendlich groß sein muss. Wenn wir jedoch Formel ( ) betrachten, sehen wir, dass die Summe der n ersten Terme gleich 2 1/2 n 1 ist. Diese Zahl ist niemals größer als 2, wie wir n auch wählen. Wenn n wächst, kommt der Term 1/2 n 1 näher und näher an 0 heran und die Summe in ( ) strebt gegen 2 als Grenzwert. Daher ist es nahe liegend, die unendliche Summe in ( ) als die Zahl 2 zu definieren. Eine Illustration: Auf einer Geburtstagsfeier gibt es zwei identische Kuchen. Die Person, die Geburtstag hat, nimmt alles vom ersten Kuchen. Vom zweiten Kuchen wird dem ersten Gast die Hälfte gegeben, dem zweiten Gast ein Viertel usw. Jeder weitere Gast bekommt die Hälfte vom Rest. Die Summe in ( ) zeigt, wie viel genommen wurde, nachdem n 1 Gäste ihren Teil bekommen haben. (Die Person, die Geburtstag hat, wird nicht als Gast betrachtet.) Wir sehen daher, dass unendlich viele Gäste zu dieser Party eingeladen werden können. (Jedoch, wenn jeder Kuchen etwa 100 Euro wert wäre, würde der dreizehnte Gast ein Stück bekommen, das nur wenig mehr Wert ist als 1 Cent.) Wir fragen allgemein, welche Bedeutung der unendlichen Summe a + ak + ak 2 + +ak n 1 + (4) gegeben werden kann. Wie verwenden dieselbe Idee wie in ( ) und betrachten die Summe s n der n ersten Terme in (4). Nach (3) ist s n = a 1 kn 1 k (k 1) Was geschieht mit diesem Ausdruck, wenn n gegen Unendlich geht? Die Antwort hängt offensichtlich von k n ab, weil nur dieser Term von n abhängt. Und k n strebt gegen 0, wenn 1 < k < 1, während k n gegen keinen Grenzwert strebt, wenn k > 1 oder k 1. (Wenn Sie nicht überzeugt sind, dass diese Behauptung wahr ist, so untersuchen Sie die Fälle k = 2, k = 1, k = 1/2, k = 1/2 und k = 2.) Daher folgt: Wenn k < 1, dann konvergiert die Summe s n der n ersten Terme in (4) gegen den Grenzwert a/(1 k), wenn n gegen Unendlich strebt. Wir definieren diesen Grenzwert als die Summe in (4) und wir sagen, dass die unendliche Reihe in diesem Fall konvergiert. Zusammengefasst:

14 444 Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik: Zinsraten und Barwerte Summenformel für eine unendliche geometrische Reihe a + ak + ak 2 + +ak n 1 + = a 1 k falls k < 1 (5) Indem wir die Notation mit dem Summenzeichen verwenden (siehe Kap. 3.1), wird aus (5) ak n 1 = a falls k < 1 (6) 1 k n=1 Falls k 1, sagen wir, dass die unendliche Reihe (4) divergiert. Eine divergente Reihe hat keine (endliche) Summe. Die Divergenz ist offensichtlich für k > 1. Falls k = 1, so ist s n = na und diese strebt gegen +, falls a > 0 oder gegen, falls a < 0. Falls k = 1, dann ist s n gleich a, wenn n ungerade ist, aber 0, wenn n gerade ist; wieder gibt es keinen Grenzwert für n (falls a 0). Beispiel 3 Eine grobe Schätzung der gesamten Öl- und Gasreserven im norwegischen Festlandsockel zu Beginn des Jahres 1999 betrug 13 Milliarden ( ) Tonnen. Die Förderung in dem Jahr lag bei ungefähr 250 Millionen ( ) Tonnen. (a) Wann werden die Reserven erschöpft sein, wenn die Förderung auf demselben Niveau fortgesetzt wird? (b) Nehmen Sie an, dass die Förderung jedes Jahr um 2 % pro Jahr reduziert wird, beginnend im Jahr Wie lange werden die Reserven in diesem Fall reichen? Lösung: (a) Die Anzahl der Jahre, für die die Reserven reichen, ist gegeben durch = 52 Das heißt, die Reserven werden um das Jahr 2051 herum erschöpft sein. (b) In 1999 war die Förderung a = In 2000 wäre sie a 2a/100 = a In 2001 wäre sie a , usw. Wenn dies für immer fortgesetzt würde, wäre die gesamte geförderte Menge a + a a (0.98) 2 + +a (0.98) n 1 + Diese geometrische Reihe hat den Quotienten k = Nach (5) ist diese Summe s = a = 50a

15 10.4 Geometrische Reihen 445 Da a = , ist s = = , welches weniger ist als Die Förderung kann deshalb unendlich lange fortgesetzt werden und es bleiben 500 Millionen (= ) Tonnen übrig, die niemals gefördert werden. Aufgaben für Kapitel Bestimmen Sie die Summe s n der folgenden endlichen geometrischen Reihe n 1 Welches ist der Grenzwert von s n, wenn n gegen unendlich geht? Bestimmen Sie die Summe n=1 1 3 n Bestimmen Sie die Summen der folgenden geometrischen Reihen: (a) ( 1 5 )2 + ( 1 5 )3 + ( 1 5 )4 + (b) (0.1) 2 + (0.1) 3 + (0.1) 4 + (c) (1.1) (1.1) (1.1) 3 + (d) a + a(1 + a) 1 + a(1 + a) 2 + a(1 + a) 3 + a(1 + a) 4 +, (a > 0) 3. Entscheiden Sie, ob die folgenden Reihen geometrisch sind und bestimmen Sie die Summen derjenigen geometrischen Reihen, die konvergieren. (a) /8 + 1/64 + (b) (c) 2 1/ / /3 + (d) 1 1/2 + 1/3 1/ Untersuchen Sie die Konvergenz der folgenden geometrischen Reihen und bestimmen Sie ihre Summen, wenn sie existieren: 1 (a) p + 1 p p 3 + (b) x + x (c) x 2n x 5. Bestimmen Sie die Summe k=0 ( b 1 + p ) k, p > n=1 6. Der Welt-Gesamtverbrauch an Eisen war 1971 ungefähr Tonnen. Nehmen Sie an, dass der Verbrauch jedes Jahr um 5 % ansteigt und dass die für den Abbau

16 446 Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik: Zinsraten und Barwerte verfügbaren Ressourcen Tonnen sind. Wie lange werden die in der Welt verfügbaren Ressourcen an Eisen reichen? 7. Der Welt-Gesamtverbrauch an Naturgas war 1994 gleich 1824 Millionen Tonnen Öl- Äquivalent (mtoe). Die Reserven am Ende jenen Jahres wurden auf mtoe geschätzt. Wie lange werden die Reserven reichen, wenn der Verbrauch in jedem der kommenden Jahre um 2 % steigt und keine neuen Quellen entdeckt werden? 8. Betrachten Sie Beispiel Nehmen Sie an, dass unmittelbar, nachdem ein Baum gefällt wird, ein neuer Baum derselben Art gepflanzt wird. Wenn wir annehmen, dass ein neuer Baum zu den Zeiten t, 2t, 3t usw. gepflanzt wird, dann wird der Barwert aller Bäume gleich sein. f (t) = P(t)e rt + P(t)e 2rt + (a) Bestimmen Sie die Summe dieser unendlichen geometrischen Reihe. (b) Beweisen Sie: Wenn f (t) ein Maximum für ein t > 0 hat, dann ist P (t P(t ) ) = r 1 e rt 10.5 Gesamtbarwert Nehmen Sie an, dass drei aufeinander folgende jährliche Zahlungen zu tätigen sind, 1000 Euro nach 1 Jahr, dann 1500 Euro nach 2 Jahren und 2000 Euro nach 3 Jahren. Wie viel muss heute auf einem Konto angelegt werden, um genügend Rücklagen zur Deckung dieser drei Zahlungen zu haben, wenn der Zinssatz 11 % pro Jahr ist? Wir nennen diesen Betrag den Barwert der drei Zahlungen. Um 1000 Euro nach 1 Jahr zu erhalten, müssen wir heute einen Betrag x 1 anlegen, wobei gelten muss: x 1 ( ) = 1000, so dass x 1 = =

17 10.5 Gesamtbarwert 447 Um 1500 Euro nach 2 Jahren zu haben, müssen wir heute einen Betrag x 2 anlegen, wobei gelten muss x 2 ( ) = 1500, so dass x 2 = ( ) 2 = 1500 (1.11) 2 Um schließlich 2000 Euro nach 3 Jahren zu bekommen, müssen wir heute einen Betrag x 3 anlegen, wobei gelten muss x 3 ( ) = 2000, so dass x 3 = ( ) 3 = 2000 (1.11) 3 Somit ist der Gesamtbarwert der drei Zahlungen, der gleich dem Gesamtbetrag A ist, der heute angelegt werden muss, um alle drei Zahlungen zu decken, gegeben durch A = (1.11) (1.11) 3 Dies ist ungefähr A = Nehmen Sie allgemein an, dass n aufeinander folgende Zahlungen a 1,..., a n zu tätigen sind, wobei a 1 nach 1 Jahr, a 2 nach 2 Jahren gezahlt werden muss usw. Wie viel muss heute auf einem Konto angelegt werden, um genügend Rücklagen zur Deckung all dieser zukünftigen Zahlungen zu haben, wenn der jährliche Zinssatz r ist? Mit anderen Worten: Welches ist der Barwert all dieser Zahlungen? Um a 1 nach 1 Jahr zu erhalten, müssen wir heute a 1 /(1 + r) anlegen, um a 2 nach 2 Jahren zu haben, müssen wir heute a 2 /(1 + r) 2 anlegen usw. Der Gesamtbetrag P n, der heute angelegt werden muss, um all diese n Zahlungen zu decken, ist deshalb P n = a r + a 2 (1 + r) a n (1 + r) n (1) Dabei ist P n der Barwert der n Teilzahlungen. Eine Annuität ist eine Folge von gleichen Zahlungen, die über einen gewissen Zeitraum zu festen Zeitperioden fällig sind. Wenn a 1 = a 2 = =a n = a in (1) ist, dann gibt uns (1) den Barwert einer Annuität an. Dann ist die Summe in (1) eine endliche geometrische Reihe mit n Termen. Der erste Term ist a/(1 + r) und der Quotient ist 1/(1 + r). Nach der Summenformel für eine geometrische Reihe (3) im vorigen Unterkapitel mit k = (1 + r) 1 ist die Summe a [1 (1 + r) n ] P n = (1 + r) [1 (1 + r) 1 ] = a r ( 1 ) 1 (1 + r) n (Die zweite Gleichung gilt, weil der Nenner des mittleren Ausdrucks sich auf r reduziert). Wir haben damit das folgende Resultat:

18 448 Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik: Zinsraten und Barwerte Barwert einer Annuität Der Barwert einer Annuität über n Perioden mit Zahlungsbetrag a pro Periode bei einem Zinssatz r pro Periode ist gegeben durch P n = a 1 + r + + a (1 + r) n = a [ ] 1 1 r (1 + r) n wobei r = p/100 (2) Diese Summe ist unten illustriert: a 1 + r a (1 + r) 2. a (1 + r) n a a a Formel (2) gibt den Barwert von n zukünftigen Forderungen an, jede von (sagen wir) a Euro. Wenn wir wissen wollen, wie viel sich auf dem Konto nach n Perioden, unmittelbar nach der letzten Zahlung, angesammelt hat, dann ist der zukünftige Wert F n der Annuität gegeben durch: F n = a + a(1 + r) + a(1 + r) 2 + +a(1 + r) n 1 Diese anders geartete Summe ist unten illustriert: a a a a a(1 + r) a(1 + r) 2. a(1 + r) n 1 Die Summenformel für eine geometrische Reihe ergibt: F n = a[1 (1 + r)n ] 1 (1 + r) = a r [(1 + r)n 1]

19 10.5 Gesamtbarwert 449 Wir können den zukünftigen Wert auch direkt bestimmen, indem wir die Zinsen berechnen, die der gegenwärtige Wert (Barwert) P n in n Jahren einbringt: F n = P n (1 + r) n = a r [(1 + r)n 1]. Somit gilt: Zukünftiger Wert einer Annuität Ein Betrag a wird in jeder von insgesamt n Perioden zu einem Zinssatz r pro Periode auf einem Konto angelegt. Der zukünftige Wert (Gesamtwert) des Kontos unmittelbar nach der letzten Einzahlung ist (3) F n = a r [(1 + r)n 1] Beispiel 1 Berechnen Sie den gegenwärtigen und den zukünftigen Wert einer Einzahlung von 1000 Euro in jedem der kommenden 8 Jahre, wenn der jährliche Zinssatz 6 % ist. Lösung: Um den gegenwärtigen Wert zu bestimmen, wenden wir Formel (2) mit a = 1000, n = 8 und r = 6/100 = 0.06 an. Dies ergibt P 8 = 1000 ( ) (1.06) 8 = Der zukünftige Wert wird mit Formel (3) bestimmt. Diese ergibt F 8 = 1000 [ (1.06) 8 1 ] = Alternativ: F 8 = P 8 (1.06) 8 = (1.06) 8 = Wenn r > 0 und wenn wir n in (2) gegen Unendlich gehen lassen, dann strebt (1 + r) n gegen Unendlich und P n strebt gegen a/r. Somit ist im Grenzfall a 1 + r + a (1 + r) 2 + = a r (r > 0) (4) Dies entspricht dem Fall, in dem bis in die Ewigkeit fortlaufende Zahlungen der Höhe a pro Periode getätigt werden bei einem Zinssatz r pro Periode. Beispiel 2 Berechnen Sie den Barwert einer fortlaufenden Zahlung des Betrages von 1000 Euro am Ende jeden Jahres, wenn die jährliche Zinsrate 14 % ist.

20 450 Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik: Zinsraten und Barwerte Lösung: Nach Formel (4) erhalten wir = ( ) Barwert eines zukünftigen Einkommensstromes Wir haben den Barwert einer Reihe von zukünftigen Zahlungen erörtert, die zu spezifischen diskreten Zeitpunkten fällig sind. Es ist manchmal realistischer anzunehmen, dass Einkünfte stetig anwachsen, wie die Erträge aus einem großen wachsenden Forst. Nehmen Sie an, dass Einkommen stetig empfangen wird von der Zeit t = 0 bis zur Zeit t = T mit einer Rate von f (t) Euro pro Jahr zur Zeit t. Wir nehmen an, dass die Zinsen stetig gutgeschrieben werden mit einer jährlichen Rate r. Bezeichne P(t) den gegenwärtigen diskontierten Wert (PDV = present discounted value ) aller im Zeitintervall [0, t] empfangenen Zahlungen. Dies bedeutet, dass P(T ) den Geldbetrag darstellt, den Sie zur Zeit t = 0 anlegen müssten, um den gleichen Wert zu erhalten wie der, der aus dem stetig anfallenden Einkommensstrom f (t) über dem Zeitintervall [0, T ] resultiert. Wenn t eine beliebige Zahl ist, so ist der Barwert des im Intervall [t, t + t] empfangenen Einkommens gleich P(t + t) P(t). Falls t eine kleine Zahl ist, so ist das in diesem Intervall empfangene Einkommen ungefähr f (t) t und der PDV dieses Betrages ist ungefähr f (t)e rt t. Damit ist P(t + t) P(t) f (t)e rt t und somit [P(t + t) P(t)]/ t f (t)e rt Diese Approximation wird besser, je kleiner t ist und im Grenzfall, wenn t 0, haben wir P (t) = f (t)e rt. Nach Definition des bestimmten Integrals ist P(T ) P(0) = T 0 f (t)e rt dt. Weil P(0) = 0, haben wir: Barwert eines stetigen Einkommensstroms Der gegenwärtige (diskontierte) Wert (zur Zeit 0) eines stetigen Einkommensstromes mit der Rate f (t) Euro pro Jahr über dem Zeitintervall [0, T ] bei stetiger Verzinsung zur Rate r pro Jahr, ist gegeben durch PDV = T 0 f (t)e rt dt (5) Gleichung (5) gibt den Wert eines über das Intervall [0, T ] empfangenen Einkommensstromes f (t) zur Zeit 0 an. Der Wert dieses Betrages zur Zeit T bei stetiger Verzinsung

21 10.5 Gesamtbarwert 451 zur Zinsrate r ist e rt T 0 f (t)e rt dt. Da die Zahl e rt eine Konstante ist, können wir das Integral umschreiben als T 0 f (t)er(t t) dt. Dies wird der zukünftige diskontierte Wert (FDV = future discounted value ) des Einkommensstromes genannt: Zukünftiger Wert eines stetigen Einkommensstromes Der zukünftige (diskontierte) Wert (zur Zeit T ) eines stetigen Einkommensstromes mit der Rate f (t) Euro pro Jahr über das Zeitintervall [0, T ] bei stetiger Verzinsung zur Rate r pro Jahr ist gegeben durch FDV = T 0 f (t)e r(t t) dt (6) Eine einfache Modifikation von (5) wird uns den diskontierten Wert (DV = discounted value ) zu einer beliebigen Zeit s [0, T ] eines Einkommensstromes f (t), der während des Zeitintervalls [s, T ] empfangen wird, angeben. In der Tat ist der DV zur Zeit s eines Einkommensstromes f (t), empfangen in dem kleinen Zeitintervall [t, t + dt] gleich f (t)e r(t s) dt. Somit haben wir das folgende Resultat: Diskontierter Wert eines Einkommensstromes Der diskontierte Wert zu einer beliebigen Zeit s eines stetigen Einkommensstromes mit der Rate f (t) Euro pro Jahr über dem Zeitintervall [s, T ] mit stetiger Verzinsung zur Rate r pro Jahr ist gegeben durch DV = T t=s f (t)e r(t s) dt (7) Beispiel 3 Bestimmen Sie den PDV und den FDV eines konstanten Einkommensstromes von 1000 Euro pro Jahr über die nächsten 10 Jahre unter der Annahme eines Zinssatzes von r = 8%= 0.08 jährlich bei stetiger Verzinsung. Lösung: PDV = e 0.08t dt = 10 0 ( ) 1000 e 0.08t 0.08 FDV = e PDV e = (1 e 0.8 )

22 452 Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik: Zinsraten und Barwerte Aufgaben für Kapitel Welches ist der Barwert von 15 jährlichen Einlagen von 3500 Euro, wenn die erste Einlage nach einem Jahr stattfindet und die jährliche Zinsrate 12 % ist? 2. (a) Ein Betrag war für viele Jahre auf einem Konto angelegt bei einer jährlichen Zinsrate von 4 %. Jetzt beträgt das Guthaben auf dem Konto Euro. Wie viel war vor 10 Jahren auf dem Konto? (b) Sie legen für 4 Jahre am Ende eines jeden Jahres Euro auf einem Konto an bei einem jährlichen Zinssatz von 6 %. Wieviel ist am Ende des vierten Jahres auf dem Konto? 3. Nehmen Sie an, dass Ihnen die folgenden Optionen angeboten werden: (i) Euro gezahlt nach 10 Jahren oder (ii) 1000 Euro gezahlt jedes Jahr für 10 Jahre, erste Zahlung heute. Welche dieser Alternativen würden Sie wählen, wenn der jährliche Zinssatz 6 % über die ganze Periode ist? 4. Einem Autor ist ein Honorar für ein Buch zu zahlen. Es wurden ihm zwei alternative Angebote gemacht: (a) Dem Autor können sofort Euro gezahlt werden. (b) Es gibt 5 gleiche jährliche Zahlungen von 4600 Euro, wobei die erste sofort gezahlt wird. Welches dieser Angebote hat den höheren Wert, wenn der Zinssatz 6 % pro Jahr ist? 5. Berechnen Sie den Barwert einer Reihe fortlaufender Zahlungen von 1500 Euro am Ende jeden Jahres, wenn der Zinssatz 8 % pro Jahr ist. 6. Ein Treuhänderfond wird mit einer einzigen Zahlung K eingerichtet. Der Betrag wird zu einem festen jährlichen Zinssatz r angelegt. Der Fond zahlt einen festen jährlichen Betrag aus. Die erste Zahlung ist ein Jahr nach der Einrichtung des Fonds fällig. Welches ist der größte Betrag, der jedes Jahr ausgezahlt werden kann, wenn der Fond für immer andauern soll?

23 10.6 Hypothekenrückzahlungen Der gegenwärtige diskontierte Wert einer Zahlung D, die mit einer konstanten Rate g wächst, wenn die Diskontierungsrate r ist, ist gegeben durch D 1 + r D(1 + g) D(1 + g)2 + + (1 + r) 2 (1 + r) 3 + Dabei sind r und g positiv. Welches ist die Bedingung für Konvergenz? Zeigen Sie: Wenn die Reihe gegen P 0 konvergiert, dann ist P 0 = D/(r g). 8. Bestimmen Sie den gegenwärtigen und zukünftigen Wert eines konstanten Einkommensstromes von 500 Euro pro Jahr über die nächsten 15 Jahre bei einer jährlichen Zinsrate von r = 6%(= 0.06) und stetiger Verzinsung Hypothekenrückzahlungen Wenn eine Familie eine Hypothek auf ein Haus zu einem festen Zinssatz aufnimmt, bedeutet dies, dass, wie bei einer Annuität, gleiche Zahlungen in jeder Periode fällig sind sagen wir am Ende eines jeden Monats. Die Zahlungen dauern an, bis der Kredit abbezahlt ist, sagen wir nach 20 Jahren. Jede Rückzahlung besteht zu einem Teil aus Zinsen auf die ausstehenden Schulden und zum anderen Teil einer Rückzahlung zur Reduzierung der ausstehenden Schulden. Der Zinsanteil ist am Anfang am größten, weil die Zinsen in der ersten Periode auf den ganzen Kredit zu zahlen sind; er ist am kleinsten in der letzten Periode, weil die ausstehende Schuld dann am kleinsten ist. Für die Tilgung der Schulden ist es genau anders herum, da der Tilgungsteil die Differenz aus der festen monatlichen Zahlung und den Zinsen ist. Beispiel 1 Eine Person leiht Euro zu Beginn eines Jahres und verpflichtet sich, dies in 5 gleichen Teilbeträgen am Ende eines jeden Jahres mit 15 % Zinsen, die jährlich berechnet werden, abzuzahlen. Bestimmen Sie den jährlichen Zahlungsbetrag. Lösung: Wenn die fünf Rückzahlungen jeweils die Höhe a Euro haben, so ist ihr gegenwärtiger Wert in Euro a a (1.15) 2 + a (1.15) 3 + a (1.15) 4 + a (1.15) 5 = a ( ) (1.15) 5 nach Formel (2) im vorigen Unterkapitel. Diese Summe muss gleich Euro sein, so dass gelten muss ( ) a (1.15) 5 =

24 454 Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik: Zinsraten und Barwerte Dies hat die Lösung a = Alternativ können wir den zukünftigen Wert jeder Rückzahlung berechnen und ihre Summe dem zukünftigem Wert des ursprünglichen Kredits gleichsetzen. Dies ergibt die Gleichung a + a(1.15) + a(1.15) 2 + a(1.15) 3 + a(1.15) 4 = (1.15) 5 Diese Gleichung hat auch die Lösung a = Um zu zeigen, wie der Zins- und der Tilgungsanteil der jährlichen Zahlung von Jahr zu Jahr variieren, konstruieren wir die folgende Tabelle: Jahr Zahlung Zinsen Tilgung Restschulden Beachten Sie, dass die Zinszahlung jedes Jahr 15 % der Restschulden aus dem vorigen Jahr sind. Der Rest jeder jährlichen Zahlung von Euro ist der Tilgungsbetrag in dem Jahr. Dieser wird von den ausstehenden Schulden des vorigen Jahres subtrahiert. Abb. 1 ist ein Diagramm, das für jedes Jahr die Zins- und Tilgungszahlungen anzeigt: Tilgung Zinsen Abbildung 1 Zins- und Tilgungszahlungen in Beispiel 1 Nehmen Sie an, dass ein Kredit über K Euro wie eine Annuität über n Perioden zum Zinsatz von p % pro Periode zurückgezahlt wird, wobei die erste Zahlung a nach einer Periode fällig ist und der Rest nach gleichlangen Perioden. Nach (2) im vorigen Unterkapitel, muss die Zahlung a pro Periode die folgende Gleichung erfüllen: K = a ( ) 1 1 r (1 + r) n (1)

25 10.6 Hypothekenrückzahlungen 455 Auflösen der Gleichung (1) nach a ergibt: a = K r(1 + r)n (1 + r) n 1 = rk 1 (1 + r) n (2) wobei r = p/100. Wir hätten diese Formel in Beispiel 1 benutzen können. Tun Sie das. Beispiel 2 Nehmen Sie an, dass der Kredit in Beispiel 1 durch monatliche Zahlungen am Ende jeden Monats bei einer nominalen Zinsrate von 15 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung zurückgezahlt wird. Bestimmen Sie den monatlichen Zahlungsbetrag. Lösung: Die Zinsperiode ist 1 Monat und die monatliche Zinsrate ist 15/12 = 1.25 %, so dass r = 1.25/100 = Ferner ist n = 5 12 = 60, so dass aus Formel (2) folgt: ( )60 a = ( ) Die bisher betrachteten Annuitäten waren nachschüssige Annuitäten, bei denen jede Zahlung am Ende der Zahlunsperiode getätigt wird. Falls die Zahlung in jeder Periode am Anfang der Periode getätigt wird, wird die Annuität eine vorschüssige Annuität genannt. Diese Art der Annuität kann leicht behandelt werden, indem wir sie wie eine nachschüssige Annuität betrachten mit der Ausnahme, dass es eine sofortige Anfangszahlung gibt. Beispiel 3 Eine Person nimmt einen Kredit über Euro auf, der in 15 gleichen Zahlungen der Höhe a Euro zurückgezahlt werden soll; die erste Zahlung soll sofort erfolgen und die weiteren nach jedem der folgenden 14 Jahre. Bestimmen Sie a, wenn der jährliche Zinssatz 14 % ist. Lösung: Der gegenwärtige Wert der ersten Zahlung ist offensichtlich a. Den gegenwärtigen Wert der folgenden 14 Rückzahlungen findet man, indem man Formel (1) mit r = 0.14 und n = 14 anwendet. Die Summe der Barwerte (gegenwärtigen Werte) muss gleich sein: a + a ( ) ( ) 14 = Dies reduziert sich auf a a = und durch Auflösen nach a ergibt sich a Einige Darlehensgeber bevorzugen es, einen festen Betrag als Zahlung für jede Periode festzusetzen und den Kredit über so viele Perioden laufen zu lassen, bis die Schuld abbezahlt ist. Diese Art der Kreditabzahlung funktioniert im wesentlichen wie eine Annuität.

26 456 Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik: Zinsraten und Barwerte Der Unterschied ist, dass es eine Schlusskorrektur bei der letzten Zahlung gibt, damit der gegenwärtige Wert aller Zahlungen gleich dem geborgten Betrag ist. In diesem Fall ist es üblich, die Formel zu benutzen, die man erhält, wenn man (1) nach n auflöst. Das Resultat ist rk a = 1 1 (1 + r) n 1 (1 + r) n = 1 rk a = a rk a (1 + r) n = a a rk Wenn wir den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten bilden, erhalten wir n ln(1 + r) = ln ( a/(a rk) ), so dass gilt: Die Anzahl der Perioden n, die benötigt werden, um einen Kredit der Höhe K mit Teilzahlungen der Höhe a pro Periode zurückzuzahlen, wenn der Zinssatz r pro Periode ist, ist gegeben durch n = ln a ln(a rk) ln(1 + r) (3) Beispiel 4 Ein Kredit über Euro ist durch Zahlung von Euro an Zins- und Tilgungsleistungen am Ende jedes der kommenden Jahre abzulösen, bis der Kredit vollständig zurückgezahlt ist. Wann ist der Kredit zurückgezahlt und wie hoch ist die Abschlusszahlung, wenn der Zinssatz 15 % beträgt? Lösung: Wir beginnen mit der Berechnung der Anzahl n der jährlichen Zahlungen von Euro, die benötigt werden, um die Euro zurückzuzahlen. Nach (3) erhalten wir mit r = 0.15, a = und K = : n = ln(20 000) ln( ) ln( ) Somit sind drei Zahlungen über Euro nötig mit einer zusätzlichen Restzahlung im vierten Jahr. Wir berechnen den zukünftigen Wert der drei Zahlungen von Euro drei Jahre, nachdem der Kredit aufgenommen wurde. Dieser Wert ist: (1.15) = [ (1.15) 3 1 ] ) = Der zukünftige Wert des Kredits von Euro über dieselben 3 Jahre ist (1.15) 3 = Damit ist die Restschuld nach der dritten Zahlung = Wenn die Restschuld und die darauf anfallenden Zinsen ein Jahr später gezahlt werden, so ist der fällige Betrag gleich =

27 10.6 Hypothekenrückzahlungen 457 Einzahlungen innerhalb einer Zinsperiode Viele Sparkonten haben eine Zinsperiode von einem Jahr oder wenigstens einem Monat. Wenn Sie einen Betrag innerhalb einer Zinsperiode einzahlen, wird die Sparkasse oft nur einfache Zinsen und nicht Zinseszinsen berechnen. In diesem Fall, wenn Sie eine Einzahlung innerhalb einer Zinsperiode tätigen, wird am Ende der Periode der eingezahlte Betrag mit dem Faktor 1 + rt multipliziert, wobei t der verbleibende Anteil der Zinsperiode ist. Beispiel 5 Am Ende jeden Quartals, beginnend mit dem 31. März 1999, zahlt eine Person 100 Euro auf ein Sparkonto, wobei die Zinsen jährlich mit einer Rate von 10 % pro Jahr gezahlt werden. Wie viel ist am 31. Dezember 2001 auf dem Konto? Lösung: Die Einzahlungen während des Jahres 1999 werden in der folgenden Abbildung illustriert: 31/3 30/6 30/9 31/ Diese vier Einzahlungen werden innerhalb des Jahres 1999 getätigt. Um das Guthaben am Ende des Jahres (der Zinsperiode) zu bestimmen, benutzen wir einfache Verzinsung (d. h. keine Zinzeszinsen). Dies ergibt: ( ) ( ) ( ) = Wir ersetzen nun die ursprünglichen 12 Einzahlungen durch den Betrag am Ende jedes der Jahre 1999, 2000 und / / / Das Guthaben am ist: 415 (1.10) = Somit hat die Person am 31. Dezember Euro.

28 458 Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik: Zinsraten und Barwerte Aufgaben für Kapitel Eine Person leiht Euro am Anfang eines Jahres und verpflichtet sich, diesen Betrag durch 10 jährliche Zahlungen am Ende jeden Jahres bei einem Zinssatz von 7 % und jährlicher Verzinsung zurückzuzahlen. Bestimmen Sie den jährlichen Zahlungsbetrag. 2. Nehmen Sie an, dass der Kredit in Aufgabe 1 durch monatliche Zahlungen am Ende jeden Monats bei einer nominalen Zinsrate von 7 % und monatlicher Verzinsung zurückzuzahlen ist. Bestimmen Sie den monatlichen Zahlungsbetrag. 3. (a) Wie viel Geld haben Sie unmittelbar nach der letzten Einzahlung, wenn Sie über 6 Jahre jedes Jahr 8000 Euro auf einem Sparkonto bei einer Zinsrate von 7 % anlegen? Wie viel haben Sie 4 Jahre nach der letzten Einzahlung? (b) Ronald investiert in ein Projekt, das sein Geld in 20 Jahren verdreifacht. Welches ist der Zinssatz, wenn wir jährliche Verzinsung annehmen? Welches, wenn wir stetige Verzinsung annehmen? Anspruchsvollere Aufgaben 4. Ein Bauunternehmen möchte ein Baugelände kaufen und hat die Wahl zwischen drei verschiedenen Zahlungsplänen: (a) Zahle Euro in bar. (b) Zahle Euro pro Jahr über 8 Jahre, wobei der erste Teilbetrag sofort zu zahlen ist. (c) Zahle Euro in bar und danach 7000 pro Jahr über 12 Jahre, wobei die erste Teilzahlung nach 1 Jahr fällig ist. Bestimmen Sie, welcher Zahlungsplan am billigsten ist, wenn die Zinsrate 11.5% ist und das Unternehmen wenigstens Euro in bar zur Verfügung hat? Was geschieht, wenn der Zinssatz 12.5 % ist? 10.7 Investitionsprojekte Betrachten Sie n +1 Zahlen a 0, a 1,...,a n, die die Erträge in aufeinander folgenden Jahren darstellen, die bei einem Investitionsprojekt erzielt werden. Negative Zahlen repräsentieren Verluste, positive Zahlen Gewinne. Somit ist jedes a i tatsächlich der Nettoerlös.