I i = = σ E Stromdichte, σ = spez. Leitfähigkeit

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Christin Burgstaller
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Fridrich-Alxandr-Univrsität Erlangn-Nürnbrg Institut für Wrkstoffwissnschaftn 6 / AlN Martnsstr. 7, 9058 Erlangn Vorlsung Grundlagn dr WET I Dr.-Ing. Matthias Bickrmann Prof. Dr. A. Winnackr A.

1 Fridrich-Alxandr-Univrsität Erlangn-Nürnbrg Institut für Wrkstoffwissnschaftn 6 / AlN Martnsstr. 7, 9058 Erlangn Vorlsung Grundlagn dr WET I Dr.-Ing. Matthias Bickrmann Prof. Dr. A. Winnackr A. ELEKTRISCHE LEITFÄHIGKEIT UND BEWEGLICHKEIT. Elktrisch Litfähigkit l Ohm'schs Gstz: U = R I mit R = ρ [Bild ] A R Widrstand, ρ spzifischr Widrstand, l Läng, A Qurschnitt ds Litrs; U E = = ρ i Elktrischs Fld, l I i = = σ E Stromdicht, σ = spz. Litfähigkit A ρ Einhitn: U [V], R [Ω=V/A], ρ [Ω cm], E [V/m], i [A/mm²], σ [S/m=/Ωm] Di spzifisch Litfähigkit von Matrialin ligt zwischn 0 8 S/m (Quarz) und S/m (Silbr)! [Tab ] Elktronn wrdn im lktrischn Fld (Kraft F l. = E) bschlunigt, stoßn abr immr widr auf "Hindrniss". Si bwgn sich ffktiv mit dr Driftgschwindigkit v D = E, man schribt: v D = μ E mit μ = [s] ist di mittlr Stoßzit, [As] Elktronnladung, m* ffktiv Elktronnmass. µ [cm²/vs] ist di Ladungsträgrbwglichkit, in Matrialkonstant.. Mittlr Stoßzit Man kann sich in "Ribungskraft" F R = k v vorstlln, di dm Fld ntggnwirkt. dv Im Glichgwicht (v = v D ) gilt = E k vd = 0, v D = E, damit ist k = di dt k "Ribungskraftkonstant". Schaltt man das lktrisch Fld E zum Zitpunkt t=0 dv( t) t aus, dann gilt = v() t, v() t = v0 (xponntillr Abfall), d.h. gibt an, wi dt schnll di Tilchn zur Ruh kommn ("Rlaxationszit"). [Bild ] In inm Zitintrvall Δt trtn dijnign Ladungn (Elktronn) durch di Qurschnittsfläch A, di Δx odr wnigr von ihr ntfrnt sind, mit v D = Δx/Δt: i = n vd (n: Ladungsträgrkonzntration [cm 3 ]). [Bild 3] σ Daraus rgibt sich (i = σ E): σ = n μ und witr: =. n ² Zahlnbispil Cu: 0 4 s, v D = 3,4 0 4 m/s (grchnt mit E = 0, V/m, sonst schmilzt dr Litrdraht). Abr: Di Ausbritung von lktrischn Signaln in Litrn rfolgt mit dr Gschwindigkit ds lktromagntischn Flds, d.h. in twa mit Lichtgschwindigkit.

2 3. Bwglichkit Di Bwglichkit µ wird mittls Hallffkt gmssn. Man misst snkrcht zu Stromund Magntfldrichtung in Hallspannung U H aufgrund dr sich ausbildndn Lo- r r r r F = v B ; F = v B. [Bild 4] rntzkraft ( ) ( ) L Im stationärn Zustand gilt E + ( v B) = 0 L D I D ; E = B ; U d n b H I B I B = = RH. n d d a ma Bi Knntnis von σ rhält man n dirkt aus R H ("Hallwidrstand"), µ aus σ = n μ ; das Vorzichn ds Hallffkts rgibt dn Ladungsträgrtyp (p- odr n-litung). In Halblitrn habn Elktronn- und Löchrbwglichkit vrschidn Wrt! [Tab ] Di Ladungsträgrkonzntration n bstimmt sich aus dr Atomkonzntration N durch NA n = z N mit N = ρ Atomkonzntration [cm 3 ], ρ a Dicht [g/cm³], m a Atomgwicht [g/mol], N A Avogardo-Konstant [6, /mol], z Wrtigkit [ ]. In Mtallschmlzn ist z gnau di Zahl dr frin Ladungsträgr pro Atom, in Fstkörprn gibt s Abwichungn durch chmisch Bindungn und di daraus ntsthnd "Bandstruktur". [Tab 3] Manchmal könnn auch Ladungsträgr mit vrschidnr ffktivr Mass zur Litfähigkit bzw. Driftgschwindigkit bitragn (z.b. licht und schwr Löchr), und di Litfähigkit wird vom Magntfld abhängig ("magntorsistivr Effkt"). In Halblitrn tragn nur shr wnig Elktronn zum Stromtransport bi. Dshalb ist di Litfähigkit in Mtalln in dr Rgl höhr, auch wnn Elktronn im Halblitr um bis zu dri Größnordnungn höhr Bwglichkitn rziln. 4. Sättigungsdriftgschwindigkit Halblitr rziln wgn dr hohn Bwglichkitn shr hoh Schaltgschwindigkitn; dabi gilt in Halblitrn immr: µ(elktronn) > µ(löchr). Bispil n-kanal MOSFET: Di Grnzfrqunz fmax = Flug wird maximal, wnn innrhalb dr Gatläng L kin Zusammnstoss rfolgt ("ballistischr Transport"). Aus dr Flugzit π L L μ U Flug = = folgt fmax =, Wrt lign typischrw. Im GHz-Brich. [Bild 5] v μu π L² D Bi hohn Fldstärkn gilt di linar Abhängigkit v D = μ E nicht mhr, da di ffktiv Mass dr Elktronn mit stigndr Fldstärk E zunimmt (Bandstruktur). Man μ kommt auf vd = 0 E 0 E μ ("Siliziumkurv") mit µ 0 als Bwglichkit bi klinn + vs Fldstärkn und v S als Sättigungsdriftgschwindigkit bi shr hohn Fldstärkn. Wrdn mhrr Litungsbändr btiligt, könnn bi hohn Fldstärkn Elktronn von inm "lichtn" in in "schwrs" Band gstrut wrdn, was zu inr witrn μ0 Abnahm von v D führt: vd = E ("GaAs-Kurv"); n, n Elktronn im μ0 E n + + vs n lichtn bzw. schwrn Band. Das Bwglichkitsmaximum bi mittlrn Fldstärkn kann z.b. mit dm Gunn-Effkt ausgnutzt wrdn. [Bild 6] [Bild 7]

3 5. Tmpraturabhängigkit dr Litfähigkit In Mtalln ist di Ladungsträgrkonzntration nahzu tmpraturunabhängig, da σ T = n μ T. all Valnzlktronn bi jdr Tmpratur zur Vrfügung sthn: ( ) ( ) Di Stoßwahrschinlichkit wird durch jd Erschinung binflusst, di di Priodizität ds Gittrs stört: Frmdatom/Vrunrinigungn, Gittrfhlr und thrmisch Gittrschwingungn (Phononn). Es gilt: = + +. Davon ist nur P F G P (dr Bitrag dr Phononn) tmpraturabhängig. Damit wird abr auch μ = m und ρ = tmpraturabhängig: ( T ) n ρ m = = ρ ρ n + + F G + 0. Das ist P di Matthisn'sch Rgl. [Bild 8] Man kann dn tmpraturabhängign Antil ds spzifischn Widrstands für all θ ρ T = T. Das Grünisn-Intgral G T Mtall mit dr Grünisnforml bschibn: ( ) ( ) G θ ( ) T = θ 4 θ T x ( )( ) dx x x T 0 5 hängt nbn dr Tmpratur T nur noch von dr Dby-Tmpratur θ ab, inr Matrialkonstant, auf di im Kapitl übr Wärmlitfähigkit ausführlich inggangn wird. [Bild 9] In Halblitrn ist nicht nur di Bwglichkit µ, sondrn auch di Ladungsträgrkonzntration n stark (mist xponntill) tmpraturabhängig: σ ( T ) = n( T ) μ( T ). Dr Einfluss von n(t) dominirt di Tmpraturabhängigkit dr Litfähigkit und wird rst im Kapitl übr Halblitr ausführlich bsprochn. Bi dr Bwglichkit in Halblitrn ist daggn di im Ggnsatz zu Mtalln hoh Rinhit disr Matrialin zu brücksichtign. Damit muss nun bi tifn Tmpraturn (tilwis bis Raumtmpratur) auch di Abhängigkit dr Stoßwahrschinlichkit an Vrunrinigungn F und Gittrfhlrn G diskutirt wrdn. Bid nhmn mit stigndr Tmpratur ab, da di frin Elktronn aufgrund dr Boltzmannstatistik schnllr wrdn und damit Störungn dr Gittrpriodizität wnigr spürn. 3 F 3 G Ein gnau Btrachtung führt zu ~ T und ~ T, so dass für tif Tmpra- 3 turn (bi dnn Stöß an Phononn vrnachlässigbar sind) insgsamt gilt: μ ~T. Bi hohn Tmpraturn übrwign daggn Stöß an akustischn Phononn mit inr Abhängigkit von μ T. Di Bwglichkit hat also in Maximum, mist zwischn 30 K und 300 K. [Bild 0] ~ 3 Unabhängig von dr Tmpratur nimmt di Bwglichkit mit zunhmndr Dotirung ab, da di Stoßwahrschinlichkit an Dotiratomn stigt. Di Abnahm ist im Allgminn nicht linar. [Bild ]

6. Bildr Bild : Dfinition ds spzifischn Widrstands Bild : Exponntillr Abfall dr Driftgschwindigkit nach Ausschaltn ds Flds A v D v D Δx Bild 3: Vrdutlichung von i = n v D Bild 4: Aufbau inr

4 6. Bildr Bild : Dfinition ds spzifischn Widrstands Bild : Exponntillr Abfall dr Driftgschwindigkit nach Ausschaltn ds Flds A v D v D Δx Bild 3: Vrdutlichung von i = n v D Bild 4: Aufbau inr Hallffktmssung Matrial σ [S/m] Mtall z idal z (Fstkörpr) z (Schmlz) Ag 6, 0 7 Li 0,77 0,98 Cu 5,8 0 7 Na,0 0,98 Al 3,5 0 7 Ka,,00 F,5 0 7 Cu,5,00 NiCr ~ 0 6 Ag,5,0 G, 0 Au,4,00 Si,6 0 5 Cd +,0,00 Glas Al 3,8 3,00 Glimmr G 4 0,00 4,00 Tflon < 0 3 Quarz, Tab. : Litfähigkitn Vrschidnr Matrialin Tab. 3: Wrtigkitn und gmssn fri Ladungn pro Atom im Fstkörpr und in dr Schmlz

Matrial µ [cm²/vs] µ h [cm²/vs] E g [V] Si 0,5 0,045, GaAs 0,85 0,04,4

Tab. : Elktronn- und Löchrbwglichkitn Sowi di Bandlück ausgwähltr

(Fldffkttransistor) Bild 6: v D (E)-Vrlauf für vrschidn p- und n-dotirt

Ein linar Abhängigkit v D = µ E ist nur bi gringn Fldstärkn rknnbar.

5 Matrial µ [cm²/vs] µ h [cm²/vs] E g [V] Si 0,5 0,045, GaAs 0,85 0,04,4 InP 0,46 0,05,35 InAs 3,3 0,046 0,36 InSb 8,8 0,5 0,7 4H-SiC 0, 0,006 3, Tab. : Elktronn- und Löchrbwglichkitn Sowi di Bandlück ausgwähltr Halblitr Sourc Gat Drain L n p Bild 5: p-kanal MOSFET (Fldffkttransistor) Bild 6: v D (E)-Vrlauf für vrschidn p- und n-dotirt Halblitr. Ein linar Abhängigkit v D = µ E ist nur bi gringn Fldstärkn rknnbar. Bild 7: Mit zunhmndr Fldstärk wrdn in GaAs Elktronn in in höhrs Band mit inr gringrn Bwglichkit gstrut; als Folg nimmt di Driftgschwindigkit bi hohn Fldstärkn widr ab.

6 Bild 8: Erhöhung ds Rstwidrstands Bild 9: Tmpraturabhängigr Antil ds ρ 0 durch Vrunrinigungn in Cu. Widrstands ρ(t) für all Mtall in dr Grünisn-Auftragung. Bild 0: Tmpraturabhängigkit dr Bwglichkit (Doppllogarithmisch Auftragung) Bild : Abhängigkit dr Bwglichkit bi Raumtmpratur (300 K) in Silizium und Galliumarsnid von dr Dotirstoffkonzntration.

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